Modul 2 - Permutasi Dan Kombinasi [PDF]

Citation preview

MODUL - II



PERMUTASI DAN KOMBINASI



 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS MODUL II Mahasiswa diharapkan mampu : 1) Menjelaskan pengertian faktorial, permutasi, dan kombinasi, binomial, peluang kejadian, frekuensi harapan, komplemen suatu kejadian. 2) Menentukan banyaknya cara menyelesaikan masalah dengan faktorial, permutasi, dan kombinasi, binomial, peluang kejadian, frekuensi harapan, komplemen suatu kejadian. 3) Menyelesaikan masalah dengan menggunakan faktorial, permutasi, dan kombinasi, binomial, peluang kejadian, frekuensi harapan, komplemen suatu kejadian.



 URAIAN MATERI A. FAKTORIAL Kaidah pencacahan (caunting slots) adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Banyak cara yang bisa digunakan antara lain : Aturan pengisian tempan, Faktorial, Permutasi dan Kombinasi. Defenisi Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda (!). Jadi jika n!, maka dibaca “n faktorial”. n !=1× 2× … × ( n−2 ) ×(n−1)× n Berikut ini adalah faktorial 1 sampai dengan faktorial 10. 1 !=1 2 !=1 ×2=2 3 !=1× 2× 3=6 4 !=1 ×2 ×3 × 4=24 5 !=1× 2× 3× 4 × 5=120 6 !=1× 2× 3 ×4 ×5 ×6=720 7 !=1× 2× 3 ×4 ×5 ×6 ×7=5040



8 !=1× 2× 3 ×4 ×5 ×6 ×7 × 8=40320 9 !=1× 2× 3 ×4 ×5 ×6 ×7 × 8 ×9=362880 10 !=1× 2× 3× 4 × 5× 6 ×7 × 8 ×9 ×10=3628800 Catatan : Hasil dari faktorial 0 adalah 1 (0! =1). Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya. Contoh Soal 1. Empat buah lukisan A, B, C, dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibenruk dari keempat lukisan tersebut? Penyelesaian : Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah 4!. 4 !=1 ×2 ×3 × 4 ¿ 24 Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah ABCD, ABDC, ACBD, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDBA, DABC, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA. 2. Hitunglah nilai dari 15! 2! ( 15−2 ) ! Penyelesaian : 15! 15! = 2! ( 15−2 ) ! 2 ! 13 ! ¿



1 ×2 ×3 ×… .. ×15 (1 ×2 )(1× 2×3 × … ×13)



¿



14 ×15 1× 2



= 105 B. PERMUTASI Definisi Suatu permutasi r unsure, yang diambil dari n unsur yang berlainan, ialah penempataan r unsure itu dalam satu urutan (r ≤ n) Dalil 1 nPr = (n)(n-1)(n-2)…..(n-r+1) ¿



n! ( n−r ) !



Khususnya: nPn = n(n-1)(n-2)…..1 = n!



Bukti Kita buktikan untuk n= 4 dan pandanglah 4 unsur a, b, c, dan d. Ambillah untuk r = 2. Untuk tempat pertama ada 4 pilihan, a, b, c, dan d dan untuk tempat kedua ada 3 pilihan, karena satu unsure sudah ditempatkan pada tempat pertama. Karena setiap pilihan untuk tempat pertama dapat digabungkan dengan setiap pilihan untuk tempat kedua, banyaknya permutasi 4 unsur 4.3 .2.1 4! =12 diambil 2 ialah 4P2 =4.3 = 12. Untuk 4.3 dapat di tulis sebagai , maka 4P2 = 2.1 2! Dalil 2 : Jika suatu operasi terdiri atas k langkah dan setiap langkahnya dapat dilakukan sebanyak n cara, maka keseluruhan operasi itu dapat dilakukan sebanyak n1n2... nk cara. Dalil 3 : Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda adalah n! Contoh : 



Ali pergi ke suatu showroom mobil untuk membeli sebuah mobil sedan baru. Sesampainya di tempat tujuan, ia mendapatkan 6 macam mobil (Corolla, Accord, Civic, Mitsubishi, Dihatsu, dan Suzuki) masing-masing dengan 4 warna pilihan dan 3 macam model interior. Berapa banyak alternatif mobil baru yang dapat dipilih? Penyelesaian : Jumlah alternatif mobil baru yang dapat dipilih ¿ n 1∙ n 2 ∙n 3



= 6 × 4 ×3 = 72 pilihan 



Seorang Dosen memiliki 5 buah buku yang akan disusun di atas rak bukunya . Berapa kemungkinan susunan yang mungkin terjadi? Penyelesaian : Jumlah kemungkinan susunan buku = 5! = 5 × 4 ×3 ×2 ×1 = 120



Diagram 1 4



3



Ambillah sekarang 4 unsur.Untuk tempat pertama dapat diambil a, b, c, atau d, jadi ada 4 pilihan. Untuk tempat kedua dapat di ambil hanya 3 pilihan ,karena satu unsure sudah terpakai. Untuk tempat ketiga hanya satu pilihan, karena tinggal satu unsure. Karena setiap pilihan untuk tempat pertama dapat digabungkan dengan setiap pilihan untuk tempat ketiga, dan seterusnya, maka 4P4 =4.3.2.1 =4! 4



3



2



1



Diagram 2 Perhatian: 1. Cara bukti diatas dapat digunakan untuk n unsure diambil r. 2. Rumus untuk nPn juga dapat dijabarkan dari rumus nPr dengan mengisi r = n dengan n! mendefenisikan 0!, yaitu nPn = n ! . 0!



C. PERMUTASI SIKLIS Permutasi siklis adalah permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.



Jika kita pandang urutan itu searah jarum jam maka susunan ABC, CAB, dan BCA adalah sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 3 objek adalah 3!/3 = (3 × 2!)/3 = 2! = 2. Jadi, akan dihasilkan 2 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, dan C, yaitu ABC dan ACB. Andaikan sekarang kita mempunyai 4 objek yang akan disusun secara siklis.



Keempat gambar di atas menunjukkan permutasi yang sama. Sehingga banyaknya permutasi siklis dari 4 objek adalah 4!/4 = (4 × 3!)/4 = 3! = 6. Jadi, akan dihasilkan 6 susunan yang berbeda secara siklis dari huruf-huruf A, B, C, dan D. Apa yang dapat disimpulkan dari kedua contoh di atas?



Banyaknya permutasi siklis dari n objek dapat dinyatakan dengan (n – 1)! Untuk lebih memahami mengenai permutasi siklis, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika: 1. mereka berpindah-pindah tempat; 2. ayah dan ibu selalu berdekatan? Pembahasan Contoh Soal 1.



Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara.



2.



Perhatikan gambar berikut.



Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara. D. KOMBINASI Pandangalah 3 unsur a,b, dan c,. Sekarang kita ambil dua unsur dan kali ini tidak mengindahkan urutanya ; jadi, ab sama dengan ba, ac, dan cb ialah 3 kombinasi 3 unsur diambil 2. Defenisi Suatu kombinasi r unsure yang diambil dari n unsur yang berlainan, ialah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperlihatkan urutanya ((r ≤ n) Banyaknya kombinasi 3 unsur yang diambil 2 dinyatakan dengan : 3 ; jadi 3 C 2= 3 =3. Simbol 3C2 atau Jika dari 3 unsur diatas diambil satu unsure saja, akan 2 2 ada 3 kombinasi, yaitu: a, b, dan c, jadi 3C1 = 3. Pandanglah sekarang 4 unsur a, b, c, dan d. Jika diambil satu unsur, maka ada 4 kombinasi, yaitu: a, b, c, dan d; jadi, 4C2 = 6. Jika diambil 3 unsur,terdapat kombinasi abc, abd, acd, dan bcd,; Jadi ,4C3 = 4. Jika diambil semua, hanya ada satu kombinasi abcd, jadi, 4C4 = 1. Dalil 1.3.2



()



()



nPr n! nCr= n = = −1 r ! r r ( n−r ) !



()



Contoh 1.3. 3! 6 3 C 2= = =3 2‼! 2 3! 3 C 2= =1 3!0! 4! 24 4 C 2= = =6 2 ! 2! 2.2 4! 24 4 C 3= = =4 3 ! 1! 6 5! 120 5 C 2= = =10 3 ! 2! 6.1 Bukti



n! ( n−1 ) ! Di sini urutan di pandang .dari , unsure dapat di buat r! permutasi, sedangkan permutasi ini n nPr = n ! hanya merupakan satu kombinasi. Jadi nCr= = r ! ( n−r ) r ! r Banyaknya permutasi n unsure diambil r = nPr =



()



Dalil nC(n-r) ¿ nCr atau



( n−rn )=(nr )



Bukti 1. Dengan memakai rumus untuk nCr 2. Jika kita lihat, bahwa pada tiap- tiap pilihan r dari n unsure yang tertinggal ialah kombinasi n unsure diambil (n-r) Contoh: 4C3 = 4C1;5C2 = 5C3 Pemakaian permutasi dan kombinasi 1. Ada 5 buku ; A = Aljabar, B = Biologi, C = Kimia, D = Jerman, E = Inggris. Jika kita mengambil 3 buku dan kemudian mengurutkanya pada rak buku, ada berapakah permutasinya ? Jawab 5! 120 Banyaknya permutasi 5 buku diambil 3,ialah 5P3= = = 60 2! 2 1. Ada berapa permutasi, jika kelima buku ini diurutkan? Jawab: banyaknya permutasi 5 buku diambil 5, ialah 5P5 =5! = 120 2.



Kita hendak mengirimkan surat per pos dan biayanya Rp.60.-. Kantor pos memberikan 4 perangko yang berlainan, yaitu: satu perangko Rp.5.-(a) Satu Rp. 10,- (b) satu Rp.20,- dan satu Rp.25,-(d) dengan beberapa permutasi kita dapat menempelkan 4 perangko ini pada surat kita. Jawab : Banyaknya permutasi 4 unsur diambil 4, ialah 4P4=4!=24. Salah satu permutasi ialah urutan abcd. 3.



Ada 4 orang bernama A, B, C, dan D. Hendak dipilih 2 orang, ada berapa pilihan?



Jawab :



Banyaknya pilihan sama dengan banyaknya kombinasi 4 orang diambil 2 orang, ialah



( 42)= 24! 2!! =6 ; yaitu AB,AC, AD, BC, BD dan CD. 4.



Ada berapa cara satu panitia terdiri atas 3 orang dapat dipilih dari 4 pasang suami istri, a. Jika semua orang ini dipilih, dan b. Jika penitia ini harus terdiri atas 2 pria dan 1 wanita?



Jawab : a. b.



(83 )= 38! 5! ! =56 cara. 4! 4 =6 dan seorang wanita dapat Dua pria dapat dipilih dari 4 orang suami, jadi ( )= 2 2 ! 2! 4! 4 =6, sehingga ada 6x4=24 cara untuk memilih dipilih dari 4 orang istri, jadi ( )= 1 1! 3 ! Ada 8 orang dan akan diambil 3, jadi



panitia juga persoalannya demikian. E. BINOMIAL Kita mengingat kembali pengertian kombinasi dari sejumlah r objek yang diambil dari n objek. Banyaknya kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek (r ≤ n) adalah :



Contoh : 1. Misalkan, ada 5 objek, yaitu a, b, c, d dan e. Apabila dari 5 objek ini diambil 3 objek maka banyaknya cara pengambilan 3 objek tersebut adalah



Sepuluh cara pengambilan itu adalah abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, dan cde.



2. Misalkan, ada tiga kotak yang masing-masing berisi satu bola merah dan satu bola putih. Dari tiap-tiap kotak diambil satu bola sehingga terambil tiga bola. Banyaknya cara pengambilan 3 bola tersebut, agar terambil bola merah semua ada



(33 )=1



Banyaknya cara pengambilan 3 bola tersebut, agar terambil dua bola merah ada



cara.



(32 )=3



(31 )=3 3 cara. Banyaknya cara pengambilan 3 bola itu, agar tak terambil bola merah ada ( )=1 0 cara. Banyaknya cara pengambilan 3 bola itu, agar terambil satu bola merah ada



cara. Contoh terakhir ini akan digunakan untuk menyatakan suku banyak yang merupakan penjabaran dari (m + p )3. Perpangkatan ini dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang dengan 3 faktor sama, yaitu: (m+p)(m+p) (m+p)=mmm+mmp+mpm+pmm+ppm+pmp+mpp+ppp Setiap suku dari ruas kanan kesamaan ini terdiri dari 3 faktor dan masing-masing faktor berturut-turut diambil dari faktor pertama, faktor kedua dan faktor ketiga dari ruas pertama. Pada kesamaan terakhir itu jika suku-suku sejenisnya dijumlahkan maka akan diperoleh ;



Koefisien-koefisien suku-suku dari ruas kanan dari kesamaan terakhir ini dapat dinyatakan dengan kombinasi-kombinasi banyaknya m dalam tiap sukunya sehingga kesamaan itu dapat ditulis sebagai berikut.



Dengan argumentasi yang mirip dengan ilustrasi di atas, kita dapat menuliskan kesamaankesamaan berikut ini.



Kesamaan-kesamaan tersebut baru merupakan dugaan karena kesamaankesamaan itu, khususnya kesamaan terakhir diperoleh dengan penalaran induktif. Maka, kesamaan itu perlu



dibuktikan kebenarannya. Kita akan membuktikan kebenaran kesamaan tersebut, tetapi kita perlu beberapa persiapan berikut ini. Dari rumus kombinasi di atas, yaitu:



Kita dapat memahami bahwa:



Jadi,



Teorema 1.1



Jika r ≤ n maka



.



Teorema ini sering disebut sifat simetrik dari koefisien binomial. Sifat ini membantu kita untuk menghitung lebih mudah nilai suatu kombinasi. Contoh :



Teorema 1.2 Jika k dan r bilangan-bilangan asli dengan k > r maka



Bukti :



Teorema 1.3 (teorema binomial)



untuk setiap bilangan asli n. Bukti: Kita buktikan dengan induksi matematika.



Teorema 1.4 Jika n suatu bilangan asli maka ;



Selanjutnya perhatikan penurunan rumus berikut ini.



Teorema 1.5 Jika n, m dan k bilangan-bilangan asli dengan n > k > m maka;



Contoh : Suatu perkumpulan terdiri dan 15 orang. Akan dibentuk suatu pengurus dari perkumpulan tersebut yang terdiri 5 orang dan 2 orang di antaranya sebagai pengurus inti. Maka, banyaknya pilihan pengurus itu adalah:



Pemilihan tersebut dapat pula dilakukan dengan memilih 2 orang pengurus inti dan 15 orang dan selanjutnya untuk melengkapi pengurus itu dipilih 3 orang dan 13 orang (yang 2 orang telah terpilih sebagai pengurus inti). Maka, banyaknya pilihan pengurus ini adalah:



Tampak di sini bahwa ;



Teorema 1.6 Jika n dan k bilangan-bilangan asli dengan n  k maka ;



Koefisien-koefisien binomial pada teorema binomial di atas dapat kita susun secara rekursif, seperti tampak pada Gambar 1.1, dan sering disebut segitiga Pascal sebagai berikut:



Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal tersebut dapat dibangun tanpa proses rekursif dengan notasi kombinatorik seperti tampak pada Gambar dibawah ini ; Perhatikan anak panah 5 pada Gambar diatas dan Gambar dibawah ini. Anak panah 5 itu menunjukkan bahwa ;



Fakta ini secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:



Teorema 1.7 Jika n dan k bilangan-bilangan asli dengan n ≤ k maka ;



F. PELUANG KEJADIAN



a) Ruang sampel dan kejadian Himpunan S dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan yang diberikan disebut ruang sampel (contoh). Suatu hasil yang khusus, yaitu suatu elemen dalam S, disebut suatu titik sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. Kejadian {a} yang terdiri atas suatu titik sampel tunggal a S  disebut suatu kejadian yang elementer (sederhana). Himpunan kosong Φ dan ruang sampel S sendiri merupakan kejadian-kejadian, Φ kadang-kadang disebut sebagai kejadian yang tidak mungkin terjadi dan S merupakan kejadian yang pasti terjadi. Notasi yang biasa digunakan adalah sebagai berikut. 1. Ruang sampel: S. 2. Kejadian dengan huruf-huruf kapital, seperti: A, B, …, X, Y, Z. 3. Titik sampel dengan huruf-huruf kecil, seperti a, b, …, y, z atau dengan: a1, a2, …x1, x2, …, x n …. Contoh : Percobaan: Melambungkan sebuah dadu satu kali dan dilihat banyaknya mata dadu yang tampak/muncul (yaitu yang di atas). Dari percobaan dapat diidentifikasikan yang dimaksud dengan ruang sampel, titik sampel dan kejadian yaitu: Ruang sampel: Dadu mempunyai 6 sisi, dan masing-masing sisi bermata satu, dua, tiga, empat, lima dan enam. Himpunan semua hasil yang mungkin dari lambungan tersebut adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Jadi ruang sampelnya: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Titik sampel: Titik sampel merupakan suatu elemen dari ruang sampel S. elemen-elemen dari S adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jadi, titik sampelnya: 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6. Kejadian: Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Misalkan pada percobaan pelemparan sebuah dadu. A = kejadian bahwa muncul mata genap = {2, 4, 6} B = kejadian bahwa muncul mata ganjil = {1, 3, 5} C = kejadian bahwa muncul mata prima = {2, 3, 5} Kejadian yang sederhana adalah kejadian yang terdiri atas satu titik sampel. Misalkan: D = kejadian bahwa muncul mata prima yang genap.



Maka D = {2}. b) Defenisi peluang / kemungkinan Misal dalam percobaan pelemparan/lambungan sebuah dadu diperhatikan banyaknya mata yang muncul. Misalkan A adalah kejadian bahwa muncul (tampak) mata genap. Maka S = {1,2,3,4,5,6} dan A = {2,4,6} Tiap-tiap elemen S dianggap mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Hal yang penting dalam masalah ini adalah perbandingan antara banyaknya elemen dalam A, yaitu n(A) dan banyaknya elemen dalam S, yaitu n(S); n(S) = 6.



Angka perbandingan ini, yaitu 1/ 2 , dinamakan peluang/kemungkinan terjadinya kejadian A.



Defenisi 1.1 : Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n(S) = N, dan tiap-tiap elemen dari S mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Misalkan pula A adalah suatu kejadian (himpunan bagian dari S), yang mempunyai elemen sebanyak n(A). Maka peluang bahwa kejadian A akan terjadi [P(A)], didefenisikan sebagai :



Defenisi 1.2 Dua peristiwa A dan B yang tidak mempunyai elemen yang berserikat, yaitu: A B =   dinamakan dua peristiwa yang saling asing (atau “disjoint”). Contoh : Jika dua buah dadu dilambungkan satu kali, dan dilihat pasangan mata dadu yang muncul/tampak. A = kejadian bahwa jumlah mata dadu yang muncul 8. B = kejadian bahwa jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 5. Maka:



Jadi, kejadian A dan B saling asing/disjoint. Defenisi 1.3 Misal S adalah ruang sampel dan A adalah sebarang kejadian dalam S. Maka P disebut fungsi peluang pada ruang sampel S apabila dipenuhi aksioma-aksioma berikut. (Aksioma 1.1). Untuk setiap kejadian A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 (Aksioma 1.2). P(S) = 1 (Aksioma 1.3). Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka: P(A  B) = P(A) + P(B) (Aksioma 1.4). Jika A1, A2, …, merupakan deretan kejadian yang saling asing maka: P(A1  A2  … ) = P(A1) + P(A 2) + …



Defenisi 1.4 Misalkan S merupakan ruang sampel, S = {a1, a2, … , an}; dan misalkan pula bahwa p1, p2, … , pn adalah bilangan-bilangan tidak negatif yang jumlahnya sama dengan 1, atau p1 + p2 + … + pn = 1. Untuk kejadian A, peluangnya didefinisikan sebagai P(A) = jumlah semua p1 yang berkaitan dengan hasil a1, dengan a1 di dalam A. Contoh :



G. FREKUENSI HARAPAN Frekuensi harapan kejadian A adalah nilai peluang kejadian A dikali banyak percobaan (n) F(A) = P(A) x n Contoh : Tiga buah logam berisi gambar (H) dan angka (1) dilempar bersama-sama sebanyak 80 kali. tentukanlah harapan munculnya ketiga-tiganya angka ? Jawab : Soal seperti ini pertama hitung dahulu jumlah seluruh nilai kejadian, seluruh kejadian kita lambangkan dengan S, maka : S = {HHH, HH1, H1H, 1HH, 11H, 1H1, H11, HHH} n(S) = 8 Muncul tiga-tiganya 1 hanyala satu yaitu {111}. maka : 1 = {111} n(A) = 1 Dan banyaknya percobaan yaitu sebanyak 80 kali maka : n = 80 Maka : Fh = P(A) x n



Fh = ( n(A)/n(S) ) x n Fh = (1/8) x 80 Fh = 10 Maka harapan munculnya tiga-tiganya angka sebanyak 10 kali.



H. KOMPLEMEN SUATU KEJADIAN 1. Dua Kejadian Sembarang Untuk dua kejadian sembarang A dan B pada ruang sampel S, berlaku rumus: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) Contoh : Dari 45 siswa pada suatu kelas, diketahui 28 siswa suka Matematika, 22 siswa suka bahasa Inggris, dan 10 siswa suka kedua-duanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih adalah yang menyukai Matematika atau bahasa Inggris!



  n(S) = 45 Suka Matematika, n(M) = 28 Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22 Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10



Jawab : n(S) = 45 Suka Matematika, n(M) = 28 Suka Bahasa Inggris, n(B) = 22 Suka keduanya, n(M ∩ B ) = 10   Peluang terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris ialah: P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)



2. Komplemen Suatu Kejadian Rumus: P (Ac) = 1 – P (A)



Contoh:



Sebuah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu lebih dari dua. Jawab: Sebuah dadu dilempar sekali, maka n (S) = 6 Jika A = {mata dadu lebih dari sama dengan 2} Sehingga Ac = { mata dadu kurang dari atau sama dengan 2 } = {1, 2}, n(Ac) = 2



Jadi, peluang munculnya mata dadu lebih dari 2 adalah 2/3 3. Dua Kejadian Saling Lepas Rumus: P (A ∪ B) = P(A) + P (B)



Contoh: Pada pelemparan sebuah dadu bermata 6, berapakah peluang mendapatkan dadu mata 1 atau 3 ? Jawab:



A = {1}, B = {3} n(A) = 1, n(B) = 1 Peluang mendapatkan dadu mata 1 atau 3:



DAFTAR PUSTAKA Al Jupri,S.Pd.,M.Sc. 2010. Teori Peluang. Universitas Pendidikan Indonesia. Dra. Kusrini,M.Pd. Modul 1: Konsep dasar peluang . Universitas Terbuka. Sukirman. Modul 1 : Induksi matematika dan teorema binomial. Universitas Terbuka. Peluang ( Kaidah pencacahan, faktorial, permutasi dan kombinasi). Ica Math. Universitas Muhammadyah Purwokerto. http://repository.ut.ac.id/4546/1/PAMA3242-M1.pdf (diakses pada 26 februari 2021) http://repository.ut.ac.id/4731/1/PEMA4311-M1.pdf (Diakses pada 26 februari 2021) http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/198205102005011AL_JUPRI/Teori_Peluang_Al_Jupri.pdf (diakses pada 26 februari 2021). https://yos3prens.wordpress.com/2012/12/21/peluang-permutasi-siklis/ (diakses pada 27 februari 2021). https://www.rumusstatistik.com/2012/06/rumus-faktorial.html (diakses pada 27 februari 2021)