Modul Vektor [PDF]

Citation preview

Modul 10 Mengaplikasikan Konsep Vektor  Aljabar Vektor Dimensi Dua  Operasi Vektor Dimensi Dua Aljabar Vektor Dimensi Tiga Operasi Vektor Dimensi Tiga BAB I PENDAHULUAN A.



Deskripsi Modul Konsep Vektor ini terdiri atas dua bagian proses pemelajaran yang meliputi dua sub komponen, yaitu : 1. menerapkan konsep vektor pada bidang datar, 2. menerapkan konsep vektor pada bangun ruang.



B.



Prasyarat Kemampuan awal yang diperlukan untuk mempelajari Modul 12 ini adalah siswa telah mempelajari dan memahami konsep geometri dimensi dua dan dimensi tiga.



C.



Tujuan Akhir Setelah mempelajari kegiatan belajar ini pada Modul K ini diharapkan siswa dapat : 1. menggambarkan vektor sebagai segmen garis berarah bila diberikan komponenkomponennya, 2. menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor, 3. menentukan vektor posisi suatu vektor, 4. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan gambar, 5. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan memperhatikan komponen-komponennya, 6. menentukan negatif dari suatu vektor, 7. menggunakan pengertian vektor nol dalam operasi vektor, 8. menyatakan vektor satuan yang searah denagn suatu vektor yang diberikan, 9. menentukan hasil kali suatu vektor dengan skalar, 10. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor, 11. menentukan selisih dua vektor, 12. menentukan perkalian skalar dua vektor.



B. 1.



Kegiatan Belajar Kegiatan Belajar 1 a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. mendefinisikan tentang vektor,



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



1



2. 3. 4.



menyatakan komponen-komponen vektor, menentukan besar/panjang vektor pada bangun datar, menentukan vektor satuan dari suatu vektor pada bangun datar.



b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar vektor ditunjukkan oleh panjang ruas garis, sedang arah ditunjukkan oleh arah anak panah. Gambar di samping menunjukkan vektor atau ditulis sebagai vektor a.



B



a



AB



A



Lingkup Vektor Pada Bangun Datar Vektor pada bangun datar (dimensi dua) ditandai dengan sumbu x dan sumbu y, yang saling berpotongan. 1. Modulus atau Besar Vektor y Jika titik A (x1 , y1) dan B (x2 , y2) maka B



x  x1  komponen vektor AB =  2 .  y2  y1 



(x2,y2)



Adapun modulus vektor AB adalah besar atau panjang vektor AB ditentukan dengan rumus :  AB  =



dan dapat



A



(x1,y1) x



O



(x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y 1 )2



Contoh : Diketahui titik A (3 , -5) dan B (-2 , 7), tentukanlah : a. komponan vektor AB b. Modulus / besar vektor AB Penyelesaian : a. komponen vektor AB =  72(53)    125      b. besar vektor AB   AB 



=



( 5) 2  12 2



=



25  144  169



= 13 2. Vektor Posisi Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P disebut vektor posisi titik P dan dituliskan OP . Jika koordinat titik P (x , y) maka vektor posisinya x adalah : OP =  y    MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



y y



O (0 , 0) 2



x



x



3. Kesamaan Dua Vektor Dua buah vektor dikatakan sama mempunyai besar dan arah yang sama.



B



Q



apabila



AB  PQ A



P



4. Vektor Negatif



B



Vektor negatif dari AB adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor AB tetapi arahnya berlawanan dan ditulis - AB



Q



AB  - PQ A



P



5. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu ( berupa titik ). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O =



 0  . 0



6. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang /besar 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar / panjang vektor semula. Vektor satuan dari vektor a dirumuskan :



e=



a a



Contoh : Jika diketahui vektor a = (3 , 2 , 1). Hitunglah vektor satuan dari vektor a ! Penyelesaian : Besar vektor a = a =



3 2  2 2  12  14



Maka vektor satuan dari a adalah : e =



  dalam bentuk vektor kolom e =    



( 3,2 ,1) 14



(



3 2 1 , , ) atau dapat dituliskan 14 14 14



3  14  2 . 14  1  14 



c. Tugas Kegiatan Belajar 1 1. Tuliskan komponan vektor dari titik yang ujungnya P (2 , 4) dan pangkalnya Q (-2 , 3) ! 2. Tentukan besar vektor a jika a =  34  !   3. Jika P =



 1  tentukan P !  5



4. Tentukan vektor satuan dari vektor c =  13  !   5. Tentukan vektor satuan dari vektoe d =



 2  ! 2



d. Test Formatif Kegiatan Belajar 1 MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



3



1. Tentukan modulus / besar vektor d =  45  !   2. Tentukan besar vektor AB jika A (-2 , 3) dan B (1 , -4) ! 3. Tentukan komponan vektor AB jika A (5 , -2) dan B (7 , 2) ! 4. Jika P =   43  maka tentukan komponan vektor negatif dari P !   5. Tentukan vektor satuan dari vektor a =   43  !   6.



Jika diketahui koordinat tiitk P (6 , 3) dan Q ( (4 , 5), tentukanlah : b. besar vektor PQ



a. komponen vektor PQ 7.



Perhatikan gambar di samping ! Gambarkanlah :



y Q



a. Vektor yang sama panjang dengan PQ b. Vektor negatif dari PQ c. Vektor posisi yang sama dengan PQ 5  tentukanlah : 8. Jika diketahui d =   12    a. modulus vektor d b. vektor negatif d c. vektor satuan d



P



x O



9. Tentukanlah besar vektor-vektor berikut : a. u =  53   



b. v =   11   



c. w =   43   



10. Diketahui vektor p =   61  dan q = 2p. Tentukan vektor satuan dari vektor r jika r = p – q   2.



Kegiatan Belajar 2 a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar 2. menentukan hasil penjumlahan dua vektor pada bangun datar 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun datar



b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



4



1.



Perkalian Vektor dengan Skalar Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan arahnya sama. y



a Jika vektor a =  1  maka : a  2



k . a1  k . a =   k  . a2 



3.a



Contoh :



a



Diketahui vektor a =   48  . Tentukanlah :   a. 3 . a b. -2 . a c. ½ . a



x O



Penyelesaian :  a. 3 . a = 3.   48  =  3 .(38.4)  =   12      24 



8 b. -2 . a = -2.   48  =   2.(28.4)  =  16       



 1 .4  c. ½ . a = ½ .   48  =  1 2  =   24     2 .(8)    2.



Penjumlahan Dua Vektor Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu : a. aturan segitiga b a



b.



a a+b



b



aturan jajaran genjang



a



a



a+b



b b



Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah : a Jika vektor a =  1  dan vektor b = a  2



 b1  a  b   b  maka : a + b =  a 1  b 1  2  2  2



Contoh : Jika vektor c =  84  dan vektor d =   3.



 3  maka : 9



3    11 c + d =  84       9   13



Selisih Dua Vektor Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua. Jadi : a – b = a + ( - b )



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



5



Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut : -b



a



a



a-b



b



b



a Secara analitis jika diketahui vektor a =  1  dan vektor b = a  2



 b1   b  maka :  2



a  b1  a - b =  1  a2  b2 



Contoh : 3    5 c - d =  84       9   5



Jika vektor c =  84  dan vektor d =  93  maka :     c. Tugas Kegiatan Belajar 2



Gambarlah pada bidang koordinat kartesius vektor AB dengan A (1 , 2) dan B (4 , 5) serta vektor CD dengan C (3 , -2) dan D (-1 , 3). Kemudian tentukanlah : a. AB + CD b. CD + AB c. Apa kesimpulan Anda ? d. Test Formatif Kegiatan Belajar 2 1.



2.



Perhatikan gambar vektor di samping : Gambarlah vektor : a. 3.u c. u + v b. -2.v d. 2.u – v



u



2



1,5



v



1 1



Jika diketahui u =  23  dan v =   41  tentukanlah :     a. 2.u b. -3.v



c. 3.u + 2.v d. 2.v - u



3.



Diketahui vektor a =   21  dan b = 2.a , tentukanlah vektor c = a + b  



4.



Diketahui vektor a =   24  , b =  



5.



 tentukanlah secara aljabar vektor dari : Jika vektor m =   48  dan n =  10    6



a. ½ . m – ½ .n



 x  dan c = y



 3  . Tentukan x dan y jika c = a + b  5



b. ¼ . m + ½ . n



6.



4  dan b = Diketahui a =     2



7.



Jika a =  25  dan b =  



8.



Jika p =   53  dan q =   24  tentukanlah ½ .p – ½ .q !    



 1  tentukanlah 3.b – ½ .a ! 4



 3  tentukanlah 2.a – ½ .b !  7



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



6



9.



Jika diketahui p =   46  dan q =  



 x  tentukanlah x dan y jika p + q = y



a 10. Jika a =  1  dan b =   29  tentukanlah a 1 dan a 2 jika a – b = a    2



  2  !   3



 4  ! 7



11. Jika p =   26  dan q =   48  .     Tentukanlah : a. p + q c. 3.p + 2.q b. 2.p – q d. p – ½ .q  , b =   6  dan c = 12. Jika a =  12  4  2



13. Jika a =  45  , b =  



 c 1  Tentukanlah c dan c jika a + b – 2c =  10  !  8 1 2 c     2



  1  dan c =   7  Tentukanlah : 2.a – 3.b dan a + 2.b – c   3  4



 , q =  x  . Tentukanlah nilai x dan y jika p – 3.q =  3  14. Diketahui p =  24  8  7 y 3. Kegiatan Belajar 3 a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menghitung modulus vektor (besar vektor) pada bangun ruang 2. menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang 3. menyatakan kesamaan dua vektor pada bangun ruang 4. menentukan negatif suatu vektor pada bangun ruang 5. menyatakan pengrtian vektor nol pada bangun ruang 6. menentukan vektor satuan pada bangun ruang



b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3) Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan. Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk : z 1. koordinat kartesius p = (x, y, z) z



x 2. vektor kolom p =  y  atau z   3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu : p = xi + yj + zk



 1 dengan i =  0  ,j = 0  



0  1  , dan k = 0  



k i



0 0  1  



O



p j



P (x , y , z) y y



x x



1. Modulus Vektor Modulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor. Jika suatu vektor AB dengan koordinat titik A (x1 , y1 ,z1) dan B (x2 , y2 , z2) maka modulus / besar / panjang vektor AB dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu : MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



7



 AB  =



( x 2  x 1 ) 2  ( y 2  y 1 ) 2  (z 2  z 1 ) 2



Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a1i + a2j + a3k , maka modulus vektor a adalah : a =



a12  a2 2  a32



Contoh : Tentukan modulus /besar vektor berikut : a. AB = dengan titik A (1 , 4 , 6) dan Q (3 , 7 , 9) b. a = 2i + j + 3k Penyelesaian : a.  AB  = b. a =



( 3  1) 2  (7  4) 2  (9  6) 2  2 2  3 2  3 2  22



2 2  12  3 2  14 z



2. Vektor Posisi Vektor posisi titik P adalah vektor OP yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis OP =



P (x , y , z)



x y .   z



O



Modulus / besar vektor posisi OP adalah :  OP  =



x2  y2  z2



3. Kesamaan Vektor Dua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. 4. Vektor Negatif Vektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif a , yang dituliskan dengan : - a.  a1  Jika vektor a =  a 2  maka : - a = a3 



  a1   a  2    a3 



y



x



B



Q



AB  PQ A



P B



Q



AB  - PQ A



P



5. Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik).



0 Vektor nol dilambangkan dengan O (0 , 0 , 0) atau O =  0  0   6. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor satuan dari vektor a = vektor a tersebut dibagi dengan besar vektor a sendiri, yang a dituliskan dengan : e= a MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



8



Contoh :  2  Tentukan vektor satuan dari vektor a =  4     5



Penyelesaian : a =



2 2  4 2  ( 5 ) 2  25  5



  Jadi vektor satuan vektor a : e =    



2 5 4 5 5 5



     



c. Tugas Kegiatan Belajar 3 1.



 3 Jika diketahui vektor a =  2  Hitunglah vektor satuan dari a !  1  



2.



Diketahui titik P (2 , 2 , 2) dan titik Q (5 , 4 , 2). Tentukan modulus (besar) vektor PQ !



3.



Diketahui vektor b = (1 , 3 , 5). Tentukan vektor satuan dari vektor b !



d. Test Formatif Kegiatan Belajar 3 1. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :



 4 a. a =   5    3   b. AB dengan titik A (-2 , 3 , -1) dan titik B (2 , 1 , -4)



 



2. Diketahui vektor PQ dengan titik P (2 , 5 , -4) dan Q (1 , 0 , -3). Tentukan :



 



a. Koordinat titik R jika SR sama dengan vektor PQ jika titik S (2 , -2 , 4)



 



b. Koordinat titik N jika MN merupakan negatif vektor PQ jika titik M (-1 , 3 , 2) 3.



Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :



 0 a. u =  0    1    1 b. v =  1   1   c. KL dengan K (3 , -2 , 1) dan L (2 , -2 , 1) d. MN dengan M (2 , 1 , 2) dan N (2 , 0 , 3) 4. Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2) a. Hitung modulus vektor PQ b. Buat vektor negatif dari PQ , kemudian hitung modulusnya/besarnya ! c. Apa yang dapat Anda simpulkan dari pekerjaan di atas ? 5. Jika titik P (1 , 1 , 1) dan titik Q (-1 , 4 , -6), tentukanlah : a. vektor posisi titik P dan titik Q



c. negatif vektor PQ



b. komponen vektor PQ



d. vektor satuan PQ



6. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



9



2 a. u =  4  b. w = -i + 5j + k  1   7. Tentukan besar vektor-vektor berikut ini ! a. u = -i + j – 4k b. v = 2i + 4j – 2k 8. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut !  2 a. c =   3   5  



  3 c. PQ =  0   5  



  1 b. d =  4   2  



9. Kegiatan Belajar 4 a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar pada bangun ruang 2. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor pada bangun ruang 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun ruang 4. menentukan perkalian skalar dua vektor pada bangun ruang 5. menentukan sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor 6. menentukan perkalian vektor daru dua vektor pada bangun ruang b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4 1. Perkalian Vektor dengan Skalar  a1  Hasil kali vektor a =  a 2  dengan suatu skalar m adalah : m . a =   a3 



 m.a 1   m.a  2   m.a 3 



Hasil kali vektor a = a1i + a2j + a3k dengan skalar m adalah : m . a = m.a1i + m.a2j + m.a3k Contoh :



 5 Jika vektor h =  2  , maka : 3 . h =  4   Jika vektor u = 2i + j – 3k , maka : 2.



 3x 5   15  3x 2  =  6   3x 4   12      4 . u = 4.2i + 4.j – 4.3k = 8i + 4j – 12k



Penjumlahan Vektor dalam ruang  a1  Jika dua vektor a =  a 2  dan vektor b = a3 



 b1   b  adalah vektor-vektor tidak nol, maka :  2  b3 



 a 1   b1  a + b =  a 2  +  b 2   a 3   b3 



 a1  b1  a + b =  a 2  b 2   a3  b3  Jika vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k , maka : a + b = (a1+b1)i + (a2+b2)j + (a3+b3)k



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



10



Contoh : Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !



 2   1 a. a =   3  dan b =  4   2  5     b. a = 2i + j – 4k dan b = 3i + 5j + k Penyelesaian :



3.



a.



a+b



b.



a+b



 2  ( 1 )   1  =   3  4  =  1  5  ( 2 )   3     



= (2+3)i +(1+5)j + (-4+1)k = 5i + 6j – 3k Selisih Dua Vektor pada Ruang  a1  Jika dua vektor a =  a 2  dan vektor b =   a3 



a  b   b1  a  b   b  maka : a - b =  a 1  -  b 1  =  a 1  b 1  2  2  2  2  2  a 3   b3   a3  b3   b3 



Jika vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k , maka : a - b = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j + (a3 - b3)k Contoh : Hitunglah selisih dari dua vektor berikut :



8  3 1 . a =  6  dan b =  1   4 7      Penyelesaian :  8  3  5 1. a - b =  6  1  =  5  7  4  3     4.



2. a = 8i + 6j + 9k dan b = 3i + 5j +2k



2. a - b = (8-3)i + (6-5)j + (9-2)k = 5i + j + 7k



Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian skalar dari dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k ditulis dengan : a . b (dibaca a dot b). Jika sudut antara vektor a dan vektor b diketahui sama dengan  ( 0    180 ), maka : a . b = a.b. cos  Jika sudut antara vektor a dan vektor b tidak diketahui, maka : a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3



Contoh : Diketahui vektor a = 2i + 3j + 6k dan b = i + 2j + 2k , maka perkalian skalar vektor a dan vektor b adalah : a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 a . b = 2.1 + 3.2 + 6.2 a . b = 2 + 6 + 12 = 20



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



11



Jika diketahui a = 6 dan b = 5 dan sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60 maka perkaliannya adalah : a . b = a.b. cos  a . b = 6 . 5 . cos 60 a . b = 30 . ½ = 15 5.



Sudut Antara Dua Vektor Dari rumus perkalian skalar dua vektor a . b = a.b. cos  maka besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan, yaitu : cos  =



a .b = a.b



a 1 .b 1  a 2 .b 2  a 3 .b 3 a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32



Contoh :



 1  1 Jika vektor a =  0  dan vektor b =  1  , maka sudut antara vektor a dan vektor b adalah … 0 0     Penyelesaian : a 1 .b 1  a 2 .b 2  a 3 .b 3 a .b cos  = = 2 a.b a a 2 a 2. b 2 b 2 b 2 1



2



2



2



2



2



1 0 0 . 1 1 0 1 2



1



2



=



2



3



1 1 2 = x = 2 2 2



1 2



2



2







= arc. cos







= 45



6.



3



1.1  0.1  0.0



cos  = cos  =



2



1 2



2



Perkalian Vektor dari Dua Vektor Perkalian vektor dari dua vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a cross b) dirumuskan dengan : a x b = ( a.b.sin  ) . s  = besar sudut antara vektor a dan vektor b ( 0    180 ) s = vektor satuan yang tegak lurus bidang



dimana :



s -s



axb 



b



bxa 



b



a



a



Bila diketahui vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k maka :



i j k a x b = a1 a2 a3 b1 b2 b3



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



12



Untuk vektor satuan i , j , k berlaku : i x j = -j x i = k i x k = -k x i = -j j x k = -k x j = i ixi=jxj=kxk=0 Contoh : Diketahui vektor a = 2i – j + 3k dan vektor b = 3i – 2j + k. Tentukanlah : Penyelesaian :



a. a x b



1 3 2 3 2 1  2 1 .i  3 1 . j  3  2 .k



=



(-1 – (-6)).i – (2 – 9).j + (-4 – (-3)).k



 2 1 .i  3 1 . j  3  2 .k 1 3 2 3 2 1



=



c.  a x b 



= 5i + 7j - k



i j k 3 2 1 2 1 3



b. b x a =



= =



c.  a x b 



i j k 2 1 3 3 2 1



a. a x b =



=



b. b x a



(-6 – (-1)).i – (9 – 2).j + (-3 – (-4)).k -5i – 7j + k =



5 2  7 2  ( 1) 2



=



25  49  1  75  5 3



Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :



ax b  bx a



c. Tugas Kegiatan Belajar 4



 3   3 Diketahui vektor a =   2  , b =  4   1  5     1. Nyatakan a dan b sebagai kombinasi vector satuan i, j, k ! 2. Tentukan a . b ! 3. Tentukan a x b ! 4. Tentukan besar sudut antara a dan b ! d. Test Formatif Kegiatan Belajar 4 1.



2.



 5  3   3 Diketahui vektor a =   2  , b =  4  dan c =   3  . Tentukanlah :  1  5  2       a. a + b b. 2a + 2c c. 5a – 3c Diketahui a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j – 2k. Tentukanlah : a. a + b b. a – b c. -3a + 2b



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



13



3.



Diketahui vektor a = i – 2j + 3k dan b = 3i + j + 2k. Tentukanlah : a. a . b b. besar sudut antara a dan b



4.



Diketahui vektor a = 2i + 3j + 2k dan b = -i + 5j + k. Tentukanlah : b.  a x b 



a. a x b 5. 6.



Diketahui vektor a = 2i – 3j +pk dan b = 6i + 2j – 4k.Tentukan nilai p jika a . b = 10 ! Hitunglah perkalian skalar dua vektor a = 2i + 3j + 5k dan b = 2i + j +3k !



7. 8. 9. 10.



Hitunglah a . b jika diketahui a = 3, b = 4 dan sudut antara a dan b adalah 60 ! Diketahui a = i + 2j + 3k dan b = k . Tentukanlah sudut antara a dan b ! Tentukan jumlah dan selisih dua vektor u = 5i + 2j + k dan v = i – j + 2k ! Jika p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j – 2k maka tentukan p x q !



 2  0  dan c =   3  



 3 11. Diketahui a =   1  , b =  4   a. 12. 13. 14. 15.



Jika Jika Jika Jika



3 2



a



  1  4  . Hitunglah :  2  



b. 3b + c



c. 2a – 4c



a = 3i – j + k ; b = 2i – k ; c = 5j + k , maka hitunglah 2a + b – c ! a = 4i – 3j + 2k dan b = i + 2j + 5k , maka tentukan a . b ! a = (1 , 1 , 0) dan b = (0 , 1 , 1) tentukan sudut antara a dan b ! a = i – 5j + 6k dan b = 5i – 3j + k , tentukan a x b !



Evaluasi Kompetensi 1.



Diketahui vektor A =   55  dan B =   a.



2.



 7  2



e.



 3  4



b. 8



c.  3



d. 38



e. - 38



b. 13



c. - 10



d. 13



e. 15



Jika A = (5 , -3 , 2) dan B = (1 , 5 , -2) maka komponen vektor AB adalah …



 6 a.  2   0  



5.



  3   6



d. 



Panjang vektor a = 3, panjang vektor b = 2 dan sudut antara vektor a dan b adalah 60 maka besar a + b adalah … a. 10



4.



c.   72   



Diketahui vektor a = 5i – 3j + 2k, maka panjang vektor a adalah … a. - 3



3.



b.   43   



 2  , maka komponen vektor AB adalah … 1



 b.    



6 2 0 



 2 Jika diketahui a =   1  dan b =  0  



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



 c.   



4 8 4 



 d.   



  1  2  maka 2a + 3b adalah …  1   14



4 8 4 



 4 e.   8   4  



 1 a.  4   3   6.



7.



8.



9.



  1 c.  2   3  



7 b.  4   3  



 5 d.  3   1  



Diketahui a = 2i – 3j + 4k dan b = i + 2j – 3k, maka a . b adalah … a. 18 b. - 16 c. -18 d. - 12



 4 e.  1   3  



e. 10



Apabila diketahui a = 2 dan b = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60  maka a . b = … a. 6 b. -6 c. 12 d. 14 e. 16



 1 Diketahui vektor a =  3  dan b = 2   a. – 6 b. 6



  5  3  , maka a . b = …  1   c. 8 d. 10



Vektor a = 2i + 3j + 4k dan b = i – 2j + k, maka a x b = …. a. i – 11 j + 2k b. 6i – 2j + 2k c. 11i + 2j – 7k d. 5i – 2j + 3k



e. 12



e. 11i – 2j + 7k



10. Diketahui vektor a  i  3j  2k dan b  3i  2j  k , maka besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah … .



a. 1200



b. 600



c. 300



d. 350



450



11. Diketahui a = 2i – 3j + pk dan b = 4i + 2j + 3k, apabila a . b = 8 maka nilai untuk p adalah … a. 5 b. – 4 c. – 2 d. 2 e. 3



 5 12. Diketahui a =   2  maka bentuk kombinasi linear dari vektor a adalah …  3   a. 5i – 2j +3k b. 2i - 5j + 2k c. 3i – 2j + 5k d. -2i + 5j + 3k e. 2i + 3j + 5k   3 13. Diketahui vektor a =  4  , b =  5   0 a.  3  9  



 5   3  dan c =  2  



 1  2  . Maka nilai dari 2a + b – c adalah  3  



 0 c.   3   9  



 1 b.  5   3  



 0 d.   3    9  



14. Diketahui vektor a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j + 2k , maka a x b adalah … a. i+ 7j + 11k b. i – 7j – 11k c. i + 7j + 12k d. 2i – 3j + 4k



 5 15. Diketahui a =   3  dan b =  2  



 4 a.   3   5  



 1 e.   5   3  



e. i + 3j + 5k



 1   2  , maka a + b = …  3  



 6 b.   5   5  



MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan TP Kabupaten Klaten



 4 c.   3   2  



15



 1 d.  3  2  



  4 e.  3   2  