Makalah Program Linear [PDF]

Citation preview

MAKALAH KELOMPOK 11 “Masalah transportasi dengan tabel awal menggunakan metode biaya minimum dan penyelesaian menggunakan metode MODI (Modified Distribution Method)”



DOSEN PENGAMPU: Dr. Nizlel Huda, M.Kes



Disusun Oleh : Dilla Maharani (A1C218022) Marlan Freddy Manurung (A1C218088)



Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jambi 2020 1



BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini, perusahaan perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan iu, salah salu diantaranya pemrograman linear (Eddy, 2008) Metode Transpoitasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber sumber yang menyediakan produk - produk yang sama di tempattempat yang membutuhkan secara optimal. Menurut Handoko (2000: 77), metode transportasi adalah suatu teknik riset operasional (operation research) yang sangat membantu dalam pembuatan keputusan-keputusan mengenai lokasi pabrik dan/atau gudang. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya transportasi (alokasi) dari suatu sumber ke beberapa tujuan yang berbeda-beda dan dari beberapa sumber ke suatu tujuan juga berbeda-beda. Metode transportasi merupakan cara perhitungan agar mendapatkan alokasi yang optimal dengan tujuan meminimumkan biaya transportasi. Dalam menggunakan metode transportasi, perusahaan diharapkan dapat mencari rute distribusi yang akan mengoptimalkan tujuan tertentu, misalnya, meminimumkan total biaya transportasi, memaksimumkan laba, atau meminimumkan waktu yang digunakan. Adapun tujuan metode transportasi adalah penjadwalan pengiriman dari sumber ke tujuan sehingga biaya transportasi dan produksi itu minimum. Jadi, metode transportasi berusaha untuk menemukan penyelesaian yang layak secara bertahap untuk mencapai biaya transportasi yang minimum (Wijaya, 2010: 99-100). Metode transportasi tidak hanya digunakan dalam pendistribusian barang (komoditas) dari daerah sumber menuju daerah tujuan. Metode transportasi juga dapat digunakan dalam mengoptimalkan sistem produksi dan perencanaan produksi. Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah: 1. Level suplai setiap daerah sumber dan level permintaan pada setiap daerah tujuan untuk kasus pendistribusian barang, jumlah produksi dan jumlah permintaan (kapasitas inventor) pada kasus perencanaan produksi. 2. Biaya transportasi per unit komoditas dari setiap daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan pada kasus pendistribusian, biaya produksi dan inventori per unit pada kasus perencanaan produksi.



2



Ada tiga macam metode dalam metode transportasi 1. Metode Siepping Stone 2. Metode Modi ModifiedDistribution) 3. MetodeVAM (Vogel'sApproximationMethod) Pada makalah ini hanya akan dibahas mengenai metode transportasi dengan metode Modi



1.2 Rumusan Masalah 1.2.1



Bagaimana cara menentukan tabel awal biaya minimum?



1.2.2



Bagaimana cara menetukan solusi optimum transportasi dengan metode modi?



1.3 Tujuan 1.3.1



Menentukan cara membentuk tabel awal biaya minimum



1.3.2



Dapat menentukan solusi optimum transportasi dengan metode modi



3



BAB II PEMBAHASAN



2.1 Membentuk Tabel Awal Transportasi Metode Biaya Minimum Metode biaya terkecil berusaha mencapai tujuan minimisasi biaya dengan alokasi sistematik kepada kotak-kotak sesuai dengan besarnya biaya transportasi per unit. Langkah-langkah metode ini adalah: 1. Pengisian atau pengalokasian sel dimulai dengan mengisi sel yang memiliki biaya terendah. 2. Besarnya sel yang akan diisi disesuaikan dari kapasitas dan permintaan sebesar mungkin. 3. Jika kapasitas atau permintaan telah terpenuhi jumlahnya, maka pada perhitungan selanjutny baris atau kolom kapasitas atau permintaan yang sudah terpenuhi tersebut tidak ikut dalam alokasi berikutnya. 4. Ulangi langkah tersebut sampai kapasitas dan permintaannya terpenuhi. 2.2 Menentukan Solusi Optimum Transportasi dengan Metode Modi Dalam menentukan solusi optimum transportasi denga metode modi ada beberapa langkah pengerjaan yaitu: 1. Memberikan angka untuk masing-masing sumber dan tujuan transportasi, dengan ketentuan sebagai berikut : Angka untuk sumber yang diletakan pada baris pertama tabel transportasi adalah 0. ➔ Pemberian angka bergantung kepada sel yang sudah terisi pada solusi awal, sementara sel yang belum terisi (sel yang diberi tanda strip), dapat diabaikan. ➔ Jumlah dari angka yang diberikan pada suatu sumber dan tujuan harus sama dengan biaya yang ditimbulkan dari pendistribusian sumber ke tujuan tersebut. 2. Melakukan pengujian terhadap sel yang belum terisi (uji sel kosong) dengan cara mengurangi biaya pada sel kosong tersebut dengan angka yang sudah diberikan kepada sumber dan tujuan dari sel tersebut. 3. Jika hasil dari uji sel kosong ada yang memberikan angka negatif, maka solusi MODI yang dikerjakan dianggap belum optimal dan akan dipilih hasil uji sel kosong yang memberikan angka negatif terbesar. 4. Pada sel kosong yang memberikan angka negatif terbeasr tersebut, akan dilakukan pendekatan metode Stepping Stone, yaitu dengan :



4



➔ Mengamati lompatan yang dapat dilakukan pada tabel kosong tersebut dan memilih unit terkecil pada lompatan yang bernilai negatif, dan menambahkan unit tersebut pada lompatan yang bernilai positif, serta mengurangkan unit tersebut pada lompatan yang bernilai negatif. 5. Membuat tabel transportasi baru yang sudah disesuaikan, dan mengulangi langkah 2 dan 3, hingga tidak ditemukan angka negatif pada pengujian sel kosong. 6. Jika sudah tidak ada angka negatif, maka tabel transportasi dianggap sudah optimal dan sudah memberikan biaya minimum. 7. Menghitung biaya transportasi yang dihasilkan dengan cara menjumlahkan hasil kali dari jumlah unit dan biaya pada masing-masing sel.



2.3 Masalah Produksi Dan Distribusi Contoh berikut ini merupakan masalah transportasi yang akan dibahas pada bagian ini. PT Elteha, memiliki tiga pabrik yang terletak di lokasi yang berbeda,. Hasil produksi ketiga pabrik akan dialokasikan ketiga daerah pemasaran yaitu daerah A, B dan C. Kapasitas produksi per bulan ketiga pabrik tersebut adalah 106 unit, 132 unit dan 127 unit. Sedangkan jumlah permintaan ketiga daerah pemasaran masing-masing 122 unit, 152 unit dan 91 unit. Biaya transportasi dari pabrik 1 ke daerah pemasaran A sebesar Rp.32.000. Biaya transportasi dari pabrik 1 ke daerah pemasaran B sebesar Rp.33.000. Biaya transportasi dari pabrik 1 ke daerah pemasaran C sebesar Rp.34.000. Biaya transportasi dari pabrik 2 ke daerah pemasaran A sebesar Rp.36.000. Biaya transportasi dari pabrik 2 ke daerah pemasaran B sebesar Rp.42.000. Biaya transportasi dari pabrik B ke daerah pemasaran C sebesar Rp.38.000. Biaya transportasi dari pabrik 3 ke daerah pemasaran A sebesar Rp.34.000. Biaya transportasi dari pabrik 3 ke darah pemasaran B sebesar Rp.37.000. Biaya transportasi dari pabrik 3 ke darah pemasaran C sebesar Rp.40.000. Tabel 2.3 Biaya Transportasi (dalam ribu rupiah) Daerah Pemasaran Pabrik A



B



C



1



32



33



34



2



36



42



38



3



34



37



40



2.4 Formulasi Linear Programming



5



2.4.1 Variabel Keputusan Persamaan berikut menunjukkan jumlah produk yang akan dialokasikan dari pabrik ke daerah pemasaran X1A X1B X1C X2A X2B X2C X3A X3B X3C



= Dari Pabrik 1 ke daerah pemasaran A = Dari Pabrik 1 ke daerah pemasaran B = Dari Pabrik 1 ke daerah pemasaran C = Dari Pabrik 2 ke daerah pemasaran A = Dari Pabrik 2 ke daerah pemasaran B = Dari Pabrik 2 ke daerah pemasaran C = Dari Pabrik 3 ke daerah pemasaran A = Dari Pabrik 3 ke daerah pemasaran B = Dari Pabrik 3 ke daerah pemasaran C



2.4.2 Fungsi Tujuan Min Z = 32X1A + 33X1B + 34X1C + 36X2A + 42X2B + 38X2C + 34X3A + 37X3B + 40X3C 2.4.3 Kendala Untuk meminimumkan fungsi tujuan tersebut, harus memperhatikan hal-hal berikut: 1. Kendala tempat asal (Pabrik) 1) X1A + X1B + X1C 2) 3)



= 106 = 132 = 127



X2A + X2B + X2C X3A + X3B + X3C



2. Kendala tempat Tujuan (daerah pemasaran) 1) X1A 2) 3)



+ X2A X1B



+ X3A + X2B



X1C



+ X3B + X2C



+ X3C



= 122 = 152 = 91



Secara lengkap formulasi LP masalah PT Elteha adalah sebagai berikut: Min Z = 32X1A + 33X1B + 34X1C + 36X2A + 42X2B + 38X2C + 34X3A + 37X3B + 40X3C Dengan Kendala: 1) X1A + X1B + X1C 2) X2A + X2B + X2C 3) X3A + X3B + X3C 4) X1A + X2A + X3A 5) X1B + X2B + X3B 6) X1C + X2C + X3C



= 106 = 132 = 127 = 122 = 152 = 91 6



7) X1A , X1B , X1C , X2A , X2B , X2C , X3A , X3B , X3C



≥0



2.5 Langkah-Langkah Penyelesaian Transportasi Gambar 2.5 Ikhtisar Langkah-Langkah Transportasi Membentuk Tabel Awal Transportasi yang fessible Langkah 2



Apakah Tabel sekarang sudah Optimum?



Ya



STOP



Tidak



Pindah ke langkah 2, hingga mendapatkan hasil yang fessible



2.6 Membentuk Tabel Awal Transportasi Pada Bagian ini, kita akan menyelesaikan Contoh 1 masalah PT Elteha dengan membentuk tabel awal yang fessible dengan langkah Least Coast Method ( Metode Biaya Minimun ) dan kemudian nantinya tabel tersebut di optimumkan dengan Modified distribution Method ( MODI) Least Coast Method (Metode Biaya Minimum) Sebelum Membentuk tabel awal yang fessibel, berikut adalah tabel yang Diketahui dari permasalahan PT Elteha:



7



Ke



Tabel 2.6 Tabel Produksi-Permintaan PT Elteha Tujuan A



Dari



Sumber



P1



P2



P3



B



C



32



33



34



36



42



38



34



37



40



Permintaan



122



152



Produksi



106



132



127



91



365



Membentuk tabel awal yang fessibel dengan metode biaya minimum, dilakukan dengan aturan sebagai berikut: 2.6.1 Pilih biaya per unit terkecil dalam setiap sel. Pada kasus PT Elteha biaya terkecil pada sel P1A yaitu sebesar 32. Kemudian alokasikan sebanyak mungkin barang ke sel P1A, dengan memilih jumlah minimum antara P1 dan permintaan daerah A. P1 = 106 unit, sedangkan daerah A membutuhkan barang sebanyak 122 unit. Berarti P1 mengalokasikan barang sebanyak 106 unit ke daerah A, atau P1A = 106 Tabel 2.6.1 Tabel Alokasi P1A Tujuan



Ke A



Dari



Sumber



106



P1



P2



P3



Permintaan



32



B 33



C



Produksi



34 106



36



42



38 132



34



37



40 127



122



152



91



365



8



2.6.2 Langkah selanjutnya adalah memilih biaya terkecil berikutnya, oleh karena barang di P1 telah dialokasikan semuanya ke daerah A, Berarti kita harus memilih biaya terkecil di bari P2 dan baris P3. Sel P3A adalah yang paling kecil dengan biaya 34. Oleh karena daerah A telah mendapatkan alokasi dari P1 sebesar 106 unit, maka daerah A masih membutuhkan sebanyak 16 unit yang harus diperoleh dari P3. Berarti P3 mengalokasikan barang sebanyak 16 unit ke daerah A, atau P 3A = 16 unit. Tabel 2.6.2 Tabel Alokasi P3A Tujuan



Ke A



Dari



Sumber



106



P1



P2



P3



B



32



33



C 34



106 36



42



38 132



34



37



40 127



16



Permintaan Ket :



Produksi



122



152



91



365



daerah yang barangnya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan barang.



2.6.3 Langkah berikutnya adalah mencari sel biaya terkecil yang belum memiliki alokasi yaitu sel P3B sebesar 37. Barang yang masih tersisa di P 3 sebanyak 127-16 = 111 unit, sedangkan daerah B membutuhkan barang sebanyak 152 unit. Berarti P 3 mengalokasikan barang ke daerah B sebesar 111 unit, atau P3B = 111 unit.



Tabel 2.6.3 Tabel Alokasi P3B 9



Ke



Tujuan A



Dari



Sumber



106



B



32



P1



33



C 34



106 36



P2



42



38 132



34



P3



37



40 127



111 16



Permintaan Ket :



Produksi



122



152



91



365



daerah yang barangnya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan barang.



2.6.4 Langkah slenajutnya adalah mencasri sel yang memiliki biaya terkecil berikutnya dan belum memilki alokasi yaitu sel P2C sebesar 38. Barang di P2 sebesar 132 unit, sedangkan daerah C membutuhkan sebanyak 91 unit. Oleh Karena itu P 2 mengalokasikan ke daerah C sebesar 91 unit, atau P2C = 91 unit. Tabel 2.6.4 Tabel Alokasi P2C Tujuan



Ke A



Dari



Sumber



106



P1



P2



32



B 33



C 34



106 36



42



38 132



91



P3



34



37



40 127



111 16



Permintaan Ket :



Produksi



122



152



91



365



daerah yang barangnya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan barang.



10



2.6.5 Terakhir adalah sel P2B, dimana barang di P2 belum dialokasikan sebesar 41 unit, sedangkan permintaan daerah B masih membutuhkan barang sebesar 41 unit. Berarti P2B = 41 unit. Tabel 2.6.5 Tabel Alokasi P2B Ke Tujuan Produksi A B C Dari



Sumber



106



91



16



32



P1



34 106



36



P2



42



38 132



41



34



P3



37



40 127



111



Permintaan Ket :



33



122



152



91



365



daerah yang barangnya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan barang. Tabel Awal transportasi metode Biaya minimum diperlihatkan pada tabel berikut: Tabel 2.6.6 Tabel Awal Metode Biaya Minimum PT Elteha Ke Tujuan A



Dari



Sumber



106



P1



P2



32



B 33



C 34



106 36



42



38 132



41 91



P3



34



37



40 127



111 16



Permintaan



Produ ksi



122



152



91



365



Dan jika kita hitung total biaya transportasi dengan metode biaya minimum, menghasilkan total biaya sebesar: Z = 106(32) + 41(42) + 91(38) + 16(34) + 111(37) = 13.223. (dalam ribu rupiah). 11



2.7 Menentukan Solusi Optimum Transportasi Setelah kita menentukan tabel awal yang fessibel dengan metode Biaya Minimum, selanjutnya adalah menguji apakah tabel awal tersebut sudah optimum. Metode yang digunakan kali ini adalah Modified distribution method (Metode MODI) Pengoperasian metode MODI dalam menyelesaikan masala transportasi, prinsip dasarnya sama dengan metode yang lain. Perbedaannya terletak pada pengujian nilai sel bukan basis untuk menentukan apakah tabel udah optimum. Dalam metode batu loncatan, pengujian nilai sel bukan basis dilakukan dengan membuat jalur tertutup (closed path). Dalam metode MODI tidak menggunakan jalur tertutup, kecuali pada saat menentukan sel yang akan keluar basis (perpindahan tabel). Untuk mencari nilai sel bukan basis berdasarkan metode MODI, dilakukan dengan cara menambahkan satu baris katakanlah Kj yang menyatakan setiap kolom K1, K2, K3, … , Kj dan menambahkan satu kolom katakanlah Ri yang menyatakan nilai setiap baris R1, R2, R3, … , Ri Nilai Kj dan Ri yang dicari hanya untuk sel basis, dengan menggunakan rumus: Ri + Kj = Cij Ket : Cij = Biaya angkut per satuan dari tempat asal (i) ke tempat tujuan (j). Sedangkan untuk mencari nilai sel bukan basis digunakan rumus: Cij – RI – Kj Langkah – Langkah Metode MODI 2.7.1 Langkah awal metode MODI dapat dimulai dari tabel awal metode biaya minimum. Mari kita lihat dari tabel awal biaya minimum PT Elteha



Tabel 2.7.1 Tabel Pra Metode MODI PT Elteha K1 K2 Ke



Tujuan



K3 Prod 12



Dari



P1



R1



41



R



3 111 16



Sumber



106



R291



A



P2



P3



Permintaan



32



B 33



C



uksi



34 106



36



42



38 132



34



37



40 127



122



152



91



365



2.7.2 Langkah Selanjutnya adalah dengan menghitung nilai Sel Basis dan Sel Bukan Basis Nilai Kj dan Ri pada Tabel 6.1 dihitung dengan cara sebagai berikut: Sel Basis : 1) P1A = R1 + K1 = 32 4) P3A= R3 + K1 = 34 2) P2B = R2 + K2 = 42 5) P3B = R3 + K2 = 37 3) P2C = R2 + K3 = 38 Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K1 = 32 4) R2 + K2 = 42 K1 = 32 R2 + 35 = 42 2) R3 + K1 = 34 R2 = 7 R3 + 32 = 34 5) R2 + K3 = 38 R3 = 2 7 + K3 = 38 3) R3 + K2 = 37 K3 = 31 2 + K2 = 37 K2 = 35 Selanjutnya adalah mencari nilai sel bukan basis Sel Bukan Basis: 1) P1B = 33 – R1 – K2 3) P2A = 36 – R2 – K1 = 33 – 0 – 35 = 36 – 7 – 32 = -2 = -3 2) P1C = 34 – R1 – K3 4) P3C = 40 – R3 – K3 = 34 – 0 – 31 = 40 – 2 – 31 =3 =7 Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Awal Metode MODI PT Elteha Tabel 2.7.2 Tabel Awal Metode MODI PT Elteha K1 = 32 K2 = 35 K3 = 31 13



Ke



Tujuan A



Dari P1



R1= 6



B



32



33



C 34



-2



3



106



R241 =7 91



R16 2 3= 111



Sumber



106



P2



P3



Permin taan



36



42



Prod uksi



38



-3



132



34



37



40 7



122



152



127 91



365



2.7.3 Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sedangkan pada tabel masih ada dua sel yang bernilai negative. Oleh Karena sel P 2A memiliki nilai negative terbesar yaitu -3, maka pada tabel berikutnya P2A menjadi sel basis. Untuk menentukan sel yang akan keluar basis, terlebih dahulu harus dibuat jalur tertutup P2A. Dari Jalur tertutup tersebut, sel yang akan keluar basis adalah sel yang bertanda negative dan memiliki jumlah unit terkecil.



Tabel Jalur tertutup P2A Tujuan



Ke Dari



A



B 14



Sumber



41



P2



16 111



P3



36



42



+



-



34



37



-



+



Dalam tabel diatas nilai sel bertanda negatif dan memiliki unit terkecil adalah P3A = 16. Sehingga tabel berikutnya adalah sebagai berikut: Tabel 2.7.3 Tabel Hasil Perpindahan tabel jalur tertutup P2A K1 K2 K3 Ke



Tujuan A



Dari P1



R1



R 912 25



R



1273



Sumber



106



P2



32



B 33



C 34



106 36



42



38 132



16



P3



Permi ntaan



Prod uksi



34



37



40 127



122



152



91



365



Untuk menentukan Sel Basis diatas didapatkan dengan cara beriukut ini: P2C = 91 P1A = 106 P3A = 16 P2B = 132 – 91 – 16 = 25



P3B = 152 – 25 = 127 P3A = 127 – 127 =0



2.7.4 Selanjutnya apakah tabel 2.7.3 sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaannya tersebut, lakukan kembali pencarian nilai Kj dan Ri seperti sebelumnya. Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0.



15



Sel Basis



: 1) P1A 2) P2A 3) P2B



= R1 + K1 = 32 = R2 + K1 = 36 = R2 + K2 = 42



4) P2C = R2 + K3 = 38 5) P3B = R3 + K2 = 37



Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K1 = 32 K1 = 32 2) R2 + K1 = 36 R2 + 32 = 36 R2 = 4



3) R2 + K3 = 38 4 + K3 = 38 K3 = 34 4) R2 + K2 = 42 4 + K2 = 42 K2 = 3



5) R3 + K2 = 37 R3 + 38 = 37 R3 = -1



Sel Bukan Basis: 1) P1B = 33 – R1 – K2 3) P3A = 34 – R3 – K1 = 33 – 0 – 38 = 34 + 1 – 32 = -5 =3 2) P1C = 34 – R1 – K3 4) P3C = 40 – R3 – K3 = 34 – 0 – 34 = 40 + 1 – 34 =0 =7 Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Kedua Metode MODI PT Elteha



Tabel 2.7.4 Tabel Kedua Metode MODI PT Elteha K1 = 32 K2 = 38 K3 = 34 Ke



Tujuan A



B



Prod C 16



Dari P1



R1= 0 Sumber



106



R2= 4 91 25



P2



32



33



36



uksi



34



-5



42



0



38 132



16



P3



R127 3 = -1



106



34



37



40



3



Permint aan



122



152



7



127



91



365



2.7.5 Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sedangkan pada tabel masih ada satu sel yang bernilai negative, yaitu P 1B dengan nilai -5, maka pada tabel berikutnya P1B menjadi sel basis. Untuk menentukan sel yang akan keluar basis, terlebih dahulu harus dibuat jalur tertutup P1B. Dari Jalur tertutup tersebut, sel yang akan keluar basis adalah sel yang bertanda negative dan memiliki jumlah unit terkecil.



Tabel Jalur tertutup P1B Tujuan



Ke Dari Sumber



106



A



P1



16



P2



25



B



36



42



-



+



34



37



+



-



Dalam tabel diatas, nilai sel bertanda negatif dan memiliki unit terkecil adalah P2B = 25. Sehingga tabel berikutnya adalah sebagai berikut: Tabel 2.7.5 Tabel Hasil Perpindahan tabel jalur tertutup P1B K1 K2 K3 Ke



Tujuan A



B



C



Prod uksi



17



Dari P1



R1



R2 91



R



1273



Sumber



25 81



P2



32



33



34 106



36



42



38 132



41



P3



Permint aan



34



37



40 127



122



152



91



365



Untuk menentukan Sel Basis diatas didapatkan dengan cara beriukut ini: P2C = 91 P2A = 122 – 81 P3B = 127 = 41 P1B = 25 P2B = 132 – 91 – 41 P1A = 106 – 25 =0 = 81 2.7.6 Selanjutnya apakah tabel 2.7.5 sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaannya tersebut, lakukan kembali pencarian nilai Kj dan Ri seperti sebelumnya. Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sel Basis



: 1) P1A 2) P1B 3) P2A



= R1 + K1 = 32 = R1 + K2 = 33 = R2 + K1 = 36



4) P2C = R2 + K3 = 38 5) P3B = R3 + K2 = 37



Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K1 = 32 4) R2 + K3 = 38 5) R1 + K2 = 33 K1 = 32 4 + K3 = 38 0 + K2 = 33 2) R2 + K1 = 36 K3 = 34 K2 = 33 R2 + 32 = 36 5) R3 + K2 = 37 R2 = 4 R3 = 37 – 33 = 4 Sel Bukan Basis: 1) P2B = 42 – R2 – K2 3) P3A = 34 – R3 – K1 = 42 – 4 – 33 = 34 – 4 – 32 =5 = -2 2) P1C = 34 – R1 – K3 4) P3C = 40 – R3 – K3 = 34 – 0 – 34 = 40 – 4 – 34 =0 =2 18



Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Ketiga Metode MODI PT Elteha Tabel 2.7.6 Tabel Ketiga Metode MODI PT Elteha K1 = 32 K2 = 33 K3 = 34 Ke



Tujuan A



Dari P1



R1= 0



R2= 4



Sumber



25 81



P2



32



B 33



36



R3= 4



34



42



0



34



37



132 40



-2



127



Permint aan



122



106



38 5



91 41



P3



C



Prod uksi



152



2



127



91



365



2.7.7 Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sedangkan pada tabel masih ada satu sel yang bernilai negative, yaitu P3A dengan nilai -2, maka pada tabel berikutnya P3A menjadi sel basis. Untuk menentukan sel yang akan keluar basis, terlebih dahulu harus dibuat jalur tertutup P3A. Dari Jalur tertutup tersebut, sel yang akan keluar basis adalah sel yang bertanda negative dan memiliki jumlah unit terkecil.



81



41



25



Sumber



Dari P1



Tabel Jalur tertutup P3A Tujuan Ke A 32 33 +



B



19



36



42



34



37



+



-



P2



P3



127



Dalam tabel diatas, nilai sel bertanda negatif dan memiliki unit terkecil adalah P3A = 81. Sehingga tabel berikutnya adalah sebagai berikut: Tabel 6.7.2 Tabel Hasil Perpindahan tabel jalur tertutup P3A K1 K2 K3 Ke



Tujuan A



Dari P1



R1



R2 91



R3 81 46



Sumber



106



P2



32



B 33



C 34



106 36



42



38 132



41



P3



Permint aan



Produ ksi



34



37



40 127



122



152



91



365



Untuk menentukan Sel Basis diatas didapatkan dengan cara berikut ini: P2A = 41 P1B = 152 – 46 P2C = 91 = 106 P3A = 81 P1A = 106 – 106 P3B = 127 – 81 = 46 =0 2.7.8 Selanjutnya apakah tabel 2.7.7 sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaannya tersebut, lakukan kembali pencarian nilai Kj dan Ri seperti sebelumnya. Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sel Basis



: 1) P1B 2) P2A 3) P2C



= R1 + K2 = 33 = R2 + K1 = 36 = R2 + K3 = 38



4) P3A= R3 + K1 = 34 5) P3B = R3 + K2 = 37



20



Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K2 = 33 K2 = 33 2) R3 + K2 = 37 R3 + 33 = 37 R3 = 4 3) R3 + K1 = 34 4 + K1 = 34 K1 = 30 Sel Bukan Basis: 1) P1A = 32 – R1 – K1 = 32 – 0 – 30 =2 2) P1C = 34 – R1 – K3 = 34 – 0 – 32 =2



4) R2 + K1 = 36 R2 + 30 = 36 R2 = 6 5) R2 + K3 = 38 6 + K3 = 38 K3 = 32



3) P2B = 42 – R2 – K2 = 42 – 6 – 33 =3 4) P3C = 40 – R3 – K3 = 40 – 4 – 32 =4



Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Keempat Metode MODI PT Elteha



Tabel 2.7.8 Tabel Keempat Metode MODI PT Elteha K1 = 30 K2 = 33 K3 = 32 Ke



Tujuan A



R1= 0



Sum



Dari 32



B 33



C



Produ ksi



34



21



P1



R91 2= 6



R46 3= 4 81



ber



106



P2



2



2



36



42



P3



38 3



41



34



Permint aan



132



37



122



106



40



152



4



127



91



365



Tabel 2.7.8 diatas merupakan tabel transportasi optimum, karena semua sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Tabel optimum ini menghasilkan total biaya minimum dengan alokasi sebagai berikut: Dari Pabrik 1 ke daerah B sebanyak 106 unit sebesar Rp. 33; Dari Pabrik 2 ke daerah A sebanyak 41 unit sebesar Rp. 36; Dari Pabrik 2 ke daerah C sebanyak 91 unit sebesar Rp. 38; Dari Pabrik 3 ke daerah A sebanyak 81 unit sebesar Rp. 34; Dari Pabrik 3 ke daerah B sebanyak 46 unit sebesar Rp. 37; Total biaya Z minimum = 106(33) + 41(36) + 91(38) + 81(34) + 46(37) = 12.888 (dalam ribu rupiah) 2.8 Contoh Lain Masalah Produksi Dan Distribusi Destika Cake memiliki tiga pabrik kue yang terletak di lokasi yang berbeda,. Hasil produksi ketiga pabrik kue akan dialokasikan ketiga daerah pemasaran yaitu daerah Jambi, Medan dan Lampung. Kapasitas produksi per bulan ketiga pabrik tersebut adalah 120 kotak, 170 kotak dan 160 kotak. Sedangkan jumlah permintaan ketiga daerah pemasaran masing-masing 150 kotak, 210 kotak dan 90 kotak. Biaya produksi per kotak kue dari masing-masing pabrik kue besarnya sama yaitu Rp.50.000,00. Biaya transportasi per kotak dari pabrik kue ke lokasi pemasaran dapat dilihat dalam tabel 7 berikut ini (dalam ribuan rupiah) Tabel Biaya Transportasi Pabrik



Daerah Pemasaran J



M



L



P1



50



100



100



P2



200



300



200 22



P3



100



200



300



PENYELESAIAN: Membentuk Tabel Awal Least Coast Method (Metode Biaya Minimum) Sebelum Membentuk tabel awal yang fessibel, berikut adalah tabel yang Diketahui dari permasalahan Destika Cake: Tabel Produksi-Permintaan Destika Cake Ke Tujuan Produksi J M L Dari



Sumber



P1



P2



P3



50



100



100



200



300



200



100



200



300



Permintaan



150



210



120



170



160



90



450



Membentuk tabel awal yang fessibel dengan metode biaya minimum, dilakukan dengan aturan sebagai berikut: 1.



Pilih biaya per unit terkecil dalam setiap sel. Pada kasus Destika Cake biaya terkecil pada sel P1J yaitu sebesar 50. Kemudian alokasikan sebanyak mungkin kue ke sel P1J, dengan memilih jumlah minimum antara P1 dan permintaan daerah J. P1 = 120 kotak, sedangkan daerah J membutuhkan kue sebanyak 150 Kotak. Berarti P1 mengalokasikan kue sebanyak 120 kotak ke daerah J, atau P1A = 120



Tabel Alokasi P1J Tujuan



Ke J



Sumber



Dari



120



P1



50



M 100



L



Produksi



100 120



200



300



200



23



P2



170 100



P3



200



300 160



Permintaan



150



210



90



450



2. Langkah selanjutnya adalah memilih biaya terkecil berikutnya, oleh karena produksi kue di P1 telah dialokasikan semuanya ke daerah J, Berarti kita harus memilih biaya terkecil di bari P2 dan baris P3. Sel P3J adalah yang paling kecil dengan biaya 100. Oleh karena daerah J telah mendapatkan alokasi dari P1 sebesar 120 kotak, maka daerah J masih membutuhkan sebanyak 30 kotak yang harus diperoleh dari P3. Berarti P3 mengalokasikan kue sebanyak 30 kotak ke daerah J, atau P3J = 30 kotak. Tabel Alokasi P3J Ke Tujuan Produksi J M L Dari



Sumber



120



50



P1



100 120



P2



P3 30



Permintaan Ket :



100



20 0



300



10 0



200



200 170



300 160



150



210



90



450



daerah yang kuenya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan kue.



3. Langkah berikutnya adalah mencari sel biaya terkecil yang belum memiliki alokasi yaitu sel P3M sebesar 200. Kue yang masih tersisa di P3 sebanyak 160-30 = 130 kotak, sedangkan daerah M membutuhkan kue sebanyak 210 kotak. Berarti P3 mengalokasikan kue ke daerah M sebesar 130 kotak, atau P3M = 130 kotak.



Ke



Tabel Alokasi P3M Tujuan



Produksi 24



Dari



Sumber



120



J 50



P1



M 100



L 100 120



200



P2



300



200 170



P330



100



200



300 160



130



Permintaan Ket :



150



210



90



450



daerah yang kuenya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan kue.



4. Langkah selanjutnya adalah mencari sel yang memiliki biaya terkecil berikutnya dan belum dialokasikan kue yaitu sel P2L sebesar 200. Produksi kue di P2 sebesar 170 kotak, sedangkan daerah L membutuhkan kue sebanyak 90 kotak. Oleh Karena itu P2 mengalokasikan kue ke daerah L sebesar 90 kotak, atau P 2L = 90 kotak.



Tabel Alokasi P2L Tujuan



Ke J



Sumber



Dari



120



P1



50



M 100



L



Produksi



100 120



200



300



200



25



90



P2



170 100



P3



200



300 160



130 30



Permintaan Ket :



150



210



90



450



daerah yang kuenya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan kue.



5. Terakhir adalah sel P2M, dimana produksi kue di P2 belum dialokasikan sebesar 80 kotak, sedangkan permintaan daerah M masih membutuhkan kue sebesar 80 kotak. Berarti P2M = 80 kotak. Tabel Alokasi P2M Ke Tujuan Produksi J M L Dari



Sumber



120



50



P1



100



100 120



200



P2



300



200 170



80 90



100



P3



200



300 160



130 30



Permintaan Ket :



150



210



90



450



daerah yang kuenya sudah habis teralokasi. Daerah yang akan dialokasikan kue. Tabel Awal transportasi metode Biaya minimum diperlihatkan pada tabel berikut: Tabel Awal Metode Biaya Minimum Destika Cake



Ke



Tujuan J



Sum



Dari 50



M 100



L



Produksi



100



26



ber



120



P1



120 200



P2



300



200 170



9080



100



P3



200



300 160



130 30



Permintaan



150



210



90



450



Mencari Tabel Optimum dengan Metode MODI 1. Langkah awal metode MODI dapat dimulai dari tabel awal metode biaya minimum. Mari kita lihat dari tabel awal biaya minimum PT Elteha Tabel Pra Metode MODI PT Elteha



K1



K2



Ke



Tujuan J



Dari P1



R1



R290 80



R



3 130 30



Sumber



120



P2



P3



Permintaan



K3



50



M 100



L



Prod uksi



100 120



200



300



200 170



100



200



300 160



150



210



90



450



2.



Langkah Selanjutnya adalah dengan menghitung nilai Sel Basis dan Sel Bukan Basis Nilai Kj dan Ri pada Tabel dihitung dengan cara sebagai berikut: Sel Basis : 1) P1J = R1 + K1 = 50 4) P3J = R3 + K1 = 100 2) P2M = R2 + K2 = 300 5) P3M = R3 + K2 = 200 3) P2L = R2 + K3 = 200 Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K1 = 50 4) R2 + K2 = 300 K1 = 50 R2 + 150 = 300 27



2) R3 + K1 = 100 R2 = 150 R3 + 50 = 50 5) R2 + K3 = 200 R3 = 50 150 + K3 = 200 3) R3 + K2 = 200 K3 = 50 50 + K2 = 200 K2 = 150 Selanjutnya adalah mencari nilai sel bukan basis Sel Bukan Basis: 1) P1M = 100 – R1 – K2 3) P2J = 200 – R2 – K1 = 100 – 0 – 150 = 200 – 150 – 50 = -50 =0 3) P1L = 100 – R1 – K3 4) P3L = 300 – R3 – K3 = 100 – 0 – 50 = 300 – 50 – 50 = 50 = 200 Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Awal Metode MODI Destika Cake Tabel Awal Metode MODI Destika Cake K1 = 50 K2 = 150 K3 = 50 Ke



Tujuan J



Dari P1



R1= 0



50



M 100



-50



L 100



50



R2= 80 90150



R30 50 3= 130



Sumber



120



P2



P3



Permi ntaan



200



300



170 200



150



120



200



0 100



Prod uksi



300



210



200



160



90



450



Su



3. Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Sedangkan pada tabel masih ada sel yang bernilai negatif. Oleh Karena sel P 1M memiliki nilai negatif yaitu -50, maka pada tabel berikutnya P 1M menjadi sel basis. Untuk menentukan sel yang akan keluar basis, terlebih dahulu harus dibuat jalur tertutup P1M. Dari Jalur tertutup tersebut, sel yang akan keluar basis adalah sel yang bertanda negative dan memiliki jumlah alokasi kue terkecil. Tabel Jalur tertutup P1M Ke Tujuan J M Dari P1 32 33 120 28



mber 80



-



+



36



42



34



37



+



-



P2



130 30



P3



Dalam tabel diatsa, nilai sel bertanda negatif dan memiliki unit terkecil adalah P1J = 120. Sehingga tabel berikutnya adalah sebagai berikut: Tabel Hasil Perpindahan tabel jalur tertutup P1M K1 K2 K3 Ke



Tujuan J



Dari P1



R1



M



50



100



L 100



120



80



150 R3 10



Sumber



120



R 902



P2



P3



Prod uksi



200



300



200 170



100



Permi ntaan



200



300 160



150



210



90



450



Untuk menentukan Sel Basis diatas didapatkan dengan cara beriukut ini: P2L = 90 P2M = 80 P2M = 120 P3M = 210 – 80 – 120 = 10 4.



P3J = 160 – 10 = 150 P1J = 150 – 150 =0



Selanjutnya apakah tabel diatas sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaannya tersebut, lakukan kembali pencarian nilai Kj dan Ri seperti sebelumnya. Tabel optimum tercapai apabila sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. 29



Sel Basis



: 1) P2M = R1 + K2 = 100 2) P2M = R2 + K2 = 300 3) P2L = R2 + K3 = 200



4) P3J = R3 + K1 = 100 5) P3M = R3 + K2 = 200



Dari lima persamaan tersebut, dapat dihitung besarnya nilai Kj dan nilai Ri dengan cara menolkan salah satu variabel misalkan, R1 = 0 Maka, 1) R1 + K2 = 100 K2 = 100 2) R2 + K2 = 300 R2 + 100 = 300 R2 = 200 Sel Bukan Basis: 1) P1J = 50 – R1 – K1 = 50 – 0 – 0 = 50 2) P1L = 100 – R1 – K3 = 100 – 0 – 0 = 100



3) R2 + K3 = 200 200 + K3 = 200 K3 = 0 4) R3 + K1 = 100 100 + K1 = 100 K1 = 0



5) R3 + K2 = 200 R3 + 100 = 200 R3 = 100



3) P2J = 200 – R2 – K1 = 200 - 200 – 0 =0 4) P3L = 300 – R3 – K3 = 300 – 100 – 0 = 200



Hasil Perhitungan dimasukkan pada Tabel Kedua Metode MODI Destika Cake.



Tabel Kedua Metode MODI Destika Cake K1 = 0 K2 = 100 K3 = 0 Ke



Tujuan J



Dari P1



R2= 200 90 80



Sumber



R1= 0



120



P2



50



M 100



L 100



50 200



300 0



100



Prod uksi 120



200 170



30



P3



150 R310 = 100



Permint aan



100



200



300 200



150



210



90



160 450



Tabel diatas merupakan tabel transportasi optimum, karena semua sel bukan basis memiliki nilai ≥ 0. Tabel optimum ini menghasilkan total biaya minimum dengan alokasi sebagai berikut: Alokasi Kue dari Pabrik 1 ke daerah M sebanyak 120 kotak sebesar 100; Alokasi Kue dari Pabrik 2 ke daerah M sebanyak 80 kotak sebesar 300; Alokasi Kue dari Pabrik 2 ke daerah L sebanyak 90 kotak sebesar 200; Alokasi Kue dari Pabrik 3 ke daerah J sebanyak 150 kotak sebesar 100; Alokasi Kue dari Pabrik 3 ke daerah M sebanyak 10 kotak sebesar 200; Total biaya Z minimum = 120(100) + 80(300) + 90(200) + 150(100) + 10(200) = Rp. 71.000.000;



BAB III PENUTUP 1.1 Kesimpulan  Cara menentukan tabel awal biaya minimum yaitu dengan langkah-lagkah sebagai berikut: 1. Pengisian atau pengalokasian sel dimulai dengan mengisi sel yang memiliki biaya terendah. 2. Besarnya sel yang akan diisi disesuaikan dari kapasitas dan permintaan sebesar mungkin. 31



3. Jika kapasitas atau permintaan telah terpenuhi jumlahnya, maka pada perhitungan selanjutny baris atau kolom kapasitas atau permintaan yang sudah terpenuhi tersebut tidak ikut dalam alokasi berikutnya. 4. Ulangi langkah tersebut sampai kapasitas dan permintaannya terpenuhi.  Cara menentukan solusi optimum transportasi dengan metode modi yaitu dengan langkah-langkah berikut: 1. Memberikan angka untuk masing-masing summber dan tujuan transportasi, dengan ketentuan sebagai berikut : Angka untuk sumber yang diletakan pada baris pertama tabel transportasi adalah 0. ➔ Pemberian angka bergantung kepada sel yang sudah terisi pada solusi awal, sementara sel yang belum terisi (sel yang diberi tanda strip), dapat diabaikan. ➔ Jumlah dari angka yang diberikan pada suatu sumber dan tujuan harus sama dengan biaya yang ditimbulkan dari pendistribusian sumber ke tujuan tersebut. 2. Melakukan pengujian terhadap sel yang belum terisi (uji sel kosong) dengan cara mengurangi biaya pada sel kosong tersebut dengan angka yang sudah diberikan kepada sumber dan tujuan dari sel tersebut. 3. Jika hasil dari uji sel kosong ada yang memberikan angka negatif, maka solusi MODI yang dikerjakan dianggap belum optimal dan akan dipilih hasil uji sel kosong yang memberikan angka negatif terbesar. 4. Pada sel kosong yang memberikan angka negatif terbeasr tersebut, akan dilakukan pendekatan metode Stepping Stone, yaitu dengan : ➔ Mengamati lompatan yang dapat dilakukan pada tabel kosong tersebut dan memilih unit terkecil pada lompatan yang bernilai negatif, dan menambahkan unit tersebut pada lompatan yang bernilai positif, serta mengurangkan unit tersebut pada lompatan yang bernilai negatif. 5. Membuat tabel transportasi baru yang sudah disesuaikan, dan mengulangi langkah 2 dan 3, hingga tidak ditemukan angka negatif pada pengujian sel kosong. 6. Jika sudah tidak ada angka negatif, maka tabel transportasi dianggap sudah optimal dan sudah memberikan biaya minimum. 7. Menghitung biaya transportasi yang dihasilkan dengan cara menjumlahkan hasil kali dari jumlah unit dan biaya pada masing-masing sel.



1.2 Saran Dalam menggunakan tabel awal metode biaya minimum dengan solusi optimum dengan metode midified distributed (MODI) diperlukan ketelitian agar hasil pengerjaannya akurat dan tepat.



32



DAFTAR PUSTAKA Handoko, T. Hani. 2000. Dasar-dasar Manajemen Operasi dan Produksi. Edisi 1.Cetakan



ketigabelas.



Yogyakarta:



Badan



Penerbit



Fakultas



Ekonomi



Universitas Gadjah Mada. Wijaya, Andi. 2010, Efisiensi Biaya Transportasi Melalui Pendekatan Metode Transportasi. Jurnal Manajemen/Tahun XIV, No. 01, hal. 97 – 107.



33



Yamit, Zulian. 1993. Manajemen Kuantitatif Untuk Bisnis (Operations Research). Yogyakarta: BPFE-YOGYAKARTA.



34