Makalah Program Linear Kelompok 1 Dik e [PDF]

Citation preview

MAKALAH PROGRAM LINIER “METODE GRAFIK”



DOSEN PENGAMPU : BUDI HALOMOAN SIREGAR,S.Pd.,M.Sc. MATA KULIAH : METODE PENELITIAN PENDIDIKAN MATEMATIKA



DISUSUN OLEH : NANDA NASYIAH SIREGAR NUR IZHMA ADZKIA ZAHRA SOFYAN HUSEIN NASUTION



4183111048 4181111002 4183311051



PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN MEDAN 2020



KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya serta segala kenikmatan, sehingga penulis dapat membuat dan menyelesaikan makalah Metode Grafik pada mata kuliah Program Linier. Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Budi Halomoan Siregar,S.Pd.,M.Sc., selaku dosen mata kuliah Program Linier yang telah banyak memberikan bimbingan, pengarahan, serta saran-saran kepada penulis selama proses pembelajaran mata kuliah ini. Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis meminta maaf jika terdapat kesalahan dalam penulisan dan juga mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna untuk penyempurnaan makalah ini. Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih dan semoga tugas ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membutuhkan.



Medan, 20 September 2020



Penulis



i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR...................................................................i DAFTAR ISI .................................................................................ii BAB I. PENDAHULUAN A. Latar belakang ................................................................1 B. Rumusan masalah ...........................................................1 C. Tujuan penulisan.............................................................2 BAB II. PEMBAHASAN A. Pengertian metode grafik.................................................3 B. Masalah Maksimasi.........................................................4 C. Masalah Minimasi...........................................................30 D. Metode koordinat.............................................................31 E. Metode garis isotop.........................................................32 F. Keganjilan Metode Grafik.....................................................33 BAB III. PENUTUP A. Kesimpulan...................................................................... 37 B. Saran................................................................................38 DAFTAR PUSTAKA



39



ii



iii



BAB 1 PENDAHULUAN 1.1.



Latar belakang Jika berbicara masalah pemrograman linier, maka tidak terlepas dari



seorang Ilmuan asal Rusia yang bernama Leonid Vitalevich Kartovich. Beliau adalah orang yang pertama menggagas bidang pemrograman linier pada tahun 1939 dengan menulis buku perdananya yang berjudul “Mathematical Methods In The Organization and Planning of Production”. Buku ini adalah buku yang pertama kali membahas dan menyelesaikan permasalahan-permasalahan pada bidang pemrograman linier. Pada mulanya, Ilmu pemrograman linier digunakan pada saat perang dunia II. Ilmu ini diterapkan pada beberapa permasalahan yaitu strategi dan taktik perang, efektifitas sumber-sumber kemiliteran yang terbatas, pengangkutan logistik perang, penentuan pola penerbangan pesawat, serta menentukan pola jaringan alat komunikasi. Setelah berakhirnya perang dunia II, ilmu pemrograman linier terus berkembang pada bidang kemiliteran dan industri. Pengertian Progam linier secara umum adalah program linier merupakan salah satu teknik menyelesaikan riset operasi, dalam hal ini adalah khusus menyelesaikan



masalah-masalah



optimasi



(memaksimalkan



atau



memininumkan) tetapi hanya terbatas pada masalah-masalah yang dapat diubah menjadi fungsi linear. Secara khusus, persoalan program linear merupakan suatu persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variabel sehingga nilai fungsi tujuan atau objektif yang linear menjadi optimum (memaksimalkan atau meminimumkan) dengan memperhatikan adanya kendala yang ada, yaitu kendala yang harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear. Secara umum, tujuan umum perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimalkan laba. Tujuan dari unit organisasi lain yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya meminimalkan biaya. 1



1.2.



Rumusan masalah Adapun masalah yang akan dibahas pada materi ini adalah: 1. Apa itu metode grafik? 2. Apa saja langkah-langkah untuk menyelesaikan program linear dalam metode grafik? 3. Bagaimana cara menentukan solusi optimum dalam dua metode?



1.3.



Tujuan Tujuan dari penulisan makalah ini adalah : 1. Agar mahasiswa mengetahui pengertian metode grafik 2. Agar dapat menjabarkan langkah-langkah menyelesaikan program linear dengan metode grafik, dan 3. Mengetahui cara menentukan solusi optimum.



2



BAB II PEMBAHASAN (METODE GRAFIK) 2.1 Pengertian Metode Grafik Metode grafik merupakan metode yang cukup sedehana yang dapat digunakan sebagai pemecahan masalah proram linier. Seperti namanya, metode ini akan menggunakan grafik sebagai upaya penentuan keputusan yang optimal. Dimana, grafik akan digambar berdasarkan kendala-kendala dan fungsi tujuannya. Ada empat yang menjadi karakteristik metode grafik, yaitu: 1. Metode



ini



sangat



mudah



digunakan



untuk



menyelesaikan



permasalahan program linier dua variabel keputusan. 2. Metode ini sangat sulit diterapkan pada permasalahan yang memiliki tiga atau lebih variabel keputusan. Penggunaan grafik sangat membutuhkan imajinasi tinggi untuk mengetahui daerah solusinya. 3. Daerah penyelesaian akan selalu berada pada quadran pertama. 4. Pemahaman terhadap metode ini dapat sebagai pondasi awal untuk memahami metode yang lain dalam menentukan solusinya. Selain itu dapat membantu untuk memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy. Selain itu, setidaknya ada empat langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan menerapkan metode grafik, yaitu: 1. Identifikasi



dan



menetapkan



variabel



solusi



berdasarkan



permasalahan. 2. Menggambar garis koordinat baik garis vertikal maupun horizontal. Kemudian menggambar garis berdasarkan seluruh kendala-kendala yang ada.



3



3. Menentukan daerah solusi yang mungkin (feasible region). Dimana daerah solusi mesti terpenuhi oleh seluruh batasanbatasan dan tidak terkecuali batasan non negatif (non negativity). 4. Menentikan titik optimum baik dengan menggunakan garis isoprofit maupun metode koordinat titik.



2.2 Masalah Maksimasi Pada sub-bab ini akan dijelaskan bagaimana menyelesaikan suatu permasalahan maksimasi dengan menggunakan metode grafik. Contoh 2.1 Tentukan nilai optimum model UD Panglong Jaya dengan metode grafik. Fungsi tujuan: = 40 + 20 (dalam 10.000) Fungsi Kendala: 



x+y ≤ 100 (waktu pembuatan)







3x+y ≤ 180 (waktu pengecetan)







x≥ 0,y ≥ 0 (syarat non negatif).



Langkah-langkah penyelesaian: Langkah I. Identifikasi dan menetapkan variabel solusi. Pada permasalahan ini, produk yang akan dihasilkan adalah daun pintu dan jendela, sehingga perusahaan diperlukan menentukan seberapa banyak daun pintu dan jendela yang diproduksi agar dapat memaksimumkan keuntungan. Selanjutnya, dimisalkan bahwa variabel x mewakili jumlah daun pintu yang akan diproduksi sedangkan y mewakili jumlah jendela yang akan diproduksi. Sehingga, fungsi tujuan dapat diartikan sebagai berikut: 400.000 menyatakan total keuntungan yang diperoleh dari jumlah daun yang diproduksi. Sedangkan 200.000 menunjukkan total keuntungan berdasarkan jumlah jendela yang diproduksi.



4



Langkah II. Menggambar garis koordinat dan garis-garis berdasarkan kendala (batasan).







Menggambar garis koordinat, dimana sebagai garis horizontal dan sebagai garis vertikal.



 Menggambar garis berdasarkan batasan-batasannya. a. Asumsikan tidak ada waktu yang tersedia untuk pembuatan daun pintu (produksi daun pintu =0), sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah jendela yang diproduksi sebanyak 100 bauh. Sehingga titik potong nya adalah (x,y)=(0,100). Selanjutnya diasumsikan tidak ada waktu yang tersedia untuk memproduksi jendela, sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah pintu yang dapat diproduksi sebesar 100 daun. Adapun titik potongnya adalah (x,y)= (100, 0). b. Menggambar garis berdasarkan batasan dua. Lakukan hal yang sama seperti langkah diatas. Untuk x=0 maka y=180, sehingga titik potongnya adalah (x, y)= (0, 180). Untuk y=0, maka x=60. Adapun titik potongnya adalah (x, y)= (60, 0).



5



Langkah III. Menentukan daerah penyelesaian. Daerah penyelesaian diperoleh dengan cara menggambarkan setiap batasan



termasuk



batasan



non-negatif.



Daerah



penyelesaian



untuk



permasalahan UD Panglong Jaya ditunjukkan pada gambar 2.1



Gambar 2.1 Grafik dari Model UD Panglong Jaya



6



Langkah IV. Menentukan solusi optimum. Ada dua metode untuk menentukan nilai optimum berdasarkan daerah penyelesaian, yaitu dengan metode koordinat titik dan metode garis isoprofit. Berikut dijelaskan mengenai kedua metode tersebut. 



Metode koordinat titik dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum dengan cara mensubtitusikan pasangan titik (x, y) pada setiap sudut ABCD ke fungsi tujuannya. Setelah mendapatkan nilai fungsi objektif untuk setiap titik, maka nilai terbesar merupakan nilai optium untuk permasalahan memaksimumkan. Disisi lain, jika fungsi objektifnya adalah meminimumkan maka nilai optimumnya adalah nilai terkecil. Pada permasalahan ini, titik koordinatnya adalah A=(0, 0), B=(60, 0), C=(40, 60), dan D=(0, 100). Selanjutnya tentukan nilai Z untuk setiap titik koordinatnya. Untuk A=(0,0), maka Z = 40(0) + 20(0)(dalam 10.000) = Rp 0. Untuk B=(60, 0) maka Z = 40(60) +



20(0)(dalam 10,000) = Rp 24,000,000. Untuk C=(40, 60) maka Z = 40(40) + 20(60)(dalam 10,000) = Rp 28,000,000. Untuk



27



7



D=(0, 100) maka Z = 40(0) + 20(100)(dalam 10,000) = Rp 20,000,000. Karena fungsi objektifnya adalah memaksimumkan, maka nilai optimumnya adalah z=Rp 28,000,000 yang terletak pada titik koordinat C=(40, 60). Berarti dengan memproduksi 40 daun pintu dan 60 jendela akan memperoleh keuntungan sebesar 28,000,000. 



Metode yang ke-2 adalah metode garis Isoprofit (garis selidik). Seperti namanya, metode ini menggunakan sebuah garis yang ditarik sesuai fungsi tujuannya, dengan mengasumsikan keuntungan tertentu. Garis isoprofit ini tentu terbentuk dari banyak titik x dan y atau (x,y), dimana setiap pasangan titik pada baris ini akan menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama.



Untuk menentukan garis isoprofit, diasumsikan nilai fungsi tujuan adalah nilai konstanta tententu. Misal, = 40



+ 20



= . Selanjutnya,



diberikan gambar grafik dengan nilai konstanta 0 (titik asal).



8



Gambar 2.2 Grafik dimana garis isoprofit bernilai z=0



Setelah garis isoprofit berada di titik asal (0,0), selanjutnya garis tersebut digeser keatas dan sejajar dengan garis isoprofit sebelumnya. Misalnya,garis isoprofit digeser sehingga diperoleh nilai z=1000 (dalam 10,000). Grafiknya diperlihatkan pada gambar 2.3.



Gambar 2.3 Grafik dimana garis isoprofit bernilai z=1000



Ketika z=1000, masih ada daerah penyelesaian yang belum dilalui. Sehingga, garis isoprofit masih harus digeser ke atas mengikuti gradien isoprofit tersebut. Karena fungsi tujuannya adalah memaksimumkan, maka nilai z akan optimum pada titik terakhir garis isoprfit menyentuh daerah penyelesaian. Keadaan ini diperlihatkan pada gambar 2.4.



9



Gambar 2.4 Grafik dimana garis isoprofit bernilai z=2,800



10



Berdasarkan gambar 2.2, 2.3, dan 2.4, dapat dilihat bahwa dengan menggeser garis isoprofit tersebut menjauhi daerah asalnya, maka nilai z semakin besar dan menuju nilai optimum. Ketika z=2,800 (dalam 10,000) maka terlihat bahwa garis isoprofit



menyentuh



daerah



penyelesaian untuk terakhir kalinya. Apabila garis tersebut tetap digeser keatas mengikut gradiennya, maka ia akan



berada



diluar



daerah



penyelesaian. Ini menandakan bahwa permasalahan UD panglong Jaya optimum dengan nilai keuntungan sebesar



Rp



28,000,000.



Adapun



jumlah pintu yang mesti diproduksi sebanyak 40 daun sedangkan jumlah jendela sebanyak 60 daun. Sehingga dapat



disimpulkan



bahwa



permasalahan ini optimum dengan nilai



z=28,000,000



pada



titik



(x,y)=(40,60). 2.3 Masalah Maksimasi Dengan Autograph Perangkat lunak autograph merupakan perangkat yang dirancang sebagai alat bantu dalam belajar matematika. Perangkat lunak ini dirancang dengan kemampuan grafik baik 2 dimensi maupun 3 dimensi. Selain itu, autograph mampu digunakan untuk memvisualisasi suatu grafik statistik, fungsi, dan vektor yang sudah diplot. Tentu hal ini dapat digunakan untuk mempermudah memahami konsep pada materi tersebut. 11



Selanjutnya, autograph sangat membantu untuk menggambar grafik suatu sistem persamaan linier. Program ini mampu mensimulasi dari nilainilai z pada daerah penyelesaian dengan cara memplot garis isoprofit. Untuk lebih memahami akan dijelaskan langkah-langkah penggunaan software ini dalam menyelesaikan pemasalahan UD Panglong Jaya.



Langkah 1. Buka perangkat lunak autograph pada komputer. Lalu klik bagian File kemudian pilih “New 2D Graph Page”, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar 2.5.



12



Gambar 2.5 Gambar tampilan autograph Langkah 2. Mengatur daerah arsiran. Untuk mempermudah memahami hasil yang ditampilkan, ada baiknya daerah yang diarsir adalah daerah yang bukan penyelesaian. Untuk mengatur daerah tersebut maka terlebih dahulu pilih view pada menu, lalu pilih submenu preferences, klik bagian general. Setelah itu, pilih shade accept region atau shade Reject region pada menu inequalities. Terakhir, pilih advanced level atau Standard Level pada menu level.



Gambar 2.6 Gambar pengatuan daerah arsiran



13



Langkah 3. Atur sumbu x dan y sesuai kebutuhan. Hal ini dapat dilakukan dengan mengklik tombol Edit Exes, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.7.



14



Setelah mengklik tombol ini, maka akan muncul tampilan “Edit Axes Settings” seperti gambar 2.8.



Edit Exes



Gambar 2.7 Gambar bagian menu dan toolbar



15



Gambar 2.8 Tampilan Edit Axes Setting bagian Ranges



Aturlah bagian Ranges sesuai kebutuhan. Dimana, x menunjukkan pengaturan sumbu-x dan y adalah pengaturan terhadap sumbu-y. Selanjutnya, mengatur Spacing baik pada sumbu-x maupun y. Dimana bagian ini akan mengatur jarak untuk setiap nilai pada kedua sumbu tersebut. Selanjutnya, klik pada bagian Labels, sehingga akan muncul seperti gambar 2.9.



16



Gambar 2.9 Tampilan Edit Axes Setting bagian Labels



Bagian ini beguna untuk penamaan sumbu x dan y. Misalnya ketik “jumlah daun pintu” pada label x, dan “jumlah jendela” pada label y. vKemudian klik bagian Appearance, bagian ini berfungsi untuk mengatur tampilan sesuai yang diperlukan.



17



Gamba 2.10 Tampilan Edit Axes Setting bagian Appearance Graph Colours and Lines berfungsi untuk pengaturan warna dan ketebalan sumbu x dan y. Selain itu, warna Background juga dapat diatur sesuai keinginan. Setelah langkah 1 s.d 3 dilakukan maka akan muncul



Gambar 2.11 Tampilan setelah dilakukan pengaturan Langkah 4. Setelah melakukan pengaturan, selanjutnya plot setiap kenadala mengikuti langkah berikut: 4.1 Plot kendala x+y≤ 100 (kendala waktu pembuatan). Untuk memplot kendala ini, terlebih dahulu menekan menu Equation lalu pilih Enter Equation, sehingga akan muncul seperti gambar 2.12



18



Gambar 2.12 Tampilan Add Equation



19



Setelah muncul tampilan gambar 2.12, lalu ketik nama kendala pada bagian Name, misal kendala pertama dinamai dengan “waktu pembuatan”. Selanjutnya ketik kendala + ≤ 100 pada bagian Equation. Pengetikan simbol dapat menggunakan bar Add Equation yang disediakan. Setelah Name dan Equation diisi, selanjutnya akan muncul tampilan seperti gambar 2.13.



Gambar 2.13 Tampilan autograph setelah diplot kendala pertama



20



4.2 Lakukan langkah 3.1 untuk memplot kendala 2.14



Gambar 2.14 Tampilan autograph setelah diplot kendala ke-2



21



4.3 Plot batasan non-negative x≥0, dan y≥0 dengan mengikuti langkah 4.1. Setelah memplot kendala non-negative maka tampilan autograph akan muncul seperti gambar 2.15.



Gambar 2.15 Tampilan autograph setelah semua kendala diplot Langkah 5. Tambahkan text sesuai kebutukan. Misalnya, diperlukan text untuk menunjukkan daerah solusi, kendala waktu pembuatan, dan kendala waktu pengecetan. Untuk menambahkan text dapat dihasilkan dengan melakukan langkah-langkah berikut.  Klik menu Object lalu klik Text Box, sehingga akan muncul tampilan seperti gambar 2.16.



22



Gambar 2.16 Tampilan Edit Text Box



 Setelah muncul gambar 2.16, selanjutnya ketik teks sesuai yang diperlukan. Misalnya, ketik “daerah solusi” pada ruang text. Selanjutnya atur Alignment dan Style sesuai keperluan. Lakukan juga langakah-langkah ini untuk menambahkan text pada kendala waktu pembuatan dan kendala waktu pengecetan. Setelah langkah ini selesai maka akan muncul tampilan seperti gambar 2.17.



Gambar 2.17 Tampilan setelah penambahan text



Langkah 6. Memplot garis Isoprofit. Untuk memunculkan garis isoprofit darifungsi tujuan Memaksimumkan z = 40x + 20y (dalam 10.000) dapat dilakukan dengan langkah berikut: Klik menu Equation, pilih Edit Equation, lalu ketik “garis isoprofit” pada bagian name, dan 40x+ 20y=Z pada Equation. Kemudian atur Draw Options sesuai kebutuhan. Selanjutnya akan muncul tampilan berikut. 23



Gambar 2.18 Tampilan Edit Equation untuk memplot fungsi tujuan Setelah melakukan pengisian Edit Equation, kemudian klik Ok sehingga tampilan garis isoprofit akan ditunjukkan seperti gambar 2.19.



Gambar 2.19 Tampilan setelah garis isoprofit diplot 24



Langkah 7. Menentukan nilai optimum dengan garis isoprofit. Nilai optimum dapat diperoleh dengan metode garis isoprofit, yaitu dengan cara mensimulasi garis tersebut sehingga menyentuh titik optimum. Misalnya, pada permasalahan UD Panglong Jaya, karena fungsi tujuannya adalah memaksimumkan, maka kondisi optimum tercapai apabila garis isoprofit menyentuh titik tertentu pada saat variabel z menunjukkan nilai terbesar. Adapun tatacara simulasi garis isoprofit dapat dilakukan sebagai berikut. 7.1 Klik pada menu Constant Controller, sehingga muncul tampilan sebagai berikut.



Menu Constant Controller



Gambar 2.20 Tampilan Menu Constant Controller 7.2 Klik Options sehingga muncul tampilan Edit Constant Option sebagai berikut.



25



Gambar 2.21 Tampilan Edit Constant Option



Setelah muncul tampilan Edit Constant Option, selanjutnya tersedia 3 jenis pilihan yaitu; Manual, Family Plot, dan Animation. Untuk mensimulasi nilai z dengan garis isoprofit maka pilih Animation.



7.3 Atur Parameters dengan mengisi Start, Finish, dan Step. Kemudian isi sesuai keperluan Stat, Finish, dan Number pada baris kedua. Berikut ini diperlihatkan Edit Constant Options setelah parameters diatur sesuai besarnya nilai-nilai konstanta dan nilai-nilai sebelah kanan. Misalnya, untuk permasalahan UD Panglong Jaya ketik 0 pada start, 3000 pada Finish, dan 100 pada step. Ini berarti garis isoprofit akan bergerak dimulai pada titik asal atau titik (0,0), kemudian akan berhenti pada nilai z=3000. Selain itu, garis ini akan melangkah sejauh 100 satuan untuk setiap lagkahnya. Berikut ini ditunjukkan gambar seteleah pengaturan parameters.



26



Gambar 2.22 Edit Constant Options setelah pengaturan Parameters



27



7.4 Mensimulasi garis Isoprofit. Untuk menentukan nilai optimum pada permasalahan ini, maka perlu dilakukan simulasi terhadap garis isoprofitnya. Hal ini dilakukan dengan cara mengklik tombol Play pada Constant Controller, seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.21.



Gambar 2.23 Tampilan ketika garis Isoprofit pada titik asal (z=0) Setelah mengklik tombol Play, selanjutnya perhatikan pergerakan garis Isoprofit selama melewati daerah penyelesaian. Gambar 2.24 menunjukkan garis isoprofit bergerak mencapai nilai z=1000.



28



Gambar 2.24 Garis Isoprofit mencapai nilai z=1000



29



Karena daerah penyelesaiaan belum semua dilalui oleh garis isoprofit, maka tekan tombol Play untuk menlanjutkan pergerakan garis tersebut. Karena fungsi objektif permasalahan ini adalah memaksimumkan, maka klik tombol stop pada Constant Controller pada saat muncul nilai z terbesar. Biasanya, nilai z terbesar akan muncul ketika garis isoprofit menyentuh daerah penyelesaian untuk terakhir kalinya.



Gambar 2.25 Garis Isoprofit menunjukkan nilai z=2800 Gambar 2.25 memperlihatkan bahwa garis Isoprofit menyentuh daerah penyelesaian terakhir kalin pada saat nilai z=2800 (dalam 10,000). Berdasarkan gambar tersebut diketahui bahwa nilai x dan y merupakan perpotongan kedua garis kendala. Sehingga dapat disimpulkan, permasalahan UD Panglong Jaya optimum pada saat nilai x=40, y=60 dan z=Rp28,000,000.



30



2.4 Masalah Minimasi Secara umum untuk menyelesaikan permasalahan maksimasi maupun minimasi memiliki cara yang sama. Perbedaan hanya terdapat pada langkah 4, yaitu bagaimana cara untuk menentukan nilai optimumnya. Contoh 2.2 Tentukan solusi optimum Program Diet Dr. Farras dengan metode grafik. Fungsi tujuan: Minimumkan Z = 20x + 30y (dalam 1000) Dengan Batasan:  5x + 20y ≥ 60 (batasan minimum protein dikonsumsi)  6x + 4y ≥ 30 (batasan minimum lemak dikonsumsi)  10x + 5y ≥ 40 (batasan minimum karbohidrat dikonsumsi)  x≤ 8 (batasan maksimal kue keju dikonsumsi)  y≤ 12 (batasan masksimal kue madu yang boleh dikonsumsi)  x≥ 0, y ≥ 0 (sarat non negatif) Setelah mengikuti langkah 1 s.d langkah 3 metode grafik, maka diperoleh hasil seperti gambar 2.26.



31



`



Gambar 2.26 Grafik dari model masalah diet Dr. Farras Setelah daerah penyelesaian permasalahan diperoleh, selanjutnya adalah



menentukan nilai optimumnya dengan cara mengikuti langkah 4. Langkah 4. Menentukan Nilai Optimum. Menentukan nilai optimum pada masalah minimasi dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode koordinat titik dan metode garis isoprofit. 4.1. Metode Koordinat Titik Metode koordinat titik dilakukan dengan cara mensubtitusikan seluruh titik (x,y) pada poligon ABCDEF ke fungsi tujuan = 20



+ 30



(dalam



1000). Berdasarkan gambar 2.26, diketahui titik-titik sudut (x,y) poligon ABCDE terletak pada A(0,8), B(1,6), C(3,6 , 2,1), D(8,1), E(8,12), dan F(0,12). Nilai fungsi objektif z untuk masing-masing titik tersebut adalah:  untuk titik A(0,8), maka nilai Z = 20(0) + 30(8) = 240  untuk titik B(1,6), maka nilai Z= 20(1) + 30(6) = 200  untuk titik C(3.6,2.1), maka nilai Z= 20(3,6) + 30(2,1) = 135  untuk titik D(8,1), maka nilai Z = 20(8) + 30(1) = 190  untuk titik E(8,12), maka nilai Z = 20(8) + 30(12) = 520  untuk titik F(0,12) maka nilai Z = 20(0) + 30(12) = 360 Berdasarkan nilai fungsi objektif diatas, diperoleh nilai terkecil terletak pada titik C(3.6 , 2.1), dimana Z sebesar Rp135.000. Dapat disimpulkan untuk memenuhi kebutuhan protein, karbohidrat, dan lemak pada program diet tersebut, maka Ibu Dewi memerlukan biaya paling tidak sebesar Rp135,000 dengan jumlah kue keju dan kue madu yang perlu dibeli adalah sebanyak 3.6 dan 2.1 buah. 32



4.2. Metode Garis Isoprofit Klik menu Equation, lalu ketik “garis isoprofit” pada bagian name, dan 20x+ 30y = z pada Equation. Kemudian atur Draw Options sesuai kebutuhan. Setelah pengaturan selesai, maka dihasilkan gambar 2.27



Gambar 2.27 Tampilan ketika garis Isoprofit berada pada titik asal Setelah garis isoprofit berhasil diplot, selanjutnya ditentukan nilai optimum dengan mensimulasi garis isoprofit tersebut dengan cara mengklik tombol Play pada Constant Controller. Garis ini akan bergerak dari titik asal (0,0) menuju keatas. Kemudian nilai optimum akan tercapai ketika garis isoprofit menyentuh daerah penyelesaian untuk pertama kalinya.



33



Gambar 2.28 Tampilan ketika garis Isoprofit berada pada titik optimum



Berdasarkan posisi garis isoprofit, terlihat bahwa garis ini menyentuh daerah penyelesaian untuk pertama kali. Pada kondisi ini nilai optimum telah tercapai pada titik C(3.6 , 2.1), dan z=135 (dalam 1000).



2.5 Keganjilan Metode Grafik Setidaknya ada 3 jenis kondisi khusus yang ditemukan pada permasalahan program linier jika ditinjau dari gambar dan penyelesaian yang dihasilkan. Idealnya suatu permasalahan program linier akan memiliki daerah penyelesaian dan solusi yang unik, seperti pemecahan masalah Program Diet Dr. Farras. Namun, akan ditemukan suatu keganjilan pada permasalahan program linier, yaitu: (1) terdapat alternatif solusi (solusi optimum lebih dari satu), (2) tidak memiliki solusi optimum, (3) memiliki solusi tak hingga. 2.5.1 Memiliki solusi alternatif Ketika garis isoprofit disimulasi pada daerah layak suatu permasalahan pemrograman linier, kemudian terdapat lebih dari satu titik yang menghasilkan nilai optimum, maka kondisi sepeti ini disebut memiliki solusi optimum alternatif. Contoh 2.3 Maksimumkan z=4x+8y Dengan Kendala: 10x+12y≤120 ; x+2y≤16 ; y≤6, x≤6 ; x ≥ 0, y ≥ 0



34



Gambar 2.29 Daerah solusi dan titik pojok Untuk menentukan nilai optimum, maka terlebih dahulu garis isoprofit (garis selidik) disimulasi disepanjang daerah penyelesaian. Setelah garis selidik bergerak disepanjang daerah layak, maka diperoleh nilai optimum pada titik C(4,6), yang menghasilkan nilai z=64. Selain itu, terdapat titik alternatif D(6,5) yang menghasikan nilai z yang sama yaitu z=64. 2.5.2 Tanpa solusi optimum Contoh 2.4 Maksimumkan z = x + y Dengan Kendala : x + y ≤ 1 ; –4x + y ≥ 4 ; x ≥ 0, y ≥ 0



Gambar 2.30 Daerah solusi setelah kendala 1 dan 2 diplot Berdasarkan gambar 2.30 diketahui bahwa permasalahan program linier tersebut belum memiliki daerah solusi yang layak.



35



Gambar 2.31 Daerah solusi setelah semua kendala diplot Berdasarkan gambar 2.30 dan 2.31 diatas menunjukkan bahwa permasalahan program linier tersebut tidak memiliki daerah solusi yang layak. Oleh karena itu, permasalahan program linier seperti ini tidak akan menghasilkan solusi yang optimum. 2.5.3 Solusi optimum tak terbatas Pada permasalahan program linier ini, terdapat daerah penyelesaian yang layak, akan tetapi nilai z dapat ditingkatkan secara terus menerus tanpa terbatas dengan mengganti nilai variabel keputusannya. Fungsi objektif dapat meningkat atau menurun tanpa batas. Pada kasus seperti ini terdapat daerah solusi layak, akan tetapi nilai fungsi objektifnya tidak terbatas. Contoh 2.5 Maksimumkan z = 3x + y Dengan Kendala : x+2y ≥ 3 ; 2x–y ≥ 0 ; x≥0, y ≥ 0



36



Gambar 2.32 Daerah solusi setelah kendala 1 dan 2 diplot Gambar 2.32 menunjukkan bahwa permasalahan program linier tersebut mempunyai daerah solusi yang layak, yaitu pada daerah B. jika kedua variabel x dan y terus ditingkatkan, maka fungsi objektifnya juga akan terus meningkat seiring peningkatan varibel keputusannya



37



BAB III PENTUP 3.1 Kesimpulan Metode grafik merupakan salah satu metode yang dapat digunakan sebagai pemecahan masalah proram linier. Ada empat langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan menerapkan metode grafik, yaitu: 1. Identifikasi dan menetapkan variabel solusi berdasarkan permasalahan 2. Menggambar garis koordinat baik garis vertikal maupun horizontal. Kemudian menggambar garis berdasarkan seluruh kendala-kendala yang ada 3. Menentukan daerah solusi yang mungkin (feasible region). Dimana daerah solusi mesti terpenuhi oleh seluruh batasan-batasan dan tidak terkecuali batasan non negatif (non negativity) 4. Menentikan titik optimum baik dengan menggunakan garis isoprofit maupun metode koordinat titik. Ada dua metode untuk menentukan nilai optimum berdasarkan daerah penyelesaian, yaitu dengan metode koordinat titik dan metode garis isoprofit. Berikut dijelaskan mengenai kedua metode tersebut. 



Metode koordinat titik dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum dengan cara mensubtitusikan pasangan titik (x, y) pada setiap sudut ABCD ke fungsi tujuannya. Setelah mendapatkan nilai fungsi objektif untuk setiap titik, maka nilai terbesar merupakan nilai optium untuk permasalahan memaksimumkan. Disisi lain, jika fungsi objektifnya adalah meminimumkan maka nilai optimumnya adalah nilai terkecil.







Metode yang ke-2 adalah metode garis Isoprofit (garis selidik). Seperti namanya, metode ini menggunakan sebuah garis yang ditarik sesuai fungsi tujuannya, dengan mengasumsikan keuntungan tertentu. Garis isoprofit ini tentu terbentuk dari banyak titik x dan y atau (x,y), dimana setiap pasangan titik pada baris ini akan menghasilkan nilai fungsi objektif yang sama.



38



3.2 Saran Penulis menyadari bahwasannya makalah ini masih terdapat banyak kekurangannya. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diperlukan untuk menyempurnakan makalah ini agar lebih baik lagi. Semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan dan wawasan mendalam bagi penulis khususnya dan bagi pembaca umumnya.



39



DAFTAR PUSTAKA Siregar,B.H., dan Abil Mansyur. 2020. PROGRAM LINIER DAN APLIKASINYA PADA BERBAGAI SOFTWARE. Bumi Aksara : Medan



40