Matematika Peminatan Kelas 10 1 [PDF]

Citation preview

OSMART’DA RANGKUMAN MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X SEMESTER 2 BAB 1 KONSEP VEKTOR 1.1 Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Vektor digambarkan dengan anak panah. Besar Vektor dinyatakan dengan panjang anak panah sedang arah vector dinyatakan dengan arah anak panah. ⃑⃑⃑⃑⃑ , titik A sebagai pangkal vector dan titik B sebagai ujung vector. Pada vector 𝐴𝐵 Selain penulisan menggunakan 2 titik ujungnya, vector juga dapat dituliskan dengan huruf kecil yang diberi tanda panah / diunderline / dibold, (𝑢 ⃑ , 𝑢, u) 1.2 Vektor di R2 Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya menyatakan arah pada sumbu x (kanan / kiri), dan bilangan keduanya menyatakan arah pada sumbu y (atas / bawah), (𝑦𝑥 ).



𝑧 memiliki titik A pada pangkal dan B pada ujung, dari titik A ke kanan 5 satuan, dank ke atas 3 satuan sampai titik B, maka 𝑧 = (53) atau 𝑧 = (5 3). Begitu pula dengan ⃑ dan 𝑎, caranya dihitung mulai pangkal ke ujung seperti 𝑧 vector 𝑘 1.3 Vektor di R3 Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya arah sumbu x (depan / belakang), bilangan kedua menyatakan arah sumbu y (kanan / kiri), dan bilangan 𝑥 ketiganya menyatakan arah sumbu z (atas / bawah), (𝑦). 𝑧



⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑂𝐷 2 satuan ke depan, 3 satuan ke kanan, dan 3 satuan ke atas, sehingga dapat 2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (3) atau 𝑂𝐷 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (2 3 3) dituliskan 𝑂𝐷 3



2 Vektor Posisi Vektor posisi adalah vector yang menyatakan posisi suatu titik terhadap pangkal koordinat. Vector posisi titik Y berpangkal pada titik O yaitu pusat koordinat ⃑⃑⃑⃑⃑ atau 𝑦. dan berujung pada titik Y sehingga dapat dituliskan 𝑂𝑌 Vektor posisi dipisahkan menjadi dua, yakni Vektor posisi R2 dan Vektor posisi R3. 1.4 Kesamaan Vektor Dua atau lebih Vektor dapat dikatakan sama apabila ia memiliki besar dan arah 𝑥1 𝑥1 𝑥1 𝑥2 yang sama. ( ) = ( ) atau (𝑦1) = (𝑦1) 𝑦1 𝑦2 𝑧1 𝑧1



BAB 2 OPERASI VEKTOR 2.1 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2 Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak.



Jika



dan



maka: Penjumlahan secara grafis:



Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:



Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor:



2.2 Perkalian vektor di R^2 dengan skalar Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:



Dengan ketentuan: Jika k > 0, maka vektor



searah dengan vektor



Jika k < 0, maka vektor



berlawanan arah dengan vektor



Jika k = 0, maka vektor



adalah vektor identitas



Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:



Secara aljabar perkalian vektor



dengan skalar k dapat dirumuskan:



2.3 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3 Penjumlahan dan pengurangan vektor di



sama dengan vektor di



yaitu:



dan



2.4 Perkalian vektor di R^3 dengan skalar Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:



2.5 Hasil kali skalar dua vektor Selain rumus di



Jika



, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor.



dan



maka



BAB 3 PANJANG VEKTOR



adalah:



# MENYATAKAN VEKTOR MENGGUNAKAN VEKTOR SATUAN PADA SUMBU KOORDINAT a. Pada bidang Koordinat di R2 Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0) Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1) Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus : V = (x,y) = xi + yj b. Pada bidang Koordinat di R3 Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0,0) Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1,0)



Vektor satuan searah sumbu z adalah k = (0,0,1) Setiap vektor di R3 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus : V = (x,y,z) = xi + yj + zk



BAB 4 PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR 4.1 Hasil kali skalar 2 vektor a. Hasil kali skalar vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ adalah suatu skalar yang besarnya sama dengan jumlah hasil kali komponen-komponen 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ yang bersesuaian. Vektor-vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ dinyatakan dengan komponen-komponen: Hasil kali skalar dua vektor tersebut adalah 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃑⃗ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 b. Jika 𝜃 adalah besar sudut antara dua vektor



4.2 Besar Sudut Antara Dua Vektor



4.3 Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus



4.4 Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor



BAB 5 PROYEKSI VEKTOR



Proyeksi Skalar *Missal proyeksi a pada b (gambar 1)



Proyeksi skalar ortogonal



pada



Proyeksi skalar ortogonal



pada .



Proyeksi Vektor Ortogonal Proyeksi vektor ortogonal



pada .



Proyeksi vektor ortogonal



pada .



Contoh soal 1. vektor



pada



Panjang proyeksi ortogonal



adalah 4. Nilai p adalah ….



Pembahasan: Mencari panjang vektor b:



Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.



2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah... Pembahasan: