Modul Matematika [PDF]

Citation preview

1



DAFTAR ISI Pertemuan 1 Peranan Matematika dalam Bisnis…………………………… 3 Pertemuan 2 Deret …………………………………………………………. 4 Pertemuan 3 Penerapan Deret dalam Bisnis………………………………... 8 Pertemuan 4 Fungsi dan Persamaan Linear………………………………...12 Pertemuan 5 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………19 Pertemuan 6 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………22 Pertemuan 7 Penerapan Fungsi dan Persamaan Linear dalam Bisnis………28 Pertemuan 8 (ujian tengah semester) Pertemuan 9 Persamaan Non Linear dan Penerapannya dalam Bisnis…….32 Pertemuan 10 Persamaan Non Linear dan Penerapannya dalam Bisnis…….35 Pertemuan 11 Diferensial Fungsi Sederhana..………………………………40 Pertemuan 12 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...42 Pertemuan 13 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...45 Pertemuan 14 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...48 Pertemuan 15 Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Bisnis……...51 Pertemuan 16 (ujian akhir semester)



2



PERTEMUAN 1 PERANAN MATEMATIKA DALAM BISNIS



PENTINGNYA MATEMATIKA DALAM BISNIS Matematika merupakan cabang dari logika yang dapat memberikan kerangka kerja sistematis pada suatu hubungan kuantitatif. Oleh karena itu, analisis bisnis yang berkenaan dengan konsep kuantitatif misal harga, biaya, produksi, penjualan, pendapatan, investasi, dan lain sebagainya dapat dilakukan dengan menggunakan konsep matematika. Apabila variabel-variabel dalam ekonomi diwakilkan dengan simbol dan sifat-sifat yang dimiliki dinyatakan secara matematis, maka matematika dapat memberikan teknik-teknik untuk menganalisa hubungan antar simbol atau variabel tersebut. Matematika memungkinkan ahli ekonomi untuk mendefinisikan variabel-variabel yang relevan secara tepat, menyatakan secara jelas asumsi yang dibuat, menganalisa secara logis, dan mampu mempelajari pengaruh dari beberapa variabel terhadap satu atau beberapa variabel lain. PENGGUNAAN MATEMATIKA DALAM BISNIS Konsep matematika banyak digunakan dalam menganalisis bisnis. Berikut ini adalah penggunaan matematika dalam bisnis. a. Pengetahuan mengenai deret/baris dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan dan pertumbuhan perusahaan yang mempunyai pola seperti yang disyaratkan dalam deret/baris. Selain itu, pengetahuan mengenai deret/baris juga dapat digunakan untuk menganalisis nilai uang, baik sekarang atau masa depan, pada tingkat bunga tertentu. b. Pengetahuan mengenai fungsi dapat digunakan untuk menganalisis hubungan sebab-akibat antara berbagai variabel ekonomi, misal antara permintaan dan harga, penawaran dan harga. c. Pengetahuan mengenai diferensiasi dapat digunakan untuk menganalisis keuntungan maksimum dan minimum yang dapat diperoleh perusahaan.



PERTEMUAN 2 3



DERET



DERET HITUNG Deret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan mempunyai pola tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan sukusuku dari deret hitung ini dinamakan pembeda yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan. Contoh: 2, 4, 6, 8, 10, 12 (pembeda = 2) 80, 75, 70, 65, 60 (pembeda = -5) Suku ke-n dari DH Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari suatu deret hitung dapat diketahui melalui rumus berikut ini. S n=a+ ( n−1 ) b



a : suku pertama atau S1 b : pembeda n : indeks suku Jumlah n suku Jumlah suatu deret hitung sampai dengan suku tertentu, sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n, dapat dihitung melalui rumus-rumus berikut ini. n J n= ( a+ Sn ) 2



n J n=na+ ( n−1 ) b 2



DERET UKUR Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan sukusuku sebuah deret ukur dinamakan rasio, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya. Contoh: 2, 4, 8, 16, 32, 64 (rasio = 2) 10, -30, 90, -270, 810 (rasio = -3) Suku ke-n dari DU 4



Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari suatu deret ukur dapat dihitung melalui rumus berikut ini. S n=a r n−1



a : suku pertama atau S1 r : rasio n : indeks suku Jumlah n suku Jumlah suatu deret ukur sampai dengan suku tertentu, sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n, dapat dihitung melalui rumus-rumus berikut ini. n



J n=



a(1−r ) 1−r



a(r n−1) J n= r−1



; apabila rasio antara dua suku yang berurutan lebih kecil dari 1



; apabila rasio antara dua suku yang berurutan lebih besar dari 1



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Soal 1 Hitung suku ke-14 dan hitung jumlah deret hitung sampai suku ke-14 dari deret hitung 10, 12, 14, 16, 18, … Penyelesaian 14 a = 10; b = 2; n = 14 J 14= ( 10+S 14 ) 2 Suku ke-n dari suatu deret hitung S n = a + (n - 1)b S 14



= 10 + (14-1)2



=



= 36 Jumlah deret hitung



14 2



(10 + 36)



= 322



n J n= ( a+ Sn ) 2



Soal 2 Nilai suku pertama dari suatu deret hitung adalah 20 dan nilai suku ke-10 adalah 38. Hitung : a. Beda antara dua suku yang berurutan 5



b. Nilai dari suku ke-25 c. Suku ke berapa yang bernilai 100 d. Jumlah deret hitung sampai suku ke 40 Penyelesaian S 10



a. Nilai a = 20; b.



S n=a+ ( n−1 ) b



c.



S 10=20+ ( 10−1 ) b



k. 100 = 20 + 2n – 2 l. 100 = 18 + 2n m.2n = 82 n. n = 41 S =100 o. 41



= 38



d. 38 = 20 + 9b e. 18 = 9b f. b = 2 g.



n J n=na+ ( n−1 ) b 2



S 25=20+ ( 25−1 ) 2



h. i. j.



p.



40 q. J 40=40.20+ 2 ( 40−1 ) 2



= 20 + 48 = 68



S n=20+ ( n−1 ) 2



s.



r. ¿ 800+1560 = 2360



t. Soal 3 u. Hitung suku ke-10 dan hitung jumlah deret ukur sampai suku ke-10 dari deret hitung 2, 6, 18, 54,… v. Penyelesaian w. a = 2; r = 3; n = 10 ad. Jumlah deret ukur n x. Suku ke-n dari suatu deret ukur a(r −1) J = n−1 ae. n r−1 y. S n=a r z. aa. ab.



10



10−1



S 10 =2(3)



af.



2((3) −1) J 10 = 3−1



= 2 (19683) = 39366



ac. ai. aj. ak. al. am. an. SOAL LATIHAN ao. Soal 1 6



2( 59048) 2



ag.



=



ah.



= 59048



ap. Hitung suku pertama, beda antara dua suku-sukunya yang berurutan dan suku ke-10 dari suatu deret hitung, apabila pada deret hitung tersebut diketahui: S 5=70 dan J 6=384 a. b.



S 3=75 dan J 4 =320



c.



S 3=62 dan S 7=40 S =6 dan J =7



5 9 d. aq. Soal 2 ar. Tuliskan sepuluh suku pertama dari deret hitung berikut, apabila diketahui: S 7=22 a. b = 2 dan



b. a = 40 dan



S 6=20



c. b = 5 dan



S 3 +S 5=78 S + S =125



d. b = -5 dan 4 5 as. Soal 3 at. Tuliskan sepuluh suku pertama dari deret ukur berikut, apabila diketahui: S 3=405 a. a = 5 dan b. r = -3 dan c. r = 1/2 dan d. r = 3 dan au. av. aw. ax. ay. az. ba. bb. bc. bd. be. bf. bg. bh.



S 6=−243 S 8=3825 S 10 =39366



bi. 7



bj. bk. bl.



bn.



bm. PERTEMUAN 3 PENERAPAN DERET DALAM BISNIS bo.



bp. bq.



PERKEMBANGAN KEGIATAN PERUSAHAAN br. Rumus-rumus yang berlaku dalam suatu deret dapat digunakan untuk menjelaskan perkembangan kegiatan perusahaan secara kuantitatif. Apabila perkembangan kegiatan perusahaan tersebut dinyatakan dalam angka-angka yang mengikuti pola perubahan seperti yang disyaratkan dalam deret hitung maupun ukur, maka nilai-nilainya pada berbagai periode waktu yang diinginkan dapat ditentukan. bs.Kasus 1 bt. Perusahaan buku PT Makmur menghasilkan 5000 buku pada bulan pertama produksinya. Perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buku setiap bulannya dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah buku yang dihasilkan pada bulan ke empat? Berapa buku yang telah dihasilkan sampai pada bulan tersebut? bu.Penyelesaian n bv. a = 5000, b = 500, ca. J n= 2 ( a+ Sn ) n=4 S n=a+ ( n−1 ) b bw. bx.



S 4 =5000+ ( 4−1 ) 500



cb.



4 J 4 = (5000+ 6500 ) 2



¿ 6500 ¿ 23000 by. cc. bz. a. Kasus 2 b. Hasil penjualan PT Mitra Pekerti pada tahun pertama produksinya adalah sebesar Rp 150juta. Apabila hasil penjualan tersebut bertumbuh sebesar 8% per tahun, berapa hasil penjualan perusahaan pada tahun ke-6? c. Penyelesaian d. Suku pertama 150juta, Suku kedua 150juta + 8% (150juta) = 162juta; e. sehingga rasio = 162juta/150juta = 1,08 f. a = 150juta, r = 1,08 dan, n = 6 8



S n=a r



g. h.



i.



n−1



1,08 ¿ ¿ S 6=150 juta¿ 1,08 ¿ ¿ ¿ 150 juta ¿



j. = 220399211,5 k. l. TEORI NILAI UANG m. Rumus-rumus yang berlaku dalam deret, baik hitung maupun ukur, dapat digunakan sebagai alat untuk, misalnya menghitung perubahan nilai uang dari waktu ke waktu pada suku bunga tertentu, menentukan besar pembayaran cicilan pada suku bunga dan jangka waktu tertentu, menentukan bunga dari sejumlah uang dalam jangka waktu tertentu. Khusus untuk penerapan deret ukur dalam teori nilai uang dapat digunakan model bunga majemuk. n. Kasus 1 o. Arif meminjam uang sebesar Rp 6000000 dari Koperasi Aman Selalu dan berjanji akan membayar secara cicilan sebesar Rp 300000 tiap akhir bulan dengan membayar bunga 20% pertahun dari sisa hutangnya. Hitung : a. Jumlah bunga yang harus dibayar sampai dengan pinjaman lunas? b. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman? p. Penyelesaian a. Arif akan membayar hutangnya dengan 6juta/300ribu = 20 kali cicilan. Cicilan pertama bunga yang harus dibayar 6juta (20%)(1/12) = 100ribu q. Cicilan kedua bunga yang harus dibayar 5,7juta (20%)(1/12) = 95ribu; sehingga a = 100ribu, b = 5ribu, n=20 r.



n J n=na+ ( n−1 ) b 2



s.



J 20 =20.100 ribu+



20 ( 20−1 ) 5 ribu 2



t. = 2juta + 950ribu u. = 2950000 b. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman v. = pinjaman pokok + jumlah bunga w. = 6000000 + 2950000 9



x.



ae.



= 8950000 y. Kasus 2 dengan menggunakan model bunga majemuk z. Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. Model ini dapat digunakan untuk menghitung besarnya pengembalian kredit dimasa datang berdasarkan tingkat bunganya atau menghitung nilai sekarang dari jumlah investasi yang akan diterima di masa datang. aa. Rumus untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang adalah sebagai berikut. ab. ac. ad. F =P(1+i)n n



af. P : jumlah sekarang ag. i : tingkat bunga per tahun ah. n : jumlah tahun ai. Rumus di atas dapat juga digunakan untuk menghitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya di masa datang. aj. ak. al.



P=



1 F n (1+i )



atau



P=



1 F mn (1+i / m)



am. Contoh an.Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 5 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan? ao.Penyelesaian ap. P = 5000000 aq. n = 3 ar. i = 2% as. Jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan n



Fn =P(1+i)



at. au. av.



F3 =5000000(1+0,02)3 ¿ 5000000(1,061208)3



10



aw.



¿ 5306040



ax. Jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan, apabila bunga dibayar tiap semester mn



Fn =P(1+i/m)



ay. az.



F3 =5000000(1+0,01)6



ba.



¿ 5000000(1,06152)



bb.



¿ 5307600



bc.Contoh bd.Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp 532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang? be. bf. bh. bi. bj. bk.



bg. Penyelesaian F = 532400 n=3 i = 10% = 0,1 Tabungan mahasiswa pada saat sekarang:



bl.



bm. bn.



P=



1 F (1+i )n



¿



1 532400 3 (1+i) ¿ 400000



bo. SOAL LATIHAN bp. Soal 1 bq.PT Indah Sentosa meperoleh hasil penjualan sebesar Rp 460000000 pada tahun ke-3 dan Rp 850000000 pada tahun ke-6. Apabila pertambahan hasil penjualan perusahaan mengikuti pola deret hitung, tentukan: br. Pertambahan hasil penjualan perusahaan per tahun? bs. Hasil penjualan perusahaan pada tahun pertama? bt. Pada tahun berapakah hasil penjualan perusahaan menjadi Rp 1370000000? 11



bu. Soal 2 bv.Andi meminjam uang sebesar Rp 20000000 dari bank dan berjanji akan membayarnya secara cicilan sebesar Rp 500000 tiap akhir 4 bulan ditambah dengan bunga 15% per tahun dari sisa hutangnya. Hitung: a. Bunga yang dibayar pada cicilan terakhir? b. Jumlah bunga yang dibayar sampai dengan pinjaman lunas? c. Jumlah uang yang harus dibayar untuk melunasi pinjaman? bw. Soal 3 bx.Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak 12 juta rupiah untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per tahun. Hitung: a. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? b. Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus dikembalikan? by. bz. ca. cb.



cc. PERTEMUAN 4 cd. FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR ce. cf. cg.PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI ch. Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Misal: ci.



cj. y = 5+0,8x ck. cl. cm.



variabel dependen konstanta



variabel independen koefisien



cn. Fungsi dapat berbentuk persamaan dan pertidaksamaan. Fungsi berbentuk persamaan apabila ruas kiri dan kanan fungsi dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan apabila ruas kiri dan kanan fungsi dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan ( ¿ atau> ¿ ). co. 12



cp.FUNGSI LINEAR cq. Fungsi linear adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Setiap fungsi linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan. y



cr. cs. ct. cu. cv. cw. cx. cy. cz. da. db. dc. dd.



b a x



de.PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR df. Setiap fungsi dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya, dan kemudian memindahkan pasanganpasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Penggambaran pada fungsi linear akan menghasilkan sebuah garis lurus. Berikut contoh penggambaran persamaan linear. dg.Contoh : dh.y = 2 + 2x di.



dj.



dk.



dl.



dm. dn.



X



0



1



2



3



4



do.



dp.



dq.



dr.



ds.



dt.



Y



2



4



6



8



1 0 13



du. dv. 10 dw.



8



dx. 6 dy. 4 dz. 2 ea. eb.



1 2 3 4 5 6 7 ec. PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR ed. Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear.



a. Cara dwi-koordinat ee. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masingmasing (x1,y1) dan (x2,y2), maka rumus persamaan linearnya adalah: y− y 1 x −x1 ef. y 2 − y 1 = x 2−x 1



eg. eh. ei. ej. Contoh Soal: ek. Misalkan diketahui titik A (2,3) dan titik B (6,5), maka persamaan linearnya: el.



y− y 1 x −x1 = y 2 − y 1 x 2−x 1



em.



y −3 x−2 = 5−3 6−2



eo.



en.



y −3 x−2 = 2 4



ep.



4y - 12 = 2x - 4



eq.



4y = 8 + 2x



er. y = 2 + 0,5x



b. Cara koordinat-lereng 14



c. Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1,y1) dan lereng garisnya b, maka rumus persamaan linearnya adalah: d.



y− y 1=b( x−x 1)



e. Contoh Soal : f. Apabila diketahui titik A (2,3) dengan lereng garis 0,5 maka persamaan linearnya: g.



y− y 1=b( x−x 1)



h.



y−3=0,5(x−2)



i.



y−3=0,5 x−1



j.



y=2+0,5 x



k. Cara penggal-lereng l. Apabila diketahui penggal (a) dan lereng garis (b), maka rumus persamaan linearnya adalah: m.



y = a + bx; a = penggal, b = lereng



n. Contoh Soal : o. Apabila diketahui penggal dan lereng garis persamaan y =f (x) masingmasing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan linearnya adalah y = 2 + 0,5x p. Cara dwi-penggal q. Apabila diketahui penggal garis pada masing-masing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0), maka persamaan linearnya adalah: r.



a y=a− x ; a = penggal vertikal, c = penggal horizontal c



15



s. t. u. v. Contoh Soal : w. Apabila diketahui penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan linearnya adalah: a y=a− x c



x.



2 x (−4)



y.



y=2−



z.



y=2−0,5 x



aa. ab.HUBUNGAN DUA GARIS LURUS ac. Dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan dalam sistem sepasang sumbu-silang, yaitu berimpit, sejajar, berpotongan, dan tegak lurus. a. Berimpit ad. Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yang lain. Dengan demikian, garis y 1=a 1+b 1 x a1=n a2



ae.



akan berimpit dengan garis



, dan



b1=n b2



y



af. ag.



16



y 2=a 2+ b2 x



, jika



y 1=n y 2



,



ah. ai. aj. ak.



0



x



b. Sejajar al.Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis am.



y=a1+ b1 x



akan sejajar dengan garis



y=a2+ b2 x



, jika



b1=b2



y



an. ao. ap. aq. ar. 1



x as.



c. Berpotongan at. Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis



y=a1+ b1 x



akan berpotongan dengan garis



jika au.



y



av. 17



y=a2+ b2 x



,



aw. ax. ay. az. ba.



0



x



d. Tegak lurus bb. Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis akan tegak lurus dengan garis



y=a2+ b2 x



, jika



y=a1+ b1 x



b1−1 /b2



atau



b1 . b2=−1



bc.



y bd. be. bf. bg. bh. 1



x bi.



bj. PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN LINEAR bk. Mencari akar-akar persamaan maksudnya adalah menghitung besarnya nilai variabel-variabel dalam suatu persamaan. Terdapat beberapa cara untuk mencari akar-akar persamaan, yaitu: a. Cara substitusi 18



bl. Dua bilangan dalam dua persamaan, misal x dan y, dapat dicari dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu persamaan pertama, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan kedua. bm. Contoh: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut bn. 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 bo. bp.  Langkah pertama selesaikan terlebih dahulu persamaan x + 4y = 23 bq. x + 4y = 23 x = 23 - 4y  Langkah kedua substitusikan hasil langkah pertama kepersamaan berikutnya br.



2x + 3y = 21



bs.



2(23 - 4y) + 3y = 21



bt.



46 - 8y + 3y = 21



bu.



46 - 5y = 21



bv.



25 = 5y



bw.



y=5



 Langkah ketiga masukkan nilai y dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x bx. x = 23 - 4y by. x = 23 - 4(5) bz. x=3 b. Cara eliminasi ca. Dua bilangan dalam dua persamaan, misal x dan y, dapat dicari dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dihitung bilangan yang lain. cb. Contoh: carilah nilai variabel x dan y dari dua persamaan berikut cc. 2x+3y = 21 dan x+4y = 23  Langkah pertama eliminasi salah satu bilangan, misal bilangan x cd. 2x + 3y = 21 x1 2x + 3y = 21 ce. x + 4y = 23 x2 2x + 8y = 46 cf. -5y = -25 cg. y=5  Langkah kedua masukkan nilai y dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x 19



ch. x = 23 - 4y ci. x = 23 - 4(5) cj. x=3 ck. cl. SOAL LATIHAN cm. Soal 1 cn. Bentuklah persamaan linear berdasarkan data berikut ini: a. (-1,-4) dan (1,0) b. (1,4) dan (2,3) c. (-1,3) dan koefisien arah/lereng 2 d. (-1,3) dan koefisien arah/lereng 5 co. Soal 2 cp. Tentukan hubungan dua garis lurus berikut ini dan gambarkan grafiknya. a. y = 4 + 0,5x dan y = 6 + 0,5x b. y = 5 – 2x dan y = 3 –x c. -3y = -6 – 2x dan -6y = -12 – 4x cq. Soal 3 cr. Hitunglah nilai x dan y dari persamaan berikut ini. a. y = -2 + 4x dan y = 2 + 2x b. y = 2 + 2x dan y = 10 – 2x c. y = 5 – 2x dan 3y = 3 – 2x d. 4y = -4 + 8x dan 3y = 21 – 2x cs. ct. cu. cv. cw. cx. cy. cz. da. db. dc. dd. de. df. 20



dg. dh. di. dj. dk. dl. dm. dn. do. dp.



dq. PERTEMUAN 5 dr. PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR DALAM BISNIS ds. dt. du. Hubungan sebab-akibat antara berbagai variabel ekonomi, misal antara permintaan dan harga, dapat dengan mudah dinyatakan dan diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupakan bentuk paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis bisnis. Berikut adalah penerapan fungsi linear dalam bisnis. dv. dw.



FUNGSI PERMINTAAN



dx. Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang diminta oleh konsumen (Q) dengan harga barang tersebut (P). Bentuk umum fungsi permintaan: dy.Q = a – bP atau dz.



a 1 P= − Q b b



P



ea. eb.



P' e



21



ec. ed.



Pe



ee. ef.



0



Q' e Qe



Q



eg. eh. Persamaan di atas memperlihatkan bahwa variabel P (price/harga) dan variabel Q (quantity/jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan arah. Hal ini mencerminkan hukum permintaan, yaitu apabila harga barang naik, maka jumlah barang yang diminta oleh konsumen akan berkurang dan apabila harga barang turun, maka jumlah barang yang diminta oleh konsumen akan bertambah. ei. ej. FUNGSI PENAWARAN ek. Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen dengan harga barang tersebut. Bentuk umum fungsi penawaran: el. em. en.Q = -a + bP atau eo.



a 1 P= + Q b b



P



ep. eq. er.



P' e



22



Pe



es. et.



Qe Q ' e



eu.



Q



ev. Persamaan di atas memperlihatkan bahwa variabel P (price/harga) dan variabel Q (quantity/jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Hal ini mencerminkan hukum penawaran, yaitu apabila harga barang naik, maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga barang turun, maka jumlah barang yang ditawarkan akan berkurang. ew. ex.KESEIMBANGAN PASAR ey. Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. ez.



P



fa. Qs



fb. fc. fd.



E Pe



fe. Qd



ff. fg.



0



Qe



Q



fh. Syarat Keseimbangan Pasar : 23



fi. Qd = Qs



fj. fk.



Qd = jumlah permintaan



fl.



Qs = jumlah penawaran



fm.



E = titik keseimbangan



fn.



Pe = harga keseimbangan



fo.



Qe = jumlah keseimbangan



fp. fq. fr. fs. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN ft. Soal fu. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Q d = 10 – 5P dan fungsi penawaran suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qs = – 4 + 9P. fv. Tentukan harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? fw.Penyelesaian fx. Keseimbangan pasar : fy. fz. ga. gb.



Qd = Qs



10 – 5 P = – 4 + 9P 14P



Q



= 14;



= 10 – 5P



Q = 10 – 5(1)



P = 1; Pe = 1



Q = 5; Qe = 5



24



gc.Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar adalah E (5,1 ) gd. ge.SOAL LATIHAN gf. Soal 1 gg.Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 2Q = 20 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? gh.



Soal 2



gi. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 4Q = 20 – 8P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + 3P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? gj. Soal 3 gk. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan 6Q = 18 – 12P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan Q = -5 + 6P. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? gl. gm. gn. go. gp. gq. gr. 25



gs. gt. gu.



gv. PERTEMUAN 6 gw. PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR DALAM BISNIS gx. gy. gz.PENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR ha. Pengenaan pajak pada suatu barang akan menaikkan harga barang sebab produsen cenderung mengalihkan sebagian beban pajak tersebut kepada konsumen. Akibatnya harga keseimbangan yang tercipta di pasar menjadi lebih tinggi daripada harga keseimbangan sebelum pajak, sedangkan jumlah keseimbangannya menjadi lebih rendah. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut. hb.



P



hc. Q' S



hd. he. hf. hg.



QS



E’ P' e



E Pe



hh. hi. 26



(sesudah pajak) (sebelum pajak)



Q' e Qe



hj.



Q



hk. Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak persamaan penawarannya akan menjadi P = a + bQ + t hl. Kecenderung produsen untuk mengalihkan sebagian beban pajak kepada konsumen membuat, pada akhirnya, beban pajak tersebut ditanggung baik oleh konsumen maupun produsen. hm.



Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen :



tk = P’e - Pe



hn.



Beban pajak yang ditanggung oleh produsen :



tp = t – tk



ho.



Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah :



hp.



t



hq.



P’e : harga keseimbangan sesudah pajak



T = t x Q’e



: besar pajak per unit barang



hr.



Pe : harga keseimbangan sebelum pajak



hs.



Q’e : jumlah keseimbangan sesudah pajak



ht.



Qe : jumlah keseimbangan sebelum pajak



hu.



E’e : keseimbangan sesudah pajak



hv.



Ee : keseimbangan sebelum pajak



hw. hx.



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN



hy.Soal hz.Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 8 P, sedangkan fungsi penawaran Q = 16 + P. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit. 27



a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak? b. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen? c. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah? ia. Penyelesaian a. Keseimbangan pasar sebelum pajak ib.



Qd



=



ic.



8–P =



id.



2P =-8



ie.



P =-4



Qs 16 + P



Q = 8-P



Q = 8 – (-4) Q = 12



if. Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 12,-4 ) ig. Keseimbangan pasar sesudah pajak ih. P = Qd



-16 + Q + t Q = 13 + P



Qs =



ii.



-16 + Q + 3



13 + P



=



8



2P



=



-5



–P



= = 13 + (-2,5)



ij.



=



-13 + Q



= 10,5 ik.



P =



-2,5



il. Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 10,5,-2.5 ) b. Besar pajak yang ditanggung konsumen tk = P’e - Pe im. in. = -2,5 – (-4) io. = 1,5/unit ip. Besar pajak yang ditanggung produsen iq. tp = t – tk ir. = 3 – 1,5 is. = 1,5/unit c. Besar penerimaan pajak oleh pemerintah 28



T = t x Q’e = 3 x 10,5 = 31,5



it.



iu. iv. iw.



ix. PENGARUH PASAR



SUBSIDI



TERHADAP



KESEIMBANGAN



iy. Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah karena ongkos produksi menjadi lebih kecil. iz. Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum subsidi persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah subsidi akan menjadi P’ = a + bQ – s ja.



P



jb. Qs



jc. jd. je. jf.



Q' s



E Qe



(tanpa subsidi) (dengan subsidi)



E’ Q' e



jg. Qd



jh. ji.



Qe



Q' e



Q



jj. jk. Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘ 29



jl. Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk jm.



Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Q’e



jn.



jo. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN jp. Soal jq. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q d = 12–2P sedangkan penawarannya ditunjukkan oleh persamaan Qs = -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2 per unit barang. jr. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi ? js. b. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ? jt. c. Berapa subsidi total yang harus dibayar oleh pemerintah ? ju. Penyelesaian a. Keseimbangan pasar sebelum subsidi jv.



Qd



=



jw.



12 – 2P



jx.



4P =16



jy.



P =4



Qs =



-4 + 2P



Q = 12 - 2P



Q = 12 – 2(4) Q = 4



jz. Jadi keseimbangan pasar sebelum subsidi E ( 4,4 ) ka.



Keseimbangan pasar sesudah subsidi



kb. 2P Qd



=



kc.



4+Q-2



= = 2(3,5) - 2 30



4+Q-s Q = 2P - 2



Qs =



2P - 2 =



12 – 2P



kd.



=



2+Q



4P



=



14



= 5 ke.



P =



3,5



kf. Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 5,3,5 ) b. Bagian subsidi untuk konsumen kg. sk = Pe - P’e kh. = 4 – 3,5 ki. = 0,5/unit kj. Bagian subsidi untuk produsen kk. sp = s – sk kl. = 2 – 0,5 km. = 1,5/unit c. Besar subsidi yang dibayar oleh pemerintah S = s x Q’e kn. ko. = 2 x 5 = 10 kp. kq.



KESEIMBANGAN PASAR UNTUK DUA JENIS PRODUK



kr. Terdapat beberapa kasus dimana permintaan terhadap suatu barang tidak hanya dipengaruhi oleh harga barang itu sendiri, tetapi juga dipengaruhi oleh harga dari barang lainnya, misal teh dan kopi yang mempunyai hubungan substitusi/saling menggantikan. Permintaan teh tidak hanya dipengaruhi oleh harga dari teh itu sendiri, tapi juga dipengaruhi oleh harga dari kopi. ks.



kt. ku.



Apabila barang X dan Y mempunyai hubungan penggunaan, permintaan terhadap masing-masing barang dipengaruhi juga oleh harga barang lainnya, maka fungsi permintaan masing-masing barang tersebut adalah sebagai berikut. Qdx =f ( P x P y ) Qdx = jumlah permintaan barang X Qdy =g ( P y P x ) Q dy = jumlah permintaanbarang Y



31



Px =hargabara ng X per unit



kv.



P y =harga barang Y per unit



kw. kx.



Oleh karena permintaan masing-masing barang merupakan fungsi dari harga dua macam barang, maka keseimbangan pasar yang tercipta adalah keseimbangan pasar untuk kedua macam barang tersebut.



ky. kz. la. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN lb. Soal lc. Permintaan terhadap barang X ditunjukkan oleh persamaan Qdx =10−4 P x +2 P y



, sedangkan penawarannya



Qsx =−6+6 P x



.



Sementara itu permintaan terhadap barang Y ditunjukkan oleh Qdy =9−3 P y + 4 P x



persamaan Qsy =−3+7 P y



,



sedangkan



penawarannya



.. Berapa harga dan jumlah keseimbangan yang



tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut? ld. Penyelesaian le. lf.



lg.



Qdx



=



10 – 4Px + 2Py



Qsx =



10Px – 2Py =



-6 + 6Px



16 …………….(1)



lh. li. lj.



Qdy 9 – 3Py + 4Px



=



Qsy =



-3 + 7Py



32



lk. ll.



4Px – 10Py = 10Px – 2Py =



lm.



-12…………….(2) 16



4Px – 10Py =



x1 -12



10Px – x 2,5



ln.



2Py = 16



10Px – 25 Py = -30



23 Py = 46



lo.



Py = 2, maka diperoleh Px = 2



lp. Setelah nilai Px dan Py diketahui masukkan nilai-nilai tersebut kedalam persamaan permintaan atau penawaran untuk memperoleh nilai Qx dan Qy. Setelah dihitung diperoleh nilai Qx = 6 dan Qy = 11 lq. Sehingga diperoleh kesimpulan Px equilibrium = 2, Qx equilibrium = 6 serta Py equilibrium = 2, Qy equilibrium = 11. lr. ls. SOAL LATIHAN lt. Soal 1 lu. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan Q = 11 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan daalam persamaan Q = -4 + 2P. Barang-barang tersebut dikenakan pajak sebesar Rp 3/unit. Hitunglah: a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum pajak dan sesudah pajak? b. Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen? c. Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah? lv. Soal 2 lw.Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dalam persamaan Q = 20 – P, sedangkan fungsi penawarannya ditunjukkan dalam persamaan 2Q = -5 + P. Barang-barang tersebut mendapat subsidi sebesar Rp 3/unit. Hitunglah: 33



a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah subsidi? b. Jumlah subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen? c. Jumlah subsidi yang dibayar oleh pemerintah? lx. Soal 3 ly. Permintaan terhadap barang X ditunjukkan oleh persamaan Qdx =3−P x +2 P y



,



sedangkan



penawarannya



Qsx =−5+7 Px



.



Sementara itu permintaan terhadap barang Y ditunjukkan oleh persamaan Qsy =−4 +2 P y



Qdy =4−P y +2 P x



,



sedangkan



penawarannya



. Berapa harga dan jumlah keseimbangan yang



tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut? lz. ma. mb. mc. md. me. mf. mg. mh. mi. mj. mk. ml. 34



mm. mn. mo. mp. mq. mr. ms. mt. mu. mv. mw. mx. my. mz. na.



nb. PERTEMUAN 7 nc. PENERAPAN FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR DALAM BISNIS nd. ne. nf. FUNGSI BIAYA ng. Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel 35



(variable cost). Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan dan biaya tetap merupakan sebuah konstanta, sedangkan sifat biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. nh.



FC = k



ni.



VC = f(Q) = vQ



nj.



C = g (Q) = FC + VC = k + vQ



nk. nl.



C



FC = biaya tetap



C = k + vQ



nm.



VC = biaya variabel



nn.



VC = vQ



C = biaya total



no.



k = konstanta np. kurva C



nq.



V = lereng kurva VC dan



k



nr.



FC = k



ns. nt.



0



Q



nu. nv.CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN nw.



Soal



nx. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 50000 sedangkan biaya variabel ditunjukkan oleh persamaan VC = 200 Q. Tunjukkan persamaan biaya totalnya dan Hitung biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan memproduksi 800 unit barang? 36



ny.Penyelesaian nz.FC = 50000 oa.VC = 200 Q ob.



Persamaan biaya total



oc.C = FC + VC → C = 50000 + 200 Q od.



Biaya total jika diproduksi 800 unit barang



oe.C = 50000 + 200Q of.



= 50000 + 200 (800)



og.



= 210000



oh. oi. FUNGSI PENERIMAAN oj. Penerimaan suatu perusahaan merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual. Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. ok.



R = Q x P = f (Q)



ol. Secara matematik penerimaan merupakan fungsi jumlah barang, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal. om. on.



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN



oo.Soal op. Harga jual produk pada suatu perusahaan Rp 500 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini serta berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 800 unit ? 37



oq.



Penyelesaian



or. Persamaan penerimaan total os. R = Q x P ot. ou.



= Q x 500 = 500Q



ov.Besar penerimaan bila terjual barang sebanyak 800 unit ow. R = Q X 500 500Q ox.



= 800 X 500



oy.



= 400000



R=



400ribu



oz. pa. pb. pc. pd.



50ribu



pe. pf.



100



pg. ph. pi. pj. pk.



ANALISIS BREAK-EVEN 38



800



pl. Analisis break-even adalah konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan break-even terjadi apabila R (penerimaan total) = C (biaya total) atau dengan kata lain perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula mengalami kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C. pm. pn.



CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN



po.



Soal



pp. Biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 80.000 + 200 Q dan penerimaan totalnya R = 400 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami break-even? apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 500 unit ? pq.



Penyelesaian



pr. Syarat break-even ps.



R = C



pt.



400Q = 80000 + 200Q



pu.



200Q = 80000



pv.



Q = 400



pw.



Jadi, pada tingkat produksi 400 unit tercapai keadaan break-even



px.



Jika perusahaan memproduksi 500 unit: py.



pz.



Π (profit) = R – C = 400Q – ( 80000 + 200Q)



qa.



= 200 Q – 80000



39



qb.



= 200(500) – 80000



qc.



= 20000



qd. Jadi, pada tingkat produksi 500 unit, perusahaan akan mengalami keuntungan sebesar Rp. 20000 qe. qf. SOAL LATIHAN qg. Soal 1 qh. Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 80000 sedangkan biaya variabel ditunjukkan oleh persamaan VC = 400Q. Tunjukkan persamaan biaya totalnya dan hitung biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan memproduksi 800 unit barang? qi. qj. Soal 2 qk. Harga jual produk pada suatu perusahaan Rp 300 per unit. Tunjukkan persamaan penerimaan total perusahaan ini serta berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 800 unit ? ql. Soal 3 qm. Biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukan oleh persamaan C = 50000 + 200 Q dan penerimaan totalnya R = 400 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan mengalami break-even? Apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 300 unit ? qn. qo. qp. qq. qr. qs. qt. qu. qv. 40



qw. qx. qy. qz. ra. rb. rc. rd. re. rf. rg. rh. ri. rj. rk. rl. rm. rn. ro.



rp. PERTEMUAN 9 rq. PERSAMAAN NON LINEAR DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS rr. rs. rt.



PERSAMAAN NON LINEAR ru. Persamaan non linear merupakan model persamaan yang tidak kalah pentingnya dibandingkan dengan persamaan linear dalam penerapan ekonomi. Tidak sedikit hubungan antarvariabel ekonomi lebih realistik dan rasional jika diterangkan dengan menggunakan model persamaan non linear. rv. Terdapat beberapa macam model persamaan non linear. Namun, model yang paling sering digunakan dalam analisis ekonomi adalah model persamaan kuadrat dan persamaan kubik. rw. Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah y = ax2 + bx + c, dimana a ≠ nol.



41



rx. Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum persamaan kubik adalah y = ax3 + bx2 + cx + d, dimana a ≠ nol. ry. rz. PENERAPAN PERSAMAAN NON LINEAR DALAM BISNIS sa. PERMINTAAN, PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR Selain berbentuk fungsi linear, permintaan dan penawaran dapat sb. pula berbentuk fungsi non linear. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran non linear sama seperti halnya pada kasus linear. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs pada perpotongan antara kurva permintaan dan penawaran. sc. Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linear. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit, sedangkan subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak. sd. se. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN sf. Soal sg. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 2 2 19 – P sedangkan fungsi penawarannya Qs = - 8 + 2P . Tentukan: a. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? b. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika barang dikenakan pajak 1 rupiah per unit? sh.Penyelesaian a. Qd = Qs si. 19 – P2 = -8 + 2P2 sj. 19 + 8 = 2P2 + P 2 sk. 27 = 3P2 sl. P2 = 9 sm. P=9 sn. =3 so. Jika nilai P = 3, maka Q = 19 – P2 sp. = 19 – (3)2 sq. = 10



42



sr. Jadi keseimbangan tercipta di pasar pada harga 3 rupiah dan 10 unit barang. ss. b. Jika dikenakan pajak sebesar t = 1, maka: st. Fungsi penawaran setelah pajak Q s = - 8 + 2( P – t ) 2 su. Q s = - 8 + 2( P – 1) 2 sv. Q s = - 8 + 2( P2 – 2P + 1 ) sw. Q s = - 8 + 2P 2 – 4P + 2 sx. Q s = 2P 2 – 4P - 6 sy. Titik keseimbangan setelah kena pajak sz. Qd = Qs ta. 19 – P2 = 2P2 – 4P - 6 tb. = 2P2 + P2 – 4P – 6 – 19 tc. = 3 P2 – 4P – 25 td. Untuk mencari nilai P gunakan rumus abc



te. X 12 =



tf. P12 = tg.



= th. ti.



tj. P1 =



 b  b 2  4ac 2a 4  (4) 2  4(3)( 25) 2(3)



4  16  300 6



= =



4  316 6 4  17,78 6



4  17,78 6



= 3,63 (yang dipilih)



4  17,78 6



tk. P2 = = - 2,2967 tl. Q d = 19 – P 2 tm. = 19 – (3,63)2 tn. = 19 – 13,1769 to. = 5,8231 43







a. b. c. d.



tp. 6 tq. Jadi harga keseimbangan setelah pajak menjadi Rp. 3,63 dan jumlah permintaan setelah pajak menjadi 6 unit. tr. ts. SOAL LATIHAN tt. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 24 – P2 sedangkan fungsi penawarannya Qs = - 24 + 2P2. Tentukan: Harga keseimbangan yang tercipta di pasar? Jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar? Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika barang dikenakan pajak 1 rupiah per unit? Harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar jika barang dikenakan subsidi 1 rupiah per unit? tu. tv. tw. tx. ty. tz. ua. ub. uc. ud. ue. uf. ug. uh. ui.



uj. PERTEMUAN 10 uk. PERSAMAAN NON LINEAR DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS ul. um. un. FUNGSI BIAYA uo. Terdapat beberapa konsep biaya yang harus diketahui untuk membahas mengenai penerapan fungsi biaya dalam bisnis. Berikut ini adalah beberapa konsep biaya tersebut. 44



1. Biaya Tetap (FC) = k atau konstanta 2. Biaya Variabel (VC) = f (Q) 3. Biaya Total (C) = FC + VC = k + f (Q) FC Q



4. Biaya tetap rata-rata (AFC) =



5. Biaya variabel rata-rata (AVC) = C Q



6. Biaya total rata-rata (AC) = 7. Biaya Marginal (MC) =



VC Q



= AFC + AVC



∆C ∆Q



up. Bentuk non linier dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabola dan fungsi kubik. uq.Fungsi biaya bentuk kuadrat parabola ur. C = aQ2 – bQ + c us. ut. VC FC uu.Fungsi biaya bentuk kubik uv. C = aQ 3 – bQ 2 + cQ + d uw. ux. VC FC uy. uz.CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN va.Soal vb.Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan ditunjukkan dengan persamaan C = 2Q2 – 24Q + 102. Tentukan: a. Tingkat produksi pada biaya total minimum? b. Biaya total minimum? c. Biaya tetap, biaya variabel, biaya tetap rata-rata, biaya variabel rata-rata dan biaya total rata-rata pada tingkat produksi minimum? d. Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besar biaya marginal? vc.Penyelesaian a. Biaya total dan harga minimum pada bentuk kuadrat parabola terletak pada titik ekstrim parabola vd. Titik ekstrim parabola (Q,C) ve. −b b2−4 ac vf. ,



( 2a ) (



−4 a



)



45



vg. vh. b 2a



 (24) 2(2)



24 4



vi. Q pada C minimum = = = = 6 unit vj. Jadi biaya total minimum dapat diperoleh ketika tingkat produksi 6 unit. b. C (biaya total) minimum = 2Q2 – 24Q +102 vk. = 2 (6)2 – 24(6) + 102 vl. = 30 c. Pada Q = 6, maka: vm.FC = 102 vn. VC = 2Q 2 – 24Q vo. = 2(6)2 – 24(6) = -72 vp. AFC =



FC =¿ Q



102 6



vq. AVC =



VC −72 = Q 6



= 17



= -12



vr. AC = AFC +AVC = 17 + (-12) = 5 d. Q ditambah 1 unit menjadi 7 unit vs. C = 2Q2 – 24Q +102 vt. = 2(7)2 – 24(7) + 102 vu. = 32 vv. MC =



∆C ∆Q



=



32−30 7−6



=2



vw. Jadi untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan sebesar 2. vx. vy.FUNGSI PENERIMAAN vz. Bentuk non linier dari fungsi penerimaan pada umumnya berupa parabola menghadap ke bawah dan hal ini terjadi di pasar monopoli. Terdapat beberapa konsep penerimaan yang harus diketahui untuk membahas mengenai penerapan fungsi penerimaan dalam bisnis. Berikut ini adalah beberapa konsep penerimaan tersebut. 1. Penerimaan total (R) = Q X P = f (Q) R



2. Penerimaan rata-rata (AR) = Q



46



∆R



3. Penerimaan marjinal (MR) = ∆ Q



a. b. c. d.



a.



b.



wa. wb. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN wc. Soal wd. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 900 – 1,5Q. Tentukan: Persamaan penerimaan total? Besar penerimaan total jika barang terjual 200 unit dan berapa harga jual per unit? Penerimaan marjinal jika penjualan meningkat menjadi 250 unit? Tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut? we. Penyelesaian R=PxQ wf. = (900 – 1,5Q) x Q wg. = 900Q – 1,5Q2 R = 900Q – 1,5Q2 wh. = 900 (200) – 1,5(200)2 wi. = 120000 wj. AR =



c.



R Q



=



120000 200



= 600



R2 = 900Q – 1,5Q2 wk. = 900 (250) – 1,5(250)2 wl. = 131250 wm.



MR =



∆R ∆Q



=



131250−120000 250−200 −b



d. R maksimum pada saat Q = 2 a e.



−900



= 225



= 2(−1,5) = 300



R maksimum = 900Q – 1,5Q2 wn. = 900 (300) – 1,5(300)2 wo. = 135000 wp. wq. wr. ws. wt. 47



wu. KEUNTUNGAN DAN KERUGIAN wv. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Namun, tidak selalu R maksimum dan C minimum menghasilkan keuntungan maksimum. ww. wx. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN wy. Soal wz. Penerimaan total yang diperoleh perusahaan ditunjukkan oleh



a. b. c. d.



a. b. c.



R = -0,10Q2 + 20Q, sedangkan persamaan biaya total persamaan C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit. xa.Penyelesaian xb. π = R – C = (-0,10Q2 + 20Q) – (0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20) xc. = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20 xd. Q = 10; π = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20 xe. = -0,25(10)3 + 2,9(10)2 + 13(10) – 20 xf. = 150 (keuntungan) xg.Q = 20; π = -0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20 xh. = -0,25(20)3 + 2,9(20)2 + 13(20) – 20 xi. = -600 (kerugian) xj. xk. SOAL LATIHAN xl. Soal 1 xm. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan ditunjukkan dengan persamaan C = 2Q2 – 48Q + 360. Tentukan: Tingkat produksi pada biaya total minimum? Biaya total minimum? Biaya tetap, biaya variabel, biaya tetap rata-rata, biaya variabel rata-rata dan biaya total rata-rata pada tingkat produksi minimum? Jika produksi dinaikkan sebesar 1 unit, berapa besar biaya marginal? xn. Soal 2 xo.Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 800 – 2Q. Tentukan: Persamaan penerimaan total? Besar penerimaan total jika barang terjual 100 unit dan berapa harga jual per unit? Penerimaan marjinal jika penjualan meningkat menjadi 150 unit? 48



d. Tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut? xp. Soal 3 xq. Penerimaan total yang diperoleh perusahaan ditunjukkan oleh R = -2Q2 + 800Q, sedangkan persamaan biaya total C persamaan = 2Q2 - 48Q + 360. Hitunglah profit perusahaan jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 20 unit? xr. xs. xt. xu.



xv. xw. xx. xy. xz. ya. yb. yc. yd. ye. yf. yg. yh. yi. yj. yk. yl. ym. yn. yo. yp. yq. yr. 49



yt.



ys. PERTEMUAN 11 DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA



yu. yv. yw. Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi. yx.Jika diketahui fungsi asli y = f(x), maka diferensiasi/turunannya



dapat dituliskan dengan notasi



dy dx



atau y 1 atau f 1 (x).



yy. yz. KAIDAH-KAIDAH DIFERENSIASI za. Kaidah-kaidah yang dapat digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu adalah sebagai berikut ini. zb.1. Diferensiasi konstanta



2.



zc.



Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka



zd.



Contoh y = 10, maka d x



dy



dy dx



=0



=0



Diferensiasi fungsi pangkat



ze.



Jika y = x n, dimana n adalah konstanta, maka



n-1



zf.



5



Contoh y = x , maka



dy dx



= 5x 5-1 = 5x4



3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi 50



dy dx



=nx



zg. Jika y = kv, dimana v = h (x), maka



dy dx



=k



dv dx



dy dx



zh. Contoh y = 7x2, maka



= 7(2x) = 14x



4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi



zi.



k v Jika y =



, dimana v = h (x), maka



dy dx



dv  dx v2 k



3



zj.



7 3 Contoh y = x



, maka



x ¿ ¿ ¿2 ¿ d y −7(3 x 2) = ¿ dx



Type equation here .



5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi zk. Jika y = u



±



v, di mana u = g(x) dan v = h (x), maka dy



3 zl. Contoh y = 5x 2 + 2 x , maka d x



6. Diferensiasi perkalian fungsi



51



2 = 10x + 6 x



dy du dv = ± dx dx dx



=



zm. dv u dx



zn.



Jika y = uv, dimana u = g (x) dan v = h (x), maka ±



=



du v dx dy



3 2 Contoh y = 4x (x ), maka d x



u v



zr. Contoh y =



= 4x3(2x) + x2(4(3x2))



= 8x4 + 12x 4 = 20x4



zo. zp. 7. Diferensiasi pembagian fungsi zq. Jika y =



dy dx



, dimana u = g(x) dan v = h(x), maka



5 x3 4 x



dy



, maka d x



zs. =



dy = dx



v d −u d u



v



dx



dx



v



2



3 x2 3 3 ( ¿ ¿−5 x (4 x ) ) ¿ x4 ¿ ¿ ¿ 5¿ x4 ¿ ¿



=



x 4 ( 15 x 2 )−20 x 6 8❑ x



15 x 6−20 x 6 zt. = x 8❑



zu. =



−5 x 6 −2 =−5 x 8 x



8. Diferensiasi fungsi komposit zv. Jika y = f(u), sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f {g(x)}, maka



zw.



dy dx



=



dy du 52



.



du dx



dy



zx. Contoh y = (5x3 + 5)2, maka d x



= 2(5x3 + 5)(15x2) = (10x3 + 10)(15x2) = 150x 5 + 150 x 2



zy. zz.



9. Diferensiasi fungsi pangkat



aaa.



Jika y = un, dimana u = g (x), maka



aab.



Contoh y = (6x3 + 4)2, maka d x



dy



aac. aad.



dy dx



du dx



= nu n – 1.



= 2(6x3 + 4).18x2



= (12x3 + 8).18x2 = 216x5 + 144x2



aae.



aaf. SOAL LATIHAN 1. y =



6 6 x 3



5. y = (3x2 - x)(2 + x-1) 6. y =



2



2. y = 2x – 4x + 7x + 5 3. y = 9 – 3x-1 + 6x-2 4. y = (x2 - 4)(2x - 6)



10.



x 2−4 2 x−6



7. y = (3x2 - x)(5x + 2) 8. y = (5x + 12 – 2x-1)3



9. PERTEMUAN 12 PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA DALAM BISNIS 11.



12. 13.



ELASTISITAS PERMINTAAN 14. Elastisitas permintaan adalah perubahan persentase jumlah barang yang 15.diminta oleh konsumen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd =f ( P ) , maka elastisitas permintaannya: 16.



Ed =



dQ d P . dP Qd ; dimana



dQ =Q' d =f ' (P) dan jika: dP



53



Ed



17.



│



│> 1, maka permintaan suatu barang dikatakan



18.



elastis terhadap harga E │ d │< 1, maka permintaan suatu barang dikatakan



19.



inelastis terhadap harga E │ d │= 1, maka permintaan suatu barang dikatakan



uniter terhadap harga 20. Barang yang permintaannya elastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. 21. 22. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 23. Soal 24. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q d = 24 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 4. 25. Penyelesaian 26. 27.



2



Qd = 24 – 3P ; maka Q’d = -6P



Ed =Q ' d .



P Qd



= -6P.



P 24−3 P2 4 24−3 (4 2)



28.



= -6(4).



29.



4 = -24. 24−48



=4



30. Ed = 4 berarti pada kedudukan P = 4, jika harga naik (turun)sebesar 1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebesar 4%. 31. 32. 33. 34. 35. 36. ELASTISITAS PENAWARAN 37. Elastisitas penawaran adalah perubahan persentase jumlah barang yang 38.ditawarkan oleh produsen akibat adanya perubahan persentase dari harga barang itu sendiri. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs=f (P) , maka elastisitas penawarannya: 54



39.



Es =



d Qs P . dP Qs ; dimana Es



d Qs =Q ' s=f ' ( P) dP



dan jika:



40.



│



│> 1, maka penawaran suatu barang dikatakan elastis



41.



terhadap harga E │ s │< 1, maka penawaran suatu barang dikatakan



42.



inelastis terhadap harga E │ s │= 1, maka penawaran suatu barang dikatakan uniter



terhadap harga 43. Barang yang penawarannya inelastis mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka penawaran terhadapnya akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. 44. 45.CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 46. Soal 47. Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 25 + 3P2. Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 5. 48. Penyelesaian 49. 50.



2



Qs = 25 + 3P ; maka Q’s = 6P



Es =Q' s .



P Qs



= 6P.



P 2 25+ 3 P 5 25+ 3(52 )



51.



= 6(5).



52.



5 = 30. 25+ 75



= 1,5



53. Es = 1,5 berarti pada kedudukan P = 5, jika harga naik (turun)sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebesar 1,5%. 54. 55. ELASTISITAS PRODUKSI 56. Elastisitas produksi adalah perubahan persentase jumlah output yang 57.dihasilkan akibat adanya perubahan persentase jumlah input yang digunakan. Jika fungsi produksinya dinyatakan dengan Y ¿ f ( X ) , dimana Y melambangkan jumlah produksi yang 55



dihasilkan dan X melambangkan jumlah faktor produksi yang digunakan, maka elastisitas produksinya: 58.



E=



dY X . dX Y ; dimana



dY =Y '=f ' ( X ) dX



59.CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 60. Soal 61. Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Y = 6X2 X3. Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi X = 3 unit. 62. Penyelesaian 2



3



63.



Y = 6X – X ;



64.



Y’ = 12X – 3X2



maka



E=Y ' .



X Y



X



= (12X – 3X2). 6 X 2−X 3 3



3 6 (3 )−33



65.



= (12(3) – 3(3) ).



66.



3 = (36 – 27). (54−27)



2



=1



67. E = 1 berarti pada kedudukan X = 3, jika jumlah faktor produksi yang digunakan naik (turun) sebesar 1%, maka jumlah produksi yang dihasilkan akan bertambah (berkurang) sebesar 1%. 68. 69. SOAL LATIHAN 70. Soal 1 71. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q d = 27 – 3P2. Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 9 serta tentukan jenis elastisitasnya. 72. Soal 2 73. Fungsi penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qs = 45 + 9P2. Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 5 serta tentukan jenis elastisitasnya. 74. Soal 3 75. Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Y = 8X2 2X3. Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi X = 2 unit. 76. 77. 78. 79. 56



80. 81. 82. 83. 84.



86.



85. PERTEMUAN 13 PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA DALAM BISNIS



87. 88. 89. BIAYA MARJINAL 90. Biaya marjinal (MC) adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. 91. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f(Q) di mana C adalah biaya total dan Q adalah jumlah produk, maka biaya marjinalnya: 92.



dC



MC = C’ = dQ



93. Biaya total minimum apabila C’ = MC = 0 dan C” > 0 94. 95. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 96. Soal 97. Biaya total yang dikeluarkan perusahaan mengikuti persamaan C = Q 3 – 12Q2 + 36Q + 1000. Tentukan: a. Fungsi biaya marjinalnya b. Tingkat produksi ketika biaya total minimum c. Besarnya biaya total minimum 98.Penyelesaian a. MC = C’ =



dC dQ



99. = 3Q2 – 24Q + 36 b. MC = 0 1. 3Q2 – 24Q + 36 = 0 2. Q2 – 8Q + 12 = 0 3. (Q – 2)(Q - 6) = 0 4. Q = 2 atau Q = 6



5. C” > 0 6. C” = 6Q – 24 = 6(2) – 24 = -12 0



57



8. Jadi biaya total minimum terjadi pada tingkat produksi sebesar 6 unit. c. C = Q3 – 12Q2 + 36Q + 1000 9. = (6)3 – 12(6)2 + 36(6) + 1000 10. = 216 – 432 + 216 + 1000 11. = 1000 12. Jadi besar biaya total minimum = 1000 13. 14. 15. PENERIMAAN MARJINAL 16. Penerimaan marjinal (MR) adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit tambahan keluaran yang diproduksi atau terjual. Fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. 17. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) di mana R adalah penerimaan total dan Q adalah jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya: 18.



MR = R’ =



dR dQ



19. Penerimaan total maksimum jika R’ = MR = 0 dan R” < 0. 20. 21. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 22. Soal 23. Permintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 1000 – 50Q. Tentukan: a. Fungsi penerimaan marjinalnya b. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimum c. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut. 24. Penyelesaian a. Penerimaan total = R = P.Q 25. = (1000 – 50Q)(Q) 26. = 1000Q – 50Q2 dR



27. MR = R’ = dQ 28. = 1000 – 100Q b. MR = 0 29. 1000 – 100Q = 0 30. 100Q = 1000 31. Q = 10 32. Jadi penerimaan total maksimum terjadi pada tingkat produksi sebesar 10 unit. c. R = 1000Q – 50Q2



33.



= 1000(10) – 50(10)2 34. = 10000 - 5000 = 5000 35. Jadi besarnya penerimaan total maksimum = 5000. 36. 37. 38. 39. SOAL LATIHAN 40.Soal 1 41. Biaya total yang dikeluarkan perusahaan mengikuti persamaan C = Q 3 – 9Q2 + 24Q + 500. Tentukan: a. Fungsi biaya marjinalnya b. Tingkat produksi ketika biaya total minimum c. Besarnya biaya total minimum 42.Soal 2 43. Permintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 4000 – 80Q. Tentukan: a. Fungsi penerimaan marjinalnya b. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimum c. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut. 44.Soal 3 45. Permintaan suatu barang mengikuti persamaan P = 3500 – 75Q. Tentukan: a. Fungsi penerimaan marjinalnya b. Jumlah produksi ketika penerimaan total maksimum c. Besarnya penerimaan total maksimum tersebut. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.



63. 64. 65.



67.



66. PERTEMUAN 14 PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA DALAM BISNIS



68. 69. 70. UTILITAS MARJINAL 71. Utilitas Marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan satu unit tambahan barang yang dikonsumsinya. Fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. 72. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q adalah jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya: 73.



MU = U’ =



dU dQ



74. Utilitas total maksimum jika U’ = MU = 0 dan U” < 0. 75. 76. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 77. Soal 78. Utilitas total barang mengikuti persamaan U = 90Q – 5Q2. Tentukan: a. Fungsi utilitas marjinalnya b. Jumlah barang yang dikonsumsi ketika utilitas total maksimum c. Besarnya utilitas total maksimum tersebut. 79. Penyelesaian dU



a. MU = U’ = dQ 80. = 90 – 10Q b. MU = 0 81. 90 – 10Q = 0 82. 10Q = 90 83. Q=9 84. Jadi utilitas total maksimum terjadi ketika jumlah barang yang dikonsumsi adalah 9 unit. c. U = 90Q – 5Q2 85. = 90(9) – 5(9)2 86. = 405 87. Jadi besarnya utilitas total maksimum = 405. 88. 89.



90.PRODUK MARJINAL 91. Produk Marjinal (MP) adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Fungsi produk marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. 92. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(X) dimana P adalah jumlah produk total dan X adalah jumlah masukan, maka produk marjinalnya: 93.



dP



MP = P’ = dX



94. Produk total maksimum jika P’ = MP = 0 dan P” < 0. 95. 96. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 97. Soal 98. Produk total barang mengikuti persamaan P = 9X2 – X3. Tentukan: a. Fungsi produk marjinalnya b. Jumlah masukkan ketika produk total maksimum c. Besarnya produk total maksimum tersebut. 99. Penyelesaian dP



a. MP = P’ = dX 100.



= 18X – 3X2



b. MP = 0 101. 18X – 3X2 = 0 102. 3X2 = 18X 103. X2 = 6X 104. X =6 105. Jadi produk total maksimum terjadi ketika jumlah masukkan adalah 6 unit. c. P = 9X2 – X3 106. = 9(6)2 – (6)3 107. = 324 -216 108. = 108 109. Jadi besarnya produk total maksimum = 108. 110. 111. SOAL LATIHAN 112. Soal 1 113. Utilitas total barang mengikuti persamaan U = 180Q – 5Q2. Tentukan: a. Fungsi utilitas marjinalnya b. Jumlah barang yang dikonsumsi ketika utilitas total maksimum c. Besarnya utilitas total maksimum tersebut 114.



115. Soal 2 116. Produk total barang mengikuti persamaan P = 12X2 – X3. Tentukan: a. Fungsi produk marjinalnya b. Jumlah masukkan ketika produk total maksimum c. Besarnya produk total maksimum tersebut. 117. Soal 3 118. Produk total barang mengikuti persamaan P = 15X2 – 2X3. Tentukan: a. Fungsi produk marjinalnya b. Jumlah masukkan ketika produk total maksimum c. Besarnya produk total maksimum tersebut. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145.



146. PERTEMUAN 15 147. PENERAPAN DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA 148. 149. 150. ANALISIS LABA MAKSIMUM



151. Konsep diferensiasi dapat digunakan untuk menganalisis laba maksimum yang mungkin diperoleh perusahaan. Laba perusahaan dapat ditentukan sebagai berikut. 152. π = R – C = f(Q); R = penerimaan total 153. C = biaya total 154. Laba maksimum dapat diperoleh apabila: 155. π’ = 0 atau MR =MC 156. π” < 0 157. 158. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN 159. Soal 160. Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -2Q2 + 1000Q dan fungsi biaya total C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000. Tentukan: a. Fungsi laba (π); b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum; c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan! 161. Penyelesaian a. π = R – C 162. = (-2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) 163. = -Q3 + 57Q2 - 315Q – 2000 b. π’ = 0 164. -3Q2 + 114Q – 315 = 0 165. -Q2 + 38Q – 105 = 0 166. (-Q + 3)(Q – 35) = 0, diperoleh Q1 = 3 dan Q2 = 35 167. Π” < 0 168. -6Q + 114 < 0 169. Jika Q1 = 3; -6(3) + 114 = 96 > 0 170. Jika Q2 = 35; -6(35) + 114 = -96 < 0 171. Jadi laba maksimum dapat dihasilkan pada tingkat produksi 35 unit. c. π’ = - Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000 172. = - (35)3 - 59(35)2 – 1315(35) + 2000 173. = 13.925 174. SOAL LATIHAN 175. Soal 1 176. Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -2Q2 + 100Q dan fungsi biaya total C =



1 3 2 3 Q – 10Q + 20Q + 100. Tentukan:



a. Fungsi laba (π); b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum;



c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. 177. Soal 2 178. Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -0,2Q2 + 557Q dan fungsi biaya total C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000. Tentukan: a. Fungsi laba (π); b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum; c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. 179. Soal 3 180. Jika diketahui fungsi penerimaan total R = -5Q2 + 28Q dan fungsi biaya total C = Q2 + 4Q. Tentukan: a. Fungsi laba (π); b. Jumlah produksi untuk menghasilkan laba maksimum; c. laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan. 181. 182. 183. 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198.



199.



DAFTAR PUSTAKA 200. 201.



202. Dumairy. 2012. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE. 203. Sarjono, H. dan L. Sanny. 2012. Aplikasi Matematika untuk Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Salemba Empat. 204. Sihotang, J. 2003. Matematika Bisnis. Yogyakarta: Graha Ilmu. 205. Supranto, J. 1987. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: FEUI.



206. 207.