Modul Matematika [PDF]

Citation preview

TRIGONOMETRI Standar Kompetensi



: Menerapkan perbandingan, persamaan dari identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.



Kompetensi Dasar



: 1. 2. 3. 4. 5. 6.



Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut, Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub, Menerapkan aturan sinus dan kosinus, Menentukan luas suatu segitiga, Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, Menyelesaikan persamaan trigonometri Kegiatan belajar 1



Kompetensi dasar : Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi ini, peserta didik diharapkan mampu memahami dan mengenal perbandingan trigonometri sinus, kosinus, tangen, menghitung panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku, menentukan perbandingan trigonometri diberbagai kuadran.



B.



Uraian materi.



B.1. perbandingan trigonometri dari suatu segitiga X : sisi siku-siku samping sudut (proyeksi) Y : sisi siku-siku depan sudut (proyektor) R : sisi miring (proyektum)



Contoh : Perhatikan



ABC, siku-siku di B; dengan AB = 4 sm dan BC = 3 cm.



Hitunglah : sin A, cos A, tan A, cosecan A, secan A dan cotan A. Jawab : AC =  AC² + BC² =  25  AC = 5 cm Sin A = Cos A = Tan A =



3 5 4 5 3 4



; Cosecan A = ; Secan A



=



; Cotan A



=



5 3 5 4 4 3



Latihan 1 : 1. Dari gambar disamping : a. Sin A, Cos A, Tan A, Cotan A, Sec A, Cosec A b. Sin B, Cos B, Tan B, Cotan B, Sec B, Cosec B



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 1



2. Tentukan perbandingan trigonometrinya untuk sudut x dari gambar berikut :



3. Jika X lancip < lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut X jika diketahui 7 25 4 b. Tan X = 3 a. Cos X =



B.2. Perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa a. Perhatikan gambar :



Jika < XOP = 0 maka titik P terletak pada sumbu X sehingga koordinat titik P adalah ( x,y ) maka: r = x dan y = 0 sehingga : Sin 0 =



y r



=



0 =0 r



Jika < XOP = 90 maka titik P terletak pada sumbu y sehingga koordinat titik P adalah ( x,y ) maka: r = x dan y = 0 sehingga : y r Cos 0 = x r 4 y Tan 0 = 4 x Sin 0 =



y r y = r y = r =



Jika < XOP = 90 maka titik P terletak pada sumbu y sehingga koordinat titik P adalah ( x,y ) maka: r = y dan x = 0 sehingga : y = r x Cos 90 = = 4r y4 Modul Matematika Kelas 2 Sin 90 =



y =1 y 0 =0 x y 0



Halaman 2



Tan 90 =



x



=  (tidak didefenisikan)



=



b. Perhatikan gambar :



AB = BC = 1 maka AC =  1 + 1 =  2 sehingga 1 Sin 45 = BC = AC 2 Cos 45 = AB = 1 AC 2 BC Tan 45 = = 1 AB 1



= 1 2 2 1 = 2 2 =1



c. Perhatikan gambar :



AB = BC = 1 maka AC =  1 + 1 =  2 sehingga 1 Sin 30 = BC = AC 2 3 AB Cos 30 = = AC 2 BC Tan 30 = = 1 AB 3 3 Sin 60 = AB = AC 2 BC Cos 60 = = 1 AC 2 3 AB Tan 60 = = 1 BC



1 3 2 1 = 3 3 =



=



1 3 2



=3



Dari uraian diatas dapat kita buat tabel sebagai berikut : a



0



30



45



Sin



0



1 2



1 2 2



Cos



1



1 3 2



Modul Matematika Kelas 2



1 3



1 2 2



60



90



1 3 2



1



1 2



0



Halaman 3



Tan



0



1



3







Contoh : 1. Hitunglah sin 45 x cos 45 + tan 45! Jawab



:



1 2



2.



1 1 3 2+1= 4+1= 2 4 2



2. Diketahui Δ ABC siku – siku di B -  = 30 dan panjang sisi b = 30 cm Hitunglah panjang sisi a dan c! Jawab



a : - sin 30 = BC = AC 30 cm



Latihan 2 1. Tentukan nilai dari : a. Sin 30 + Tan 60.Cos 60 b.



2. 3.



Sin 45 Cos 45



c. Sin 30.Cos 60 + Sin 45. Dalam Δ PQR siku – siku di Q2 < P = 30 dengan panjang PR = 12 cm. Hitunglah panjang QR dan panjang PQ! Sebuah antena dipasang dengan diberi penguat dari kawat seperti gambar di samping. Jika tinggi antara 8 m dan sudut okulasi 30, berapakah panjang kawat tersebut?



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 4



B.3. Perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. a. Sudut di kuadran 1 ( 0  1  90 )



y r x Cos α = r 4 y Tan α = 4 x Sin α =



q r p = r q = p =



Bila Δ OAP dimana titik P ( p,q ) berada, dicerminkan terhadap garis y = x Diperoleh P1 ( q,p ) di kuadran I sehingga sudut antara 0P1 dengan sumbu x positif adalah ( 90 - a ) dan x = Q dan y = P dan 0P1 = oP = r. Maka



y r x Cos ( 90 - α ) = r y Tan ( 90 - α ) = x



: Sin ( 90 - α ) =



= = =



p r q r p q



= Cos α = Sin α = Cotan α



Contoh : nyatakan dalam sudut lancip! Sin 30 = Sin ( 90 - 60 ) = Cos 60 Cos 45 = Cos ( 90 - 45 ) = Sin 45 Tan 30 = Tan ( 90 - 60 ) b. Di kuadran II ( 90 -  X  180 )



Perhatikan Δ OAP di kuadran II dan P ( p,q ) y r Cos a = x r 4 y Tan a = 4 x Sin a =



q r p = r q = p =



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 5



Bila Δ OAP dimana titik P ( p,q ) berada, dicerminkan terhadap sumbu y maka akan diperoleh P 1 ( p,q ) di kuadran II sehingga sudut antara OP1 dengan sumbu x positif adalah ( 180 - a ) dan x = -p, y = q, OP1 = r. Maka



: y r x Cos ( 180 - a ) = r y Tan ( 180 - a ) = x Sin ( 180 - a ) =



q = Sin a maka Sin ( 180 - a ) = Sin a r -p = = Cos a maka Cos ( 180 - a ) = Cos a r q = = Tan a maka Tan ( 180 - a ) = Tan a -p =



Contoh : Nyatakan dalam bentuk lancip Sin 150 = Sin ( 180 - 30 ) = Sin 30 Cos 120 = Cos ( 180 - 60 ) = -Cos 60 Tan 135 = Tan ( 180 - 45 ) = -Tan 45 c. Sudut di kuadran III ( 180  x  270 )



Perhatikan Δ OAP di kuadran I dan titik P ( p,q ) : q y = r r p x Cos a = = r r4 q y Tan a = 4 = p x Sin a =



Bila Δ OAP dicerminkan terhadap titik pangkal 0 atau diputar 180 maka diperoleh P1 ( -p,-q ) di kuadran III sehingga sudut antara OP1 dengan sumbu x positif adalah ( 180 + a ) dan x = -p, y = -a, OP1 = r. Diperoleh : y r x Cos ( 180 + a )= r y Tan ( 180 + a )= x Sin ( 180 + a ) =



Modul Matematika Kelas 2



-q = Sin a maka Sin ( 180 + a ) = Sin a r -p = = Cos a maka Cos ( 180 + a ) = Cos a r -q = = Tan a maka Tan ( 180 + a ) = Tan a -p =



Halaman 6



d. Sudut di kuadran IV ( 270  x  360 ) Perhatikan Δ OAP dan P (p,q) di kuadran I Sin a =



y r



q r p = r =



x r q y Tan a = = p x Cos a =



Bila Δ OAP dicerminkan terhadap sumbu X maka diperoleh P’ (p,-q) di kuadran IV sehingga sudut antara OP’ dan sumbu X positif adalah (360 - a) dan X = p, Y = -q, OP’ = OP = r, maka : y r x Cos (360 - a) = r Sin (360 - a) =



Tan (360 - a) = Contoh



y x



q r p = r



=



=



-q p



= - Sin a maka Sin (360 - a) = - Sin a = Cos a maka Cos (360 - a) = Cos a = Tan a maka Tan (360 - a) = - Tan a



: Sin 300 = Sin ( 360 - 60 ) = - Sin 60 Cos 315 = Cos ( 360 - 45 ) = Cos 45 Tan 330 = Tan ( 360 - 30 ) = -Tan 30



E. sudut lebih dari 360 Sin a = Sin ( a + n x 360 ) = Sin a Cos a = Cos ( a + n x 360 ) = Cos a Tan a = Tan ( a + n x 360 ) = Tan a Contoh : a. Cos 885 = Cos ( 165 + 2 x 360 ) = Cos 165 = -Cos 15 b. Sin 1110 = Sin ( 30 + 3 x 360 ) = Sin 30 1. Tentukan tandanya; positif atau negatif. a. Sin 42 b. Cos 96 c. Tan 120 d. Cos 470 e. Sin 320 f. Tan 425 2. Nyatakan sebagai sudut lancip. a. Sin 130 b. Tan 120 c. cos 315 d. Sin 400 e. Cos 420



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 7



f.



Sin 720



Kegiatan Belajar 2 Kompetensi dasar : mengkonversi koordinat kartesius dan kutub. A. Tujuan kegiatan belajar 3. Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini peserta didik diharapkan mampu membedakan koordinat kartesius dan koordinat kutub serta mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya. B. Uraian materi. Koordinat kartesius dan koordinat kutub. Letak suatu titik pada sebuah bidang dapat dinyatakan dengan 2 macam sistim koordinat, yaitu : a. Sistim koodinat kartesius; yaitu dengan absis (x) dan odinat (y) b. Sistim koordinat kutub; yaitu dengan jarak (r) dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif ()



Misalnya : titik P ( x,y )



misalnya : titik P ( r, )



Koordinat kartesius adalah ( x,y ) dan koordinat kutub adalah ( r, ) tampak bahwa dari x, y, r,  terdapat hubungan sebagai berikut :



1. Sin  =



rr rr



= r sin 



3. r =  x² + y²



2. Cos  =



rr rr



= r cos 



4. Tan  =



y = arc tan  x



Koordinat kutub titik P ( r, ) bila dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah : (r cos , r sin  ), sehingga koordinat kartesius ( x,y ) dinyatakan dengan koordinat kutub adalah ( r, ). Contoh 2. 1. Diketahui koordinat kutub titik P ( 4 , 60 ). Tentukan koordinat kartesius titik tersebut. Jawab : P ( 4 , 60 )  4 ,  = 60 x = r cos  y = r sin  x = 4 cos 60 y = 4 sin 60 x=4.½ y = 4 . ½3 x=2 y = 2 3 jadi koordinat kartesius dari titik P ( 4 , 60 ) adalah P ( 2 , 23 ) 2. Tentukan loordinat kutub dari titik A ( 1 , 3 ) Jawab : A ( 1 , 3 )  x : 1 , y = 3 y 3 r =  x² + y² Tan  = = = 3 x 1 =1+3



Modul Matematika Kelas 2



 = 60



Halaman 8



= 4 =2 Jadi koordinat kutub dari titik A ( 1 , 3 ) adalah A ( 2 , 60 ) Latihan : 1. Tentukan koordinat kartesius dari : a. ( 4 , 60 ) c. ( 8 , 300 ) b. ( 5 , 120 ) d. 10 , 330 ) 2. Tentukan koordinat kutub dari : a. ( -6 , 8 ) c. ( -32 , 32 ) b. ( 5 , 5 ) d. ( -5 , 6 )



e. ( 43 , 150 )



Kegiatan belajar 3. Kompetensi dasar : menerapkan aturan Sinus dan Cosinus. A. Tujuan kegiatan belajar 3 Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu memiliki pemahaman mengenai aturan Sinus dan Cosinus, menggunakan aturan Sinus dan aturan Cosinus. B. Uraian materi. B1. Aturan Sinus Δ ABC (sembarang) dengan panjang sisi-sisinya a, b, c dan CE dan BD adalah garis tinggi. Pada Δ AEC ; Sin A =



CE AC



(=) CE = AC Sin A = b Sin A .......... (1) Pada Δ BEC ; Sin B =



CE BC



(=) CE = BC Sin B = a Sin B .......... (2)



Dari persamaan (1) dan (2) didapat : B Sin A = a Sin B (masing-masing dibagi dengan Sin A . Sin B) b Sin A A Sin B = Sin A Sin B Sin A Sin B BD Pada Δ ABD ; Sin A = AB Pada Δ CBD ; Sin C = DB BC



maka



a = Sin A



b = Sin B



....................... (3)



 BD = AB . Sin A = c Sin A



....................... (4)



 BD = BC . Sin C = a Sin C



....................... (5)



Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh : c Sin A = a Sin C (masing-masing dibagi dengan Sin A . Sin C) a Sin C c Sin A = ; maka Sin A Sin B Sin A Sin B



a ............................. (6) Sin A Dari persamaan (3) dan persamaan (6) maka diperoleh aturan Sinus : a Sin A



=



Modul Matematika Kelas 2



b = Sin B



c = Sin C



c Sin C



Halaman 9



Contoh b.1 Dalam Δ ABC, C = 35 cm,  A = 47 dan  C = 98. Hitunglah panjang sisi a dan b . Jawab : a Sin B



=



c Sin C



 B = 180 - (47 + 98) = 35



a=



b c = Sin C Sin B c Sin B b= Sin C 35 Sin 35 = Sin 98



a = 25,9 cm



b = 20,3 cm



jadi panjang sisi a = 25,9 cm



Jadi panjang sisi b = 20,3 cm



a Sin C = c Sin A c Sin A Sin C 35 Sin 47 = Sin 98



Latihan b.1 1. Pada Δ ABC di bawah ini ; hitunglah panjang sisi yang belum diketahui jika : a.  CAB = 30,  CAB = 30, dan AC = 4 cm b.  A = 75,  C = 55, dan c = 5 cm c.  A = 29,  B = 82, dan AC = 15 cm 2. Pada Δ ABC di bawah ini ; hitunglah besar sudut yang belum diketahui jika : a.  A = 49, CA = 10 cm dan AC = 15 cm b.  B = 70, AC = 20 cm dan CC = 14 cm c.  C = 34, AB = 12 cm dan AC = 18 cm B.2 Aturan Cosinus. Pada Δ ABC, CD adalah garis tinggi CD  CD = AC Sin A  CD = b Sin A AC AD Cos A =  AD = AD Cos A  CD = b Cos A AC Sin A =



Dasar phytagoras dari Δ ABC didapat : a² = CD² + BD² a² = ( b Sin A )² +( c – AD )² a² = ( b Sin A )² +( c – b Cos A )² a² = b² Sin² A + c² - 2 bc Cos A + b² Cos² A a² = b² Sin² A + b² Cos² A + c² - 2 bc Cos A a² = b² ( Sin² A + Cos² A ) + c² - 2 bc Cos A a² = b² + c² - 2 bc Cos A Dengan cara yang sama buktikan : (i) b² = a² + c² - 2 ac Cos B (ii) c² = a² + b² - 2 ab Cos C Contoh : Diketahui : Δ PQR, panjang PQ = 8 cm, PR = 7 cm,  P = 60 ; Tentukan panjang sisi QR . Jawab :



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 10



QR² = PQ² + PR² - 2 PQ . PR Cos 60² = 8² + 7² - 2 . 8 . 7 . Cos 60 = 64 + 49 – 112 . 0,5  QR² = 57  QR =  57  QR = 7,55 cm. Latihan b.2 1. Hitunglah panjang sisi ketiga dari masing-masing segitiga berikut : a.  ABC dengan AB = 6 cm, AC = 9 cm dan  A = 60 b.  ABC dengan BC = 16 cm, AB = 8 cm dan  A = 70 c.  PQR dengan PR = 8 cm, QR = 9 cm dan  R = 115 2. Hitunglah besar semua sudut dari masing-masing segitiga di bawah ini : a.  ABC dengan AB = 6 cm, AC = 9 cm dan BC = 5 cm b.  ABC dengan AB = 7 cm, AC = 12 cm dan BC = 13 cm



Kegiatan belajar 4 Kompetensi dasar : Menentukan luas suatu segitiga A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu menentukan rumus luas segitiga dan menentukan luas segitiga. B. Uraian materi : a. Luas daerah segitiga jika diketahui dua buah sisi dan satu sudut segitiga. Sin A =



CD b



 CD = b Sin A



Luas Δ ABC = ½ x alas x tinggi = ½ AB . CD = ½ c x b Sin A Luas Δ ABC = ½ b x c Sin A



Dari uraian materi di atas maka dalam sebuah segitiga ABC berlaku : Luas Δ ABC = ½ a x b Sin C Luas Δ ABC = ½ a x c Sin B Luas Δ ABC = ½ b x c Sin A Contoh : Hitunglah luas daerah Δ ABC, jika diketahui  c = 60, panjang AC = 8 cm, panjang BC = 6 cm jawab : Luas Δ ABC = ½ AC . BC Sin C = ½ . 8 . 6 Sin 60 = 12  3 cm b. Luas Δ ABC jika diketahui ketiga sisinya. L =  S ( S-a ) ( S-b ) ( S-c ) dimana : S = ½ ( a + b + c ) Contoh : Hitunglah luas Δ ABC, jika AB = 4 cm, BC = 5 cm dan AC = 7 cm Jawab : S = ½ ( 5 + 7 + 4 )  S = 8 cm L =  8 ( 8-4 ) ( 8-5 ) ( 8-7 ) =  8 x 4 x 3 x 1 = 4 x 2 x 3 x 4 = 4 6 Jadi luas Δ ABC = 4 6 Latihan : 1. Hitunglah luas Δ ABC, jika diketahui : a. a = 6 cm , b = 8 cm ,  C = 65



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 11



b. c. d. e.



b = 4 cm , c = 7 cm ,  A = 32 b = 4 cm , c = 3 cm ,  A = 150 a = 6 cm , b = 8 cm ,  A = 40 a = 10 cm , c = 8 cm ,  B = 115



2. Hitunglah luas Δ ABC berikut ini : a. a = 3 cm , b = 6 cm dan c = 5 cm b. a = 10 cm , b = 11 cm dan c = 13 cm c. a = 4 cm , b = 5 cm dan c = 6 cm 3. hitunglah luas segitiga beraturan jika panjang jari-jari lingkaran luarnya 20 cm.



Kegiatan belajar 5 Kompetensi dasar : Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu menentukan rumus-rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut serta menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut. B. Uraian materi : 1. Rumus-rumus trigonometri jumlah dua sudut. Jika  dan  adalah sudut-sudut sembarang maka jumlah dua sudut (  +  ) secara geometri dapat dilukiskan seperti pada gambar berikut ini : Rumus-rumus trigonometri jumlah dua sudut dirumuskan sebagai berikut : a. Sin (  +  ) = Sin  Cos  + Cos  Sin  b. Cos (  +  ) = Cos  Cos  - Sin  Sin  c. Sin (  +  ) =



Tan  + Tan  1 -Tan  + Tan 



Bukti rumus b.1.a. Misalkan  dan  adalah sudut-sudut sembarang yang dilukiskan pada gambar berikut ini : Titik P terletak pada suatu kaki sudut (  +  ). Buat garis PA tegak lurus pada sumbu X, PB tegak lurus OB, BC tegak lurus OX, BD tegak lurus PA, sehingga  APB = 



Maka Sin ( +  ) dapat ditentukan sebagai berikut : Sin ( +  ) = Dalam Δ OCB, Dalam Δ OBP,



AD + DP CB + DP BP AP = = = CB x OB + DP x OP OP OP OP OB OP BP CB = Sin  OB OB = Cos  dan = Sin  OP



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 12



Dalam Δ BDP,



DP BP



= Cos  . Dengan demikian Sin ( +  ) = Sin Cos + Cos Sin (terbukti)



Bukti rumus B.1.b. Dengan memakai gambar di atas maka Cos (  +  ) dapat ditentukan sebagai berikut : Cos ( +  ) =



OA OP



Karena OC = Cos  ; OB



=



OB OC - AC OC - DB OC DB OC = = = x OP OP OP OB OP OP OB BP DB = Cos  ; = Sin  = = Sin  BP OB OP



DB x BP



BP OP



Maka Cos ( +  ) = Cos  Cos  - Sin  Sin  (terbukti) Bukti rumus B.1.c. Dari rumus Sin ( +  ) dan rumus Cos ( +  ) maka diperoleh : Tan ( +  ) =



Sin  Cos  + Cos  Sin  Sin (  +  ) = Cos  Cos  - Sin  Sin  Cos (  +  )



Sin  Sin  + Cos  Cos  Tan ( +  ) = 1 -Sin  . Sin  Cos  Cos  + Tan  - Tan  Tan ( +  ) = (terbukti) 1 - Tan ) - Tan  ) Contoh : Tanpa menggunakan kalkulator table, tentukan : a. Sin 75 ; b. Tan 75 Jawab : a. Sin 75 = Sin ( 45 + 30 ) = Sin 45 . Cos 30 + Cos 45 . Sin 30 ... ( rumus a ) = ½ 2 . ½ 3 + ½ 2 . ½ 3 = ¼ 6 + ¼ 2 = ¼ ( 6 + 2 ) b. Tan 75 = Tan ( 45 + 30) =



Tan 45 - Tan 30 1 + ⅓ 3 = 1 - Tan 45 - Tan 30 1 - ⅓ 3



2. Rumus-rumus trigonometri selisih dua sudut. a. Sin (  -  ) = Sin  Cos  - Cos  Sin  b. Cos (  -  ) = Cos  Cos  + Sin  Sin  c. Tan ( -  ) =



Tan  - Tan  1 - Tan  . Tan 



Bukti rumus B.2a Untuk membuktikan rumus Sin ( -  ) kita gunakan pertolongan rumus untuk Sin ( +  ) dan rumus trigonometri untuk sudut negatif. a. Sin ( -  ) = Sin   + ( -  )  b. Sin ( -  ) = Sin  Cos ( -  ) – Sin  Sin ( -  ) c. Sin ( -  ) = Sin  (Cos ) + Cos  ( -  ) d. Sin ( -  ) = Cos  Cos  + Sin  Sin  ............... (terbukti)



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 13



Bukti rumus B.2b Untuk membuktikan rumus Cos ( -  ) kita gunakan pertolongan rumus untuk Cos ( +  ) dan rumus trigonometri untuk sudut negatif. a. Cos ( -  ) = Cos   + ( -  )  b. Cos ( -  ) = Cos  Cos ( -  ) – Sin  Sin ( -  ) c. Cos ( -  ) = Cos  (Cos ) + Sin  ( -  ) d. Cos ( -  ) = Sin  Cos  - Cos  Sin  ............... (terbukti) Bukti rumus B.2c Dari uraian di atas juga berlaku untuk rumus Tan (  -  ) maka : Tan (  -  ) = Tan   + ( -  )  Tan  + Tan ( -  ) 1 - Tan  . Tan ( -  )



Tan (  -  ) =



Tan  - Tan  1 + Tan  Tan 



................... (terbukti)



Contoh b.2 Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari : a. Cos 15 b. Tan 15 Jawab : a. Cos 15 = Cos ( 45 - 30 ) = Cos 45 Cos 30 + Sin 45 Sin 30 = ½ 2 . ½ 3 + ½ 2 . ½ 3 = ¼ 6 + 2 b. Tan 15 = Tan ( 45 - 30 ) =



Tan 45 + Tan 30 1 - ⅓ 3 = 1 + Tan 45 . Tan 30 1 + ⅓ 3



Latihan : 1. Hitunglah a. Cos 135 ; b. Tan 75 ; c. Sin 240 ; d. Tan 15 2. Diketahui Sin A =



4 5



; Cos B =



5 13



dan B di kuadran I



a. Sin ( A + B ) d. Tan ( A + B ) b. Sin ( A – B ) e. Cos ( A – B ) c. Cos ( A + B ) f. Tan ( A – B ) 3. Tanpa memakai daftar, hitunglah a. Sin 54 Cos 36 + Cos 54 Sin 36 b. Cos 140 Cos 50 + Sin 140 Sin 50 4. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut rangkap a. Sin 2A = 2 Sin A . Cos A b. Cos 2A = Cos² A - Sin² A c. 2 Cos² A – 1 d. 1 – 2 Sin A 2 Tan A e. Tan 2A = 1 - Tan² A Contoh : Jika sudut lancip, dan Sin A =



Modul Matematika Kelas 2



3 5



; tentukan :



Halaman 14



a. Sin 2A ; b. Cos 2A ; c. Tan 2A Jawab : a. Sin 2A = 2 Sin A . Cos A 4 =2. 3 . = 24 5 5 5 b. Cos 2A = (pilih salah satu) = 2 Cos² A – 1 = 2



c. Tan 2A =



2 Tan A = 1 - Tan² A



4 5



2



A–1 =



2.¾ 1 – (¾)²



=



32 25



7 25



-1=



6/4 1 – 9/16



=



24 7



Latihan . 1. Tulislah rumus untuk : a. Sin 2x b. Cos 2x c. Tan 2x 12 2. Diketahui Cos A = untuk sudut A lancip 13 Tentukan : a. Sin 2A ; b. Cos 2A ; c. Tan 2A 3. Rumus perkalian Sinus dan Cosinus. a. 2 Sin A Cos B = Sin ( A + B ) + Sin ( A + B ) b. 2 Cos A Sin B = Sin ( A + B ) – Sin ( A – B ) c. 2 Cos A Co s B = Cos ( A + B ) + Cos ( A – B ) d. 2 Sin A Sin B = - Cos ( A + B ) - ( A + B ) Contoh : Nyatakanlah bentuk-bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih Sinus a. 2 Sin 74 Cos 20 ; b. 2 Cos 32 Sin 8 Jawab : a. 2 Sin 74 Cos 20 = Sin (74 + 20) + Sin (74 - 20) = Sin 94 + Sin 54 b. 2 Cos 32 Sin 8 = Sin (32 + 8) – Sin (32 - 8) = Sin 40 - Sin 24 Latihan : a. Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih. a.1. 2 sin 8 Cos 2 a.2. 4 Sin 80 Cos 10 a.3. 3 sin 5 Sin 2 b. Buktikan bahwa : b.1. Sin 45 Coss 15 = ¼( 3 + 1 ) b.2. 2 Sin 4 Sin 3 + 2 Cos 5 Cos 2 - Cos 3 Cos  4. Rumus jumlah dan selisih Sinus dan Cosinus. a. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ ( A + B ) Cos ½ ( A + B ) b. Sin A – Sin B = 2 Cos ½ ( A + B ) Sin ½ ( A - B ) c. Cos A + Cos B = 2 Cos ½ ( A + B ) Cos ½ ( A - B ) d.



Cos A – Cos B = -Sin ½ ( A + B ) Sin ½ ( A + B )



Contoh : Hitunglah Cos 75 +Cos 15



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 15



Jawab : Cos 75 + Cos 15 = 2 Cos ½ ( 75 + 15 ) = 2 Cos ½ 90 Cos ½ 30 = 2 Cos 45 Cos 30 = 2 . ½ 2 . ½ 3 = 1 6



Latihan . 1. Hitunglah : a. Sin 75 - Sin 15 ; b. Cos 80 - Cos 40 ; c. Sin 75 + Sin 15 2. Buktikan : a. Sin 105 + Sin 15 = ½ 6 b. Cos 70 + Sin 20 = 2 Cos 5 c. Cos 75 - Cos 3



Kegiatan belajar 6 Kompetensi dasar : Menyelesaikan persamaan trigonometri A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu menentukan identitas trigonometri dan menyelesaikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri. B. Uraian materi : Suatu persamaan yang dipenuhi oleh semua variabelnya disebut identitas atau kesamaan. Biasanya bentuk identitas diminta membuktikan bentuk yang satu dengan bentuk yang lain, atau membuktikan ruas kanan sama dengan ruas kiri. Perhatikan gambar berikut ... Menurut definisi : Sin  = Cos  =



a



c a b ; Sec  = c ; Cot  =



b c b a c



Tan  =



b a



; Cosec  =



Sekarang perhatikan rumus-rumus berikut : 2



a



1. Sin²  + Cos²  =



b



+



c b



a 2. Tan  =



a c



3. Cosec  =



4. Cot  =



5. Sec  =



c a b a



b c



=



2



=



a² b²



+



c² b²



=



a² + c² b²



=



b² b²



=1



Sin 



=



Cos 



b



b



1 a b



=



a =



=



Modul Matematika Kelas 2



1 a c 1 c b



=



1 Sin 



=



1 Tan 



=



1 Cos 



Halaman 16



Contoh : Buktikan identitas berikut ini . a. 3 Cos² A – 2 = 1 – 3 Sin² A Jawab : Bukti ruas kiri sama dengan ruas kanan Ruas kiri : 3 Cos² A – 2 = 3 ( 1 - Sin² A ) – 2 = 3 – 3 Sin² A – 2 = 1 – 3 Sin² A .................. (terbukti)



b.



1 - Cos² A = Tan² A Cos² A Jawab : Ruas kiri :



1 - Cos² A = Sin² A = Sin² A Cos² A Cos² A Cos² A



2



= Tan² A ......... (terbukti)



Latihan : Buktikan identitas trigonometri berikut ini. 1. Cos²  ( 1 + Tan²  ) = 1 2. ( Cos  + Sin  )² = 1 + 2 Cos  Sin  3. ( Sin  + Cos  )² - 2 Tan  Cos²  = 1 4.



Cos  1 - Sin 



-



Cos 1 + Sin 



2. Persamaan trigonometri : Persamaan trigonometri adalah



: persamaan yang membuat satu atau beberapa fungsi trigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui.



a. Persamaan trigonometri bentuk sederhana : a.1. Jika Sin X = Sin  , maka (i) x =  + k . 360 (i) x = ( 180 -  ) + k . 360 a.2. Jika Cos X = Cos , maka (i) x =  + k . 360 (i) x = -a = k . 360 a.3. Jika Tan X = Tan , maka (i) x =  + k . 360 (i) x = -a = k . 360 Contoh : Tentukan penyesuaian Sin = ½ 3, untuk   x  360 Jawab : Sin x = ½ 3  Sin x = Sin 60 ; maka berlaku (i)



x = 60 = k . 360 k = 0  x = 60 + o . 360 = 60 k = 1  x = 60 + 1 . 360 = 420 ... ( tidak memenuhi )



(ii)



x = ( 180 - 60 ) = k . 360 x = 120 + k . 360 k = 0  x = 120 + o . 360 = 120 k = 1  x = 120 + 1 . 360 = 480 ... ( tidak memenuhi ) Jadi HP : { 60 , 120 }



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 17



b. persamaan bentuk Sin p x = 4 , Cos p x = 4 dan Tan px = a untuk penyelesaian persamaan trigonometri bentuk Sin Sin p x = 4 , Cos p x = 4 dan Tan px = a dengan p dan a merupakan konstanta, maka terlebih dahulu persamaan tersebut harus dalam bentuk dasar.



Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2 Sin 2x = 3 untuk 0  x  360 Jawab : 2 Sin 2x = 3  Sin 2x = ½ 3  Sin 2x = Sin 60 ; maka (i) 2x = 60 + k . 360 x = 30 + k . 180 k = 0  x = 30 + o . 180 = 30 k = 1  x = 30 + 1 . 180 = 210 k = 2  x = 30 + 2 . 180 = 390 ( tidak memenuhi ) c. persamaan bentuk Cos ( +a ) + Cos ( x + b ) = C dan sin ( x + a ) + ( Sin ( x + b ) = c untuk menyesuaikan kita ingat kembali rumus-rumus perkalian Sinus dan Cosinus serta penjumlahan dan pengurangan Sinus Cosinus. Contoh : Tentukan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0  x  360 Jawab : 1. Sin ( 60 + 2 x ) – Sin ( 60 - x ) = 1  2 Cos 60 Sin x = 1  2 . ½ Sin x = 1  Sin x = 1  Sin x = Sin 90 ; maka x = 90 + 0 . 360 = 90 2. Sin 3 x - Sin x = 0 Jawab : Sin 3 x - Sin x = 2 Cos ½ ( 3 x + x ) = 2 Cos 2 x Sin x Sin 3 x - Sin x = 0 2 Cos 2v Sin x = 0 Cos 2v = 0 atau Sin x = 0 Untuk Cos 2 x = 0 Cos 2 x = Cos 90 2 x = 90 + k . 360 atau 2 x = - 90 + k . 360 x = 45 + k . 180 atau x = - 45 + k . 180 k = 0  x = 45 ; atau x = - 45 ... ( tidak memenuhi) k = 1  x = 225 ; atau x = 135 k = 2  x = 405 ... ( tidak memenuhi ) ; atau x = 315 Untuk Sinx = 0 ; Sinx = Sin 0 x = 0 + k . 360 atau x = 180 + k . 360 k = 0  x = 0 ; atau x = 180 k = 1  x = 360 ; atau x = 540 ... (tidak memenuhi) Jadi HP : { 0 , 45 , 135 , 180 , 225 , 315, 360 } Latihan : 1. Tentukan HP untuk soal-soal berikut, dimana 0  x  360 a. Cos 4x – Cos 2x = 0 b. Sin 5x + Sinx = 0 c. Cos 6x + Cos 2x = 0 d. 2 Cosx + Sinx = 1 2. Buktukan : a. Cos²A (1 + Tan²A ) = 1 b.



1 - Cos²  = Tan²A Cos² 



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 18



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 19



Tes Formatif 1. Diketahui Sin A = a.



30 25



2. Cos A = a.



dan A adalah sudut lancip. Nilai Sin 2 A = ...



24



8



; b.



a. -½ 2



; c.



10



; b. -½



Tan 60 - Tan 30 1 + Tan 60 . Tan 30



a.



; c.



17



; d.



25 25 , 0  A  90 , maka Cos 2 A = ...



25 3. Nilai Sin 225 = ...



4.



24



; b.



-½ 3



6



; d.



10



7 25 7 25



5



; e.



25 4



; e.



25



; c. ½



; d. ½ 2



; e. ½ 3



; c. -½ 2



; d. ⅓ 3



; e. - ½



= ...



; b. ½ 2



5. Koordinat kutub A ( 4 , 150 ) maka koordinat kartesius titik A adalah ... a. ( 2 3 , 2 )



; b. ( -2 3 , 2 )



; c. ( 2 3 , -2 )



; d. ( -2 3 ,- 2 )



; e. ( 2, -2 3 )



6. Koordinat kartesius titik A ( -2 , -23 ) maka koordinat kutub titik A adalah ... a. ( 2 , 150 )



; b. ( 2 , 60 )



7. Jika  dan  lancip, Sin  = 3



a.



4



8. Bila Sin  = adalah... a.



61



a. -1



61



; d.



4



5



; e.



56 63



; d.



56 33



; d. ½ 6



33



; e.



56



; e. 1



maka Cos 2A sama dengan ...



P² - Q²



25



27 12. Diketahui Sin A = 63



; c.



; c. ½



; b. 0



P² 11. Diketahui Cot A =



a. -



; e. (-2 , 60 )



; maka Cos (  +  ) adalah ...



3



; c.



; d. ( -4 , 240 )



5 5 4 dengan sudut  dan  lancip, maka nilai dari Tan (  +  )



45



; b.



10. Jika Sin A =



a.



3



, Cos  =



45 9. Sin 75 + 15 = ...



a.



dan Sin  = 5



; b.



; c. ( 4 , 240 )



; b.



; b.



; b. -



P² +Q²



; c.



Q² - P²



; d.



Q² - 2P²



; e.



Q² + 2P²



P² P² P² Q² dengan sudut A lancip, maka Sin A + Cos A = ... 24 7 , Cos B = 50



; c.



; c. -



25



; d.



24



; e.



31



24 25 25 , A dan B lancip, maka nilai dari Sin ( A + B ) = ... 33



; d.



33



; e.



63



65 65 65 65 65 13. Luas Δ ABC dengan panjang sisi b = 5 cm, panjang sisi c = 8 cm,  A = 60 adalah ... a. 10 cm²



; b. 10 3 cm²



Modul Matematika Kelas 2



; c. 20 cm²



; d. 20 2 cm²



; e.20 3 cm²



Halaman 20



14. Himpunana penyelesaian dari persamaan 2 Cos 3x - 1 = 0, untuk 0  x  360 adalah ... a. { 20, 100, 220, 260, 340 } b. { 20, 120, 140, 240, 300, 340 } c. { 60, 120, 240, 300 } d. { 60, 120, 240, 340 } e. { 20, 100, 240, 260, 300, 340 }



15. Nilai dari Cos ( 45 + 30 ) = ... a. ½ (6 + 2) ; b. ½ (3 - 2) ; c. ½ (6 - 2)



; d. ¼ (6 + 2) ; e. ¼ (3 + 2)



16. Nilai dari Sin ( 45 - 30 ) = ... a. ½ (6 + 2) ; b. ½ (3 - 2) ; c. ½ (6 - 2)



; d. ¼ (6 + 2) ; e. ¼ (3 + 2)



17. Nilai dari Cos 1200 = ... a. - ½ 3



; b. - ½ 2



; c. - ½



; d. ½



; e. ½ 3



18. Pada Δ ABC ditentukan  A = 60 dan C = 30, jika panjang BC = 24 cm, maka panjang AB = ... a. 7 cm



; b. 6 3 cm



; c. 8 3 cm



; d. 12 3 cm



; e. 25 cm



19. Gambar di bawah ini menunjukan kuda-kuda sebuah atap rumah ; panjang AC = ...



a. 2 2 m



; b. 2 3 m



Modul Matematika Kelas 2



; c. 4 2 m



; d. 4 3 m



; e. 8 2 m



Halaman 21



RELASI DAN FUNGSI Standar Kompetensi : Memecahlan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan linier dan fungsi kuadrat. Kompetensi Dasar : 1. 2. 3. 4.



Mendeskripsi perbedaan konsep relasi dan fungsi, Menerapkan konsep fungsi linier, Menggambarkan fungsi kuadrat, Menerapkan konsep fungsi kuadrat.



Kegiatan belajar 1. Kompetensi dasar : mendeskripsi perbedaan konsep relasi dan fungsi A.1. Tujuan Kegiatan : Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu menyatakan pengertian fungsi dan relasi, daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain) dan daerah hasil (range) dan jenis-jenis fungsi (injektif, subjektif, bijektif). B. Uraian Materi : B.1.Pengertian relasi dan fungsi. Relasi dari himpunan A ke himpunan B ialah pemadanan dengan aturan tertentu antara anggota A dengan anggota B. Hubungan (relasi) itu diperlihatkan oleh masing-masing kedua jimpunan itu. Relasi dapat dinyatakan dengan kata-kata : sifat dari, kurang dari, lebih dari, dsb. Sebagai contoh :



Sifat dari



Himpunan A dan himpunan B dinyatakan “sifat dari” Jawab : dengan pasangan berurut ( Ali,nakal); (Badu,baik); (Amir,baik sekali); (Badu,baik sekali). Latihan soal. 1. Dengan menggunakan diagram panah, tentukan : a. Relasi F = { (1,0), (2,1), (3,2), (4,3) } b. Relasi E = { (01,), (1,1), (2,1), (1,-1), (0,0) } c. Relasi P = { (4,2), (4,-2), (1,1), (1,-1), (0,0) } 2. Dengan menggunakan grafik garis, tentukan : Relasi Q = { (4,2), (4,-2), (1,1), (1,-1), (0,0) }



B.2. Fungsi. Fungsi merupakan relasi khusus. Sering juga disebut relasi fungsional. Karena itu tidak semua relasi fungsi. Suatu relasi antara A dan B disebut fungsi apabila setiap unsur (anggota) himpunan A dipasangkan tepat suatu unsur (anggota) himpunan B.



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 22



Menunjukan relasi fungsional atau relasi yang memenuhi syarat, karena setiap anggota himpunan A dipasangkan tepat satu anggota himpunan B.



-



Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain. Himpunan semua peta di B disebut daerah hasil atau range.



- Fungsi dapat pula disajikan dalam bentuk : a. Garfik b. Pasangan berurutan Contoh



: gambarlah grafik dan pasangan berurutan berikut : Jika A : 1,2,3,4,5 B : 4,5,6,7,8



Jawab



: a. Garis yang menghubungi himpunan titik-titik : 1 & 4, 2 & 5, 3 & 6, 4 & 7, 4 & 8 disebut garis Y = X + 3. Grafiknya disebut grafik fungsi Y = X + 3



b. Penyajian dengan pasangan berurut : (1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8) Secara umum, suatu fungsi memerlukan daerah asal, daerah kawan, daerah hasil. 1. Daerah asal (domain) fungsi f adalah himpunan A, dilambangkan dengan Df. Sebagai contoh : Daerah asal fungsi f = (1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8) adalah Df = 1,2,3,4,5 2. Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah himpunan B, dilambangkan dengan Kf. Sebagai contoh : Daerah asal fungsi f = (1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8) adalah Kf = 4,5,6,7,8 3. Daerah hasil (Range) fungsi f adalah himpunan dari semua peta A pada B, dilambangkan dengan Rf. Sebagai contoh : Daerah hasil fungsi f = (1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8) adalah Rf = 4,5,6,7,8 Pada contoh ini, daerah hasil = daerah kawan. Umumnya daerah hasil  daerah kawan. B.3. JENIS – JENIS FUNGSI a. Fungsi Injektif



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 23



F(x) disebut fungsi injektif adalah fungsi satu – satu yang ditulis f : A 1-1 B, apabila f(x1) = f(x2) maka x1 = x2 atau ekuivalen dengan pernyataan jika x1  x2 maka f (x1) = f (x2) Contoh : 1. Misalkan himpunan A : 1,2,3 B : a,b,c,d Fungsi f : A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f : (1,a),(2,b),(3,c) Jawab :



Ada anggota B yang tidak ada kawan dari anggota A.



b. Fungsi Surjektif f(x) dikatakan fungsi surjektif adalah fungsi onto/ pada apabila semua anggota domain fungsi itu merupakan anggota rangenya ditulis F : Aonto B dan Range f : B Contoh : 2. Misalkan himpunan A : 1,2,3,4 B : a,b,c,d Fungsi f = A  B dinyatakan dengan pasangan terurut f = (1,a),(2,b),(3,c),(4,d) tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf = a,b,c,d dengan demikian Rf = B. Fungsi dengan daerah hasil seperti itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada. Jawab :



Ada anggota B mempunyai kawan dari anggota A.



c. Fungsi Bijektif f(x) dinyatakan fungsi bijektif jika f(x) adalah fungsi satu-satu dan onto. Fungsi bijektif disebut juga korespondensi satu-satu. Contoh : 3. Misalkan fungsi f : A  B dengan : A : 0,1,2 B : a,b,c Dinyatakan dengan pasangan terurut : f : (0,a),(1,b),(2,c) Jawab : Korespondensi satu-satu.



Tampaknya bahwa fungsi f adalah surjektif sekaligus fungsi injektif. Fungsi yang bersifat itu disebut bijektif atau fungsi korespondensi satu-satu.



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 24



Latihan 2 1. a). Relasi himpunan A = 0,1,2,3 Kehimpunan = 6,7,8,9 berikut ini manakah yang merupakan fungsi? A. F = (0,6),(1,7),(2,8),(3,9) B. G = (0,7),(1,7),(2,8),(3,8) C. H = (0,6),(1,6),(2,6),(3,6) D. F = (0,7),(1,8),(1,6),(2,9) E. G = (0,8),(0,7),(0,6),(0,9) b). Tentukan daerah asal, daerah kawan, daerah hasil dari setiap fungsi yang diperoleh dari nomor 1! c). Diketahui f fungsi F : R  R ditentukan dengan rumus f(x) = x2 – 1. Carilah f(-1), f(0), f(1), f(-2), f(2)! 2. Manakah yang merupakan fungsi satu-satu? A.



B.



D.



E.



C.



3. Periksa di antara fungsi-fungsi berikut, mana yang merupakan fungsi satu-satu a. f(x) = x3 b. f(x) = x2 - 1



Kegiatan belajar 2 Kompetensi dasar



: menerapkan konsep fungsi linier



1. Tujuan Kegiatan Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini peserta didik diharapkan mampu menyatakan contoh fungsi linier, membuat grafik fungsi linier, menentukan persamaan grafik fungsi linier yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya. Menemukan syarat hubungan dua grafik fungsi linier saling sejajar dan saling tegak lurus, menentukan invers fungsi linier dan grafiknya. 2. Uraian Materi 2.1 Pengertian fungsi linier dan invers fungsi linier. Fungsi linier adalah fungsi f pada himpunan bilangan real yang ditentukan oleh f(x) = ax + b dengan a, b  R dan a  0. Fungsi linier itu mempunyai persamaan y = ax + b, grafiknya merupakan garis lurus. Contoh : Grafik f(x) = ax + b Dimana untuk a = 1, dan b = 0, maka Persamaan y = x X y



-4 -4



Jawab



-3 -3



-2 -2



-1 -1



0 0



1 1



2 2



3 3



4 4



: Daftar ini merupakan pertolongan dalam menggambar garis y = x.



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 25



2.2



Persamaan fungsi linier a. Gradien Gradien adalah koefisien garis arah, secara umum dapat ditulis : m=



Δy Δx



=



y2 – y1



y1 – y2



=



x2 – x1



jika garis itu melalui (x1,y1) dan (x2,y2).



x1 – x2



Contoh : Hitung gradien garis lurus yang melalui titik (2,3) dan titik (1,1)! Jawab : Misalkan titik (2,3) = (x1,y1) dan (1,1) = (x2,y2) maka m=



m=



Δy Δx



=



y2 – y1



x2 – x1



y 1 – y2



x 1 – x2



=



1-3



=



3-1



2-1



1-2 =



2



1



=



-2



-1



=2



=2



b. Persamaan garis lurus yang melalui satu titik dengan gradien tertentu, persamaan garis melalui titik (a,b) dan gradien m, dirumuskan dengan (y - b) = m(x - a) atau y – y1 = m(x – x1) Contoh : Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien -2 dan melalui (1,-3)! Jawab : Persamaannya : y – y1 = m(x – x1)  y – (-3) = -2 (x – 1)  y + 3 = -2x + 2  y + 2x + 1 = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis yang bergradien 2 dan melalui (1,-1)! Jawab : Persamaannya : y – y1 = m(x – x1)  y – (-1) = 2 (x – 1)  y + 1 = 2x - 2  y - 2x + 1 + 2 = 0  y -2x + 3 = 0 atau y = 2x - 3 c. Persamaan garis lurus yang melalui 2 buah titik 1. Persamaan garis yang melalui titik A (x1,Y1) dan titik B (x2,y2) adalah : Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,2) dan (4,8)! Jawab : (x1,y1) = (2,2)



Maka



:



y – y1



Y2 – y 1 y–2



8–2 y–2



=



=



(x2,Y2) = (4,8)



x – x1



x2 – x1 x–2



4–2



=



x–2



6 2 2(y – 2) = 6(x – 2) 2y – 4 = 6x – 12 2y = 6x – 12 + 4



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 26



2y = 6x – 8



y=



6x – 8



2 y = 3x – 4, bnetuk eksplisit. Contoh : Tentukan persamaan garis pada gambar di bawah ini!



Jawab : x1 = 6 X2 = 0 Persamaan garis yang melalui dua buah titik diatas adalah ... 











y – y1



Y2 – y 1 y–0



4–0 y



4



=



=



=



x – x1



x2 – x1 x–6



0–6 x–6



–6



 4x – 24 = -6y  4x + 6y = 24  2x + 3y = 12 d. 1. Dua garis yang persamaannya k : y = m1 x + c dan garis ℓ : y = m2 x + c merupakan dua garis yang tegak lurus apabila perkalian gradiennya sama dengan –1. Maka : m1.m2 = -1 d. 2. Dua garis y = m1 x + c1 dan garis y = m2 x + c2 sejajar lambang gradiennya adalah



m1= m2 Contoh 1 : Cari persamaan garis melalui (-2,1) dan tegak lurus 2x + y – 3 = 0! Jawab : Persamaan garis 2x + y – 3 = 0 mempunyai gradien adalah -2 (m1), garis yang tegak lurus dengan garis 2x + y – 3 = 0 mempunyai gradien m2 = 1 2 1 Persamaan garis yang melalui (-2,1) dan bergradien adalah 2 y = m2 (x – x1) + y1 1 (x –(-2)) + 1 2 1 y= (x + 2) + 1 2 y= 1 x+1+1 2 y=



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 27



y= 1 2



x+2



x = 2y + 4 = 0 atau 2y – x – 4 = 0 Contoh 2 : Persamaan garis yang melalui titik (2,-3) dan tegak lurus garis 3x – 5y + 7 = 0 adalah... Jawab : Persamaan garis 3x – 5y + 7 = 0 mempunyai gradien m1 = - 3 5 5 Garis yang tegak lurus dengan 3x – 5y + 7 = 0 mempunyai gradien m2 = 3 Persamaan garisnya y = m2 (x – x1) + y1 y= = =



5 (x – 3 5 x3 5 x3



2) - 3 10 -3 3 19 3



3y = 5x – 19 –5x + 3y + 19 = 0  implisit 5x – 3y = 19 e. Menentukan invers fungsi linier dan grafiknya a) Pengertian invers fungsi linier Misalkan fungsi fadalah pemetaan dari himpunan A ke himpunan B dan dinyatakan dalam pasangan terurut : f = a,be  A dan b  B suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A yang diperoleh dengan cara menukarkan tiap pasangan terurut (a,b)  f menjadi (b,a) disebut invers fungsi. Maka : jika fungsi f :  B dinyatakan dengan pasangan terurut f : (a,b)a  A dan b  B maka invers dari fungsi f adalah f-1 : B  A ditentukan oleh f-1 : (b,a)b  B dan a  A. Contoh : Misalkan A = 0,2,4 B = 1,3,5,7 Fungsi A  B ditentukan oleh f = (0,1),(2,3),(4,5) Carilah invers fungsi f, kemudian selidiki apakah f-1 merupakan fungsi! Jawab : Invers fungsi f adalah f-1 : B  A ditentukan oleh f-1 = (0,1),(2,3),(4,5) dengan diagram panah f dan f-1.



 f-1 adalah relasi biasa, f-1 bukan merupakan fngsi karena ada anggota di B yang tidak dipetakan ke A yaitu unsur 7. b) Menentukan rumus fungsi invers Jika f adalah fungsi bijektif maka invers fungsi f merupakan fungsi atau f-1 adalah fungsi invers. Perhatikan gambar :



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 28



Misalkan f adalah fungsi bijektif dan y adalah peta dari x oleh fungsi f-1 sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat dinyatakan dengan persamaan : y = f(x). Jika f-1 adalah invers fungsi f, maka x adalah peta dari y oleh fungsi f-1. Jadi pemetaan oleh fungsi f-1 dapat dinyatakan dengan persamaan x = f-1(x). Contoh 1



:



Carilah rumus fungsi inversnya! f(x) = x – 1 Jawab : y = f(x) = x – 1 x =y+1 x = f-1(y) = y + 1 maka f-1(x) = x + 1 Contoh 2



:



Carilah rumus fungsi inversnya! f(x) = 2x – 1 Jawab : y = f(x) = 2x – 1



1 (y + 1) 2 x = y+1 1 2 1 -1 maka f (x) = x+1 2 x f-1(y) =



Latihan Soal 1) Gambarlah titik – titik (2,1), (3,2), (4,3)! Tentukanlah persamaannya lalu gambarlah garis lurus yang melalui titik – titik itu! 2) Hitung gradien garis lurus yang melalui titik (4,6) dan titik (2,3)! 3) Persamaan garis singgung kurva y = x3 = 2x2 + 1 pada titik yang berbabsis 1 adalah ... y = x3 = 2x2 + 1. y1 = 3x2 – 4x y1 = 3.1 – 4.1 = 3 – 4 = -1 4) Persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dengan gradien 2 adalah ... 5) Diketahui titik A (6,10) dan B (9,4) maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah ... 6) Persamaan garis lurus yang melalui titik (2,0) dan tegak lurus garis y = 2x = 4 adalah ...



2x + 3 adalah ... x-1



7) Invers dari f(x) =



Kegiatan belajar 3 Kompetensi dasar



: menggambarkan fungsi kuadrat



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 29



A. Tujuan Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini, peserta didik diharapkan mampu menyatakan pengertian fungsi kuadrat, menggambar grafik fungsi kuadrat dan langkah-langkah menggambarkan grafik fungsi kuadrat. B. Uraian Materi B.1. Pengertian fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi yang variabel bebas berpangkat paling tinggi dua (2). Bentuk yang paling sederhana dari fungsi kuadrat :



f(x)=x2 B.2. Menggambar grafik fungsi kuadrat dan langkah-langkah dalam menyelesaikan grafik fungsi kuadrat. Fungsi f pada himpunan bilangan real yang dinyatakan dengan rumus f(x) = ax2 + bx + c, dimana a, b, c bilangan real R dan a  0 dinamakan sebagai fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berbentuk parabola dengan persamaannya dirumuskan : y = ax2 + bx + c Contoh : 1. Gambarkan grafik fungsi yang ditentukan oleh persamaan y = 2x2 + 2x dengan daerah asalnya adalah D : xx, -2  x  4 Jawab : Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 2x adalah sebuah sebuah parabola dengan persamaan y = x2 - 2x. Langkah 1 : Buatlah daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f, sebagai pertolongan. x -2 -1 0 1 2 3 4 y 8 3 0 -1 0 3 8 Langkah 2 : Gambarkan titik-titik (-2,8), (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,3), (3,3) dan (4,8)! Langkah 3 : Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2 - 2x.



Daerah hasilnya: y-1  y  8, y  R



Kemungkinan-kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berdasarkan nilai a dan D1 dimana D = b2 – 4ac. 1. Jika a > 0 dan D > 0, maka kedudukan grafik terbuka ke atas memotong sumbu x di dua titik. 2. Jika a > 0 dan D = 0, maka kedudukan grafik terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x. 3. Jika a > 0 dan D < 0, maka kedudukan grafik terbuka ke atas dan tidak memotong sumbu x. 4. Jika a < 0 dan D > 0, maka kedudukan grafik terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik. 5. Jika a < 0 dan D = 0, maka kedudukan grafik terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu x.



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 30



6. Jika a < 0 dan D < 0, maka memotong/menyinggung sumbu x.



kedudukan



1)



2)



3)



4)



5)



6)



Modul Matematika Kelas 2



grafik



terbuka



ke



bawah



dan



Halaman 31



B.3. Menggambarkan grafik fungsi kuadrat dan langkah-langkah : 1) Menentukan titik potong sumbu x dan y



b 2a



2) Menentukan sumbu simetri : x = -



3) Menentukan titik puncak : (x,y) = x =



=-



b 2a



b ,y=2a



D 4a



4) Melukis grafik fungsi kuadrat. Contoh soal



: Gambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3!



Jawab



: y = x2 – 4x + 3 a = 1, b = -4, c = 3, D = b2 – 4.a.c = (-42) – 4.1.3 = 16 – 12 = 4



Jadi a > 0 dan D > 0, kedudukan grafiknya terbuka ke atas dan memotong sumbu x di dua titik.  Titik potong dengan sumbu y, jika x = 0.



Titik potong dengan sumbu x, jika y = 0.



y= x2 – 4x + 3



y= x2 – 4x + 3



y = 02 – 4.0 + 3



0 = x2 – 4.0 + 3



y = 3, jadi titik potongnya di (0,3).



x = 1, x = 3, jadi titik potongnya di (1,0) dan (3,0).



 Persamaan sumbu simetri x=-



b 2a



=



4 2.1



=



4 2



=2



 Koordinat titik puncak atau koordinat titik balik maksimum =



-b 2a



,



-D 4a



= (2,-1)



Koordinat titik lainnya / bantu x y = x2 – 4x + 3



Modul Matematika Kelas 2



0 3



1 0



2 -1



3 0



4 3



Halaman 32



Kegiatan belajar 4 Kompetensi dasar



: menerapkan konsep fungsi kuadrat



A.1. Tujuan kegiatan Setelah menyelesaikan kompetensi dasar ini peserta diharapkan mampu menyatakan : menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya, menentukan nilai ekstrim suatu fungsi kuadrat. B. Uraian materi B.1.



Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya. Suatu parabola yang memiliki titik puncak P (p,q) dan melalui suatu titik dapat ditentukan dengan persamaan : y = a (x – p)2 + q Contoh :



Fungsi kuadrat yang mempunyai puncak P (p,q) serta melalui titik A (x,y) mempunyai persamaan : y = a (x – p)2 + q P (1,4) dan A (2,3)



y = a (x – p)2 + q 3 = a (2 – 1)2 + 4 3 = a.1 + 4 3= a + 4 -a = 4 – 3 -a = 1 a = -1 y = a (x – p)2 + q = -1 (x – 1)2 + 4 = -1 (x2 – 2x + 1) + 4 = -x2 + 2x - 1 + 4 = -x2 + 2x + 3 Jadi y = -x2 + 2x + 3.



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 33



Latihan soal :



1) Gambarlah grafik fungsi f(x) = -x2 + 2x + 3 dengan daerah asal x-4  x  3! 2) Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat : a. x2 + 2x + 2 b. x2 - 4x + 4 c. - x2 + 4x + 8 3) Berdasarkan grafik no.1 tentukan : a. Daerah hasil fungsi f b. Pembuat nol fungsi f c. Persamaan sumbu simetri parabola d. Titik puncak parabola e. Nilai maksimum / minimum fungsi f 4) Tentukan persamaan parabola dari gambar berikut!



Evaluasi Formatif 1. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar dibawah ini adalah : Titik puncak (2,-1) x=y=-



-b 2a -D 4a



Titik (1,0) (3,0) y = 12 – 3 + 4 0=1+1=1



y = 32 – 3 + 4 =9–1=8



a. y = x2 - 3x + 4 b. y = x2 - 4x + 3 c. y = x2 + 4x + 3 d. y = x2 - 3x + 3 e. y = x2 - 8x + 3 2. Diketahui titik A (6,10) dan B (9,4) maka persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah ... a. y = 2x + 22 b. y = 2x + 12 c. y = -2x - 2 d. y = -2x2 – 22 e. y = -3x + 1 3. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = - x2 + 2x2 + 35. Koordinat titik puncak fungsi tersebut adalah ... a. (-1,35) b. (-1,34) c. (-1,36) d. (1,36) e. (1,34) 4. Persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dengan gradien adalah ... a. y = 2x – 1 b. y = -2x + 1 c. y = -2x – 2 d. y = 3x + 1



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 34



e. y = -3x – 6 5. Titik balik dari grafik fungsi kuadrat y = 6x2 + 5x – 6 adalah ... a. –



b.



c.



169 24 169 24



,



5 12



, -



5 12



5 , - 169 12 24



d. –



5 12



e. –



5 169 ,12 24



,-



169 24



6. Sketsa grafik fungsi kuadrat yang memenuhi persamaan y = 4x2 - 20x + 25 adalah ... a.



b.



d.



e.



c.



7. Fungsi kuadrat y = - x2 - 4x + 10 memiliki nilai maksimum ... a. -14 b. -2 c. 2 d. 10 e. 14 2 8. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = 2x + 3x – 2. Titik potong kurva dengan sumbu y adalah ... a. (0,2) b. (0,-2) c. (-2,0) d. (2,0) e. (½,0) 2 9. Persamaan sumbu simetri dari grafik y = x + 2x – 15 adalah ... a. x = -16 c. x = -2 e. x = 1 b. x = -12 d. x = -1 10. Persamaan garis pada gambar dibawah ini adalah ...



a. 2x – 3y = 12 c. 2x - 3y = -12 b. 2x + 3y = 12 d. -2x + 3y = 12 11. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar dibawah ini ...



Modul Matematika Kelas 2



e. -2x + 3y = -12



y – y1 = m(x – x1) y – b = m(x – a) y – 3 = 3(x – 2) y – 3 = 2(x – 2) y – 3 = 3x – 6 y – 3 = 2x – 4 y = 3x – 6 + 3 y = 2x – 4 + 3 y = 3x – 3 y = 2x – 1



Halaman 35



a. y = x2 – 3x + 4 b. y = x2 – 4x + 3



c. y = x2 + 4x + 3 d. y = x2 – 3x + 3



e. y = x2 – 8x + 3



12. Tentukan invers dari f(x) = 2x – 6! a. ½x – 3 b. ½x + 3



c. 2x – 3 d. 2x + 3



x x-4



13. Tentukan invers dari f(x) = a.



2 x –1 4



!



c. 4x – 1



b. 4x + 1



y=



e. x + 3



e.



4x x+1



4x x-1



d.



x x-4



y (x – 4) = x xy – 4y = x xy – x = 4y x (y – 1) = 4y x=



4y y-1



=



4x x-1



2x + 3 adalah ... x-1



14. Invers dari f(x) = 2



3



1



-1



 f-1 =



2x - 3 a. x-2 b. - x - 1 2x + 3



a



-b



-c



d



c. d.



-1



-3



-1



2



=



x-3 x–2 x+3



=



e.



-x + 3x -x - 2



=



x+3 x–2



x+3 x–2



-x + 2



15. Persamaan garis singgung kurva y = x3 + 2x2 + 1 pada titik yang berbasis 1 adalah ... a. 7y – x + 3 = 0 d. y – 7x – 3 = 0 b. y + 7x – 3 = 0 e. Y – 7x + 3 = 0 c. y + 7x + 3 = 0 16. Persamaan garis lurus yang melalui titik (1,2) dan tegak lurus garis y = 2x + 4 adalah ... a. x + y = 3 c. x + 2y = 5 e. 2y – x = 3 b. x – y = -1



d. x - 2y = 5



17. Garis lurus yang melalui titik (-2,-4) dan sejajar dengan garis 8x – 2y + 3 = 0 adalah ... a. 4x – y + 4 = 0 b. x + 4y – 4 = 0



c. x – y + 4 = 0 d. 4x – y = 4



e. 4x + y = -4



18. Sudut yang dibentuk oleh garis ℓ = 3x + y – 6 = 0 dan g = 2x – y = 0 adalah , maka besar  adalah ... a. 60 c. 45 b. 30 d. 90 19. Titik puncak grafik y = 8 – 2x + x² adalah ... a. (-4,-2) c. (-1,7)



Modul Matematika Kelas 2



e. 180



e. (1,-9)



Halaman 36



b. (-4,2) d. (1,7) 20. Persamaan garis yang melalui titik (2,2) dan (4,8) adalah ... a. y = 2x – 4 c. y = 3x – 4 b. y = 3x – 8 d. y = 3x + 4



e. y = 2x + 4



BARISAN DAN DERET Standar Kompetensi



: Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.



Kompetensi Dasar



: 1. Mengidentifikasikan konsep barisan dan deret bilangan 2. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 3. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Kegiatan belajar 1



Kompetensi dasar : Mengidentifikasi konsep barisan dan deret bilangan. A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi ini, peserta didik diharapkan dapat menentukan pola dari suatu barisan, menunjukan barisan dari suatu bilangan, dan menentukan deret dari suatu bilangan. B.



Uraian materi



:



B.1. Pengertian Barisan Bilangan. Barisan bilangan real adalah deretan bilangan yang dapat ditulis secara berurutan berdasarkan aturan tertentu. Yang dimaksud disini dapat saja berupa rumusan, bentuk aljabar, bentuk persamaan lainnya, misalnya : a. Berupa rumus : Un = 2n² - 1, Sn = n (n – 1) b. Berupa bentuk aljabar : 2 x – 3, x² + x – 12 c. Berupa bentuk persamaan : 2 x – 3 = 0, x² + x – 12 = 0 B.2. Pola Bilangan Suku ke-n. Setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut dengan suku barisan, yang disimbolkan dengan “U”. Suku barisan ke-n dinyatakan dengan Un. Indeks n berupa bilangan asli yaitu : 1,2,3,4,... yang menunjukan letak suku atau bilangan dalam suatu barisan bilangan. Contoh 1 : Diketahui suatu barisan bilangan : 3, 5, 7, 9, ... Tentukanlah suku-suku pada barisan tersebut! Jawab : Suku pertama = U1 = 3 Suku kedua = U2 = 5 Suku ketiga = U3 = 7 Suku keempat = U4 = 9 Contoh 2 : Carilah rumus suku ke-n dari barisan yang empat suku pertamanya : a. 1, 4, 7, 10, ... b. 3, 9, 27, 81, ... c. -2, 2, -2, 2, ... Jawab : a. Selisih dua suku yang berurutan adalah 3, maka Un = 3n – 1 b. Perpangkatan dari 3, maka Un = 3n c. (-1)1 = 1, (-1)2 = 1, dan seterusnya, maka Un = 2 x (-1)n Latihan 1



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 37



1. Carilah empat suku yang pertama barisan yang diketahui : a. Un = 2n d. Un = 3n g. Un = n2 b. Un = 2n + 1 e. Un = n² - 1 h. Un = n (n + 1)



n c. Un = n – 1 f. Un = (-1)n i. Un = n+1 2. Tulislah dua suku lagi dalam setiap barisan yang berikut ini dan carilah rumus sederhana untuk suku ke-n : 3. Carilah rumus sederhana untuk suku ke-n barisan : a. 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16



b.



1 , 1 , 1 , 1 3 6 9 12



B.3. Deret Bilangan. Deret bilangan adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Jika barisan bilangan dinyatakan dengan : U1, U2, U3, U4, U5, ..., Un maka deret bilangan dinyatakan dengan : U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... + Un. Contoh 1 : Tentukanlah jumlah 6 suku pertama dari deret yang dibentuk dengan rumus : a. Un = 2n + 3 b. Un = n² - 2n Jawab : a. Un = 2n + 3 n = 1  U1 = 2 . 1 + 3 = 2 + 3 = 5 n = 2  U2 = 2 . 2 + 3 = 4 + 3 = 7 n = 3  U3 = 2 . 3 + 3 = 6 + 3 = 9 n = 4  U4 = 2 . 4 + 3 = 8 + 3 = 11 n = 5  U5 = 2 . 5 + 3 = 10 + 3 = 13 n = 6  U6 = 2 . 6 + 3 = 12 + 3 = 15 Jadi jumlah 6 suku pertamanya adalah 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 60. b. Un = n² - 2n n = 1  U1 = 1² - 2 . 1 = 1 - 2 = -1 n = 2  U2 = 2² - 2 . 2 = 4 - 4 = 0 n = 3  U3 = 3² - 2 . 3 = 9 - 6 = 3 n = 4  U4 = 4² - 2 . 4 = 16 - 8 = 8 n = 5  U5 = 5² - 2 . 5 = 25 - 10 = 15 n = 6  U6 = 6² - 2 . 6 = 36 - 12 = 24 Jadi jumlah 6 suku pertamanya adalah -1 + 0 + 3 + 8 + 15 + 24 = 49. Latihan 2 1. Tentukan deret bilangan yang dibentuk oleh rumus : a. Un = n3 dengan n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 b. Un = n3 dengan n = 1, 2, ... , 6



Kegiatan belajar 2 Kompetensi dasar : Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika. A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan kompetensi ini, peserta didik diharapkan dapat membedakan barisan dan deret aritmatika, menentukan suku ke-n barisan aritmatika, menentukan jumlah n suku barisan aritmatika. B.



Uraian materi



Modul Matematika Kelas 2



:



Halaman 38



B.1. Pengertian Barisan dan Deret Aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang tersusun dengan selisih dua suku yang berurutan. Selisih dua suku disebut dengan b, dan dilambangkan dengan b, dan dirumuskan dengan b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1 = konstanta. Sedangkan yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari barisan yang mempunyai selisih sama setiap dua suku yang berurutan atau jumlah suku-suku dalam barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, ..., Un merupakan barisan aritmatika maka deret aritmatikanya adalah U1 + U2 + U3 + ... + Un. B.2. Rumus Untuk Suku ke-n Barisan Aritmatika. Bentuk umum suku ke-n adalah :



Dengan



Un = a + (n – 1)b



a = U1 = suku pertama b = beda atau selisih U = suku ke-n



Contoh 1 : Carilah suku ke-100 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, ...! Jawab : a =2 b = U2 – U1 =5–2 =3 n = 100 Un = a + (n – 1)b U100 = 2 + (100 – 1) 3 = 2 + (99 x 3) = 2 + 297 = 299 Contoh 2 : Pada suatu barisan aritmatika diketahui U8 = 18, U15 = 46. Tentukan suku ke-20 dari barisan tersebut! Jawab : U8 = 18  Un = a + (n – 1)b U8 = a + (8 – 1)b 18 = a + 7b ............pers.(1) U15 = 46  Un = a + (n – 1)b U15 = a + (15 – 1)b 46 = a + 14b ............pers.(2) Eliminasi persamaan pers.(1) dan pers.(2) maka kita dapat peroleh : a + 7b = 18 a + 14b = 46 -7b = -28 b



=



-28 -7



=4



Substitusikan b = 4 pada persamaan di atas, maka diperoleh : a + 7b = 18 a + 7.4 = 18 a + 28 = 18 a = -10 Un = a + (n – 1)b U20 = -10 + (20 – 1)4 = -10 + (19 x 4) = -10 + 76 = 66



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 39



Latihan 3 1. Carilah beda dalam setiap barisan aritmatika ini :



3 , 1 ,- 1 , - 3 4 4 4 4



a. 2, 4, 6, 8, ...



e.



b. 3, 7, 11, 15, ... c. 1, 6, 11, 16, ...



f. 40, 20, 0, -20, ... g. 10, 9, 8, 7, ...



d. 70, 53, 36, 19, ...



h. -



1 ,2



i. -5, -10, -15, ... j. 3, 6, 9, ...



1 , - 1 , ... 4 6



2. Carilah empat suku pertama barisan aritmatika yang salah satu suku dan bedanya diketahui : a. U1 = 5, b = 3 d. U3 = 15, b = 2 b. U1 = 0, b = -2 e. U5 = 20, b = -1 c. U1 = 10, b = 10 f. U4 = 33, b = 5 3. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika ini : a. 2, 4, 6, 8, ... ; suku ke-100 d. 14, 10, 6, 2, ... ; suku ke-15 b. 1, 4, 7, 10, ... ; suku ke-16 e. -5, -1, 3, 7, ... ; suku ke-12 c. 3, 5, 7, 9, ... ; suku ke-20 f. 10, 5, 0, -5, ... ; suku ke-21 4. Carilah rumus untuk suku ke-n dari setiap barisan ini : a. 1, 3, 5, 7, ... d. 5, 7, 9, 11, ... b. 4, 7, 10, 13, ... e. 2, 5, 8, 11, ... c. 1, 5, 9, 13, ... f. -5, -4, -3, -2, ... 5. Bentuklah sistem persamaan untuk setiap barisan aritmatika dan kemudian carilah suku pertama dan bedanya! a. U10 = 41 dan U5 = 21 b. U8 = -18 dan U3 = 12 c. U4 = -9 dan U15 = =31 B.3. Jumlah n buah suku pertama dai Deret Aritmatika. Untuk menentukan rumus jumlah n suku deret aritmatika (Sn) perhatikan uraian berikut : a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1) b) misalnya suku terakhir l – 2b. Dengan demikian suku sebelumnya ialah l – b, sebelumnya lagi l – 2b, dan seterusnya. Jadi Sn = a + (a + b) (a + 2b) + ... + (l – 2b) + (l – b) + l ......(1) Jika urutan suku dibalik, Sn = l + (l – b) + (l – 2b) + ... + (a + 2b) + (a + b) + a ......(2) Jika (1) dan (2) dijumlahkan, 2Sn = (a + l) + (a + l) + (a + l) + ... + (a + l) + (a + b) + (a + b) = n (a + l)  Sn = ½ n (a + l), yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan suku terakhir). Sn = ½n  a + a + (n – 1)b , karena l = Un = a + (n – 1)b, maka Sn = ½n 2a + (n – 1)b  Contoh 1 : Carilah jumlah 25 suku yang pertama deret aritmatika 44 + 40 + 36 + ...! Jawab : a = 44, b = 40 – 44 = -4 n = 25 Sn = ½n 2a + (n – 1) b S25 = ½ x 25 2.44 (25 – 1) -4 = ½ x 25 88 (96) = -100 Contoh 2 : Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3! Jawab :



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 40



Disini a = 3, b = 3, dan l = 99, kita harus mencari dahulu n. l = a + (n – 1) b  99 = 3 + (n – 1) 3  n = 33. Sn = ½n (a + l) S33 = ½ x 33 (3 + 99) = 1683. Latihan 4 1. Carilah jumlah setiap deret aritmatika di bawah ini : a. 1 + 3 + 5 + ... sampai 20 suku b. -4 + -5 + -6 + ... sampai 12 suku c. 80 + 70 + 60 + ... sampai 18 suku 2. Hitunglah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi 3! 3. Carilah n jika : a. 1 + 2 + 3 + ... + n = 55 b. 1 + 2 + 3 + ... + n = 120



Kegiatan belajar 3 Kompetensi dasar : Menerapkan konsep barisan dan deret geometri. A. Tujuan kegiatan belajar : Setelah menyelesaikan sub kompetensi ini, peserta diklat diharapkan dapat menentukan barisan geometri, suku ke-n, barisan geometri dengan rumus suku ke-n, jumlah n buah suku deret geometri, rumus jumlah deret geometri tak hingga, jumlah deret geometri tak hingga dengan rumus. B.



Uraian materi



:



B.1. Pengertian Barisan Geometri. Definisi barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang tersusun dari aturan hasil bagi dari dua suku yang berurutan selalu sama (tetap) dan dinamakan rasio. Jika suku barisan geometri adalah 41, 42, ... , 44, maka rasio barisan tersebut adalah :



42 = 43 = 44 = r ...... = 44 41 42 43 44 - 1



= r.



Contoh 1 : Carilah rasio dari barisan geometri berikut : a. R = 41 = 2 = 2. 42 1



b. R = -



9 =- 1 27 3



B.2. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri. Jika suku pertama U1 dinyatakan dengan a, kita dapat :



U2 = r  U2 = U1 . r = a . r U1 U3 = r  U3 = U2 . r = a . r² U2 U4 = r  U4 = U3 . r = a . r3, dan seterusnya. U3 Dari bentuk itu diperoleh barisan geometri baku yang pada umumnya ditulis sebagai berikut :



Modul Matematika Kelas 2



Halaman 41



a, ar, ar², ..., arn – 1 maka rumus suku ke-n barisan geometri adalah :



Un = a rn – 1 Contoh 1 : Dalam barisan geometri U1 = 64 dan Ua = 1. Carilah r dan tentukan lima suku pertama barisan itu! Jawab : U1 = a = 64 dan Ua = 1 U a = a rn – 1 U a = a r4 – 1 64 = 1 r3



1 R=¼ 64 Lima suku yang pertama adalah 64, 4, 1, ¼ Latihan 5. 1. Carilah rasio untuk setiap barisan geometri ini : a. 1, 3, 9, 27, ... b. 1, -2, 4, -8, ... c. 12, 6, 3, ... d. 18, 54, 162, ... e. 1, -1, 1, -1, ... 1 1 1 f. , , , ... 4 8 6 2. Tulislah empat suku pertama barisan geometri yang ditentukan oleh : R³ =



a. Un = 3n – 1



b. Un = 3 (-2)n – 1 3. Tulislah rumus suku ke-n barisan geometri : a. 1, 2, 4, ... b. 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 c. 3, 6, 12, ... d. 4, 2, 1, ... e. 2, -6, 18, ... f. 9, 3, 1, ... 4. Carilah rasio dan suku ke-5 barisan dengan : a. a = , U3 = 24 b. a = 36, U2 = -12 c. a = 50, U4 = 400 B.3. Jumlah n suku suatu deret geometri. Kita dapat mencari rumus untuk jumlah deret geometri baku. Sn = a + ar + ar² + ... + ar n – 1 Sebagai berikut : Sn = a + ar + ar² + ... + ar n – 1 Rsn = ar + ar² + ... + ar n – 1 + ar n



Detelah dikurangi maka diperoleh ( 1-r ) sn = a - ar n = a ( 1 - r n ) Sn = a



( 1 – rn ) 1-r



R  1 , untuk deret geometri turun



Atau



a ( rnn – 1 ) Modul Matematika Kelas 2



Halaman 42



Sn =



R-1



R  1 , untuk deret geometri naik



Contoh 1 : Carilah jumlah tujuh suku deret geometri : 4 + 2 + 1 + 0,5 + ... dan tentukan apakah deret geometrinya naik atau turun.



Jawab :



u2 a = u dan r = u1 = 2 = 1 4 2 n a(1–r ) 4 (1- (-½)7) sn = s7 = = 7,94 ; dan r = ½, maka deret geometrinya turun. 1–c 1–½ Contoh 2 : Diberikan sebagai DG dengan a = 3, r = 2 dan n = 6. Hitunglah jumlah deret geometri tersebut! Jawab : a = 3, r = 2 dan n = 6 Sn =



a ( rn - 1 ) r–1



S6 =



3(2-1) 2–1



=



3 ( 64 - 1 ) = 3 ( 63 ) = 189 2–1



Latihan 6 : 1. tentukan jumlah deret geometri berikut ini : a. 1 + 3 + 9 + ... ( untuk n = 6 ) b. 1 + 2 + 4 + ... ( untuk n = 7 ) c. 8 + 4 + 2 + ... ( untuk n = 10 ) d. 5 + 15 + 45 + ... ( untuk n = 8 ) e. (-1) + (-4) + ... ( untuk n = 5 ) 2. dalam sebuah DG diketahui r = 2 dan u24 = -24, tentukanlah : a. suku pertama b. jumlah 20 suku pertama B.4. Deret ukur turun tak terhingga ( deret konvergen) Deret ukur turun tak terhingga mempunyai rasio 0 < r < I dengan n -. Jumlah deret ukurtak terhingga ada apabila harga limit dari jumlah DY untuk n- ada. S = lim



a(1–m)



=



1-c S=



a 1-r



a ; sehingga diperoleh rumus : 11 - r



0