MATERI 2 (Jarak Titik Ke Titik Pada Bangun Ruang) [PDF]

Citation preview

MATERI 2 : JARAK TITIK KE TITIK (antar dua titik ) PADA BANGUN RUANG



Sebelum mempelajari jarak antar dua titik, kita akan memahami konsep tentang jarak terlebih dahulu. Perhatikan permasalahan berikut ini! Rumah Heru, dimas, dan Rama berada dalam satu perdesaan. Rumah Dimas dan Rama dipisahkan oleh sawah sehingga harus mengelilingi sawah untuk sampai ke rumah mereka. Jarak antara rumah Dimas dan Rama 5 km, sedangkan jarak antara rumah Dimas dan Heru 12 Km. Dapatkan anda menentukan jarak antara rumah Heru dan Rama? Penyelesaian: Misalkan rumah Heru, Dimas dan Rama diwakili oleh tiga titik yaitu A, B, dan C. maka akan diperoleh gambar sebagai berikut: Rumah Rama C



5 km



A Rumah heru



12 km



B Rumah Dimas



Jarak antara rumah Heru dan rama adalah Panjang garis yang menghubungkan titik A ke titik C atau Panjang ruas garis AC. Karena ABC adalah segitiga siku-siku maka Panjang garis Ac dapat dicari dengan menggunakan rumus Phytagoras . AC 2= AB 2 +BC 2



AC= √ AB 2+ BC 2 ¿ √ 122+5 2 ¿ √ 144+25 ¿ √ 169=13 , maka jarak antara rumah heru dan Rama adalah 13 km JARAK ANTARA DUA TITIK PADA BANGUN RUANG Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Perhatikan gambar berikut ini! B



A



jarak antara titik A dan titik B adalah Panjang garis AB.



Ingat! Untuk menyelesaikan jarak antara dua titik pada bangun ruang , ada beberapa hal penting yang harus diingat:: 1. Rumus Teorema Phytagoras



C AC= √ AB 2+ BC 2 AB=√ AC 2−BC 2 BC= √ AC 2− AB 2



B



A



Ingat! Sisi yang berada di depan sudut siku-siku adalah sisi terpanjang yang dikenal dengan sisi Hipotenusa. 2. Karakteristik kubus dan unsur-unsurnya



H



a. Kubus mempunyai 8 titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, H b. Sisi-sisi pada kubus disebut rusuk. Contoh: AB , DH dan Panjang rusuk semuanya sama. c. Bidang sisinya berbentuk persegi E F a cm d. BG atau AF atau FH atau DE disebut diagonal sisi. Terdapat 12 buah diagonal sisi yang sama panjangnya e. EC atau AG atau HB atau DF disebut diagonal Ruang. D Terdapat 4 buah diagonal ruang yang sama panjangnya C f. Panjang diagonal sisi¿ a √ 2 cm. dengan a = Panjang rusuk. a cm g. Panjang diagonal ruangi¿ a √ 3 cm. dengan a = Panjang A a cm B rusuk. h. Bidang sisinya berbentuk persegi 3. Karakteristik Balok dan unsur-unsurnya



G



H



a. Balok mempunyai 8 titik sudut : A, B, C, D, E, F, G, H b. Sisi AB dan yang sejajarnya disebut Panjang, sisi BC E dan sejajarnya disebut lebar dan sisi CG dan sejajarnya F disebut dengan tinggi. tinggi c. Bidang sisinya berbentuk persegi Panjang d. BG atau AF atau FH atau DE disebut diagonal sisi dan D Diagonal sisi yang berhadapan panjangnya sama. C e. EC atau AG atau HB atau DF disebut diagonal Ruang. lebar f. Panjang diagonal sisi dan diagonal ruang dicari dengan A B panjang menggunakan Teorema Phytagoras 4. Karakteristik limas segi empat beraturan dan unsurnya



G



T



D



C O



A



B



a. Memiliki 5 titik sudut terdiri dari 4 titik sudut bidang alas dan 1 titik puncak b. Mempunyai 8 buah rusuk c. Bidang alasnya berbentuk segi empat d. Memiliki 5 sisi yaitu 1 sisi berupa alas berbentuk segi empat dan 4 sisi dan 4 sisi lainnya bidang tegak berbentuk segitiga e. TO merupakan tinggi dari limas



Contoh Soal dan Pembahasan Jarak titik ke titik pada Bangun Ruang 1. Perhatikan gambar kubus berikut ini!



H



G



E



Tentukan : a. b. c. d.



F D



A



C



Jarak antara titik A ke E Jarak antara titik B ke D Jarak antara titik A ke G Jarak antara titik A ke titik P, dengan titik P terletak pada pertengahan rusuk BF



B



6 cm



Penyelesaian :



H



H



G



E



E



F D



A



B



6 cm



E



F D



C A



(i)



6 cm



H



G



F D



P



6 cm



B



C B



A



(ii)



G



C



(iii)



Perhatikan gambar (i) untuk a dan b a. Jarak antara titik A dan titik E diwakili oleh Panjang garis AE. Karena AE adalah rusuk kubus maka Panjang AE = 6 cm. Jadi, jarak antara titik A dan titik E adalah 6 cm b. Jarak antara titik B ke titik D diwakili oleh Panjang garis BD. Mencari Panjang BD, bisa dilakukan dengan dua cara: Cara I: perhatikan segitiga BAD siku-siku di A.



D



BD=√ AB 2 + AD 2



6 cm



A



¿ √ 62 +62 6 cm



6 √2



¿ √ 72=√ 36 ×2=6 √2



B



jadi, jarak titik B ke titik D = cm Cara II: Garis BD merupakan diagonal sisi kubus, rumus Panjang diagonal sisi kubus = a √ 2, dengan a adalah Panjang rusuk kubus. Dengan demikian, Panjang BD = a √ 2 = 6 √ 2 cm. Perhatikan gambar (ii) untuk c c. Jarak antara titik A dan G diwakili oleh Panjang garis AG Mencari Panjang AG , bisa dilakukan dengan dua cara: Cara I: Perhatikan segitiga ACG siku-siku di C



G



AC adalah diagonal sisi kubus maka Panjang AC = 6 √ 2 cm. CG merupakan rusuk kubus, maka Panjang CG = 6 cm. 2



AG=√ AC 2+CG 2= (6 √ 2) +62= √72+36



√



A



C



¿ √ 108=√ 36 ×3=6 √ 3 cm



Jadi, jarak titik A ke G adalah 6 √ 3 cm.



Cara II: Garis AG merupakan diagonal ruang kubus, rumus Panjang diagonal ruang kubus = a √ 3, dengan a adalah Panjang rusuk kubus. Dengan demikian, Panjang AG = a √ 3 = 6 √ 3 cm. Perhatikan gambar (iii) untuk d d. Jarak antara titik A ke titik P diwakili oleh Panjang garis AP. Untuk mencari Panjang AP , perhatikan segitiga ABP siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm dan BP =



P



AP=√ AB 2 + BP 2=√ 62 +32= √ 36+ 9



3 cm



A



1 ×6=3 cm karena titik P terletak ditengah rusuk BF. 2



¿ √ 45=√ 9× 5=3 √5 cm



B



6 cm



2. Perhatikan gambar balok berikut ini!



S



R



P



Q N



K



3 cm



a. Jarak titik P ke titik Q b. Jarak titik P ke titik N c. Jarak titik L ke titik S



M 4 cm



L



12 cm



Tentukan :



Penyelesaian:



S P



Q N



K



S



R



L



12 cm



R



P



Q



3 cm M 4 cm



3 cm N K



12 cm



L



M 4 cm



(i) (ii) Perhatikan gambar (i) untuk a dan b a. Jarak titk P ke titik Q diwakili oleh Panjang garis PQ, karena garis PQ sejajar garis KL maka Panjang PQ = Panjang KL yaitu 12 cm. jadi, jarak titik P dan Q adalah 12 cm. b. Jarak titik P ke titik N diwakili Panjang ruas garis PN Mencari Panjang garis PN, perhatikan segitiga PKN siku-siku di K



P



PN=√ KN 2+ PK 2 =√ 42 +32 =√16 +9 ¿ √ 25=5 cm



3 cm



Jadi, jarak titik P ke N adalah 5 cm



K



4 cm



N



Perhatikan gambar (ii) untuk c c. Jarak titik L ke S diwakili panjang ruas garis LS Untuk mencari Panjang garis LS , terlebih dahulu kita cari Panjang LN dengan menggunakan segitiga LKN siku-siku di K



N



ln =√ KN 2+ KL 2=√ 4 2 +122=√ 16+144 ¿ √ 160=√ 16 ×10=4 √ 10



4 cm



Jadi Panjang LN = 4 √ 10 cm



12 cm



K



L



Selanjutnya perhatikan segitiga SNL siku-siku di N



S



2



LS=√ SN 2 + NL 2= 32+( 4 √ 10) = √ 9+ 160



√



¿ √ 169=13



3 cm ϰяϭϬcm



N



L



Jadi, jarak antara titik L dan S adalah 13 cm



3. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD, dengan Panjang rusuk alas 6 cm dan Panjang rusuk tegak 9 cm. Tentukan : a. Jarak titik A ke D b. Jarak titik A ke C c. Jarak titik T ke O, dimana O adalah titik potong kedua diagonal sisi pada bidang alas Penyelesaian: Perhatikan gambar berikut untuk a dan b!



T 9 cm



D



C 6 cm



A



B



6 cm



Perhatikan gambar berikut untuk c!



T



D



¿ √ 72=√ 36 ×2=6 √2 Jadi, jarak titik A ke titik C adalah 6 √ 2 cm



Perhatikan segitiga TOA siku-siku di O, Panjang TA = 9 cm



C 6 cm



O 6 cm



AC= √ AB 2+ BC 2=√ 62 +62= √36+ 36



c. Jarak titik T ke titik O diwakili oleh Panjang garis TO.



9 cm



A



a. Jarak titik A ke titik D diwakili oleh Panjang garis AD. Karena AD adalah rusuk alas maka Panjang AD = 6 cm. Jadi, jarak titik A ke titik D adalah 6 cm. b. Jarak titik A ke C diwakili oleh Panjang garis AC. AC adalah diagonal sisi pada bidang alas yang berbentuk segi empat maka AC dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras. Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B,



B



Panjang AO =



1 1 × AC = × 6 √ 2 =3 √ 2, maka 2 2 2



¿=√TA 2− AO2 = 92−( 3 √2) =√ 81−18



√



¿ √ 63= √ 9 ×7=3 √ 7