Makalah Subgrup Siklik [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN 1.1



Latar Belakang Struktur Aljabar merupakan suatu matakuliah yang sulit untuk dipelajari dan sulit



untuk diajarkan (Arnawa,2009:62). Dari sisi mahasiswa, kesulitan ini misalnya disebabkan oleh konsep-konsep dalam Struktur Aljabar yang sangat abstrak, banyak contoh-contoh yang berkenaan dengan konsep tetapi tidak dikenali dengan baik oleh mahasiswa, serta banyak mahasiswa yang belum terbiasa dengan pembuktian deduktif. Hal tersebut mengakibatkan mahasiswa memiliki pemahaman yang rendah terkait mata kuliah Struktur Aljabar. Pembuktian memiliki peranan penting dalam Stuktur Aljabar (Findel, 2001: 275). Hal tersebut dikarenakan Struktur Aljabar erat kaitannya dengan definisi, lema dan teorema. Terkadang terdapat perbedaan definisi, teorema atau lema pada beberapa buku. Oleh karena itu hendaknya mahasiswa tidak hanya berpedoman pada satu buku. Sebaiknya gunakan beberapa referensi (buku) sehingga dapat membandingkan isi dari masing-masing buku. Agar dapat memahami mata kuliah ini dengan baik, mahasiswa dituntut untuk dapat memahami setiap definisi, teorema atau lema yang disajikan. Mahasiswa hendaknya memahami setiap arti kata yang terdapat dalam definisi, teorema atau lema. Selain itu juga dapat menghubungkan dengan pengetahuan sebelumnya agar pemahaman dapat dilatih dengan terbiasa dalam pembuktian matematika. Salah satu materi Struktur Aljabar yang membutuhkan pembuktian dalam mempelajarinya adalah subgrup siklik. Subgrup siklik merupakan salah satu materi dari mata kuliah Stuktur Aljabar yang berkaitan dengan beberapa materi dasar sebelumnya seperti himpunan, relasi fungsi, bilangan dan sebagainya. Dengan memahami definisi dan membuktikan teorema akan membuat mahasiswa lebih memahami materi ini. Oleh karena itu dalam makalah ini akan disajikan rangkaian materi serta contoh-contoh subgroup siklik untuk dapat memudahkan pemahaman pembaca.



1.2



Rumusan Masalah Berdasarkan uruaian latar belakang diatas, maka penulis memformulasikan rumusan



masalah dalam makalah ini yaitu : (1) Apa definisi grup siklik yang terdapat pada beberapa buku?; (2) Apa saja teorema grup siklik yang terdapat pada beberapa buku?; (3) Bagaimana pembuktian teorema dari gup siklik yang terdapat pada beberapa buku?



1.3



Tujuan Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah: 1



1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan grup siklik dan subgrup siklik melalui definisi dari beberapa buku. 2. Mengetahui teorema-teorema grup siklik dan subgrup siklik melalui beberapa buku. 3. Memberikan contoh terkait dengan grup siklik dan subgrup siklik melalui beberapa buku.



2



BAB II IDENTITAS BUKU Buku Utama : Judul Buku



: Struktur Aljabar 1



Nama Penulis : Prof. Dr. Sahat Saragih, M.Pd ISBN



: 978-602-18010-4-8



Edisi



:-



Tahun Terbit



: 2017



Kota Terbit



: Medan



Penerbit



: LARISPA INDONESIA



Buku Pembanding 1 : Judul Buku



: Contemporary Abstract Algebra



Nama Penulis : Joseph A. Gallian ISBN



: 978-1-133-59970-8



Edisi



: Edisi Ke-8



Tahun Terbit



: 2012



Kota Terbit



: New York



Penerbit



: Boston



Buku Pembanding 2 : Judul Buku



: A First Course in Abstract Algebra



Nama Penulis : John B. Fraleigh ISBN



: 978-1-292-02496-7



Edisi



: Edisi Ke-7



Tahun Terbit



: 2014



Kota Terbit



: USA



Penerbit



: Publishing Company. Inc.



3



BAB III PEMBAHASAN 3.1. GRUP SIKLIK Definisi B-1 Misalkan G grup dengan operasi *, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dan 𝑛, 𝑚 ∈ Ζ maka 𝑎𝑚 = 𝑎 𝑎 𝑎 … … 𝑎 (𝑚 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟) 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎−𝑛 = (𝑎𝑛 )−1 = (𝑎−1 )𝑛 𝑎0 = 𝑒 (𝑈𝑛𝑠𝑢𝑟 𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠) (Saragih, 2014: 88) Definisi Grup Siklik (Terhadap Perkalian) Definition A group G is called cyclic if there is an element a in G such that 𝐺 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ}. Such an elemen a is called a generator of G. (Gallian, 2012: 97) Definition If G is a group and 𝑎 ∈ Ζ, then H = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ}. (Fraleigh, 2003: 59) Definisi 4.1: Grup 〈𝐺, . 〉 disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ G sedemikian hingga 𝐺 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. (Fadli, 2012: 52) Dari beberapa definisi diatas, semuanya menunjukkan makna yang sama tentang grup siklik terhadap perkalian. Maka dapat disimpulkan bahwa, Bila terdapat suatu unsur 𝑎 ∈ G sehingga G = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ}, maka grup G kita sebut sebagai grup siklik yang dibangun oleh unsur a. Unsur a disebut sebagai unsur pembangun dari G dan grup siklik G kita notasikan dengan 𝐺 =< 𝑎 >. 4



Definisi Grup Siklik (Terhadap Penjumlahan) Grup 〈𝐺, +〉 disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ G sedemikian sehingga 𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ Ζ}. Jadi, suatu Grup dikatakan Grup Siklik apabila suatu generator a membangun Grup itu sendiri. Teorema B-1: Misalkan 〈𝐺,∗〉 grup dan 𝑎 ∈ G maka 𝐻 = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ} merupakan subgrup terkecil dari G yang memuat a. Bukti: Kita gunakan Teorema A-3 tentang subgrup 1) H ≠ 𝜙 karena untuk n = 0 ∈ Ζ maka 𝑎0 = 𝑒 ∈ H 2) H



G (dari definisi H sendiri)



3) Sifat tertutup Ambil sembarang 𝑝, 𝑞 ∈ H maka menurut syarat keanggotaan dari H maka ∃ 𝑚, 𝑛 ∈ Ζ ϶ 𝑝 = 𝑎𝑚 dan 𝑞 = 𝑎𝑛 Akan ditunjukkan p*q



H



p*q = 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 , 𝑚 + 𝑛 ∈ Ζ = 𝑎𝑚+𝑛 ∈ H Jadi, p*q



H



4) Sifat Identitas (e



G maka e



Karena G grup maka e



H)



G (Unsur Identitas)



e = 𝑎0 , 0 ∈ Ζ maka 𝑒 = 𝑎0 ∈ H 5) Sifat Invers Ambil sembarang p



H maka ∃ 𝑚 ∈ Ζ ϶ 𝑝 = 𝑎𝑚 , karena m ∈ Ζ maka -m ∈ Ζ



sehingga 𝑝−1 = 𝑎 −𝑚 ∈ H Dengan demikian ketiga syarat (3, 4, 5) tersebut di penuhi maka terbukti H ⊆ G Definisi B-2: Grup H pada teorema B-1 di atas disebut subgrup siklik dengan generator a dan dinotasikan < 𝑎> 5



Jadi, yang dimaksud dengan Sub Grup Siklik yaitu suatu subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur. Definisi B-3: Suatu grup G dikatakan grup siklik jika terdapat 𝑎 ∈ G sehingga < 𝑎 > = G Dengan kata lain, Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsurunsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Contoh 1: Misalkan G = {−1,1} adalah suatu Grup terhadap operasi perkalian 〈𝐺, . 〉. Tentukan Grup Siklik dari Grup tersebut. Penyelesaian: Generator dari G = {−1,1} adalah -1 dan 1 〈−1〉 = {(−1)𝑛 |𝑛 ∈ Ζ} = {. . . , (−1)−2 , (−1)−1 , (−1)0 , (−1)1 , (−1)2 , . . . } = {−1,1} 〈1〉 = {(1)𝑛 |𝑛 ∈ Ζ} = {. . . , (1)−2 , (1)−1 (1)0 , (1)1 , (1)2 , . . . } = {1} Generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga: 〈−1〉 = {−1,1} Generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga: 〈1〉 = {1} Jadi, dapat disimpulkan bahwa generator 〈−1〉 membangun suatu Grup Siklik dan generator 〈1〉 membangun suatu Subgrup Siklik dari Grup G = {−1,1}. Contoh 2: Misalkan Z adalah Himpunan Bilangan Bulat. 6



Dengan operasi penjumlahan biasa 〈𝑍, +〉 merupakan grup. Selidiki apakah Z grup siklik dengan generator 1. Penyelesaian: Ambil 1



Z, sehingga 12 = 2 × 1 = 1 + 1 = 2 13 = 3 × 1 = 1 + 1 + 1 = 3 14 = 4 × 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 …………………………………………



Jika dilanjutkan, kita dapat mendedukasi bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan dalam bentuk 1 + 1 + . . . + 1. Dilain kasus, 10 = 0 × 1 = 0 1−1 = −1 × 1 = −1 1−2 = −2 × 1 = −1 + (−1) = −2 … … … … … … … … … … … … … … … .. Jika dilanjutkan, kita dapat mendedukasi bahwa setiap bilangan bulat non-positif dapat dituliskan dalam bentuk ini. Jadi, Z merupakan Grup Siklik dengan generator 1. Definisi B-4: Algoritma Pembagian Jika n,m ∈ Z, m > 0 maka ∃! q,r ∈ Z ∋ n =qm + r, 0≤r, karena H ≤ G maka elemen-elemen dalam H pasti berbentuk ap dengan p ∈ Z Jika ap dengan maka a-p ∈ H (Ingat H subgrup dari G) Kasus 1: Jika H = {e} maka H = < e > grup siklik. Kasus II : Jika H ≠ {e} maka H pasti memuat unsur-unsur yang berbentuk ap dengan p > 0 Andaikan m = bilangan bulat positip terkecil ∋ am ∈ H ………(A) Ambil sembarang b ∈ H maka b = an untuk suatu n ∈ Z Dengan algoritma pembagian maka ∃! q,r ∈ Z ∋ n =qm + r dengan 0≤r, dan H4 =< 6 >, maka setiap subgrup dari Z12 adalah juga siklik. 0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



0



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



1



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



0



2



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



0



1



3



3



4



5



6



7



8



9



10



11



0



1



2



4



4



5



6



7



8



9



10



11



0



1



2



3



5



5



6



7



8



9



10



11



0



1



2



3



4



6



6



7



8



9



10



11



0



1



2



3



4



5



7



7



8



9



10



11



0



1



2



3



4



5



6



8



8



9



10



11



0



1



2



3



4



5



6



7



9



9



10



11



0



1



2



3



4



5



6



7



8



10



10



11



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



11



11



0



1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



Klasifikasi dari grup siklik: 1. G grup siklik dengan banyaknya unsur tak terhingga maka pada G berlaku sifat: ak = ah → k = h 2. G grup siklik dengan banyaknya unsur berhingga (n unsur) maka pada G berlaku sifat: ak = ah → k = n membagi (k-h) 9



Bukti 1: Pernyataan di atas dapat diartikan sebagai: G = < a > dan |G| = tak hingga → (ak = ah → k = h) Bukti : Dalam logika kita memiliki equivalensi: ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑝→𝑞= ̃ 𝑝 ∩ 𝑞̅ Andaikan: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ak = ah → k = h, berarti (ak = ah) ∩ (k ≠ h) Misalkan k > h maka ak-h = e, dengan k-h > 0 Misalkan m = bilangan bulat positip terkecil sehingga am = e Ambil sembarang b ∈ G = < a > maka b = an, untuk suatu n ∈ Z menurut algoritma pembagian maka ∃ ! q,r ∈ Z ∋ n = mq + r, dengan 0≤r = {e, a, . . . an-1}. Tentu saja e, a, . . . an-1 ada di < a >. Andaikan ak merupakan anggota dari < a > dengan algoritma pembagian ada bilangan bulaat q dan r sehingga k = qn + r dengan 0≤r = {e, a, . . . an-1}. Sekarang kita asumsikan bahwa ai = aj. Maka kita akan buktikan bahwa n habis membagi (i – j). Kita akan periksa apakah ai = aj memenuhi ai-j = e. Dengan algoritma pembagian terdapat bilangan bulat q dan r sehingga i – j = qn + r dengan 0≤r = {1n | n ∈ Z} = Z4 Dengan demikian terbukti bahwa 1 merupakan generator Z4. Jadi terbukti bahwa Z4 merupakan grup siklik dengan generator 1. Selanjutnya berdasarkan klasifikasi dari grup siklik bagian 2 dapat dilihat bahwa |Z4| = |< 1 > | = 4 Maka 14 = 18 = 112 hal ini dikarenakan 4|(8-4) dan juga 4|(12-8) Contoh 2: Z6 ={0,1,2,3,4,5}, dengan operasi penjumlahan modulo 6. Dengan menggunakan tabel Cycle dapat ditunjukkan bahwa Z6 merupakan grup siklik dengan generato 1 dan 5. Berdasarkan klasifikasi dari grup siklik bagian 2 dapat dilihat bahwa |Z6| = |< 5 > | = 6 Maka 56 = 512 = 518 hal ini dikarenakan 6 | (12-6) juga 6 | (18-12). Akibat dari teorema B-2: Misalkan G grup, a ∈ G dengan |a| = n. Jika ak = e maka n membagi habis k. Contoh: Z6 = {0,1,2,3,4,5} dengan operasi penjumlahan modulo 6. Dengan menggunakan tabel Cycle dapat ditunjukkan bahwa Z6 merupakan grup siklik dengan generator 1 atau Z6 = {10, 12, 13, 14, 15} dan 5 atau Z6 = {50, 52, 53, 54, 55} = < 5 > dan | < 5 > | = 6 Dengan menggunakan akibat teorema B-2 diperoleh 512 = e = 0 maka 6 | 12.



12



13



BAB IV PENUTUP 4.1.Kesimpulan 1. Bila terdapat suatu unsur 𝑎 ∈ G sehingga G = {𝑎𝑛 |𝑛 ∈ Ζ}, maka grup G kita sebut sebagai grup siklik yang dibangun oleh unsur a. Unsur a disebut sebagai unsur pembangun dari G dan grup siklik G kita notasikan dengan 𝐺 =< 𝑎 >. 2. Grup 〈𝐺, +〉 disebut siklik, bila ada elemen 𝑎 ∈ G sedemikian sehingga 𝐺 = {𝑛𝑎|𝑛 ∈ Ζ}. 3. Grup H pada teorema B-1 di atas disebut subgrup siklik dengan generator a dan dinotasikan < 𝑎 > 4. Sifat konselasi kanan: xa = ya maka x = y 5. Misalkan n dan m adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m dibagi dengan maka terdapat dua buah bilangan bulat



q (quotient) dan r (remainder),



sedemikian sehingga n = mq + r dan 0 ≤r