Makalah Teori Bilangan Notasi Prinsip Dan Konjektur [PDF]

Citation preview

M A K A L A H Teori Bilangan : Notasi, Prinsip, & Konjektur Makalah ini dibuat untuk melengkapi tugas kelompok 1 Teori Bilangan



Oleh :



Muhammad Ridha



Surya Kurniawan



NPM. 1606103020033



NPM. 1606103020030



UNIVERSITAS SYIAH KUALA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN Jalan Teuku Hasan Kreung Kalee, Kopelma Darussalam, Syiah Kuala, Banda Aceh – 24415



2017/2018



KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum wr. wb. Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Allah SWT, yang telah memberikan nikmat iman dan nikmat islam kepada kita, tak lupa shalawat beserta salam kami limpah curahkan kepada Nabi Muhammad SAW. Pada kesempatan ini kami selaku penulis mencoba untuk membuat makalah tentang. “Teori Bilangan : Notasi,Prinsip, dan Konjektur” Makalah ini dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah “Teori Bilangan”. Kami mengucapkan banyak terima kasih kepada segenap pembaca. Apabila dalam makalah ini terdapat banyak kekurangan, kami mohon maaf. Dan kami sangat menantikan saran dn kritik pembaca yang sifatnya membangun. Atas perhatiannya kami ucapkan terima kasih.



Banda Aceh, 16 September 2017



Tim Penyusun



BAB 1 PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Dalam teori bilangan, banyak hal yang mesti dituliskan sebagai lambang-lambang atau notasi, hal ini kemudian mencapai kesepakatan ahli-ahli matematika bahwa penggunaan suatu lambang untuk makna yang sudah disepakati, dalam teori bilangan terdapat notasinotasi, prinsip, dan konjektur, prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. , sedangkan konjektur adalah suatu pernyataan yang kebenarannya belum dibuktikan atau belum diketahui.



1.2 Batasan Masalah Apa itu Notasi, dan contoh-contoh dari notasi ? Apa itu prinsip, dan bagaimana cara penggunaannya ? Apa itu konjektur, dan bagaimana contohnya ?



1.3 Tujuan Penulisan 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4



Memahami Notasi, contoh dan pengoperasiannya Memahami prinsip logika dan prinsip induksi matematika Memahami konjektur dan contoh-contohnya Sebagai tugas teori bilangan



BAB 2 PEMBAHASAN A. Notasi Notasi merupakan kesepakatan (persetujuan, perjanjian) untuk suatu lambang tertentu sehingga mempunyai makna. Notasi-notasi ini dapat berkaitan dengan obyek (misalnya himpunan,matriks,vector),operasi atau pengerjaan (misalnya +, −,×, ∶, ∑ , 𝜋 ), hubungan unsur –unsur,( misalnya =, >, 0} = {𝑥 ∈ 𝑍 |𝑥 ≥ 1} R : Himpunan bilangan nyata (Real Numbers). Q



: Himpunan bilangan rasional (Rational Numbers) 𝑚



= { 𝑛 | 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑍 𝑑𝑎𝑛 𝑛 ≠ 0} C : Himpunan bilangan kompleks (Complex Numbers) 𝑄 + :Bilangan rasional positif = { 𝑥 ∈ 𝑄 |𝑥 > 0} R + : Bilangan real Positif = {𝑥 ∈ 𝑅 |𝑥 > 0} Beberapa notasi yang lain terdapat didalam uraian-uraian yang terkait dengan defenisi dan penjumlahan didalam pembahasan. Notasi yang berkaitan dengan penjumlahan dan perkalian adalah ∑ dan 𝜋, notasi sigma ini perlu dipahami dengan benar sehingga memudahkan dan memperlancar pembahasan berikutnya. Perhatikan contoh : 3



∑ 3𝑖 2 = 3.12 + 3.22 + 3.32 = 42 𝑖=1 3



∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖2 = 𝑥1 𝑦12 + 𝑥2 𝑦22 + 𝑥3 𝑦32 𝑖=1



3



∏ 𝑖 = 1.2.3.4.5 = 5! = 120 𝑖=1 3



∏ 𝑥𝑖 𝑦𝑖2 = 𝑥1 𝑦12 . 𝑥2 𝑦22 . 𝑥3 𝑦32 𝑖=1



Batas atas dan batas bawah dari ∑ dan 𝜋 dapat ditentukan sebarang bilangan bulat : a. Batas bawah tidak selalu 1, tetapi bilangan bulat sebarang b. Batas atas tidak boleh kurang dari batas bawah c. Huruf I yang digunakan sebagai indeks, disebut variable dummy, dan huruf I dapat digant dengan sebarang huruf yang lain. Didalam mencari nilai ∑ dan 𝜋 perlu diperhatikan bahwa yang berturut-turut diganti adalah variable dummy. Selanjutnya, beberapa sifat ∑ dan 𝜋 yang banyak diperlukan adalah :  ∑𝑘𝑖=𝑗(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 ) = ∑𝑘𝑖=𝑗 𝑥𝑖 + ∑𝑘𝑖=𝑗 𝑦𝑖  ∑𝑘𝑖=𝑗 𝑎𝑥𝑖 = 𝑎 ∑𝑘𝑖=𝑗 𝑥𝑖  ∑𝑘𝑖=𝑚 ∑𝑙𝑗=𝑛 𝑥𝑖 𝑦𝑗 = ∑𝑘𝑖=𝑚 𝑥𝑖 ∑𝑙𝑗=𝑛 𝑦𝑗  ∏𝑘𝑖=1 𝑖 = 1.2.3 … 𝑘 = 𝑘! Beberapa notasi lain yang penting adalah : 1. 𝑎|𝑏 = a membagi b, b habis dibagi a, b mempunyai factor a 2. 𝑎 ∤ 𝑏 = a tidak membagi b 3. (𝑎, 𝑏) = factor persekutuan terbesar dari a dan b 4. [𝑎, 𝑏] = kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b 5. min(𝑥, 𝑦) = nilai minimum dari x dan y 6. max(𝑥, 𝑦) = nilai maksimum dari x dan y 7. [𝑥] = bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x 8. 𝜙(𝑛) = fungsi 𝜙 −euler dari n 9. 𝜎(𝑛) = fungsi jumlah pembagi 10. 𝜏(𝑛) = fungsi banyak pembagi 𝑎 11. ( ) = lambang Legendre dari a terhadap b, yaitu bilangan bulat yang lebih kecil atau 𝑏



sama dengan 𝑎



12. [𝑏 ]



𝑎 𝑏



= lambang Jacobi dari a terhadap b, yaitu bilangan bulat yang lebih besar atau 𝑎



sama dengan 𝑏



B. Prinsip Didalam membahas suatu topik tertentu, seringkali kita menggunakan aturan, atau sifat yang dipakai sebagai dasar atau landasan dalam pembuktian, dan disebut dengan prinsip. Prinsip dapat diambil dari defense, aksioma, atau dalil yang diambil untuk digunakan pada bagian lain yang memerlukan. Beberapa prinsip yang akan digunakan dalam uraian berikutnya adalah prinsip urutan,prinsip induksi matematis, dan prinsip logika matematis. 1. Prinsip Urutan ( Well Ordering Principle ) Prinsip urutan (WOP = Well Ordering Prinsiple) pada bilangan bulat menyatakan, jika a dan b adalah dua bilangan bulat berbeda maka dapat ditentukan hubungan a dan b, yaitu



a  b atau a  b. Z  = {x  Z x  1} atau Z  = {x  Z x  0} Q  = {x  Q x  0} R  = {x  R x  0} Perhatikan bahwa deskripsi Q  dan R  tidak dapat menggunakan relasi  . Z  mempunyai sifat bahwa setiap A  Z  dan A   maka selalu ada bilangan bulat k  A sehingga k  x untuk semua x  A. Dikatakan bahwa k adalah elemen terkecil dari himpunan A. Di pihak lain, Q  dan R  tidak mempunyai elemen terkecil. Suatu himpunan S dikatakan terurut jika setiap A  S dan A   maka A mempunyai elemen terkecil. Himpunan bilangan asli adalah terurut, himpunan bilangan cacah (Whole Number) adalah terurut, himpunan bilangan rasional positip tidak terurut, himpunan {2,7,9,10} terurut, himpunan {-6,-5,-4,…} adalah terurut,



2. Prinsip Induksi Matematis ( Principle of Mathematical Induction )



Prinsip induksi matematika (Principle of Mathematical induction) adalah sebagai berikut. Sebelum pembahasan tentang induksi matematika, perlu diketahui sifat terurut bilangan asli N, yaitu : “Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil”. Jika S adalah suatu subset dari N dan S  { } maka terdapat suatu elemen mS sedemikian hingga m  k untuk setiap kS, dan m disebut elemen terkecil dari S.



Jadi bilangan asli N bersifat terurut karena mempunyai mempunyai elemen terkecil, yaitu 1 (satu). Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut. Misalkan S adalah himpunan bagian (Subset) dari bilangan asli N yang mempunyai sifat:



(a)



1S



(b)



Jika k S berakibat (k  1)S maka



S memuat semua bilangan asli, atau S  N Prinsip induksi matematika dapat pula dinyatakan dalam bentuk berikut. S(n) adalah pernyataan matematis dalam himpunan bilangan asli N. Jika : (a) S(1) benar (b) S(k) benar berakibat S(k  1) benar maka S(n) benar untuk semua n  N Bukti: Andaikan S tidak memuat semua bilangan asli N, atau S  N. Maka N  S   . Misalkan F  N  S maka F  N dan F  S.. Karena N terurut, maka F mempunyai elemen terkecil, misalkan t. Karena t  F maka t N, dan t  S sehingga t  1.



Karena 1 unsur terkecil di N dan t N maka t  1 sehingga t  1  N. Dari t  1  t dan t elemen terkecil di F diperoleh t  1  F atau t  1  S. t  1  S. berakibat (t  1)  1  S atau t  S Hal ini kontradiksi dengan t  S di atas. Jadi yang benar, S  N, atau S memuat semua bilangan asli.



Contoh : Buktikan



: 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 =



𝑛(𝑛+1) 2



Bukti : S adalah himpunan bilangan asli yang memenuhi hubungan 1 ∈ 𝑆 sebab untuk n = 1, ruas kiri bernilai 1 dan ruas kanan bernilai 1. Anggaplah 𝑘 ∈ 𝑆 yaitu 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = Karena 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 = maka,



=



𝑘(𝑘+1)



+



2



, harus ditunjukkan (𝑘 + 1) ∈ 𝑆, yaitu :



(𝑘+1)(𝑘+2) 2



𝑘(𝑘+1)



1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) = =



𝑘(𝑘+1)



2 𝑘(𝑘+1) 2



+ (𝑘 + 1)



2(𝑘+1)



2 2 𝑘(𝑘+1)+2(𝑘+1) 2



1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =



(𝑘+2)(𝑘+1) 2



Karena 𝑘 + 1 ∈ 𝑆, maka sesuai dengan prinsip induksi matematis, S = N yaitu : 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 =



𝑛(𝑛+1) 2



, ∀𝑛 ∈ ℕ



Dengan prinsip induks matematis, suatu pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan penalaran induktif atau penalaran rekursif, yaitu dengan menunjukkan hubungan benar pada taap (n+1) yang dikembangkan dari tahap-tahap 1,2,3,…,n yang mendahuluinya.



3. Prinsip Logika Matematis Terdapat empat prinsip logika yang perlu mendapatkan perhatian, terutama untuk membahas sifat-sifat di dalam teori bilangan. Dua prinsip utama berkaitan dengan kuantor dan dua prinsip lain berkaitan dengan implikasi. Pernyataan setiap x aalah memenuhi sifat y tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contoh-contoh x yang memenuh sifat y, berapapun banyaknya contoh yang diambil dan memenuhi sifat y. sebagai peragaan, pernyataan setiap bilangan prma adalah bilangn ganjil tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contoh atau kasus sebanyakbanyaknya, ternyata tidak setiap bilangan prima adalah ganjil, karena 2 genap dan 2 adalah prima. Perhatikan dengan sungguh-sungguh bahwa contoh yang banyak bukanlah bukti karena contoh tersebut baru merupakan bagian dari kasus-kasus yang memenuhi hubungan. Perlu diingat bahwa tidak berlakunya setiap pernyataan setiap x memenuhi sifat y dapat ditunjukkan dengan memberi satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. contoh yang semacam ini disebut dengan contoh kontradiksi. Sebagai peragaan, tidak berlakunya sifat setiap bilangan bulat yang tidak positif adalah bilangan bulat negative dapat ditunjukkan dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan 0 (nol) adalah bilangan bulat yang tidak positif maupun negative. Pernyataan tidak setiap x adalah bersifat y dapat ditunjukkan kebenarannya dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi y. sebagai peragaan, pernyataan tidak semua bilangan asli n habis dibagi oleh 3 dapat di tunjukkan kebenarannya dengan memberikan suatu ontoh yaitu bilangan asli 5 yang tidak habis dibagi 3. Selanjutnya, pernyataan jika p maka q ( dan dilambangkan dengan 𝑝 → 𝑞) disebut dengan implikasi. Ungkapan-ungkapan lain untuk menyataan jika p maka q adalah : P berakibat q P adalah syarat ukup q Q adalah syarat perlu p Jika p,q P hanya jika q Q jika p Banyak dalil di dalam teori bilangan yang mengambil pola implikasi. Suatu dalil yang berpola jika p maka q dapat dinuktikan dengan mengambil pernyataan p sebagai pernyataan yang diketahui, dan pernyataan q sebagai pernyataan yang dibuktikan. Ini berrti bahwa berangkat dari pernyataan p yang diketahui kemudian diproses dengan sifat-sifat yang sudah berlaku, akhirny terbukti pernyataan q. model pembuktian semacam ini secara ringkas ditulis : 𝑝→𝑞 𝑝 --------∴q



Dan disebut dengan modus ponens



Didalam suatu dalil, pernyataan jika ac membagi bc, maka a membagi b bersesuaian dengan diketahui ac membagi bc, harus dibuktikan a membagi b. jadi, berangkat dari ac membagi bc sebagai hal yang diketahui, kemudian diproses dengan defenisi, dalil, dan aksioma yang sesuai dan sudah diketahui, sehingga akhirnya terbukti a membagi b. Terakhir, ada juga prinsip logika matematis yang memiliki peranan dalam pembuktian dalil yang disebut pembuktian secara tak langsung.proses pembuktian secara tak langsung berangkat dari suatu anggapan yang benar, kemudian setelah dikerjakan dengan hal-hal yang diketahui dan sifat-sifat yang sudah tersedia, ternyata menghasilkan suatu hal yang bertentangan (kontradiksi) dengan yang diketahui, atau menghasilkan sesuatu yang mustahil. Ini berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar atau salah. Secara bagan logika, bukti tak langsung dapt dinyatan sebagai berikut :



[ p ----------------------------- ( q ⋀ ̅𝑞 )-------------------------------𝑝̅ ) Anggapan benar kontadiksi anggapan yang salah



Sebagai peragaan, untuk membuktikan bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga, proses pembuktian berangkat dari anggapan p yang benar, yaitu : P= banyaknya bilangan prima adalah terhingga Kemudian, dengan strategi tertentu yang melibatkan keterbagian ternyata diperoleh suatu kontradiksi, pertentangan, atau kemustahilan, sehingga ditemukan bahwa p tidak benar. Jadi, banyaknya bilangan prima adalah tak terhingga.



Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a  0 . Jika untuk setiap   0 berlaku 0  a   maka a  0 ” dapat dibuktikan secara tak langsung. Bukti: Andaikan 0  a   dan a  0. Dari a  0 dan a  0 diperoleh a  0 . Karena  sebarang 𝑎 bilangan positip, ambil   0 , maka   a atau a  . 2



Hal ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi yang benar, 0  a   dan a  0 . (Q.E.D).



C. Konjektur Konjektur adalah suatu pernyataan yang kebenarannaya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan. Adanya konjektur ini menunjukkan bahwa beberapa masalah matematika belum tuntas karena penyelesaiannya belum diketemukan . beberapa konketur dalam teori bilangan antara lain dapat disimak dalam uraian berikut ini : 1. Ada suatu defenisi tentang bilangan perfek, yaitu suatu bilangan bulat positif yang jumlah pembaginya yang positif sama dengan dua kali bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, 6 adalah bilangan perfek sebab pembagi-pembagi 6 yang positif adalah 1,2,3,6 begitu juga dengan bilangan 28. Selain 6 dan 28 , bilangan-bilangan 496,8128, dan 33550336 adalah perfek. Berkaitan dengan bilangan perfek terdpat konjektur-konjektur : (1). Banyaknya bilangan perfek adalah tak terhingga (2). Semua bilangan perfek adalah genap (3). Jika (2𝑛 − 1) adalah bilangan prima, maka 2𝑛−1 (2𝑛 − 1) adalah bilangan perfek 2. Ada suatu defenisi tentang pasangan dua bilangan yang bersekawan (amicable), yaitu pasangan dua bilangan bulat positif yang asing-masing jumlah pembaginya yang positif (tidak termasuk bilangannya) sama dengan bilangan yang lain Sebagai peragaan, 220 dan 284 adalah dua bilangan yang bersekawan, sebab Pembagi 220 yang positif adalah 1,2,4,5,10,20,44,55,110 jumlahnya adalah 284, begitu juga dengan 284. Pasngan bilangan bersekawan yang lain adalah 1184 dan 1210, 17296 dan 18416. Suatu konjektur yang berkaitan dengan pasangan bilangan bersekawan adalah : terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan. 3. Ada suatu defenisi tentang suatu pasangan prima (twin prime) , yaitu dua bilangan prima adalah tak terhingga. 4. Berkaitan dengan bilangan prima, Goldbach mempunyai dua konjektur, yaitu : (a) Setiap bilangan bulat positif genap lebih dari 4 merupakan jumlah dua bilanga prima ganjil. Contoh : 6 = 3+3 , 8 = 3=5 , 10 = 3+7 (b) Setiap bilangan bulat positif ganjil lebih dari 8 merupakan jumlah tiga bilangan prima ganjil. Contohnya : 100 = 47 + 43 =11 , 9 = 3=3+3 , 11=3+3+5 5. Selain Goldbach, Fermat juga mempunyai dua konjektur terkenal, yaitu : 𝑛 (a) 22 + 1 adalah bilangan prima saat n=0,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5 berturut turut adalah 3,5,17257,65537,4294967297 adalah prima (b) Untuk 𝑛 ≥ 3, tidak ada bilanga-bilangan bulat positif x,y,z yang memenuhi hubungan 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 (meskipun masih merupakan konjektur, pernyataan ini sering juga disebut sebagai Dalil Fermat Terakhir ( Fermat’s Last Theorem)).



BAB 3 PENUTUP Dalam teori bilangan, banyak hal yang mesti dituliskan sebagai lambang-lambang atau notasi, hal ini kemudian mencapai kesepakatan ahli-ahli matematika bahwa penggunaan suatu lambang untuk makna yang sudah disepakati, dalam teori bilangan terdapat notasinotasi, prinsip, dan konjektur, prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu. , sedangkan konjektur adalah suatu pernyataan yang kebenarannya belum dibuktikan atau belum diketahui. Hal-hal yang telah dibahas diatas diharapkan dapat menjadi bahagian daripada pengetahuan kita bersama khususnya dalam bidang matematika teori bilangan, khusunya bagi pembaca yang budiman, kami mengharapkan pembaca antusias dan dapat memberikan tanggapan berupa saran atau kritik yang dapat membangun untuk penulis. Demikian yang dapat kami sampaikan, kami menyadari masih banyak kesalahan dalam penulisan makalah kami tersebut diatas, kirimkan tanggapan anda ke email : [email protected] dan kami akan merespon dengan segera. Lebih kurangnya kami memohon maaf. Assalamualaikum Wr.Wb



DAFTAR PUSTAKA 1. Drs. Muhsetyo Gatot, M.Sc.,1997, Dasar-Dasar Teori Bilangan,Houtson,FMIPA IKIP Malang.