Materi 03. Peluang Kejadian Saling Bebas [PDF]

Citation preview

Kejadian Saling Bebas Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak tergantung pada kejadian B. Dengan kata lain kejadian A dan B tidak saling mempengaruhi. Jika dirumuskan secara matematis, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika peluangnya :



𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 . 𝑷(𝑩) Keterangan : 𝑷 𝑨 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨 𝑷 𝑩 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑩



contoh 01: Dua buah dadu warna merah dan warna biru dilempar bersamaan satu kali. Berapa peluang muncul mata dadu 3 pada dadu merah dan mata dadu 5 pada dadu biru ?



jawab : muncul mata dadu 3 pada dadu merah dan mata dadu 5 pada dadu biru Pada pelemparan sebuah dadu



𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔



𝑨 = 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝟑 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐦𝐞𝐫𝐚𝐡 𝑩 = 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝟓 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐛𝐢𝐫𝐮 maka : 𝑷 𝑨 =



𝟏 𝟔



𝟏 𝑷 𝑩 = 𝟔



jadi :



𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 ∙𝑷 𝑩 𝟏 𝟏 = ⋅ 𝟔 𝟔 𝟏 = 𝟑𝟔



contoh 02: Dua buah dadu warna merah dan warna biru dilempar bersamaan satu kali. Berapa peluang muncul mata dadu kurang dari 3 pada dadu merah dan mata dadu kurang dari 5 pada dadu biru ?



jawab : muncul mata dadu kurang dari 3 pada dadu merah dan mata dadu kurang dari 5 pada dadu biru



Pada pelemparan sebuah dadu 𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 𝑨 = 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐤𝐮𝐫𝐚𝐧𝐠 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝟑 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐦𝐞𝐫𝐚𝐡 = 𝟏, 𝟐 𝑩 = 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐤𝐮𝐫𝐚𝐧𝐠 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝟓 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 𝐛𝐢𝐫𝐮 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 maka : 𝑷 𝑨 =



𝟐 𝟔



𝑷 𝑩 =



𝟒 𝟔



jadi :



𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 ∙𝑷 𝑩 𝟐 𝟒 = ⋅ 𝟔 𝟔 𝟖 = 𝟑𝟔 𝟐 = 𝟗



contoh 03: Sebuah dadu dan dua buah uang logam dilantunkan serentak satu kali. Jika A adalah kejadian munculnya satu “Angka” pada uang logam dan B adalah kejadian munculnya angka 5 pada mata dadu. Tentukan peluang A dan B



jawab : Pada pelemparan dua buah uang logam



𝑺 = 𝑨𝑨, 𝑨𝑮, 𝑮𝑨, 𝑮𝑮



Pada pelemparan sebuah dadu



𝑺 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔



𝑨 = 𝐤𝐞𝐣𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥𝐧𝐲𝐚 𝐬𝐚𝐭𝐮 “𝐀𝐧𝐠𝐤𝐚” 𝑩 = 𝐤𝐞𝐣𝐚𝐝𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐮𝐧𝐜𝐮𝐥𝐧𝐲𝐚 𝐚𝐧𝐠𝐤𝐚 𝟓 𝐩𝐚𝐝𝐚 𝐦𝐚𝐭𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐮 maka : 𝑷 𝑨 =



𝟐 𝟒



𝟏 𝑷 𝑩 = 𝟔



jadi :



𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 ∙𝑷 𝑩 𝟐 𝟏 = ⋅ 𝟒 𝟔 𝟐 = 𝟐𝟒 𝟏 = 𝟏𝟐



Kejadian Bersyarat Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas (bersyarat) jika dua kejadian tersebut saling mempengaruhi. • Peluang kejadian A apabila kejadian B diketahui telah terjadi disebut peluang A dengan syarat B dirumuskan :



𝑷 𝑨∩𝑩 𝑷 𝑨𝑩 = 𝑷(𝑩)



⟹



𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑩 .𝑷 𝑨 𝑩



• Peluang kejadian A apabila kejadian B diketahui telah terjadi disebut peluang A dengan syarat B dirumuskan :



𝑷 𝑨∩𝑩 𝑷 𝑩𝑨 = 𝑷(𝑨)



⟹



𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 .𝑷 𝑩 𝑨



Keterangan : 𝑷 𝑨 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨 𝑷 𝑩 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑩 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨 𝒅𝒂𝒏 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑩 𝑷 𝑨 𝑩 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑨 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒔𝒚𝒂𝒓𝒂𝒕 𝑩 𝑷 𝑩 𝑨 = 𝒑𝒆𝒍𝒖𝒂𝒏𝒈 𝒌𝒆𝒋𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏 𝑩 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒔𝒚𝒂𝒓𝒂𝒕 𝑨 = 𝒎𝒆𝒘𝒂𝒌𝒊𝒍𝒊 𝒌𝒂𝒕𝒂 "𝒔𝒚𝒂𝒓𝒂𝒕" 𝒂𝒕𝒂𝒖 "𝒋𝒊𝒌𝒂"



contoh 01: Pada pemilihan ketua RT, terdapat 6 calon laki-laki dimana 4 orang masih aktif bekerja dan 2 orang sudah pensiun, 3 calon perempuan dimana 1 orang masih aktif bekerja dan 2 orang sudah pension. Jika dipilih satu orang secara acak untuk menjadi ketua RT, berapa peluang yang terpilih adalah laki-laki dengan syarat masih aktif bekerja



jawab : Masih bekerja



Sudah Pensiun



Laki-laki



4



2



6



Perempuan



1



2



3



5



4



9



𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖 ⟹ 𝑃 𝐴 = 6/9 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 ⟹ 𝑃 𝐵 = 5/9 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 ⟹ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 4/9 𝐴ȁ𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑝𝑖𝑙𝑖ℎ 𝑙𝑎𝑘𝑖 − 𝑙𝑎𝑘𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑓 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 Jadi : 𝑷 𝑨𝑩 =



𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝟒/𝟗 𝟒 = = 𝑷 𝑩 𝟓/𝟗 𝟓



contoh 02: Diketahui peluang istri menonton TV sendiri alalah 0,7. Peluang istri dan suami menonton TV Bersama adalah 0,4 Tentukan peluang suami menonton TV jika istri telah menonton TV lebih dahulu ?



jawab : 𝐴 = 𝐾𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 𝑇𝑉 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟𝑖



⟹ 𝑃 𝐴 = 0,7



𝐵 = 𝐾𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑎𝑚𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 𝑇𝑉 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑖𝑟𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑎𝑚𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 𝑇𝑉 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎 ⟹ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,4 𝐵ȁ𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑎𝑚𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 𝑇𝑉 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖 𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 𝑇𝑉 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎ℎ𝑢𝑙𝑢 Jadi :



𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷 𝑩𝑨 = 𝑷 𝑨 =



𝟎, 𝟒 𝟎, 𝟕



=



𝟒 𝟕



contoh 03: Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Dari dalam kotak tersebut diambil 2 bola satu demi satu tanpa dikembalikan. Berapa peluang yang terambil a. bola pertama merah dan bola kedua biru b. keduanya bola merah



jawab : a. bola pertama merah dan bola kedua biru 𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑏𝑖𝑟𝑢



Perhatikan diagram berikut : I II



𝐵 ȁ𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑏𝑖𝑟𝑢 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎ℎ𝑢𝑙𝑢 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑏𝑖𝑟𝑢 jadi :



𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 ⋅𝑷 𝑩 𝑨 𝟔 𝟒 = ⋅ 𝟏𝟎 𝟗 𝟐𝟒 = 𝟗𝟎 𝟒 = 𝟏𝟓



𝟔 𝑷 𝑨 = 𝟏𝟎



𝑷 𝑩ȁ𝑨 =



𝟒 𝟗



contoh 03: (lanjutan) Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Dari dalam kotak tersebut diambil 2 bola satu demi satu tanpa dikembalikan. Berapa peluang yang terambil a. bola pertama merah dan bola kedua biru b. keduanya bola merah



jawab : b. keduanya bola merah (bola I merah dan bola II merah) 𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ Perhatikan diagram berikut : I II 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝐵 ȁ𝐴 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑑𝑎ℎ𝑢𝑙𝑢 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐼𝐼 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ jadi :



𝑷 𝑨∩𝑩 =𝑷 𝑨 ⋅𝑷 𝑩 𝑨 𝟔 𝟓 = ⋅ 𝟏𝟎 𝟗 𝟑𝟎 = 𝟗𝟎 𝟏 = 𝟑



𝑷 𝑨 =



𝟔 𝟏𝟎



𝑷 𝑩ȁ𝑨 =



𝟓 𝟗