![Modul 3 Kalkulus Dan Trigonometri [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/modul-3-kalkulus-dan-trigonometri.jpg)
12 0 3 MB
ii
No Kode: DAR 2/Profesional/180/3/2019
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 3 KALKULUS DAN TRIGONOMETRI
Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2019
iii
Pendalaman Materi Matematika Modul 3 Kalkulus dan Trigonometri Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
ISBN: Editor: Dr. Imam Sujadi, M.Si. Dr. Sukoriyanto Penyunting: ...................... Desain Sampul dan Tata Letak ...................... Penerbit: Kemendikbud Redaksi: Jl. ............... Distributor Tunggal:
Cetakan Pertama: 2019
Hak cipta dilindungi Undang-undang Dilarang memperbanyak modul ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit.
iv
KATA PENGANTAR
Dengan rahmat Allah SWT, kami mengucapkan syukur Alhamdulillah atas nikmat dan karunianya sehingga kami dapat menyelesaikan Modul 3 Kalkulus dan Trigonometri ini. Modul ini membahas tentang konsep-konsep dalam kalkulus dan penerapannya serta fungsi trigonometri. Oleh sebab itu, prasyarat dalam mempelajari pokok bahasan pada modul 3 ini adalah materi relasi, logika, segitiga, sudut, sistem bilangan real, dan harga mutlak. Modul ini memuat empat materi pokok yang termuat dalam empat kegiatan belajar (KB) sebagai berikut. • Kegiatan belajar 1: Fungsi Trigonometri • Kegiatan belajar 2: Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi • Kegiatan belajar 3: Turunan dan Aplikasi Turunan. • Kegiatan belajar 4: Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral. Modul ini diperuntukkan untuk mahasiswa PPG yang mengikuti pembelajaran dalam jaringan (Daring). Tujuan penyusunan modul ini adalah untuk menambah pengetahuan mahasiswa dalam bidang matematika terkait materi Kalkulus dan Trigonometri. Dengan bertambahnya pengetahuan tersebut, diharapkan mahasiswa akan lebih mantap dalam mengajarkan materi tersebut nantinya. Terima kasih kami sampaikan kepada Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan serta pihak-pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Akhir kata, kami sekali lagi mengharapkan saran dari para pembaca demi penyempurnaan modul ini. Demikian sepenggal kata pengantar dalam modul ini. Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam Modul 3 ini. Semarang, Nopember 2019
Penulis
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..............................................................................
v
DAFTAR ISI ............................................................................................
vi
PENDAHULUAN ....................................................................................
ix
A. Capaian Pembelajaran .........................................................................
x
B. Sub Capaian Pembelajaran ..................................................................
x
KB 1. Fungsi Trigonometri ...................................................................
1
A. Pendahuluan ...................................................................................
3
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan ............................................
4
C. Pokok-pokok Materi .......................................................................
5
D. Uraian Materi ..................................................................................
5
1. Identitas Fungsi Trigonometri ......................................................
5
2. Invers Fungsi Trigonometri .........................................................
19
3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri ............................
25
E. Forum Diskusi ................................................................................
29
F. Rangkuman .....................................................................................
30
G. Tes Formatif ...................................................................................
32
H. Daftar Pustaka ................................................................................
35
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ......................................................
36
KB 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi .....................................
37
A. Pendahuluan ...................................................................................
39
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan ............................................
40
C. Pokok-pokok Materi .......................................................................
41
D. Uraian Materi ..................................................................................
42
1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi ............................
42
2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers ...........................................
55
3. Limit Fungsi .................................................................................
60
4. Limit Sepihak ...............................................................................
74
5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga ................................
80
6. Kekontinuan Fungsi .....................................................................
92
vi
E. Forum Diskusi ................................................................................
97
F. Rangkuman .....................................................................................
97
G. Tes Formatif ...................................................................................
99
H. Daftar Pustaka ................................................................................
102
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ......................................................
102
KB 3. Turunan dan Aplikasi Turunan .................................................
103
A. Pendahuluan ...................................................................................
105
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan ............................................
106
C. Pokok-pokok Materi .......................................................................
106
D. Uraian Materi ..................................................................................
107
1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi ................................
107
2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers .................................
116
3. Aplikasi Turunan ..........................................................................
121
E. Forum Diskusi ................................................................................
136
F. Rangkuman .....................................................................................
137
G. Tes Formatif ...................................................................................
139
H. Daftar Pustaka ................................................................................
142
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif ......................................................
142
KB 4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral ...........................
143
A. Pendahuluan ...................................................................................
145
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan ............................................
146
C. Pokok-pokok Materi .......................................................................
147
D. Uraian Materi ..................................................................................
148
1. Antiturunan ..................................................................................
148
2. Notasi Sigma dan Jumlah Riemann .............................................
156
3. Integral Tertentu ...........................................................................
159
4. Aplikasi Integral ...........................................................................
166
E. Forum Diskusi ................................................................................
176
F. Rangkuman .....................................................................................
177
G. Tes Formatif ...................................................................................
180
H. Daftar Pustaka ................................................................................
183 vii
TUGAS AKHIR MODUL 3 ....................................................................
184
TES SUMATIF MODUL 3 ......................................................................
185
KUNCI JAWABAN TES FORMATIF MODUL 3 .................................
193
KRITERIA PENILAIAN TES FORMATIF ............................................
194
KUNCI JAWABAN TES SUMATIF MODUL 3 ...................................
195
KRITERIA PENILAIAN TES SUMATIF ..............................................
196
viii
PENDAHULUAN
Mahasiswa PPG yang bersemangat. Selamat saudara telah selesai mempelajari modul 2. Selanjutnya saudara akan mempelajari modul 3 yang memuat materi tentang kalkulus dan trigonometri. Aplikasi kalkulus dan fungsi trigonometri dapat ditemui dalam berbagai bidang seperti bidang ekonomi, fisika, astronomi, teknik bangunan dan lain sebagianya. Beberapa aplikasi dari kalkulus dan fungsi trigonometri selengkapnya dapat dilihat di masing-masing kegiatan belajar. Modul ini terbagi dalam empat kegiatan belajar (KB). Setiap KB dilengkapi dengan tes formatif dengan kunci jawaban dan pembahasan berada pada akhir modul ini. Kerjakan tes formatif dengan tanpa melihat kunci jawaban dan pembahasan untuk melihat tingkat pemahaman saudara terhadap materi dalam KB tersebut. Tes Sumatif diberikan di akhir modul ini sebagai bentuk evaluasi pemahaman saudara terhadap materi modul ini. Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1) Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada masing-masing kegiatan belajar yang ada dalam modul ini. 2) Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri. 3) Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan. 4) Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar yang sedang saudara pelajari. 5) Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada setiap kegiatan belajar, sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. ix
Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam Modul 3 ini.
A. Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan.
B. Sub Capaian Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang terkait dengan fungsi, jenis fungsi, limit fungsi, turunan, trigonometri, dan integral.
x
No Kode: DAR 2/Profesional/180/3/2019 PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 3 KALKULUS DAN TRIGONOMETRI KB 1. Fungsi Trigonometri
Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2019
1
2
A. Pendahuluan Mahasiswa PPG yang bersemangat. Selamat datang pada pembelajaran modul 3 kegiatan belajar 1. Pada kegiatan belajar 1 ini saudara mempelajari materi Fungsi Trigonometri. Sebelum memulai pembelajaran pada kegiatan belajar ini, coba diingat pernahkah saudara diminta untuk mengukur tinggi sebuah gedung, pohon, tiang bendera, dan tower. Bisakah saudara mengukur tanpa memanjat atau mengukur langsung dengan ukuran. Kirakira menggunakan konsep apa untuk mengukur tinggi benda-benda tersebut tanpa mengukur langsung. Pengetahuan prasyarat yang diperlukan untuk mempelajari konsep trigonometri ini antara lain: pengetahuan tentang segitiga siku-siku, lingkaran satuan, rumus jarak dan perbandingan. Modul ini dikemas dalam tiga sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai berikut: • Sub Kajian 1: Identitas fungsi trigonometri • Sub Kajian 2: Invers fungsi trigonometri • Sub Kajian 3: Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri. Perbandingan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari sering dimanfaatkan untuk mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Selain itu dalam arsitektur modern konsep trigonometri dimanfaatkan dalam membangun kurva-kurva yang indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini. Teknologi pencitraan dari komputer yang juga menggunakan konsep geometri, dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas. Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi. Ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur langsung menggunakan penggaris. Ukuran benda-benda langit tersebut pasti dihitung dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut.
3
6) Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini. 7) Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar ini, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri. 8) Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan. 9) Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini. 10) Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. Mahasiswa juga diharapkan mampu menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang terkait trigonometri. Lebih lengkapnya dijabarkan berikut. 1. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah sudut pada bidang datar dengan menggunakan identitas trigonometri. 2. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah menggunakan konsep invers fungsi trigonometri.
4
3. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah trigonometri dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri.
C. Pokok-pokok Materi Materi yang dipelajari dalam kegiatan belajar ini antara lain: 1. Identitas trigonometri. 2. Invers fungsi trigonometri. 3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri.
D. Uraian Materi 1. Identitas Fungsi Trigonometri a. Definisi dasar nilai fungsi trigonometri Coba saudara ingat apa arti sudut siku-siku, sudut lancip, dan sudut tumpul. Dengan mengamati bangun-bangun yang ada di sekitar kita, dapatkah saudara menemukan bangun yang berbentuk segitiga siku-siku? Gambarlah bangun segitiga siku-siku di kertas dan sebut ketiga titik sudutnya dengan huruf 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 dan sudut siku-siku berada di 𝐶. Masih ingatkah saudara pengertian sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan dan cosecan suatu sudut lancip dalam segitiga siku-siku ABC (misalnya sin ∠𝐵𝐴𝐶, cos ∠𝐵𝐶𝐴)? Perhatikan Gambar 1.1.
A miring (𝑐) samping (𝑎)
B
sin θ =
depan 𝑏 ⇔ sin 𝐵 = miring 𝑐
cos θ =
samping 𝑎 ⇔ cos 𝐵 = miring 𝑐
tan θ =
depan 𝑏 ⇔ tan 𝐵 = samping 𝑎
depan (𝑏)
C
Gambar 1.1. Pendefinisian nilai sin, cos, dan tan suatu sudut dalam sebuah segitiga Dari Gambar 1.1. diperoleh juga nilai-nilai trigonometri untuk sudut 𝐴 yaitu 𝑎
𝑏
𝑎
sin 𝐴 = 𝑐 , cos 𝐴 = 𝑐 dan tan 𝐴 = 𝑏. 5
Dapat dituliskan dengan 𝑎 = 𝑐. sin 𝐴 = 𝑐. cos 𝐵 = 𝑏. tan 𝐴 dan 𝑏 = 𝑐. sin 𝐵 = 𝑐. cos 𝐴 = 𝑎. tan 𝐵. Definisi untuk nilai-nilai fungsi trigonometri lainnya diberikan pada Definisi 1.1. Definisi 1.1 sin 𝜃 cos 𝜃 1 cos 𝜃 cot 𝜃 = = tan 𝜃 sin 𝜃 tan 𝜃 =
1 cos 𝜃 1 csc 𝜃 = sin 𝜃 sec 𝜃 =
Berdasarkan Gambar 1.1 dan Definisi 1.1, diperoleh 𝑐 = 𝑎 csc 𝐴 = 𝑎 sec 𝐵 = 𝑏 csc 𝐵 = 𝑏 sec 𝐴. Dari perolehan di atas, jika 𝐴 dan 𝐵 sudut segitiga dengan 0° < 𝐴, 𝐵 < 90° dan 𝐴 + 𝐵 = 90° maka sin 𝐴 = cos 𝐵, cos 𝐴 = sin 𝐵, tan 𝐴 = cot 𝐵, dan cot 𝐴 = tan 𝐵. Karena 𝐴𝐵𝐶 merupakan segitiga siku-siku maka berlaku 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 . Dari sini diperoleh (sin 𝐴)2 + (cos 𝐴)2 =
𝑎2 𝑏 2 𝑎2 + 𝑏 2 + = =1 𝑐2 𝑐2 𝑐2
Untuk selanjutnya (sin 𝐴)2 dituliskan dengan sin2 𝐴. Fungsi trigonometri lainnya juga menyesuaikan. Untuk 0° < 𝐴 < 90° berlaku sin2 𝐴 + cos 2 𝐴 = 1
(1.1)
Persamaan (1.1) apabila kedua ruas dibagi dengan cos2 𝐴 maka diperoleh tan2 𝐴 + 1 = sec 2 𝐴 atau sec 2 𝐴 − tan2 𝐴 = 1
(1.2)
Persamaan (1.1) apabila kedua ruas dibagi dengan sin2 𝐴 maka diperoleh 1 + cot 2 𝐴 = csc 2 𝐴 atau csc 2 𝐴 − cot 2 𝐴 = 1
(1.3)
Proses pembelajaran selanjutnya akan digunakan lingkaran satuan untuk menentukan nilai-nilai dari fungsi trigonometri.
6
Perhatikan Gambar 1.2.
Y 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜃 (1,0)
X
Gambar 1.2 Titik 𝑃 berpadanan dengan sudut 𝜃 Titik 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah suatu titik pada lingkaran satuan yang berpadanan dengan sudut 𝜃. Dari Gambar 1.2, diperoleh sin 𝜃 = 𝑦, cos 𝜃 = 𝑥, dan 𝑦
tan 𝜃 = 𝑥 . Selanjutnya akan dihitung nilai trigonometri dari beberapa sudut istimewa.
1 𝐶
D 𝐵′
𝐵
𝐴′
𝐴
-1
(1,0)
-1
Gambar 1.3 Titik-titik berpadanan dengan sudut-sudut istimewa.
7
𝜋
Untuk 𝜃 = 30° = 6 : Dari Gambar 1.3 diperoleh titik yang berkenaan dengan sudut ini adalah titik 𝐴(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ). 1
Jelas 𝑦𝐴 = 2. 1
Jadi 𝑥𝐴2 + 𝑦𝐴2 = 1 ⟺ 𝑥𝐴2 + 4 = 1 ⟺ 𝑥𝐴2 −
3 1 1 = 0 ⟺ (𝑥𝐴 − √3) (𝑥𝐴 + √3) = 0 4 2 2 1
1
⟺ 𝑥𝐴 = 2 √3 ∨ 𝑥𝐴 = − 2 √3. 𝜋
Karena untuk 𝜃 = 30° = 6 , titik 𝐴(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) berada pada lingkaran di 1
daerah kuadran I maka berakibat 𝑥𝐴 = 2 √3. 1
1
Jadi 𝐴 (2 √3, 2). 𝜋
1
𝜋
1
Jadi diperoleh cos 6 = 2 √3 dan sin 6 = 2. 𝜋
Untuk 𝜃 = 45° = 4 : Dari Gambar 1.3 diperoleh titik yang berkenaan dengan sudut ini adalah titik 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ). Jelas titik 𝐵 terletak pada garis 𝑦 = 𝑥 sehingga 𝑥 = 𝑦. Jadi 𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 = 1 ⟺ 2𝑥𝐵2 = 1 ⟺ 𝑥𝐵2 − ⟺ 𝑥𝐵 =
1 1 1 = 0 ⟺ (𝑥𝐵 − ) (𝑥𝐵 + ) = 0 2 √2 √2 1 √2
∨ 𝑥𝐵 = −
1 √2
1
1
⟺ 𝑥𝐵 = 2 √2 ∨ 𝑥𝐵 = − 2 √2. 𝜋
Karena untuk 𝜃 = 45° = 4 , titik 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ) berada pada lingkaran 1
di daerah kuadran I maka berakibat 𝑥𝐵 = √2. 2 1
1
Jadi 𝐵 (2 √2, 2 √2). 𝜋
1
𝜋
1
Jadi diperoleh cos 4 = 2 √2 dan sin 4 = 2 √2. 𝜋
Untuk 𝜃 = 60° = 3 : Dari Gambar 1.3 diperoleh titik yang berkenaan dengan sudut ini adalah titik 𝐶(𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 ).
8
Jelas titik 𝐶 adalah hasil pencerminan titik 𝐴 oleh garis 𝑦 = 𝑥. Jadi 𝑥𝐶 = 𝑦𝐴 dan 𝑦𝐶 = 𝑥𝐴 1 1
Jadi 𝐶 (2 , 2 √3). 𝜋
1
𝜋
1
Jadi diperoleh cos 3 = 2 dan sin 3 = 2 √3. 𝜋
Coba ambil sebarang 𝜃 dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 . Kemudian tarik garis lurus dari titik pusat lingkaran ke lingkaran sebut dengan titik 𝑃. Lakukan pencerminan titik tersebut terhadap garis 𝑦 = 𝑥 dan sebut bayangannya dengan 𝑃′. Akan diperoleh bahwa 𝑥𝑃′ = 𝑦𝑃 dan 𝑦𝑃′ = 𝑥𝑃 . Dari proses tersebut diperoleh Untuk 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
berlaku
2
𝜋 cos ( − 𝜃) = sin 𝜃 2 𝜋 sin ( − 𝜃) = cos 𝜃 2 Untuk 𝜃 = 120° = 90° + 30°: Dari Gambar 1.3 diperoleh titik yang berkenaan dengan sudut ini adalah titik 𝐷(𝑥𝐷 , 𝑦𝐷 ). Jelas titik 𝐷 adalah hasil pencerminan titik 𝐶 oleh Sumbu 𝑌 atau garis 𝑥 = 0.. Jadi 𝑥𝐷 = −𝑥𝐶 dan 𝑦𝐷 = 𝑦𝐶 1 1
Jadi 𝐷 (− 2 , 2 √3). Jadi diperoleh cos
2𝜋 3
1
= − 2 dan sin
2𝜋 3
1
= 2 √3. 𝜋
Coba ambil sebarang 𝜃 dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2 . Kemudian tarik garis lurus dari titik pusat lingkaran ke lingkaran sebut dengan titik 𝑄. Lakukan pencerminan titik tersebut terhadap sumbu Y atau garis 𝑥 = 0 dan sebut bayangannya dengan 𝑄′. Akan diperoleh bahwa 𝑥𝑄′ = −𝑥𝑄 dan 𝑦𝑄′ = 𝑦𝑄 . Dari proses tersebut diperoleh
9
Untuk 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋 2
berlaku cos(𝜋 − 𝜃) = − cos 𝜃 sin(𝜋 − 𝜃) = sin 𝜃
Diperoleh nilai-nilai fungsi trigonometri untuk beberapa sudut istimewa yang diberikan pada Tabel 1.1. Tabel 1.1 nilai-nilai fungsi trigonometri untuk beberapa sudut istimewa 𝜃 𝑥 = cos 𝜃 𝑦 = sin 𝜃 𝑦 = tan 𝜃 𝑥 0 1 0 0 0 1 1 1 30 √3 √3 2 2 3 1 1 450 1 √2 √2 2 2 1 1 600 √3 √3 2 2 900 0 1 TA 0 1 1 120 −√3 − √3 2 2 1 1 1350 −1 − √2 √2 2 2 1 1 1 1500 − √3 − √3 2 2 3 0 180 1 0 0 Untuk memperjelas pemahaman saudara, silahkan perhatikan [VIDEO ANIMASI PENENTUAN NILAI FUNGSI TRIGONOMETRI DENGAN MENGGUNAKAN
LINGKARAN
SATUAN]
https://www.youtube.com/watch?v=iecHeLZgf1w; https://www.youtube.com/watch?v=jcmxrXXGxoc; https://www.youtube.com/watch?v=lNFG3F3oYUc]
10
pada
[link
Grafik fungsi sinus diberikan pada Gambar 1.4. Y 1 2𝜋
X
O
–2𝜋
f
–1
Gambar 1.4 Grafik 𝑓: [−2𝜋, 2𝜋] → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 Grafik fungsi cosinus diberikan pada Gambar 1.5. Y g
1
2𝜋 –2𝜋
X
O –1
Gambar 1.5 Grafik 𝑔: [−2𝜋, 2𝜋] → ℝ dengan 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 Grafik fungsi tangen diberikan pada Gambar 1.6. Y h
1 –2−𝜋
2𝜋 O –1
X
Gambar 1.6 Grafik ℎ dengan ℎ(𝑥) = tan 𝑥 Beberapa sifat dari fungsi trigonometri di berikan pada Teorema 1.1. Teorema 1.1 1.
sin2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1.
2.
Jika cos 𝜃 ≠ 0, maka 1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃.
3.
Jika sin 𝜃 ≠ 0, maka 1 + cot 2 𝜃 = csc 2 𝜃.
11
4.
sin(−𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(−𝜃) = cos 𝜃.
5.
sin ( 2 − 𝜃) = cos 𝜃 dan cos ( 2 − 𝜃) = sin 𝜃.
6.
sin ( 2 + 𝜃) = cos 𝜃 dan cos ( 2 + 𝜃) = − sin 𝜃.
7.
sin(𝜋 − 𝜃) = sin 𝜃 dan cos(𝜋 − 𝜃) = − cos 𝜃.
8.
sin(𝜋 + 𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(𝜋 + 𝜃) = − cos 𝜃.
9.
sin ( 2 − 𝜃) = − cos 𝜃 dan cos ( 2 − 𝜃) = − sin 𝜃.
10.
sin ( 2 + 𝜃) = − cos 𝜃 dan cos ( 2 + 𝜃) = sin 𝜃.
11.
sin(2𝜋 − 𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(2𝜋 − 𝜃) = cos 𝜃.
12.
sin(2𝜋 + 𝜃) = sin 𝜃 dan cos(2𝜋 + 𝜃) = cos 𝜃.
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
3𝜋
3𝜋
3𝜋
Bukti untuk teorema ditinggalkan pada pembaca untuk latihan. Silahkan saudara diskusikan bukti dari sifat-sifat pada Teorema 1.1 dengan menggunakan Gambar 1.3.
Contoh 1.1 1
Jika sin 𝑥 = 5 √5 dan 𝑥 terletak pada kuadran pertama maka nilai dari 𝜋
cos 𝑥 − 5 cos (𝑥 + 2 ) + 2 sin(𝜋 − 𝑥) adalah .... Penyelesaian: 1
4
2
Karena cos 2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥 = 1 − 5 = 5 ⇔ cos 𝑥 = 5 √5, 𝜋
cos (𝑥 + 2 ) = − sin 𝑥 dan sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 maka diperoleh 𝜋 cos 𝑥 − 5 cos (𝑥 + ) + 2 sin(𝜋 − 𝑥) = cos 𝑥 + 5. sin 𝑥 + 2 sin 𝑥 2 2
1
1
9
= 5 √5 + 5. 5 √5 + 2. 5 √5 = 5 √5. b. Aturan sinus dan cosinus Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶, dapat ditunjukkan bahwa luas daerah 𝐴𝐵𝐶 dinotasikan dengan [𝐴𝐵𝐶] bernilai [𝐴𝐵𝐶] = sudut pandang lainnya diperoleh
12
𝑎𝑏 sin 𝐶 2
. Dengan menggunakan
[𝐴𝐵𝐶] =
𝑎𝑏 sin 𝐶 𝑏𝑐 sin 𝐴 𝑐𝑎 sin 𝐵 = = . 2 2 2
Apabila dikalikan dengan
2 𝑎𝑏𝑐
maka diperoleh aturan sinus seperti pada
Teorema 1.2. Teorema 1.2 (Aturan Sinus) Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 = = atau = = 𝑎 𝑏 𝑐 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 dengan 𝑎 panjang sisi di depan sudut 𝐴, 𝑏 panjang sisi di depan sudut 𝐵, dan 𝑐 panjang sisi di depan sudut 𝐶.
Gambar 1.7 berikut akan kita gunakan untuk membuktikan perluasan aturan sinus tersebut. 𝐴 𝐷
𝑂
𝐵 𝑀
𝐶
Gambar 1.7 Segitiga dan lingkaran luar segitiga Dimisalkan lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶 mempunyai pusat di 𝑂 dan panjang jari-jari 𝑅. Jelas segitiga 𝐵𝑂𝐶 merupakan segitiga sama kaki. Jadi ∠𝑂𝐵𝐶 = ∠𝑂𝐶𝐵. Tarik garis dari titik 𝐴 ke titik 𝑂. Perhatikan Gambar 1.8.
13
𝐴 𝐷
𝑂 𝛽
𝛾
𝛼 𝐵
𝐶
𝑀
Gambar 1.8 Besar sudut pusat dan sudut keliling Dari Gambar 1.8, terlihat bahwa segitiga 𝐴𝑂𝐵 dan segitiga 𝐴𝑂𝐶 juga merupakan segitiga sama kaki. Jadi ∠𝑂𝐴𝐵 = ∠𝑂𝐵𝐴 dan ∠𝑂𝐴𝐶 = ∠𝑂𝐶𝐴. Sebut ∠𝑂𝐵𝐶 = 𝛼, ∠𝑂𝐵𝐴 = 𝛽, dan ∠𝑂𝐶𝐴 = 𝛾. Jelas ∠𝐵𝑂𝐶 = 180° − 2𝛼 dan ∠𝐵𝐴𝐶 = 𝛽 + 𝛾. Jelas ∠𝐵𝐴𝐶 = 180° − [(𝛼 + 𝛽) + (𝛼 + 𝛾)] ⇔ 𝛽 + 𝛾 = 180° − 2𝛼 − 𝛽 − 𝛾 ⇔ 2(𝛽 + 𝛾) = 180 − 2𝛼 ⇔ 2∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶. Titik 𝑀 merupakan titik tengah pada garis 𝐵𝐶 dan 𝑂𝑀 ⊥ 𝐵𝐶. Karena segitiga 𝑂𝐵𝐶 merupakan segitiga semi kaki maka |𝑂𝐵| = |𝑂𝐶| = 𝑅 dan diperoleh juga bahwa ∠𝐵𝑂𝑀 = ∠𝐶𝑂𝑀 = ∠𝐶𝐴𝐵 sehingga pada segitiga siku-siku 𝐵𝑀𝑂 berlaku |𝐵𝑀| = |𝑂𝐵| sin 𝐴. 𝑎
|𝐵𝐶|
Diperoleh sin 𝐴 = sin 𝐴 =
2|𝐵𝑀| sin 𝐴
=
2|𝑂𝐵| sin 𝐴 sin 𝐴
= 2|𝑂𝐵| = 2𝑅.
Berdasarkan Teorema 1.2 dapat diperoleh perluasan dari aturan sinus yang diberikan pada Teorema 1.3.
14
Teorema 1.3 (Perluasan Aturan Sinus) Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 dengan 𝑅 merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga.
Contoh 1.2. Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶, sudut 𝐶 tiga kali besar sudut 𝐴 dan sudut 𝐵 dua kali besar sudut 𝐴. Tentukan perbandingan (rasio) antara panjang 𝐴𝐵 dengan 𝐵𝐶. Penyelesaian: Dipunyai ∠𝐶 = 3∠𝐴 dan ∠𝐵 = 2∠𝐴. Karena ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180° maka diperoleh ∠𝐴 = 30°, ∠𝐵 = 60°, dan ∠𝐶 = 90°. 𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐴𝐵
sin ∠C
sin 90°
2
Jelas sin ∠C = sin ∠A ⇔ 𝐵𝐶 = sin ∠A = sin 30° = 1. Jadi 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 2: 1.
Contoh 1.3 Segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 1 satuan. Melalui 𝐵 dibuat garis yang tegak lurus 𝐵𝐶. Garis tersebut berpotongan dengan perpanjangan garis 𝐴𝐶 di titik 𝐷. panjang 𝐵𝐷 adalah … satuan. Penyelesaian: Jelas ∠𝐶𝐵𝐴 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 60° sehingga ∠𝐴𝐵𝐷 = 30°, ∠𝐵𝐴𝐷 = 2.60° = 120°, dan ∠𝐴𝐷𝐵 = 90° − ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°. 𝐵𝐷
𝐴𝐵
Jadi sin ∠𝐵𝐴𝐷 = sin ∠𝐴𝐷𝐵 sin ∠𝐵𝐴𝐷
⇔ 𝐵𝐷 = sin ∠𝐴𝐷𝐵 =
sin 120° sin 30°
=
1 √3 2 1 2
= √3.
15
Teorema 1.4 (Aturan Cosinus) Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Contoh 1.4 Sebuah perahu berlayar ke arah timur sejauh 100 km, kemudian memutar pada arah 30° sejauh 120 km hingga berhenti. Jarak perahu dari tempat mula mula berlayar ke tempat pemberhentian adalah .... Penyelesaian: Perhatikan Gambar 1.9.
C
U
A
U
100 km
B
Gambar 1.9 Sketsa pergerakan perahu Misalkan titik A adalah titik mula-mula dan titik C merupakan titik pemberhentian perahu. Jelas bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 = 90° + 30° = 120°. Diketahui bahwa panjang 𝐴𝐵 = 100 km dan panjang 𝐵𝐶 = 120 km. Dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 − 2 ⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐵𝐶 ⋅ cos ∠𝐴𝐵𝐶 = 1002 + 1202 − 2 ⋅ 100 ⋅ 120 ⋅ cos 1200
16
1 = 10.000 + 14.400 − 2 ⋅ 100 ⋅ 120 ⋅ (− ) 2 = 24.400 + 12.000 = 36.400 = 100 × 4 × 91. Jadi 𝐴𝐶 = √100 × 4 × 91 = 10 × 2 × √91 = 20√91 Jadi, jarak kapal dari tempat mula-mula ke tempat pemberhentian adalah 20√91 km.
Contoh 1.5 Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝑎 = 8 cm, 𝑏 = 5 cm, dan 𝑐 = 12 cm. Tentukan besar sudut 𝐵. Penyelesaian: Dengan mengunakan aturan cosinus diperoleh 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 ⇔ cos 𝐵 =
𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏 2 82 + 122 − 52 ⇔ cos 𝐵 = 2𝑎𝑐 2.8.12 183
⇔ cos 𝐵 = 192 ⇔ cos 𝐵 = 0,953 ⇔ 𝐵 = cos−1 0,953 = 17,6°. c. Periode dan amplitudo fungsi trigonometri Definisi fungsi periodik diberikan berikut ini. Definisi 1.2 Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan periodik jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 . Nilai 𝑝 terkecil disebut periode. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa −2𝜋, 2𝜋, 4𝜋, dan 12𝜋 merupakan bilangan-bilangan yang sin(𝑥 + 𝑝) = sin 𝑥. Dari nilai-nilai tersebut, dapat kita peroleh nilai 𝑝 positif terkecil yang memenuhi sin(𝑥 + 𝑝) = sin 𝑥 yaitu 2𝜋. Dari sini dapat dikatakan bahwa fungsi sinus mempunyai periode 2𝜋.
17
Fungsi dengan nilai sin(𝑎𝑡) mempunyai periode sin [𝑎 (𝑥 +
2𝜋 𝑎
karena
2𝜋 )] = sin(𝑎𝑥 + 2𝜋) = sin(𝑎𝑥) 𝑎
Jelas bahwa periode fungsi cos(𝑎𝑥) juga sama yaitu
2𝜋 𝑎
.
Contoh 1.6 Tentukan periode dari fungsi-fungsi dengan nilai berikut. (𝑎) cos(2𝜋𝑡)
(𝑏) cos(4𝑡)
(𝑐) sin (
2𝜋𝑡 ) 12
Penyelesaian: (a) Dari cos(2𝜋𝑡) = cos 𝑎𝑡, diperoleh 𝑎 = 2𝜋. Jadi periode dari fungsi tersebut adalag 𝑝 =
2𝜋 𝑎
2𝜋
= 2𝜋 = 1.
(b) Dari cos(4𝑡) = cos 𝑎𝑡, diperoleh 𝑎 = 4. Jadi periode dari fungsi tersebut adalag 𝑝 = 2𝜋𝑡
(c) Dari sin ( 12 ) = sin 𝑎𝑡, diperoleh 𝑎 =
2𝜋 12
2𝜋 𝑎
=
2𝜋 4
1
= 2 𝜋.
.
Jadi periode dari fungsi tersebut adalag 𝑝 =
2𝜋 𝑎
=
2𝜋 2𝜋 12
= 12.
Jika suatu fungsi periodik 𝑓 mencapai sebuah minimum dan maksimum maka kita dapat mendefinisikan Amplitudo (𝑨) sebagai setengah jarak vertikal dari titik maksimum dan minimum pada grafik 𝑓.
Contoh 1.7 Tentukan amplitudo dari fungsi-fungsi dengan nilai berikut. 2𝜋𝑡 (𝑎) cos ( ) 12
(𝑏) 40 + 21 sin (
2𝜋𝑡 + 3) 12
Penyelesaian: (a) Jelas
min
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋
2𝜋𝑡
cos ( 12 ) = −1 dan
max
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋
1
1
min
sin ( 12 + 3) = −1 dan
2𝜋𝑡
cos ( 12 ) = 1.
Jadi 𝐴 = 2 (1 − (−1)) = 2 . 2 = 1. (b) Jelas
18
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋
2𝜋𝑡
max
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋
2𝜋𝑡
sin ( 12 + 3) = 1
⇔ ⇔
2𝜋𝑡
min
21. sin ( 12 + 3) = −21 dan
min
[40 + 21. sin ( 12 + 3)] = 19 dan
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋 −2𝜋≤𝑡≤2𝜋
max
−2𝜋≤𝑡≤2𝜋
2𝜋𝑡
sin ( 12 + 3) = 21
2𝜋𝑡
2𝜋𝑡 [40 + 21. sin ( + 3)] = 61. −2𝜋≤𝑡≤2𝜋 12 max
1
1
Jadi 𝐴 = 2 (61 − 19) = 2 . 42 = 21. Fungsi dengan nilai 𝐶 + 𝐴 sin(𝑎(𝑡 + 𝑏)) dan 𝐶 + 𝐴 cos(𝑎(𝑡 + 𝑏)) mempunyai periode
2𝜋 𝑎
dan Amplitudo 𝐴.
2. Invers Fungsi Trigonometri Saudara masih ingat bahwa syarat cukup suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut injektif (satu-satu). Dalam penggambaran geometri, berarti setiap garis horisontal yang dibentuk pada range fungsi tersebut akan memotong grafik tepat di satu titik. Dalam aplikasinya, setiap fungsi yang monoton naik atau turun dengan sangat jelas memenuhi kriteria fungsi injektif ini. Lebih lengkapnya diberikan pada Teorema 1.5. Teorema 1.5 Jika 𝑓 merupakan fungsi yang benar-benar monoton naik atau turun pada domainnya maka 𝑓 mempunyai invers. a. Invers fungsi sinus 𝜋 𝜋
Grafik fungsi 𝑓: [− 2 , 2 ] → [−1,1] dengan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑓 −1 diberikan pada Gambar 1.10. Y
𝑦 = 𝑥
: Grafik 𝑓 −1
𝑓 −1 𝑓
: Grafik 𝑓
X
Gambar 1.10 Grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 dengan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑓 −1 (𝑥) = sin−1 𝑥.
19
Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 fungsi injektif (Silahkan saudara tunjukkan). 𝜋 𝜋
Jadi 𝑓 −1 ada dengan 𝑓 −1 (𝑥) = sin−1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 = [− 2 , 2 ] dan 𝑅𝑓 = 𝜋 𝜋
[−1,1]; sedangkan 𝐷𝑓−1 = [−1,1] dan 𝑅𝑓−1 = [− , ]. 2 2 b. Invers fungsi cosinus Dipunyai 𝑓: [0, 𝜋] → [−1,1], 𝑓(𝑥) = cos 𝑥. Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 fungsi injektif (Silahkan saudara tunjukkan). Jadi 𝑓 −1 ada dengan 𝑓 −1 (𝑥) = cos −1 𝑥. Jelas 𝐷𝑓 = [0, 𝜋] dan 𝑅𝑓 = [−1,1]; sedangkan 𝐷𝑓−1 = [−1,1] dan 𝑅𝑓−1 = [0, 𝜋]. Grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 diberikan pada Gambar 1.11. Y
y=x
𝜋 f –1
O
𝜋 2
𝜋
X
f
Gambar 1.11 Grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 dengan 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 dan 𝑓 −1 (𝑥) = cos −1 𝑥. c. Invers fungsi tan 𝜋 𝜋
Dipunyai 𝑓: (− 2 , 2 ) → ℝ, 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. Dapat ditunjukkan bahwa 𝑓 fungsi injektif (Silahkan saudara tunjukkan). Jadi 𝑓 −1 ada dengan 𝑓 −1 (𝑥) = tan−1 𝑥. 𝜋 𝜋
Jelas 𝐷𝑓 = (− 2 , 2 ) dan 𝑅𝑓 = ℝ; sedangkan 𝐷𝑓−1 = ℝ dan 𝑅𝑓−1 = 𝜋 𝜋
(− , ). 2 2
Grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 diberikan pada Gambar 1.12.
20
Y f 𝜋 2 f –1
−
𝜋 2
X
𝜋 2 −
𝜋 2
Gambar 1.12 Grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 dengan 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 dan 𝑓 −1 (𝑥) = tan−1 𝑥. Sebagai latihan, silahkan saudara menggambarkan grafik fungsi cotan, secan, dan cosecan beserta inversnya, kemudian tentukan domain fungsi yang menyebabkan fungsi tersebut mempunyai invers. Tentukan juga domain fungsi inversnya.
d. Identitas invers fungsi trigonometri 1) Diberikan sin 𝜃 = 𝑥. Jelas 𝜃 = sin−1 𝑥. Kondisi ini dapat dilihat pada Gambar 1.13. 1
𝑥
𝜃 = sin−1 𝑥 √1 − 𝑥 2
Gambar 1.13 Segitiga dengan sin 𝜃 = 𝑥
Dari Gambar 1.13, diperoleh sin(sin−1 𝑥) = 𝑥. cos(sin−1 𝑥) = √1 − 𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1.
21
𝑥
tan(sin−1 𝑥) =
, −1 < 𝑥 < 1. √1 − 𝑥 2 1 csc(sin−1 𝑥) = , 𝑥 ≠ 0. 𝑥 1 sec(sin−1 𝑥) = , −1 < 𝑥 < 1. √1 − 𝑥 2 cot(sin−1 𝑥) =
√1 − 𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 dan 𝑥 ≠ 0. 𝑥
2) Diberikan cos 𝜃 = 𝑥. Jelas 𝜃 = cos −1 𝑥. Kondisi ini dapat dilihat pada Gambar 1.14.
1
√1 − 𝑥 2
𝜃 = cos −1 𝑥 𝑥
Gambar 1.14 Segitiga dengan cos 𝜃 = 𝑥
Dari Gambar 1.14, diperoleh sin(cos−1 𝑥) = √1 − 𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. cos(cos−1 𝑥) = 𝑥. √1 − 𝑥 2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 dan 𝑥 ≠ 0. 𝑥 1 csc(cos−1 𝑥) = , −1 < 𝑥 < 1. √1 − 𝑥 2 1 sec(cos−1 𝑥) = , 𝑥 ≠ 0. 𝑥 𝑥 cot(cos−1 𝑥) = , −1 < 𝑥 < 1. √1 − 𝑥 2 tan(cos−1 𝑥) =
3) Diberikan tan 𝜃 = 𝑥. Jelas 𝜃 = tan−1 𝑥.
22
Kondisi ini dapat dilihat pada Gambar 1.15.
√1 + 𝑥 2
𝑥
𝜃 = tan−1 𝑥 1
Gambar 1.15 Segitiga dengan tan 𝜃 = 𝑥
Dari Gambar 1.15, diperoleh 𝑥 sin(tan−1 𝑥) = . √1 + 𝑥 2 1 cos(tan−1 𝑥) = . √1 + 𝑥 2 tan(tan−1 𝑥) = 𝑥. csc(tan−1 𝑥) =
√1 + 𝑥 2 , 𝑥 ≠ 0. 𝑥
sec(tan−1 𝑥) = √1 + 𝑥 2 . cot(tan−1 𝑥) =
1 , 𝑥 ≠ 0. 𝑥
4) Diberikan sec 𝜃 = 𝑥. 1
Ingat bahwa sec −1 𝑦 = cos −1 (𝑦). Jelas 𝜃 = sec −1 𝑥. Kondisi ini dapat dilihat pada Gambar 1.16.
1 ට1 −
1 𝑥2
𝜃 = sec −1 𝑥 1 𝑥
Gambar 1.16 Segitiga dengan sec 𝜃 = 𝑥
23
Jelas √1 −
1 𝑥2
=√
𝑥2 − 1 𝑥2
=
√ 𝑥2 − 1 √ 𝑥2
=
√ 𝑥2 − 1 |𝑥|
.
Dari Gambar 1.16, diperoleh sin(sec −1 𝑥) = cos(sec −1 𝑥) = tan(sec −1 𝑥) = csc(sec −1 𝑥) =
√𝑥 2 − 1 , |𝑥| ≥ 1. |𝑥| 1 ,𝑥 ≠ 0 . 𝑥 𝑥
| 𝑥|
√ 𝑥2 − 1 = {
|𝑥| √𝑥 2 − 1
−√𝑥2 − 1, 𝑥 ≤ 1
√𝑥2 − 1, 𝑥 ≥ 1
, |𝑥| > 1.
sec(sec −1 𝑥) = 𝑥. −
cot(sec
−1
𝑥) =
1
√ 𝑥2 − 1 1
{ √ 𝑥2 − 1
,𝑥 < 1
,𝑥 > 1
Contoh 1.8 Tentukan nilai dari: 4 (𝑎) sin (tan−1 ) 3 4 (𝑏) cot (tan−1 ) 3 4 (𝑐) sec (tan−1 ) 3 Penyelesaian: Tulis 𝑥 = 3 dan 𝑦 = 4. 𝑦
Jelas 𝜃 = tan−1 𝑥 . Jelas 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5. 4 𝑦 4 Jadi sin (tan−1 ) = sin 𝜃 = = , 3 𝑟 5 4 𝑥 3 cot (tan−1 ) = cot 𝜃 = = , 3 𝑦 4
24
4 𝑟 5 sec (tan−1 ) = sec 𝜃 = = . 3 𝑥 3 3. Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri Untuk sebarang dua sudut 𝛼 dan 𝛽 dengan 0 < 𝛼, 𝛽 < 90°, tidak berlaku sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 + sin 𝛽 dan cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 + cos 𝛽. Sebagai 1
contoh, diberikan nilai 𝛼 = 𝛽 = 30°. Diperoleh cos(𝛼 + 𝛽) = cos 60° = 2 tetapi cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos 30° = √3. Berdasarkan hal tersebut, pada kajian berikutnya akan ditentukan hubungan antara sin(𝛼 + 𝛽) dan cos(𝛼 + 𝛽) dengan sin 𝛼 , sin 𝛽 , cos 𝛼 , dan cos 𝛽. Perhatikan Gambar 1.17. 𝐸
𝐴
𝐵
𝛼
𝐹 𝛼+𝛽 𝛼
𝛽 𝐶
𝐷 Gambar 1.17 Media untuk pembuktian sin jumlah sudut
Pada Gambar 1.17, segitiga 𝐷𝐸𝐹 merupakan segitiga siku-siku dengan ∠𝐷𝐸𝐹 = 90°, ∠𝐹𝐷𝐸 = 𝛽, dan |𝐷𝐹| = 1 berada di dalam persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Pada segitiga 𝐷𝐸𝐹, kita peroleh |𝐷𝐸| = |𝐷𝐹|. cos 𝛽 = cos 𝛽 |𝐸𝐹| = |𝐷𝐹|. sin 𝛽 = sin 𝛽 Pada segitiga 𝐴𝐷𝐸, kita peroleh |𝐴𝐷| = |𝐷𝐸|. cos 𝛼 = cos 𝛼 . cos 𝛽 |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|. sin 𝛼 = sin 𝛼 . sin 𝛽
25
Karena ∠𝐷𝐸𝐹 = 90°, maka jelas bahwa ∠𝐴𝐸𝐷 + ∠𝐵𝐸𝐹 = 90° = ∠𝐴𝐸𝐷 + ∠𝐴𝐷𝐸, sehingga ∠𝐵𝐸𝐹 = ∠𝐴𝐷𝐸 = 𝛼 . (cara lainnya dapat dilihat bahwa segitiga 𝐴𝐷𝐸 dan 𝐵𝐸𝐹 sebangun). Pada segitiga 𝐵𝐸𝐹, kita peroleh |𝐵𝐸| = |𝐸𝐹|. cos 𝛼 = cos 𝛼 . sin 𝛽 |𝐵𝐹| = |𝐸𝐹|. sin 𝛼 = sin 𝛼 . sin 𝛽 Jelas 𝐴𝐷 ∥ 𝐵𝐶 dan ∠𝐷𝐹𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐹 = 𝛼 + 𝛽 . Pada segitiga 𝐶𝐷𝐹, kita peroleh |𝐶𝐷| = |𝐷𝐹|. sin(𝛼 + 𝛽) = sin(𝛼 + 𝛽) |𝐶𝐹| = |𝐷𝐹|. cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼 + 𝛽) Jadi dapat kita peroleh cos 𝛼 . cos 𝛽 = |𝐴𝐷| = |𝐵𝐶| = |𝐵𝐹| + |𝐹𝐶| = sin 𝛼 . sin 𝛽 + cos(𝛼 + 𝛽) Dengan kata lain cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 − sin 𝛼 . sin 𝛽. Apabila 𝛽 diganti −𝛽 maka diperoleh cos(𝛼 − 𝛽) = cos (𝛼 + (−𝛽)) = cos 𝛼 . cos(−𝛽) − sin 𝛼 . sin(−𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 + sin 𝛼 . sin 𝛽. Dengan cara yang sama, sin(𝛼 + 𝛽) = |𝐶𝐷| = |𝐴𝐵| = |𝐴𝐸| + |𝐸𝐵| = sin 𝛼 . cos 𝛽 + cos 𝛼 . sin 𝛽 atau sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 + cos 𝛼 . sin 𝛽 Apabila 𝛽 diganti −𝛽 maka diperoleh sin(𝛼 − 𝛽) = sin(𝛼 + (−𝛽)) = sin 𝛼 . cos(−𝛽) + cos 𝛼 . sin(−𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 − cos 𝛼 . sin 𝛽. Jelas tan(𝛼 + 𝛽) =
sin(𝛼 + 𝛽) sin 𝛼 . cos 𝛽 + cos 𝛼 . sin 𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) cos 𝛼 . cos 𝛽 − sin 𝛼 . sin 𝛽
sin 𝛼 sin 𝛽 tan 𝛼 + tan 𝛽 cos 𝛼 + cos 𝛽 = = . sin 𝛼 . sin 𝛽 1 − tan 𝛼 . tan 𝛽 1− cos 𝛼 . cos 𝛽
26
Apabila 𝛽 diganti −𝛽 maka diperoleh tan(𝛼 − 𝛽) = tan(𝛼 + (−𝛽)) =
tan 𝛼 + tan(−𝛽) 1 − tan 𝛼 . tan(−𝛽)
=
tan 𝛼 − tan 𝛽 . 1 + tan 𝛼 . tan 𝛽
Dari proses di atas diperoleh Teorema 1.6. Teorema 1.6 (Identitas jumlah dan selisih sudut) cos(𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 . sin 𝛽 sin(𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 ± cos 𝛼 . sin 𝛽 tan(𝛼 ± 𝛽) =
tan 𝛼 ± tan 𝛽 1 ∓ tan 𝛼 . tan 𝛽
Apabila 𝛼 = 𝛽 maka akan diperoleh Teorema 1.7 Teorema 1.7 (Identitas sudut ganda) sin(2𝛼) = 2 sin 𝛼 . cos 𝛼 cos(2𝛼) = cos 2 𝛼 − sin2 𝛽 = 2 cos 2 𝛼 − 1 = 1 − 2 sin2 𝛼 tan(2𝛼) =
2 tan 𝛼 1 − tan2 𝛼
Dengan menggunakan cos(2𝛼) = 2 cos2 𝛼 − 1 = 1 − 2 sin2 𝛼 dapat diperoleh Teorema 1.8. Teorema 1.8 (Identitas setengah sudut) 𝛼 1 − cos 𝛼 𝛼 1 − cos 𝛼 sin ( ) = −√ ⋁ sin ( ) = √ 2 2 2 2 𝛼 1 + cos 𝛼 𝛼 1 + cos 𝛼 cos ( ) = −√ ⋁ cos ( ) = √ 2 2 2 2
27
Identitas jumlah fungsi trigonometri diberikan pada Teorema 1.9. Teorema 1.9 (Identitas jumlah fungsi trigonometri) 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ) . cos ( sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin ( ) 2 2 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ) . cos ( cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos ( ) 2 2 Identitas jumlah fungsi trigonometri diberikan pada Teorema 1.10. Teorema 1.10 (Identitas perkalian fungsi trigonometri) 1 sin 𝑥 . sin 𝑦 = − [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)] 2 1 cos 𝑥 . cos 𝑦 = [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)] 2 1 sin 𝑥 . cos 𝑦 = [sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)] 2 Contoh 1.9 Diketahui sin(𝑥 + 45)° + sin(𝑥 − 45) ° = 𝑎. Nilai dari sin 2𝑥 adalah .... Penyelesaian: Jelas sin(𝑥 + 45)° + sin(𝑥 − 45) ° = 𝑎 (𝑥 + 45°) + (𝑥 − 45°) (𝑥 + 45°) − (𝑥 − 45°) ⇔ 2 sin ( ) . cos ( )=𝑎 2 2 ⇔ 2 sin 𝑥 . cos 45 ° = 𝑎 1 ⇔ 2 sin 𝑥 ∙ √2 = 𝑎 2 𝑎 𝑎 ⇔ sin 𝑥 = √2 = . 2 √2 𝑎 2 𝑎2 √2 − 𝑎2 Jelas cos 𝑥 = √1 − sin2 𝑥 = √1 − ( ) = √1 − = . 2 √2 √2 Jadi sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 = 2.
28
𝑎 √2
∙
√2 − 𝑎2 √2
= 𝑎√2 − 𝑎2 .
Contoh 1.10 Tentukan nilai dari cos
2𝜋 7
+ cos
4𝜋 7
+ cos
6𝜋 7
.
Penyelesaian: 𝜋 Tulis 𝜃 = . 7 1
Akan digunakan sifat sin 𝑥 . cos 𝑦 = 2 [sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)]. 2𝜋 4𝜋 6𝜋 + cos + cos = cos 2𝜃 + cos 4𝜃 + cos 6𝜃 7 7 7 (cos 2𝜃 + cos 4𝜃 + cos 6𝜃) × sin 𝜃 = sin 𝜃 sin 𝜃 . cos 2𝜃 + sin 𝜃 . cos 4𝜃 + sin 𝜃 . cos 6𝜃 = sin 𝜃 1 sin 3𝜃 + sin(−𝜃) + sin 5𝜃 + sin(−3𝜃) + sin 7𝜃 + sin(−5𝜃) = . 2 sin 𝜃 1 sin 3𝜃 − sin 𝜃 + sin 5𝜃 − sin 3𝜃 + sin 7𝜃 − sin 5𝜃 = . 2 sin 𝜃 1 sin 7𝜃 − sin 𝜃 = . 2 sin 𝜃 1 sin 𝜋 − sin 𝜃 = . 2 sin 𝜃 1 − sin 𝜃 = . 2 sin 𝜃 1 =− . 2 Jelas cos
Untuk memperjelas pemahaman saudara, saudara dapat melihat ppt berikut ini. [PPT-M3-KB1]
E. Forum Diskusi Dengan berdiskusi bersama teman sejawat saudara, silahkan buktikan Teorema 1.7 sampai Teorema 1.10.
29
F. Rangkuman Selamat ya ...... saudara telah berhasil menyelesaikan kegiatan belajar tentang Fungsi Trigonometri. Hal-hal penting yang telah saudara pelajari dalam kegiatan belajar ini dapat dibaca pada rangkuman berikut ini. 1.
𝑏
𝑎
𝑏
Pada sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶, sin 𝐵 = 𝑐 , cos 𝐵 = 𝑐 , dan tan 𝐵 = 𝑎 dengan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 merupakan panjang sisi-sisi yang berada di depan sudut 𝐴, 𝐵, dan 𝐶.
2.
Fungsi trigonometri lainnya didefinisikan: tan 𝜃 =
3.
sin 𝜃 , cos 𝜃
cot 𝜃 =
1 1 1 , sec 𝜃 = , dan csc 𝜃 = . tan 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃
Sifat-sifat fungsi trigonometri diberikan berikut. a. sin2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1. b. Jika cos 𝜃 ≠ 0, maka 1 + tan2 𝜃 = sec 2 𝜃. c. Jika sin 𝜃 ≠ 0, maka 1 + cot 2 𝜃 = csc 2 𝜃. d. sin(−𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(−𝜃) = cos 𝜃. 𝜋
𝜋
2
2
𝜋
𝜋
e. sin ( − 𝜃) = cos 𝜃 dan cos ( − 𝜃) = sin 𝜃. f. sin ( 2 + 𝜃) = cos 𝜃 dan cos ( 2 + 𝜃) = − sin 𝜃. g. sin(𝜋 − 𝜃) = sin 𝜃 dan cos(𝜋 − 𝜃) = − cos 𝜃. h. sin(𝜋 + 𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(𝜋 + 𝜃) = − cos 𝜃. 3𝜋
3𝜋
3𝜋
3𝜋
i. sin ( 2 − 𝜃) = − cos 𝜃 dan cos ( 2 − 𝜃) = − sin 𝜃. j. sin ( 2 + 𝜃) = − cos 𝜃 dan cos ( 2 + 𝜃) = sin 𝜃. k. sin(2𝜋 − 𝜃) = − sin 𝜃 dan cos(2𝜋 − 𝜃) = cos 𝜃. l. sin(2𝜋 + 𝜃) = sin 𝜃 dan cos(2𝜋 + 𝜃) = cos 𝜃. 4.
Aturan sinus mengatakan bahwa pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 = = atau = = 𝑎 𝑏 𝑐 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 dengan 𝑎 panjang sisi di depan sudut 𝐴, 𝑏 panjang sisi di depan sudut 𝐵, dan 𝑐 panjang sisi di depan sudut 𝐶. Aturan tersebut diperluas menjadi
30
𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶 dengan 𝑅 merupakan jari-jari lingkaran luar segitiga 5.
Aturan cosinus mengatakan bahwa Pada suatu segitiga 𝐴𝐵𝐶 berlaku 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
6.
Sebuah fungsi 𝑓 dikatakan periodik jika terdapat sebuah bilangan positif 𝑝 sehingga 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 . Nilai 𝑝 terkecil disebut periode.
7.
Fungsi dengan nilai sin(𝑎𝑡) mempunyai periode sin [𝑎 (𝑥 +
9.
2𝜋
Fungsi dengan nilai 𝐶 + 𝐴 sin(𝑎(𝑡 + 𝑏)) mempunyai periode
𝑎
karena
2𝜋 )] = sin(𝑎𝑥 + 2𝜋) = sin(𝑎𝑥) 𝑎
dan periode fungsi cos(𝑎𝑥) juga sama yaitu 8.
2𝜋
2𝜋 𝑎
𝑎
. dan 𝐶 + 𝐴 cos(𝑎(𝑡 + 𝑏))
dan Amplitudo 𝐴.
Fungsi dengan 𝑓(𝑥) = sin−1 𝑥 mempunyai 𝐷𝑓 = [−1,1] dan 𝑅𝑓 = 𝜋 𝜋
[− 2 , 2 ]. 10. Fungsi dengan 𝑓(𝑥) = cos−1 𝑥 mempunyai 𝐷𝑓 = [−1,1] dan 𝑅𝑓 = [0, 𝜋]. 𝜋 𝜋
11. Fungsi dengan 𝑓(𝑥) = tan−1 𝑥 mempunyai 𝐷𝑓 = ℝ dan 𝑅𝑓 = (− 2 , 2 ). 12. Identitas invers fungsi trigonometri diberikan berikut. a. sin(cos−1 𝑥) = √1 − 𝑥 2 b. cos(sin−1 𝑥) = √1 − 𝑥 2 c. sec(tan−1 𝑥) = √1 + 𝑥 2 d. tan(sec −1 𝑥) =
𝑥
√ 𝑥2 − 1 = { | 𝑥|
−√𝑥2 − 1, 𝑥 ≤ 1
√𝑥2 − 1, 𝑥 ≥ 1
.
13. Identitas jumlah dan selisih sudut diberikan berikut. a. cos(𝛼 ± 𝛽) = cos 𝛼 . cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 . sin 𝛽 b. sin(𝛼 ± 𝛽) = sin 𝛼 . cos 𝛽 ± cos 𝛼 . sin 𝛽 31
tan 𝛼±tan 𝛽
c. tan(𝛼 ± 𝛽) = 1∓tan 𝛼.tan 𝛽 14. Identitas sudut ganda diberikan berikut. a. sin(2𝛼) = 2 sin 𝛼 . cos 𝛼 b. cos(2𝛼) = cos 2 𝛼 − sin2 𝛽 = 2 cos 2 𝛼 − 1 = 1 − 2 sin2 𝛼 2 tan 𝛼
c. tan(2𝛼) = 1−tan2 𝛼 15. Identitas setengah sudut diberikan berikut. 𝛼
1−cos 𝛼
a. sin ( 2 ) = −ට
2
𝛼
1+cos 𝛼
b. cos ( 2 ) = −ට
2
𝛼
1−cos 𝛼
⋁ sin ( 2 ) = ට
2
𝛼
1+cos 𝛼
⋁ cos ( 2 ) = ට
2
16. Identitas jumlah fungsi trigonometri diberikan berikut. 𝑥+𝑦
a. sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin (
2
𝑥+𝑦
b. cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos (
2
𝑥−𝑦
) . cos (
2
)
𝑥−𝑦
) . cos (
2
)
17. Identitas perkalian fungsi trigonometri diberikan berikut 1
a. sin 𝑥 . sin 𝑦 = − [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)] 2
1
b. cos 𝑥 . cos 𝑦 = 2 [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)] 1
c. sin 𝑥 . cos 𝑦 = 2 [sin(𝑥 + 𝑦) + sin(𝑥 − 𝑦)] Untuk menentukan tingkat penguasaan saudara terhadap materi ini, silahkan kerjakan tes berikut ini. Kunci jawaban diberikan pada akhir modul ini.
G. Tes Formatif Pilihlah jawaban yang tepat dari setiap persoalan berikut. 1
1. Jika cos 𝑥 = 5 √5 dan 𝑥 terletak pada kuadran pertama maka nilai dari 𝜋
sin 𝑥 − 5 sin (𝑥 + 2 ) + 2 cos(𝜋 − 𝑥) adalah .... A. −
1 √5
B. −√5 C.
32
1 √5
D. E.
9 5
√5
13 5
√5 1
tan 𝑥 = 5 √5
2. Jika
dan
𝑥
terletak
pada
kuadran
pertama
serta
𝜋 cos ( 2 − 𝑥) 𝐴= 𝜋 cos 𝑥 − 5 cos (𝑥 + 2 ) + 2 sin(𝜋 − 𝑥) maka nilai dari
𝐴2 −2𝐴+1 𝐴−𝐴2
adalah ….
A. −8 + √5 B. −4 + √5 C. 2 + √5 D. 6 + √5 E. 8 + √5 𝜃
𝑥−1
3. Jika 𝜃 sebuah sudut lancip dan sin ( 2) = ට 2𝑥 maka tan 𝜃 adalah .... 𝑥−1
A. ට𝑥+1 𝑥 2 −1
B. ට
𝑥 𝑥 2 −1
C. ට
2𝑥
D. √𝑥 − 1 E. √𝑥 2 − 1 4. Bentuk sederhana dari √sin4 𝑥 + 4 cos 2 𝑥 − √cos4 𝑥 + 4 sin2 𝑥 adalah .... A. cos 2𝑥 B. sin 2𝑥 C. cos2 𝑥 D. sin2 𝑥 E. cos2 𝑥 − 1 5. Jika sin 𝑥 + 𝑎 cos 𝑥 = 𝑏 maka |𝑎 sin 𝑥 − cos 𝑥| = ⋯ A. √𝑎2 − 𝑏 2 + 1
33
B. √𝑎2 + 𝑏 2 + 1 C. 𝑎2 − 𝑏 2 + 1 D. 𝑎2 + 𝑏 2 + 1 E. 𝑎2 − 𝑏 2 − 1
6. Diberikan sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶. Melalui 𝐵 dibuat garis yang tegak lurus 𝐴𝐶. Garis tersebut berpotongan dengan garis 𝐴𝐶 di titik 𝐷 sehingga perbandingan panjang 𝐴𝐷 dan 𝐶𝐷 adalah 1: 3. Jika luas daerah segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 64 satuan 1
luas dan perbandingan panjang 𝐴𝐵 dan 𝐵𝐶 adalah √5 ∶ 2 √2 maka nilai dari sin 𝐴 sin 𝐶
adalah .... 5
A. ට2 B. √10 C. D. E.
√2 2√5 2√5 5 5√2 2 𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
7. Nilai dari sin ( 3 + 𝑝) cos ( 6 − 𝑝) + cos ( 3 + 𝑝) . sin ( 6 − 𝑝) adalah .... A. 1 B. C.
1 2 1 3
√2 √2 1
D. − 2 √2 1
E. − 3 √2 2
8. Jika 𝐴 − 𝐵 = 30° dan sin 𝐴 . cos 𝐵 = 3 , maka nilai dari sin 2𝐴 + sin 2𝐵 adalah .... A. 1 B.
34
5 6
√3
C. D. E.
1
√3
2 1
√2
2
1 2 1
9. Nilai dari sin (2 tan−1 3) + cos(tan−1 2√2) adalah .... A. B. C. D. E.
3 √10 5 √10 3 √10 14 15
√2
14 15 1
10. Jika sudut 𝛼 memenuhi cos2 𝛼 + 2 sin(𝜋 − 𝛼) = sin2 (𝜋 + 𝛼) + 1 2 maka nilai dari sin 𝛼 adalah .... A. 1 B. C. D.
1 2 1 2
√3 √2
1 2
E. 0
H. Daftar Pustaka [1] Chotim, M. 2012. Diktat Mata Kuliah Kalkulus 1. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. [2] Clark, D.N. 2000. A Volume in The Comprehensive Dictionary of Mathematics: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. Florida: CRC Press LLC. [3] Varberg, D., Purcell, E.J., & Rigdon, S. 2007. Calculus Ninth Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education [4] Andreescu, T. & Feng, F. 2005. 103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team. Boston: Birkhäuser 35
[5] Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, Direktoral Jenderal Pendidikan Anak Usia Dini dan Pendidikan Masyarajat, Direktorat Pembinaan Pendidikan Keaksaraan dan Kesetaraan. 2017. Modul 5. Penerapan Trigonometri dalam Pengembangan Ilmu
dan Teknologi
dalam Kehidupan
Sehari-hari,
Matematika Paket C Setara SMA/MA.
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif Cocokkanlah jawaban saudara dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan saudara terhadap materi pada kegiatan belajar ini. Tingkat Penguasaan (TP) =
banyak jawaban benar banyak soal
x 100% .
Arti tingkat penguasaan: 90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik 80% ≤ TP < 90%
: baik
70% ≤ TP < 80%
: cukup
TP < 70%
: kurang
Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Bagus! saudara telah berhasil mempelajari materi pada kegiatan belajar ini. Apabila tingkat penguasaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.
36
No Kode: DAR 2/Profesional/180/3/2019 PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 3 KALKULUS DAN TRIGONOMETRI KB 2. Fungsi, Jenis Fungsi, dan Limit Fungsi
Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2019
37
38
A. Pendahuluan Salam bahagia para mahasiswa PPG yang bersemangat. Selamat mengikuti kegiatan belajar yang ke-2 ini dengan materi fungsi, jenis fungsi, dan limit fungsi. Untuk mengawali kegiatan belajar ini, Saudara tentunya pernah melihat, membaca, atau mendengar berita gempa yang pusatnya berada di wilayah laut Indonesia, BMKG merilis bahwa dalam gempa tersebut berpotensi atau tidak berpotensi tsunami. Bagaimanakah proses yang dilakukan BMKG sehingga dapat memperkirakan potensi tsunami tersebut? Tuliskan jawaban Saudara pada secarik kertas dengan mengaitkan apakah ada kemungkinan memanfaatkan pemodelan matematika yang melibatkan materi fungsi. Pada kegiatan belajar ke-2 ini, Saudara akan mengkaji konsep fungsi dan limit fungsi. Fungsi merupakan objek utama yang dikaji dalam modul Kalkulus dan Trigonometri ini. Fungsi dikaji dari definisi, sifat, jenis, limit, kekontinuan, turunan, dan integral serta aplikasinya. Prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar 2 ini adalah saudara-saudara telah menguasai materi logika, himpunan, nilai mutlak, barisan, dan persamaan linear. Kegiatan belajar ini dikemas dalam enam sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai berikut. • Sub Kajian 1: Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi • Sub Kajian 2: Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers • Sub Kajian 3: Limit Fungsi • Sub Kajian 4: Limit Sepihak • Sub Kajian 5: Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga • Sub Kajian 6: Kekontinuan Fungsi. Penerapan matematika dalam ilmu-ilmu lain seperti fisika, kimia, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan bidang lainnya paling banyak menggunakan pemodelan matematika yang menerapkan berbagai jenis fungsi dan juga limit fungsi. Beberapa penerapan fungsi dalam kehidupan sehari-hari diantaranya fungsi permintaan dan penawaran dalam bidang ekonomi, peluruhan unsur di kimia, kepadatan penduduk di geografi, dan fenomena gerak di fisika.
39
Proses pembelajaran untuk materi yang sedang Saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila Saudara mengikuti langkah-langkah belajar berikut ini. 11) Ingat kembali materi materi logika, himpunan, nilai mutlak, barisan, dan persamaan linear. Materi-materi tersebut merupakan materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini. 12) Pelajari materi pada kegiatan belajar ini dengan seksama, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri. 13) Cocokkan jawaban tes formatif Saudara dengan kunci jawaban yang diberikan. 14) Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat penguasaan Saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini. 15) Keberhasilan pembelajaran Saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan Saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga Saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreativitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. Mahasiswa juga diharapkan mampu menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang terkait fungsi, jenis fungsi, dan
40
limit fungsi. Lebih lengkapnya, setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan fungsi, jenis fungsi dan operasi pada fungsi, 2. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan komposisi fungsi dan fungsi invers, 3. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan limit fungsi, 4. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan limit sepihak, 5. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan limit limit tak hingga dan limit di tak hingga, dan 6. menguasai teori dan mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan kekontinuan fungsi.
C. Pokok-Pokok Materi Materi yang dipelajari dalam kegiatan belajar ini antara lain: 1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi 2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 3. Limit Fungsi 4. Limit Sepihak 5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 6. Kekontinuan Fungsi.
41
D. Uraian Materi 1. Fungsi, Jenis Fungsi dan Operasi pada Fungsi a. Pengertian Fungsi Definisi fungsi merupakan suatu hal yang mendasar dalam Matematika. Mungkin Saudara pernah menerima informasi mengenai hal tersebut, namun dalam modul ini akan disajikan dalam bentuk yang sedikit berbeda, dengan menganggap fungsi sebagai suatu himpunan. Berikut ini disajikan definisi fungsi. Definisi 2.1 Dipunyai himpunan 𝐴 dan 𝐵. Suatu fungsi 𝑓 dari himpunan 𝐴 ke 𝐵 merupakan pasangan terurut 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi: (1) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∋ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (2) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧. Dalam Definisi 2.1 terdapat beberapa notasi atau simbol baru, yang mungkin belum Saudara kenal, yaitu: a. simbol huruf A terbalik yaitu ∀ artinya “untuk semua” (for all), b. simbol huruf E terbalik yaitu ∃ artinya “terdapat” (there exist), sedangkan c. simbol ∋ artinya “sedemikian sehingga” (such that). Selanjutnya apabila (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, ditulis 𝑦 = 𝑓(𝑥) atau 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑦 yang menyatakan y sebagai nilai fungsi 𝑓 di 𝑥. Dengan kata lain fungsi f mengaitkan bilangan x dengan bilangan y, atau dapat juga dikatakan fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 pemetaan dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵. Suatu fungsi dari 𝐴 ke 𝐵 dapat digambarkan sebagai suatu grafik (Gambar 2.1) dan dapat juga digambarkan sebagai suatu pemetaan (Gambar 2.2).
42
Gambar 2.1: Grafik fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵.
Gambar 2.2: Fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 sebagai suatu pemetaan. Himpunan 𝐴 disebut daerah asal (domain) fungsi 𝑓 diberi lambang 𝐷𝑓 , sedangkan {𝑦 ∈ 𝐵 | (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓} disebut daerah hasil (range) fungsi f dan diberi lambang 𝑅𝑓 . Contoh 2.1 Periksa pengaitan-pengaitan berikut ini merupakan fungsi atau bukan: (a) 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥, (b) ℎ: [– 5,5] → [– 5,5], 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25. Penyelesaian: (a) Akan diperiksa apakah 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 suatu fungsi atau bukan. (1) Bukti untuk syarat fungsi (1) Langkah 1: Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. [Catatan: untuk membuktikan sesuatu berlaku pada ℝ, diambilah sebarang anggota ℝ. Tidak boleh hanya diambil contohnya saja, misalkan saja 1 ∈ ℝ] Langkah 2: Diketahui 𝑥 = 𝑓(𝑥). Langkah 3: Pilihlah 𝑦 = 𝑥 ∈ ℝ. Langkah 4: Jelas dari definisi fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥. Langkah 5: Jadi ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∃ 𝑦 ∈ 𝑅 ∋ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. Memenuhi syarat fungsi (1) dari Definisi 2.1. (2) Bukti untuk syarat fungsi (2) Langkah 1: Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑓(𝑥) = 𝑦. Hal ini berarti (𝑥, 𝑥)dan (𝑥, 𝑦) keduanya di 𝑓. Langkah 2: Diperoleh 𝑥 = 𝑓(𝑥) = 𝑦. 43
Langkah 3: Jadi (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧. Memenuhi syarat fungsi (2) Berdasarkan (1) dan (2) menurut Definisi 2.1, 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥, merupakan suatu fungsi. (b) Perhatikan ℎ: [– 5,5] → [– 5,5], 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 dengan ℎ(𝑥) = 𝑦. Langkah 1: Pilih 𝑥 = 3 ∈ [– 5,5]. Langkah 2: Diperoleh 32 + 𝑦 2 = 25 ⇔ 𝑦 2 = 16 ⇔ 𝑦1 = −4 ∨ 𝑦2 = 4. Ini berarti ∃ 𝑥 ∈ [– 5,5] dengan ℎ(𝑥) = 𝑦1 = −4 ≠ 4 = 𝑦2 = ℎ(𝑥). Jadi ℎ bukan suatu fungsi. Grafik ℎ: [– 5,5] → [– 5,5], 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 dengan ℎ(𝑥) = 𝑦 tersaji pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3: Grafik 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 bukan merupakan fungsi Contoh 2.2 Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan sketsalah setiap grafik fungsi f berikut ini (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
(b)
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
(c) 𝑓(𝑥) = |𝑥|
(d)
𝑓(𝑥) =
Penyelesaian: (a) Dipunyai fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Beberapa nilai 𝑓: 𝑥 ... 𝑥 2 ...
44
–2 4
–1 1
0 0
1 1
2 4
... ...
𝑥 2 −1 𝑥−1
Gambar 2.4: Grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 Semua 𝑥 ∈ ℝ mempunyai nilai fungsi. Dengan demikian 𝐷𝑓 = ℝ. Sekarang perhatikan hasil atau nilai fungsinya, dengan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Nilai fungsi 𝑓 adalah semua bilangan non-negatif , dengan demikian 𝑅𝑓 = [0, +∞). (b) Dipunyai 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Beberapa nilai 𝑓: 𝑥 ... 𝑥 2 ...
–1 0
0 1
1 2
... ...
Gambar 2.5. Grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 Semua 𝑥 ∈ ℝ mempunyai nilai fungsi. Sehingga diperoleh 𝐷𝑓 = ℝ. Demikian juga semua 𝑥 ∈ ℝ merupakan hasil dari fungsi 𝑓, maka range fungsi 𝑓 adalah 𝑅𝑓 = ℝ.
45
(c) Dipunyai 𝑓(𝑥) = |𝑥|.
Gambar 2.6. Grafik 𝑓(𝑥) = |𝑥| Semua 𝑥 ∈ ℝ mempunyai nilai fungsi. Dengan demikian 𝐷𝑓 = ℝ. Sekarang perhatikan hasil atau nilai fungsi 𝑓, dengan fungsi 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Nilai fungsi 𝑓 adalah semua bilangan non-negatif , dengan demikian 𝑅𝑓 = [0, +∞). (d) Diketahui 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1 𝑥−1
= 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 1.
Tidak semua 𝑥 ∈ ℝ mempunyai nilai fungsi 𝑓. Nilai 𝑥 tersebut adalah 𝑥 = 1. Jadi 𝐷𝑓 = ℝ − {1}. Dengan demikian nilai 𝑓(𝑥) selain 𝑥 = 1 merupakan range. Jadi 𝑅𝑓 = 𝑅– {2}.
Gambar 2.7. Grafik 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1 𝑥−1
Perhatikan bahwa pada Gambar 2.7, nilai fungsi 𝑓(1) tidak ada, digambarkan dengan sebuah lingkaran berlubang. Contoh 2.3 Jika 𝑥 ∈ ℝ, ‖𝑥‖ didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan 𝑥. Dipunyai 𝑓: ℝ → 𝔹, 𝑓(𝑥) = ‖𝑥‖. Periksa apakah 𝑓 merupakan fungsi atau bukan. Penyelesaian:
46
Syarat fungsi (1): Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. Pilih 𝑦 = maks {𝑏 ∈ 𝔹 𝑏 ≤ 𝑥}. Jelas 𝑦 ∈ 𝔹 dan 𝑦 = 𝑓(𝑥). Jadi ∀ 𝑥 ∈ ℝ ∃ 𝑦 ∈ 𝔹 ∍ 𝑦 = 𝑓(𝑥). Syarat fungsi (2): Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝔹. Pilih 𝑦 = 𝑥 ∈ ℝ. Jelas 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥) = ‖𝑥‖ = 𝑥. Jadi ∀ 𝑥 ∈ 𝔹 ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∋ 𝑦 = 𝑓(𝑥). Jadi f merupakan suatu fungsi. Dengan mudah dapat dihitung bahwa: 𝑓([−2, −1)) = −2, 𝑓([−1, 0)) = −1,
𝑓([0, 1)) = 0,
𝑓([1, 2)) = 1,
⋮ 𝑓([𝑛– 1, 𝑛)) = 𝑛 − 1. Grafik 𝑓:
Gambar 2.8. Grafik 𝑓(𝑥) = ‖𝑥‖ b. Jenis Fungsi Jenis-jenis fungsi dalam Matematika banyak sekali. Beberapa klasifikasi fungsi diantaranya adalah sebagai berikut. Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut sifatnya ada tiga yaitu (a) fungsi satu-satu (injektif), (b) fungsi pada (surjektif), dan (c) fungsi bijektif. Jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut kemonotonannya ada dua, yaitu (a) fungsi naik dan (b) fungsi turun. Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi aljabar di antaranya (a) fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya yang dikenal sebagai fungsi polinomial, (b) fungsi rasional, (c) fungsi irrasional. Fungsi-fungsi yang tergolong jenis fungsi transenden di antaranya: (a) fungsi trigonometri, (b) fungsi invers
47
trigonometri (siklometri), (c) fungsi logaritma asli, (d) fungsi eksponensial, (e) fungsi hiperboliks. Terdapat juga jenis fungsi khusus seperti (a) fungsi dengan nilai mutlak (modulus), (b) fungsi ganjil/genap. (c) fungsi periodik, (d) fungsi tangga, dan lainnya. Berikut ini dikaji beberapa jenis fungsi, yang pertama jenis fungsi yang diklasifikasikan menurut sifatnya. (1) Fungsi injektif Definisi 2.2 Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan satu-satu atau injektif (injective) jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang beda. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan satu-satu: ∀ 𝑥1 , 𝑥2 di 𝐴, 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ). Contoh 2.4 Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi injektif atau bukan. (a) 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 dan (b) 𝑔: ℝ → ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. Penyelesaian: (a) Diketahui fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 . Ambil sembarang 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 ≠ 𝑥2 . Jelas (𝑥1 − 𝑥2 ) ≠ 0 dan (𝑥1 2 + 𝑥1 𝑥2 + 𝑥2 2 ) ≠ 0. Diperoleh 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) = 𝑥13 − 𝑥23 = (𝑥1 − 𝑥2 )(𝑥12 + 𝑥1 . 𝑥2 + 𝑥12 ) ≠ 0. Sehingga 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) ≠ 0 atau 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ). Jadi ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 ≠ 𝑥2 , berlaku 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ), menurut Definisi 2.2, fungsi 𝑓 suatu fungsi injektif. (b) Diketahui fungsi 𝑔: ℝ → ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. Pilih x1 = –1 dan x2 = 1. Diperoleh 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(– 1) = 0 = 𝑔(1) = 𝑔(𝑥2 ). Jadi ∃𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 ≠ 𝑥2 , dengan 𝑔(𝑥1 ) = 𝑔(𝑥2 ), menurut Definisi 2.2 fungsi 𝑔 bukan fungsi injektif. (2) Fungsi surjektif Definisi 2.3 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan pada atau surjektif (surjective) jika 𝑅𝑓 = 𝐵. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan surjektif jika ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∋ 𝑓(𝑦) = 𝑥.
48
Contoh 2.5 Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi surjektif atau bukan. (a) 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 dan (b) 𝑔: ℝ → [−1, +∞), 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. Penyelesaian: (a) Diketahui 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1. Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. Jelas 𝑥 = 2 (
𝑥+1
) − 1.
2
𝑥+1
𝑥+1
2
2
Pilih 𝑦 = (
) ∈ ℝ. Jelas 𝑓(𝑦) = 2 (
) − 1 = 𝑥.
Jadi ∀𝑥 ∈ ℝ, ∃ 𝑦 ∈ ℝ ∋ 𝑓(𝑦) = 𝑥, menurut Definisi 2.3 diperoleh bahwa 𝑓 merupakan suatu fungsi surjektif. (b) Diketahui 𝑔: ℝ → [−1, +∞), 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. Ambil sembarang 𝑥 ∈ [−1, +∞). Pilih 𝑦 ∋ 𝑔(𝑦) = 𝑥. Diperoleh 𝑔(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑦 2 − 1 = 𝑥 ⇔ 𝑦2 = 𝑥 + 1 ⇔ 𝑦 = √𝑥 + 1 ∨ 𝑦 = −√𝑥 + 1 Jelas 𝑦 ∈ ℝ. Jadi ∀ 𝑥 ∈ [−1, +∞), ∃ 𝑦 ∈ ℝ, 𝑔(𝑦) = 𝑥, menurut Definisi 2.3, diperoleh 𝑔 merupakan suatu fungsi surjektif. (3) Fungsi bijektif Fungsi 𝑓: ℝ → ℝ dikatakan bijektif apabila fungsi 𝑓 merupakan fungsi injektif dan sekaligus surjektif.
Selanjutnya akan dikaji mengenai jenis fungsi berdasarkan sifat kemonotonannya. Jenis fungsi ini terbagi dalam fungsi monoton dan fungsi tidak monoton. Untuk fungsi monoton dibagi menjadi dua jenis yaitu fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun. Salah satu contoh fungsi yang tidak monoton adalah fungsi konstan. Banyak fenomena alam yang mempunyai solusi dengan dimodelkan sebagai suatu fungsi yang naik atau turun. Sebagai contoh model populasi suatu mahluk hidup, model peluruhan radio aktif, dan sebagainya. Untuk itu perlu dibahas fungsi naik dan fungsi turun.
49
(1) Fungsi naik Definisi 2.4 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan naik jika fungsi 𝑓 melestarikan urutan. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan naik: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦). (2) Fungsi turun Definisi 2.5 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Fungsi 𝑓 dikatakan turun jika fungsi 𝒇 tak melestarikan urutan. Definisi ini dapat disajikan secara formal sebagai berikut: Fungsi 𝑓 dikatakan turun: ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 < 𝑦 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦). Contoh 2.6 Periksa apakah grafik fungsi berikut naik ataukah turun: (a) 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 1, (b) 𝑓: (−∞, 0] → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Penyelesaian: (a) Diketahui 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 1. Ambil sembarang 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 < 𝑥2 . Jelas 𝑥1 − 𝑥2 < 0. Diperoleh 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) = 2𝑥1 − 1 − 2𝑥2 + 1 = 2(𝑥1 – 𝑥2 ) < 0 atau 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). Jadi ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 < 𝑥2 , berlaku 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ), menurut Definisi 2.4, grafik fungsi 𝑓 naik. (b) Diketahui 𝑓: (−∞, 0] → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Ambil sembarang 𝑥1 , 𝑥2 ∈ (−∞, 0], 𝑥1 < 𝑥2 . Jelas 𝑥1 − 𝑥2 < 0 dan 𝑥1 + 𝑥2 < 0. Diperoleh 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥2 ) = 𝑥12 − 𝑥22 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥1 – 𝑥2 ) > 0 atau 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ). Jadi ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑥1 < 𝑥2 , berlaku grafik fungsi 𝑓 turun.
50
𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ), menurut Definisi 2.5,
Berikutnya adalah jenis fungsi aljabar yang di antaranya adalah (a) fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya yang dikenal sebagai fungsi polinomial, (b) fungsi rasional, dan (c) fungsi irrasional. (1) Fungsi polinomial Fungsi polinomial mempunyai bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + . . . + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , pangkat tertingginya menunjukkan orde atau derajat dari fungsi polinomial tersebut. Fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi kubik, dan seterusnya merupakan himpunan bagian dari fungsi polinomial. Berikut ini dikaji sekilas tentang fungsi linier dan fungsi kuadrat. Contoh dari fungsi linier dapat dilihat kembali pada Contoh 2.2 (b), dan untuk fungsi kuadrat dapat dilihat pada Contoh 2.2 (a). Fungsi linear 𝑓: ℝ → ℝ secara umum didefinisikan dengan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 dan 𝑏 konstan dengan 𝑎 ≠ 0. Grafik fungsi linear berupa garis lurus; Sedangkan fungsi kuadrat 𝑓: ℝ → ℝ secara umum didefinisikan dengan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola. (2) Fungsi rasional Fungsi rasional adalah suatu fungsi berbentuk 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)
dengan 𝑃(𝑥) dan 𝑄(𝑥)
adalah polinomial atau suku banyak dalam 𝑥 dan 𝑄(𝑥) ≠ 0. Contoh dari fungsi rasional dapat dilihat kembali pada Contoh 2.2 (b). Fungsi rasional terbagi menjadi dua jenis yaitu fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tak sejati. Fungsi rasional sejati adalah fungsi rasional terbentuk 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)
dengan derajat 𝑃(𝑥) kurang dari derajat 𝑄(𝑥) sedangkan fungsi rasional tak
sejati adalah fungsi rasional terbentuk 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)
dengan derajat 𝑃(𝑥) lebih tinggi
dari derajat 𝑄(𝑥), sebagaimana diperlihatkan Contoh 2.2 (b). (3) Fungsi irrasional Fungsi irrasional adalah fungsi aljabar yang mengandung faktor penarikan akar. Bentuk umumnya 𝑓(𝑥) = 𝑛√𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) > 0.
Berikutnya akan dikaji sekilas tentang fungsi transenden. Fungsi transenden yang telah dipelajari adalah fungsi trigonometri pada kegiatan belajar 1. Fungsi 51
transenden yang lain dan yang akan dikaji adalah fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Untuk yang pertama dibahas fungsi eksponen. Pengertian mengenai fungi eksponen diberikan pada Definisi 2.6. (1) Fungsi eksponen Definisi 2.6 Diketahui 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 fungsi 𝑓 ∶ ℝ → ℝ, dengan 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 disebut fungsi eksponen. Bilangan 𝑎 dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis). Fungsi ini memuat bentuk eksponen, artinya fungsi tersebut memuat bentuk pangkat dimana pangkatnya berisi variabel-variabel. Berikut ini sifat dari fungsi eksponen. Jika 𝑎, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ dan 𝑎 > 0 maka: (a) 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎𝑥
(b) 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 (c) (𝑎 𝑥 )(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥.𝑦 . Selanjutnya pengertian mengenai fungsi logaritma diberikan pada Definisi 2.7. (2) Fungsi logaritma Definisi 2.7 Diketahui 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, fungsi logaritma x dengan basis a dilambangkan 𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑥, apabila berlaku hubungan 𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) . Bilangan 𝑎 dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis). (a) Untuk 𝑎 = 10,
𝑎
log 𝑥 cukup ditulis log 𝑥. Logaritma dengan basis sepuluh
dinamakan logaritma biasa. Jadi log 𝑥 = 𝑦 berarti 𝑥 = 10𝑦 . (b) Untuk 𝑎 = 𝑒 = 2,718 … , bentuk
𝑎
log 𝑥 ditulis sebagai
𝑒
log 𝑥 atau ln 𝑥 dan
disebut logaritma natural atau logaritma asli.
(c) Nilai 𝑓(𝑎) = 𝑎log 𝑎, berlaku 𝑎 = 𝑎 𝑓(𝑎) . Jadi 𝑎log 𝑎 = 𝑓(𝑎) = 1. 𝑥
(d) Nilai 𝑓(𝑎 𝑥 ) = 𝑎log 𝑎 𝑥 , berlaku 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑎 ) . Jadi 𝑎log 𝑎 𝑥 = 𝑓(𝑎𝑎 ) = 𝑥.
52
c. Operasi pada Fungsi Suatu cara untuk membangun suatu fungsi baru adalah dengan menjumlah, mengurangi, mengalikan, atau membagi fungsi-fungsi yang diketahui. Berikut ini didefinisikan operasi pada fungsi: Definisi 2.8 Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi dan 𝑘 suatu konstanta. Penjumlahan dua fungsi 𝑓 + 𝑔, pengurangan fungsi-fungsi 𝑓 − 𝑔, hasil kali dengan skalar 𝑘𝑔, hasil kali dua fungsi 𝑓. 𝑔, dan hasil bagi dua fungsi
𝑓 𝑔
didefinisikan pada daerah
definisinya sebagai berikut: (a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) (c) 𝑘𝑔(𝑥) = 𝑘. 𝑔(𝑥) (d) (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓
𝑓(𝑥)
(e) (𝑔) (𝑥) = 𝑔(𝑥) , 𝑔(𝑥) ≠ 0
Contoh 2.7 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔: [1, +∞) → [0, +∞), 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1. (a) jika ℎ1 = 𝑓 + 𝑔, tentukan: rumus ℎ1 , daerah asal, dan daerah hasil ℎ1 . 𝑓
(b) jika ℎ2 = 𝑔, tentukan: rumus ℎ2 , daerah asal, dan daerah hasil ℎ2 . Penyelesaian: (a) Diperoleh ℎ1 (𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥 + √𝑥 − 1. Nilai fungsi ℎ1 ada untuk 𝑥 − 1 ≥ 0 atau 𝑥 ≥ 1. Jadi daerah asalnya 𝐷ℎ1 = [1, +∞) dan daerah hasilnya juga 𝑅ℎ1 = [1, +∞). Hal ini lebih mudah dilihat dari gambar Grafik ℎ1 pada Gambar 2.9 berikut.
53
Gambar 2.9. Grafik ℎ1 (𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (b) Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1. 𝑓
𝑓(𝑥)
Diperoleh ℎ2 (𝑥) = (𝑔) (𝑥) = 𝑔(𝑥) =
𝑥 √𝑥−1
.
Nilai fungsi ℎ2 ada bila nilai 𝑥 − 1 > 0 atau 𝑥 > 1. Jadi daerah asalnya 𝐷ℎ2 = (1, +∞). Untuk daerah hasilnya 𝑅ℎ2 = [2, +∞). Hal ini lebih mudah dilihat dari gambar Grafik ℎ2 pada Gambar 2.10 berikut.
𝑓
Gambar 2.10. Grafik ℎ2 (𝑥) = (𝑔) (𝑥)
54
Contoh 2.8 −𝑥, 𝑥 < 1 𝑥, 𝑥 ≤ 0 Dipunyai 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = { dan 𝑔: ℝ → ℝ, 𝑔(𝑥) = { 2 . −1, 𝑥 > 0 𝑥 ,𝑥 ≥ 1 Tentukan 𝑓 + 𝑔, daerah asal, dan daerah hasilnya. Penyelesaian: −𝑥, 𝑥 ≤ 0 𝑥, 𝑥 ≤ 0 Dapat dituliskan 𝑓(𝑥) = {−1,0 < 𝑥 < 1 dan 𝑔(𝑥) = {−𝑥, 0 < 𝑥 < 1. −1, 𝑥 ≥ 1 𝑥2, 𝑥 ≥ 1 0, 𝑥 ≤ 0 Diperoleh (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = {−𝑥 − 1,0 < 𝑥 < 1. −1 + 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 1 Grafiknya diberikan pada Gambar 2.11 berikut.
0, 𝑥 ≤ 0 Gambar 2.11. Grafik (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = {−𝑥 − 1,0 < 𝑥 < 1 −1 + 𝑥 2 , 𝑥 ≥ 1 Dari Gambar 2.11, dapat dilihat bahwa: 𝐷𝑓+𝑔 = ℝ dan 𝑅𝑓+𝑔 = (−2, −1) ∪ [0, +∞). Untuk memperjelas pemahaman Saudara, silahkan perhatikan [VIDEO DEFINISI FUNGSI] berikut pada [https://www.youtube.com/watch?v=rzytRkQhGH4]
2. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers Kadang-kadang dua fungsi digabung tidak menggunakan operasi-operasi aljabar yang telah dikenal, akan tetapi dengan cara fungsi kedua didefinisikan pada daerah
55
hasil fungsi pertama. Fungsi yang dihasilkan dengan cara ini dinamakan fungsi komposisi. Sebagai contoh, fungsi ℎ(𝑥) = |𝑥 − 1| dapat dibangun melalui dua fungsi, yaitu: fungsi nilai mutlak 𝑔: ℝ → [0, +∞) dengan 𝑔(𝑥) = |𝑥| dan fungsi linear 𝑓: ℝ → 𝑅 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1. Untuk menghitung nilai fungsi ℎ(𝑎), pertama dicari 𝑎 − 1 dan kemudian dihitung nilai mutlaknya, yaitu |𝑎 − 1|. Definisi 2.9 Dipunyai fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ≠ ∅. Fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 didefinisikan sebagai (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] ∀ 𝑥 ∈ 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 . Perhatikan Gambar 2.12 berikut.
Gambar 2.12. Diagram Fungsi Komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 Pada Gambar 2.12 terlihat bahwa 𝐷𝑓∘𝑔 adalah prapeta 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 oleh g ditulis dengan 𝑔−1 (𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ) dan 𝑅𝑓∘𝑔 adalah peta 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 oleh f dan ditulis dengan 𝑓(𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 ).
56
Contoh 2.9 Dipunyai fungsi-fungsi f dan g yang disajikan berturut-turut oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 1. Tentukan 𝑓 ∘ 𝑔 dan 𝑔 ∘ 𝑓 jika ada, selanjutnya tentukan daerah asal dan daerah hasilnya. Penyelesaian: Diperoleh 𝐷𝑓 = ℝ, 𝑅𝑓 = ℝ, 𝐷𝑔 = ℝ, dan 𝑅𝑔 = [−1, +∞). (a) Menentukan 𝑓 ∘ 𝑔, daerah asal dan daerah hasilnya. Diperoleh 𝑅𝑔 ∩ 𝐷𝑓 = [−1, +∞) ∩ ℝ =[−1, +∞) ≠ ∅. Jadi 𝑓 ∘ 𝑔 ada. Dihitung (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥 2 − 1) − 2 = 𝑥 2 – 3. Diperoleh
𝐷𝑓∘𝑔 = 𝑔−1 ([−1, +∞)) = ℝ
dan
𝑅𝑓∘𝑔 = 𝑓([−1, + ∞)) =
[−3, +∞). (b) Menentukan 𝑔 ∘ 𝑓 , daerah asal dan daerah hasilnya. Diperoleh 𝑅𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ℝ ∩ ℝ = ℝ ≠ ∅. Jadi 𝑔 ∘ 𝑓 ada. Dihitung (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)2 – 1. Jadi 𝐷𝑔∘𝑓 = 𝑓 −1 (ℝ) = ℝ dan 𝑅𝑔∘𝑓 = 𝑔(ℝ) = ℝ. Berikut ini disajikan beberapa contoh berbagai fungsi yang dapat dikembalikan sebagai komposisi dua fungsi. 2
2
(a) Fungsi ℎ(𝑥) = (𝑥 2 + 7)3 dibangun dari fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 7 dengan rumus (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). (b) Fungsi ℎ(𝑥) = 4 + √2 + 𝑥 2 dibangun dari fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) = 4 + √𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 2 + 𝑥 2 dengan rumus (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 8
8
(c) Fungsi ℎ(𝑥) = |3+𝑥 4| dibangun dari fungsi-fungsi 𝑓(𝑥) = |𝑥| dan 𝑔(𝑥) = 3 + 𝑥 4 dengan rumus (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥).
Banyak fungsi yang sangat bermanfaat dibangun dengan menggunakan fungsi yang telah dikenal. Dimulai dengan fungsi yang memetakan titik ke dirinya sendiri yang disebut dengan fungsi identitas.
57
Definisi 2.10 Fungsi 𝑖: 𝐴 → 𝐵 dengan 𝐴 ⊂ 𝐵 disebut fungsi identitas apabila 𝑖(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴.
Selanjutnya diberikan definisi invers fungsi pada Definisi 2.11 berikut. Definisi 2.11 Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Jika terdapat fungsi 𝑔: 𝑅𝑓 → 𝐴 sehingga nilai-nilai 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴 maka fungsi 𝑔 disebut invers 𝑓 dan ditulis 𝑔 = 𝑓 −1 . Gambar situasinya Gambar 2.13 berikut.
Gambar 2.13. Diagram fungsi 𝑓 dan 𝑓 −1 1
Perhatian 1: Tampilan 𝑓 −1 merupakan invers fungsi 𝑓 dan 𝑓 −1 ≠ 𝑓. Perhatian 2: Jika 𝑔 adalah invers 𝑓, maka 𝐷𝑔 = 𝑅𝑓 sebab 𝑔(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥). Contoh 2.10 𝑥
(a) Misalkan fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 dan 𝑔: ℝ → ℝ, 𝑔(𝑥) = 2. Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ, diperoleh 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(2𝑥) =
2𝑥 2
= 𝑥. Jadi 𝑔 = 𝑓 −1 .
(b) Diketahui fungsi 𝑓: ℝ → ℝ yang disajikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Untuk setiap bilangan positif 𝑥 ∈ 𝑅𝑓 berpasangan dengan 2 bilangan berbeda di 𝐷𝑓 = ℝ. Sebagai contoh, untuk 𝑥 = 4 ∈ 𝑅𝑓 diperoleh 𝑓(−2) = 4 dan 𝑓(2) = 4. Ini berarti tak mungkin mendefinisikan 𝑔(4) = 2 dan 𝑔(4) = −2. Jadi tidak ada fungsi 𝑔: ℝ → ℝ yang memenuhi kriteria 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.
58
Teorema 2.1 Jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 fungsi injektif, maka: (a) fungsi 𝑓 −1 ada, dan (b) 𝐷𝑓−1 = 𝑅𝑓 . Bukti: •
Bangun pengaitan 𝑔: 𝑅𝑓 → 𝐷𝑓 dengan 𝑔(𝑦) = 𝑥,∀𝑦 ∈ 𝑅𝑓 dan 𝑦 = 𝑓(𝑥).
•
Ambil sembarang 𝑦1 dan 𝑦2 di 𝑅𝑓 , dengan 𝑦1 = 𝑦2 . Diketahui 𝑓 suatu fungsi maka terdapat unsur-unsur 𝑥1 dan 𝑥2 di 𝑦1 = 𝑓(𝑥1 ) dan 𝑦2 = 𝑓(𝑥2 ) .
•
Diketahui 𝑓(𝑥1 ) = 𝑦1 = 𝑦2 = 𝑓(𝑥2 ) dan 𝑓 merupakan fungsi injektif, maka menurut Definisi 2.2 diperoleh 𝑥1 = 𝑥2 atau 𝑔(𝑦1 ) = 𝑔(𝑦2 ).
•
Dengan demikian ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅𝑓 , dengan 𝑎 = 𝑏, diperoleh 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏). Jadi 𝑔 suatu fungsi.
•
Sekarang ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , maka 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅𝑓 . Nilai 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑔(𝑦) = 𝑥 untuk suatu 𝑦 ∈ 𝑅𝑓 . Jadi ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , 𝑔[𝑓(𝑥)] = 𝑥, menurut Definisi 2.11 diperoleh 𝑔 = 𝑓 −1 serta 𝐷𝑓−1 = 𝐷𝑔 = 𝑅𝑓 .
Contoh 2.11 Misalkan 𝑓: 𝑅 → 𝑅, 𝑓(𝑥) = 2𝑥– 4. Jelas 𝑓 fungsi injektif. Jadi 𝑓 −1 ada. Ambil sembarang x ∈ R. Tulis 2𝑥– 4 = 𝑦 ⇔ 𝑥 =
𝑦 2
𝑥
+ 2. Jadi 𝑓 −1 (𝑥) = 2 + 2.
Jelas 𝐷𝑓−1 = 𝑅𝑓 = ℝ. Gambar situasinya diberikan pada Gambar 2.14.
Gambar 2.14. Grafik 𝑓 dan 𝑔 = 𝑓 −1
59
Hubungan grafik fungsi 𝑓 dan inversnya 𝑓 −1 dapat ditentukan dengan cara : •
apabila (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑓 maka (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑓 −1 . Ini berarti bahwa setiap titik di 𝑓 −1 diperoleh dari titik di 𝑓 dengan pencerminan terhadap garis 𝑦 = 𝑥.
•
Ini berarti juga bahwa grafik 𝑓 dan 𝑓 −1 simetri terhadap garis 𝑦 = 𝑥.
Dari Definisi 2.7, jika didefinisikan 𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑥 , maka berlaku 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑎log(𝑎 𝑥 ) = 𝑥, hal ini berarti 𝑔(𝑥) = 𝑓 −1 (𝑥). Jadi fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen.
Contoh 2.12 Carilah invers fungsi eksponen 𝑓: ℝ → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = 32𝑥 − 1 Penyelesaian : Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 32𝑥 − 1 dan 𝑓 −1 ∶ 𝑅 → 𝑅 dengan 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥 Diketahui 𝑦 = 32𝑥 − 1 atau 32𝑥 = 𝑦 + 1, menurut Definisi 2.7 diperoleh 3
log 32𝑥 =
3
log(𝑦 + 1) ⇔ 2𝑥 =
3
1
log(𝑦 + 1) ⇔ x = 2 .3 log(𝑦 + 1)
1
1
⇔ 𝑓 −1 (𝑦) = 2 .3 log(𝑦 + 1). Jadi 𝑓 −1 (𝑥) = 2 .3 log(𝑥 + 1) 3. Limit Fungsi Limit suatu fungsi merupakan konsep yang fundamental dalam kalkulus dan analisis yang berkaitan dengan perlakuan fungsi di sekitar titik tertentu. Konsep limit memberikan kontribusi besar pada perkembangan teori matematika secara umum. Meskipun secara implisit telah mewarnai perkembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18. Gagasan modern limit fungsi mulai dibahas oleh Bolzano pada 1817 yang memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Cauchy pada 1821 membahas limit dalam karyanya meskipun tidak secara sistematis. Weirstrass pada tahun 1950-an menyajikan limit secara sistematis, dan sejak saat itu menjadi metode baku untuk menjelaskan konsep limit. Secara tertulis penggunaan notasi lim dengan anak panah pertama kali diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada 1908.
60
a. Barisan dan limit barisan Berikut ini diberikan definisi barisan. Definisi 2.12 Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli (𝑁) atau himpunan bagiannya.
Suatu barisan yang daerah hasilnya (range) adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real disebut barisan bilangan real. Dengan kata lain barisan bilangan real adalah suatu fungsi 𝑓: ℕ → ℝ. Dalam pembahasan modul ini dibatasi hanya pada barisan bilangan real, yang seterusnya disebut barisan. Notasi untuk barisan dibedakan dengan notasi himpunan, karena pada barisan, urutan diperhatikan. Suatu barisan dapat dinyatakan dengan menuliskan beberapa suku awalnya, dengan rumus eksplisit untuk suku ke-𝑛, atau dengan bentuk rekrusif. Secara umum barisan dinotasikan dengan ⟨𝑎𝑛 ⟩𝑛∈ℕ atau ⟨𝑎𝑛 ⟩. Untuk menyatakan barisan yang berbeda, ditulis dengan huruf yang berbeda pula, seperti ⟨𝑏𝑛 ⟩, ⟨𝑐𝑛 ⟩, dan sebagainya. Contoh 2.13 1
1 1 1
Barisan dengan ⟨𝑎𝑛 ⟩ = ⟨𝑛⟩ adalah 1, 2 , 3 , 4 , ⋯. Barisan ini dapat dinyatakan dengan 𝑎
rumus rekursifnya, yaitu 𝑎1 = 1 dan 𝑎𝑛+1 = 1+𝑎𝑛 . 𝑛
Suatu barisan terkadang belum dapat dikenali hanya dengan melihat sejumlah berhingga sukunya, karena dapat mempunyai lebih dari satu rumus ke-𝑛 dan menghasilkan barisan yang berbeda. Oleh karena itu dalam mendefinisikan barisan, perlu memperhatikan rumus suku ke-n barisan yang dimaksud. Contoh 2.14 1
Dipunyai barisan 4,2 2 , 2, ⋯. Rumus suku ke-𝑛 barisan tersebut dapat berbentuk 3
𝑎𝑛 = 1 + 𝑛 atau pun 𝑎𝑛 = 1
3
3
𝑛2 2
1
− 3𝑛 + 6 2 yang masing-masing menghasilkan 1
1
barisan 4,2 2 , 2,1 4 , 1 5 , ⋯ dan barisan 4,2 2 , 2,2 2 , 4, ⋯ yang merupakan barisan yang berbeda.
61
Grafik suatu barisan bilangan sama dengan grafik suatu fungsi, sebagai contoh perhatikan Gambar 2.15. Secara intuitif, barisan ini mempunyai kecenderungan menuju 0. Hal ini terkait dengan pengertian kemonotonan barisan, seperti pada Definisi 2.13 berikut. Definisi 2.13 Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dikatakan: (a) monoton naik jika untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 (b) monoton tidak turun jika untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛 (c) monoton turun jika untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 (d) monoton tidak naik jika untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛
Gambar 2.15. Grafik barisan dan fungsi real yang berkaitan
62
Contoh 2.15 1
(a) Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dengan 𝑎𝑛 = 𝑛 merupakan barisan yang monoton turun karena 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 =
1 1 𝑛 − (𝑛 + 1) −1 − = = < 0. 𝑛+1 𝑛 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1)
Jadi 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 , sehingga ⟨𝑎𝑛 ⟩ barisan monoton turun. Dengan cara lain, dapat ditunjukkan bahwa
𝑎𝑛+1 𝑎𝑛
1
𝑛
𝑛
= 𝑛+1 × 1 = 𝑛+1 < 1 dengan
kesimpulan yang sama. (b) Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dengan 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛 𝑛
bukan merupakan barisan yang monoton. 1
1 1
Suku-suku barisan tersebut adalah −1, 2 , − 3 , 4 , ⋯. Jelas 𝑎1 < 𝑎2 , 𝑎2 > 𝑎3 , sehingga ⟨𝑎𝑛 ⟩ bukan suatu barisan monoton. Selanjutnya berikut ini diberikan definisi tentang konvergensi barisan. Definisi 2.14 Dipunyai barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩. Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dikatakan konvergen ke L, ditulis lim 𝑎𝑛 = 𝐿 𝑛→∞
jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑁𝜀 > 0 sedemikian hingga |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 jika 𝑛 > 𝑁𝜀 . Contoh 2.16 1
Buktikan lim 𝑛 = 0. 𝑛→∞
Bukti: 1
1
1
Ambil 𝜀 > 0. Pilih 𝑁𝜀 > 𝜀 . Dipunyai 𝑛 > 𝑁𝜀 ⇔ 𝑛 < 𝑁 . Diperoleh 𝜀
1
1
1
|𝑢𝑛 − 0| = | | = < < 𝜀. 𝑛 𝑛 𝑁 𝜀
Jadi lim
1
𝑛→∞ 𝑛
= 0.∎
Contoh 2.17 Buktikan lim
2𝑛−1
𝑛→∞ 𝑛+2
= 2.
Bukti: 5
Ambil 𝜀 > 0. Pilih 𝑁𝜀 > 𝜀 − 2.
63
1
Dipunyai 𝑛 > 𝑁𝜀 ⇔ 𝑛 + 2 > 𝑁𝜀 + 2 ⇔ 𝑛+2 < 𝑁
1
.
𝜀 +2
Diperoleh 2𝑛−1
−5
5
5
| 𝑛+2 − 2| = |𝑛+2| = |𝑛+2| = 𝑛+2 < 𝑁
5
𝜀
Jadi lim
2𝑛−1
𝑛→∞ 𝑛+2
0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian hingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, jika 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, yaitu 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. Contoh 2.18 Buktikan bahwa lim (3𝑥 − 7) = 5. 𝑥→4
Strategi pembuktian: Ambil sembarang bilangan positif 𝜀. Akan diperoleh 𝛿 > 0 sedemikian hingga 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 ⇒ |(3𝑥 − 7) − 5| < 𝜀. Perhatikan bahwa pertidaksamaan terahir bahwa |(3𝑥 − 7) − 5| < 𝜀 ⇔ |3𝑥 − 12| < 𝜀 ⇔ |3(𝑥 − 4)| < 𝜀 ⇔ |3||(𝑥 − 4)| < 𝜀 𝜀 ⇔ |(𝑥 − 4)| < . 3
66
𝜀
Dengan demikian diperoleh 𝛿 yang harus dipilih, yaitu 𝛿 = 3. Tentu saja untuk nilai 𝛿 yang lebih kecil juga masih berlaku. 𝜀
Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = 3. Untuk 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿 berakibat |(3𝑥 − 7) − 5| = |3𝑥 − 12| = 3|𝑥 − 4| < 3𝛿 = 𝜀.∎
Contoh 2.19 Buktikan bahwa lim
𝑥→2
2𝑥 2 −3𝑥−2 𝑥−2
= 5.
Strategi pembuktian: Akan dicari 𝛿 sedemikian hingga 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 ⇒ |
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 − 5| < 𝜀. 𝑥−2
Perhatikan bahwa untuk 𝑥 ≠ 2 |
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) − 5| < 𝜀 ⇔ | − 5| < 𝜀 𝑥−2 𝑥−2 ⇔ |(2𝑥 + 1) − 5| < 𝜀 ⇔ |2||𝑥 − 2| < 𝜀
𝜀
⇔ |𝑥 − 2| < 2. 𝜀
Dengan demikian dapat dipilih 𝛿 = 2.∎ 𝜀
Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = 2. Untuk 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 berakibat 2𝑥 2 −3𝑥−2
|
𝑥−2
− 5| = |
(2𝑥+1)(𝑥−2) 𝑥−2
− 5| = |2𝑥 + 4| = 2|𝑥 − 2| < 2𝛿 = 𝜀.
Teorema 2.2 Jika 𝑎 dan 𝑐 suatu konstanta real, maka lim 𝑐 = 𝑐. 𝑥→𝑎
Bukti: Tulis 𝑓(𝑥) = 𝑐. Ambil Sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = 𝜀. Dipunyai 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝑐| = |𝑐 − 𝑐| = 0 < 𝛿 = 𝜀. lim 𝑐 = 𝑐.∎
𝑥→𝑎
67
Teorema 2.3 Nilai limit suatu fungsi adalah tunggal, yaitu jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝑀, 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
maka 𝐿 = 𝑀. Bukti: Dipunyai lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝑀. Ambil Sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿1 > 0 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
dan 𝛿2 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 dan 2
𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝑀| < 3 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 . Pilih 𝛿 = min{𝛿1 , 𝛿2 }. Jelas |𝐿 − 𝑀| = |(𝐿 − 𝑓(𝑥)) + (𝑓(𝑥) − 𝑀)| ≤ |𝐿 − 𝑓(𝑥)| + |𝑓(𝑥) − 𝑀|
0. Pilih 𝛿1 > 0 dan 𝛿2 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 5 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 dan 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝑀| < 10 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 . Pilih 𝛿 = min{𝛿1 , 𝛿2 }. Jelas |(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) − (𝐿 + 𝑀)| = |(𝑓(𝑥) − 𝐿) + (𝑀 − 𝑔(𝑥))| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑀 − 𝑔(𝑥)|
68
= |𝑓(𝑥) − 𝐿| + |𝑔(𝑥) − 𝑀| 𝜀 𝜀 < + 5 10 < 𝜀. Jadi ∀𝜀 > 0∃𝛿 > 0 ∍ |(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) − (𝐿 − 𝑀)| < 𝜀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Jadi lim (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿 + 𝑀.∎ 𝑥→𝑎
Bukti (b): Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < |𝐾| apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. 𝜀
Jelas |𝐾 ⋅ 𝑓(𝑥) − 𝐾 ⋅ 𝐿| = |𝐾||𝑓(𝑥) − 𝐿| < |𝐾| ⋅ |𝐾| = 𝜀. Jadi ∀𝜀 > 0∃𝛿 > 0 ∍ |𝐾 ⋅ 𝑓(𝑥) − 𝐾 ⋅ 𝐿| < 𝜀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Jadi lim 𝐾 ⋅ 𝑓(𝑥) = 𝐾 ⋅ 𝐿.∎ 𝑥→𝑎
Bukti yang lain diserahkan Saudara sebagai latihan. Teorema 2.5 (a) Jika 𝑃𝑛 (𝑥) suatu suku banyak dan 𝑎 ∈ ℝ, maka lim 𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑎). 𝑥→𝑎
𝑃 (𝑥)
(b) Jika 𝑓(𝑥) = 𝑄𝑛 (𝑥), dengan 𝑃𝑛 (𝑥) dan 𝑄𝑚 (𝑥) masing-masing merupakan suku 𝑚
𝑃 (𝑥)
𝑃 (𝑎)
banyak berderajat 𝑛 dan 𝑚, 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 , dan 𝑄𝑚 (𝑥) ≠ 0, maka lim 𝑄𝑛 (𝑥) = 𝑄𝑛 (𝑎). 𝑥→𝑎 𝑚
𝑚
Teorema 2.6 Jika 𝑛 bilangan bulat positif dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 maka 𝑥→𝑎
𝑛
lim 𝑛√𝑓(𝑥) = 𝑛ට lim 𝑓(𝑥) = √𝐿. 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 Bukti diserahkan Saudara sebagai latihan. Teorema 2.7 Prinsip Apit Dipunyai fungsi-fungsi 𝑓, 𝑔, ℎ terdefinisi pada selang buka 𝐼 ⊂ ℝ bilangan real yang memuat 𝑎. Jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 = 𝑥→𝑎
lim ℎ(𝑥) maka lim 𝑔(𝑥) = 𝐿.
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
69
Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿1 > 0, 𝛿2 > 0, dan 𝛿3 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 3 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 , 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝑀| < 4 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 , dan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿3. Pilih 𝛿 = min{𝛿1 , 𝛿2 , 𝛿3 }. Ambil sembarang 𝑥 di 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Jelas 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) − 𝐿 ≤ 𝑔(𝑥) − 𝐿 ≤ ℎ(𝑥) − 𝐿. 𝜀 𝜀
𝜀
3 4
4
Diperoleh |𝑔(𝑥) − 𝐿| ≤ max{|𝑔(𝑥) − 𝐿|, |𝑔(𝑥) − 𝐿|} < max { , } = < 𝜀. Jadi lim 𝑔(𝑥) = 𝐿.∎ 𝑥→𝑎
Gambar 2.16. Ilustrasi prinsip apit, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) pada 𝐼 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑎
𝐿 = lim ℎ(𝑥) 𝑥→𝑎
Contoh 2.20 Hitunglah (a) lim(3𝑥 2 + 2𝑥 − 1) 𝑥→3
(b) lim (2𝑥 2 − 1)(1 − 2𝑥) 𝑥→−1
2𝑥+5
(c) lim 𝑥 2 +𝑥−1 𝑥→2
2
(d) lim √5𝑥 − 9 𝑥→0
Penyelesaian: (a) lim(3𝑥 2 + 2𝑥 − 1) = lim(3𝑥 2 + 2𝑥 − 1) = lim 3𝑥 2 + lim 2𝑥 − lim 1 𝑥→3
𝑥→3
2
= 3lim 𝑥 + 2lim 𝑥 − 1 = 27 + 6 − 1 = 32. 𝑥→3
70
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
(b) lim (2𝑥 2 − 1)(1 − 2𝑥) = lim (2𝑥 2 − 1) ⋅ lim (1 − 2𝑥) = 1 + 3 = 4. 𝑥→−1
𝑥→−1
lim (2𝑥+5)
2𝑥+5
(c) lim 𝑥 2 +𝑥−1 = 𝑥→2
𝑥→−1
9
𝑥→2
lim (𝑥 2 +𝑥−1)
𝑥→2
= 5.
2
2
(d) lim √5𝑥 − 9 = 2ටlim(5𝑥 − 9) = √9 = 3. 𝑥→0 𝑥→0
c. Limit fungsi trigonometri Berikut diberikan teorema dasar limit fungsi trigonometri. Pada teorema berikut ukuran sudut yang digunakan adalah radian. Teorema 2.8 (a) lim sin 𝑥 = sin 𝑎 𝑥→𝑎
(b) lim cos 𝑥 = cos 𝑎 𝑥→𝑎
(c) lim tan 𝑥 = tan 𝑎 𝑥→𝑎
(d) lim csc 𝑥 = csc 𝑎 𝑥→𝑎
(e) lim sec 𝑥 = sec 𝑎 𝑥→𝑎
(f) lim cot 𝑥 = cot 𝑎 𝑥→𝑎
Bukti diserahkan Saudara sebagai latihan.
Contoh 2.21 Tentukan nilai lim
𝑥→0
𝑥 2 cos 𝑥 𝑥+1
.
Penyelesaian: lim
𝑥→0
𝑥 2 cos 𝑥 𝑥+1
𝑥2
= (lim 𝑥+1) (lim cos 𝑥) = 0 ⋅ 1 = 0. 𝑥→0
𝑥→0
Pada beberapa kasus, kita tidak dapat menghitung limit fungsi trigonometri dengan substitusi, misalnya lim
𝑥→0
sin 𝑥 𝑥
dan lim
𝑥→0
1−cos 𝑥 𝑥
. Oleh karena itu diperlukan teorema
berikut untuk menghitung nilai limit tersebut.
71
Teorema 2.9 (a) lim
𝑥→0
(b) lim
𝑥→0
sin 𝑥 𝑥
=1
1−cos 𝑥 𝑥
=0
Teorema 2.9(a) menyatakan bahwa untuk ukuran sudut 𝑥 cukup kecil (mendekati 0), nilai sin 𝑥 mendekati nilai 𝑥 itu sendiri, dengan kata lain dapat ditulis sin 𝑥 ≈ 𝑥.
Gambar 2.17. Titik 𝑃 pada lingkaran satuan Bukti Teorema 2.9: Perhatikan Gambar 2.17. 𝜋
Kasus 0 < 𝑥 < 2 : Tulis 𝑎: ukuran luas 𝛥𝑂𝑃𝑅, 𝑏: ukuran luas juring 𝑂𝑃𝑅, dan 𝑐: ukuran luas 𝛥𝑂𝑅𝑆. Dipunyai 𝑂𝑅 = 𝑂𝑃 = 1. Jelas 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 1 𝑥 1 ⇔ 𝑂𝑅 ⋅ 𝑃𝑄 < 𝜋 ⋅ 𝑂𝑅 2 < 𝑂𝑅 ⋅ 𝑅𝑆 2 2𝜋 2 ⇔ 𝑃𝑄 < 𝑥 < 𝑅𝑆 ⇔ sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 < < tan 𝑥 𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 ⇔ cos 𝑥 < 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿.
Definisi 2.18 Dipunyai fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ, dan 𝑐 di selang (𝑎, 𝑏). Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kiri adalah 𝐿, ditulis dengan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑐 −
jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐.
75
Contoh 2.23 𝑥 + 1, 𝑥 < 0 Dipunyai 𝑓: [−1,2] → ℝ, dengan 𝑓(𝑥) = { 2 𝑥 , 𝑥 ≥ 0. Grafik 𝑓:
Gambar 2.19. Grafik 𝑓 pada [−1,2]. Secara intuitif, dapat dilihat bahwa: 𝑓(0) = 02 = 0,
(i)
lim 𝑓(𝑥) = 1, dan
(ii)
𝑥→0−
(iii) lim+𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→0
Berdasarkan hal tersebut, disimpulkan bahwa lim− 𝑓(𝑥) = 1 ≠ 0 = lim+ 𝑓(𝑥). 𝑥→0
𝑥→0
Dengan demikian diperoleh simpulan bahwa lim𝑓(𝑥) tidak ada. 𝑥→0
Teorema 2.11 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ, dan 𝑎 ∈ 𝐼. Nilai lim 𝑓(𝑥) ada dan bernilai 𝐿 jika 𝑥→𝑎
dan hanya jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim+𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎−
𝑥→𝑎
Bukti diserahkan Saudara sebagai latihan.
Contoh 2.24 Perhatikan fungsi 𝑓 pada Contoh 2.23. Buktikanlah: a.
76
lim 𝑓(𝑥) = 1 dan
𝑥→0−
b.
lim 𝑓(𝑥) = 0.
𝑥→0+
Bukti (a): Strategi: (1) Ambil sembarang 𝜀 > 0. (2) Pilih 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 1| < 𝜀 apabila −𝛿 < 𝑥 < 0. Dipunyai −𝛿 < 𝑥 < 0 ⇔ 0 < −𝑥 < 𝛿 ⇔ 0 < |𝑥| < 𝛿. Jelas 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, maka |𝑓(𝑥) − 1| = |𝑥| < 𝛿. Dipilih 𝛿 = 𝜀. Berdasarkan strategi di atas, disusun bukti sebagai berikut. Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = 𝜀. Dipunyai −𝛿 < 𝑥 < 0 ⇔ 0 < −𝑥 < 𝛿 ⇔ 0 < |𝑥| < 𝛿. Jelas |𝑓(𝑥) − 1| = |𝑥| < 𝛿 = 𝜀. Jadi untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 1| < 𝜀 apabila −𝛿 < 𝑥 < 0. Jadi lim− 𝑓(𝑥) = 1. 𝑥→0
Bukti (b): Strategi: (1) Ambil sembarang 𝜀 > 0. (2) Pilih 𝜀 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila 0 < 𝑥 < 𝜀. Dipunyai 0 < 𝑥 < 𝜀. Jelas 0 < 𝑥 < 𝜀 ⇔ 0 < |𝑥| < 𝜀 Jelas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Jadi |𝑓(𝑥) − 0| = |𝑥 2 | = |𝑥|2 < 𝜀 2 . Dipilih 𝜀 2 = 𝛿 ⇔ 𝛿 = √𝜀. Berdasarkan strategi di atas, disusun bukti sebagai berikut. Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = √𝜀. Dipunyai0 < 𝑥 < 𝛿. Jelas0 < 𝑥 < 𝛿 ⇔ 0 < |𝑥| < 𝛿 ⇔ 0 < |𝑥|2 < 𝛿. Jelas |𝑓(𝑥) − 0| = |𝑥 2 |
77
= |𝑥|2 < 𝛿2 = 𝜀. Jadi untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila −𝛿 < 𝑥 < 0. Jadi lim+ 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→0
Contoh 2.25 Dipunyai 𝑓: [−1,3] → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋.
Gambar 2.20. Grafik 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋ pada [−1,3]. Jelas lim+𝑓(𝑥) = −1, 𝑥→−1
lim 𝑓(𝑥) = −1, lim+ 𝑓(𝑥) = 0,
𝑥→0−
𝑥→0
lim 𝑓(𝑥) = 0, lim+ 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→1−
𝑥→1
lim 𝑓(𝑥) = 1, lim+𝑓(𝑥) = 2,
𝑥→2−
𝑥→2
lim 𝑓(𝑥) = 2.
𝑥→3−
Berdasarkan fakta ini, dapat disimpulkan: a.
Dipunyai titik −1 merupakan titik ujung. Dengan demikian lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→−1
lim 𝑓(𝑥) = −1.
𝑥→−1+
b.
Jelas lim− 𝑓(𝑥) = −1 ≠ 0 = lim+ 𝑓(𝑥) = 0. Jadi lim𝑓(𝑥) tidak ada.
c.
Jelas lim− 𝑓(𝑥) = 1 ≠ 2 = lim+ 𝑓(𝑥). Jadi lim𝑓(𝑥) tidak ada.
78
𝑥→0 𝑥→2
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→2
𝑥→2
d.
Dipunyai titik 3 merupakan titik ujung. Dengan demikian lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→3
lim 𝑓(𝑥) = 2.
𝑥→3−
Contoh 2.26 (𝑥 − 3)2 − 1, 𝑥 < 1 Dipunyai fungsi 𝑓(𝑥) = { . −𝑥 + 4, 𝑥 ≥ 1 Hitunglah lim 𝑓(𝑥) apabila ada, kemudian buktikan. 𝑥→4
Penyelesaian:
Gambar 2.21. Grafik fungsi 𝑓 Jelas lim−𝑓(𝑥) = lim (𝑥 − 3)2 − 1 = 0 dan lim+𝑓(𝑥) = lim (− 𝑥 + 4) = 0 𝑥→4
𝑥→4
𝑥→4
𝑥→4
Jelas lim−𝑓(𝑥) = 0 = lim+𝑓(𝑥) 𝑥→4
𝑥→4
Jadi lim 𝑓(𝑥) ada dan lim 𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→4
𝑥→4
Bukti formalnya: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = min{ 𝜀, 1 − √1 − 𝜀}. Dipunyai 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿. Jelas 4 − 𝛿 < 𝑥 < 4 + 𝛿. Kasus 4 − 𝛿 < 𝑥 < 4: Jelas 4 − 𝛿 < 𝑥 < 4 ⇔ 1 − 𝛿 < 𝑥 − 3 < 1 ⇔ (1 − 𝛿)2 < (𝑥 − 3)2 < 1 ⇔ (1 − 𝛿)2 − 1 < (𝑥 − 3)2 − 1 < 0 ⇔ 0 < −[(𝑥 − 3)2 − 1] < 1 − (1 − 𝛿)2
79
⇔ 0 < |(𝑥 − 3)2 − 1| < 1 − (1 − 𝛿)2 .
Jadi |𝑓(𝑥) − 0| = |(𝑥 − 3)2 − 1| < 1 − (1 − 𝛿)2 = 𝜀.
Kasus 4 < 𝑥 < 4 + 𝛿: Jelas 4 < 𝑥 < 4 + 𝛿 ⇔ −4 − 𝛿 < −𝑥 < −4 ⇔ −𝛿 < −𝑥 + 4 < 0 ⇔ 0 < −(−𝑥 + 4) < 𝛿 ⇔ 0 < |−𝑥 + 4| < 𝛿.
Jadi |𝑓(𝑥) − 0| = |−𝑥 + 4| < 𝛿 = 𝜀. Jadi untuk setiap 𝜀 > 0terdapat 𝛿 > 0sehingga |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila 0 < |𝑥 − 4| < 𝛿. Jadi lim𝑓(𝑥) = 0. 𝑥→4
5. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga a. Limit Tak Hingga Perhatikan grafik fungsi f yang terdefinisi pada ℝ − {𝑎} berikut ini.
Gambar 2.22. Fungsi mempunyai kecenderungan menuju ke +∞. Pada Gambar 2.22 terlihat bahwa fungsi 𝑓 mempunyai kecenderungan menuju ke +∞. Secara intuisi dapat dipetik simpulan: lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
80
Apabila diambil sembarang bilangan positif 𝑀 yang cukup besar, terdapat bilangan positif 𝛿 > 0 sehingga nilai 𝑓(𝑥) > 𝑀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Ini berarti bahwa lim 𝑓(𝑥) = +∞ ekivalen dengan: untuk setiap 𝑀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) > 𝑀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
Berdasarkan kenyataan ini diturunkan konsep berikut ini.
Definisi 2.19 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ– {𝑎} → ℝ. lim 𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ ∀ 𝑀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∍ 𝑓(𝑥) > 𝑀 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
𝑥→𝑎
Contoh 2.27 2
Gambarlah grafik fungsi f dari ℝ − {−1} ke ℝ yang disajikan oleh 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)2 . Tentukan secara intuisi nilai lim 𝑓(𝑥) kemudian buktikan secara formal. 𝑥→𝑎
Penyelesaian: Grafik 𝑓:
Gambar 2.23. Secara intuisi: lim 𝑓(𝑥) = +∞. 𝑥→−1
Bukti: Strategi pilih 𝑀: Dipunyai 0 < |𝑥 + 1| < 𝛿.
81
Jelas 0 < (𝑥 + 1)2 < 𝛿 2. Jadi
1 (𝑥+1)2
1
2
2
2
> 𝛿2 ⇔ (𝑥+1)2 > 𝛿2 ⇔ 𝑓(𝑥) > 𝛿2 .
2
2
Dipilih 𝛿2 = 𝑀 ⇔ 𝛿 = ට𝑀 . Bukti formal: Ambil sembarang 𝑀 > 0. 2
Pilih 𝛿 = ට . 𝑀
Dipunyai 0 < |𝑥 + 1| < 𝛿. Jelas 0 < (𝑥 + 1)2 < 𝛿 2. Jadi
2 (𝑥+1)2
2
> 𝛿2 2
2
Jadi 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)2 > 𝛿2 = 𝑀. Jadi ∀ 𝑀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∍ 𝑓(𝑥) > 𝑀 apabila 0 < |𝑥 + 1| < 𝛿. Jadi lim 𝑓(𝑥) = +∞. 𝑥→−1
Sekarang perhatikan fungsi yang terdefinisi pada ℝ − {a} berikut ini.
Gambar 2.24. Secara intuisi: lim 𝑓(𝑥) = −∞. 𝑥→−1
82
Pada Gambar 2.24 terlihat bahwa fungsi f untuk x mendekati mempunyai kecenderungan menuju ke −∞. Secara intuisi dapat dipetik simpulan: lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→𝑎
−∞. Apabila diambil sembarang bilangan negatif 𝑁 yang cukup besar, terdapat bilangan positif 𝛿 > 0 sehingga nilai 𝑓(𝑥) < 𝑁 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Ini berarti bahwa: lim 𝑓(𝑥) = −∞ ekivalen dengan: untuk setiap 𝑁 < 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) < 𝑁 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
Berdasarkan kenyataan ini diturunkan teorema berikut ini.
Definisi 2.20 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ– {𝑎} → ℝ. lim 𝑓(𝑥) = −∞ ⇔ ∀𝑁 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∍ 𝑓(𝑥) < 𝑁 apabila 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
𝑥→𝑎
Contoh 2.28 3
Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ– {2} → ℝ yang disajikan oleh 𝑓(𝑥) = − (𝑥−2)2. (a) Gambarlah grafik 𝑓. (b) Tentukan secara intuisi nilai lim 𝑓(𝑥) dan buktikan secara formal. 𝑥→𝑎
Penyelesaian: Grafik 𝑓:
Gambar 2.25. Secara intuisi: lim𝑓(𝑥) = −∞. 𝑥→2
83
Bukti: Strategi pilih 𝛿: Dipunyai 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿. Jelas (𝑥 − 2)2 < 𝛿 2. 1
1
−3
Jadi (𝑥−2)2 > 𝛿2 ⇔ (𝑥−2)2 < −3
−3 𝛿2
⇔ 𝑓(𝑥)
0 dan 𝑔(𝑥) → 0+ maka lim 𝑔(𝑥) = +∞. 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
(b) Jika 𝐿 > 0 dan 𝑔(𝑥) → 0− maka lim 𝑔(𝑥) = −∞. 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
(c) Jika 𝐿 < 0 dan 𝑔(𝑥) → 0+ maka lim 𝑔(𝑥) = −∞. 𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
(d) Jika 𝐿 < 0 dan 𝑔(𝑥) → 0− maka lim 𝑔(𝑥) = +∞. 𝑥→𝑎
84
𝑥→𝑎
Contoh 2.29 −2𝑥
Hitung dan buktikan secara formal nilai limit lim 𝑥 2 −6𝑥+9. 𝑥→3
Penyelesaian: Tulis −2𝑥 = 𝑓(𝑥) dan 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 𝑔(𝑥). Jelas lim(−2𝑥) = −6 < 0 dan lim(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) = lim(𝑥 − 3)2 = 0+ . 𝑥→3
𝑥→3
𝑥→3
−2𝑥
Jadi lim 𝑥 2−6𝑥+9 = −∞. 𝑥→3
Bukti: −2𝑥
2𝑥
Jelas 𝑥 2 −6𝑥+9 = −(𝑥−3)2. Ambil sembarang N < 0. 8
Pilih 𝛿 = ට−𝑁. Dipunyai 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿. Jelas (𝑥 − 3)2 < 𝛿 2 1
1
⇔ (𝑥−3)2 > 𝛿2 1
1
⇔ − (𝑥−3)2 < − 𝛿2 . Dicari batas 2𝑥 pada 0 < |𝑥 − 3| < 1: Jelas 0 < |𝑥 − 3| < 1 ⇔ 2 < 𝑥 < 4 ⇔ 4 < 2𝑥 < 8. 8
Jadi 𝑓(𝑥) < − 𝛿2 = 𝑁. Jadi ∀𝑁 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∍ 𝑓(𝑥) < 𝑁 apabila 0 < |𝑥 − 3| < 𝛿. −2𝑥
Jadi lim 𝑥 2 −6𝑥+9 = −∞. 𝑥→3
b. Limit di Tak hingga Perhatikan grafik fungsi f berikut ini.
85
Gambar 2.26. Secara intuisi: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿. 𝑥→+∞
Apabila diambil sembarang 𝜀 > 0, terdapat bilangan 𝑀 > 0 sehingga nilai |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀. Berdasarkan kenyataan ini dapat diturunkan suatu konsep berikut.
Definisi 2.21 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ∀𝜀 > 0 ∃ 𝑀 > 0 ∋ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀.
𝑥→+∞
Contoh 2.30 1
Tunjukkan lim
𝑥→+∞ 𝑥
= 0.
Penyelesaian: 1
Tulis 𝑥 = 𝑓(𝑥). Ambil sembarang 𝜀 > 0. 1
Pilih M = . 𝜀
Dipunyai x > M. 1
1
1
1
Jelas 𝑥 < 𝑀 ⇔ |𝑥| < 𝑀. 1
Jadi |𝑓(𝑥)| = |𝑥| 1
= |𝑥|
86
1
0 ∃ 𝑀 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila x > M. 1
Jadi lim
𝑥→+∞ 𝑥
= 0.
Sekarang perhatikan grafik fungsi f berikut ini.
Gambar 2.27. Secara intuisi: lim 𝑓(𝑥) = L. 𝑥→−∞
Apabila diambil sembarang 𝜀 > 0, terdapat bilangan 𝑁 < 0 sehingga nilai |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 < 𝑁. Berdasarkan kenyataan ini dapat diturunkan suatu konsep berikut.
Definisi 2.22 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ∀𝜀 > 0 ∃ 𝑁 < 0 ∍ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 < 𝑁.
𝑥→−∞
Contoh 2.31 Hitung dan buktikan secara formal: (a) lim
1
(b) lim
1
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
𝑥→−∞ 𝑥
,n∈A
Penyelesaian: (a) Intuisi: lim
1
𝑥→−∞ 𝑥
= 0.
87
1
Tulis 𝑥 = 𝑓(𝑥). Ambil sembarang 𝜀 > 0. 1
Pilih N = − 𝜀 . Dipunyai x < N . Jelas x < N < 0. ⇔ – x > –N > 0 ⇔
1 −𝑥
0∃𝑁 < 0 ∍ |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila x < N. Jadi lim
1
𝑥→−∞ 𝑥
= 0. 1
(b) Intuisi: lim
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
= 0, n ∈ A.
Penyelesaian: 1
Tulis 𝑥 𝑛 = 𝑓(𝑥). Ambil sembarang 𝜀 > 0. 1
Pilih M = 𝑛 𝜀. √
Dipunyai x > M > 0. Jelas 𝑥 𝑛 > 𝑀𝑛 > 0 1
1
⇔ 𝑥 𝑛 < 𝑀𝑛 . 1
1
1
1
Jadi |𝑓(𝑥) − 0| = |𝑥 𝑛| = |𝑥 𝑛| = 𝑥 𝑛 < 𝑀𝑛 = 𝜀. Jadi ∀𝜀 > 0 ∃ 𝑀 > 0 ∍ |𝑓(𝑥) − 0| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀. Jadi lim
1
𝑥→+∞ 𝑥 𝑛
= 0, n ∈ A.
Berikut ini disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan limit tak hingga dan limit di tak hingga.
Teorema 2.13 Jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐾 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 maka 𝐾 = 𝐿. 𝑥→+∞
88
𝑥→+∞
Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih M1 > 0 dan M2 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐾| < apabila x > M1 dan 3 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < apabila x > M2. 3 Pilih M > maks{ M1, M2}. Jadi |𝐾 − 𝐿| = |𝐾 − 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) − 𝐿| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝐾| + |𝑓(𝑥) − 𝐿| 𝜀
𝜀
0. Jadi 𝐾 = 𝐿.
Teorema 2.14 Jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐾 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 maka 𝐾 = 𝐿. 𝑥→−∞
𝑥→−∞
Bukti untuk Teorema 2.14 sederhana dan diserahkan pada Saudara sebagai latihan.
Teorema 2.15 Jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐾 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 maka: 𝑥→+∞
𝑥→+∞
(a) lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐾 + 𝐿, 𝑥→+∞
(b) lim 𝐶. 𝑓(𝑥) = 𝐶. lim 𝑓(𝑥), 𝑥→+∞
𝑥→+∞
(c) lim [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝐾. 𝐿, dan 𝑥→+∞
(d) lim
𝑓(𝑥)
𝑥→+∞ 𝑔(𝑥)
=
𝐾 𝐿
apabila L ≠ 0.
Bukti (c): Ambil sembarang 𝜀 > 0.
89
Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehingga 𝜀
|𝑓(𝑥) − 𝐾|
M1,
|𝑓(𝑥) − 𝐿|
M2, dan
|𝑓(𝑥)| < 𝐶 apabila x > M3. Pilih M = maks{ M1, M2, M3}. Jelas |𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝐾𝐿| = |𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝐾𝐿 + 𝐿. 𝑓(𝑥) − 𝐿. 𝑓(𝑥)| = |𝑓(𝑥)[𝑔(𝑥) − 𝐿] + 𝐿[𝑓(𝑥) − 𝐾]|
|𝑓(𝑥)|. |𝑔(𝑥) − 𝐿| + |𝐿|. |𝑓(𝑥) − 𝐾|
< C.|𝑔(𝑥) − 𝐿| + |𝐿|. |𝑓(𝑥) − 𝐾| 𝜀
𝜀
=2+2 = 𝜀. Jadi ∀𝜀 > 0∃𝑀 > 0 ∍ |𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝐾𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀. Jadi lim [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝐾. 𝐿. 𝑥→+∞
Bukti lainnya diserahkan pada Saudara sebagai latihan.
Teorema 2.16 Jika lim 𝑓(𝑥) = 𝐾 dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 maka 𝑥→−∞
𝑥→−∞
(a) lim [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝐾 + 𝐿, 𝑥→−∞
(b) lim 𝐶. 𝑓(𝑥) = 𝐶. lim 𝑓(𝑥), 𝑥→−∞
𝑥→−∞
(c) lim [𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = 𝐾. 𝐿, dan 𝑥→−∞
(d) lim
𝑓(𝑥)
𝑥→−∞ 𝑔(𝑥)
=
𝐾 𝐿
apabila L ≠ 0.
Buktinya diserahkan pada Saudara sebagai latihan.
Selanjutnya disajikan teorema yang cukup penting, yang disebut dengan teorema apit.
90
Teorema 2.17 Jika terdapat M > 0 sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) untuk semua x > M dan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim ℎ(𝑥) maka lim 𝑔(𝑥) = 𝐿.
𝑥→+∞
𝑥→+∞
𝑥→+∞
Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila x > M1, |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila x > M2, dan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) apabila x > M3. Pilih M = maks{ M1, M2, M3}. Jelas 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) − 𝐿 ≤ 𝑔(𝑥) − 𝐿 ≤ ℎ(𝑥) − 𝐿 ⇔ |𝑔(𝑥) − 𝐿| ≤ maks{|𝑓(𝑥) − 𝐿|, |𝑔(𝑥) − 𝐿|} ⇔ |𝑔(𝑥) − 𝐿| ≤ 𝜀. Jadi ∀𝜀 > 0∃𝑀 > 0 ∍ |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑥 > 𝑀. Jadi lim 𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑥→+∞
Contoh 2.32 Hitunglah: (a) lim
𝑥 2 +1
𝑥→+∞ 2𝑥 2 −𝑥
(b) lim
𝑥→+∞
(c) lim
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥
,
,
√𝑥 2 +𝑥
𝑥→−∞ 3𝑥−5
.
Penyelesaian: (a) Jelas lim
𝑥→+∞
1
𝑥 2 +1
= lim 2𝑥 2 −𝑥
𝑥→+∞
1+ 2 𝑥 1 2− 𝑥
1
1
= 2.
(b) Jelas −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 ⇔ − 𝑥 ≤
sin 𝑥 𝑥
1
≤ 𝑥.
91
1
1
Jelas lim (− 𝑥) = 0 = lim − 𝑥. 𝑥→+∞
Jadi lim
𝑥→+∞
sin 𝑥
𝑥→+∞
(c) Jelas lim
𝑥
= 0. = lim
𝑥→−∞ 3𝑥−5
= lim
−𝑥ට1+
𝑥→−∞ 3𝑥−5
=
1 𝑥
|𝑥|ට1+
√𝑥 2 +𝑥
𝑥→−∞ 3𝑥−5
1 𝑥
= lim
−ට1+
1 𝑥
5
𝑥→−∞ 3−𝑥
−√1 3 1
= − 3. 6. Kekontinuan Fungsi Pada pengertian limit fungsi di titik 𝑐, fungsi 𝑓 terdefinisi pada suatu selang buka 𝐼, kecuali mungkin di titik 𝑐 sendiri. Sekarang dipunyai fungsi 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika limit fungsi 𝑓 di titik 𝑐 ada dan nilainya sama dengan nilai fungsi di titik 𝑐, maka fungsi 𝑓 dikatakan kontinu di titik 𝑐. Definisi ini dapat dinyatakan sebagai berikut. Definisi 2.23 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, dan 𝑐 ∈ 𝐼. Fungsi 𝑓 dikatakn kontinu di titik 𝑐 jika dan hanya jika lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).
𝑥→𝑐
Berdasarkan definisi tersebut, ada tiga syarat untuk suatu fungsi dikatakan kontinu, yaitu 1. lim𝑓(𝑥) ada, 𝑥→𝑐
2. 𝑓(𝑐) ada (yaitu 𝑐 ada dalam domain 𝑓), dan 3. lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐). 𝑥→𝑐
Jika salah satu kondisi di atas tidak dipenuhi, maka dikatakan fungsi 𝑓 tidak kontinu di 𝑐.
92
Contoh 2.33 Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Jelas lim− (2𝑥 + 1) = 3, lim+(2𝑥 + 1) = 3, dan 𝑓(1) = 3. 𝑥→1
𝑥→1
Jadi lim(2𝑥 + 1) = 3 = 𝑓(1). 𝑥→1
Jadi 𝑓 kontinu di titik 1. Contoh 2.34 2𝑥 2 −𝑥−1
,𝑥 ≠ 1 Dipunyai fungsi 𝑓(𝑥) = { 𝑥−1 . 2, 𝑥 = 1 Periksa apakah 𝑓 kontinu di titik 1. Penyelesaian: 2𝑥 2 −𝑥−1
= Dipunyai 𝑓(𝑥) = { 𝑥−1 2, 𝑥 = 1.
(2𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥−1
= 2𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 1
Gambar 2.28. Grafik fungsi 𝑓 Jelas lim− 𝑓(𝑥) = lim− (2𝑥 + 1) = 3 dan lim+𝑓(𝑥) = lim+(2𝑥 + 1) = 3. 𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
Dengan demikian lim(2𝑥 + 1) = 3 ≠ 2 = 𝑓(1). 𝑥→1
Jadi fungsi 𝑓 tidak kontinu di titik 1. Konsep kontinunya fungsi 𝑓 di titik 𝑎 dapat disajikan sebagai berikut.
93
Teorema 2.18 Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ, dan 𝑎 ∈ 𝐼. Fungsi f dikatakan kontinu di titik a jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀 apabila |𝑥 − 𝑎| < 𝛿.
Contoh 2.35 Dipunyai 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1. Buktikan 𝑓 kontinu di titik 1. Bukti: Ambil sembarang 𝜀 > 0. Pilih 𝛿 = 𝜀. Dipunyai |𝑥 − 1| < 𝛿. Jelas |𝑓(𝑥) − 2| = |𝑥 − 1| < 𝛿 = 𝜀. Jadi untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀 apabila |𝑥 − 1| < 𝛿. Jadi 𝑓 kontinu di titik 1.
Berikut ini disajikan beberapa sifat tentang kekontinuan fungsi. Teorema 2.19 Jika fungsi-fungsi 𝑓, 𝑔: 𝐼 → ℝ, kontinu di titik 𝑎 ∈ 𝐼, dan 𝐾 suatu konstanta di ℝ maka fungsi-fungsi: a. 𝑓 + 𝑔 b. 𝐾 ⋅ 𝑓 c. 𝑓 ⋅ 𝑔, dan d.
𝑓 𝑔
apabila 𝑔(𝑎) ≠ 0
kontinu di titik a.
Bukti a: Dipunyai 𝑓 dan 𝑔 kontinu di titik 𝑎. Ambil sembarang 𝜀 > 0.
94
𝜀
Pilih 𝛿1 > 0 dan 𝛿2 > 0 sehingga |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 2 apabila |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 dan 𝜀
|𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)| < apabila |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 . 3 Pilih 𝛿 = min{𝛿1 , 𝛿2 }. Dipunyai |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Jelas |(𝑓 + 𝑔)(𝑥) − (𝑓 + 𝑔)(𝑎)| = |𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑎) − 𝑔(𝑎)| = |[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] + [𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)]| ≤ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| + |𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎)|
0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga |(𝑓 + 𝑔)(𝑥) − (𝑓 + 𝑔)(𝑎)| < 𝜀 apabila |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. Jadi fungsi 𝑓 + 𝑔 kontinu di titik 𝑎. Bukti lainnya diserahkan kepada Saudara sebagai latihan. Definisi 2.24 a. Fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ dikatakan kontinu pada (𝑎, 𝑏) jika dan hanya jika 𝑓 kontinu di setiap titik pada (𝑎, 𝑏). b. Fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan kontinu pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada (𝑎, 𝑏), lim+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) dan lim− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏). 𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Suatu fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ yang kontinu di setiap titik di 𝐼 dikatakan kontinu pada 𝐼.
Contoh 2.36 1
Dipunyai 𝑓: (2, +∞) → ℝ yang disajikan dengan rumus 𝑓(𝑥) = 𝑥−2. Periksa apakah 𝑓 kontinu pada (2, +∞) Pemeriksaan:
95
1
Gambar 2.29. Grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥−2 pada (2, +∞). Ambil sembarang 𝑥 ∈ (2, +∞) Jelas 𝑓(𝑥0 ) = 𝑥
1 0 −2
dan lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑥0
1
𝑥→𝑥0 𝑥−2
=𝑥
1 0 −2
.
Jadi 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) untuk setiap 𝑥0 di selang (2, +∞). 𝑥→𝑥0
Jadi fungsi 𝑓 kontinu pada selang (2, +∞)
Teorema 2.20 Untuk setiap bilangan asli 𝑛 berlaku: a. 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 kontinu pada 𝑅. b. Jika fungsi 𝑔: ℝ → ℝ kontinu di titik 𝑎 maka 𝑓(𝑥) = [𝑔(𝑥)]𝑛 juga kontinu
di titik 𝑎. Bukti a: Tulis 𝑃(𝑛): 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 kontinu pada ℝ. Jelas 𝑃(𝑛): 𝑓(𝑥) = 𝑥 kontinu pada ℝ. Jelas 𝑓 kontinu pada ℝ Jadi 𝑃(1) benar. Dipunyai 𝑃(𝑘) benar. Jelas 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑘 kontinu pada ℝ. Tulis 𝑥 𝑘 = 𝑔(𝑥)dan 𝑥 = ℎ(𝑥). Jelas 𝑔 ⋅ ℎ kontinu pada ℝ. Jadi 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑘+1 kontinu pada ℝ. Jadi 𝑃(𝑘 + 1) benar apabila 𝑃(𝑘) benar. Jadi 𝑃(𝑛) benar.
96
Jadi𝑓: 𝑅 → 𝑅 , 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 kontinu pada ℝ. Bukti b diserahkan kepada Saudara sebagai latihan.
Untuk memperjelas pemahaman, Saudara dapat melihat ppt berikut ini. [PPTM3-KB2]
E. Forum Diskusi Silahkan selesaikan soal berikut dengan berdiskusi bersama teman sejawat Saudara. 𝑥, 𝑥 < 0
Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 kontinu pada [0,1]. 2 − 𝑥, 𝑥 > 1
Petunjuk pengerjaan: a.
Sketsa grafik fungsi 𝑓.
b.
Periksa limit kiri dan limit kanan pada [0,1].
c.
Hitung nilai limit pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1.
d.
Hitung nilai fungsi pada 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1.
e.
Buatlah kesimpulan berdasarkan perolehan jawaban dan diskusi Saudara.
F. Rangkuman Selamat ya ...... Saudara telah berhasil menyelesaikan kegiatan belajar tentang fungsi, jenis fungsi, dan limit fungsi. Hal-hal penting yang telah saudara pelajari dalam kegiatan belajar ini dapat dibaca pada rangkuman berikut ini.
1.
Suatu fungsi f dari himpunan A ke B merupakan pasangan terurut 𝑓 ⊂ 𝐴 × 𝐵 sedemikian sehingga memenuhi dua hal: (1) ∀𝑥 ∈ 𝐴∃𝑦 ∈ 𝐵 ∋ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (2) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 dan (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑦 = 𝑧.
2.
Jenis-jenis fungsi antara lain: (a) fungsi satu-satu (injektif), (b) fungsi pada (surjektif), (c) fungsi bijektif, (d) fungsi naik, dan (e) fungsi turun.
3.
Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen.
97
4.
Operasi fungsi meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar, perkalian dua fungsi, dan pembagian dua fungsi dengan definisi: Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi dan k suatu konstanta. Fungsi-fungsi 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑘𝑔, 𝑓. 𝑔, dan
𝑓 𝑔
didefinisikan pada daerah definisinya sebagai
berikut: (a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) (b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) (c) 𝑘𝑔(𝑥) = 𝑘 . 𝑔(𝑥) (d) (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓
𝑓(𝑥)
(e) (𝑔) (𝑥) = 𝑔(𝑥) , 𝑔(𝑥) ≠ 0 5.
Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif atau bilangan asli (𝑁) atau himpunan bagiannya. Barisan ⟨𝑎𝑛 ⟩ dikatakan konvergen ke L, ditulis lim 𝑎𝑛 = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑛→∞
𝜀 > 0 terdapat 𝑁𝜀 > 0 sedemikian hingga |𝑎𝑛 − 𝐿| < 𝜀 jika 𝑛 > 𝑁𝜀 . 6.
Nilai lim𝑓(𝑥) = 𝐿 maksudnya adalah jika 𝑥 mendekati tetapi tidak sama 𝑥→𝑐
dengan 𝑐, maka 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿. Definisi formal digunakan sebagai landasan analisis untuk pembuktian formal limit fungsi. Limit fungsi 𝑓 bernilai 𝐿 untuk 𝑥 → 𝑐 ditulis lim𝑓(𝑥) = 𝐿, jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 𝑥→𝑐
0 sedemikian hingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, jika 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, yaitu 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. 7.
Definisi limit kanan. Dipunyai fungsi 𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅, dan 𝑐 di selang (𝑎, 𝑏). Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kanan adalah 𝐿, ditulis dengan lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga
𝑥→𝑐 +
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 < 𝑥 < 𝑐 + 𝛿.
98
8.
Definisi limit kiri. Limit fungsi 𝑓 untuk 𝑥 mendekati 𝑐 dari kiri adalah 𝐿, ditulis dengan lim− 𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 𝑥→𝑐
sehingga |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 apabila 𝑐 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑐. 9.
Definisi kekontinuan fungsi diberikan sebagai berikut. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, dan 𝑐 ∈ 𝐼. Fungsi 𝑓 dikatakn kontinu di titik 𝑐 jika dan hanya jika lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).
𝑥→𝑐
Untuk menentukan tingkat penguasaan saudara terhadap materi ini, silahkan kerjakan tes berikut ini. Kunci jawaban diberikan pada akhir modul ini.
G. Tes Formatif Petunjuk Pengerjaan: (1) Saudara tidak diperkenankan melihat materi yang telah dipelajari ! (2) Kerjakan seluruh soal-soal berikut dengan cara menyilang salah satu huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar! (3) Waktu untuk mengerjakan soal adalah 60 menit! Soal: 1. Rumus berikut ini yang merupakan fungsi adalah …. A. x2 – y2 = 5 B. x – y2 = 5 C. x2 – y = 5 D. √𝑥 2 – 𝑦 2 = 5 E. √𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 2. Daerah asal dan daerah hasil fungsi 𝑓(𝑥) =
|𝑥−2| 𝑥−3
adalah ....
A. 𝐷𝑓 = ℝ, 𝑅𝑓 = ℝ B. 𝐷𝑓 = ℝ − {2}, 𝑅𝑓 = ℝ C. 𝐷𝑓 = ℝ − {3}, 𝑅𝑓 = ℝ D. 𝐷𝑓 = ℝ − {3}, 𝑅𝑓 = ℝ+ E. 𝐷𝑓 = ℝ+ , 𝑅𝑓 = ℝ − {3}
99
3. Dipunyai 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥, 𝑔(𝑥) = 1 − √𝑥, hasil komposisi fungsi (𝑓 ∘ 𝑔) (𝑥) dan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) adalah …. A. 1 + √1 − 𝑥 dan √𝑥 B. √𝑥 dan 1 + √1 − 𝑥 C. −√𝑥 dan 1 + √1 − 𝑥 D. √𝑥 dan 1 − √1 − 𝑥 E. 1 − √1 − 𝑥 dan √𝑥 8
4. Fungsi ℎ dibangun dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = |3 − 𝑥 4 | dengan rumus (𝑓 ∘ 𝑔)(x). Nilai ℎ(1) adalah …. A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2 1
3
2
2
3𝑥+2
5. Diketahui fungsi 𝑓: ℝ − {− } → ℝ − { }, dengan 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1.
Fungsi
invers dari f dinyatakan dengan 𝑓 –1 . Nilai dari 𝑓 −1 (𝑥) adalah .... A. B. C. D. E.
𝑥−2 2𝑥−3 2−𝑥 2𝑥−3 2𝑥−2 𝑥−3 2−𝑥 3−2𝑥 𝑥+2 2𝑥−3
6. Jika lim 𝑓(𝑥) = 3 dan lim 𝑔(𝑥) = −1, maka nilai dari lim 𝑥→𝑎
adalah .... 9
A. − 4 B. C.
100
9 4 1 2
𝑥→𝑎
2𝑓(𝑥)−3𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
9
D. − 2 E.
9 2 𝑥+sin 3𝑥
7. Nilai lim 2𝑥−tan 5𝑥 adalah .... 𝑥→0
4
A. − 3 3
B. − 4 C. D.
4 3 3 4
E. 3 4𝑥+4
8. Nilai lim 𝑥 2 −8𝑥+16 adalah .... 𝑥→4
A. −∞ B. −4 C. 4 D. 0 E. +∞ 𝑥2, 𝑥 < 0 9. Fungsi 𝑔(𝑥) = {−𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, diskontinu pada 𝑥 sama dengan .... 𝑥, 𝑥 > 1 A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 10. Fungsi berikut yang kontinu pada titik 𝑐 adalah …. A. 𝑓(𝑥) = B. 𝑓(𝑥) = C. 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥 𝑥
;𝑐 = 0
𝑥 2 −100 𝑥−10 cos 𝑥 𝑥
; 𝑐 = 10
;𝑐 = 0 1
D. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 ; 𝑐 = 0
101
E. 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ; 𝑐 = 0
H. Daftar Pustaka 1.
Chotim, M. 2012. Diktat Mata Kuliah Kalkulus 1. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.
2.
Leithold, L. 1976. The Calculus with Analytic Geometry Third Edition. Harper & Row, New York.
3.
Salas, S. L., Etgen, G. J., dan Hille, E. 2006. Calculus: One and Several Variables, 10th Edition. Wiley.
4.
Varberg, D., Purcell, E.J., & Rigdon, S. 2007. Calculus Ninth Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education
5.
Ristekdikti. 2018. Modul Daring PPG Daljab 2018. Jakarta:Ristekdikti.
I.
Kriteria Penilaian Tes Formatif Cocokkanlah jawaban Saudara dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang
terdapat di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Saudara terhadap materi kegiatan belajar ini. Tingkat Penguasaan (TP) =
banyak jawaban benar banyak soal
x 100% .
Arti tingkat penguasaan: 90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik 80% ≤ TP < 90%
: baik
70% ≤ TP < 80%
: cukup
TP < 70%
: kurang
Apabila tingkat penguasaan Saudara 80 % atau lebih, Saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Bagus! Saudara telah berhasil mempelajari kegiatan belajar ini. Apabila tingkat pengusaan Saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari kembali kegiatan belajar ini.
102
No Kode: DAR 2/Profesional/180/3/2019 PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
MODUL 3 KALKULUS DAN TRIGONOMETRI KB 3. Turunan dan Aplikasi Turunan
Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2019
103
104
A. Pendahuluan Mahasiswa PPG yang bersemangat. Selamat mengikuti kegiatan belajar materi turunan dan aplikasinya. Untuk mengawali pembelajaran ini, coba lakukan aktifitas berikut. Ambillah kertas HVS, buatlah berbagai macam persegi panjang dengan keliling 20 cm (ingat bahwa persegi termasuk persegi panjang) kemudian ukurlah luas daerah masing-masing persegi panjang, kemudian tentukan manakah yang mempunyai luas daerah maksimum. Pada kegiatan belajar 3 ini, saudara membahas tentang konsep turunan dan aplikasinya. Oleh sebab itu, prasyarat dalam mempelajari pokok bahasan pada kegiatan belajar 3 ini adalah saudara-saudara telah menguasai materi fungsi, limit, dan kekontinuan fungsi. Kegiatan belajar ini dikemas dalam tiga sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai berikut: • Sub Kajian 1: Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi • Sub Kajian 2: Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers • Sub Kajian 3: Aplikasi Turunan. Konsep turunan biasanya digunakan dalam penyelesaian masalah optimasi seperti menentukan nilai maksimum dan minimun dari suatu permasalahan yang dapat dimodelkan dengan persamaan matematika. Dalam fisika, saudara mengenal adanya kecepatan sesaat. Hal tersebut adalah salah satu bentuk aplikasi turunan. Dalam bidang ekonomi, saudara juga mengenal elastisitas yang menggunakan konsep turunan. Proses pembelajaran untuk materi yang sedang saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila saudara mengikuti langkah-langkah belajar sebagai berikut. 1) Ingat kembali materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini. 2) Pelajari materi pada setiap kegiatan belajar ini, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri. 3) Cocokkan jawaban tes formatif saudara dengan kunci jawaban yang diberikan.
105
4) Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat pengusaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini. 5) Keberhasilan pembelajaran saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreatifitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. Mahasiswa juga diharapkan mampu menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang terkait turunan. Lebih lengkapnya dijabarkan sebagai berikut. 1. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah menggunakan konsep turunan fungsi meliputi aturan rantai, turunan fungsi implisit, dan turunan fungsi invers. 2. Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah optimasi menggunakan konsep turunan fungsi.
C. Pokok-pokok materi Materi yang dipelajari dalam kegiatan belajar ini antara lain: 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi 2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers 3. Aplikasi Turunan.
106
D. Uraian Materi 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Salah satu masalah yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adalah gradien garis singgung. Perhatikan Gambar 3.1.
𝑓(𝑐 + ℎ)
𝑄 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) 𝑓
𝑓(𝑐)
𝑃
𝑐
ℎ 𝑐+ℎ
Gambar 3.1. Gradien garis singgung grafik 𝑓 Gradien garis singgung grafik 𝑓 pada suatu titik ditentukan dengan melakukan pendekatan garis yang melalui titik tersebut dan titik lainnya pada grafik yang sama. Semakin dekat titik yang kedua terhadap titik yang pertama, semakin dekat garis yang dibentuk dengan garis singgung pada titik pertama. Garis singgung grafik 𝑓 di titik 𝑃 dapat didekati oleh garis 𝑃𝑄 dengan membuat titik 𝑄 pada grafik 𝑓 sedekat mungkin dengan 𝑃. Oleh sebab itu, gradien garis singgung 𝑓 di titik 𝑃 dapat diperoleh dari gradien garis 𝑃𝑄 dengan 𝑄 sangat dekat dengan 𝑃. Dengan kata lain, gradien garis singgung 𝑓 di titik 𝑃 (dinotasikan dengan 𝑚) dapat diperoleh dengan 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) . ℎ→0 ℎ
𝑚 = lim 𝑚𝑃𝑄 = lim 𝑄→𝑃
Untuk memperjelas pemahaman saudara silahkan perhatikan [VIDEO PENGANTAR KONSEP TURUNAN-KECEPATAN SESAAT DAN GRADIEN GARIS SINGGUNG] pada [VG-M3-KB3 ; VT-M3-KB3]
107
Definisi 3.1. Gradien garis singgung grafik 𝑓 pada titik 𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)) didefinisikan dengan 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ→0 ℎ
𝑚 = lim
apabila limit tersebut ada dan tidak bernilai ∞ atau −∞.
Untuk memperjelas pemahaman definisi tersebut, perhatikan contoh 3.1 berikut. Contoh 3.1. Tentukan gradien garis singgung grafik 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 pada (a) 𝑥 = 𝑐 1
(b) titik-titik dengan absis 0, 2 , 2, dan 3. Penyelesaian: (a) Dengan menggunakan Definisi 1 diperoleh untuk 𝑥 = 𝑐: 𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ→0 ℎ
𝑚 = lim
(𝑐 + ℎ)2 + 2(𝑐 + ℎ) + 2 − (𝑐 2 + 2𝑐 + 2) = lim ℎ→0 ℎ 𝑐 2 + 2𝑐ℎ + ℎ2 + 2𝑐 + 2ℎ + 2 − (𝑐 2 + 2𝑐 + 2) ℎ→0 ℎ = lim (2𝑐 + 2 + ℎ) = 2𝑐 + 2. = lim
ℎ→0
(b) Gradien garis singgung untuk masing-masing titik dihitung dengan mensubstitusikan nilai dari 𝑥 menggantikan 𝑐. Diperoleh Untuk 𝑥 = 0, nilai 𝑚 = 2(0) + 2 = 2. 1
1
Untuk 𝑥 = 2, nilai 𝑚 = 2 (2) + 2 = 3. Untuk 𝑥 = 2, nilai 𝑚 = 2(2) + 2 = 6. Untuk 𝑥 = 3, nilai 𝑚 = 2(3) + 2 = 8.
108
Bentuk lain Definisi 3.1 diperoleh dengan mendefinisikan 𝑥 = 𝑐 + ℎ. Dari definisi tersebut diperoleh ℎ = 𝑥 − 𝑐 dan untuk ℎ → 0 ⇔ 𝑥 → 𝑐. 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐
Diperoleh 𝑓 ′ (𝑐) = lim
Dengan syarat limit tersebut ada atau dengan kata lain 𝑓−′ (𝑐) = 𝑓+′ (𝑐) 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) (Turunan kiri di c) 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) (Turunan kanan di c). dan 𝑓+′ (𝑐) = lim+ 𝑥→𝑐 𝑥−𝑐
di mana 𝑓−′ (𝑐) = lim−
Masalah lainnya yang berkaitan dengan turunan adalah kecepatan sesaat. Kecepatan sesaat beda dengan kecepatan rata-rata. Kecepatan sesaat digunakan untuk menghitung kecepatan saat 𝑡. Definisi perhitungan kecepatan sesaat sama dengan gradien pada Definisi 3.1 dengan 𝑓 menyatakan fungsi dari jarak yang ditempuh. Perumumam dari Definisi 3.1 menghasilkan definisi turunan fungsi 𝑓 pada sembarang titik 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 yang diberikan pada Definisi 3.2. Definisi 3.2. Turunan dari fungsi 𝑓 adalah fungsi 𝑓′ dengan 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) . ℎ→0 ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
Untuk memperjelas pemahaman saudara, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh 3.2. Tentukan 𝑓 ′ (𝑥) apabila 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2. Penyelesaian: Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ
(𝑥 + ℎ)2 + 2 − (𝑥 2 + 2) ℎ→0 ℎ
= lim
𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 2 − (𝑥 2 + 2) ℎ→0 ℎ
= lim
109
= lim (2𝑥 + ℎ) = 2𝑥. ℎ→0
Contoh 3.3. 1
Tentukan 𝑓 ′ (𝑥) apabila 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 . Penyelesaian: Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ
ℎ→0
1 1 − 2 2 (𝑥 + ℎ) 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ 𝑥 2 − (𝑥 + ℎ)2 = lim ℎ→0 ℎ(𝑥 + ℎ)2 𝑥 2 𝑥 2 − (𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) ℎ→0 ℎ(𝑥 + ℎ)2 𝑥 2
= lim
−ℎ(2𝑥 + ℎ) ℎ→0 ℎ(𝑥 + ℎ)2 𝑥 2
= lim
= lim [− ℎ→0
(2𝑥 + ℎ) 2𝑥 2 ] = − 4 = − 3 = −2𝑥 −3 . 2 2 (𝑥 + ℎ) 𝑥 𝑥 𝑥
Contoh 3.4. Dipunyai 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Tunjukkan Jika 𝑓 ′ (0) ada maka 𝑓 ′ (𝑎) ada dan 𝑓 ′ (𝑎) = 𝑓 ′ (0). Bukti: Adt. 𝑓(0) = 0. Ambil sebarang 𝑥 ∈ ℝ. Jelas 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 0) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(0) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(0) ⇔ 𝑓(0) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0. Jelas 𝑓 ′ (0) ada dan 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥−0
𝑓 ′ (0) = lim atau
110
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0) 𝑓(0) + 𝑓(ℎ) − 𝑓(0) 𝑓(ℎ) = lim = lim . ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑎) + 𝑓(ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑓 ′ (𝑎) = lim = lim ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ 𝑓(ℎ) = lim = 𝑓′ (0). ℎ→0 ℎ 𝑓 ′ (0) = lim
b. Teorema-teorema turunan Kaitan antara fungsi yang diferensiabel (mempunyai turunan) dengan kekontinuan fungsi tersebut diberikan pada Teorema 3.1. Teorema 3.1. Jika 𝑓 ′ (𝑐) ada maka 𝑓 kontinu pada 𝑐. Dari teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi yang mempunyai turunan pada domainnya pasti kontinu pada domainnya tetapi fungsi kontinu tidak menjamin eksistensi turunan dari fungsi tersebut. Berikut contoh fungsi yang kontinu pada suatu titik tetapi tidak mempunyai turunan pada titik tersebut. Contoh 3.5. Periksa eksistensi 𝑓 ′ (0) apabila 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Penyelesaian: −𝑥, 𝑥 < 0 Jelas 𝑓(𝑥) = |𝑥| = { . 𝑥, 𝑥 ≥ 0 Jelas 𝑓 kontinu di 𝑥 = 0. 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) −𝑥 = lim = lim(−1) = −1 dan 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥−0 𝑓(𝑥) − 𝑓(0) 𝑥 𝑓+′ (0) = lim+ = lim = lim(1) = 1. 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑥−0 ′ (0) ′ (0). Jadi 𝑓− ≠ 𝑓+ Jelas 𝑓−′ (0) = lim−
Jadi 𝑓 ′ (0) tidak ada.
111
Notasi lain yang biasanya digunakan dalam menuliskan turunan adalah notasi Leibniz, sebagai contoh 𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥), = 𝑦 ′, 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 [𝑓(𝑥)] 𝑑2 𝑦 ′′ (𝑥), = 𝑓 = 𝑦 ′′ . 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 Contoh 3.6. 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑥 < 2 Diketahui 𝑓(𝑥) = { . 𝑥2, 𝑥 ≥ 2 Tentukan 𝑚 dan 𝑏 sehingga 𝑓 dapat diturunkan di mana saja. Penyelesaian: Jelas 𝑓(2) = 22 = 4. Jelas 𝑓 kontinu pada 𝑥 = 2 sehingga 2𝑚 + 𝑏 = 4. 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) 𝑥→2 𝑥−2 𝑚𝑥 + 𝑏 − 4 = lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑚𝑥 + 𝑏 − (2𝑚 + 𝑏) = lim 𝑥→2 𝑥−2 𝑚(𝑥 − 2) = lim = 𝑚 dan 𝑥→2 𝑥 − 2 𝑓(𝑥) − 𝑓(2) 𝑓+′ (2) = lim+ 𝑥→2 𝑥−2
Jelas 𝑓−′ (2) = lim−
𝑥2 − 4 𝑥→2 𝑥 − 2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = lim 𝑥→2 𝑥−2 = lim
= lim(𝑥 + 2) = 4. 𝑥→2
Jelas
𝑓−′ (2)
= 𝑓+′ (2) ⇔ 𝑚 = 4.
Jelas 2.4 + 𝑏 = 4 ⇔ 𝑏 = −4. Jadi 𝑚 = 4 dan 𝑏 = −4.
Rumus turunan beberapa fungsi diberikan pada teorema-teorema berikut ini.
112
1) Turunan dari fungsi konstan. Teorema 3.2. Dipunyai 𝑘 suatu konstanta real dan 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∀𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥
=
𝑑(𝑘) 𝑑𝑥
= 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼.
2) Turunan dari penjumlahan dan perkalian fungsi dengan konstanta. Dengan menggunakan definisi turunan, diperoleh turunan dari penjumlahan dan perkalian fungsi dengan konstanta sebagai berikut. Teorema 3.3. Jika fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 maka (𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥) dan (𝑘. 𝑓)′ (𝑥) = 𝑘. 𝑓 ′ (𝑥) dengan 𝑘 sembarang bilangan real. 3) Turunan dari perkalian dan pembagian fungsi. Teorema 3.4. Jika fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 maka (𝑓. 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) dan 𝑓 ′ 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) ( ) (𝑥) = , dengan syarat 𝑔(𝑥) ≠ 0. [𝑔(𝑥)]2 𝑔 Bukti: Dengan menggunakan definisi jelas bahwa (𝑓. 𝑔)(𝑥 + ℎ) − (𝑓. 𝑔)(𝑥) ℎ→0 ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim ℎ→0 ℎ (𝑓. 𝑔)′ (𝑥) = lim
𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) ℎ→0 ℎ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥 + ℎ) . lim + lim . lim 𝑔(𝑥) ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ = lim
= 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥).
113
Bukti turunan pembagian fungsi diberikan berikut ini. 𝑓
Tulis 𝑔 = ℎ. 𝑓
𝑓(𝑥)
Jelas (𝑔) (𝑥) = ℎ(𝑥) ⇔ 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥). 𝑔(𝑥). Karena 𝑓′ ada maka ℎ′ juga ada. Jelas 𝑓′(𝑥) = ℎ(𝑥). 𝑔′(𝑥) + ℎ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) ⇔ ℎ′ (𝑥) = ′
𝑓 ′ (𝑥) − ℎ(𝑥). 𝑔′ (𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑓 ⇔ ( ) (𝑥) = 𝑔
𝑓(𝑥) ′ . 𝑔 (𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) −
𝑓 ′ 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) (𝑥) ⇔( ) = . [𝑔(𝑥)]2 𝑔 4) Turunan dari 𝑥 𝑛 . Teorema 3.5. Jika 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ dan 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 dengan 𝑛 bilangan bulat tak nol maka 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑥 𝑛 ] 𝑑𝑥
= 𝑛𝑥 𝑛−1 .
Bukti untuk 𝑛 merupakan bilangan bulat positif (bilangan asli) menggunakan induksi matematika dan untuk 𝑛 merupakan bilangan bulat negatif menggunakan turunan pembagian fungsi.
5) Turunan dari fungsi trigonometri. Dengan menggunakan definisi dan teorema-teorema turunan yang diberikan sebelumnya, diperoleh turunan untuk fungsi trigonometri sebagai berikut.
114
Teorema 3.6. Turunan fungsi trigonometri diberikan berikut ini. 𝑑(sin 𝑥) = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(cos 𝑥) (2) = − sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(tan 𝑥) (3) = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 (1)
𝑑(sec 𝑥) = sec 𝑥 . tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(csc 𝑥) (5) = − csc 𝑥 . cot 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(cot 𝑥) (6) = −csc 2 𝑥 𝑑𝑥 (4)
Contoh 3.7. sin 𝑥 𝑑(tan 𝑥) 𝑑 (cos 𝑥 ) Jelas = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑(sin 𝑥) 𝑑(cos 𝑥) . cos 𝑥 − sin 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = [cos 𝑥]2 =
cos 𝑥 . cos 𝑥 − sin 𝑥 . (− sin 𝑥) [cos 𝑥]2
=
(cos2 𝑥 + sin2 𝑥) 1 = = sec 2 𝑥. 2 cos 𝑥 cos 2 𝑥
c. Aturan rantai Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi. Selengkapnya diberikan pada Teorema 3.7. Teorema 3.7. Jika 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 dan 𝑓 mempunyai turunan di 𝑔(𝑥) maka 𝑑[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)] 𝑑[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)] 𝑑[𝑔(𝑥)] = . = 𝑓 ′ [𝑔(𝑥)]. 𝑔′ (𝑥). 𝑑𝑥 𝑑[𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 Apabila 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) maka Teorema 3.7 dapat dituliskan 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = . . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 115
Bentuk tersebut dapat diperumum untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Sebagai contoh untuk komposisi 3 tiga fungsi yaitu Apabila 𝑦 = (𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ)(𝑥), 𝑢 = (𝑔 ∘ ℎ)(𝑥), dan 𝑣 = 𝑔(𝑥) maka diperoleh atau
𝑑[(𝑓∘𝑔∘ℎ)(𝑥)] 𝑑𝑥
=
𝑑[(𝑓∘𝑔∘ℎ)(𝑥)] 𝑑[(𝑔∘ℎ)(𝑥)] 𝑑[ℎ(𝑥)] 𝑑[(𝑔∘ℎ)(𝑥)]
.
𝑑[ℎ(𝑥)]
.
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑣 = . . . 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥
Contoh 3.8. Tentukan 𝑓 ′ (𝑥) apabila 𝑓(𝑥) = sin6(𝑥 2 + 2𝑥 + 5). Penyelesaian: Jelas 𝑓
′ (𝑥)
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑[sin6 (𝑥 2 + 2𝑥 + 5)] = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑[sin6(𝑥 2 + 2𝑥 + 5)] 𝑑[sin(𝑥 2 + 2𝑥 + 5)] 𝑑(𝑥 2 + 2𝑥 + 5) = . . 𝑑[sin(𝑥 2 + 2𝑥 + 5)] 𝑑(𝑥 2 + 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 = 6. sin5 (𝑥 2 + 2𝑥 + 5) . cos(𝑥 2 + 2𝑥 + 5) . (2𝑥 + 2) = 12(𝑥 + 1). cos(𝑥 2 + 2𝑥 + 5) . sin5 (𝑥 2 + 2𝑥 + 5).
2. Turunan Fungsi Implisit dan Fungsi Invers a. Turunan fungsi implisit Pada materi-materi sebelumnya, penulisan variabel 𝑥 dan 𝑦 dalam nilai fungsi berada pada ruas yang berbeda atau dituliskan sebagai 𝑦 = 𝑓(𝑥). Fungsi yang nilai fungsinya disajikan dalam ruas yang berbeda yaitu 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang penyajian nilai fungsinya tidak seperti itu disebut fungsi implisit, sebagai contoh 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9,
𝑥2 9
𝑦2
+ 25 = 1, dan cos 𝑥𝑦 + 𝑦. sin 𝑥 + 3𝑥 2 𝑦 = 0. Untuk
menentukan turunan dari 𝑦 dari suatu fungsi implisit dilakukan dengan melakukan proses penurunan pada kedua ruas dan gunakan teorema turunan yang sesuai. Perhatikan contoh berikut. Contoh 3.9. Tentukan persamaan garis singgung di titik (3,4) pada lingkaran dengan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25.
116
Penyelesaian: Jelas
𝑑(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑(25) 𝑑(𝑥 2 ) 𝑑(𝑦 2 ) 𝑑𝑦 = ⇔ + . =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
⇔ 2𝑥 + 2𝑦.
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑥 =0⇔ =− . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦
Tulis 𝑚: Gradien garis singgung. 𝑑𝑦
Jelas 𝑚 = 𝑑𝑥 |
(3,4)
𝑥
= − 𝑦|
(3,4)
3
= − 4. 3
Jadi PGS di (3,4): 𝑦 − 4 = − 4 (𝑥 − 3) ⇔ 3𝑥 + 4𝑦 = 25. Gambar situasinya dapat dilihat pada Gambar 3.2. Y (3,4) (–5,0) O
X s
Gambar 3.2. Persamaan garis singgung pada lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 di titik (3,4) Contoh 3.10. Dipunyai persamaan lingkaran 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 3 = 0. Tentukan persamaan dua garis singgung yang melalui titik (0,0). Penyelesaian: Jelas 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 = −3 + 4 ⟺ (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 1. Jelas
𝑑[(𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 ] 𝑑(1) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[(𝑥 − 2)2 ] 𝑑[𝑦 2 ] ⟺ + =0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[(𝑥 − 2)2 ] 𝑑(𝑥 − 2) 𝑑(𝑦 2 ) 𝑑𝑦 ⟺ + . 𝑑(𝑥 − 2) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ⟺ 2(𝑥 − 2) + 2𝑦.
𝑑𝑦 𝑑𝑦 −(𝑥 − 2) =0⟺ = . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦
117
Tulis 𝑙: persamaan garis singgung yang melalui titik (0,0) dan (𝑥0 , 𝑦0 ) : titik singgung garis 𝑙 pada lingkaran tersebut. 𝑦 −0
𝑦
Jelas 𝑚𝑙 = 𝑥0 −0 = 𝑥0 dan 𝑚𝑙 = 0
𝑦
Jadi 𝑥0 =
−(𝑥0 −2)
.
𝑦0
0
−(𝑥0 −2)
0
𝑦0
⟺ 𝑦0 2 = −𝑥0 . (𝑥0 − 2) ⟺ 𝑦0 2 = −(𝑥0 2 − 2𝑥0 ) ⟺ 𝑥0 2 + 𝑦0 2 − 2𝑥0 = 0. Jelas (𝑥0 , 𝑦0 ) berada pada lingkaran. Jadi 𝑥0 2 + 𝑦0 2 − 4𝑥0 = −3 𝑥0 2 + 𝑦0 2 − 2𝑥0 = 0 3
−2𝑥0 = −3 ⟺ 𝑥0 = 2. 3 2
3
3
Jadi 𝑦0 2 = − [(2) − 2 (2)] ⟺ 𝑦0 2 = 4 ⟺ 𝑦0 = −
√3 √3 ⋁𝑦0 = . 2 2
Jadi 𝑙: 𝑦 = 𝑚𝑙 𝑥 ⟺ 𝑦 =
√3 2 3 2
−
𝑥=−
√3 𝑥 3
dan 𝑦 =
√3 𝑥. 3
Dengan menggunakan aturan turuan fungsi implisit dapat diperoleh teorema perumuman turunan dari 𝑥 𝑛 sebagai berikut. Teorema 3.8. 𝑚
Jika 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ dan 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat 𝑚
tak nol maka 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑥 𝑛 ] 𝑑𝑥
=
𝑚
𝑚
. 𝑥 𝑛 −1 . 𝑛
Bukti: 𝑚
Tulis 𝑦 = 𝑥 𝑛 . Jelas 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑚 𝑑(𝑦 𝑛 ) 𝑑(𝑥 𝑚 ) 𝑑(𝑦 𝑛 ) 𝑑𝑦 𝑑(𝑥 𝑚 ) ⇔ = ⇔ . = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥
118
⇔ 𝑛. 𝑦 𝑛−1 . ⇔ 𝑛. 𝑥 ⇔
𝑚−
𝑚 𝑑𝑦 (𝑛−1) 𝑑𝑦 = 𝑚. 𝑥 𝑚−1 ⇔ 𝑛. 𝑥 𝑛 . = 𝑚. 𝑥 𝑚−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑚 𝑑𝑦 𝑛.
𝑑𝑥
= 𝑚. 𝑥
𝑚−1
𝑑𝑦 𝑚 𝑥 𝑚−1 ⇔ = . 𝑑𝑥 𝑛 𝑥 𝑚−𝑚 𝑛
𝑑𝑦 𝑚 𝑚−1+𝑚−𝑚 𝑑𝑦 𝑚 𝑚−1 𝑛 = .𝑥 ⇔ = .𝑥𝑛 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑛 𝑚
⇔
𝑑 (𝑥 𝑛 ) 𝑑𝑥
=
𝑚 𝑚−1 .𝑥𝑛 . 𝑛
b. Turunan Fungsi Invers Fungsi invers adalah sebuah fungsi yang apabila dikomposisikan dengan fungsi semula akan menghasilkan fungsi identitas atau dapat dituliskan 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝐼 atau (𝑓 ∘ 𝑓 −1 )(𝑥) = (𝑓 −1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥. Syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan domain dari fungsi inversnya adalah Range dari fungsi semula. Dapat dituliskan dalam Teorema 3.9. Teorema 3.9. Jika 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊂ ℝ dan 𝑓 merupakan fungsi injektif maka 𝑓 mempunyai invers yaitu 𝑓 −1 : 𝑅𝑓 → 𝐼 dengan 𝑅𝑓 menyatakan Range/daerah hasil 𝑓.
Berikut teorema untuk menentukan turunan invers suatu fungsi. Teorema 3.10. Jika 𝑓 mempunyai turunan pada 𝐼 ⊂ ℝ dan 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 pada 𝐼 maka 𝑓 −1 mempunyai turunan pada 𝑓(𝐼) dan dapat ditentukan dengan (𝑓 −1 )′ (𝑥) =
1 𝑓 ′ [𝑓 −1 (𝑥)]
atau
𝑑𝑥 1 = . 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Contoh 3.11. 𝑥
Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ − {−1} → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥+1. Tentukan (𝑓 −1 )(𝑥).
119
Penyelesaian: Jelas 𝑓 −1 ada (bukti diserahkan kepada pembaca) dengan 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥
, nilai 𝑥 ≠ 1 dan (𝑓 −1 )′ (𝑥) = 1−𝑥
𝑑[𝑓 −1 (𝑥)]
=
𝑑𝑥
𝑑(
𝑥 ) 1−𝑥
𝑑𝑥
1
= (1−𝑥)2.
1
Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥+1)2. 1
Jadi (𝑓 −1 )′ (𝑥) = 𝑓′ [𝑓−1(𝑥)] =
1 𝑥 𝑓′( ) 1−𝑥
1
=
1 (
2 𝑥 +1) 1−𝑥
1
= (1−𝑥)2.
Dengan menggunakan teorema di atas dapat diperoleh turunan dari invers fungsi trigonometri yang diberikan berikut ini. Teorema 3.11. (𝑎)
𝑑(sin−1 𝑥) 1 = , |𝑥| < 1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2
(𝑑)
𝑑(cot −1 𝑥) −1 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2
𝑑(sec −1 𝑥) 1 𝑑(cos −1 𝑥) −1 (𝑒) = , |𝑥| > 1 (𝑏) = , |𝑥| < 1 𝑑𝑥 |𝑥|√𝑥 2 − 1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 (𝑐)
𝑑(tan−1 𝑥) 1 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2
(𝑓)
𝑑(css−1 𝑥) −1 = , |𝑥| > 1 𝑑𝑥 |𝑥|√𝑥 2 − 1
Akan dibuktikan Teorema 3.11 untuk (b) dan (e). Bukti (b): Tulis 𝑦 = cos −1 𝑥. Jelas 𝑥 = cos 𝑦. Jelas Jadi
𝑑𝑥 𝑑(cos 𝑦) = = − sin 𝑦 = −√1 − cos2 𝑦. 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑(cos−1 𝑥) 𝑑𝑦 1 1 −1 = = =− = . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 √1 − cos 2 𝑦 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑦
Jelas 1 − 𝑥 2 > 0 ⇔ 𝑥 2 < 1 ⇔ |𝑥| < 1. Bukti (e): Tulis sec −1 𝑥 = 𝑦. Jelas 𝑥 = sec 𝑦 ⇔ 𝑥 =
1 1 ⇔ cos 𝑦 = cos 𝑦 𝑥
1 1 ⇔ 𝑦 = cos −1 ( ) ⇔ sec −1 𝑥 = cos−1 ( ). 𝑥 𝑥
120
1 −1 1 −1 1 𝑑(sec −1 𝑥) 𝑑 [cos (𝑥)] 𝑑 [cos (𝑥)] 𝑑 (𝑥) Jadi = = . 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 (𝑥) −1
=
2
.
ට1 − (1) 𝑥
|𝑥| −1 1 √𝑥 2 1 1 = . = . = . 𝑥 2 √𝑥 2 − 1 𝑥 2 √𝑥 2 − 1 𝑥 2 |𝑥|√𝑥 2 − 1
Jelas 𝑥 2 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 2 > 1 ⇔ |𝑥| > 1. Contoh 3.12. Tentukan 𝑓′(𝑥) dari 𝑓(𝑥) = sin−1(2𝑥 + 5). Penyelesaian: Jelas 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑[sin−1(2𝑥 + 5)] 𝑑(2𝑥 + 5) = . 𝑑𝑥 𝑑(2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 =
2 √1 − (2𝑥 + 5)2
.
Dengan menggunakan langkah lain: Tulis 𝑦 = sin−1 (2𝑥 + 5). Jelas 2𝑥 + 5 = sin 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑 [ ⇔ = 𝑑𝑦 Jadi
−5 + sin 𝑦 2
−5 + sin 𝑦 ] 𝑑𝑥 cos 𝑦 2 ⇔ = . 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2
𝑑[sin−1(2𝑥 + 5)] 𝑑𝑦 1 2 = = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑦 = =
2 √1 − sin2 𝑦 2 √1 − (2𝑥 + 5)2
.
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. 121
Definisi 3.3. Diberikan fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑀 = 𝑓(𝑐) untuk suatu 𝑐 ∈ 𝐼. (a) 𝑀 merupakan nilai maksimum (mutlak) 𝑓 apabila 𝑀 ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼. (b) 𝑀 merupakan nilai minimum (mutlak) 𝑓 apabila 𝑀 ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼.. (c) Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi disebut nilai ekstrim (mutlak) fungsi tersebut. Contoh 3.13. Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 . Sketsa grafik 𝑓 dapat dilihat pada Gambar 3.3. 𝑌 𝑓
O
𝑋
(1,0)
Gambar 3.3. Grafik 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 . Intuisi: 𝑓(1) = 0 merupakan nilai minimum 𝑓(𝑥). Bukti: Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. Jelas (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⇔ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(1). Jadi 𝑓(1) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ. Jadi 𝑓(1) = 0 merupakan nilai minimum f. Contoh 3.14. Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)2 + 1. Sketsa grafik 𝑓 dapat dilihat pada Gambar 3.4. 𝑌 (2,1) (1,0)
(3,0)
O
𝑋
(0, −3) 𝑓
Gambar 3.4. Grafik 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)2 + 1.
122
Intuisi: 𝑓(2) = 1 merupakan nilai maksimum 𝑓. Bukti: Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. Jelas (𝑥 − 2)2 ≥ 0 ⇔ −(𝑥 − 2)2 + 1 ≤ 1 ⇔ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(2). Jadi 𝑓(2) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ. Jadi 𝑓(2) = 1 merupakan nilai maksimum f. Sekarang perhatikan fungsi 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 1 . 2 − 𝑥, 𝑥 > 1
Sketsa grafik 𝑓 dapat dilihat pada Gambar 3.5. Y
1 O
1
X
2 f
Gambar 3.5. Grafik 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 1 . 2 − 𝑥, 𝑥 > 1
Pada Gambar 3.5 terlihat bahwa terdapat suatu selang sehingga 𝑓(0) = 0 merupakan nilai minimum 𝑓 akan tetapi masih ada nilai 𝑓(𝑥) yang kurang dari 0. Demikian juga terdapat suatu selang sehingga nilai 𝑓(1) = 1 merupakan nilai maksimum 𝑓 akan tetapi masih ada nilai 𝑓(𝑥) yang lebih dari 1. Nilai 𝑓(0) = 0 disebut nilai minimum relatif 𝑓 dan nilai 𝑓(1) = 1 disebut nilai maksimum relatif 𝑓. Berdasarkan kenyataan ini dapat didefinisikan konsep tentang nilai ekstrim relatif suatu fungsi sebagai berikut.
123
Definisi 3.4. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ . (a) Jika terdapat suatu selang buka 𝐷 ⊂ 𝐼 yang memuat 𝑐 sehingga berlaku 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷, maka 𝑓(𝑐) disebut nilai maksimum relatif 𝑓. (b) Jika terdapat suatu selang buka 𝐷 ⊂ 𝐼 yang memuat 𝑐 sehingga berlaku 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷, maka 𝑓(𝑐) disebut nilai minimum relatif 𝑓.
Contoh 3.15. Dari fungsi 𝑓 pada Gambar 5, tunjukkan bahwa (a) 𝑓(0) = 0 merupakan nilai minimum relatif 𝑓 dan (b) 𝑓(1) = 1 merupakan nilai maksimum relatif 𝑓. Bukti: Dipunyai 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 1 . 2 − 𝑥, 𝑥 > 1
1
1
1
1 1
(a) Pilih 𝛿 = 4. Bangun 𝐷 = (0 − 4 , 0 + 4) = (− 4 , 4). 1
1
Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝐷. Jelas − 4 < 𝑥 < 4. 1
Kasus − 4 < 𝑥 < 0: 1
1
1
1
Jelas 0 < 𝑥 2 < 16 ⇔ 𝑓(0) < 𝑓(𝑥) < 16. 1
Kasus 0 ≤ 𝑥 < 4: Jelas 0 ≤ 𝑥 2 < 16 ⇔ 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑥) < 16. Jadi terdapat selang buka 𝐷 ⊂ ℝ sehingga 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷. Jadi 𝑓(0) = 0 merupakan nilai minimum relatif 𝑓. 1
1
1
3 5
(b) Pilih 𝛿 = 4. Bangun 𝐷 = (1 − 4 , 1 + 4) = (4 , 4). 3
5
Ambil sembarang 𝑥 ∈ 𝐷. Jelas 4 < 𝑥 < 4. 3
Kasus 4 < 𝑥 ≤ 1: 9
9
Jelas 16 < 𝑥 2 ≤ 1 ⇔ 16 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(1).
124
5
Kasus 1 < 𝑥 < 4: 5
3
3
Jelas −1 > −𝑥 > − 4 ⇔ 1 > 2 − 𝑥 > 4 ⇔ 𝑓(1) > 𝑓(𝑥) > 4. Jadi terdapat selang buka 𝐷 ⊂ ℝ sehingga 𝑓(1) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷. Jadi 𝑓(1) = 1 merupakan nilai maksimum relatif 𝑓. Catatan: Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi juga merupakan nilai ekstrim relatif.
Berikut ini disajikan suatu bilangan yang penting untuk menentukan nilai ekstrim relatif. Bilangan tersebut disebut bilangan kritis yang merupakan calon kuat nilai ekstrim. Definisi 3.5. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑐 ∈ 𝐼. Jika 𝑓 ′ (𝑐) = 0 atau 𝑓 ′ (𝑐) tidak ada maka 𝑐 disebut bilangan kritis 𝑓. Contoh 3.16. Dipunyai 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 8. Periksa apakah 𝑓 mempunyai nilai ekstrim. Penyelesaian: Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔
𝑑(𝑥 2 − 4𝑥 + 8) = 0 ⇔ 2𝑥 − 4 = 0 ⇔ 𝑥 = 2. 𝑑𝑥
Jelas 𝑥 = 2 merupakan bilangan kritis 𝑓 dan Jelas 𝑓(2) = Ambil sembarang 𝑥 ∈ ℝ. Jelas 𝑓(2) − 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 8 = −(𝑥 − 2)2 ≤ 0. Jadi 𝑓(2) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ. Jadi 𝑓(2) = 4 suatu nilai minimum mutlak 𝑓.
Contoh 3.17. Dipunyai 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Periksa apakah 𝑓 mempunyai nilai ekstrim. Penyelesaian: Jelas 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0∀𝑥 ∈ ℝ. 125
Jelas 𝑓 ′ (0) tidak ada. Jelas 𝑓(𝑥) = |𝑥| ≥ 0 = |0| = 𝑓(0)∀𝑥 ∈ ℝ. Jadi 𝑓(0) = 0 merupakan nilai minimum mutlak 𝑓.
Berikut ini disajikan suatu teorema eksistensi nilai ekstrim suatu fungsi. Teorema 3.12. Jika fungsi 𝑓 kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka fungsi 𝑓 memiliki nilai minimum dan maksimum mutlak. Dari Definisi 3.5 dan Teorema 3.12 dapat dirumuskan Teorema terkait dengan bilangan kritis sebagai berikut. Teorema 3.13. Jika 𝑓 terdefinisi pada suatu selang 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah suatu nilai ekstrim maka 𝑐 haruslah merupakan bilangan kritis fungsi 𝑓 dan 𝑐 memenuhi salah satu dari berikut ini. (a) 𝑐 merupakan titik ujung 𝐼, (b) 𝑐 merupakan titik stationer 𝑓 (𝑓 ′ (𝑐) = 0), (c) 𝑐 merupakan titik singular 𝑓 (𝑓 ′ (𝑐) tidak ada).
Teorema Rolle merupakan teorema tentang eksistensi suatu titik di domain suatu fungsi yang turunan fungsi di titik itu sama dengan nol. Berikut disajikan Teorema Rolle. Teorema 3.14. (Teorema Rolle) Dipunyai fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ. Jika (1) 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], (2) 𝑓 mempunyai turunan pada (𝑎, 𝑏), dan (3) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) maka terdapat titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓 ′ (𝑐) = 0. Berikut ini disajikan teorema yang lebih umum dari Teorema Rolle yang disebut dengan teorema nilai rata-rata (TNR).
126
Teorema 3.15. (Teorema Nilai Rata-rata) Dipunyai fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ. Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑓 mempunyai turunan pada (𝑎, 𝑏) maka terdapat titik 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓 ′ (𝑐) =
(a) Nilai
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎
.
merupakan talibusur 𝐴𝐵 dengan 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) dan
𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)). (b) Jika 𝑓 memenuhi kondisi teorema ini maka terdapat suatu garis singgung yang memiliki gradien sama dengan gradien talibusur 𝐴𝐵. Interpretasi geometri tersebut dapat dilihat pada gambar berikut ini. 𝑌 𝑠 𝑓(𝑏)
𝐵
f
𝑓(𝑎) O
A 𝑎
𝑏
𝑋
Gambar 3.6. Interpretasi teorema nilai rata-rata
b. Kemonotonan grafik fungsi Pada bagian ini akan disajikan konsep tentang naik atau turunnya fungsi kaitannya dengan turunan fungsi itu dan uji turunan pertama untuk eksrim relatif suatu fungsi. Berikut diberikan definisi naik turunnya grafik fungsi. Definisi 3.6. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ. (a) Grafik fungsi 𝑓 dikatakan naik pada 𝐼 apabila ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). (b) Grafik fungsi 𝑓 dikatakan turun pada 𝐼 apabila ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐼, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ).
127
Kaitan antara naik-turunnya fungsi dengan turunan fungsi diberikan pada Teorema berikut. Teorema 3.16. Dipunyai 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑓 ′ (𝑥) ada untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 kecuali mungkin di titik-titik ujungnya. (i) Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung maka grafik 𝑓 naik pada 𝐼. (ii) Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung maka grafik 𝑓 turun pada 𝐼. Berikut ini disajikan langkah-langkah untuk menentukan selang terbesar di mana grafik 𝑓 naik atau turun: (1) tentukan bilangan kritis untuk 𝑓, (2) tentukan selang-selang dalam domain f berdasarkan bilanganbilangan kritis dan nilai-nilai 𝑥 sehingga 𝑓 tak terdefinisi, dan (3) manfaatkan Teorema 3.16.
Contoh 3.18. 𝑥2
Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ − {1} → ℝ dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥−1. Tentukan di mana grafik 𝑓 naik dan turun. Penyelesaian: Jelas 𝑓 tak terdefinisi di 𝑥 = 1 dan 𝑓 ′ (𝑥) = Jelas 𝑓 ′ (1) tidak ada dan 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔
𝑥2 ) 𝑥−1
𝑑(
𝑥(𝑥−2) (𝑥−1)2
𝑑𝑥
=
𝑥(𝑥−2) . (𝑥−1)2
= 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2.
Karena 𝑓 tak terdefinisi di 𝑥 = 1, maka bilangan kritis 𝑓 hanya 0 dan 2. Bangun selang-selang (−∞, 0), (0,1), (1,2), dan (2, +∞). Kasus 𝑥 ∈ (−∞, 0): Jelas 𝑥 < 0, (𝑥 − 2) < 0, dan (𝑥 − 2)2 > 0. Jadi 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑥(𝑥−2) (𝑥−1)2
> 0.
Jadi grafik 𝑓 naik pada (−∞, 0).
128
Kasus 𝑥 ∈ (0, 1): Jelas 0 < 𝑥 < 1 ⇔ −2 < 𝑥 − 2 < −1 dan (𝑥 − 1)2 > 0. Jadi 𝑓 ′ (𝑥) < 0. Jadi grafik 𝑓 turun pada (0, 1). Kasus 𝑥 ∈ (1, 2): Jelas 1 < 𝑥 < 2 ⇔ −1 < 𝑥 − 2 < 0 dan (𝑥 − 1)2 > 0. Jadi 𝑓 ′ (𝑥) < 0. Jadi grafik 𝑓 turun pada (1, 2). Kasus 𝑥 ∈ (2, +∞): Jelas 𝑥 > 2. Jadi (𝑥 − 2) > 0 dan (𝑥 − 1)2 > 0. Jadi 𝑓 ′ (𝑥) > 0. Jadi grafik 𝑓 naik pada (2, +∞).
Berikut ini disajikan suatu teorema untuk menguji nilai ekstrim relatif suatu fungsi yang dikenal dengan Uji Turunan Pertama.
Teorema 3.17. (Uji Turunan Pertama) Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑐 ∈ 𝐼 suatu bilangan kritis untuk 𝑓. Jika 𝑓 ′ (𝑥) ada pada selang (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) untuk suatu ℎ > 0 kecuali mungkin di titik 𝑐 sendiri maka 𝑓(𝑐) ekstrim relatif jika dan hanya jika tanda 𝑓 ′ (𝑥) berganti tanda di 𝑥 = 𝑐. Secara khusus dinyatakan sebagai berikut: (1) Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk 𝑥 < 𝑐 dan 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk 𝑥 > 𝑐 maka 𝑓(𝑐) suatu maksimum relatif. (2) Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk 𝑥 < 𝑐 dan 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk 𝑥 > 𝑐 maka 𝑓(𝑐) suatu minimum relatif. (3) Jika 𝑓 ′ (𝑥) tidak berganti tanda di 𝑥 = 𝑐 maka 𝑓(𝑐) bukan suatu maksimum ataupun minimum relatif.
129
Contoh 3.19. Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 4𝑥 4 . Tentukan nilai ekstrim fungsi f. Penyelesaian: Jelas 𝑓
′ (𝑥)
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑(4𝑥 2 − 4𝑥 4 ) = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 8𝑥 − 16𝑥 3 = 8𝑥(𝑥 − 2𝑥 2 ).
Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 8𝑥(𝑥 − 2𝑥 2 ) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = − Jadi bilangan kritis 𝑓 adalah −
(−
𝑓 ′ (𝑥)
√2 ) 2 −
−
+
√2 . 2
√2 √2 , 0, dan 2 . 2
√2 2
(−
0
𝑓(𝑥)
𝑥=
√2 : 2
Uji turunan pertama di 𝑥 = − 𝑥
√2 ∨ 2
√2 ) 2 + −
Maks. Rel. 𝑓
Jadi 𝑓 (−
√2 ) 2
= 1 suatu maksimum relatif 𝑓.
Uji turunan pertama di 𝑥 = 0: 𝑥
(0)−
0
(0)+
𝑓 ′ (𝑥)
−
0
+
𝑓(𝑥)
Min. Rel. 𝑓
Jadi 𝑓(0) = 0 suatu minimum relatif 𝑓. Uji turunan pertama di 𝑥 =
√2 : 2
𝑥
√2 ( ) 2 −
√2 2
√2 ( ) 2 +
𝑓 ′ (𝑥)
+
0
−
𝑓(𝑥)
Maks. Rel. 𝑓 √2
Jadi 𝑓 ( 2 ) = 1 suatu maksimum relatif 𝑓. Skestas grafik f diberikan pada Gambar 3.7.
130
Y
1 X O f
Gambar 3.7. Sketsa grafik 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 4𝑥 4 .
c. Kecekungan grafik fungsi Setelah mempelajari naik turunnya grafik fungsi, selanjutnya akan disajikan materi terkait kecekungan grafik fungsi. Gambar-gambar berikut memberikan beberapa gambaran kecekungan pada beberapa nilai ekstrim. Y
B
f X C
A
Gambar 3.8. Fungsi 𝑓 mempunyai maksimum di 𝐵 dan minimum di A dan C. Akan tetapi cekung ke atas di kiri A dan di kanan C. Y B
X g A
C
Gambar 3.9. Fungsi g mempunyai maksimum di B dan minimum di A dan C. Akan tetapi cekung ke atas di antara A dan B dan di antara B dan C.
131
Definisi kecekungan grafik fungsi diberikan berikut ini. Definisi 3.7. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, 𝑓 kontinu pada 𝐼, dan 𝑓 ′ (𝑥) ada pada 𝐼 kecuali mungkin di titik-titik ujungnya. (a) Grafik fungsi 𝑓 dikatakan cekung ke atas pada 𝐼 apabila 𝑓 ′ merupakan fungsi naik pada 𝐼. (b) Grafik fungsi 𝑓 dikatakan cekung ke bawah pada 𝐼 apabila 𝑓 ′ merupakan fungsi turun pada 𝐼.
Berikut ini disajikan teorema yang mengaitkan kecekungan grafik suatu fungsi dengan nilai turunan kedua fungsi tersebut. Teorema 3.18. Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, 𝑓 kontinu pada 𝐼, dan 𝑓 ′ (𝑥) ada pada 𝐼 kecuali mungkin di titik-titik ujungnya. (a) Grafik 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼. (b) Grafik 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼. Apabila fungsi 𝑓 mempunyai turunan dan 𝑓 ′ kontinu, Teorema 17 mengisyaratkan langkah-langkah untuk menentukan selang di mana grafik fungsi 𝑓 cekung ke atas atau ke bawah. Langkah-langkah tersebut yaitu: (1) Tentukan bilangan 𝑐 sehingga 𝑓 ′′ (𝑐) = 0 atau 𝑓 ′′ (𝑐) tidak ada. (2) Bangun selang berdasarkan temuan titik 𝑐 pada butir (1). (3) Periksa tanda 𝑓 ′′ (𝑥) pada selang-selang itu.
Seperti dalam mencari selang-selang di mana 𝑓 naik atau turun, juga diperhatikan bilangan 𝑐 dengan 𝑓 ′ (𝑐) = 0 atau 𝑓′(𝑐) tidak ada. Titiktitik pada grafik 𝑓 yang memisahkan kurva dengan kecekungan berbeda
132
disebut titik infleksi. Berikut teorema yang mengaitkan turunan kedua suatu fungsi dengan nilai ekstrim relatif fungsi tersebut.
Teorema 3.19. (Uji Turunan Kedua) Dipunyai fungsi 𝑓: 𝐼 → ℝ, 𝐼 ⊆ ℝ, dan 𝑎 ∈ 𝐼. Jika 𝑓 ′ (𝑥) dan 𝑓 ′′ (𝑥) ada pada 𝐼 maka: (a) 𝑓 ′′ (𝑎) < 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu maksimum relatif 𝑓, (b) 𝑓 ′′ (𝑎) > 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu minimum relatif 𝑓, dan (c) 𝑓 ′′ (𝑎) = 0 ⇒ tidak ada kesimpulan
Contoh 3.20. Dipunyai fungsi 𝑓: ℝ → ℝ yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 4𝑥 4 . Pada Contoh 3.13 telah ditunjukkan bahwa
𝑓 (−
√2 ) 2
√2
= 1 = 𝑓(2)
merupakan maksimum relatif 𝑓, dan 𝑓(0) = 0 merupakan suatu minimum relatif 𝑓. Pada contoh kali ini akan digunakan uji turunan kedua. Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓 ′′ (𝑥) = Jelas 𝑓 ′′ (−
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑(4𝑥 2 − 4𝑥 4 ) = = 8𝑥 − 16𝑥 3 dan 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑[𝑓 ′ (𝑥)] 𝑑(8𝑥 − 16𝑥 3 ) = = 8 − 48𝑥 2 . 𝑑𝑥 𝑑𝑥
√2 ) 2
√2
< 0 dan 𝑓 ′′ ( 2 ) < 0, berakibat 𝑓 (−
√2 ) 2
√2
= 1 = 𝑓(2)
merupakan maksimum relatif 𝑓. Jelas 𝑓 ′′ (0) > 0 berakibat 𝑓(0) = 0 merupakan minimum relatif 𝑓.
d. Masalah maksimum minimum Berdasarkan teori-teori yang telah dipelajari sebelumnya, diberikan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan turunan terutama masalah maksimum dan minimum. Langkahlangkah ini dapat dikembangkan sesuai dengan karakteristik permasalah
133
yang hendak diselesaikan. Adapun langkah-langkah yang dimaksud adalah sebagai berikut: Langkah 1. Buatlah gambaran umum dari persoalan dan identifikasi variabel-variabel penting beserta satuan/besarannya. Langkah 2. Tuliskan
rumus
dari
fungsi
tujuannya
apakah
meminimumkan atau memaksimumkan. Langkah 3. Gunakan kondisi dalam masalah untuk mengeliminasi variabel sehingga fungsi tujuan menjadi fungsi dengan satu variabel. Langkah 4. Tentukan bilangan kritis (titik ujung selang, titik stationer, titik singular). Langkah 5. Substitusikan bilangan kritis ke fungsi tujuan atau gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan maksimum dan minimum dari fungsi tujuan tersebut.
Contoh 3.21. Temukan suatu persegipanjang yang ukuran luas daerahnya 64𝑐𝑚2 dan ukuran kelilingnya minimum. Penyelesaian: Tulis 𝑥: ukuran panjang persegipanjang (𝑐𝑚), 𝑦: ukuran lebar persegipanjang (𝑐𝑚), 𝐴: ukuran luas daerah persegipanjang (𝑐𝑚2 ), dan 𝐾: ukuran keliling persegipanjang (𝑐𝑚). Karena 𝑥 dan 𝑦 menyatakan ukuran panjang dan lebar maka 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 0. Dari soal diperoleh 𝐴 = 64 ⇔ 𝑥𝑦 = 64 ⇔ 𝑦 = Jelas 𝐾(𝑥) = 2(𝑥 + 𝑦) = 2 (𝑥 + Jelas 𝐾 ′ (𝑥) = 0 ⇔
134
64 𝑥
𝑑[2(𝑥+ )] 𝑑𝑥
64 𝑥
.
64 𝑥
). Jelas 𝑥 ≠ 0. 64
= 0 ⇔ 2 (1 − 𝑥 2 ) ⇔ 𝑥 = −8 ∨ 𝑥 = 8.
Jadi titik kritis 𝐾 adalah 𝑥 = 8. Uji turunan pertama di 𝑥 = 8: 𝑥
(8)−
8
(8)+
𝑓 ′ (𝑥)
−
0
+
𝑓(𝑥)
Min. Rel.
Jadi Persegipanjang yang ukuran luasnya 64𝑐𝑚2 dan ukuran kelilingnya minimum merupakan persegi dengan ukuran 8𝑐𝑚.
Contoh 3.22. Tentukan bilangan bulat yang akar kuadrat utamanya melebihi secara maksimum delapan kali bilangan tersebut. Penyelesaian: Cara 1: Tulis 𝑝: bilangan tersebut dan 𝑝 = 𝑥 2 dengan 𝑥 ≥ 0. Tulis 𝑓(𝑝) = √𝑝 − 8𝑝 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 8𝑥 2 . Jelas 𝐷𝑓 = [0, +∞). Jelas 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥
=
𝑑(𝑥−8𝑥 2 ) 𝑑𝑥
= 1 − 16𝑥. 1
Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 1 − 16𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 16. 1
Uji Turunan Pertama pada 𝑥 = 16: 1− 16
𝑥 𝑓′(𝑥)
+
𝑓(𝑥) 1 2
1+ 16
1 16 0
−
Max 𝑓(𝑥) 1
1
Jelas 𝑝 = (16) = 256. Jadi bilangan yang dimaksud adalah 256. Cara 2: Tulis 𝑥: bilangan tersebut dan 𝑥 ≥ 0. Tulis 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 8𝑥. Jelas 𝐷𝑓 = [0, +∞). 135
Jelas 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑[𝑓(𝑥)]
=
𝑑𝑥
Jelas 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⇔ 2
1
√
⇔
1 √𝑥
= 16 ⇔ √𝑥 =
𝑑(√𝑥−8𝑥) 𝑑𝑥
=2
1
√𝑥
−8=0⇔2 𝑥
1
√𝑥
− 8. =8
1 1 ⇔𝑥= . 16 256 1
Uji Turunan Pertama pada 𝑥 = 256: 𝑥
1 − 256
𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)
1 + 256
1 256 +
0
−
Max 𝑓(𝑥) 1
Jadi bilangan yang dimaksud adalah 256. Untuk memperjelas pemahaman saudara, saudara dapat melihat ppt berikut ini. [PPT-M3-KB3]
E. Forum Diskusi Silahkan selesaikan soal berikut dengan berdiskusi bersama teman sejawat saudara. Tunjukkan bahwa persegi panjang dengan keliling 𝐾 yang mempunyai luas maksimum adalah persegi. Petunjuk pengerjaan: a.
Misalkan ukuran panjang dan lebar persegi panjang berturut-turut adalah 𝑝 dan 𝑙
b.
Dengan menggunakan permisalan tersebut, rumuskan keliling dan luas.
c.
Dengan menggunakan rumus keliling, nyatakan 𝑙 dalam 𝑝 kemudian substitusikan ke rumus luas.
d.
Cari turunan pertama dari rumus luas kemudian tentukan bilangan kritis dari rumus luas denan menggunakan turunan pertamanya.
e.
136
Lakukan uji turunan pertama pada bilangan kritis yang diperoleh
F. Rangkuman Selamat ya ...... saudara telah berhasil menyelesaikan kegiatan belajar tentang turunan dan aplikasinya. Hal-hal penting yang telah saudara pelajari dalam kegiatan belajar ini dapat dibaca pada rangkuman berikut ini. 1.
Berdasarkan definisi turunan, suatu fungsi mempunyai turunan pada suatu titik apabila turunan dari pihak kiri sama dengan turunan dari pihak kanan pada titik tersebut atau 𝑓 ′ (𝑐) ada apabila 𝑓−′ (𝑐) = 𝑓+′ (𝑐).
2.
Jika 𝑓, 𝑔 merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan maka berlaku: a.
𝑑[𝑘] 𝑑𝑥
= 0 dengan 𝑘 konstanta Real.
b. (𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′ (𝑥) c. (𝑘. 𝑓)′ (𝑥) = 𝑘. 𝑓 ′ (𝑥) dengan k sembarang bilangan real d. (𝑓. 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑓 ′
e. (𝑔) (𝑥) = f.
𝑑[𝑥 𝑛 ] 𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑥).𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′ (𝑥) , dengan [𝑔(𝑥)]2
syarat 𝑔(𝑥) ≠ 0.
= 𝑛𝑥 𝑛−1 , 𝑛 merupakan bilangan bulat tak nol.
g. Turunan fungsi trigonometri diberikan berikut ini. 𝑑(sin 𝑥) = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(cos 𝑥) (2) = − sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(tan 𝑥) (3) = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 (1)
3.
𝑑(sec 𝑥) = sec 𝑥 . tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(csc 𝑥) (5) = − csc 𝑥 . cot 𝑥 𝑑𝑥 𝑑(cot 𝑥) (6) = −csc 2 𝑥 𝑑𝑥 (4)
Aturan rantai didasari dari turunan fungsi komposisi yaitu 𝑑[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)] 𝑑[(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)] 𝑑[𝑔(𝑥)] = . = 𝑓 ′ [𝑔(𝑥)]. 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑[𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 dengan syarat 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan pada Domainnya.
4.
Fungsi yang nilai fungsinya disajikan dalam ruas yang berbeda yaitu 𝑦 = 𝑓(𝑥) disebut fungsi eksplisit; Sedangkan fungsi yang penyajian nilai fungsinya tidak seperti itu disebut fungsi implisit. 137
5.
Untuk mencari turunan fungsi implisit dilakukan melakukan proses penurunan pada kedua ruas dengan menggunakan teorema turunan yang sesuai.
6.
Syarat suatu fungsi mempunyai invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi injektif dan domain dari fungsi inversnya adalah Range dari fungsi semula.
7.
Turunan fungsi invers dapat dilakukan dengan dua cara yaitu mencari fungsi invers kemudian diturunkan atau menggunakan hubungan (𝑓 −1 )′ (𝑥) =
8. (𝑎)
1 𝑓 ′ [𝑓 −1 (𝑥)]
atau
𝑑𝑥 1 = . 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
Turunan dari invers fungsi trigonometri diberikan berikut ini.
𝑑(sin−1 𝑥) 1 = , |𝑥| < 1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2
(𝑑)
𝑑(cot −1 𝑥) −1 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2
𝑑(sec −1 𝑥) 1 𝑑(cos −1 𝑥) −1 (𝑒) = , |𝑥| > 1 (𝑏) = , |𝑥| < 1 𝑑𝑥 |𝑥|√𝑥 2 − 1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 (𝑐)
𝑑(tan−1 𝑥) 1 = 𝑑𝑥 1 + 𝑥2
9.
(𝑓)
𝑑(css−1 𝑥) −1 = , |𝑥| > 1 𝑑𝑥 |𝑥|√𝑥 2 − 1
Suatu nilai disebut nilai ekstrim mutlak dari suatu fungsi jika nilai tersebut merupakan nilai ekstrim fungsi pada domain fungsi tersebut; Sedangkan suatu nilai disebut nilai ekstrim relatif dari suatu fungsi jika nilai tersebut merupakan nilai ekstrim fungsi pada suatu selang yang merupakan himpunan bagian dari domain fungsi tersebut. Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi juga merupakan nilai ekstrim relatif.
10. Apabila 𝑐 suatu nilai ekstrim dari fungsi 𝑓 maka 𝑐 haruslah merupakan bilangan kritis fungsi 𝑓 dan 𝑐 memenuhi salah satu dari: 𝑐 merupakan titik ujung 𝐼, 𝑐 merupakan titik stationer 𝑓, atau 𝑐 merupakan titik singular 𝑓. 11. Teorema nilai rata-rata menjamin adanya nilai 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) di mana 𝑓 ′ (𝑐) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) . 𝑏−𝑎
12. Kemonotonan grafik fungsi dapat dilihat dari nilai turunan pertama fungsi tersebut yaitu jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung
138
maka grafik 𝑓 naik pada 𝐼 dan jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan di titik ujung maka grafik 𝑓 turun pada 𝐼. 13. Penentuan nilai ekstrim suatu fungsi dapat dilakukan dengan uji turunan pertama yaitu Jika 𝑓 ′ (𝑥) ada pada selang (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) untuk suatu ℎ > 0 kecuali mungkin di titik 𝑐 sendiri maka 𝑓(𝑐) ekstrim relatif jika dan hanya jika tanda 𝑓 ′ (𝑥) berganti tanda di 𝑥 = 𝑐. 14. Kecekungan grafik fungsi dapat diperiksa menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut. Kriterianya adalah grafik 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼 dan grafik 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 apabila 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 yang bukan titik ujung 𝐼. 15. Penentuan nilai ekstrim juga dapat dilakukan dengan uji turunan kedua
dengan syarat 𝑓 ′ (𝑥) dan 𝑓 ′′ (𝑥) ada pada 𝐼. Kriteria yang digunakan yaitu: 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu maksimum relatif 𝑓, 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 ⇒ 𝑓(𝑎) suatu minimum relatif 𝑓, dan 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ⇒ tidak ada kesimpulan.
Untuk menentukan tingkat penguasaan saudara terhadap materi ini, silahkan kerjakan tes berikut ini. Kunci jawaban diberikan pada akhir modul ini.
G. Tes Formatif Pilihlah jawaban yang tepat dari setiap persoalan berikut. 1. Fungsi dengan nilai fungsi berikut yang tidak mempunyai turunan di 𝑥 = 2 adalah .... A. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| B. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| C. 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 2 D. 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 2 𝑥
E. 𝑓(𝑥) = |2| 2. Nilai 𝑥 dari titik pada 𝑦 = 9 sin 𝑥 cos 𝑥 yang mempunyai garis singgung berupa garis horisontal adalah .... A.
𝜋 3
139
B. C.
𝜋 2 3𝜋 2
D. 𝜋 E.
5𝜋 4 𝑥
3. Diberikan 𝐹(0) = 2 dan 𝐹 ′ (0) = −1. Apabila 𝐺(𝑥) = 1+sec[𝐹(2𝑥)] maka nilai dari 𝐺 ′ (0) adalah .... A. 1 + sec 2 B. C.
1+sec 2+2 sec 2.tan 2 (1+sec 2)2 1 1+sec 2
D.
2 sec 2.tan 2 (1+sec 2)2
E.
1+2 sec 2.tan 2 (1+sec 2)2
4. Persamaan garis singgung pada kurva 𝑦 + cos(𝑥𝑦 2 ) + 3𝑥 2 = 4 di titik (1,0) adalah .... A. 6𝑥 + 𝑦 = 6 B. 6𝑥 − 𝑦 = 6 C. 𝑥 + 6𝑦 = 1 D. 𝑥 − 6𝑦 = 1 E. 𝑦 − 6𝑥 = −6 5. Persamaan garis singung kurva √𝑦 + 𝑥𝑦 2 = 5 di titik (4,1) adalah .... A. 2𝑥 − 17𝑦 = −9 B. 17𝑦 − 2𝑥 = 9 C. 17𝑦 + 2𝑥 = 25 D. 17𝑥 − 2𝑦 = 66 E. 17𝑥 + 2𝑦 = 70 6. Nilai yang sesuai dengan A. B.
140
1 1−𝑥 2 1 √(1−𝑥 2 )
𝑑[tan(sin−1 𝑥)] 𝑑𝑥
adalah ....
C. D. E.
1 |𝑥|√(1−𝑥2 ) 1 𝑥 2 √(1−𝑥2 ) 1 (1−𝑥 2 )√1−𝑥2
7. Nilai yang sesuai dengan A. B.
𝑑[cos(2 sin−1 𝑥)] 𝑑𝑥
adalah ....
4𝑥 2 √1−𝑥 2 4𝑥 √1−𝑥 2 4
C. − √1−𝑥 2 D. −4𝑥 4𝑥
E. − √1−𝑥 2 8. Diberikan 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑. Jika grafik 𝑓 selalu naik di ℝ maka kondisi yang harus dipenuhi adalah .... A. 𝑎 < 0 dan 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 < 0 B. 𝑎 > 0 dan 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 < 0 C. 𝑎 > 0 dan 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 > 0 D. 𝑎 < 0 dan 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 ≤ 0 E. 𝑎 > 0 dan 𝑏 2 − 3𝑎𝑐 ≥ 0 9. Diberikan dua bilangan yang hasil kalinya −16 dan jumlah dari kuadrat masing-masing bilangan tersebut minimum. Kuadrat selisih kedua bilangan tersebut adalah .... A. 0 B. 4 C. 16 D. 64 E. 100 10. Apabila 𝑎 adalah bilangan yang akar kuadratnya melebihi delapan kali bilangan tersebut secara maksimum maka nilai
𝑎+1 𝑎
adalah ....
A. 9
141
B. 65 C. 129 D. 257 E. 513
H. Daftar Pustaka [1] Chotim, M. 2012. Diktat Mata Kuliah Kalkulus 1. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang. [2] Clark, D.N. 2000. A Volume in The Comprehensive Dictionary of Mathematics: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. Florida: CRC Press LLC. [3] Varberg, D., Purcell, E.J., & Rigdon, S. 2007. Calculus Ninth Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education [4] Ristekdikti. 2018. Modul Daring PPG Daljab 2018. Jakarta:Ristekdikti.
I. Kriteria Penilaian Tes Formatif Cocokkanlah jawaban saudara dengan kunci jawaban tes formatif yang terdapat di bagian akhir kegiatan belajar ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan saudara terhadap materi pada kegiatan belajar ini. Tingkat Penguasaan (TP) =
banyak jawaban benar banyak soal
x 100% .
Arti tingkat penguasaan: 90% ≤ TP ≤ 100% : sangat baik 80% ≤ TP < 90%
: baik
70% ≤ TP < 80%
: cukup
TP < 70%
: kurang
Apabila tingkat penguasaan saudara 80% atau lebih, saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Bagus! saudara telah berhasil mempelajari materi pada kegiatan belajar ini.Apabila tingkat penguasaan saudara kurang dari 80%, saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini.
142
No Kode: DAR 2/Profesional/180/3/2019 PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA MODUL 3 KALKULUS DAN TRIGONOMETRI KB 4. Antiturunan, Integral, dan Aplikasi Integral
Penulis: Muhammad Kharis, S.Si., M.Sc.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 2019
143
144
A. Pendahuluan Salam bahagia para mahasiswa PPG yang bersemangat. Selamat mengikuti kegiatan belajar yang ke-4 ini dengan materi antiturunan, integral dan aplikasi integral. Untuk mengawali kegiatan belajar ini, coba Saudara lakukan aktivitas berikut ini. Ambillah secarik kertas, sketsalah grafik fungsi sinus pada bidang kartesius dengan batas 0 sampai 2π, arsirlah daerah yang dibatasi grafik fungsi sinus dan sumbu X. Coba Saudara hitung luas daerah yang diarsir, kemudian berikutnya, jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, sehingga membentuk sebuah benda putar, bagaimanakah cara menghitung volume benda putar tersebut? Masalah ini akan dengan mudah diselesaikan setelah kegiatan belajar ke-4 dikuasai. Pada kegiatan belajar ke-4 ini, Saudara akan mengkaji konsep antiturunan, integral, dan aplikasi integral. Antiturunan merupakan balikan dari turunan fungsi yang telah dipelajari pada kegiatan belajar sebelumnya. Selanjutnya setelah memahami antiturunan, Saudara akan mengkaji integral Riemann atau dikenal sebagai integral tertentu dengan lebih dahulu mengingat materi notasi sigma dan memahami jumlah Riemann. Materi integral tertentu yang fenomenal adalah teorema dasar kalkulus 1 dan 2 yang memangkas durasi waktu perhitungan menjadi sangat singkat, sehingga banyak aplikasinya di berbagai bidang. Aplikasi integral salah satunya digunakan dalam penyelesaian masalah luas daerah dan volume benda putar dengan terlebih dahulu menentukan batas-batasnya. Dalam bidang fisika, Saudara juga telah mengenal usaha dan pusat massa yang penyelesaian masalahnya dapat menggunakan aplikasi integral. Prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar 4 ini adalah Saudara telah menguasai materi limit dan turunan fungsi yang telah dikaji pada kegiatan belajar sebelumnya. Kegiatan belajar ini dikemas dalam empat sub kajian yang disusun dengan urutan sebagai berikut. • Sub Kajian 1: Antiturunan • Sub Kajian 2: Notasi Sigma dan Jumlah Riemann • Sub Kajian 3: Integral Tertentu • Sub Kajian 4: Aplikasi Integral. 145
Proses pembelajaran untuk materi yang sedang Saudara ikuti sekarang ini, dapat berjalan dengan lebih lancar bila Saudara mengikuti langkah-langkah belajar berikut ini. 1) Ingat kembali materi limit dan turunan fungsi sebagai materi prasyarat dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini. 2) Pelajari materi pada kegiatan belajar ini dengan seksama, selesaikan latihan pada forum diskusi, dan selesaikan tes formatifnya secara mandiri. 3) Cocokkan jawaban tes formatif Saudara dengan kunci jawaban yang diberikan. 4) Apabila tingkat penguasaan Saudara 80% atau lebih, Saudara dapat melanjutkan ke kegiatan belajar berikutnya. Apabila tingkat penguasaan Saudara kurang dari 80%, Saudara harus mempelajari kembali materi pada kegiatan belajar ini. 5) Keberhasilan pembelajaran Saudara dalam mempelajari materi pada kegiatan belajar ini, sangat tergantung kepada kesungguhan Saudara dalam belajar dan mengerjakan tugas dan latihan. Untuk itu, berlatihlah secara mandiri atau berkelompok dengan teman sejawat. Selanjutnya kami ucapkan selamat belajar, semoga Saudara sukses mampu mengimplementasikan pengetahuan yang diberikan dalam kegiatan belajar ini.
B. Capaian Pembelajaran Mata Kegiatan Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa mampu memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur materi matematika sekolah dan advance material secara bermakna dalam penyelesaian permasalahan dari suatu sistem (pemodelan matematika) dan penyelesaian masalah praktis kehidupan sehari-hari melalui kerja problem solving, koneksi dan komunikasi matematika, critical thinking, kreativitas berpikir matematis yang selaras dengan tuntutan masa depan. mahasiswa mampu menguasai materi esensial matematika meliputi konsep, sifat, dan penggunaannya dalam pemecahan masalah yang terkait antiturunan, integral, dan aplikasi integral. Lebih lengkapnya, setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat:
146
1. memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur, dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan antiturunan, 2. memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur, dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan notasi sigma dan jumlah Riemann, 3. memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur, dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan integral tertentu, dan 4. memahami, mengidentifikasi, menganalisis, merekonstruksi, memodifikasi secara terstruktur, dan menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan aplikasi integral.
C. Pokok-pokok Materi Materi yang dipelajari dalam kegiatan belajar ini antara lain:: 1. Antiturunan 2. Notasi Sigma dan Jumlah Riemann 3. Integral Tertentu 4. Aplikasi Integral.
147
D. Uraian Materi 1. Antiturunan a. Konsep Antiturunan Sebagian operasi dalam matematika mempunyai balikan atau invers, seperti penjumlahan
dengan
pengurangan,
perkalian
dengan
pembagian,
serta
perpangkatan eksponen dengan penarikan akar. Pada kegiatan ini dibahas antiturunan yang merupakan balikan dari turunan. Proses mencari antiturunan fungsi disebut juga dengan pengintegralan tak tentu. Definisi 4.1 Dipunyai 𝐹: 𝐼 ⟶ 𝑅 dan 𝑓: 𝐼 ⟶ 𝑅. Jika 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 maka 𝐹 disebut suatu anti turunan 𝑓 pada selang 𝐼. Fungsi 𝐹 disebut suatu atau sebuah antiturunan 𝑓 karena keberadaan antiturunan ini tidak tunggal. Sebagai contoh, 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 2 , 𝐹2 (𝑥) = 𝑥 2 − 2, 𝐹3 (𝑥) = 𝑥 2 + 15 merupakan antiturunan dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥, karena 𝐹1 ′ (𝑥) = 𝐹2 ′ (𝑥) = 𝐹3 ′ (𝑥) = 2𝑥 = 𝑓(𝑥). Sehingga kata “suatu” menunjuk pada salah satu antiturunan 𝑓. Untuk menunjukkan semua antiturunan 𝑓, dapat dituliskan dengan 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 𝐶, dengan 𝐶 sebarang konstanta. Terdapat beberapa penulisan dari contoh di atas, antara lain sebagai berikut: 𝐴𝑥 [𝑓(𝑥)] = 𝐹(𝑥) + 𝐶 atau dalam notasi Leibniz dengan ∫ … 𝑑𝑥, sehingga penulisannya menjadi ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, dengan 𝑓(𝑥) sebagai integran, dan 𝐹(𝑥) + 𝐶 sebagai antiturunan. Bentuk ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, oleh Leibniz disebut juga sebagai integral tak tentu. Teorema 4.1 Jika 𝑟 sebarang bilangan rasional kecuali −1, maka ∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 = Bukti: Dengan menurunkan ruas kanan diperoleh: 𝐷𝑥 [
148
𝑥 𝑟+1 1 (𝑟 + 1)𝑥 𝑟 = 𝑥 𝑟 . + 𝐶] = 𝑟+1 𝑟+1
𝑥 𝑟+1 𝑟+1
+𝐶
Teorema 4.2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 dan ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 Bukti: 𝐷𝑥 (− cos 𝑥 + 𝐶) = sin 𝑥 dan 𝐷𝑥 (sin 𝑥 + 𝐶) = cos 𝑥.
Teorema 4.3 (Kelinieran) Dipunyai 𝑓 dan 𝑔 fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan 𝐾 suatu konstanta. Untuk 𝑓 dan 𝑔 berlaku aturan berikut. 1. ∫ 𝐾𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 2. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥, 3. ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. Bukti: Dengan mendiferensialkan ruas kanan, kita memperoleh integran di ruas kiri. 1. 2. 3.
𝑑[𝐾 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥
=𝐾
𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥]
𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥 𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥−∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥
𝑑𝑥
= =
= 𝐾𝑓(𝑥)
𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥 𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥
+ −
𝑑[∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥 𝑑[∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] 𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
Contoh 4.1 1. Diberikan 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 , tentukan: a. suatu antiturunan dari 𝑓(𝑥) b. hasil dari ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Penyelesaian: a. Karena yang diminta hanya menentukan suatu antiturunan dari 𝑓(𝑥), maka kita bebas memilih suatu fungsi yang turunannya 4𝑥 3 , misal 𝑔(𝑥) = 𝑥 4 + 25, sehingga 𝑔(𝑥) adalah suatu antiturunan dari 𝑓(𝑥). b. Hasil dari ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 adalah semua fungsi yang turunannya 4𝑥 3 , sehingga hasilnya adalah ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝐶, dengan 𝐶 konstanta. 2. Tentukan hasil dari: a. ∫ 4(𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥
149
b. ∫(𝑥 2 + sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥 Penyelesaian: 𝑥2
a. ∫ 4(𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 = 4 ∫(𝑥 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 = 4 ( 2 −
𝑥4 4
) + 𝐶 = 2𝑥 2 − 𝑥 4 + 𝐶
b. ∫(𝑥 2 + sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3 + 𝐶1 − cos 𝑥 + 𝐶2 − sin 𝑥 + 𝐶3 3
=
𝑥3 − cos 𝑥 − sin 𝑥 + 𝐶 3
Teorema 4.4 Diberikan 𝑓 fungsi yang diferensiabel dan 𝑟 bilangan rasional dengan 𝑟 ≠ −1, maka: ∫[𝑓(𝑥)]𝑟 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 =
[𝑓(𝑥)]𝑟+1 𝑟+1
+ 𝐶, C konstanta.
Contoh 4.2 Tentukan ∫(𝑥 3 + 2𝑥 − 5)6 (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥. Penyelesaian: Misal 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 − 5, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 + 2 Diperoleh ∫(𝑥 3 + 2𝑥 − 5)6 (3𝑥 2 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 6 (𝑥)𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 =
(𝑥 3 +2𝑥−5)7 7
+ 𝐶.
b. Teorema Penggantian dan Integral Parsial Teorema 4.5 (Penggantian) Dipunyai 𝑔 mempunyai turunan pada 𝐷𝑔 dan 𝑅𝑔 ⊂ 𝐼 dengan 𝐼 adalah suatu selang. Jika 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 sehingga 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), maka ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶. Teorema Penggantian merupakan balikan dari Aturan Rantai dalam materi turunan yang didasari dari turunan fungsi komposisi.
Contoh 4.3 Tentukan ∫ 2. cos 2𝑥 𝑑𝑥. Penyelesaian:
150
Strategi: (1) Ingat rumus: ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶. (2) Jika x diganti 2x, diperoleh ∫ cos 2𝑥 𝑑(2𝑥) = sin 2𝑥 + 𝐶. Sehingga diperoleh ∫ 2. cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 2𝑥 𝑑(2𝑥) = sin 2𝑥 + 𝐶. Teorema 4.6 (Integral Parsial) Jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka 𝐼, maka ∫ 𝑈. 𝑑𝑉 = 𝑈. 𝑉 − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈. Bukti: Dipunyai 𝑑(𝑈. 𝑉) = 𝑈. 𝑑𝑉 + 𝑉. 𝑑𝑈. Jadi ∫ 𝑑(𝑈. 𝑉) = ∫(𝑈. 𝑑𝑉 + 𝑉. 𝑑𝑈) ⇔ 𝑈. 𝑉 = ∫ 𝑈. 𝑑𝑉 + ∫ 𝑉. 𝑑𝑈 ⇔ ∫ 𝑈. 𝑑𝑉 = 𝑈. 𝑉 − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈. Teorema Integral Parsial ini efektif apabila ∫ 𝑈. 𝑑𝑉 sulit dicari, sebaliknya ∫ 𝑉. 𝑑𝑈 dapat dengan mudah ditentukan. Contoh 4.4 Tentukan ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥. Penyelesaian: ∫ 𝑥 2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 2 𝑑 (cos 𝑥) = −[𝑥 2 c𝑜s 𝑥 − ∫ cos 𝑥 𝑑(𝑥 2 )] = −𝑥 2 cos 𝑥 + 2 ∫ 𝑥. cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 c𝑜s 𝑥 + 2 ∫ 𝑥 𝑑(sin 𝑥) = −𝑥 2 c𝑜s 𝑥 + 2 (𝑥. sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥) = −𝑥 2 c𝑜s 𝑥 + 2𝑥. sin 𝑥 + 2cos 𝑥 + 𝐶.
c. Teknik Pengintegralan Dalam menyelesaikan masalah integral tak tentu maupun integral tertentu, didapatkan teknik-teknik pengintegralan yang diperoleh dari teorema-teorema yang
151
telah dibahas dalam materi turunan maupun integral, selain itu juga dengan melihat bentuk fungsi yang diintegralkan. 1) Teknik pengintegralan yang diperoleh dari turunan maupun integral. Untuk fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang tertentu dan 𝐾 suatu konstanta, berlakulah teknik pengintegralan berikut ini. No
Teknik pengintegralan
1
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
2
∫ 𝐾 𝑑𝑥 = 𝐾 ⋅ 𝑥 + 𝐶, dengan 𝐾 suatu konstanta
3
∫ 𝐾 ⋅ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐾 ⋅ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝐾 suatu konstanta
4
∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
5
𝑥 𝑛+1 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 𝑛+1
6
𝑛
∫
𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 = ln 𝐶 |𝑥| 𝑥
7
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
8
∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 + 𝐶 dengan 𝑎 > 0, dan 𝑎 ≠ 1
9
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
10
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
11
∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
12
∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
13
∫ sec 𝑥 ⋅ tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
14
∫ csc 𝑥 ⋅ cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶
15
∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶 = ln|sec 𝑥| + 𝐶
16
∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sin 𝑥| + 𝐶
17
∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶
152
𝑎𝑥
No
Teknik pengintegralan
18
∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = ln|csc 𝑥 − cot 𝑥| + 𝐶
19 20 21 22 23 24
𝑑𝑥
∫
𝑥2
= sin−1 𝑥 + 𝐶 = − cos −1 𝑥 + 𝐶
√1 − 𝑑𝑥 ∫ = tan−1 𝑥 + 𝐶 = − cot −1 𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2 ∫ ∫
𝑑𝑥 |𝑥|√𝑥 2
−1
𝑑𝑢 √𝑎2
𝑢2
= sec −1 |𝑥| + 𝐶 = − csc −1 |𝑥| + 𝐶
𝑢 𝑢 = sin−1 ( ) + 𝐶 = − cos −1 ( ) + 𝐶 𝑎 𝑎
− 𝑑𝑢 1 𝑢 1 𝑢 ∫ 2 = tan−1 ( ) + 𝐶 = − cot −1 ( ) + 𝐶 2 𝑎 +𝑢 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 ∫
𝑑𝑢 𝑢√𝑢2 − 𝑎2
=
1 𝑢 1 𝑢 sec −1 ( ) + 𝐶 = − csc −1 ( ) + 𝐶 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Contoh 4.5 Tentukan (a) ∫
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 +2𝑥+5
(b) ∫ √4𝑥−𝑥 2
Penyelesaian: 𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
𝑥+1
(a) ∫ 𝑥 2 +2𝑥+5 = ∫ (𝑥+1)2+22 = 2 tan−1 ( 𝑑𝑥
(b) ∫ √4𝑥−𝑥 2 = ∫
𝑑𝑥 √22 −(𝑥−2)2
2
) + 𝐶.
𝑥−2
= sin−1 (
2
) + 𝐶.
2) Integral Fungsi Trigonometri Selain teknik pengintegralan di atas, terdapat teknik pengintegralan terhadap fungsi-fungsi trigonometri yang pokok. Artinya jika dijumpai integral fungsi trigonometri yang rumit, diusahakan dapat dikembalikan ke dalam bentuk yang pokok. Berikut disajikan beberapa teknik pengintegralan fungsi trigonometri ditinjau dari bentuk pokoknya. a) Integral bentuk ∫ sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥 atau ∫ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Ingat rumus: cos 2 𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 2 ⋅ cos2 𝑥 − 1
153
= 1 − 2 ⋅ sin2 𝑥 Jadi cos 2 𝑥 =
1+cos 2𝑥 2
dan sin2 𝑥 =
1−cos 2𝑥 2
b) Integral bentuk ∫ sin𝑚 𝑥 ⋅ cos𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Integral bentuk ∫ sin𝑚 𝑥 ⋅ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan mudah untuk beberapa kasus nilai 𝑚 dan 𝑛 yang tertentu. (1) Kasus 𝒎 ganjil atau 𝒏 ganjil Ingat rumus sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 Jadi sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥 dan cos 2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥 (2) Kasus 𝒎 genap dan 𝒏 genap Ingat rumus: (a) sin 2 𝑥 = 2 sin 𝑥 ⋅ cos 𝑥 (b) cos 2 𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 2 ⋅ cos 2 𝑥 − 1 = 1 − 2 ⋅ sin2 𝑥 Jadi cos2 𝑥 =
1+cos 2𝑥 2
dan sin2 𝑥 =
1−cos 2𝑥 2
c) Integral bentuk ∫ cos 𝑚 𝑥 ⋅ sin 𝑛 𝑥 𝑑𝑥, ∫ cos 𝑚 𝑥 ⋅ cos 𝑛 𝑥 𝑑𝑥, dan ∫ sin 𝑚 𝑥 ⋅ sin 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Untuk menyelesaikan integral-integral tersebut perlu diingat teorema trigonometri sebagai berikut. 1
(1) sin 𝑚 𝑥 ⋅ cos 𝑛 𝑥 = 2 [sin( 𝑚𝑥 + 𝑛𝑥) + sin( 𝑚𝑥 − 𝑛𝑥)] 1
(2) cos 𝑚 𝑥 ⋅ cos 𝑛 𝑥 = 2 [cos( 𝑚𝑥 + 𝑛𝑥) + cos( 𝑚𝑥 − 𝑛𝑥)] 1
(3) sin 𝑚 𝑥 ⋅ sin 𝑛 𝑥 = 2 [cos( 𝑚𝑥 − 𝑛𝑥) − cos( 𝑚𝑥 + 𝑛𝑥)] d) Integral bentuk ∫ tan𝑚 𝑥 ⋅ sec 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Ingat: (1) tan2 𝑥 = sec 2 𝑥 − 1 (2) 𝑑(tan 𝑥) = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 (3) 𝑑(sec 𝑥) = sec 𝑥. tan 𝑥 𝑑𝑥 Contoh 4.6 Tentukanlah ∫ cos 3 𝑥 . 𝑑𝑥. Penyelesaian:
154
Jelas∫ cos3 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ cos2 𝑥 . cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫(1 − sin2 𝑥). cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 . 𝑑𝑥 − ∫ sin2 𝑥 . 𝑑(sin 𝑥) = sin 𝑥 −
sin3 𝑥 + 𝐶. 3
Contoh 4.7 Tentukan ∫ sin2 𝑥 . cos3 𝑥 . 𝑑𝑥. Penyelesaian: Jelas ∫ sin2 𝑥 . cos 3 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ sin2 𝑥 . cos 2 𝑥 . cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = ∫ sin2 𝑥 . cos2 𝑥 . 𝑑(sin 𝑥) = ∫ sin2 𝑥 . (1 − sin2 𝑥). 𝑑(sin 𝑥) =∫ sin2 𝑥 . 𝑑(sin 𝑥) − ∫ sin4 𝑥 . 𝑑(sin 𝑥) =
sin3 𝑥 3
−
sin5 𝑥 3
+ 𝐶.
3) Integral Fungsi Rasional Fungsi 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)
dengan 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) masing-masing merupakan
polinomial/suku banyak disebut fungsi rasional. Jika derajat 𝑝(𝑥) lebih tinggi dari derajat 𝑞(𝑥) maka 𝑓(𝑥) disebut fungsi rasional tak sejati, sedangkan jika derajat 𝑝(𝑥) kurang dari derajat 𝑞(𝑥), maka 𝑓(𝑥) disebut fungsi rasional sejati. Teknik pengintegralannya fungsi rasional tak sejati diubah menjadi fungsi rasional sejati dengan pembagian. Setelah menjadi fungsi rasional sejati, berikutnya jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor-faktornya. Contoh 4.8 1
𝐴
𝐵
(a) Pecahan (𝑥−1)(𝑥+2) diubah menjadi 𝑥−1 + 𝑥+2 . 𝑥+2
𝐴
𝐵
(b) Pecahan (𝑥−1)2 diubah menjadi 𝑥−1 + (𝑥−1)2 . 𝑥 2 −6𝑥+1
𝐴
𝐵𝑥+𝐶
(c) Pecahan 𝑥(𝑥 2 −𝑥−1) diubah menjadi 𝑥 + 𝑥 2 −𝑥−1 . Contoh 4.9 2𝑑𝑥
Tentukanlah ∫ 𝑥 2 −𝑥−2. Strategi:
155
(1) Faktorkan 𝑥 2 − 𝑥 − 2 menjadi (𝑥 − 2)(𝑥 + 1). 2 𝐴 𝐵 (2) Selanjutnya 𝑥 2 −𝑥−2 = 𝑥−2 + 𝑥+1 . 2
2
(3) Diperoleh: 𝐴 = 3 dan 𝐵 = − 3 . Penyelesaian: 2𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
2
2
∫ 𝑥 2 −𝑥−2 = 3 ∫ 𝑥−2 − 3 ∫ 𝑥+1 = 3 ln|𝑥 − 2| − 3 ln|𝑥 + 1| + 𝐶 . Untuk memperjelas pemahaman Saudara, silahkan perhatikan [VIDEO INTEGRAL TAK TENTU] berikut pada [https://www.youtube.com/watch?v=lxKgfoQjpTk]
2.
Notasi Sigma dan Jumlah Riemann Pembahasan integral akan lebih menarik pada materi integral tertentu sampai
dengan aplikasinya. Namun untuk mendapatkan konsep integral tertentu, terlebih dahulu dibahas konsep jumlah Riemann. Berikut ini dibahas tinjau ulang tentang deret dan notasi sigma sebelum membahas tentang jumlah Riemann hingga integral tertentu. a.
Deret dan Notasi Sigma Perhatikan deret dari 20 bilangan asli pertama berikut: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 20.
Bentuk deret ini dapat ditulis dengan notasi sigma, yaitu: 20
1 + 2 + 3 + ⋯ + 20 = ∑ 𝑖 𝑖=1
yang dibaca “sigma 𝑖, 𝑖 dari 1 sampai 20”. Dengan cara serupa, deret berikut dapat dinyatakan dalam notasi sigma. 100
(𝑎) 12 + 22 + 32 + ⋯ + 1002 = ∑ 𝑝2 𝑝=1 𝑛
(𝑏) 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 + ⋯ + 𝑘𝑛 = ∑ 𝑘𝑖 𝑖=1 𝑛
1 1 1 1 1 (𝑐) + + + ⋯+ =∑ 3.3 + 3 3.4 + 3 3.5 + 3 3. 𝑛 + 3 3. 𝑘 + 3 𝑘=1
156
Berikut ini merupakan teorema yang sering digunakan, khususnya dalam perhitungan integral tertentu melalui limit jumlah Riemann. Teorema 4.7 𝑛
𝑎. ∑ 𝑐 = 𝑛. 𝑐 untuk sebarang konstanta 𝑐, 𝑖=1 𝑛
𝑛
𝑏. ∑ 𝑐. 𝑎𝑖 = 𝑐. ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1 𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑐. ∑(𝑐. 𝑎𝑖 + 𝑑. 𝑏𝑖 ) = 𝑐. ∑ 𝑎𝑖 + 𝑑. ∑ 𝑏𝑖 𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
Sebagian masalah deret dan notasi sigma dapat diselesaikan dengan induksi matematika yang merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan 𝑃(𝑛) benar untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah 𝑛. Dua langkah baku dalam induksi matematika, yaitu: (i)
pertama 𝑃(1) benar dan
(ii)
kedua 𝑃(𝑘 + 1) benar apabila 𝑃(𝑘) benar.
Dengan demikian dapat dinyatakan: 𝑃(1) benar 𝑃(𝑛) benar ⇔ { 𝑃(𝑘 + 1) benar apabila P(𝑘) benar Contoh 4.10 Buktikan: 1 + 2 + 3+. . . +𝑛 =
𝑛(𝑛+1) 2
.
Bukti: Tulis 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 . Tulis 𝑃(𝑛) = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = Jelas 𝑃(1): ∑1𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
.
𝑛
1⋅(1+1) 2
.
Jelas ∑1𝑖=1 𝑖 = 1 dan
1⋅(1+1) 2
= 1.
Jadi P(1) benar. Dipunyai 𝑃(𝑘) benar. Jadi ∑𝑘𝑖=1 𝑖 =
𝑘(𝑘+1) 2
.
157
𝑘 Jelas ∑𝑘+1 𝑖=1 𝑖 = (∑𝑖=1 𝑖 ) + (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘+1) 2
+ (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)[(𝑘+1)+1]
.
2
Jadi 𝑃(𝑘 + 1) benar apabila 𝑃(𝑘) benar. Jadi P(n) benar. Jadi 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
.
2
b. Jumlah Riemann Berikut ini disajikan pengertian partisi dan jumlah Riemann suatu fungsi yang merupakan dasar pendefinisian integral tertentu. Definisi 4.2 Dipunyai [𝑎, 𝑏] suatu selang tutup. Suatu partisi 𝑃𝑛 untuk selang [𝑎, 𝑏] adalah sebarang himpunan yang terdiri (𝑛 + 1) bilangan {𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }, dengan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. Catatan: Panjang subselang ke-𝑖, dinyatakan dengan ∆𝑖 𝑥, dengan ∆𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , dan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛. Panjang subselang terbesar dari partisi 𝑃𝑛 dinyatakan dengan ‖𝑃𝑛 ‖ dibaca dengan “norm 𝑃𝑛 ”. Contoh 4.11 1 1 2 3 4
Periksa apakah {0, 6 , 5 , 5 , 5 , 5 , 1} merupakan suatu partisi untuk selang [0,1]. Jika merupakan suatu partisi, tentukan normnya. Penyelesaian: 1 1 2 3 4
1
1
2
3
4
Misal P = {0, 6 , 5 , 5 , 5 , 5 , 1}, maka jelas bahwa 0 < 6 < 5 < 5 < 5 < 5 < 1. Jadi P suatu partisi untuk selang [0,1]. 1
1
1 2
1 3
2 4
3
4
1
1
1
1
Sehingga ‖𝑃‖ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 {6 − 0, 5 − 6 , 5 − 5 , 5 − 5 , 5 − 5 , 1 − 5} = {6 , 30 , 5} = 5 .
158
Definisi 4.3 Dipunyai 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ. suatu fungsi, 𝑃𝑛 suatu partisi untuk selang [𝑎, 𝑏], dan 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Bangun 𝑅𝑛 = ∑ 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥. Bangun 𝑅𝑛 disebut Jumlah Riemann untuk 𝑓 pada selang [a,b].
Contoh 4.12 Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥 pada selang [0,9] memakai partisi 0 < 1 < 2 < 4 < 6 < 7 < 9 dan titik-titik sampel 𝑡𝑖 merupakan titik-titik tengah subselang ke-𝑖. Penyelesaian: Misalkan 𝑥0 = 0, 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 4, 𝑥4 = 6, 𝑥5 = 7, dan 𝑥6 = 9. Selanjutnya diperoleh: 𝑡1 = 𝑥0 + 𝑡2 = 𝑥1 + 𝑡3 = 𝑥2 + 𝑡4 = 𝑥3 + 𝑡5 = 𝑥4 + .𝑡6 = 𝑥5 +
𝑥1 −𝑥0 2 𝑥2 −𝑥1 2 𝑥3 −𝑥2 2 𝑥4 −𝑥3 2 𝑥5 −𝑥4 2 𝑥6 −𝑥5 2
=0+ =1+
1−0 2 2−1
= 2+ = 4+ = 6+ =7+
2 4−2 2 6−4 2 7−6 2 9−7 2
1
= 2, 3
= 2, = 3, = 5, =
13 2
, dan
= 8.
Jadi diperoleh 𝑅6 = ∑6𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 = 𝑓(𝑡1 ). ∆1 𝑥 + 𝑓(𝑡2 ). ∆2 𝑥 + 𝑓(𝑡3 ). ∆3 𝑥 + 𝑓(𝑡4 ). ∆4 𝑥 + 𝑓(𝑡5 ). ∆5 𝑥 + 𝑓(𝑡6 ). ∆6 𝑥 1
3
= 𝑓 (2) (1 − 0) + 𝑓 (2) (2 − 1) + 𝑓(3)(4 − 2) + 𝑓(5)(6 − 4) 13
+ 𝑓 ( 2 ) (7 − 6) + 𝑓(8)(9 − 7) =
3.
17 2
.1 +
15 2
5
. 1 + 6.2 + 4.2 + 2 . 1 + 1.2 =
17 2
+
15 2
5
1
+ 12 + 8 + 2 + 2 = 40 2.
Integral Tertentu Berikut ini Saudara akan mengkaji konsep integral Riemann yang dikenal
sebagai integral tertentu dan selanjutnya akan dikaji pula teorema-teoremanya.
159
Teorema yang sangat menarik tentunya adalah Teorema Dasar Kalkulus 1 dan 2, yang membuat perhitungan integral yang sebelumnya lama menjadi sangat singkat. a. Integral Tertentu Berikut ini didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann. Definisi 4.4 Dipunyai fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ. Jika lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 ada, maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara ‖𝑃‖→0
Riemann pada selang [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya ditulis 𝑏
lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
‖𝑃‖→0
disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏. Catatan: 1) ∆𝑖 𝑥 adalah panjang subselang ke-𝑖, ∆𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛, sedangkan 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. 2) Dalam kasus selang [𝑎, 𝑏] dibagi menjadi 𝑛 bagian sama panjang, maka ‖𝑃‖ → 0 ⇔ 𝑛 → ∞. 𝑏
3) Pada bentuk ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑓 disebut integran, 𝑎 disebut batas bawah, dan 𝑏 disebut batas atas. 4) Dalam kasus fungsi 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada [𝑎, 𝑏], 𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik 𝑓, garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X. 5) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, dan negatif.
Contoh 4.13 4 1. Hitunglah ∫1 (𝑥 − 3)𝑑𝑥 dengan menggunakan limit Jumlah Riemann. Penyelesaian: Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3.
160
Bangun partisi untuk selang [1,4] yang membagi selang [1,4] menjadi 𝑛 buah subselang yang sama panjang. Diperoleh ∆𝑖 𝑥 =
4−1 𝑛
3
= 𝑛 untuk setiap 𝑖 = 1,2, 3, , 𝑛. Berikutnya diperoleh:
3
3
3
3
𝑥0 = 1, 𝑥1 = 1 + 𝑛 , 𝑥2 = 1 + 2. 𝑛 , … , 𝑥𝑖−1 = 1 + (𝑖 − 1). 𝑛 , 𝑥𝑖 = 1 + 𝑖. 𝑛, dan 𝑥𝑛 = 4. Pilih 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 untuk setiap 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. 3𝑖
3𝑖
𝑛
𝑛
Jadi 𝑓(𝑡𝑖 ) = 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑓 (1 + ) = 1 +
−3=
3𝑖 𝑛
− 2.
4
Jadi ∫1 (𝑥 − 3)𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 ‖𝑃‖→0
𝑛
3𝑖 3 = lim ∑ ( − 2) . 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑛
9 6 = lim ( 2 ∑ 𝑖 − ∑ 1) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 9
= lim (𝑛2 .
𝑖=1
𝑖=1
𝑛(𝑛+1)
6
𝑛→∞
=
2
− 𝑛 . 𝑛)
9 −6 2 3
= − 2. 2.
𝑏
Hitunglah ∫𝑎 𝑥𝑑𝑥. Penyelesaian: Bangun partisi untuk selang [𝑎, 𝑏] yang membagi selang [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 buah subselang yang sama panjang. Jelas 𝛥𝑖 𝑥 =
𝑛
untuk setiap 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛.
𝑥0 = 𝑎, 𝑥1 = 𝑎 +
Jadi 𝑎+
𝑏−𝑎
𝑏−𝑎 𝑛
, 𝑥2 = 𝑎 +
2(𝑏−𝑎)
(𝑖−1)(𝑏−𝑎)
𝑛
𝑛
,…, 𝑥𝑖−1 = 𝑎 +
, 𝑥𝑖 =
𝑖(𝑏−𝑎) 𝑛
dan 𝑥𝑛 = 𝑏.
Pilih t i = xi −1 . 𝑛
𝑏
Jadi ∫ 𝑥. 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑡𝑖 ). 𝛥𝑖 𝑥 𝑎
‖𝑃‖→0
𝑖=1
161
𝑛
= lim ∑ [𝑎 + 𝑛→∞
𝑖=1
(𝑖 − 1)(𝑏 − 𝑎) 𝑏 − 𝑎 ]. 𝑛 𝑛
𝑛
𝑎(𝑏 − 𝑎) 𝑏−𝑎 2 ) (𝑖 − 1)] = lim ∑ [ +( 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑖=1
𝑛
𝑛
𝑎(𝑏 − 𝑎) 𝑏−𝑎 2 ) ∑(𝑖 − 1)] = lim [ ∑1 + ( 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 𝑖=1
𝑖=1
2
𝑎(𝑏 − 𝑎) 𝑏−𝑎 𝑛(𝑛 + 1) ) .( = lim [ .𝑛 +( − 𝑛)] 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 2 = 𝑎𝑏 − 𝑎2 +
𝑏 2 − 2𝑎𝑏 + 𝑎2 2
𝑏 2 − 𝑎2 = . 2 b. Teorema-teorema Integral Tertentu Definisi integral tertentu dari fungsi 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏] dapat diperluas untuk kasus 𝑏 = 𝑎 atau 𝑎 > 𝑏 yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 4.5 𝑎
(1) Jika 𝑓(𝑎) terdefinisi maka ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 . 𝑎
𝑎
𝑏
(2) Jika 𝑎 > 𝑏 dan ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 terdefinisi, maka ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . Suatu fungsi akan terintegral secara Riemann jika fungsi tersebut kontinu dan terbatas pada suatu selang sebagaimana dinyatakan dalam Teorema 4.8. Teorema 4.8 Jika fungsi 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 terintegral secara Riemann pada selang [𝑎, 𝑏]. Akibatnya pada selang tutup [𝑎, 𝑏], fungsi-fungsi sejenis polinomial, sinus, cosinus, maupun fungsi rasional yang penyebutnya tidak sama dengan 0 akan terintegral secara Riemann.
162
Sebagai akibat dari Definisi 4.4 dan Teorema 4.7, pada selang [𝑎, 𝑏], secara khusus untuk 𝑓(𝑥) = 1 diperoleh Teorema 4.9 dan secara umum untuk 𝑓(𝑥) = 𝐾, 𝐾 suatu konstanta diperoleh Teorema 4.10.
Teorema 4.9 𝑏
𝑛
∫ 𝑑𝑥 = lim ∑ ∆𝑖 𝑥 = 𝑏 − 𝑎 ‖𝑃‖→0
𝑎
𝑖=1
Teorema 4.10 𝑏
𝑛
∫ 𝐾𝑑𝑥 = lim ∑ 𝐾. ∆𝑖 𝑥 = 𝐾(𝑏 − 𝑎) ‖𝑃‖→0
𝑎
𝑖=1
Sebagaimana Teorema 4.3 pada integral tak tentu, sifat kelinierannya juga berlaku pada integral tertentu. Teorema 4.11 (Kelinearan) Jika fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔 terintegral pada selang [𝑎, 𝑏], maka fungsi-fungsi (𝑓 + 𝑔) dan 𝐾. 𝑓 dengan 𝐾 konstanta terintegralkan, yaitu: 𝑏
𝑏
𝑏
(1) ∫𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, dan 𝑏
𝑏
(2) ∫𝑎 𝐾. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Selanjutnya teorema yang diperoleh dari batas bawah dan atas yang merupakan penjumlahan dua selang. Teorema 4.12 (Sifat Penjumlahan Selang) Jika fungsi 𝑓 kontinu pada suatu selang yang memuat 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 maka 𝑏
𝑐
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 tanpa memperhatikan urutan 𝑎, 𝑏, dan 𝑐. Contoh 4.14
163
4
1
4
4
6
4
∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫1 𝑥 2 𝑑𝑥 dan ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫6 𝑥 2 𝑑𝑥, ruas kanan merupakan bentuk dengan urutan c yang berbeda, namun jika dihitung memiliki hasil yang sama. Teorema 4.12 dapat diperluas untuk lebih dari dua selang, misalnya tiga 𝑏
𝑐
𝑑
𝑏
selang: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑑 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Teorema 4.13 menjamin jika nilai fungsinya tak negatif pada selang [𝑎, 𝑏], maka nilai integralnya juga tak negatif. Hal ini disebabkan integral Riemann-nya tidak mungkin bernilai negatif. Teorema 4.13 Jika 𝑓 terintegral pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada selang [𝑎, 𝑏] maka 𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0. Teorema 4.14 adalah akibat dari Teorema 4.13, teorema ini juga memperlihatkan bahwa integral tertentu melestarikan sifat perbandingan. Teorema 4.14 Jika 𝑓 dan 𝑔 terintegral pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) pada [𝑎, 𝑏] maka 𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Karena 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) maka 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ≥ 0, sehingga menurut Teorema 4.13, 𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0. Akibatnya ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥. Nilai dari integral tertentu mempunyai batas yang dapat diperhitungkan dari nilai minimum dan maksimum fungsinya. Sifat keterbatasan ini disajikan oleh Teorema 4.15. Teorema 4.15 Jika 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏], 𝑚 = min 𝑓(𝑥), dan 𝑀 = max 𝑓(𝑥), maka 𝑎≤𝑥≤𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤
𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎≤𝑥≤𝑏
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎).
1) Teorema Dasar Kalkulus 1: Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya Teorema Dasar Kalkulus 1 menjadi sangat penting karena memperlihatkan secara jelas hubungan antara turunan dan integral tertentu.
164
Teorema 4.16 (Teorema Dasar Kalkulus 1) Jika 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑥 suatu titik dalam [𝑎, 𝑏], maka 𝑥
𝑑[∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] 𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥)
Contoh 4.15 Tentukan
𝑥 𝑑[∫1 𝑡 2 𝑑𝑡 ]
𝑑𝑥
Penyelesaian: Berdasarkan Teorema 4.16 diperoleh
𝑥 𝑑[∫1 𝑡 2 𝑑𝑡 ]
𝑑𝑥
= 𝑥2.
Berikut ini merupakan teorema nilai rata-rata untuk integral. Teorema 4.17 (Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral) Jika 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan maka terdapat suatu bilangan 𝑐 antara 𝑎 dan 𝑏 sedemikian hingga 1
𝑏
𝑏
𝑓(𝑐) = 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 atau ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) Berikut ini merupakan teorema substitusi dalam integral tertentu. Teorema 4.18 (Teorema Substitusi dalam Integral Tertentu) Jika 𝑔 mempunyai turunan kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑓 kontinu pada daerah nilai 𝑔 maka 𝑏
𝑔(𝑏) ′
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑎
𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑎)
dengan 𝑢 = 𝑔(𝑥). 2) Teorema Dasar Kalkulus 2 Teorema Dasar Kalkulus 2 memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tertentu, berikut teorema tersebut. Teorema 4.19 (Teorema Dasar Kalkulus 2) Jika 𝑓(𝑥) kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝐹(𝑥) sebarang anti turunan 𝑓(𝑥), 𝑏
maka ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑭(𝒃) – 𝑭(𝒂). Selanjutnya ditulis 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎) = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎
165
Contoh 4.16 1
1
1
Hitunglah: (a) ∫0 (𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 (b) ∫0 8𝑥 3 𝑑𝑥 (c) ∫0 (3𝑥 2 − 6𝑥 − 5)𝑑𝑥 . Penyelesaian: 1
1
1
1
1
5
(a) ∫0 (𝑥 + 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫0 𝑥. 𝑑𝑥 + ∫0 𝑥 2 . 𝑑𝑥 = 2 + 3 = 6. 1
(b) ∫0 8𝑥 3 𝑑𝑥 = 2𝑥 4 ]10 = 2. 1
(c) ∫0 (3𝑥 2 − 6𝑥 − 5)𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 5𝑥]10 = 1 − 3 − 5 = −7. Sifat khusus integral tertentu pada fungsi genap dan fungsi ganjil disajikan pada Teorema 4.20 Teorema 4.20 Jika 𝑓 fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) , maka: 𝑎
𝑎
∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 dan jika 𝑓 fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 𝑓(−𝑥) = − 𝑓(𝑥), 𝑎
maka ∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0. 4.
Aplikasi Integral Dalam pembahasan materi aplikasi integral ini, penguasaan materi turunan dan
kemampuan menggambar grafik fungsi sangat mendukung dalam membahas dan menyelesaikan materi aplikasi integral, penguasaan tersebut dibutuhkan dalam menentukan proses pengintegralan dan perhitungannya. Materi aplikasi integral yag dibahas dalam modul ini antara lain adalah luas daerah pada bidang datar, volume benda putar, panjang busur grafik fungsi, dan luas permukaan benda putar. Aplikasi integral yang lain adalah penghitungan besar usaha, kekuatan fluida, momen, pusat
massa, peluang, dan variabel random, materi tentang aplikasi
integral ini dapat dipelajari lebih lanjut dalam buku dalam daftar pustaka rujukan nomor 1, 3, dan 5.
a. Luas Daerah pada Bidang Datar Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk menghitung luas daerah pada bidang datar.
166
Definisi 4.6 Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X. Jika L adalah luas daerah D, maka 𝑏
𝐿 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Ilustrasi dari 𝐿 luas daerah D diberikan pada Gambar 4.1.
𝑏
Gambar 4.1 Luas daerah D = 𝐿 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Definisi 4.7 Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi dua grafik fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Jika L adalah luas daerah D, maka 𝑏
𝐿 = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥. Ilustrasi dari 𝐿 luas daerah D diberikan pada Gambar 4.2.
𝑏
Gambar 4.2 Luas daerah D = 𝐿 = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
167
Teorema 4.21 Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓 yang kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], sumbu X, 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Jika L adalah luas daerah D, maka 𝑏
𝐿 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Ilustrasi dari 𝐿 luas daerah D diberikan pada Gambar 4.3.
𝑏
Gambar 4.3 Luas daerah D = 𝐿 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Dari Definisi 4.6 dan Teorema 4.21 diperoleh simpulan dalam Teorema 4.22. Teorema 4.22 Jika D adalah daerah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi 𝑓, garis 𝑥 = 𝑏
𝑎, 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X maka 𝐿 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥. Jika integralnya terhadap sumbu Y maka diperoleh seperti pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Luas daerah D dari integral terhadap sumbu Y Contoh 4.17
168
Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 dan sumbu 𝑋 di antara 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 4. Penyelesaian: Jelas fungsi 𝑓 kontinu pada selang [1,4] dan 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 di [1,4]. Tulis 𝐿: luas daerah D. 4
4
1
Jadi 𝐿 = ∫1 (√𝑥 + 2). 𝑑𝑥 = ∫1 (𝑥 2 + 2). 𝑑𝑥 4
3
=[
2.𝑥 2 3
+ 2. 𝑥] = 1
32 3
satuan luas.
Contoh 4.18 Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 dan sumbu 𝑋 di antara 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 1. Penyelesaian: Jelas fungsi 𝑓 kontinu pada selang [−1,1] dan 𝑓(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 di [−1,1]. Tulis 𝐿: luas daerah D. 1
1
Jadi 𝐿 = ∫−1 −(𝑥 2 − 4). 𝑑𝑥 = ∫−1(−𝑥 2 + 4). 𝑑𝑥 = [−
𝑥3 3
1
1
1
+ 4𝑥] = (− 3 + 4) − (3 − 4) = −1
22 3
satuan luas.
Contoh 4.19 Hitunglah luas daerah D yang dibatasi grafik fungsi 𝑓(𝑦) = 𝑦 2 dan 𝑔(𝑦) = √𝑦. Penyelesaian:
Gambar 4.5 Daerah D dibatasi grafik fungsi 𝑓(𝑦) = 𝑦 2 dan 𝑔(𝑦) = √𝑦 Jelas daerah D yang dimaksud diperlihatkan pada Gambar 4.5. 169
Pada daerah D, grafik fungsi 𝑔 berada di kanan 𝑓, selain itu grafik fungsi 𝑓 dan 𝑔 berpotongan di titik (0,0) dan (1,1), dengan kata lain daerah D dibatasi 𝑦 = 0 dan 𝑦 = 1. kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 di [−1,1]. Tulis 𝐿: luas daerah D. 1
1
1
Jadi 𝐿 = ∫0 (√𝑦 − 𝑦 2 ). 𝑑𝑦 = ∫0 (𝑦 2 − 𝑦 2 ). 𝑑𝑦 3
=[
2.𝑦 2 3
−
𝑦3
1 2
1
1
] = (3 − 3) − (0 − 0) = 3 satuan luas. 3 0
b. Volume Benda Putar Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan menghasilkan suatu benda putar. Volume benda putar tersebut dapat dihitung menggunakan integral tertentu dengan beberapa metode.
1) Metode Cakram Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [𝑎, 𝑏]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik 𝑓, sumbu 𝑋, 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏 diputar dengan poros sumbu 𝑋 akan membangun suatu benda putar. Volume benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan metode cakram seperti pada Gambar 4.6. Bangun partisi untuk selang [𝑎, 𝑏]. Pilih titik sampel 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Volume cakram ke-i adalah 𝑉𝑖 = 𝜋. [𝑓(𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 Jadi 𝑉 = lim ∑ni=1 𝜋. [𝑓(𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 ‖p‖→0 𝑏
= 𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥.
170
Gambar 4.6.a Daerah D diputar
Gambar 4.6.b Volume ke-i benda
terhadap sumbu 𝑋
putar dengan metode cakram
2) Metode Cincin Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi 𝑔 dan ℎ dengan 𝑔(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) pada [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Akan ditentukan volume benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu 𝑋. Buat partisi untuk selang [𝑎, 𝑏] pada sumbu 𝑋. Pilih titik sampel 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Tulis 𝑉𝑖 : volume cincin ke-𝑖 Jelas 𝑉𝑖 = 𝜋. [𝑔(𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 − 𝜋. [ℎ(𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 = 𝜋. [[𝑔(𝑡𝑖 )]2 − [ℎ(𝑡𝑖 )]2 ]. ∆𝑖 𝑥 Jadi 𝑉 = lim ∑ni=1 𝜋. [[𝑔(𝑡𝑖 )]2 − [ℎ(𝑡𝑖 )]2 ]. ∆𝑖 𝑥. ‖p‖→0 𝑏
= 𝜋 ∫ [[𝑔(𝑥)]2 − [ℎ(𝑥)]2 ]𝑑𝑥. 𝑎
Ilustrasi dari metode cincin diberikan pada Gambar 4.7.
171
Gambar 4.7.a Daerah D diputar
Gambar 4.7.b Volume ke-i benda putar
terhadap sumbu 𝑋
dengan metode cincin
3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung) Dipunyai daerah 𝐷 yang dibatasi grafik fungsi kontinu 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada selang [𝑎, 𝑏], garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑋. Akan ditentukan volume benda yang terjadi jika daerah 𝐷 diputar terhadap sumbu 𝑌. Bangun partisi untuk selang [𝑎, 𝑏]. Pilih titik sampel 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] dengan 𝑡𝑖 berada tepat di tengah subselang [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Jadi 𝑡𝑖 =
𝑥𝑖 +𝑥𝑖−1 2
atau 2𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 .
Tulis 𝑉𝑖 : volume silinder ke-i. 2 Jelas 𝑉𝑖 = 𝜋. 𝑥𝑖2 . 𝑓(𝑡𝑖 ) − 𝜋. 𝑥𝑖−1 . 𝑓(𝑡𝑖 ) 2 = 𝜋. 𝑓(𝑡𝑖 )(𝑥𝑖2 − 𝑥𝑖−1 )
= 𝜋. 𝑓(𝑡𝑖 )(𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 ) (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) = 𝜋. 2𝑡𝑖 . 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑥 = 2𝜋. 𝑡𝑖 . 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑥. 𝑏
Jadi 𝑉 = 2𝜋. lim ∑ni=1 𝑡𝑖 . 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑥 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥. ‖p‖→0
172
Contoh 4.20 Dipunyai daerah D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang disajikan dengan 𝑦 = 𝑥 2 dan 𝑦 = 𝑥. Hitunglah volume benda yang terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu 𝑌 menggunakan metode sel silinder. Penyelesaian: Tulis 𝑥 = 𝑓(𝑥) dan 𝑥 2 = 𝑔(𝑥). Jelas 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) pada [0,1]. Bangun partisi untuk selang [0,1]. Pilih 𝑡𝑖 tengah-tengah [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. 1
Jadi 𝑉 = 2𝜋. ∫0 𝑥. [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] . 𝑑𝑥 1
= 2𝜋. ∫ (𝑥 2 − 𝑥 3 ). 𝑑𝑥 0 1
𝑥3 𝑥4 = 2𝜋. [ − ] 3 4 0 =
𝜋 6
satuan volume.
c. Panjang Busur Suatu Grafik Fungsi Berikut ini dibahas bagaimana menghitung panjang busur grafik suatu fungsi dengan menggunakan integral. Dipunyai fungsi 𝑓 kontinu pada selang [𝑎, 𝑏]. Akan dihitung panjang busur grafik 𝑓 dari titik (𝑎, 𝑓(𝑎)) sampai titik (𝑏, 𝑓(𝑏)) sebagaimana ilustrasi pada Gambar 4.8. Bangun
partisi
untuk
selang
[𝑎, 𝑏].
Misalkan
koordinat
titik-titik
𝑃𝑖−1 (𝑥𝑖−1 , 𝑓(𝑥𝑖−1 )) dan titik 𝑃𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖 )). Misal 𝐽𝑖 : jarak 𝑃𝑖−1 ke 𝑃𝑖 , diperoleh: 𝐽𝑖 = √(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )2 + (𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ))2 = √1 + (
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 2 ) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ). 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
Dipunyai 𝑓 mempunyai turunan pada [𝑎, 𝑏], sehingga 𝑓 juga mempunyai turunan pada selang [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Pilih 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] sehingga
173
𝑓 ′ (𝑡𝑖 ) =
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ) . 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
Jadi 𝐽𝑖 = √1 + [𝑓 ′ (𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥. Jadi panjang busur grafik 𝑓 dari titik 𝑃0 (𝑎, 𝑓(𝑎)) sampai titik 𝑃𝑛 (𝑏, 𝑓(𝑏)) adalah 𝑛
𝐽 = lim ∑ √1 + [𝑓 ′ (𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 ‖𝑃‖→0
𝑖=1
𝑏
= ∫ √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥. 𝑎
Gambar 4.8 Grafik fungsi f kontinu dan mempunyai turunan pada selang [𝑎, 𝑏] Contoh 4.21 Tentukan panjang busur grafik yang diberikan oleh persamaan 6𝑥𝑦 − 𝑦 4 − 3 = 0 19
14
dari titik (12 , 2) dan titik ( 3 , 3). Penyelesaian: Jelas 6𝑥𝑦 − 𝑦 4 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 = Tulis 𝑓(𝑦) = Jadi 𝑓′(𝑦) =
174
𝑦3 6
𝑦3 6
1
+ 2𝑦.
1
+ 2𝑦.
𝑑[𝑓(𝑦)] 𝑑𝑦
=
𝑦3 1 + ) 6 2𝑦
𝑑(
𝑑𝑦
=
𝑦2 2
1
− 2𝑦 2.
3
3
Jadi 𝐽 = ∫2 √1 + |𝑓 ′ (𝑦)|2 . 𝑑𝑦 = ∫2 ට1 +
𝑦2 2
1
− 2𝑦 2 . 𝑑𝑦
3
3
𝑦2 1 𝑦3 1 13 = ∫ ( + 2 ) 𝑑𝑦 = [ − ] = . 2 2𝑦 6 𝑦2 4 2 Jadi panjang busur yang dimaksud adalah
13 4
satuan.
d. Luas Permukaan Benda Putar Selanjutnya dibahas bagaimana menghitung luas permukaan benda putar dengan menggunakan integral. Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏] diputar mengelilingi sumbu 𝑋. Akan dihitung luas permukaan benda yang terjadi, sebagaimana ilustrasi pada Gambar 4.9.
Gambar 4.9.a Daerah D diputar
Gambar 4.9.b Selimut kerucut
terhadap sumbu 𝑋
terpancung
Dibangun partisi untuk selang [𝑎, 𝑏] menjadi n buah subselang yang sama panjang. Jadi ∆𝑖 𝑥 =
𝑏−𝑎 𝑛
untuk setiap 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛.
Pilih 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] sehingga 𝑓 ′ (𝑡𝑖 ) =
𝑓(𝑥𝑖 )−𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1
.
Tulis 𝑆𝑖 : luas selimut kerucut terpancung ke-i. Jelas 𝑆𝑖 = 𝜋 ⋅ [𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 )]√(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )2 + (𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 ))2 = 𝜋 ⋅ [𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 )] ⋅ ට1 + (
𝑓(𝑥𝑖 )−𝑓(𝑥𝑖−1 ) 2 𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1
) ⋅ (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )
175
= 𝜋 ⋅ [𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 )] ⋅ √1 + [𝑓′(𝑡𝑖 )]2 ⋅ 𝛥𝑖 𝑥 Jadi 𝑆 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝜋 ⋅ [𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 )] ⋅ √1 + [𝑓′(𝑡𝑖 )]2 ⋅ 𝛥𝑖 𝑥 ‖𝑃‖→0
= lim 𝜋 ⋅ ∑𝑛𝑖=1 2 ⋅ 𝑓(𝑡𝑖 ) ⋅ √1 + [𝑓′(𝑡𝑖 )]2 ⋅ 𝛥𝑖 𝑥 ‖P‖→0
𝑏
= 2𝜋 ⋅ ∫𝑎 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥. Contoh 4.22 Tentukan luas permukaan ikat pinggang bola yang terjadi apabila lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 pada selang [−𝑎, 𝑎] dengan 𝑎 < 𝑟 diputar terhadap sumbu 𝑋. Penyelesaian: 𝑥2
𝑎
Luas bendar putar 𝑆 = 2𝜋 ∫−𝑎 √𝑟 2 − 𝑥 2 ⋅ ට1 + 𝑟 2−𝑥 2 𝑑𝑥 = [2𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑥]𝑎−𝑎 = 4𝑎𝑟 satuan luas. Untuk memperjelas pemahaman, Saudara dapat melihat ppt berikut ini. [PPTM3-KB4]
E. Forum Diskusi Silahkan selesaikan soal berikut dengan berdiskusi bersama teman sejawat Saudara. Buatlah analisis terkait masalah perhitungan integral tertentu dan masalah perhitungan luas suatu daerah menggunakan aplikasi integral berikut ini, berikan jawaban Saudara, lakukan evaluasi terhadap jawaban tersebut, dan terakhir buatlah kesimpulan. Petunjuk pengerjaan: a.
Sketsa dan arsirlah daerah D yang dibatasi oleh grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3, sumbu 𝑋, 𝑥 = 1, dan 𝑥 = 6. 6
b.
Selanjutnya hitunglah ∫1 (𝑥 − 3)𝑑𝑥.
c.
Kemudian hitunglah luas daerah D dengan menggunakan aplikasi integral.
d.
Buatlah analisis dan evaluasi terhadap hasil jawaban 2 dan 3.
176
e.
Hitunglah luas daerah D yang diarsir menggunakan cara lain, misalnya luas daerah segitiga.
f.
Berikan dua pasang contoh masalah terkait perhitungan integral tertentu dan perhitungan luas suatu daerah menggunakan aplikasi integral, sepasang contoh menghasilkan jawaban yang sama dan sepasang contoh menghasilkan jawaban yang berbeda. (Contoh dapat Saudara rekonstruksi atau modifikasi dari masalah di atas)
g.
Berdasarkan hasil jawaban dan contoh yang Saudara berikan, buatlah kesimpulan dari hasil pengerjaan dan diskusi Saudara.
F. Rangkuman Selamat ya ...... Saudara telah berhasil menyelesaikan kegiatan belajar tentang antiturunan, integral, dan aplikasi integral. Hal-hal penting yang telah saudara pelajari dalam kegiatan belajar ini dapat dibaca pada rangkuman berikut ini. 1.
Antiturunan atau integral tak tentu merupakan balikan dari turunan. Jika 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼 maka F disebut suatu antiturunan f pada selang I. Keberadaan antiturunan tidak tunggal, untuk menunjukkan semua antiturunan 𝑓, dapat dituliskan dengan 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 + 𝐶, dengan 𝐶 sebarang konstanta.
2.
Teorema-teorema dalam integral tak tentu antara lain sebagai berikut. a. Jika r sebarang bilangan rasional kecuali −1, maka ∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑟+1 𝑟+1
+𝐶
b. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 dan ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 c. Kelinieran: (1) ∫ 𝐾𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, (2) ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥, (3) ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. d. Diberikan 𝑓 fungsi yang diferensiabel dan 𝑟 bilangan rasional dengan 𝑟 ≠
−1, maka: ∫[𝑓(𝑥)]𝑟 𝑓 ′ (𝑥) 𝑑𝑥 =
[𝑓(𝑥)]𝑟+1 𝑟+1
+ 𝐶, C konstanta.
177
e. Penggantian: dipunyai 𝑔 mempunyai turunan pada 𝐷𝑔 dan 𝑅𝑔 ⊂ 𝐼 dengan I adalah suatu selang. Jika 𝑓 terdefinisi pada selang 𝐼 sehingga 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), maka ∫ 𝑓[𝑔(𝑥)]𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹[𝑔(𝑥)] + 𝐶. f. Integral Parsial: Jika U dan V adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka ∫ 𝑈. 𝑑𝑉 = 𝑈. 𝑉 − ∫ 𝑉. 𝑑𝑈. g. Jika dijumpai integral fungsi trigonometri yang rumit, diusahakan dapat dikembalikan ke dalam bentuk yang pokok. h. Untuk mengintegralkan fungsi rasional 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)
dicek dulu derajat 𝑝(𝑥)
dan 𝑞(𝑥), 𝑞(𝑥) difaktorkan menjadi faktor linear atau kuadrat, kombinasikan semua suku dalam pecahan bagian dengan menyamakan penyebut, hitung semua koefisien yang ada, dan diintegralkan. 3.
Deret dan notasi sigma diperlukan dalam pembahasan tentang jumlah Riemann hingga integral tertentu. Teorema yang sering digunakan, khususnya dalam perhitungan integral tertentu melalui limit jumlah Riemann antara lain sebagai berikut. a. ∑𝑛𝑖=1 𝑐 = 𝑛. 𝑐 untuk sebarang konstanta c, b. .∑𝑛𝑖=1 𝑐. 𝑎𝑖 = 𝑐. ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 c. ∑𝑛𝑖=1(𝑐. 𝑎𝑖 + 𝑑. 𝑏𝑖 ) = 𝑐. ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 + 𝑑. ∑𝑛𝑖=1 𝑏𝑖
4.
Definisi partisi: dipunyai [𝑎, 𝑏] suatu selang tutup, suatu 𝑃𝑛 untuk selang [𝑎, 𝑏] adalah
sebarang
himpunan
yang
terdiri
(𝑛 + 1)
bilangan
{𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 }, dengan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. 5.
Definisi Jumlah Riemann: dipunyai 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ. suatu fungsi, 𝑃𝑛
suatu
partisi untuk selang [a,b], dan 𝑡𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Bangun 𝑅𝑛 = ∑ 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥. Bangun 𝑅𝑛 disebut Jumlah Riemann untuk 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏]. 6.
Definisi integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann: Dipunyai fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, jika lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 ada, maka dikatakan ‖𝑃‖→0
fungsi 𝑓 terintegralkan secara Riemann pada selang [𝑎, 𝑏]. Selanjutnya ditulis 𝑏
lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑡𝑖 ). ∆𝑖 𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 disebut
‖𝑃‖→0
Riemann) fungsi 𝑓 dari 𝑎 ke 𝑏.
178
integral
tertentu
(integral
7.
Teorema-teorema Integral Tertentu: 𝑏
a. ∫𝑎 𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 ∆𝑖 𝑥 = 𝑏 − 𝑎 ‖𝑃‖→0
𝑏
b. ∫𝑎 𝐾𝑑𝑥 = lim ∑𝑛𝑖=1 𝐾. ∆𝑖 𝑥 = 𝐾(𝑏 − 𝑎) ‖𝑃‖→0
c. Kelinearan: 𝑏
𝑏
𝑏
(1) ∫𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, dan 𝑏
𝑏
(2) ∫𝑎 𝐾. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐾. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏
𝑐
𝑏
d. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 e. Teorema Dasar Kalkulus 1: jika f kontinu pada selang [𝑎, 𝑏] dan 𝑥 suatu 𝑥
titik dalam [𝑎, 𝑏], maka
𝑑[∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] 𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥)
f. Teorema Dasar Kalkulus 2: jika 𝑓(𝑥) kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan 𝐹(𝑥) sebarang 𝑏
antiturunan 𝑓(𝑥), maka ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑭(𝒃) – 𝑭(𝒂). Selanjutnya ditulis 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎) = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 . 8.
Luas daerah pada bidang datar, daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f, x = a, x = b, dan sumbu X. L adalah luas daerah D. 𝑏
a. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝐿 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏
b. Jika 𝑓(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka 𝐿 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. 𝑏
c. Secara umum 𝐿 = ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|. 𝑑𝑥 9.
Luas daerah pada bidang datar, daerah D yang dibatasi dua grafik fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏. Jika 𝐿 𝑏
adalah luas daerah 𝐷, maka 𝐿 = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥. 10. Volume Benda Putar dari suatu daerah 𝐷 pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, di mana 𝐷 dibatasi oleh grafik 𝑓, sumbu 𝑋, 𝑥 = 𝑎, dan 𝑥 = 𝑏 diputar dengan poros sumbu 𝑋, dengan metode cakram, diperoleh: 𝑏
Volume 𝑉 = lim ∑ni=1 𝜋. [𝑓(𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 = 𝜋 ∫𝑎 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥. ‖p‖→0
179
11. Volume Benda Putar dari suatu daerah 𝐷 pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, di mana 𝐷 dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan 𝑔(𝑥) ≥ ℎ(𝑥) pada [𝑎, 𝑏], x = a, dan x = b diputar terhadap sumbu 𝑋, dengan metode cincin, diperoleh: Volume 𝑉 = lim ∑ni=1 𝜋. [[𝑔(𝑡𝑖 )]2 − [ℎ(𝑡𝑖 )]2 ]. ∆𝑖 𝑥. ‖p‖→0 𝑏
= 𝜋 ∫ [[𝑔(𝑥)]2 − [ℎ(𝑥)]2 ]𝑑𝑥 𝑎
12. Volume Benda Putar dari suatu daerah 𝐷 pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, di mana dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada selang [𝑎, 𝑏], garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑋, diputar terhadap sumbu 𝑌, dengan metode sel silinder (kulit tabung), diperoleh: 𝑏
Volume 𝑉 = 2𝜋. lim ∑ni=1 𝑡𝑖 . 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑥 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥. ‖p‖→0
13. Panjang busur grafik 𝑓 dari titik 𝑃0 (𝑎, 𝑓(𝑎)) sampai titik 𝑃𝑛 (𝑏, 𝑓(𝑏)) adalah 𝑏
𝐽 = lim ∑𝑛𝑖=1 √1 + [𝑓 ′ (𝑡𝑖 )]2 . ∆𝑖 𝑥 = ∫𝑎 √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥. ‖𝑃‖→0
14. Luas permukaan benda putar dengan 𝐷 adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 𝑓 pada selang [𝑎, 𝑏] diputar mengelilingi sumbu 𝑋. 𝑛
𝑆 = 𝑙𝑖𝑚 ∑ 𝜋 ⋅ [𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 )] ⋅ √1 + [𝑓′(𝑡𝑖 )]2 ⋅ 𝛥𝑖 𝑥 ‖𝑃‖→0
𝑖=1 𝑏
= 2𝜋 ⋅ ∫𝑎 𝑓(𝑥) ⋅ √1 + [𝑓′(𝑥)]2 𝑑𝑥. Untuk menentukan tingkat penguasaan saudara terhadap materi ini, silahkan kerjakan tes berikut ini. Kunci jawaban diberikan pada akhir modul ini.
G. Tes Formatif Jawablah soal berikut dengan memberikan tanda silang (X) pada jawaban yang benar. 1
1. Berikut ini adalah antiturunan dari 𝑓(𝑥) = 2 𝑥, kecuali .... √
180
1
A. √𝑥 + ට7 B. √𝑥 + 1000 C. √𝑥 − 100a 1
D. ට7 − √𝑥 E. 100s + √𝑥 2. Hasil dari ∫ 3sin (6𝑥 − 5)𝑑𝑥 adalah .... 1
A. − 2 cos (6𝑥 − 5) + 𝑐 B. −2 cos (6𝑥 − 5) + 𝑐 C. −2 sin (6𝑥 − 5) + 𝑐 D. 2 sin (6𝑥 − 5) + 𝑐 E. 2 cos (6𝑥 − 5) + 𝑐 3. Hasil dari ∫(2𝑥 + cos 𝑥) 𝑑𝑥 adalah .... A. 𝑥 2 − sin 𝑥 + 𝑐 B. 𝑥 2 + sin 𝑥 + 𝑐 C. 𝑥 2 − cos 𝑥 + 𝑐 D. 𝑥 2 + cos 𝑥 + 𝑐 E. 2𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐 4. Berikut ini adalah bentuk penulisan notasi sigma dari deret 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100, kecuali .... A. ∑100 𝑖=1 𝑎𝑖 100 B. ∑10 𝑖=1 𝑖 + ∑𝑖=11 𝑖 100 C. ∑15 𝑘=1 𝑘 + ∑𝑘=16 𝑘 100 D. ∑20 𝑘=1 𝑘 + ∑𝑙=21 𝑙 70 100 E. ∑15 𝑘=1 𝑘 + ∑𝑘=16 𝑘 + ∑𝑘=71 𝑘
5. Hasil dari ∑5𝑖=1(𝑖 2 + 4𝑖 − 5) adalah .... A. 115 B. 90 C. 75
181
D. 140 E. 165 8
6. Hasil dari ∫4
𝑥 √𝑥 2 −15
𝑑𝑥 adalah ....
A. 90 B. 15 C. 6 D. −6 E. −15 5
𝑥5
7. Hasil dari ∫−5 𝑥 2+4 𝑑𝑥 adalah .... A. 5 B. 10 C. −10 D. −5 E. 0 3𝜋
8. Hasil dari∫02 cos 𝑥 𝑑𝑥 adalah .... A. 2 B. – 2 C. 1 D. – 1 E.
1 2
9. Luas daerah 𝐷 yang dibatasi oleh grafik fungsi 𝑓 dan 𝑔 dengan 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 + 5𝑥 – 4 dan 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 4 adalah … satuan luas. A.
144 3
B. 36 C.
64 3
D. 18 E.
182
20 3
10. Volume benda putar yang terjadi apabila daerah 𝐷 yang dibatasi grafik 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 4𝑥 2 , dan 𝑦 = 4 diputar mengelilingi sumbu 𝑌 adalah ... satuan volume. A. 12𝜋 B. 10𝜋 C. 8𝜋 D. 6𝜋 E. 4𝜋
H. Daftar Pustaka [1] Chotim, M. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Jurusan Matematika UNNES. [2] Purnomo, D. 2010. Kalkulus Integral. Malang: Jurusan Pendidikan MIPAFPIEK, IKIP Budi Utomo Malang [3] Rochmad, Chotim, M. & Kharis, M. 2018. KALKULUS II Dengan bantuan Software Maple, Semarang: FMIPA PRESS. [4] Tim Dosen, 2013. Bahan Ajar Matematika Dasar. Semarang: FMIPA Universitas Negeri Semarang [5] Varberg, D., Purcell, E.J., & Rigdon, S. 2007. Calculus Ninth Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education [6] Yahya, Y., Suryadi D. H.S., Agus Sumin, 1994. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia [7] Ristekdikti. 2018. Modul Daring PPG Daljab 2018. Jakarta:Ristekdikti.
183
TUGAS AKHIR MODUL 3
Kerjakan tugas berikut dengan sebaik-baiknya. Tugas tidak boleh sama persis dengan teman saudara yang seangkatan dalam PPG ini. 1. Lakukan kegiatan penentuan tinggi sebuah benda dengan menggunakan trigonometri. Unggah file proses perhitungan dan lampirkan foto kegiatan saudara. 1 + 𝑥2 , 𝑥 < 0 2. Dipunyai fungsi f dengan: 𝑓(𝑥) = {𝑥 2 , 0 ≤ 𝑥 < 2 . 4 ,𝑥 ≥ 2 a. Hitung 𝑓(0), 𝑓(2), lim− 𝑓(𝑥), lim+ 𝑓(𝑥), lim− 𝑓(𝑥), dan lim+ 𝑓(𝑥) 𝑥→0
𝑥→0
𝑥→2
𝑥→2
b. Apakah lim 𝑓(𝑥) dan lim 𝑓(𝑥) ada? Berikan penjelasan. 𝑥→0
𝑥→2
c. Apakah 𝑓 kontinu di 𝑥 = 0 dan di 𝑥 = 2? Berikan penjelasan. d. Sketsalah grafik 𝑓. e. Buatlah rekonstruksi atau sedikit modifikasi pada fungsi f sehingga mengalami diskontinu di 𝑥 = 2. 3. Carilah sebuah soal dan penyelesian terkait penggunaan turunan di dunia nyata. Unggah file soal dan penyelesaian tersebut. 4. Sketsalah daerah D yang merupakan daerah yang dibatasi grafik fungsi 𝑦 = 2𝑥 dan 𝑦 = 𝑥 2 . a. Hitunglah luas daerah D dengan 2 cara, yaitu membuat partisi pada sumbu 𝑋 dan sumbu 𝑌. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban. b. Dengan menggunakan daerah D pada nomor 4.a., hitunglah volume benda yang terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu 𝑌 menggunakan 2 cara, yaitu dengan metode cincin dan metode sel silinder. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban. 5. Dengan bantuan software pendukung seperti Geogebra, lakukan proses perhitungan luas penampang suatu benda. Unggah file proses perhitungan dan lampirkan gambar benda yang anda ukur serta proses pemanfaatan sofware pendukung yang saudara gunakan.
184
TES SUMATIF MODUL 3
Pilihlah jawaban yang tepat dari setiap persoalan berikut. 1. Roni bermain layang-layang. Benang yang telah dia ukur sepanjang 64 m. Apabila sudut elevasi benang tersebut sebesar 75° dari permukaan tanah maka tinggi layang-layang Roni adalah ... m. A. 16(√2 + √3) B. 16(√2 + √6) C. 32(√2 + √3) D. 32(√2 + √6) E. 16(√3 + √6) 2. Sebuah mobil di suatu tempat parkir berjarak 16 km dari lampu jalan A dan 28 km dari lampu jalan B. Apabila sudut yang terbentuk antara kedua lampu dari mobil adalah 120° maka jarak kedua lampu adalah ... km. A. 4√93 B. 16√93 C. 4√31 D. 12√31 E. 38√31 3. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah penyelesaian dari persamaan 2sin 𝑥 cos 2𝑥 5 − +5=0 sin 2𝑥 cos 𝑥 cot 𝑥 maka nilai 9 cot(𝑥1 + 𝑥2 ) adalah .... A. − B. −
63 5 45 7 9
C. − 7
185
5
D. − 7 E.
5 7 3
4. Nilai sin (2 cos−1 (5)) + cos(tan−1(2√2)) adalah .... A. B. C. D. E.
1 3 75 97 24 25 97 75 25 24
5. Jika 0 < 𝐴 < 𝜋 , memenuhi 𝐴 + 𝐵 =
2 3
𝜋 dan sin 𝐴 = 2 sin 𝐵, maka nilai
(𝐴 − 𝐵) adalah .... 2
A. − 3 𝜋 1
B. − 2 𝜋 C. D. E.
1 2 1 3 1 6
𝜋 𝜋 𝜋
6. Banyak nilai 𝑥 dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 yang merupakan solusi persamaan sin(𝜋𝑥) − sin(3𝜋𝑥) = 0 adalah .... A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 E. 6 7. Segitiga lancip 𝐴𝐵𝐷 mempunyai perbandingan panjang sisi 𝐴𝐵: 𝐵𝐶 = 3: 1 dan 1
1
sin 𝐵 = 3. Nilai dari sin 𝐶 adalah .... A. √10 − 4√2 B. 3√10 − 4√2
186
C.
√10−4√2 3
D. 9√10 − 4√2 E.
√10−4√2 9
8. Daerah asal dan daerah hasil fungsi 𝑓(𝑥) =
|𝑥−5| 𝑥−2
adalah ....
A. 𝐷𝑓 = ℝ, 𝑅𝑓 = ℝ B. 𝐷𝑓 = ℝ − {2}, 𝑅𝑓 = ℝ C. 𝐷𝑓 = ℝ − {5}, 𝑅𝑓 = ℝ D. 𝐷𝑓 = ℝ − {2}, 𝑅𝑓 = ℝ+ E. 𝐷𝑓 = ℝ+ , 𝑅𝑓 = ℝ − {5} 3
9. Fungsi ℎ dibangun dari fungsi 𝑓(𝑥) = − 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = |1 − 𝑥 2 | dengan rumus (𝑓 ∘ 𝑔)(x). Nilai ℎ(−2) adalah .... 3
A. − 2 B. −1 C.
3 2
D. 1 E. 3 1
10.
1
𝑥+3
Diketahui fungsi 𝑓: ℝ − {3} → ℝ − {3}, dengan 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1. Fungsi invers dari 𝑓 dinyatakan dengan 𝑓 –1 . Nilai dari 𝑓 −1 (𝑥) adalah .... A. B. C. D. E.
𝑥+3 3𝑥−1
3−𝑥 3𝑥−1 3𝑥−1 𝑥−3 3−𝑥 3−3𝑥 𝑥+3 3𝑥−3 √𝑥 2 +3−√5𝑥−1 𝑥 2 −1 𝑥→1
11. Nilai lim
adalah ....
4
A. − 3 3
B. − 4 187
3
C. − 8 3
D.
8
E. 3 6𝑥 3 −7𝑥 2 −3𝑥 𝑥→∞ 2𝑥 4 −𝑥 3 +4𝑥 2
12. Nilai lim
adalah ….
A. −∞ B. 0 C. 1 D. 3 E. +∞ 13. Nilai lim √𝑥 2 + 6𝑥 + 2 − √𝑥 2 − 4𝑥 + 1 adalah …. 𝑥→∞
A. −∞ B. 0 C. 2 D. 5 E. +∞ 𝑥 2 + 1, 𝑥 < 0 14. Fungsi 𝑓(𝑥) = {1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 , diskontinu pada 𝑥 sama dengan .... (𝑥 − 1)2 , 𝑥 > 1 A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2 15. Nilai 𝑥 dari titik pada grafik 𝑦 = 2𝑥 − sin 2𝑥 yang mempunyai garis singgung merupakan garis horisontal adalah .... A. 0 B. C. D.
188
𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2
E. 1 16. Nilai yang sesuai dengan A. B. C. D. E.
𝑑[tan(2 sin−1 𝑥)] 𝑑𝑥
adalah ....
1 1−𝑥 2 1 (1−𝑥 2 )√(1−𝑥 2 ) 2 𝑥 2 √(1−𝑥2 ) 2 (1−2𝑥 2 )2 .√(1−𝑥 2 ) 2 (1−2𝑥 2 )√1−𝑥2
17. Jika 𝑦 = 𝐹(𝑥) maka nilai yang sama dengan
𝑑[𝐹(𝑥).sin2 𝐹(𝑥)] 𝑑𝑥
adalah ....
A. 𝑦 ′ . (sin2 𝑦 + 𝑦. sin 2𝑦) B. 𝑦 ′ . (𝑦. sin2 𝑦 + sin 2𝑦) C. 𝑦. (sin2 𝑦 + 𝑦 ′ . sin 2𝑦) D. 𝑦. (𝑦 ′ . sin2 𝑦 + sin 2𝑦) E. 𝑦 ′ . (𝑦 ′ . sin2 𝑦 + sin 2𝑦) 18. Sebuah benda dilempar ke bawah dari puncak tebing dengan kecepatan awal 𝑣0 meter per detik dan turun sejauh 𝑠 = 𝑣0 𝑡 + 16𝑡 2 meter dalam 𝑡 detik. Jika benda tersebut menabrak laut dalam 3 detik dengan kecepatan 140 meter per detik maka tinggi tebing tersebut adalah ... meter. A. 32 B. 44 C. 96 D. 140 E. 276 19. Diberikan 𝑓(1) = 2, 𝑓 ′ (1) = −1, 𝑔(1) = 0, dan 𝑔′ (1) = 1. Apabila 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥). sin[𝑔(𝑥)] maka nilai dari 𝐹 ′ (1) adalah .... A. −3 B. −2 C. −1 D. 1 189
E. 2 20. Dipunyai 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦)∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Jika 𝑓 ′ (0) ada maka 𝑓 ′ (𝑎) ada dan nilai 𝑓 ′ (𝑎) adalah .... A. −𝑓 ′ (0) B. −𝑓 ′ (𝑎) C. 𝑓(𝑎). 𝑓 ′ (0) D. 𝑓 ′ (0). 𝑓 ′ (𝑎) E. 𝑓(0). 𝑓 ′ (0) 21. Diketahui 𝑓(𝑥) = {
𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑥
