Modul Matematika Ekonomi Pra Uas 2020 [PDF]

Citation preview

PRA UAS 2020



1. DIFFERENSIAL (TURUNAN) Definisi Turunan Fungsi Turunan dari fungsi f adalah fungsi lain, yaitu f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah, f ′ (c) = lim



𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(ℎ)



asalkan limit ini ada.



ℎ



ℎ→0



KAIDAH KAIDAH DIFFERENSIAL a. Differensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



Contoh



=0



: y = 5 , maka dy/dx = 0



b. Differensiasi fungsi pangkat Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



Contoh



= nxn-1



: y = x3 , maka dy/dx = 3x3-1 = 3x2



c. Differensiasi perkalian konstanta dengan fungsi Jika y = kv , dimana v = h(x), maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



Contoh



= 𝑘 . 𝑣’



: y = 5x3 , maka dy/dx = 5(3x2) = 15x2



d. Differensiasi pembagian konstanta dengan fungsi Jika y = k/v , dimana v = h(x) , maka 𝑑𝑦



= 𝑑𝑥



Contoh



𝑘 .𝑣′ 𝑣²



5



𝑑𝑦



: y = 𝑥³ , maka 𝑑𝑥 = −



5(3𝑥 2 ) (𝑥 3 )2



= −



15𝑥² 𝑥⁶



e. Differensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi Jika y = u ± v , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



Contoh



=



:y=



𝑑𝑢 𝑑𝑥



4x2



+



±



𝑑𝑣 𝑑𝑥



x3 ,



maka u = 4x2 u’ = 8x v = x3 v’ = 3x2



𝑑𝑦



Sehingga , 𝑑𝑥 = 8x + 3x2



KEILMUAN HIMAKU 2020



f. Differensiasi perkalian fungsi Jika y = uv , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 𝑢′𝑣 + 𝑢 𝑣′



: y = (4x2) (x3)



Contoh 𝑑𝑦



Maka, 𝑑𝑥 = (8x)(x3) + (4x2)(3x2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 8x4 + 12x4 = 20x4



g. Differensiasi pembagian fungsi 𝑢



Jika y = 𝑣 , dimana u = g(x) dan v = h(x), maka 𝑑𝑦



= 𝑑𝑥



Contoh 𝑑𝑦



= 𝑑𝑥



:y=



𝑢′ 𝑣−𝑢𝑣′ 𝑣2



4𝑥²



sehingga



𝑥³ (8𝑥)(𝑥 3 )−(4𝑥 2)(3𝑥 2 ) (𝑥 3 )²



=



8𝑥 4 −12𝑥⁴ 𝑥⁶



= -4x-2



h. Differensiasi fungsi komposit Jika y = f(u), sedangkan u = g(x) dengan kata lain y = f{g(x)}, maka 𝑑𝑦



= 𝑑𝑥



𝑑𝑦 𝑑𝑢



𝑑𝑢



. 𝑑𝑥



Contoh : y = (4x3+5)2 Misalkan u = 4x3+5 sehingga u’ = 12x2 dan fungsi y menjadi y = u2 Sehingga,



𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 2𝑢 . 12𝑥 2 = 2 (4𝑥 3 + 5). 12𝑥 2 = 96𝑥 5 + 120𝑥²



i. Differensiasi fungsi berpangkat Jika y = un , dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka 𝑑𝑦 𝑑𝑥



𝑑𝑢



= nun-1 . 𝑑𝑥



Contoh : : y = (4x3+5)2 Misalkan u = 4x3+5 sehingga u’ = 12x2 𝑑𝑦 𝑑𝑥



= 2(4𝑥 3 + 5)(12𝑥 2 )



KEILMUAN HIMAKU 2020



2. APLIKASI DIFERENSIAL  ELASTISITAS PERMINTAAN adalah perubahan persentase jumlah barang yang diminta oleh konsumen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri Ehd =



𝑑𝑄 𝑃



x



atau



𝑑𝑃 𝑄



Ehd = Q’ x



𝑃 𝑄



Jenis Elastisitas Harga 1. |Edh| < 1 Inelastis 2. |Edh| = 1 Uniter 3. |Edh| > 1 Elastis 4. |Edh| = 0 Inelastis Sempurna 5. |Edh| = ∞ Elastis Sempurna



CONTOH Diketahui : Qd = 150 - 3p, Elastisitas permintaan jika p = 40 𝑃 Jawab : |Edh| = Q’ x 𝑄 = - 3 (40) = |-4| = 4 (30) ELASTIS Pada saat p = 40, jika harga naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 4%  ELASTISITAS PENAWARAN adalah perubahan persentase jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. a. Elastisitas Harga Titik (Point Elasticity) 𝑑𝑄 𝑃



Ehd = 𝑑𝑃 x 𝑄



atau



𝑃



Ehd = Q’ x 𝑄



b. Elastisitas Harga Busur Δ𝑄



Ehd = Δ𝑃 X



𝑃 𝑄



CONTOH Diketahui Qs = -200 + 7p2, Elastisitas penawaran saat P = 10 𝑃 14 |Ehd| = Q’ x 𝑄 = 14 (10) . (10) = 5 = 2,8 (500) ELASTIS Pada saat P = 10, jika harga naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebesar 2,8%



KEILMUAN HIMAKU 2020







FUNGSI BIAYA Fungsi biaya dipengaruhi variabel penggunaan input pada fungsi produksi Biaya total (Total Cost = TC) adalah fungsi dari jumlah output TC = f(Q) dimana produksi total (Q) merupakan penjumlahan dari penggunaan input misal tenaga kerja Q = F (L) Variabel tenaga kerja (labor) mempengaruhi output (Q) sedangkan variabel Q mempengaruhi total cost gimana TC = TVC (asumsi ceteris paribus) 1) Biaya Total Total Cost Total cost merupakan semua biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan untuk menghasilkan output barang dan jasa TC = f(Q) 2)



Total Fixed Cost (TFC) Dan Total Variable Cost (TVC) TFC atau total fixed cost adalah biaya yang nilainya tetap pada berbagai tingkat produksi TVC total variable cost adalah biaya yang nilainya berubah-ubah sesuai dengan kapasitas produksi TC = TFC + TVC



3)



Average Cost Average Cost merupakan biaya yang dikeluarkan untuk satu unit output yang diproduksi. AC = (TC/Q) = f(Q)/Q AC = AFC + ATC



4)



AFC = TFC/Q AVC= TVC/Q



Marginal Cost Biaya marginal merupakan perubahan total cost akibat adanya perubahan satu unit produk yang dihasilkan. MC = ΔTC / ΔQ



HUBUNGAN ANTARA AVERAGE COST DENGAN MARGINAL COST Tiga prinsip hubungan AC dan MC : 1) kemiringan kurva AC akan negatif, jika kurva marginal cost (MC) terletak dibawah kurva biaya ratarata (AC) 2) kemiringan kurva AC akan menjadi nol minimum, jika dan hanya jika kurva marginal cost (MC) memotong kurva average cost (AC) 3) kemiringan kurva Aceh akan positif atau maksimal, jika dan hanya jika kurva marginal cost (MC) terletak diatas kurva (AC) Kurva AC Minimum Jika Memotong Kurva MC Pembuktian ; TC = f(Q) maka AC = TC/Q dan MC = dTC / dQ Nilai minimum funsi AC : dAC = fI(Q) – f(Q) = 0 maka f(Q) = fI(Q) . Q dQ Q2 f(Q) = fI(Q) atau AC = MC Q KEILMUAN HIMAKU 2020



Macam –Macam Fungsi Total Cost Jangka Pendek 1) FUNGSI BIAYA TOTAL LINEAR Fungsi : TC = aQ + b dimana a>0 , b≥0 Average Cost = AC =



𝑇𝐶



𝑏



= a+ 𝑄



𝑄 Δ𝑇𝐶



Marginal Cost = MC =



Δ𝑄



Marginal Average Cost = MAC = (dAC/dQ) = -b/Q2



2) FUNGSI BIAYA KUADRAT Fungsi : TC = aQ2 + bQ + c dimana a>0 , b≥0 , c≥0 Average Cost = AC =



𝑇𝐶



𝑄 Δ𝑇𝐶



Marginal Cost = MC =



𝑐



= a+ b + 𝑄



Δ𝑄



= 2aQ+b



Marginal Avarage Cost = MAC = (dAC/dQ) = a – (c/Q2) 3) FUNGSI BIAYA KUBIK Fungsi : TC = aQ3 + bQ2 + cQ + d







FUNGSI PENDAPATAN 1) TOTAL REVENUE atau total pendapatan TR = P.Q dimana p = f(Q) sehingga TR = f(Q) . Q TR max =



𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄



=0



2) AVERAGE REVENUE atau pendapatan rata-rata AR = TR/Q = (P.Q)/Q = P =f(Q) 3) MARGINAL COST atau pendapatan marginal MR = 



𝑑𝑇𝑅 𝑑𝑄



LABA Laba (╥) = TR – TC Keterangan : TR = P.Q dimana P = f(Q) TC = f(Q) TC Sehingga ╥ = P.Q – (TC) Laba Maksimun = turunan pertaman fungsi laba ╥max = ╥I = d╥/dQ KEILMUAN HIMAKU 2020



3. DIFFERENSIAL PARSIAL Adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dua peubah atau lebih dan turunan atau differensiasinya. Suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak dietahui merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel variabel yang dimaksud. 𝜕𝑓 𝜕𝑥



merupakan turunan parsial fungsi f (x,y) terhadap x



Jika y = f (x,y) maka dy =



𝜕𝑦 𝜕𝑥



𝑑𝑥 +



𝜕𝑦 𝜕𝑧



𝑑𝑧



PARSIAL DERIVATIF 𝜕𝑦



= lim 𝜕𝑥₁



Δ𝑦



∆𝑥₁→0 Δ𝑥₁



Contoh



: carilah turunan parsial terhadap x₁ dan x2 dari fungsi Y = f(x1x2) = 3x12 + x1x2 + 4x22 Maka turunan terhadap X1 adalah turnan terhadap X2 adalah 𝜕𝑦 𝜕𝑥₁



𝜕𝑦



= 6x1 + x2



𝜕𝑥₂



= 8x2 + x1



DERIVATIF DARI PARSIAL DERIVATIF Derivatif majemuk dapat diturunkan hingga nilai akhir nya 0 Misalnya : y = x3 + 5z2 - 4x2z – 6xz2 + 8z – 7 - Turunan pertama 𝜕𝑦



= 3x2 – 8xz – 6z2 𝜕𝑥



-



𝜕𝑧



= 10z – 4x2 – 12xz + 8



Turunan kedua 𝜕²𝑦 𝜕𝑥² 𝜕²𝑦



= 6x-8z = -8x -12z



𝜕𝑥𝜕𝑧



-



𝜕𝑦



𝜕²𝑦 𝜕𝑧² 𝜕²𝑦



= 10-12x



𝜕𝑧𝜕𝑥



= -8x -12z



Turunan ketiga 𝜕³𝑦 𝜕𝑥³ 𝜕³𝑦



=6



𝜕𝑥²𝜕𝑧 𝜕³𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑧²



= -8 = -12



𝜕³𝑦 𝜕𝑧³ 𝜕³𝑦 𝜕𝑧²𝜕𝑥 𝜕³𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑥²



=0 = -12 = -8



KEILMUAN HIMAKU 2020



NILAI EKSTRIM Untuk y = f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jika : 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕²𝑦 𝜕𝑥² 𝜕²𝑦 𝜕𝑥²



=0 0



𝜕𝑦 𝜕𝑧



=0 𝜕²𝑦 𝜕𝑧² 𝜕²𝑦 𝜕𝑧²



0



MINIMUM



KEILMUAN HIMAKU 2020



4. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL - PERMINTAAN MARJINAL Apabila 2 macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan atas masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua barang tersebut Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb) maka:



-



Qda  Pa



Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P



Qdb  Pa



Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P



Qda  Pb



Permintaan marjinal akan A berkenaan dengan P



Qdb  Pb



Permintaan marjinal akan B berkenaan dengan P



a



b



a



b



ELASTISITAS PERMINTAAN Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas permintaan atas perubahan harga barang itu sendiri: 1) Barang a



%Qda Qda P   a %Pa Pa Qda



d a  2) Barang b



d b  -



%Qdb Qdb P   b %Pb Pb Qdb



ELASTISITAS SILANG Jika Qda = f(Pa, Pb) dan Qdb = f(Pa, Pb), maka elastisitas silang yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan dengan perubahan harga barang lainnya: 1) Elastisitas silang barang a dengan barang b



 ab 



%Qda Qda P   b %Pb Pb Qda



2) Elastisitas silang barang b dengan barang a



ba 



%Qdb Qdb P   a %Pa Pa Qdb







 Jika ab dan ba < 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan barang b adalah saling melengkapi (komplementer); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti penurunan permintaan atas keduanya







 ba > 0 untuk Pa dan Pb tertentu, maka hubungan antara barang a dan Jika ab dan barang b adalah saling menggantikan (substitusi); karena kenaikan harga salah satu barang akan diikuti kenaikan permintaan barang lainnya KEILMUAN HIMAKU 2020



-



FUNGSI BIAYA GABUNGAN Keuntungan akan optimum ketika ∏’ = 0  0 Q A



 0 QB



Titik optimum adalah maksimum jika ∏’’ < 0



2  0 QA2



2  0 QB2



KEILMUAN HIMAKU 2020



5. MATRIKS Adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi dan diapit oleh tanda kurung ‘( )’ atau kurung siku ‘[ ]’ Jenis matriks 1) Matriks baris Hanya memiliki satu baris dan ber ordo 1xn 2) Matriks kolom Hanya memiliki 1 kolom m x 1 3) Matriks nol 4) Matriks persegi Jumlah baris sama dengan jumlah kolom nya. Bentuk umumnya berordo n x n dengan letak baris sama dengan letak kolom 5) Matriks segitiga atas Matriks persegi yang semua komponen diagonal utama = nol 6) Matriks segitiga bawah Matriks persegi yang semua komponen diatas diagonal utama – nol 7) Matriks diagonal Matriks persegi yang komponen diagonal utamanya tidak sama dengan nol dan semua komponen lainnya = 0 8) Matriks skalar Matriks diagonal yang semua komponen diagonal utamanya sama 9) Matriks identitas Matriks diagonal yang semua komponen diagonal utama = 1 DETERMINAN Pencarian nilai numerik determinan dengan mengalikan unsur unsurnya secara diagonal



|A| = ad – bc Sifat Determinan : - |D| = 0 jika semua unsurnya sama Jika dua baris atau dua kolom unsurnya sama Jika dua baris atau dua kolom yang unsurnya sebanding Jika unsur unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol



-



|A| = |AT| |A-1| = 1 / |A| Det k. Anxn = kn det Anxn |AB| = |A| |B| A.B = C maka |A||B| = |C| |An| = |A|n



KEILMUAN HIMAKU 2020