Modul Matematika Kelas XII Program Linear [PDF]

Citation preview

MODUL MATEMATIKA



KELAS XII. IPA SEMESTER I



Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http://meetabied.wordpress.com



PROGRAM LINEAR Standar Kompetensi : Menyelesaikan program linear Kompetensi Dasar : •



Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel



•



Merancang model matematika dari masalah program linear



•



Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya



BAB I. PENDAHULUAN



A. Deskripsi Dalam



modul



ini



Anda



akan



mempelajari



penyelesaian



pertidaksamaan linear dua variabel, menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan dengan metode uji titik pojok, merancang model matematika



dari



program



linear,



dan



menyelesaikan



model



matematika dari program linear. B. Prasyarat Untuk



mempelajari



modul



ini,



para



siswa



diharapkan



telah



menguasai sistem pertidaksamaan linear dua variabel. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang



mendahului



merupakan prasyarat



untuk



mempelajari



materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan



dalam



mengerjakan



soal



evaluasi,



kembalilah



mempelajari materi yang terkait. 4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1.



Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.



2. Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear. 3. Menggambar daerah visibel dari program linear. 4. Merumuskan model matematika dari program linear. 5.



Menentukan



nilai



optimum



dari



fungsi



objektif



dan



menafsirkannya.



BAB II. PEMBELAJARAN A. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel Bentuk umum : ax + by < c ax + by > c ax + by ≤ c ax + by ≥ c x, y adalah variabel a, b, dan c



∈



R



Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 4y ≤ 8 Jawab : Menentukan titik potong dengan sumbu x dan sumbu y dengan membuat tabel sbb : x 0 4 y 2 0 Jadi titik potong dengan sumbu x (4,0) dan dengan sumbu y y (0,2)



2 DP 4



x



Dari gambar diatas terlihat bahwa daerah penyelesaian (DP) untuk pertidaksamaan 2x + 4y ≤ 8



B. Menentukan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan liniear dengan dua variabel. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel.



Contoh : Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear x+y ≤5 x + 2y ≤ 6 x ≥0 y ≥0 Jawab : x+y ≤5 x y



0 5



5 0



x + 2y ≤ 6 x y



0 3



6 0



y



5 3 DP 5



6



x



Tugas I 1. Gambarlah pada bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut :



a. 3x + y ≤ 6, 5x + 4y ≤ 20, x ≥ 0, y ≥ 0 b. 2x + y ≥ 10, 3x + 2y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0 c. x – y ≤ 3, x + 2y ≥ 4, y ≤ 2



2. Tulislah sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian berikut y : a. 6 5



DP 4



b.



x



6



y



7 y=4 DP



y=2



7 x=2



x



B. Menentukan fungsi tujuan dan kendala dari program linear Program linear adalah suat metode atau suatu cara untuk memecahkan



masalah



menjadi



optimal



(maksimum



atau



minimum) yang memuat batasan-batasan yang dapat diubah atau diterjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian pertidaksamaan linear terdapat dalam daerah himpunan penyelesaian. Dari beberapa penyelesaian terdapat satu penyelesaian terbaik yang selanjutnya disebut penyelesaian optimum dari suatu fungsi. Fungsi ini disebut dengan fungsi tujuan atau objektif. Model matematika adalah rumusan matematika yang berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah ke dalam bahasa matematika. Contoh : Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas 48 buah tempat duduk yang terbagi dalam dua kelas yaitu kelas A dan kelas B. Setiap penumpang kelas A diberi hak yaitu membawa barang 60 kg, sedang penumpang kelas B diberi hak membawa barang hanya 20 kg, tempat bagasi paling banyak dapat memuat 1440 kg. Bila banyaknya penumpang kelas A sebanyak x orang sedang kelas B sebanyak y orang. Tentukan model matematikanya. Jawab : Kelas A 60 kg x orang



Bagasi Penumpang



Kelas B 20 kg y orang



Bagasi



:



60x + 20y ≤ 1440



Penumpang



:



x + y ≤ 48



3x + y ≤ 72



Banyak penumpang tidak pernah negatif : x ≥ 0, y ≥ 0 Sehingga diperoleh model matematikanya adalah : 3x + y ≤ 72 x+y ≤ 48 x ≥0 y ≥0 Tugas II 1. Suatu perusahaan merencanakan membangun rumah untuk 600 orang. Banyaknya rumah yang akan dibangun tidak lebih dari 120 buah. Rumah jenis I biaya sewanya Rp. 100.000,- tiap bulan dan ditempati 4 orang, rumah jenis II biaya sewanya Rp. 125.000,- tiap bulan dan ditempati oleh 6 orang. Buatlah model matematikanya. 2. Sebuah pabrik membuat sepeda motor dan sepeda gunung setiap bulan dapat membuat sebanyak-banyaknya 100 sepeda gunung, sedangkan sepeda motor dapat dibuat sedikitnya 20 buah dan sebanyak-banyaknya 70 buah tiap bulan. Kapasitas produksi pabrik sebanyak-banyaknya 150 buah kendaraan dalam sebulan. Jika harga setiap sepeda motor 5 juta rupiah dan harga sepeda gunung 1 juta rupiah. a. Buatlah model matematikanya b. Tentukan daerah penyelesaian yang sesuai 3. Seorang petani memerlukan zat kimia unsur A, B, dan C sebanyak 60 kg, 120 kg, dan 50 kg untuk memupuk kebun sayurnya. Dalam setiap kaleng pupuk cair mengandung zat A = 1 kg, zat B = 3 kg, dan zat C = 1 kg. Pupuk kering tiap kantong mengandung zat A = 2kg, zat B = 2 kg, dan zat C = 1 kg. Harga 1 kantong pupuk cair Rp. 30.000,- sedangkan pupuk kering Rp. 25.000,a. Buatlah model matematikanya b. Tentukan daerah penyelesaiannya 4. Seorang tukang parkir mengelola lahan parkir seluas 588 m2, diperuntukkan untuk menampung kendaraan jenis bus dan sedan. Luas rata-rata untuk parkir bus adalah 24 m2, sedangkan



untuk sedan memerlukan 6 m2. Lahan parkir tersebut tidak mampu menampung sedan dan bus melebihi 38 kendaraan. Tentukan model matematika dari permasalahan diatas.



4. Menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan (fungsi ogjektif) dengan metode uji titik pojok. Fungsi tujuan atau objektif dapat dinotasikan f(x,y) = ax + by. Nilai optimum dari bentuk f(x,y) = ax + by dilakukan dengan cara menghitung nilai f(x,y) = ax + by untuk setiap titik pojok (titik



sudut)



dari



daerah



penyelesaian



(DP),



kemudian



dibandingkan yang selanjutnya ditetapkan nilai terbesar sebagai nilai maksimum dan nilai terkecil sebagai nilai minimum. Contoh : Seorang pedagang mempunyai dagangan rokok merk A dan merk B. Rokok A dibeli dengan harga Rp. 6000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 400,- per bungkus, sedangkan rokok B dibeli dengan harga Rp. 3000,- per bungkus dan dijual dengan laba Rp. 300,- per bungkus. Pedagang itu hanya mempunyai modal Rp. 240.000,- dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 500 bungkus rokok. a. Berapakah banyak rokok A dan B yang harus dibeli agar mendapat untung yang sebanyak-banyaknya (maksimum) b. Tentukan besar keuntungan maksimumnya Jawab : Model matematikanya Rokok A B Persediaan



Jumlah x y 500



Harga 6000 3000 240.000



Fungsi tujuan : Untung = 400x + 300y



Laba 400 300



Sistem pertidaksamaan linearnya : x + y ≤ 500 6000x + 3000y ≤ 240.000



2x + y ≤ 800



x ≥0 y ≥0 Daerah himpunan penyelesaian x + y = 500 x y



0 500



500 0



2x + y = 800 x y



0 800



400 0



y 800



500



DP



400



x



500



2x + y = 800



x + y = 500



Eliminasi persamaan (1) dan (2) x + y = 500 2x + y = 800 -x



= - 300



x



= 300



y



= 200



Dengan metode uji titik pojok, ditentukan keuntungan maksimum dengan tabel sbb :



Titik pojok (0, 0) (400, 0) (300, 200)



Untung = 400x + 300y 0+0=0 160.000 + 0 = 160.000 120.000 + 60.000 =



180.000 (0, 500) 0 + 150.000 = 150.000 Berdasarkan tabel diatas, diperoleh keuntungan maksimum yang dapat dicapai adalah 180.000, dengan rokok A yang dibeli sebanyak 300 bungkus, dan rokok B sebanyak 200 bungkus. Tugas III 1. Tentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi sasaran dalam model matematika berikut : a. F(x, y) = 2x + y x+y



≤



6 ; x + 2y



≤8;x ≥0;y ≥0



b. F(x, y) = 2x + 3y 5x + 3y



≥ 30 ; 5x + y ≥ 50 ; x + 3y ≥ 30 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0



2. Seorang pedagang roti mempunyai modal 400.000,-. Roti jenis A dibeli dengan harga 1000,- dan roti jenis B dibeli dengan harga



500,-.



Sedangkan



tempat



roti



hanya



mampu



menampung tidak lebih dari 500 buah. Keuntungan tiap roti jenis A 200,- dan keuntungan tiap roti jenis B 150,-. a. Hitunglah keuntungan sebanyak-banyaknya. b. Berapa sebaiknya roti jenis A dan jenis B yang harus dibeli



agar pedagang mendapat keuntungan yang



sebanyak-banyaknya. 3. Seorang pedagang pakaian mempunyai modal 2.475.000,untuk membeli kemeja dengan harga 30.000,- per buah dan celana 75.000,- per buah. Jumlah kemeja yang ia beli tidak kurang dari tiga kali jumlah celana. Ia mengambil keuntungan



4.500,- untuk setiap potong celana dan 1.500,- untuk setiap potong kemeja. a. Berapa kemeja dan celana yang harus dibeli supaya pedagang itu mendapat keuntungan yang maksimum b. Hitunglah keuntungan tersebut 4. Seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian pisang 4.000,- per kg dan apel 10.000, - per kg. Penjaja buah tersebut mempunyai modal 2.500.000,-. Sedangkan muatan gerobak tidak melebihi 400 kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang. Berapa kg apel dan pisang yang harus dibeli agar keuntungan yang diperoleh maksimum.



BAB III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.



DAFTAR PUSTAKA Pemerintah Kota Semarang, 2006. Matematika Program Ilmu Pengetahuan Sosial, Semarang : H.



Sunardi,



Slamet



Waluyo,



Sutrisno,



H.



Subagya,



2005.



Matematika IPS, Penerbit Bumi Aksara, Jakarta. Wilson



Simangunsong,



Erlangga, Jakarta.



2005.



Matematika



Dasar,



Penerbit