Modul Trigonometri [PDF]

Citation preview

TRIGONOMETRI



Kompetensi Dasar 3.7



Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, kosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen)



pada segitiga siku-siku. 4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri (sinus, kosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku. 3.7.1Menentukan ukuran sudut dalam satuan radian. Indikator 3.7.2 Mengubah ukuran sudut dalam satuan derajat ke satuan radian. 3.7.3 Mengubah ukuran sudut dalam satuan radian ke satuan derajat. 3.7.4



Menentukan nilai perbandingan ukuran panjang sisi hadap dengan ukuran panjang hipotenusa pada segitiga siku-siku (sinus).



Menentukan nilai perbandingan ukuran panjang sisi samping dengan ukuran panjang hipotenusa pada segitiga siku-siku (cosinus). Menentukan nilai perbandingan ukuran panjang sisi hadap dengan ukuran panjang sisi samping pada segitiga siku-siku (tangen). Menentukan nilai kebalikan sinus (cosecan). Menentukan nilai kebalikan cosinus (secan). Menentukan nilai kebalikan tangen (cotangen).



Indikator 4.7.1 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan menentukan ukuran sudut dalam satuan radian. 4.7.2 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan mengubah ukuran sudut dalam satuan derajat ke satuan radian. 4.7.3 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan mengubah ukuran sudut dalam satuan radian ke satuan derajat. 4.7.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan konsep rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku untuk menyelesaikan masalah kontekstual.



Perbandingan Trigonometri Studi



tentang



trigonometri



sebagai



cabang



matematika, lepas dari astronomi pertama kali diberikan oleh Nashiruddin al-Tusi (1201-1274), lewat bukunya Treatise on the quadrilateral. Bahkan dalam buku ini ia untuk pertama kali memperlihatkan keenam perbandingan trigonometri lewat sebuah segitiga siku-siku (hanya masih dalam trigonometri sferis). Menurut O`Conners dan Robertson, mungkin ia pula yang pertama memperkenalkan Aturan Sinus (di bidang datar). Trigonometri adalah ilmu yang mempelajari hubungan antara sisi dan sudut pada segitiga. Istilah trigonometri dibentuk dari dua kata bahasa Yunani, yaitu trigonos yang berarti segitiga dan metron yang berarti ukuran sehingga menurut kata- kata pembentuknya trigonometri berarti ukuran segitiga. Trigonometri merupakan metode utama dalam perhitungan jarak atau ketinggian secara tidak langsung. Trigonometri berperan penting dalam arsitektur, navigasi, teknik, dan beberapa cabang ilmu fisika.



1. Pengukuran Sudut Satu radian diartikan sebagai ukuran sudut pusat ( lingkaran dimana panjang busurnya sama dengan jari-jari.



Jadi,



Ayo Mengamati



.



= =



rad



360o Nilai 1 radian berapa derajat (sebaliknya):



Ayo Menalar



satu putaran penuh dalam radian = satu putaran penuh dalam derajat 



rad = 360o (masing-masing ruas dibagi 2)



 rad = 180o masing – masing ruas dibagi 180o untuk mencari nilai 1o berapa radian.  1o =



(dengan nilai



Masing-masing ruas dibagi  1 rad =



(dengan nilai



= 3,14) untuk mencari 1rad berapa derajat. = 3,14)



Cara mengubah satuan sudut dari derajat ke radian (dan sebaliknya): a.



Mengubah sudut dari bentuk derajat ke radian .



b.



Mengubah sudut dari bentuk radian ke derajat .



Sudut-sudut dalam bentuk radian dan derajat:



2. Rasio Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku



Sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah bawah.



Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat ke arah atas.



Aktivitas 1



Ayo Mengamati



Pak Heru adalah seorang penjaga sekolah. Dia mempunyai dua orang anak, yaitu Dimas dan Rama. Tinggi badan Dimas 1,8 m, sedangkan tinggi badan Rama 1,5 m. Suatu sore, Dimas mengajak adiknya Rama untuk bermain layang-layang. Di lapangan tersebut ada tiang bendera. Tinggi tiang bendera tersebut adalah 9 m. Rama melihat bayangan setiap benda di tanah. Dia mengambil tali meteran dan mengukur panjang bayangan kakaknya dan panjang bayangan tiang bendera, yaitu 2,4 m dan 12 m. Namun, dia tidak dapat mengukur panjang bayangan sendiri karena bayangannya selalu mengikuti pergerakannya. Bantulah Rama untuk menentukan bayangannya sendiri! Untuk dapat menyelesaikan masalah tersebut. ? Ayo Menanya Pahamilah beberapa pertanyaan berikut! 1. Dapatkah masalah tersebut digambarkan dalam bentuk segitiga siku-siku? 2. Dapatkah konsep kesebangunan pada segitiga diterapkan pada masalah tersebut? 3. Dengan teorema Pythagoras, tentukan sisi yang belum diketahui! 4. Bagaimana perbandingan sisi-sisinya? Ayo Menalar Konsep kesebangunan pada segitiga terdapat pada cerita tersebut. dimana AB = tinggi tiang bendera (9 m) BC = panjang bayangan tiang bendera (12 m) DE = tinggi Dimas (1,8 m) EC = panjang bayangan Dimas (2,4 m) FG = tinggi rama (1,5 m) GC = panjang bayangan Rama



Dari segitiga yang telah kalian buat. Sebutkan masing-masing nama segitiga Berdasarkan gambar di atas terdapat tiga buah segitiga yaitu ∆ABC, ∆DEC, ∆FGC



15 3



9 1,8 12



Karena



1,5



2,4



adalah sebangun, maka berlaku



dengan menggunakan Teorema Phytagoras diperoleh nilai dari FC = g = Berdasarkan



diperoleh perbandingan sebagai berikut.



a. Perbandingan ini disebut dengan sinus sudut C, ditulis sin x° = b. Perbandingan ini disebut dengan cosinus sudut C, ditulis cos x° = c. Perbandingan ini disebut dengan tangen C, ditulis tan x° = d. Perbandingan ini disebut dengan cosecan C, ditulis csc x° = e. Perbandingan ini disebut dengan secan C, ditulis sec x° = f.



s



Perbandingan ini disebut dengan cotangen C, ditulis cot x° = Definisi



Ayo Menyimpulkan



1. Sinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miring segitiga, ditulis sin C = = 2. Cosinus C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut dengan sisi miring segitiga, ditulis cos C = 3. Tangen C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudut, ditulis tan C = = 4. Cosecan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segitiga dengan sisi di depan sudut, ditulis csc C = atau csc C = 5. Secan C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi miring segiitiga dengan sisi di samping sudut, ditulis sec C = atau sec C = 6. Cotangen C didefinisikan sebagai perbandingan panjang sisi di samping sudut dengan sisi di depan sudut, ditulis cot C =



atau cot C =



LATIHAN B



1. Pada gambar di samping segitiga sikusiku ABC dengan panjang a 24 dan c 25. Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk .



a C



c b



A



2. Pada liburan kenaikkan kelas Erin pergi berkunjung ke rumah neneknya di daerah Jepara, dan pada pagi hari dia di suruh untuk pergi berbelanja ke pasar, dalam perjalananya dia melewati sebuah tugu kartini kemudian dia penasaran dan bertanya-tanya berapakah tinggi menara tersebut, dan dia berdiri dibawah pohon yang jaraknya 20 m dari kaki menara, kemudian Erin melihat ujung menara sehingga membentuk sebuah sudut



dari garis



horizontal arah pandanganya. Hitunglah berapakah tinggi tugu Kartini yang di lihat Erin. (tinggi Erin 1,5 m).



KOMPETENSI DASAR 3.7Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku. 4.7 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku. .



Indikator 3.7.10 Menentukan nilai ratio trigonometri sudut istimewa (00, 300, 450, 600, 900). 4.7.5 Menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan ratio trigonometri sudut istimewa (00, 300, 450, 600, 900).



Trigonometri sudut istimewa Ayo Mengamati



Tahukah kalian bahwa tanggal 28 mei 2018 pukul 16.17 dan 16 Juli 2018 pukul 16.20, Matahari berada tepat diatas Ka’bah yang berada di Kota Makah? Hal ini terjadi karena matahari berdeklinasi pada posisi 210 25’ ke utara yang bersesuai dengan posisi Ka’bah yaitu 210 25’ Lintang utara. Kejadian ini akan terulang 2x setiap tahun dan digunakan oleh umat muslim di Indonesia untuk menentukan arah kiblat. Karena bayangan yang dihasilkan setiap benda yang berdiri menghadap sinar matahari juga membentuk garis lurus terhadap Ka’bah. Deklinasi matahari atau dalam bahasa Arab disebut mailus syams merupakan jarak yang dibentuk oleh lintasan matahari dengan katulistiwa langit. Ketika matahari melintasi katulistiwa maka nilai deklinasinya adalah 0, ini terjadi pada tanggal 21 Maret dan 23 September. Setelah itu matahari bergeser ke arah utara hingga mencapai titik terjauh deklinasi yaitu sekitar 23° 27', itu terjadi pada tanggal 21 Juni. Setelah sampai dititik terjauh dibagian utara, matahari kemudian bergesar ke selatan dan melewati katulistiwa lagi dan akhirnya mencapai titik terjauh deklinasi dibagian selatan yaitu -23° 27' pada tanggal 22 Desember, demikianlah seterusnya sepanjang tahun.Jika Kalian perhatikan dengan teliti, arah kiblat dari Indonesia menuju Ka’bah yang ada di kota Mekah tidak lurus ke barat namun sedikit miring ke barat laut.



Ayo Mengingat



Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjari-jari r . Pada lingkaran tersebut terletak sebuah titik , dimana OA membentuk sudut dengan sumbu-X positif seperti terlihat pada gambar berikut: Jika diketahui



,



= x, dan



= y



maka diperoleh rumus-rumus perbandingan trigonometri berikut: sin



, cosec



cos



, sec



tan



, cot



Gambar 3.1 Jika diketahui sebagai sudut istimewa trigonometrinya?



, maka berapakah rasio



Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjari-jari . pada lingkaran tersebut terletak sebuah titik , dimana OA membentuk sudut dengan sumbu-X positif dan merupakan proyeksi titik ke sumbu seperti terlihat pada gambar berikut:



Dari gambar 3.2, diperoleh karena



dan



berhimpit dengan



. Jika



maka rasio trigonometri sudut Dari gambar 3.3, diperoleh karena Diketahui



adalah sebagai berikut: segitiga siku-siku di



adalah proyeksi A ke sumbu dan



,



positif.



sehingga diperoleh . Maka rasio trigonometri



Gambar 3.2



sudut



adalah sebagai berikut:



Dari gambar 3.4, diperoleh karena Diketahui



segitiga siku-siku di



adalah proyeksi A ke sumbu dan



positif.



sehingga diperoleh



. Maka rasio trigonometri sudut Gambar 3.3



adalah sebagai berikut:



Dari gambar 3.5, diperoleh karena Diketahui



segitiga siku-siku di



adalah proyeksi A ke sumbu dan



positif.



sehingga diperoleh . Maka rasio trigonometri



sudut



adalah sebagai berikut:



Gambar 3.5



Dari gambar 3.6, diperoleh karena



Gambar 3.6



Jika



berhimpit dengan



.



, maka rasio trigonometri sudut adalah sebagai berikut:



Gambar 3.4



dan



Ayo Menyimpulkan



Besar Sudut



sin



cos



tan



cosec



sec



cot



0



1



0



Tak terdefinisi



1



Tak terdefinisi



1



1 2



1



0



Tak terdefinisi



1



Tak terdefinisi



0



Kompetensi Dasar



3.8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi. 4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi.



Tujuan Pembelajaran



Indikator Pencapaian Kompetensi



Menentukan rasio trigonometri sudut-sudut di kuadran I. Menentukan rasio trigonometri sudut-sudut di kuadran II. Melalui pendekatansaintifikdenganmetodetanyajawabdan model Discovery LearningMenentukan berbantuan LKPD, LTPD dan MV pada materi bilanganIII.berpangkat dan bentuk rasio trigonometri sudut-sudut di kuadran akar, diharapkan pesertadidik dapat: sudut-sudut di kuadran IV. Menentukan rasio trigonometri Menentukanrasiotrigonometrisudut-sudut di kuadran I. rasio trigonometri sudut-sudut Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Menentukanrasiotrigonometrisudut-sudut di kuadran II. di kuadran tertentu. Menentukanrasiotrigonometrisudut-sudut di kuadran III. Menentukanrasiotrigonometrisudut-sudut di kuadran IV. Menyelesaikanmasalah yang berkaitandenganrumusrasiotrigonometrisudut-sudut di kuadrantertentu.



Dalamsatuputaranyaitu , sudut dibagi menjadi empat kuadran sebagai berikut. KuadranI : KuadranII : KuadranIII : KuadranIV : Setiapsudut di kuadran II, II, dan IV mempunyairelasidengansudut di kuadran I. Menentukan Rasio Trigonometri di Berbagai Kuadran Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjari-jari r. Pada lingkaran tersebut terletak titik yang masing-masingmembentuk sudut dengan sumbu-X seperti terlihat pada gambar berikut:



Gambar 1



Ayo Menanya Bereparasiotrigonometri di kuadran I, II, III, dan IV?



Ayo Mengumpulkan informasi Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjari-jari satuan. Pada lingkaran tersebut terletak sebuah titik , dimana membentuk sudut dengan sumbu dan merupakan proyeksi titik ke sumbu seperti terlihat pada gambar berikut.



Kuadran I Dari gambar 2, titik A terletak di kuadran I maka rasio trigonometri sudut-sudutnya adalah sebagai berikut:



Gambar 2 II Kuadran



Dari gambar 3, titik A terletak di kuadran II maka rasio trigonometri sudut-sudutnya adalah sebagai berikut:



Gambar 3



Kuadran III Dari gambar 4, titik A terletak di kuadran III maka rasio trigonometri sudut-sudutnya adalah sebagai berikut:



Gambar 4



Kuadran IV



Kuadran IV



Gambar 5



Dari gambar 5, titik A terletak di kuadran IV maka rasio trigonometri sudut-sudutnya adalah sebagai berikut:



Ayo menyimpulkan Rasio trigonometri sudut-sudut disemua kuadran Adalah sebagai berikut. Fungsi Trigonometri Sin Cos tan cosec sec cot



I + + + + + +



Tanda di Kuadran II III + + -



-



IV + + + +



3.8 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi. 4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-sudut berelasi.



Kompetensi Dasar



Indikator Pencapaian Kompetensi



Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran I. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran II. Menentukanrumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran III. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran IV. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut negatif. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut lebih dari Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudutsudut berelasi. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudutsudut berelasi. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus rasiotrigonometri sudut lebih dari .



Tujuan Pembelajaran Melalui pendekatansaintifikdenganmetodetanyajawabdan model Discovery Learningberbantuan LKPD, LTPD dan MV pada materi bilangan berpangkat dan bentuk akar, diharapkan pesertadidik dapat. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran I. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran II. Menentukanrumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran III. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut-sudut berelasi di kuadran IV. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut negatif. Menentukan rumus rasio trigonometri sudut lebih dari Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudutsudut berelasi. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rasio trigonometri sudut-sudutsudut berelasi. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan rumus rasiotrigonometri sudut lebih dari .



Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi Dalam sub bab ini, kita akan menentukan atau menghitung nilainilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk sudut A yang terletak di kuadran I, II, III, dan IV. Hal ini dapat dilakukana pabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan sudut-sudut di kuadran I ( harus bernilai diantara dan ). Relasi dari sudut-sudut ini dalam trigonometri dapat dilukiskan pada grafik cartesius dengan sifat pencerminan (refrelsi) maupun perputaran (rotasi) yang telah dipelajari di tingkat SMP/MTs.



Kuadran I Sudut untuk meliputi: relasi sudut sudut



, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran II dengan sudut dan relasi sudut dengan



.



Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui sudut dengan , maka titik dicerminkan terhadap y=x.



Berdasarkan data diatas, maka dipeorleh data sebagai berikut. Nilai perbandingan trigonometri Sudut



dengan



Sudut



dengan



relasi sudut P(x,y) garis



Dari tabel terdapat beberapa perbandigan trigonometri sudut yang bernilai sama, misalnya sehingga dapat disimpulkan: Relasi sudut



Relasisudut



dan sudut



, dan sebagainya



dengan sudut



:



dengan sudut Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , rotasikan titik berlawan an arah jarum jam sejauh .



Berdasarkan data diatas, lengkapilahtabelberikut.



Untuk



dan sudut



Untuk



dan sudut



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, misalnya sebagainya sehingga dapat disimpulkan: Relasi sudut dengan sudut



dengan sudut , dan



:



Kuadran II Sudut untuk meliputi: relasi sudut sudut



, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran II dengan sudut dan relasi sudut dengan



.



Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , maka titik P(x,y) diputar sejauh berlawanan arah jarum jam.



Berdasarkan data diatasmakadiperoleh: Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan



Relasisudut



dengan sudut



dengan sudut



Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titikO(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , cerminkan titik terhadap sumbu .



Berdasarkan



data



diatas,



makadiperoleh Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan



dengan sudut



Kuadran III Sudut



untuk



, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran III



meliputi: relasi sudut sudut



dengan sudut



atau relasi sudut



dengan



.



Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) dan berjarijari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , maka cerminkan titik P(x,y) terhadap garis , dan dilanjutkan rotasi sejauh berlawanan



arah



Berdasarkan data diatas, makadiperoleh. Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan



Relasisudut



dengan sudut



dengan sudut



Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) Berdasarkan data diatas, dan . lengkapilahtabelberikut. Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , maka titik P(x,y) dirotasikan sejauh berlawanan arah jarum jam.



Berdasarkan data diatas, makadiperoleh: Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan Q



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan



dengan sudut



Kuadran IV Sudut



untuk



, memiliki relasi dengan sudut-sudut di kuadran III



meliputi: relasi sudut sudut



dengan sudut



atau relasi sudut



dengan



.



Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titikO(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan . Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , maka titik P(x,y) dirotasikan sejauh berlawanan jarum jam.



arah



Berdasarkan data diatas, makadiperoleh: Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan



Dari tabel terdapat beberapa perbandingan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan



dengan sudut



Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut. Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titikO(0,0) dan berjari-jari r, Diketahuisebuahlingkaran titik P(x,y) yang dan . berpusatdititikO(0,0) danberjari-jari r, titik Untuk mengetahui



Sudut dengan



relasisudut dengan P(x,y) sudut dan . titik Untukmengetahuirelasisu Berdasarkan, maka data diatas, P(x,y) dicerminkan dut dengan sudut makadiperoleh: terhadap sumbu . , makatitik Nilaiperbandingantrigonometri P(x,y) diputarsejauh Sudut dengan Q berlawananarahjarum jam.



Dari tabel terdapat beberapa perbandigan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan:



dan sudut



Sudut untuk , memiliki jugamemilikirelasi dengan sudut Relasisudut dengan sudut Perhatikangambarberikut.



.



Diketahui sebuah lingkaran yang berpusat di titikO(0,0) dan berjari-jari r, titik P(x,y) dan O



.



Untuk mengetahui relasi sudut dengan sudut , maka titik P(x,y) dirotasikan dengan pusat titik O sebesar searahjarum jam.



Berdasarkan data diatas, lengkapilahtabelberikut. Sudut dengan



Nilaiperbandingantrigonometri Sudut dengan Q



Dari tabel terdapat beberapa perbandigan trigonometri sudut yang bernilai sama, sehingga dapat disimpulkan:



dan sudut