Olimpiade Matematika Keterbagian [PDF]

Citation preview

Olimpiade Matematika Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia



Tulisan ditandai ‘keterbagian’ Kanada 1983 #4 4. Untuk setiap bilangan prima , buktikan bahwa ada tak hingga banyaknya bilangan asli sehingga habis membagi . Solusi: Jika , maka semua bilangan genap habis membagi . Anggap . Perhatikan bahwa dan menurut teorema Fermat. Jadi kita ambil untuk sebarang bilangan asli . Ditulis oleh Johan 25 Juni 2009 pada 19:52 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan bilangan prima, fermat's little theorem, keterbagian, olimpiade matematika, teorema fermat, teori bilangan



Kanada 1980 #1 1. Jika a679b adalah bilangan lima digit (dalam basis 10) yang habis dibagi 72, tentukan a dan b. Solusi: Tiga angka terakhirnya habis dibagi 8, maka b=2. Jumlah angkanya habis dibagi 9, maka a=3. Ditulis oleh Johan 20 Mei 2009 pada 21:54 Ditulis dalam olimpiade matematika



Dikaitkatakan dengan basis bilangan, jumlah angka, keterbagian, teori bilangan



Kanada 1977 #4 4. Misalkan dan adalah dua polinomial dengan koefisien bulat. Misalkan semua koefisien dari genap tetapi tidak semuanya habis dibagi 4. Tunjukkan bahwa satu dari dan memiliki semua koefisien genap dan yang lainnya punya koefisien ganjil. Solusi: Jika keduanya punya semua koefisien genap, jelas bahwa punya semua koefisien habis dibagi 4. Jika keduanya punya koefisien ganjil, misalkan di dan di memiliki koefisien ganjil, maka koefisien pada memiliki koefisien ganjil, kontradiksi. Ditulis oleh Johan 13 Mei 2009 pada 7:09 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan kanada, keterbagian, koefisien, polinomial, soal olimpiade matematika, teori bilangan



IMO 1967 #6 6. Pada sebuah ajang olahraga, sejumlah medali diberikan selama hari. Pada hari ke- , sejumlah medali dan sepertujuh dari medali sisanya diberikan, untuk . Pada hari terakhir, sisa medalinya diberikan. Berapa lamakah ajang tersebut berlangsung dan berapa banyaknya medali total? Solusi: Misalkan banyaknya medali yang diberikan pada hari ke- adalah medali yang tersisa pada awal hari tersebut adalah . Maka . Jadi



…



dan banyaknya , sehingga , sehingga



Untuk kesingkatan, misalkan



.



Jadi Jadi



. , sehingga habis dibagi dan akibatnya . Maka didapat juga



. Tetapi



, sehingga dan



Ditulis oleh Johan 3 Mei 2009 pada 8:25 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan aljabar, barisan, deret, IMO 1967, keterbagian, medali, olahraga, olimpiade matematika, teori bilangan



IMO 1967 #3 3. Misalkan lebih besar dari



adalah bilangan asli sehingga adalah bilangan prima yang . Jika , buktikan bahwa habis dibagi .



Solusi: Misalkan bahwa



Di sisi lain,



dan



. Perhatikan . Maka



. Perhatikan bahwa adalah hasil kali bilangan berurutan, maka habis dibagi . Karena adalah bilangan prima yang lebih besar dari , maka habis dibagi jika dan hanya jika habis dibagi . Tetapi adalah hasil kali bilangan berurutan, sehingga habis dibagi . Jadi habis dibagi . Ditulis oleh Johan



3 Mei 2009 pada 8:19 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan bilangan asli, bilangan prima, faktorial, hasil kali bilangan berurutan, IMO 1967, keterbagian, teori bilangan



APMO 1989 #2 2. Buktikan bahwa persamaan .



tidak memiliki solusi bulat selain



Solusi: habis dibagi 3, misalkan . Maka , sehingga habis dibagi 3, misalkan . Jadi . Perhatikan bahwa bilangan kuadrat kongruen 0,1,4,9 modulo 16. Mudah dilihat bahwa genap, misalkan . Kita misalkan adalah solusi sehingga nilai positif dan terkecil. Maka ruas kanan 0,4 modulo 16. Kita juga tahu bahwa sehingga . Tetapi dan . Jadi , sehingga genap. Jika genap, kita dapat solusi , kontradiksi dengan minimalitas . Jadi ganjil. Misalkan . Maka . Dengan analisa seperti di atas, persamaan ini tidak punya solusi. Jadi tidak ada solusi positif, dan kesimpulan mengikuti. Ditulis oleh Johan 13 April 2009 pada 18:45 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan apmo 1989, asian pacific mathematical olympiad, infinite descent, keterbagian, kongruensi, kontradiksi, modulo, persamaan diophantine, teori bilangan



IMO 1964 #1 1. a) Cari semua bilangan asli sehingga habis dibagi 7. b) Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli , tidak habis dibagi 7. Solusi: Perhatikan bahwa modulo 7 dari berturut-turut adalah . Ini pasti berulang terus menerus. Maka



habis dibagi



7 jika habis dibagi 3. Bagian b jelas benar karena tidak ada yang kongruen 6 modulo 7 pada barisan di atas. Ditulis oleh Johan 12 April 2009 pada 15:30 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan imo 1964, keterbagian, modulo, periodik, soal olimpiade matematika, teori bilangan



Kanada 1972 #5 5. Buktikan bahwa persamaan .



tidak memiliki solusi dalam bilangan asli



Solusi: Ini adalah kasus khusus dari Teorema Terakhir Fermat, tetapi karena teorema ini belum terbukti pada saat olimpiade ini dilaksanakan, kita akan menggunakan bukti lain. . Jika , sehingga Maka yaitu dan tetapi ruas kanan tidak habis dibagi 3, kontradiksi.



maka . Didapat



, kontradiksi. ,



Ditulis oleh Johan 12 April 2009 pada 13:05 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan Fermat's Last Theorem, keterbagian, kontradiksi, persamaan diophantine, teorema terakhir fermat, teori bilangan



Kanada 1971 #6 6. Tunjukkan bahwa Solusi:



bukan kelipatan 121 untuk semua bilangan bulat .



Anggaplah sebaliknya bahwa dan



, sehingga . Jadi



. Perhatikan bahwa habis dibagi 11. Tetapi artinya , kontradiksi.



Ditulis oleh Johan 10 April 2009 pada 9:42 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan bilangan prima, faktor, kanada 1971, keterbagian, matematika, olimpiade, teori bilangan



Kanada 1970 #10 10. Diberikan polinomial dengan koefisien bulat. Diberikan juga bahwa ada empat bilangan asli sehingga . Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat sehingga . Solusi: Perhatikan bahwa



. Jika ada sehingga , maka adalah empat faktor berbeda dari 3. Jika salah satunya bernilai 3 atau -3, jelas bahwa 3 lainnya bernilai 1 atau -1 sehingga nilainya sama, kontradiksi. Tetapi jika tidak ada 3 atau -3, kita dapat kontradiksi yang serupa. Ditulis oleh Johan 8 April 2009 pada 19:02 Ditulis dalam olimpiade matematika Dikaitkatakan dengan faktor, kanada, keterbagian, kontradiksi, matematika, olimpiade, polinomial