Materi 10. Garis Istimewa, Segibanyak, Luas [PDF]

Citation preview

Pertemuan ke-10



GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA SEGITIGA DAN MELUKISNYA. Definisi Garis berat adalah garis yang ditarik dari suatu titik segitiga ke pertengahan sisi di depannya. Ilustrasi garis berat sebagai berikut



C



A



D



B



Titik D merupkan pertengahan dari AB, maka CD adalah garis berat.



Link berikut akan memperjelas pemahaman Anda. Link garis istimewa pada segitiga. Garis berat: https://www.youtube.com/watch?v=FWDgLPPutgI&feature=youtu.be



Tugas tantangan: Lukislah ketiga garis berat dalam segitiga dengan hanya menggunakan penggaris dan jangka. Apakah ketiga garis berat tersebut melalui sebuah titik (berpotongan pada satu titik?) Ulangi, apakah hal ini juga berlaku pada segitiga tumpul? Jika Anda menggambar dengan tepat, ya ketiga garis berat suatu segitiga melalui satu titik (konkuren) yang disebut titik berat.



Definisi Garis bagi ialah garis yang membagi sudut menjadi dua bagian yang sama.



Ilustrasi garis bagi sebagai berikut



Jika CD mengakibatkan ∠ACD = ∠BCD, maka CD disebut garis bagi.



Link berikut akan memperjelas pemahaman Anda. Link garis istimewa pada segitiga. Garis bagi: https://www.youtube.com/watch?v=yQ1fBj7NR9M&feature=youtu.be



Tugas tantangan: Lukislah ketiga garis bagi sudut dalam segitiga dengan hanya menggunakan penggaris dan jangka. Apakah ketiga garis bagi tersebut melalui sebuah titik (berpotongan pada satu titik?) Ulangi, apakah hal ini juga berlaku pada segitiga tumpul?



Jika Anda menggambar dengan tepat, ya ketiga garis bagi suatu segitiga melalui satu titik (konkuren) yang disebut titik bagi. Titik bagi merupakan pusat lingkaran dalam segitiga.



Definisi Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari satu titik secara tegak lurus ke sisi di depannya atau perpanjangan sisi di depannya Ilustrasi garis tinggi sebagai berikut C



A



D



B



Link berikut akan memperjelas pemahaman Anda. Link garis istimewa pada segitiga. Garis tinggi: https://www.youtube.com/watch?v=afBrq6Rnb_E&feature=youtu.be



Tugas tantangan: Lukislah ketiga garis tinggi sudut dalam segitiga dengan hanya menggunakan penggaris dan jangka. Apakah ketiga garis tinggi tersebut melalui sebuah titik (berpotongan pada satu titik?) Ulangi, apakah hal ini juga berlaku pada segitiga tumpul?



Jika Anda menggambar dengan tepat, ya ketiga garis tinggi melalui satu titik (konkuren) yang disebut titik tinggi. Definisi Sumbu suatu garis/sisi ialah garis yang tegak lurus pada pertengahan garis/sisi itu.



Ilustrasi garis sumbu sebagai berikut



C



g



A



M



B



Pada segitiga sering juga disebut garis sumbu. Ketiga garis sumbu melalui satu titik yang disebut titik sumbu. Titik sumbu merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga. Link berikut akan memperjelas pemahaman Anda. Link garis istimewa pada segitiga. Garis sumbu: https://www.youtube.com/watch?v=dlbLef4_5L4&feature=youtu.be



Setelah Anda menegetahui dan memahami tentang garis bagi sudut, maka akan kita coba melihat hubungan antara garis bagi sudut dalam dan garis bagi sudut luar dari sudut yang sama. Teorema Garis bagi dalam dan garis bagi luar dari sudut yang sama, tegak lurus sesamanya. Bukti Cobalah Anda gambar ilustrasi untuk membuktikan teoorema tersebut. Setidaknya seperti pada gambar di bawah ini.



Dimana BD garis bagi dalam dan BE garis bagi luar Anda diminta untuk membuktikan bahwa BD ⊥ BE



Link materi garis bagi dalam dan garis bagi luar https://www.youtube.com/watch?v=fphp_pLpCLM&feature=youtu.be



Kekongruenan Segitiga



Cermati gambar berikut ini! Fokuskan pada sisi-sisinya! Apakah Anda menemukan segitiga dengan ukuran sisi-sisi yang sama?



Ya, segitiga-segitiga yang sama dan sebangun tersebut disebut dengan segitiga yang kongruen. Kita bisa mendefiniskan dua buah segitiga yang ketiga sisinya sama adalah sama dan sebangun. Misalkan kita sebut gambar (i) sebagai segitiga ABC dan gambar (iii) sebagai segitiga KLM, dua buah segitiga tersebut adalah sama dan sebangun dapat ditulis dengan symbol ∆ ABC ≅ ∆KLM. Kita bisa menyebut juga dengan ∆ABC kongren dengan ∆KLM. Dua segitiga yang sisi-sisinya sama dapat ditulis dengan S-S-S.



Definisi Dua segitiga dikatakan sama dan sebangun (kongruen) bila segitiga yang satu ditransformasikan ke segitiga yang lain dapat menutupi segitiga tersebut dengan tepat atau sebaliknya. Teorema Dua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s. sd. S) Teorema. Pada dua segitiga, berlaku: 1.



Dua segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisinya dan sudut apit sisi itu sama (S-Sd-S). (S= Sisi, Sd: Sudut)



2.



Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisi sama dan kedua sudut pada sisi itu sama. (Sd-S-Sd)



3.



Dua segitiga sama dan sebangun, jika satu sisinya sama, sudut pada sisi itu dan sudut dihadapan sisi itu sama. (S-Sd-Sd)



4.



Dua segitiga sama dan sebangung, jika segitiga itu siku-siku dan sebuah sisi siku-siku dan sisi miringnya sama.



Perhatikan, jika dua segitiga sama dan sebangun maka : 1.



Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang



2.



Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar



Sisi-sisi yang bersesuaian ialah sisi-sisi di hadapan sudut yang sama besar, Sedangkan sudut-sudut yang bersesuaian ialah sudut-sudut yang menghadap sisi-sisi yang sama panjang.



Teorema-teorema lain pada segitiga Berikut ini adalah teorema-teorema yang dapat Anda manfaatkan dan sering digunakan dalam menyeesaikan masalah-masalah geometri. Teorema Dalam segitiga sama kaki sudut alasnya sama besar



Bukti Seperti biasa, Anda diharapkan membuat ilustrasi dari teorema tersebut. Sehingga akan dengan mudah menerjemahkan dalam proses berpikir. Misal ∆ABC sama kaki (AC = BC)



Pada kondisi ini Anda diminta untuk membuktikan bahwa ∠A = ∠B



Untuk membuktikan, yang harus Anda lakukan adalah menarik garis berat CD, nah, sekarang perhatikan ∆ADC dan ∆BDC. Diperoleh fakta-fakta sebagai berikut.



AC = BC (diketahui) AD = BD (diketahui) CD = CD (berimpit)



∴∆ADC ≅ ∆BDC (S S S) Akibatnya : ∠A = ∠B (terbukti)



∎



Teorema Dalam segitiga sama kaki, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit. Bukti: Ilustrasi dari pernyataan dalam teorema adalah sebagai berikut. Kita mulai dari menarik garis istimewa (misal garis bagi) pada sudut C.



Pada kasus ini, maka Anda diminta utuk membuktikan bahwa ketiga garis istimewa lainnya (garis berat, garis tinggi, garis sumbu) berimpit satu dengan lainnya.



Misal CD garis bagi, akan dibuktikan CD juga garis berat, garis tinggi, dan garis sumbu. Perhatikan ∆ADC dan ∆BDC, maka akan diperoleh fakta sebagai berikut. AC = BC (diketahui) ∠ACD = ∠ BCD (CD garis bagi) CD = CD berimpit



∴∆ ADC ≅ ∆ BCD (S Sd S)



Akibatnya : 1.



AD= BD Karena AB=CD, CD disebut garis berat



2.



∠ ADC = ∠ BDC, padahal ∠ ADC + ∠ BDC = 180° maka ∠ ADC =∠ BDC = 90° atau CD ⊥ AB maka CD garsi tinggi.



3.



AD = BD dan CD ⊥ AB maka CD garis sumbu.



Jadi terbukti ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas berimpit.



Teorema Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring. Ilustrasi dari teorema tersebut adalah sebagai berikut.



Misalkan ∆ABC, ∠ A = 90°, AD garis berat (BD =1DC) Anda diminta untuk membuktikan bahwa A D = ½ BC Langkah-langkah berikut, membantu dalam proses pembuktian Tarik dari titik B garis yang sejajar AC, hingga memotong perpanjangan AD di E. Maka ∆ADC ≅ ∆ BDE. Akibatnya AC = BE. Perhatikan ∆ABC dan ∆ABE, maka diperoleh fakta-fakta sebagai berikut. AC = BE (sudah dibuktikan) ∠BAC = ∠ABE = 90° BA = AB (berimpit) ∴∆ BAC ≅ ∆ ABE (S Sd S) Akibatnya ∠ ABC = ∠ BAE atau ∆ABD sama kaki. Kesimpulan : AD = BD atau AD = ½ BC (terbukti)



Teorema °



°



Dalam segitiga siku-siku dengan sudut 30 , sisi di hadapan sudut 30 itu sama dengan setengah sisi miring. Ilustrasi dari pernyataan yang terdapat dalam teorema adalah sebagai berikut.



Bukti:



Melukis Segitiga Lukislah segitiga, jika diketahui panjang satu sisinya dan besar kedua sudut pada sisi itu.



Langkah: 1. Tarik garis sembarang dan ukurlah alas AB. 2. Pada pangkal dan ujungnya, lukislah ⦟A dan ⦟B. 3. Kakinya disambung hingga berpotongan di C.



Soal Latihan 1. Lukislah sebuah segitiga, jika diketahui dua sisinya dan sudut apit sisi itu. 2. Lukislah sebuah segitga, jika diketahui satu sisi, satu sudut pada sisi itu dan sudut di hadapan sisi itu. 3. Lukislah sebuah segitiga, jika diketahui ketiga sisinya. 4. Lukislah sebuah segitiga, jika diketahui dua sisi dan satu sudut di hadapan satu sisi itu.



SEGI BANYAK Teorema 1 Dalam segi-n dapat ditarik dari satu titik sudut (n-3) buah diagonal



Bukti: Dari A tidak dapat ditarik diagonal ke A. Jika kita hubungkan A dengan B dan F tidak menghasilkan diagonal melainkan sisi. Dengan demikian jika A dihubungkan dengan titik sudut lain, ada (n-3) buah yang menghasilkan diagonal. Jadi, dari satu titik sudut dapat ditarik (n-3) buah diagonal. Teorema 2 Banyak diagonal suatu segi-n adalah ½ n (n-3). Bukti: Untuk 1 titik sudut dapat ditarik (n-3) diagonal. Untuk n titik sudut dapat ditarik n(n-3) diagonal. Tetapi, jumlah ini harus dibagi 2, karena tiap-tiap diagonal terhitung dua kali (misal diagonal dari A ke C sama dengan diagonal C ke A). Jadi, banyak diagonal suatu segi-n adalah ½ n (n-3). Teorema 3 Jumlah sudut suatu segi-n adalah (n-2)1800. Teorema 4 Jumlah sudut luar segi-n besarnya 3600.



SEGIEMPAT Cermati gambar berikut ini!



Gambar 1. Macam-macam segiempat



Pada gambar di atas, kesemuanya adalah bangun datar segi empat. Dapatkah Anda mendefiniskan apa itu segi empat? Segi empat adalah gabungan dari empat ruas garis yang ditentukan oleh empat titik, tiga titik di antaranya tidak segaris.



Kita dapat menggelompokkan segi empat-segi empat tersebut menurut sisi, sudut, dan hubungan antara sisi dan sudut dan beberapa sifat dari segi empat. Macam-macam Segi Empat a)



Jajar genjang Jajargenjang adalah suatu segiempat yang sisi-sisinya sepasangsepasang sejajar.



Gambar 2. Jajargenjang ABCD



Dapatkah Anda menunjukkan bahwa sudut-sudut pada jajar genjang yang berhadapan sama besar! (Tunjukkan bahwa besar sudut A = sudut C, dan besar sudut B sama dengan sudut D. Coba ikuti langkah berikut ini!



Kotak 1: Tarik diagonal AC, sedemikian hingga kita bisa menandai sudut A1 dan A2, dan sudut C1 dan C2. Pertanyaanya adalah apakah besar sudut A1 sama dengan besar susut C2 (mengapa sama besar?). Selanjutnya apakah besar sudut A2 sama dengan besar sudut C1 (mengapa sama besar?). Jadi A1 + A2 = C1 + C1 ∠



∠



∠ Jadi ∠ A = C Permasalahan: ∠



1.



∠



Dapatkah Anda menunjukkan bahwa sisi-sisi jajar genjang yang berhadapan sama panjang!



2.



Kedua diagonal jajar genjang potong-memotong ditengah-tengah masing-masing diagonal.



3.



Jika dalam suatu segi empat, sudut-sudut yang berhadapan sama sepasang-sepasang sama besar maka segi empat itu suatu jajar genjang. Coba Anda buktikan permasalahan tersebut!



b)



Persegi Panjang Apabila pada Gambar 2, yakni jajargenjang ABCD, Anda dibuat sedemikianhingga salah satu sudutnya siku-siku, misalnya pada sudut 0



A dibuat 90 ? Gambar apa yang terjadi? Ya, jajargenjang tersebut tentu menjadi seperti gambar berikut. Mengapa sudut B, C dan D juga 0



sama 90 ? (Lihat Kotak 1)



Berdasar gambar yang Anda buat di atas, kita dapat mendefinisikan bahwa persegi panjang adalah suatu jajar genjang yang satu sudutnya siku-siku. Berdasar definisi di atas: 1)



Mengapa kita tidak perlu mendefinisikan bahwa kekempatnya siku-siku?



2)



Apakah semua sifat pada jajar genjang berlaku untuk persegi panjang? Tunjukkan sifat-sifat tersebut!



c)



Belah Ketupat Apabila pada Gambar 2, yakni jajargenjang ABCD, Anda dibuat sedemi-kian hingga dua sisinya yang berurutan sama panjang? Gambar apa yang terjadi? Ya, jajargenjang tersebut tentu menjadi seperti gambar berikut.



Gambar 3. Belah Ketupat



Apa yang dapat Anda ketahui dari gambar 3.4 di atas? 1)



Apakah keempat sisinya sama panjang?



2)



Apakah sifat-sifat pada jajar genjang berlaku untuk belah ketupat?



d) Persegi Jika Gambar 2, jajar genjang ABCD dibuat sedemikianhingga satu sudutnya siku-siku dan semua sisinya sama panjang, bangun apa yang terbentuk? Ya, bangun yang terbentuk adalah segi empat beraturan yang disebut dengan persegi. Persegi adalah jajargenjang yang semua



sisinya sama panjang dan satu sudutnya siku-siku. Persegi juga merupakan persegi panjang dengan empat sisi yang kongruen. Apakah sifat-sifat pada jajar genjang juga berlaku untuk persegi? Apa saja sifat tersebut? Jelaskan!



e) Trapesium Berbeda yang jajar genjang, belah ketuap, persegi panjang, dan persegi. Kita dapat membuat bangun segi empat yang dua sisinya sejajar, sisi yang lain tidak harus sejajar. Bangun segi empat tersebut dapat berbentuk sebagai berikut.



Pada gambar di atas, sisi AB sejajar dengan sisi DC. SemEntara sisi AD dan BC tidak sejajar. Bangun tersebut disebut dengan trapesium. Jadi trapesium adalah suatu segi empat yang dua buah sisinya sejajar. Trapesium yang sisi tegakmya sama panjang disebut trapesium sama kaki. Berikut gambar trapesium sama kaki.



Apakah Anda bisa menunjukkan bahwa: 1)



Dalam trapesium sama kaki, sudut-sudut alasnya sama besar!



2)



Dalam tarpesium sama kaki, diagonal-diaginalnya sama panjang!



Petunjuk: Gunakan kesejajaran dua buah garis



f)



Layang-layang



Gambarlah segi empat dengan diagonal-digonalnya saling tegak lurus sesamanya dengan sisi yang berdekatan berbeda panjang. Bangun apa yang terjadi? Layang-layang adalah bangun datar segiempat yang memiliki 2 pasang berbeda sisi berdekatan yang sama panjang. Cermati sifat-sifat layang-layang berikut: 1)



sisinya sepasang-sepasang sama panjang.



2)



sepasang sudut yang berhadapan sama besar.



3)



salah satu diagonal membagi dua sama panjang diagonal lainnya



4)



kedua diagonanya tersebut saling tegak lurus.



Apakah Anda bisa menunjukkan bahwa sifat-sifat tersebut benar?



LUAS Untuk materi luas persegi panjang, jajargenjang, segitiga, trapesium, dll silakan And abaca dan pahami uraiannya di Buku Geometri Dasar karya Bu Husni hal. 29-33 dan referensi lain yang relefan.



Sumber: 1. Kusni dan Sutarto, H. 2018. Geometri Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Semarang: Magnum Pustaka Utama. 2. Modul PPG dalam jabatan: http://ppg.spada.ristekdikti.go.id/master/course/view.php?id=313§ion= 1