Materi Fungsi Trigonometri [PDF]

Citation preview

2.3



Fungsi Trigonometri



Untuk mempelajari fungsi trigonometri, perlu diulang kembali rumus-rumus trigonometri : 2



2



2



sin x + cos x = 1



2



2



1 + tan x = sec x



2



1 + cot x = csc x



Rumus penjumlahan



Rumus pengurangan



sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y



sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y



cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y



cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y



tan(x + y) =



tan x + tan y 1 − tan x tan y



tan x − tan y 1 + tan x tan y



tan(x – y) =



Rumus sudut ganda 2



sin 2x = 2 sin x cos x tan 2x =



2



2



2



cos 2x = cos x – sin x = 1 – 2 sin x = 2 cos x – 1



2 tan x 2 cot x 2 = = 2 2 cot x − tan x 1 − tan x cot x − 1



Rumus perkalian sin x cos y =



1 {sin(x+y) + sin(x – y)} 2



sin x sin y =



1 {cos(x+y) – cos(x – y)} 2



cos x sin y =



1 {sin(x+y) – sin(x – y)} 2



cos x cos y =



1 {cos(x+y) + cos(x – y)} 2



Rumus faktor sin x + sin y = 2 sin



x+y x−y cos 2 2



cos x + cos y = 2 cos



sin x – sin y = 2 cos



x+y x−y sin 2 2



cos x – cos y = − 2 sin



C



γ



b α A



Rumus Sinus a



c



x+y x−y sin 2 2



Rumus Cosinus



a b c = = sin α sin β sin γ



β



x+y x−y cos 2 2



a = b + c – 2 bc cos α 2



2



2



b = a + c – 2 ac cos β 2



B



2



2



c = a + b – 2 ab cos γ 2



Gambar 2.4 Segitiga ABC



2



2



Persamaan a. Jika sin x = sin a, maka . o x = a + k.360 0 0 x = (180 – a) + k.360



b. Jika cos x = cos a, maka o x = a + k.360 o x = – a + k.360 o



c. Jika tan x = tan a, maka x = a + k.180



a. Fungsi Sinus : Bentuk sederhana : y = sin x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak



o



d. Jika cot x = cot a, maka x = a + k.180 Y 0



o



90



o



180



o



270



X o 360



o



Gambar 2.5 Fungsi y = sin x b. Fungsi Cosinus Bentuk sederhana : y = cos x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak



Y 0



o



90



o



180



o



270



o



Gambar 2.6 Fungsi y = cos x



7



X o 360



c. Fungsi Tangen Bentuk sederhana : y = tan x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak



Y 180 0



0



90



0



360



0



270



0



X



0



Gambar 2.7 Fungsi y = tan x



Contoh :



o o 1. Gambarkan sketsa grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 π) untuk interval 0 ≤ x ≤ 360 .



2



3



Jawab: 1/3 π = 60



o



x o 0 o 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180



y



x o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360



1 1,414 1,732 1,932 2 1,932 1,732



2



y 1,414 1 0,518 0 – 0,528 –1



1 0



0



o



90



o



180



o



270



o



360



o



–1 –2



Gambar 2.8 Grafik y = 2 sin 1 ( x + 1 π) 2



3



2. Tentukan titik potong persamaan y = sin 2x dan y = cos x dalam interval 0 ≤ x ≤ 360 . Gambarkan sketsa kedua grafik dan titik potongnya. o



o



Jawab Bila kedua persamaan di atas dipotongkan diperoleh sin 2x = cos x atau o sin 2 x = sin (90 – x) berdasarkan persamaan di atas diperoleh o o o o o o a. 2x = 90 – x + k.360 didapat 3x = 90 + k.360 atau x = 30 + k.120 o o untuk k = 0 maka x = 30 dan y = 0,866, untuk k = 1 maka x = 150 dan y = – 0,866 o untuk k = 2 maka x = 270 dan y = 0 o



o



o



o



o



o



o



b. 2x = 180 – (90 – x) + k.360 didapat 2x = 90 + x + k.360 atau x = 90 + k.360 o untuk k = 0 maka x = 90 dan y = 0 o o o o Jadi himpunan titik potong adalah { (30 , 0,866), (90 , 0), (150 , – 0,866), (270 , 0) } Penggambaran grafiknya sbb y = sin 2x x o 0 o 15 o 30 o 45 o 60 o 75 o 90 o 105 o 120



y = cos x



y 0 0,5 0,866 1 0,866 0,5 0 – 0,5 – 0,866



x o 135 o 150 o 165 o 180 o 195 o 210 o 225 o 240



y –1 –0,866 – 0,5 0 0,5 0,866 1 0,866



x o 255 o 270 o 285 o 300 o 315 o 330 o 345 o 360



y 0,5 0 – 0,5 –0,866 –1 –0,866 – 0,5 0



o



180 90



y



0 o 30 o 60 o 90 o 120 o 150 o 180



1 0,866 0,5 0 – 0,5 – 0,866 –1



y = cos x



y = sin 2x 0



x o



o



360



o



270



o



Gambar 2.9 Grafik y = sin 2x dan y = cos x



8



o



x o 210 o 240 o 270 o 300 o 330 o 360



y – 0,866 – 0,5 0 0,5 0,866 1



TUGAS MANDIRI BAB II Tugas Subbab 2.1 x −1 1 , hitung f(0), f(2a), dan f( ) 2 x x +2



1. Diketahui f ( x) = 2. Jika f(x) =



3x 2 − 5 , hitunglah f(0) + 6f(2) x+6



3. Jika f(x) =



3x 2 − 5 , tentukan f(2) + 6 f(–3) x+6



Tentukan daerah asal dari: 4. a. y =



5. a. y =



x 2 − 16 x2 − 1 x2 + 1



b. y =



x 2 − 2x + 1 16 − x 2



b. y =



x2 − x x +1



Tugas Subbab 2.2 1. Gambarkan sketsa grafik 2 a. y = x – 2x + 4 3 2 b. y = x + x – 2x



2



c. y = 2x – 4x + 3 2 d. y = – 2x – 4x + 3



2. Gambarkan sketsa grafik a. y =



( x − 2)( x − 3) x−5



4



c. y = x – 2



3. Gambarkan sketsa grafik 2



f(x) =



x +1 2 2x – x x+3



x≤–2 –21



jika jika jika



4. Gambarkan sketsa grafik f(x) =



x 3 x –1 2 x +3



x≤–2 –21



jika jika jika



Tugas Subbab 2.3 A. Gambarkan sketsa grafik untuk 0 < x < 360 o



0



1. y = sin x – cos x



2. y = 2 sin (x + 1 π) + 1.



3. by = cos 1 x



4. y = 1 – cos 2x



5. x = sin 2y – 3 untuk 0 < y < 180



2



2



o



0



B. Tentukan himpunan x untuk persamaan berikut 1. sin x = 0,5 untuk – 180 < x < 180



4. sin x = cos 2x untuk 0 < x < 360



2. cos x = 1



5. tan 2x = 1



0



2



0



o



2 untuk 0 < x < 720 o



0



3



C. Tentukan titik potong antara antara fungsi-fungsi berikut 1. y = sin 2x dengan y = cos x untuk – 180 < x < 180 0



0



o 0 2. y = sin 1 x dengan y = cos 1 x untuk 0 < x < 720



2



2



3. y = sin x + 1 dan y = – sin x – 1 untuk 0 < x < 360 o



4. y = sin 3x dan y = 1 2



3 untuk 0 < x < 360 o



0



9



0



0



3 untuk 0 < x < 180 o



0