SUBGRUP [PDF]

Citation preview

SUBGRUP Jika diketahui ¿ grup dan H ⊆ G maka akan dipikirkan, apakah H juga dapat menjadi grup. Sebagai contoh, akan dipikirkan, apakah 2 Z ⊆Z merupakan grup, apakah Z ⊆ R merupakan grup, apa sajakah subset-subset dari Z5 yang merupakan grup. Himpunan bagian tak kosong dari grup G yang dirinya sendiri merupakan grup dinamakan “subgrup”. Berikut ini definisi lengkapnya. Definisi Subgrup Diketahui ¿ grup.



H ⊆ G , H disebut subgrup dari grup G jika dan hanya jika ¿ merupakan grup.



Dari definisi di atas dapat dijelaskan bahwa : Diketahui ¿ grup. Himpunan H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika 1 H ≠∅ 2 H ⊆G 3 H bersifat tertutup terhadap “*” 4 H bersifat asosiatif terhadap “*” 5 H memiliki elemen Identitas 6



Setiap elemen di



H memiliki Invers



Jika H subgrup dari G maka dilambangkan H ≤G . Lambang H j maka a i-j = e Karena a ¿ e, i-j > 1 Jadi a i-j=a.a i-j-1=e Karena itu a-1= a i-j-1 Tetapi i-j-1 ¿ 1 berakibat a i-j-1 ∈ H. Khusus untuk subgrup hingga, dengan Teorema 3.3, peta konsep subgrup dapat menjadi sebagai berikut (Perhatikan perubahannya)



(G,*), H subgrup G



H subset G



(H,*) grup



*Merupakan operasi H tidak kosong



di H atau H bersifat tertutup terhadap *



Contoh 3 Contoh pembuktian H={-1,1} subgrup ( R∗, . ) dengan menggunakan teorema 3.3, cukup dengan menggunakan tabel cayley x -1



-1 1



1 -1



1



-1



1



Dari tabel cayley, nampak bahwa H={-1,1} tertutup terhadap perkalian.



SOAL 1. 2. 3. 4. 5.



6.



7.



Diketahui U (10) adalah grup dengan operasi perkalian modulo 10. Jika maka berapakah x ? Jika diketahui ¿ merupakan grup maka ¿ merupakan subgrup G jika .... Tuliskan 2 subgrup dari Z 9



x ∈ U (10) dan x 2=1,



Jika diketahui ¿ merupakan grup dan a , b ∈G maka (ab)n =an bn . Pernyataan tersebut hanya berlaku jika ¿ merupakan grup ...... Buktikan bahwa yang berikut ini merupakan subgrup dari grup G a. Z( D 4 ) b. C ( R90 ) Let G be a group and let a, b ∈ G. (a) Prove that if a, b ∈ G, then a = b ⇐⇒ ab−1 = e. (b) Prove that G is an abelian group if and only if aba−1b−1 = e for all a, b ∈ G. Disprove the following statements. (a) If G is a group and a, b ∈ G and n ∈ Z, then (ab)n = anbn. (b) If G is a group and a, b ∈ G and n ∈ Z, then (ab)n = bnan.



¿ 8. Misal K={2a∨a ϵ Z }. Tunjukkan bahwa K subgrup R terhadap perkalian.