Materi Dan Tugas Bilangan Berpangkat Kelas X DKV [PDF]

Citation preview

Mata Pelajaran Kelas / Semester Kompetensi Dasar Materi



: Matematika : X (DKV) / Ganjil : Menerapkan konsep bilangan berpangkat, bentuk akar dan logaritma dalam menyelesaikan masalah : Pangkat (Eksponen)



PANGKAT (EKSPONEN) A. Definisi Jika a anggota bilangan Real dan n > 1, untuk n anggota bilangan bulat positif maka pangkat n dari a didefinisikan sebagai berikut : an = a x a x a x a x a...x a sebanyak n faktor an dibaca “a pangkat n “ , dengan a disebut bilangan pokok / dasar dan n disebut pangkat / eksponen. Contoh a. 25 dibaca “dua pangkat lima” 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 Dikalikan Sebanyak 5 kali B. Sifat-sifat pangkat bulat positif Untuk menyelesaikan atau menyederhanakan bentuk bilangan berpangkat, digunakan sifat – sifat bilangan berpangkat, yaitu : 1. Sifat perkalian pada bilangan berpangkat Untuk a bilangan real , m dan n bilangan bulat positif, maka perkalian pada bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai berikut :



am × an = am + n, a ≠ 0



(jika dikali, maka pangkatnya harus ditambah)



Contoh a. 24 × 22 = 24+2 = 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 b. 2𝑝2𝑝5 = 2 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑝5 = 2 ∙ (𝑝 2+5) = 2 ∙ 𝑝7 = 2𝑝7 2. Sifat pembagian pada bilangan berpangkat Untuk a bilangan real , m dan n bilangan bulat positif, serta m > n maka pembagian pada bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai berikut :



,a≠ 0



(jika dibagi, maka pangkatnya harus dikurangi)



Contoh 54



= 5 4−2 = 52 = 25



a.



54 ∶ 52 =



b.



(2) : (2) = (2)



c.



1 6



52



1 4



46 𝑝 3 𝑞 5 4 5 𝑝2 𝑞3



46



1 6−4



𝑝3



1 2



1



1



1



=( ) = × = 2 2 2 4



𝑞5



= 45 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑞3 = 46−5 ∙ 𝑝3−2 ∙ 𝑝5−3 = 41 𝑝1 𝑞 2 = 4𝑝𝑞 2



3. Sifat pangkat pada bilangan berpangkat Untuk a bilangan real , m dan n bilangan bulat positif, maka perpangkatan pada bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai berikut :



(am) n = a m x n, a ≠ 0



(jika didalam kurung, maka pangkatnya harus dikali)



Contoh a . (23 )2 = 23×2 = 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 1



4



1



b. (𝑝4 ) = 𝑝4×4 = 𝑝1 = 𝑝 2



2



2



c. (8)3 = (23 )3 = 23×3 = 22 = 4 4. Sifat pangkat pada perkalian dua atau lebih bilangan Untuk a bilangan real , m bilangan bulat positif, maka perpangkatan pada perkalian bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut : (a .b)m = am . bm, a ≠ 0, dan b ≠ 0 Contoh a. (2 ∙ 5)2 = 22 ∙ 52 = 4 ∙ 25 = 100 b. (𝑝𝑞 2 )4 = 𝑝4 𝑞 2×4 = 𝑝4 𝑞 8



(sifat 3 dan sifat 4)



5. Sifat pangkat pada pembagian bilangan Untuk a bilangan real , m bilangan bulat positif, maka perpangkatan pada pembagian bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut :



=



𝑎



, a ≠ 0, dan b ≠ 0



Contoh : 100 4



a. 1004 : 504 = ( 50 ) = 24 = 8 𝑎𝑏 2



4



𝑎4 ∙ 𝑏2×4



𝑎4 ∙ 𝑏8



b. (𝑐 5 𝑑3 ) = 𝑐 5×4 ∙ 𝑑3×4 = 𝑐 20 ∙ 𝑑12



(sifat 3 dan 5 )



6. Sifat bilangan berpangkat nol Untuk a



bilangan real, maka bilangan berpangkat nol dapat dinyatakan sebagai



berikut : 𝑎0 = 1 , 𝑎 ≠ 0 7. Sifat bilangan berpangkat negatif Untuk a bilangan real , m bilangan bulat positif, maka perpangkatan pada bilangan berpangkat negatif dapat dinyatakan sebagai berikut : 𝑎−𝑚 =



1 ,𝑎 ≠ 0 𝑎𝑚



8. Sifat bilangan berpangkat pecahan ❖ Untuk a bilangan real, a ≥ 0, dan n bilangan bulat positif, serta n ≥ 2 berlaku : 1



𝑛



√𝑎 = 𝑎 𝑛



❖ Untuk a bilangan real, a ≥ 0, dan m, n bilangan bulat positif, serta n ≥ 2 berlaku : 𝑚



𝑛



√𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛



Contoh : 1. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif : a. 𝑎−4 =



1 𝑎4



15 .𝑥 −1 .𝑦 −2



b.



3 .𝑥 −3 .𝑦



=



15 3



.



𝑥 −1 𝑥 −3



.



𝑦 −2 𝑦



= 5. 𝑥 −1−(−3) . 𝑦 −2−1 = 5. 𝑥 2 . 𝑦 −3 =



2. Selesaikanlah : 2



3



3



a. 53 = √52 = √25 8



4



b. √58 = 54 = 52 = 25 1



2



c. 𝑎2 = √𝑎1 = √𝑎 3. Sederhanakan :



5 𝑥2 𝑦3



4 5



5 −6 2 5



(𝑏 . 𝑏 )



= (𝑏



4 −6 + 5 5



)



5 2



( sifat 1 )



5 2



−2 5



= (𝑏 ) = 𝑏



−2 5



𝑥



( sifat 3 )



5 2



( sifat 3 )



= 𝑏 −1



( sifat 7 )



1



=𝑏 4. Selesaikanlah : 2



2



2



a. 2163 = (63 )3 = 63 𝑥 3 = 62 = 36 2



1



b. 1253 . 25−2



2



1



= (53 )3 . (52 )−2 = 52 . 5−1 = 52+(−1) =5 C. Persamaan pangkat sederhana



(sifat 3) ( sifat 1 )



Persamaan pangkat adalah persamaan yang peubahnya dalam bentuk perpangkatan ( eksponen). Persamaan dalam bentuk pangkat dapat diselesaikan dengan cara menyatakan ruas kiri dan ruas kanan dalam bentuk pangkat sehingga bilangan pokok kedua ruas tersebut sama. Jika bilangan pokok kedua ruas tersebut sudah sama, maka tinggal menyamakan kedua eksponen / pangkat. Berikut ini bentuk – bentuk persamaan pangkat /eksponen . Misalkan a ≠ 0, 1. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0 2. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛 3. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat berikut : Ruas kiri = Ruas kanan a. 33𝑥−1 = 243 33𝑥−1 = 35 3𝑥 − 1 = 5 3𝑥 = 5 + 1 𝑥=



6 3



=2



Jadi HP = {2}



Ruas kiri = Ruas kanan



Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛



b.



82𝑥 = 4𝑥−1 (23 )2𝑥 = (22 )𝑥−1 26𝑥 = 22 (𝑥−1) 6𝑥 = 2𝑥 − 2



6𝑥 − 2𝑥 = −2 4𝑥 = −2 𝑥=



−2 4 1



𝑥 = −2 1



Jadi HP = {− } 2



Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)



LEMBAR KERJA SISWA



1. Tentukan nilai dari :



a.



81 . (9−1 )3 . 34 3−2 . 27



Penyelesaian 81 . (9−1 )3 . 34 3−2 . 27



= = =



=



3… . ((3… )−1 )3 . 34 3−2 . 3…



3… . (3−2 )3 . 34



( Sifat 1 dan sifat 3 )



3−2 +⋯ 3…+ (… ) + …



( Sifat 1 )



3−2 +⋯ 3…



( Sifat 2 )



3…



=⋯ 1



5



3



5



3



b. (27)3 − (64)6 + (16)4 Penyelesaian 1



1



5



3



(27)3 − (64)6 + (16)4 = (3… )3 − (2… )6 + (2… )4 1



= 3… 𝑥 3 − 2…



5



𝑥 6



= 3… − 2 … + 2 … = ⋯ − ⋯+ ⋯ =



2. Sederhanakanlah bentuk pangkat berikut ! 𝑎−2 .𝑏8 .𝑐 10



2



(𝑎12 .𝑏−4 .𝑐 6) Penyelesaian



+ 2… 𝑥



3 4



( sifat 3 )



𝑎−2 .𝑏8 .𝑐 10



2



𝑎−2 𝑥 2 . 𝑏8 𝑥 2 . 𝑐 10 𝑥 2



(𝑎12 .𝑏−4 .𝑐 6) = 𝑎12 𝑥 2 . =



𝑎… 𝑎…



.



𝑏−4 𝑥 2 . 𝑐 6𝑥2 𝑏… 𝑏…



.



𝑐… 𝑐…



= 𝑎…− … . 𝑏 …−⋯ . 𝑐 …−⋯



( Sifat 3 ) ( sifat 2 ) ( sifat 2 )



= ... 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat berikut ! 8



2𝑥



1 −5𝑥 −3 = ( ) 2



penyelesaian Ruas kiri = Ruas kanan 8



1 −5𝑥 −3 = ( ) 2



2𝑥



(2… ) 2…



2𝑥



= (2−1 )−5𝑥 −3



(2𝑥 )



= 2−1 (−5𝑥 −3 )



... ( 2x ) = ... – 5x



= 3



x



= ...



5x + 3



jadi HP = {… }



Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)



LATIHAN Nama



:



Kelas / jurusan



:



1. Tentukan nilai dari : 1



−1



52 . (125)



∶ 252



2. Sederhanakanlah : (2 𝑥 𝑝4 𝑥 𝑞 2 𝑥 𝑟 3 ) . (3. 𝑝 . 𝑞. 𝑟 )



3. Jika a = 5, b = 2 dan c = 1, maka tentukanlah nilai dari



𝑎3 .𝑏−2 .𝑐 6 𝑎 .𝑏.𝑐



4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan pangkat 53𝑥−2 = 25 2𝑥+1