Osilator Harmonik [PDF]

Citation preview

Mata Kuliah: Fisika Dasar “Osilator Harmonik”



Disusun Oleh:



1. 2. 3. 4. 5.



Salsabila (H021191032) Stania Marsela Basso’(H021191033) Siti Nurul Hikma Syawalia (H021191034) Jauza Kamil Djalle (H021191038) (Ketua) Muhammad Rifqi Assagaf (H021191040)



Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar 2019/2020



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah dengan



judul



‘’



OSILATOR



HARMONIK



‘’



ini



dapat



terselesikan.



Pada makalah ini akan disajikan materi tentang penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum. Harapan saya semoga makalah ini dapat memberi info atau menambah



pengetahuan



bagi



para



pembaca,.



Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman, saya rasa masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu saya sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.



Makassar, September 2019



i



DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR ...................................................................................................



i



DAFTAR ISI..................................................................................................................



ii



BAB I PENDAHULUAN .................................................................................



1



1.1 Latar Belakang 1.2 Rumusan Masalah 1.3 Tujuan BAB II PEMBAHASAN A. Hubungan Operator Hamilton Dengan Energi Pada Schrodinger.......... B. Annihilation Operator dan Creation Operator........................................ C. Energi Eigenket dan Energi Nilai Eigen ................................................ D. Pengembangan Waktu Osilator ............................................................. BAB III PENUTUP A. Kesimpulan....................................................................................... ….. B. Saran ....................................................................................................... DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................



BAB I PENDAHULUAN



1.1 Latar Belakang Osilasi adalah variasi periodik , umumnya terhadap waktu dari suatu hasil pengukuran, contohnya pada ayunan bandul. Istilah vibrasi sering digunakan sebagai sinonim osilasi, walaupun sebenarnya vibrasi merujuk pada jenis spesifik osilasi, yaitu osilasi mekanis. Osilasi tidak hanya terjadi pada suatu sistem fisik, tapi bisa juga pada sistem biologi dan bahkan dalam masyarakat. Osilasi terbagi menjadi 2 yaitu osilasi harmonis sederhana dan osilasi harmonis kompleks. Dalam osilasi harmonis sederhana terdapat gerak harmonis sederhana. Suatu sistem dalam keadaan setimbang statis maupun dinamis, apabila dalam sistem demikian disimpangkan sehingga dihasilkan gerak osilasi, maka gerak demikian dinamakan gerak harmonik, dari osilator harmonik sederhana yang terdiri atas massa ( m ), dengan kostanta pegas. Sistem pegas massa berosilasi pada sumbu x pada permukaan horizontal. Osilator harmonik sederhana ditempatkan pada gerakan osilasi terus – menerus atau dinyatakan sebagai osilasi bebas. Dalam praktiknya, sistem osilasi ini akan kehilangan energi dan akhirnya akan berhenti. Untuk osilasi harmonik teredam, ditinjau kembali suatu benda bermassa m dihubungkan dengan pegas, pada osilator sederhana akan selamanya berosilasi, tetapi pada kenyataannya pada setiap sistem mempunyai redaman sehingga sistem akan berhenti berosilasi, Pengaruh gaya gesek pada benda yang bergerak harmonik adalah amplitudonya akan makin berkurang, akhirnya menjadi nol, artinya gerakan berhenti. Hal ini disebabkan karena tak ada energi yang diambil dari luar. Gerakan ini disebut gerak harmonic teredam. Untuk mempertahankan osilasi suatu sistem osilator, maka energi berasal dari sumber luar harus diberikan pada sistem yang besarnya sama dengan energi disipasi yang ditimbulkan oleh peredamnya, osilasi yang demikian dinamakan sebagai osilasi paksaan atau disebut gerak harmonik yang dipaksakan yaitu gerak harmonik yang dipengaruhi oleh gaya luar yang bekerja terus – menerus secara periodik. Contohnya pada gerak harmonik pada bandul yaitu sebuah bandul adalah massa (m) yang digantungkan pada salah satu ujung tali dengan panjang l dan membuat simpangan dengan sudut kecil. Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu dan panjang busur adalah Kesetimbangan gayanya. Bila amplitudo getaran tidak kecil namun tidak harmonik sederhana sehingga periode 1



mengalami ketergantungan pada amplitudo dan dinyatakan dalam amplitudo sudut. Gerak harmonik pada pegas yaitu sistem pegas adalah sebuah pegas dengan konstanta pegas (k) dan diberi massa pada ujungnya dan diberi simpangan sehingga membentuk gerak harmonik. Gaya yang berpengaruh pada sistem pegas adalah gaya Hooke. Untuk osilator harmonik sederhana di dalam mekanika kuantum, akan dijelaskan lebih jelasnya di dalam makalah ini.



1.2



Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah sebagai berikut :



1.



Bagaiman penyelesaian osilator harmonik secara mekanika kuantum ?



1.3



Tujuan Setelah mengikuti perkuliahan ini melalui metode diskusi, pemberian tugas serta



presentasi, diharapkan mahasiswa dapat: 1. Menjelaskan hubungan operator Hamilton dengan energi pada Schrodinger 2. Menjelaskan annihilation operator dan creation operator 3. Menjelaskan energi eigen dan energi nilai eigen 4. Menjelaskan pengembangan waktu osilator



2



BAB II PEMBAHASAN



Osilator harmonik sederhana merupakan salah satu masalah yang paling penting dalam mekanika kuantum. Tidak hanya menggambarkan banyak konsep-konsep dasar dan metode mekanika quantum tetapi juga memiliki banyak nilai praktis. Pada dasarnya setiap potensi dapat didekati dengan baik pada osilator harmonik sederhana, sehingga menggambarkan fenomena dari getaran molekul hingga struktur nuklir. Selain itu, karena Hamiltonian pada dasarnya adalah jumlah kuadrat dari dua variabel konjugat kanonik, yang juga merupakan titik awal yang penting untuk banyak teori kuantum. A. Hubungan Operator Hamilton Dengan Energi Pada Schrodinger Berawal dari mekanika klasik, osilator harmonik merupakan sistem pegas massa yang terikat pada salah satu ujung pegas. 1. Hukum Hooke Membahas tentang gaya pemulih pada pegas, F= - k x 2. Hukum II Newton, F = m.a 𝑚. 𝑎 = −𝑘. 𝑥 𝑎=− 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎



𝑑2 𝑥



𝑘 𝑥 𝑚 𝑘



𝜔2 = 𝑚



𝑎 = 𝑑𝑡 2



3. Energi pada pegas 



Energi Kinetik , dengan v= ω x Maka 𝑉𝑘 =







1 2



𝑚 𝜔2 𝑥 2



Energi Potensial, 𝑉𝑝 =



1 2



𝑚 𝜔2 𝑥 2



Tinjauan energi pegas pada mekanika kuantum 1. Menggunakan Persamaan Schrodinger Diperoleh



3



ђ2 𝑑 2 1 [− + 𝑚 𝜔2 𝑥 2 ] 𝜓 (𝑥) = 𝐸(𝑥) 2 2𝑚 𝑑𝑥 2 2. Menggunakan Operator Hamiltonian diperoleh 𝐻



(𝑝,𝑥)=



𝑝2 1 + 𝑚 𝜔2 𝑥 2 2𝑚 2



Dimana 𝐻𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) Maka: 1 𝑑 2 [(ђ ) + (𝑚𝜔𝑥)2 ] = 0 2𝑚 𝑑𝑥 Dengan menggunakan sifat aljabar, diperoleh: 1 √2𝑚



𝑑 (ђ 𝑑𝑥 + ⏞𝑖 𝑚𝜔𝑥)



1 √2𝑚



𝑑 (ђ 𝑑𝑥 − ⏞𝑖 𝑚𝜔𝑥)



B. Annihillation Operator dan Creation Operator Dimulai dengan metode elegan Operator Dirac, yang didasarkan pada karya sebelumnya dari M. Born dan N. Wiener, untuk mendapatkan energi eigenkets dan energi eigen dari osilator harmonik sederhana, dengan dasar dari Hamiltonian yaitu



dimana ω adalah frekuensi sudut dari osilator klasik terkait dengan konstanta pegas k dalam hukum Hooke melalui



. Operator x dan p, tentu saja, Hermitian. Hal ini



mudah untuk menentukan dua operator non-Hermitian,



yang dikenal sebagai annihilation operator dan creation operator, masing-masing, untuk alasan yang akan menjadi jelas segera. Menggunakan hubungan pergantian kanonik, diperoleh 4



C. Energi Eigenkets dan Energi Nilai Eigen Untuk sejumlah operator digunakan yang jelas Hermitian Hal ini mudah untuk menunjukkan bahwa



jadi kita memiliki hubungan penting antara sejumlah operator dan operator Hamiltonian:



Karena H adalah fungsi linier dari N, N dapat didiagonalkan bersamaan dengan H, yang menunjukkan sebuah energi eigenket N oleh eigenvalue n, sehingga



Kemudian akan ditunjukkan bahwa n harus bilangan bulat positif. Karena (2.3.6) kami juga memiliki



yang berarti bahwa nilai eigen energi yang diberikan oleh



Untuk menghargai arti fisik a, a+, dan N, pertama mari kita perhatikan bahwa



di mana kita telah menggunakan (2.3.3). Demikian juga, kita dapat memperoleh 5



Sebagai hasilnya,



Dan:



Hubungan ini menyiratkan bahwa



juga merupakan eigenket N dengan nilai



eigen meningkat (menurun) per satu. Karena kenaikan (penurunan) n per satu jumlah penciptaan (pemusnahan) dari satu unit kuantum energi ђω, penciptaan istilah Operator (pemusnahan operator) selama bahwa



dan saya



dianggap tepat. Persamaan (2.3.1 2b) menyiratkan adalah sama hingga konstan perkalian. Kami menulis



di mana c adalah konstanta numerik yang akan ditentukan dari persyaratan yang baik dan



menjadi normal. Pertama, perhatikan bahwa:



Kita dapat mengevaluasi ruas kiri dari (2.3. 14) dengan mencatat bahwa



hanya



operator nomor, sehingga



Mengambil c menjadi nyata dan positif oleh konvensi, akhirnya didapatkan



Demikian, mudah untuk menunjukkan bahwa



6



Misalkan menerapkan operator pemusnahan untuk kedua sisi (2.3.16):



Kita dapat memperoleh eigenkets Operator numerik dengan lebih kecil dan lebih kecil n sampai urutan berakhir, yang pasti akan terjadi setiap kali kita mulai dengan bilangan bulat positif n. Orang mungkin berpendapat bahwa jika kita mulai dengan noninteger n, urutan akan tidak menghentikan, yang mengarah ke eigenkets dengan nilai negatif n. Tapi kami juga memiliki persyaratan positif untuk norma dari



yang berarti bahwa n tidak pernah bisa negatif! Jadi kami menyimpulkan bahwa urutan harus mengakhiri dengan n = 0 dan nilai-nilai yang diizinkan n adalah bilangan bulat nonnegatif. Karena nilai terkecil yang mungkin dari n adalah nol, keadaan dasar dari osilator harmonik memiliki



Kita sekarang dapat berturut-turut menerapkan operator penciptaan dasar



sampai keadaan



menggunakan (2.3.17), kita memperoleh:



Dengan cara ini kita telah berhasil membangun eigenkets simultan N dan H dengan nilai eigen energi



7



Dari (2.3.16), (2.3.17), dan kebutuhan untuk orthonormality (1 n)}, kita memperoleh elemen matriks



Menggunakan ini bersama-sama dengan



kita memperoleh elemen matriks x dan p operator:



Perhatikan bahwa baik x maupun p adalah diagonal dalam representasi N kita gunakan. Hal ini tidak mengherankan karena x dan p, seperti



dan



, tidak komutatif



dengan N. Metode operator juga dapat digunakan untuk mendapatkan eigenfunctions energi dalam ruang posisi. Mari kita mulai dengan keadaan dasar yang didefinisikan oleh



Dengan representasi-x, dibaca



Mengingat (1.7.17), kita bisa menganggap ini sebagai persamaan diferensial untuk fungsi gelombang keadaan dasar



8



di mana kami telah memperkenalkan



yang menetapkan skala panjang osilator. Kita melihat bahwa solusi dinormalisasi ke (2.3.28) adalah



Kami juga dapat memperoleh eigenfunctions energi untuk keadaan tereksitasi dengan mengevaluasi



Secara umum, kita memperoleh



Ini adalah petunjuk untuk melihat nilai-nilai harapan x2 dan p2 untuk keadaan dasar. Pertama, perhatikan bahwa



Ketika kita mengambil nilai harapan x2, hanya terminologi lalu di (2.3.33) menghasilkan menghilang kontribusi non:



Juga



9



Oleh karena itu nilai-nilai harapan kinetik dan energi potensial, masing-masing,



seperti yang diharapkan dari Teorema virial. Dari (2.3.25a) dan (2.3.25b), berarti



yang juga berlaku untuk keadaan tereksitasi. Oleh karena itu kita harus



dan kita melihat bahwa hubungan ketidakpastian puas dalam bentuk produk ketidakpastian minimum:



Hal ini tidak mengherankan karena fungsi gelombang keadaan dasar memiliki bentuk Gaussian. Sebaliknya, produk ketidakpastian untuk keadaan tereksitasi yang lebih besar:



sebagai pembaca mungkin dengan mudah memverifikasi. D. Pengembangan Waktu Oscillator Sejauh ini kita belum membahas evolusi waktu osilator keadaan kets atau diamati seperti x dan p. Segala sesuatu yang kita lakukan seharusnya mengadakan beberapa waktu instan, katakan pada t = 0; operator x, p, a, dan a+ yang dianggap baik sebagai operator gambaran-Schrodinger (di semua t) atau sebagai operator gambaran-Heisenberg pada t = 0. Dalam bagian yang tersisa dari bagian ini, kami bekerja secara eksklusif pada gambaran



10



Heisenberg, yang berarti bahwa x, p, a, dan a+ pada semua tergantung waktu meskipun kita tidak secara eksplisit menulis



, dan sebagainya. Persamaan gerak Heisenberg untuk



p and x adalah, dari (2.2.32) dan (2.2.33),



Sepasang persamaan diferensial digabungkan setara dengan dua persamaan diferensial tidak berpasangan, yaitu,



dimana solusi adalah



Kebetulan, hubungan ini secara eksplisit menunjukkan bahwa N dan H adalah waktu independen operator bahkan dalam gambaran Heisenberg. Dalam hal x dan p, kita dapat menulis ulang (2.3.43) sebagai



Menyamakan Hermitian dan anti Hermitian bagian dari kedua belah pihak secara terpisah, kami menyimpulkan



11



Ini terlihat sama dengan persamaan gerak klasik. Kita melihat bahwa x dan p operator "berosilasi" seperti analog klasik mereka. Untuk alasan pedagogis, kita sekarang menyajikan derivasi alternatif (2.3.45a). Alih-alih memecahkan persamaan Heisenberg gerak, kita mencoba untuk mengevaluasi



Untuk itu, kami mencatat formula yang sangat berguna:



di mana G adalah operator Hermitian dan A adalah parameter nyata. Kami meninggalkan bukti rumus ini, yang dikenal sebagai Baker Hausdorff lemma, sebagai latihan. Mengaplikasikan formula ini untuk (2.3.46), kita peroleh



Setiap istilah di sisi kanan dapat dikurangi baik x atau p dengan berulang kali menggunakan



12



sesuai dengan (2.3.45a).



13



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan 1. Suatu sistem dalam keadaan setimbang statis maupun dinamis, apabila dalam sistem demikian disimpangkan sehingga dihasilkan gerak osilasi, maka gerak demikian dinamakan gerak harmonik, dari osilator harmonik sederhana yang terdiri atas massa ( m ), dengan kostanta pegas. 2. Persamaan gerak Osilasi harmonik pada mekanika kuantum berawal dari gaya pemulih pegas dan energi potensial pegas yang terdapat pada mekanika klasik. 3. Persamaan energi kinetik dan potensial osilator harmonik didapatkan dari hubungan persamaan Schrodinger dengan operator Hamilton



4. Setiap gelombang yang melakukan osilasi memiliki energi eigenket sebesar



5. Perkembangan evolusi waktu pada osilator harmonik sederhana menggunakan gambaran Heisenberg



B. Saran Untuk memahami lebih lanjut mengenai osilator harmonik sederhana diharapkan memahami penyelesaian persamaan schrodinger, sifat incompetiblen dari dua operator yang berbeda, kemampuan matematis dalam pemecahan soal



14



DAFTAR PUSTAKA



Beisser, Arthur. 1999. Konsep Fisika Modern. Jakarta: Erlangga. M.O., Tjia. (2003), Mekanika Kuantum, Penerbit ITB, Bandung. Sakurai, J.J. and Napolitano, Jim, (2011), Modern Quantum Mechanics, 2th Edition, John Wiley & Sons. Tang, C.L. (2005), Fundamentals of Quantum Mechanics for solid state electronics and optics, Cambrides



15