Tugas 4 Subgrup (Ringkasan Dan Contoh Soal) [PDF]

Citation preview

SUBGRUP



OLEH: KELOMPOK 4 1. LA ADAM (G2I120001) 2. RINI INDRAWATI (G2I120010) 3. NOERJUNIATY (G2I120010) 4. HERLIN (G2I120015)



JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2020



SUB GRUB Defenisi : Misalkan G grup dan H ⊆ G , H dikatakan SubGrup dari G di tuliskan H < G , jika H ≠Ø, H sendiri merupakan grup dengan operasi biner yang sama dengan G. Teorema : Misal G adalah Grup, himpunan H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika untuk ∀ x,y ∈H berlaku xy-1 ∈H. BUKTI  Diketahui H subgrup dari G Untuk membuktikan ∀x,y ∈H berlaku xy-1 ∈H Ambil sembarang x,y ∈H, karena H subgrup maka jelas ∃y-1∈H sehingga xy-1 ∈H. Diketahui xy-1∈H untuk ∀x,y ∈H akan kita buktikan bahwa H grup dari G. → Ambil sembarang x ∈ H, maka xy-1 = e∈H, sehingga ada elemen identitas dari H → Ambil sembarang x,y ∈H, ∃y-1∈H sehingga xy = x(y-1)-1, artinya berlaku sifat tertutup di H → Ambil sembarang x ∈H, maka Ǝa-1∈H, jadi setiap elemen di H mempunyai invers. → Sifat asosiatif jelas dipenuhi karena H⊂ G. Sehingga dari empat pembuktian tersebut dapat disimpulkan bahwa H subgrup G. Defenisi 3.5 Jika G adalah Grup , maka G dan {e} adalah subgrup tak sejati dari G, dan semua subgrup yang lain adalah subgrup sejati. Contoh 3.5 1. Bila G suatu Grup, maka E = {e} adalah trivial subgrup dari G. Sedangkan subgrup dari G selain E dan G sendiri dinamakan subgrupnsejati (proper subgrup) Pembahasan Akan kita tujnjukkan bahwa E = {e} adalah sub grub dari G. sifat ketertutupan dan sifat asosiatif jelas terpenuhi, elemen identitas adalah e sendiri, sedangkan invers dari e adalah e sendiri. 2. Himpunan matriks SL(n, R) dengan operasi perkalian matriks adalah subgrup dari grup GL (n, R). Pembahasan Himpunan matriks SL(n, R) adalah himpunan matriks-matriks yang memiliki determinan satu.



SL ( n , R )=



{(



a11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a11 , a12 , … .a nn ∈ R an 1 ⋯ ann



)|



}



Dan ∀ A ∈ SL ( n , R ) , det A=1 Berdasarkan teorema 3.2 : SL ( n , R ) dengan operasi perkalian matriks adalah subgrup dari GL (n, R). jika: ∀ A , B ∈ SL ( n , R ) , maka AB−1 ∈ SL(n , R) Ambil Sembarang A , B ∈ SL ( n , R ) Misal : a 11 ⋯ a1 n b11 ⋯ b1 n A= ⋮ ⋱ ⋮ dan B= ⋮ ⋱ ⋮ an 1 ⋯ ann b n1 ⋯ b nn



{



} {



}



Dengan a 11 ,a 12 , … , ann ∈ R begitu pula b11 , b12 ,… , b nn ∈ R det A = 1, dan det B = 1 1 × Adj B det B Karena jelas bahwa det B ≠ 0, maka AB-1  SL (n, R) Jadi, SL (n, R) subgrup dari GL (n, R) AB−1= A ×



Theorema 3.3 Sebuah subhimpunan H dari Grup G adalah sebuah subgrup dari G. jika dan hanya jika. (i) H tertutup terhadap Operasi biner pada G (ii) Elemen identitas e di G, adatah identitas pula di H (iii) Untuk setiap a ∈ H, Maka a-1 ∈ H Bukti: →H subgrup G, sehingga dapat kita amati dengan mudah hahwa (I). (ii), (iii) terpenuhi. ← diketahut (i). (ii), (iii) Akan kita selidiki bahwa H subgrup dari G, Untuk membuktikan bahwa H subgrup dari G, maka tinggal kita buktikan bahwa berlaku sifat asosialif pada H. Karena H ⊂ G. maka sifat asosiatif di H mengikuti sifat asosiatif pada G. karena G Grup maka jelaslah berlaku asosiatif pada G, sehingga berlaku pula sifat asosiatif pada H. ∴terbukti bahwa H sub grup dart G



Contoh 1 a0 Dikctahui M2x2(R) terhadap operasi penjumlahan adalah Grup, dan S = ( )∨a , b ∈ R apakah S b0 subgrup dari M2x2(R) Rerdasarkan teorema 3.2. S adalah subgrup dari M2x2(R). Jika ∀A,B ∈ S,maka AB-1 ∈ S Ambil sembarang elemen di S:



{



}



(ab 00) ,dan B=(dc 00 )



Misal A=



−c 0 , (ab 00 )+(−d 0)



AB-1=



a−c 0 (b−d 0)



==



AB-1 ∈S ∴ S subgrup dari M2x2(R) 1 ×adj B AB-1 =A × det B Karena jelas bahwa det B ≠ 0, maka AB-1 ∈ SL (n,R) ∴ SL (n,R) subgrup dari GL (n,R) Contoh 2



[ ac bd ]| ad ≠ bc} terhadap operasi perkalian M a 0 Selanjutnya S (R) = {[ | a ≠ 0} adalah subgrup dari M (R). 0 1] M2x2 (R) = {



2x2



2x2



(R) adalah sebuah grup.



2x2



Penyelesaian: Dapat kita tunjukkan bahwa S2X2 (R) subgrup dari M2x2 (R)  Pertama S2X2 (R) ⸦ M2x2 (R)  Kedua, berdasrakan teorema 3.2 untuk setiap A, B ∈ S2X2 (R) maka AB-1 ∈ S2x2 (R) Ambil sebarang A, B ∈ S2x2 (R) a 0 Misal A = ,a≠0 0 1



[ ]



[ b0 01], b ≠ 0 b 0 1 1 0 =[ 0 1 ] det B [ 0 b ] a 0 1 1 0 =[ x x 0 1] b [ 0 b] 1 a 0 1 0 = [ x b 0 1] [ 0 b] 1 a 0 = [ b 0 b]



Dan B = AB-1



a 0 a = b , ≠0 b 0 b Maka AB-1 ∈S2x2 (R) sehingga S2x2 (R) subgrup dari M2x2 (R)



[ ]







SIFAT – SIFAT SUBGRUP



Teorema 1 : Misalkan G suatu grup. Jika H subgrup dari G maka: i. HH = H, ii. H-1 = H Bukti: Diketahui G grup dan H subgrup dari G, harus dibuktikan i. HH = H (HH ⸦ H dan H ⸦ HH) Ambil sembarang x ∈ HH berarti x = ab untuk suatu a, b ∈ H dan karena H subgrup maka ab = x ∈ H. Jadi, untuk setiap x ∈ HH →x ∈H atau HH ⸦ H Ambil sembarang h ∈H dan H subgrup maka e ∈ H sehingga h = he ∈ HH. Jadi, untuk setiap h ∈ H → h ∈ HH atau H ⸦ HH Teorema 2 : Misalkan G suatugrup, sedangkan H dan K masing-masing subgrup dari G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH. Bukti: Diketahui g grup, H subgrup dari G dan K subgrup dari G , HK juga subgrup dari G ditunjukkan HK = KH (HK ⸦ KH dan HK ⸦ KH)  Menurut Teorema 1. (ii) HK subgrup G maka (HK)-1 = HK ......( ) Ambil x ∈ HK = (HK)-1 maka x = t-1 untuk setiap t ∈ HK berarti t = hk untuk setiap t ∈ H, k ∈K. Karena H dan K subgrup maka h-1 ∈ H, k-1 ∈K, sehingga x = t-1 = (HK)-1 = k-1H1 ∈ KH Jadi untuk setiap x ∈ HK →x ∈ KH atau HK ⸦ KH



 Menurut Teorema 1. (ii) H dan K subgrup maka H-1 = H dan K-1 = K Ambil sebarang y ∈ KH = K-1H-1 maka y = cd untuk suatu c ∈ K-1 dan d ∈H-1 berarti c = q Untuk suatu q ∈K dan d = r-1 untuk suatu r ∈H, sehingga y = q-1r-1 = (rq)-1 ∈ (HK)-1 = HK. Menurut ( ). Jadi untuk setiap y ∈KH →x ∈HK atau KH ⸦ HK (←) HK = KH ditunjukkan HK sugrup dari G. Karena H dan K masing-masing subgrup maka setiap z ∈HK, z = u untuk suatu u ∈ H, v ∈ K sehingga u, v ∈G, z = u v G. Jadi HK ⸦ G. ...... (a). Disamping itu e H dan e K maka e = ee HK. Jadi HK ≠ ∅ diperoleh HK kompleks dari G. Ambil sembarang x, y ∈ HK → x = h1k1y = h2k2u, suatu h1, h2 ∈ H, k1,k2 ∈ K XY-1 = h1k1 (h2k2) = h1k1(k2-1h2-1) sifat sederhana grup -1 -1 = h1(k1k2 ) h2 sifat asosiatif * -1 = (h1K )h2 K* = h1k2-1 ∈ K H1k* ∈ HK = KH maka H1k* = k0h0, k0 ∈ K, h0 ∈ H Jadi, HK kompleks dari G dan untuk setiap x, y ∈ HK maka xy-1 ∈ HK. Dengan kata lain HK subgrup dari G.