Operator [PDF]

Citation preview

TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear



Operator Linear Trihastuti Agustinah



Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember



OUTLINE 1. Objektif 2. Teori 3. Contoh 4. Simpulan 5. Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Tujuan Pembelajaran



Mahasiswa mampu: 1) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor 2) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R2 dan R3



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Pendahuluan



Operator linear digunakan untuk memetakan vektor atau titik ke dalam vektor atau titik yang lain. Beberapa operator linear yang dibahas dalam objek pembelajaran ini adalah refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Operator Refleksi



Misal operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke image simetris pada sumbu-y Hubungan antara komponen x dan w w1 = − x = − x + 0 y



w2 = y = 0 x + y



Matriks standar T:







 w1  − 1 0  x   w  =  0 1  y     2 



 − 1 0 [T ] =   0 1  



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Refleksi pada sumbu–y



Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisnya pada garis atau bidang y



(-x, y) w=T(x)



(x, y)



x x



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Refleksi pada sumbu/garis Operator



Ilustrasi



Persamaan



Matriks standar



w1 = − x



 − 1 0  0 1  



y



Refleksi pada sumbu-y



(-x, y)



(x, y) x



w=T(x)



x



w2 = y



y (x, y) x



Refleksi pada sumbu-x w=T(x)



Refleksi pada garis y=x



w2 = − y



1 0  0 −1  



w1 = y w2 = x



0 1  1 0  



(x, -y)



y (y, x) w=T(x)



w1 = x



x



x



y= x (x, y)



x



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Refleksi pada bidang Operator



Ilustrasi



w1 = x



z x



Refleksi pada bidang-xy



(x, y, z) y



w



x (x, -y, z)



Refleksi pada bidang-xz



Persamaan w2 = y w3 = – z



(x, y, -z) z x



w



w1 = x



(x, y, z) y



w3 = z



x z



(-x, y, z)



w



Refleksi pada bidang-yz



w1 = – x w2 = y



(x, y, z) x



x



w2 = – y



y



w3 = z



Matriks standar 1 0 0  0 1 0    0 0 −1 1 0 0 0 − 1 0    0 0 1



 − 1 0 0  0 1 0    0 0 1



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Operator Proyeksi



Operator T: R2 → R2 memetakan vektor ke dalam proyeksi ortogonalnya pada sumbu-x Hubungan antara komponen x dan w w1 = x = x + 0 y w2 = 0 = 0 x + 0 y



Matriks standar T:



 1 0 [T ] =   0 0  



 w1  1 0  x   w  = 0 0   y     2 



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Proyeksi Ortogonal pada sumbu–x



Operator proyeksi: memetakan vektor ke dalam proyeksi ortogonalnya pada garis atau bidang melalui origin



y



(x, y) x x w



(x, 0)



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Proyeksi Ortogonal pada sumbu Operator



Ilustrasi y



Proyeksi ortogonal pada sumbu-x



Persamaan



(x, y)



w1 = x



x



x



w2 = 0



(x, y)



w1 = 0



w (x, 0)



Matriks standar



1 0 0 0   



y



Proyeksi ortogonal pada sumbu-y



(0, y) w



x



x



w2 = y



0 0  0 1   



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Proyeksi Ortogonal pada bidang Operator



Ilustrasi



Persamaan Matriks standar



z



Proyeksi ortogonal pada bidang-xy



x w



x



z



(x, 0, z)



Proyeksi ortogonal pada bidang-xz



w1 = x



(x, y, z) y (x, y, 0)



w3 = 0



(x, y, z)



w1 = x



y



w2 = 0



x



w



w2 = y



w3 = z



x z



(0, y, z)



w



Proyeksi ortogonal pada bidang-yz



x x



w1 = 0



(x, y, z) y



w2 = y w3 = z



1 0 0 0 1 0    0 0 0 1 0 0 0 0 0    0 0 1



0 0 0  0 1 0    0 0 1



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Operator Rotasi



Rotasi vektor pada R2 sebesar sudut θ Sudut rotasi positif: berlawanan dengan jarum jam Hubungan antara x dan w:



y w=(w1, w2) r



θ



x = r cos φ



y = r sin φ



x=(x, y) r



φ



x



w1 = r cos(θ + φ ) w2 = r sin(θ + φ )



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Operator Rotasi Identitas trigonometri: w1 = r cos θ cos φ − r sin θ sin φ



w2 = r sin θ cos φ + r cos θ sin φ



Komponen vektor w



w1 = x cos θ − y sin θ w2 = x sin θ + y cos θ



Operator rotasi:



cos θ [T ] =   sin θ



− sin θ  cos θ 



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Operator Kontraksi dan Dilasi



Operator T(x) = kx dengan k tidak negatif Kontraksi (0 ≤ k < 1)



Dilasi (k > 1)



x



T(x)=kx



T(x)=kx x



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Operator Kontraksi dan Dilasi Operator



Ilustrasi



Persamaan



Matriks standar



y x



Kontraksi sebesar k pada R2 (0 ≤ k < 1)



w



w1 = kx w2 = ky



(kx, ky)



y



Dilasi sebesar faktor k pada R2 (k > 1)



(x, y)



x



w (kx, ky)



k 0  0 k    w1 = kx w2 = ky



x (x, y) x



Contoh 1



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Komposisi Transformasi Linear Transformasi linear dari TA: Rn → Rk dan TB: Rk → Rm



 Komposisi dari TB dengan TA  TA diikuti TB : transformasi dari Rn ke Rm  Notasi TB ○TA Rn x



Rk



Rm TB



TA



TB○TA



TB(TA(x))=(TB○TA)(x)



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Representasi Komposisi Komposisi dari rotasi sebesar θ1 dan θ2 berlawanan jarum jam (T2○T1)(x)= T2(T1(x))



Komposisi dari refleksi pada garis y=x diikuti proyeksi ortogonal pada sumbu-y



y T2(T1(x))



T1(x)



θ 1+θ 2 θ2



x



θ1



x



y T2(T1(x))



y=x



T1(x) x



x



Objektif



Teori



Contoh



Komposisi:



Simpulan



Latihan



tidak komutatif



Komposisi dari refleksi pada garis (T1(x)) dan proyeksi ortogonal (T2(x))



y



y T2(T1(x))



y=x



T1(x)



y=x



x



x



T2(x)



x



x T1(T2(x))



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Komposisi: komutatif Komposisi dari refleksi pada sumbu-x dan sumbu-y y (x,y) x x T1(T2(x)) (-x,- y)



T2(x) (x,-y)



y (-x,y)



(x,y) T1(x)



x



x



T2(T1(x)) (-x,- y) Contoh 2



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Interpretasi geometris dari eigenvektor



T: operator linear; A: matriks standar; x: vektor T(x) = λ x



Ax=λx



Eigenvektor untuk eigenvalue terkait Eigenvalue



Perkalian dengan A memetakan x ke dalam perkalian skalar terhadap dirinya



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Interpretasi geometris dari eigenvektor Perkalian dengan A di R2 dan R3 memetakan eigenvektor x ke dalam vektor yang segaris dengan x λx x



x



x



x



λx λx λx 0≤λ≤1



λ≥1



-1≤λ≤0



λ≤-1



Contoh 3



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 1 Dapatkan image dari a) vektor (-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x b) vektor (2, 3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 90° d) vektor (2, -1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Contoh 1 a) Vektor image dari vektor x=(-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x 0 1 − 1  2 w = T (x) =  =     1 0  2 − 1



(-1, 2) x



y



y=x



x (2, -1) w=T(x)



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 1 b) Vektor image dari vektor x =(2, 3, 3) bila direfleksikan pada bidang–xz  1 0 0  2  2 w = T (x) = 0 − 1 0  3 = − 3 0 0 1  3  3 z (2, -3, 3)



(2, 3, 3) w



x



x



y



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 1 c) Vektor image dari vektor x= (3, -4) bila di rotasi sebesar 90° cos 90 − sin 90  3 w = T (x) =    − 4 sin 90 cos 90    0 − 1  3 4 = =     1 0  − 4 3



y



(4, 3) w



x



x (3, -4)



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 1 d) Vektor image dari vektor x= (2, -1, 3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz 0 0 0   2   0  w = T (x) = 0 1 0 − 1 = − 1 0 0 1  3  3



z (0, -1, 3) (2, -1, 3)



w



x y



x



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 2 a) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi proyeksi ortogonal pada sumbu-y diikuti kontraksi dengan faktor k=½ Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi dari operator linear pada R3: refleksi pada bidang –xy, diikuti proyeksi ortogonal pada bidang –xz Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 2 a)



T1: proyeksi ortogonal pada sumbu-y 0 0  T1 =   T2: kontraksi dengan faktor k=½ 0 1    12 0 0 0 0 0 T2  T1 =  =  1 1  0 0 0 1   2  2  y T1(x) T2(T1(x))



 12 0 T2 =  1 0 2 



0 0  12 0 0 0 T1  T2 =  0 1  = 0 1   0 1   2  2 y



(2, 2) T1(T2(x)) x



0 0   2  0  =  T2T1 (x) =  1   0 2  2 1



(2, 2) T2(x)



x



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 2 b)



T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada bidang –xz



 1 0 0 T1 = 0 1 0 0 0 − 1



z



1 0 0 1 0 0  1 0 0  T2  T1 = 0 0 0 0 1 0  = 0 0 0  0 0 1 0 0 − 1 0 0 − 1



 1 0 0  2  2 T2 (T1 ( x)) = 0 0 0 4 =  0 0 0 − 1 3 − 3



1 0 0 T2 = 0 0 0 0 0 1



(2, 4, 3) x y



(2, 4, -3) T2(T1(x)) x



(2, 0, -3)



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 2 b)



T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada bidang –xz



 1 0 0 T1 = 0 1 0 0 0 − 1



1 0 0 T2 = 0 0 0 0 0 1 z



1 0 0  1 0 0 1 0 0  T1  T2 = 0 1 0  0 0 0 = 0 0 0  0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1



 1 0 0  2  2 T1 (T2 ( x)) = 0 0 0 4 =  0 0 0 − 1 3 − 3



(2, 0, 3)



(2, 4, 3) x



T2(x)



y



T1(T2(x)) x (2, 0, -3)



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 3



T: R3→R3 adalah operator proyeksi ortogonal pada bidang –xy Buktikan bahwa:  Vektor pada bidang –xy dipetakan ke dalam dirinya oleh T  vektor tak-nol dalam bidang –xy : vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ =1



 Vektor x pada aksis- z dipetakan ke dalam 0 oleh T  vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ=0



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Contoh 3 Matriks standar untuk T



1 0 0 A = 0 1 0 0 0 0



Persamaan karakteristik A



λ −1 det(λI − A) =



0 0



0 0 λ − 1 0 = (λ − 1) 2 λ = 0 0



λ



Eigenvalue: λ=0 dan λ=1



Latihan



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=0



0 0   x1  0 λ − 1   x  = 0   0 λ − 1 0  2      0 λ   x3  0 0 Solusi: x1=0; x2=0 ; x3=t



− 1 0 0  x1  0  0 − 1 0   x  = 0   2      0 0 0  x3  0



 x1  0 x =  x2  = 0  x3   t 



Vektor x terletak pada aksis-z



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Contoh 3 Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=1



0 0   x1  0 λ − 1   x  = 0   0 λ − 1 0  2      0 λ   x3  0 0 Solusi: x1=s; x2=t; x3=0



0 0 0  x1  0 0 0 0   x  = 0   2     0 0 1  x3  0



 x1   s  x =  x2  =  t   x3  0



Vektor x terletak pada bidang-xy



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Operator Linear 1) Refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, rotasi merupakan operator linear 2) Bergantung pada operator yang digunakan, komposisi dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif 3) Komposisi dari transformasi linear dari TA: Rn → Rk diikuti dengan TB: Rk → Rm dinotasikan TB ○TA



Objektif , .



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan



Soal Latihan 1) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi: rotasi sebesar 90° diikuti refleksi pada garis y=x 2) Buktikan bahwa



Objektif



Teori



Contoh



Simpulan



Latihan