Modul Ajar Persamaan Trigonometri [PDF]

Citation preview

Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Modul Ajar (MATMT- 3.1/4.1/3/1-1)



1. Identitas a. Nama Mata Pelajaran : Matematika XI (Peminatan) b. Semester : 3 (Gasal) c. Kompetensi Dasar : 3.1 Menjelaskan dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri 4.1 Memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri



d. Materi Pokok : Persamaan Trigonometri e. Alokasi Waktu : 18 x 2 Jam Pelajaran f. Tujuan Pembelajaran :



Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, dan presentasi , peserta didik dapat menjelaskan pengertian persamaan trigonometri dan menentukan penyelesaian persamaan trigonometri serta memodelkan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan trigonometri , sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya melalui belajar Persamaan Trigonometri , mengembangakan sikap jujur, peduli, dan bertanggungjawab, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis, komunikasi, kolaborasi, kreativitas (4C).



g. Materi Pembelajaran o Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Suparmin, Sa’adah Nuraini 2017. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam untuk SMA/MA XI hal. 1 sd 21



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



2. Peta Konsep PERSAMAAN TRIGONOMETRI



Persamaan Sinus



Persamaan Cosinus Trigonometri



Persamaan Trigonometri



Persamaan tangen



Persamaan Trigonometri Berbentuk Persamaan kuadrat



Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c



3. Kegiatan Pembelajaran a. Pendahuluan Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini. Banyak peristiwa sehari hari disekitar kita merupakan tampilan matematika, khususnya trigonometri. Penerapan Trigonometri dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari hari, contoh : trigonometri dalam bentuk usaha. Dalam kehidupan sehari-hari, kata usaha dapat diartikan sebagai kegiatan dengan mengerahkan tenaga atau pikiran untuk mencapai tujuan tertentu. Usaha dapat juga dipakai sebagai pekerjaan untuk mencapai suatu tujuan tertentu. x = cos θ, y = sin θ



Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke seseorang menarik kotak pada bidang datar dengan tali membentuk sudut α terhadap horizontal ,sedangkan gaya F membentuk sudut α terhadap perpindahan. Pertanyaan: a. Dapatkah anda menjelaskan bentuk persamaan trigonometri dari gambar di atas ? b. Dapatkah anda menentukan penyelesaian persamaan trigonometrinya ?



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini. b.



Kegiatan Inti 1) Petunjuk Umum UKB a) Baca dan pahami materi pada Buku Teks Pelajaran Suparmin, Sa’adah Nuraini 2017. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam untuk SMA/MA XI hal. 1 sd 21 b) Setelah memahami isi materidalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya. c) Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan. d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjutmelalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1 kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatifagar kalian dapat belajar ke UKB berikutnya. 2)



Kegiatan Belajar Ayo……ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi !!! Kegiatan Belajar 1



Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi ! Penyelesaian Persamaan Trigonometri 1. Persamaan Sinus



k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Contoh Berikut adalah contoh menyelesaikan persamaan trigonometri Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut! untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. Sin x0 = sin 35o x0 = 35o + k.360o atau x0 = ( 180 – 35) + k.360o x0 = 35o = 145o Hp : { 35o, 145o} 2. sin x0 = ½



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Sin x0 = sin 30 x0 = 30o + k.360o atau x0 = ( 180 – 30) + k.360o x0 = 30o = 150o Hp : { 30o, 150o} Ayoo berlatih! Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. Sin x = sin 27o 2. Sin 2x = sin 80o 3. Sin 3x = sin 210o 4. sin x = 1 5. 2Sin x – 1 = 0 6. sin 2x = 1 7. 2 sin 3x = √3 8. 2 sin 2x - √3 = 0 9. 2√2 sin 2𝑥 = √6 10. 2 sin 3x = √3 Apabila kalian telah mampu kerjakan latihan soal di atas, jika telah memahami, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut. Kegiatan Belajar 2 Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi ! Penyelesaian Persamaan Trigonometri 2. Persamaan Cosinus



k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Contoh Berikut adalah contoh menyelesaikan persamaan trigonometri Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut! untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. cos x = cos 50 x = 50o + k.360o atau x = -50o + k.360o x = 50o = 310o o o Hp : { 50 , 310 }



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



2. cos 2x = cos 150o 2x = 150o + k.360o atau 2x = -150o + k.360o x = 75o + k.180o x = -75o + k.180o Hp : { 75o, 105o, 225o, 295o} Ayoo berlatih! Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. Cos x = cos 37o 1 2. cos x = 2



3. 4. 5. 6. 7. 8.



2cos x - √3 = 0 cos 2x = 1 2cos x = √3 2cos 3x – 1 = 0 Cos 2x = 1 3 3cos 3x = 2 √3



9. 2 cos 2x - √3 = 0 10. 2√2 cos 2𝑥 = √6 Apabila kalian telah mampu kerjakan latihan soal di atas, jika telah memahami, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 3 berikut. Kegiatan Belajar 3 Bacalah uraian singkat materi dan contoh berikut dengan penuh konsentrasi ! Penyelesaian Persamaan Trigonometri 3. Persamaan Tangen



k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Contoh Berikut adalah contoh menyelesaikan persamaan trigonometri Agar lebih memahami, ayo berlatih berikut: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut! untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. tan x = tan 85o x = 85o + k.180o x = 85o Hp : { 85o, 265o}



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



3. tan x = tan 65 x = 65o + k.180o Hp : { 65o, 245o} Ayoo berlatih! Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. tan x = tan 37o 1 2. tan = 3 √3 3. tan x - √3 = 0 4. tan 3x = 1 1 5. tan 2x = 3 √3 6. √3 tan x – 1 = 0 7. tan 2x = 1 8. 3 Tan 3x = √3 9. 3 tan 2x - √3 = 0 10. 3√2 tan 2𝑥 = √6 Apabila kalian telah mampu kerjakan latihan soal di atas, jika telah memahami, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 4 berikut.



Kegiatan Belajar 4 Setelah kalian belajar tentang persamaan trigonometri pada contoh kegiatan belajar 1, sekarang perhatikan Persamaan Trigonometri 𝜋 bentuk sin ( ax - 3 ) = c, cos (ax – α) = b, tan (ax – α) = b berikut! Lakukan berikut: Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikut. Untuk menyelesaikan Persamaan Trigonometri bentuk ini Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometr berikut! untuk 0 ≤ x ≤ 2𝜋 𝜋 1 1. Cos ( x - 6 ) = 2 √2 𝜋



Cos ( x - 6 ) = 𝜋



1



2 𝜋



√2



Cos ( x - 6 ) = cos 4 𝜋



𝜋



(x-6)= x= =



𝜋



4



𝜋



+ 2 k𝜋



+ + 2 k𝜋



6 4 5𝜋



12 𝜋 5𝜋



+ 2 k𝜋



x = 12, 12



𝜋 5𝜋



HP { 12 ,



2. sin ( 2x sin ( 2x -



𝜋 3



12 𝜋 3



} )=1 𝜋



) = sin 2



𝜋



𝜋



atau x = - 6 + 4 + 2 k𝜋 =



𝜋



12



+ 2 k𝜋



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



( 2x 2x = x = x=



𝜋 3 𝜋 3 5𝜋 12 5𝜋 12



MatMt



𝜋



) = 2 + 2 k𝜋 𝜋



+ 2 + 2 k𝜋 atau 2x = + k𝜋 ,



x=



17𝜋 12



5𝜋 17𝜋



HP { 12 ,



12



𝜋



𝜋



+ 2 + 2 k𝜋



3 5𝜋 12



+ k𝜋



}



Ayo berlatih!! Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah berikut di buku kerja kalian! Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometr berikut! untuk 0 ≤ x ≤ 2𝜋 𝜋



1. Cos ( x - 6 ) = 2. sin ( 2x 3.



𝜋



3 𝜋



1 2



√3



)=½



tan ( x - 4 ) = 1 1



4. Sin x + 2 √3 = 0 5. 2 cos x - √3 = 0 Apabila kalian sudah mampu menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat ini, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 5 berikut.



Kegiatan Belajar 5 Setelah kalian belajar tentang persamaan trigonometri pada contoh kegiatan belajar 4, sekarang perhatikan Persamaan Trigonometri bentuk kuadrat berikut! 1. a sin2 x + b sin x + c = 0 2. a cos2 x + b cos x + c = 0 3. a tan2 x + b tan x + c = 0 Lakukan berikut Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikut. Untuk menyelesaikan Persamaan Trigonometri bentuk ini dengan dimisalkan y = sin x, y = cos x dan y = tan x sehingga menjadi ay2 + by + c = 0 persamaan kuadrat dengan variabel y. Untuk menentukan penyelesaiannya ada 3 cara, yaitu dengan memfaktorkan, rumus abc dan melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. 2Sin2 x – sin x - 1 = 0 2Sin2 x – sin x - 1 = 0 Misal y = sin x



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



2 y2 – y – 1 = 0 ( 2y + 1) ( y -1) = 0 1 y = − 2 atau y = 1 1



2.



sin x = − 2 sin x = 1 𝑜, sin x = - sin30 sin x = sin90𝑜, x = -30o + k.360 x = 90o + k.360 𝑜, 𝑜 HP {90 , 330 } Cos 2x + 2 cos x – 3 = 0 Misal y = cos x y2 + 2 y – 3 = 0 ( y + 3) ( y - 1) = 0 y = -3 atau y = 1 cos x = -3 Tidak ada penyelesaian



cos x = 1 cos x = cos 0 x = 0o + k.360



x = 0o, 360o HP {0𝑜, , 360𝑜 } Ayo berlatih!! Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah berikut di buku kerja kalian! Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1. Sin2 x – 4sin x - 5 = 0 2. Cos 2x + cos x – 6 = 0 3. 3 Tan2 x + 2 √3 tan x – 3 = 0 4. 2 sin2 x – 7 sin x + 3 = 0 5. 2Cos 2x + 11 cos x – 6 = 0 Apabila kalian sudah mampu menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat ini, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 6 berikut.



Kegiatan Belajar 6 Setelah kalian belajar tentang persamaan trigonometri pada contoh kegiatan belajar 5, sekarang perhatikan Persamaan Trigonometri yang sudah kita pelajari : 1. Sin x = sin a 2. Cos x = cos a 3. Tan x = tan a 4. a sin2 x + b sin x + c = 0 5. a cos2 x + b cos x + c = 0 6. a tan2 x + b tan x + c = 0 Salanjutnya kita akan menyelesaiakan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan trigonometri.



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikut. Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Persamaan Trigonometri. Contoh: 1. Sudut antara puncak dua pohon, pohon kecil dan pohon besar yang berada di halaman depan rumah Mira diketahui dengan persamaan 2 sin 2x = 1. Berapakah besar sudut antara puncak dua pohon yang memenuhi dari persamaan tersebut? 2 sin 2x = 1 1



sin 2x = 2 sin 2x = sin 30𝑜, 2x = 30o + k.360o 2x = 150o + k.360o o o x = 15 + k.180 x = 75o + k.180o x = 15o ,75o,195o, 255o HP {15o ,75o,195o, 255o } 2. Arus listrik yang dihasilkan oleh sebuah generator AC didefinisikan dengan l = 30 sin 120 𝜋𝑡 dengan t adalah waktu dalam detik dan l merupakan kuat arus dalam ampere. Tentukan kapan saja (t positif) yang dapat menghasilkan kuat arus l = 30 ampere Diket : l = 30 sin 120 𝜋𝑡 t adalah waktu dalam detik, l merupakan kuat arus dalam ampere l = 30 ampere l = 30 sin 120 𝜋𝑡 30 = 30 sin 120 𝜋𝑡 sin 120 𝜋𝑡 = 1 𝜋 sin 120 𝜋𝑡 = sin 2 𝜋



120 𝜋𝑡 = 2 1



120 t = 2 1



t = 240 detik Ayo berlatih!! Setelah memahami contoh di atas, maka selesaikanlah berikut di buku kerja kalian! 1. Persamaan y = -10 cos 3t mewakili gerak sebuah benda yang bergantung pada sebuah pegas. Setelah ditarik sejauh 10 cm di bawah titik kesetimbangan, kemudian pegas tersebut dilepaskan ( hambatan gerak di udara diabaikan). Nilai y menentukan posisi benda dalam cm di atas titik kesetimbangan ( y positif) dan berada di bawah titik kesetimbangan ( y negatif) setelah t detik dengan 0 ≤ t ≤ 2𝜋. Tentukan kapan benda akan mencapai puncak ( Titik tertinggi di atas kesetimbangan) 2. Sebuah alat pembangkit tenaga listrik yang dihasilkan oleh sebuah generator didefinisikan dengan W = 10 cos 250 𝜋𝑡 dengan t adalah waktu dalam detik



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



dan W merupakan usaha dalam Joule. Tentukan kapan saja (t positif) yang dapat menghasilkan usaha W = 5 Joule 3. Alex penasaran untuk mengetahui jarak aman untuk perumahan warga terhadap menara BTS, sehingga ia berinisiatif untuk melakukan suatu penelitian. Ia telah mengetahui bahwa tinggi menara BTS 25 meter dan panjang gelombang ujung menara BTS ke perumahan warga 50 meter. Berapakah jarak aman perumahan warga terhadap menara? Setelah mengetahui jarak aman berapa besar sudut yang terbentuk antara panjang gelombang ujung menara ke perumahan warga ke menara? 4. Sebuah menara di Surabaya tingginya 550 meter. Tanpa memperhatikan bangunan lain antara tugu pahlawan dan menara, jarak pandang antara puncak tugu pahlawan dengan menara 550 meter. Cita mengamati dengan seksama puncak tugu pahlawan dengan sudut pandang x. Dengan sudut pandang yang sama Ryan mengamati dasar tugu pahlawan dari suatu lantai dengan ketinggian tertentu. Diasumsikan jarak Ryan dengan dasar tugu pahlawan sekitar 952,62 meter atau PB = 550√3 meter. Petunjuk : QB = a cos x dan BR = b sin x a = PB = 550√3 panjang b = AR = 550, dan QB + BR = QR Tentukan nilai x yang memenuhi! Apabila kalian sudah mampu menentukan penyelesaian persamaan trigonometri bentuk kuadrat ini, maka kalian bisa melanjutkan pada kegiatan belajar 7 berikut. Kegiatan Belajar 7 Setelah kalian belajar tentang persamaan trigonometri pada contoh kegiatan belajar 5, sekarang perhatikan Persamaan Trigonometri bentuk a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = c diubah menjadi bentuk k cos ( x – α ) = c 𝑏



dengan k = √𝑎2 + 𝑏2 dan α = arc tan 𝑎 k cos ( x – α ) = c mempunyai penyelesaian dengan syarat - k ≤ c ≤ k Ayo…sekarang perhatikan contoh berikut ini dengan baik ! Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x 0 ≤ 360o Sin x0 – cos x0 - 1 = 0 Sin x0 – cos x0 - 1 = 0 k = √(−1)2 + 12 = √2



1



α = arctan −1 = 135𝑜



√2 cos ( x0 – 135o ) = 1 1 cos ( x0 – 135o ) = 2 √2 cos ( x0 – 135o ) = cos 45o x0 = 45 + 135 + k. 360 atau = 180o, 270o HP {180𝑜, , 270𝑜 }



x = 135 + 135 + k. 360



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Dari contoh penyelesaian di atas, apakah ada hal yang belum kalian pahami? Jika kalian sudah paham kerjakanlah soal pada bagian Ayoo berlatih berikut!



Ayoo berlatih!! Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x 0 ≤ 360o 1. Sin x0 + cos x0 - 1 = 0 2. Cos x0 + √3 sin x0 – 2 = 0 3. 5 √2 cos x0 - 5 √2 sin x0 = 10 4. √3 sin x0 + 3 cos x0 - 2 √3 = 0 5. 4 √3 sin 3x0 – 4 cos 3x0 = 4 Kerjakan bersama teman kalian di buku kerja masing-masing!Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian diperbolehkan belajar ke UKBM berikutnya. c.



Penutup Bagaimana kalian sekarang? Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1-7, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari.Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.



Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi No 1. 2.



3.



4. 5



Pertanyaan Apakah kalian telah memahmi tentang persamaan trigonometri? Dapatkah kalian menentukan penyelesaian persamaan trigonometri sin x = sin a, cos x = cos a, tan x = tan a? Dapatkah kalian menentukan penyelesaian 𝜋 Persamaan Trigonometri bentuk sin ( ax - 3 ) = c, cos (ax – α) = b, tan (ax – α) = b? Dapatkah kalian menentukan penyelesaian Persamaan Trigonometri bentuk kuadrat? Dapatkah kalian menentukan penyelesaian Persamaan Trigonometri bentuk a cos x + b sin x = c diubah menjadi bentuk k cos ( x – α ) = c?



Ya



Tidak



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1-7 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atauteman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!.Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut. Dimana posisimu? Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Persamaan Trigonometri dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.



Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Persamaan Trigonometri, lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!. Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Persamaan Trigonometri! Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Persamaan Trigonometri, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. Tentukan Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri berikut untuk 0 ≤ x ≤ 360o 1 a. Sin 3x0 = √2 0



2 1



b. Cos 2x = √3 2 𝜋



1



3



2



c. Cos [2𝑥 − ] =



d. Tan (𝜋 − 𝑥) + √3 = 0 𝜋 e. 2√2 sin (𝑥 − 3 ) + 2√6 cos 𝑥 = 2 Setelah menyelesaikan persamaan trigonometri di atas dan mengikuti kegiatan belajar persamaan trigonometri,bagaimana penyelesaian permasalahan pada UKBM di bagian awal pembelajaran tadi? Silahkan kalian berdiskusi dengan



Unit Kegiatan Belajar Mandiri 3.1/4.1



MatMt



teman sebangku atau teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika tersebut di buku kerja masing-masing!. Ini adalah bagian akhir dari UKBM materi persamaan trigonometri, mintalah tes formatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKBM berikutnya Rumus Jumlah dan selisih dua sudut sinus dan cosinus. Sukses untuk kalian!!!