Solusi Latihan - OSILATOR HARMONIK [PDF]

Citation preview

UNIVERSITAS PERTAMINA FISIKA DASAR I SOAL-SOLUSI LATIHAN OSILATOR HARMONIK Semester 1 2019/2020



1. Sebuah pegas yang panjang awalnya 𝐿0 = 0,5 m dan konstanta pegasnya 𝑘 = 100 N/m tergantung pada sebuah statif. Kemudian sebuah benda bermassa 𝑚 = 1 𝑘𝑔 digantungkan pada ujung pegas tersebut. a. Pada kondisi setimbang, tentukan regangan pegasnya! Jika kemudian benda ditarik ke bawah sejauh 0,05 m dari posisi setimbangnya dan dilepaskan, maka benda akan berosilasi harmonik sederhana di sekitar titik setimbang. Tentukan: b. periode osilasi 𝑇, dan c. simpangan sebagai fungsi waktu 𝑦(𝑡) dengan 𝑡 = 0 adalah saat sistem dilepas (ambil sumbu-y positif ke arah atas dan fungsi 𝑦(𝑡) berupa fungsi cosinus)! SOLUSI a. Regangan pegas dalam kondisi setimbang. 𝑚g = 𝑘Δ𝐿 m 𝑚g (1 kg) (10 s2 ) Δ𝐿 = = = 0,1 𝑚 N 𝑘 (100 m) b. Periode osilasi jika pegas ditarik sejauh (simpangan maksimum) 𝐴 = 0,05 𝑚 dari titik setimbangnya, 𝑘 𝜔=√ 𝑚 2𝜋 𝑘 =√ 𝑇 𝑚 𝑇 = 2𝜋√



𝑚 1 kg = 2(3,14)√ = 0.628 𝑠 𝑘 100 N/m



c. Simpangan sebagai fungsi waktu dalam bentuk cosinus, dengan t = 0 ketika sistem dilepas (ambil sumbu-y positif ke arah atas), Misal, 𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙0 ).



𝑦(0) = −𝐴 𝐴 cos 𝜙0 = −𝐴 cos 𝜙0 = −1 𝜙0 = 𝜋 𝑘



dengan 𝐴 = 0,05 𝑚 dan 𝜔 = √𝑚 = √



100 N/m 1 kg



= 10 rad/s, maka, persamaan



simpangan sebagai fungsi waktu dalam bentuk cosinus adalah 𝑦(𝑡) = 0,05 cos(10𝑡 + 𝜋) m. 2. Suatu benda bermassa𝑚 = 0,5 kg yang diikatkan pada pegas berada di atas lantai licin seperti pada gambar. Pegas tersebut mempunyai konstanta pegas 𝑘. Jika benda ditekan sehingga berada pada posisi 𝑥 = −0,1 m dari posisi setimbangnya dan kemudian dilepas, benda akan mengalami gerak osilasi harmonik sederhana (OHS) di sekitar titik setimbangnya dengan frekuensi 2 Hz. a. Tentukan rumusan frekuensi sudutnya sebagai fungsi 𝑚 dan 𝑘. b. Tentukan besarnya konstanta pegas 𝑘. c. Cari fungsi OHS-nya 𝑥(𝑡) dalam bentuk 𝑐𝑜𝑠, jika 𝑡 = 0 pada saat benda dilepas. SOLUSI a. Pada saat 𝑡 = 0, benda disimpangkan sejauh 0,1 m ke arah sumbu-x negatif. Saat dilepas, benda mengalami Osilasi Harmonik Sederhana (OHS) dan selama geraknya, benda mengalami gaya pemulih yang berlawanan dengan arah geraknya. Besar frekuensi sudutnya, 𝑘 𝜔=√ 𝑚 b. Dari persamaan frekuensi sudut didapat : 𝑘 = 𝑚𝜔2 = 𝑚(2𝜋𝑓)2 = 4𝜋 2 𝑓 2 𝑚 = 4𝜋 2 (2 Hz)2 (0,5 kg) = 78,92 𝑁/𝑚 c. Persamaan gerak adalah : 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡) Lakukan diferensiasi dua kali untuk fungsi x(t) diatas terhadap waktu. 𝑑2𝑥 = −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡) 2 𝑑𝑡 Substitusi dua persamaan di atas ke persamaan OHS didapat : 𝑘 −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡) + 𝐴 cos(𝜔𝑡) = 0 𝑚 Diketahui kondisi awal sistem : 𝑥(𝑡 = 0) = −0,1 𝑚 𝑥(𝑡 = 0) = 𝐴 cos 0 → 𝐴 = −0,1 𝑚



Sehingga persamaan fungsi lengkapnya : 𝑥(𝑡) = −0,1 cos(𝜔𝑡) 3. Sebuah benda bermassa 1,2 kg tergantung pada sebuah pegas dengan konstanta gaya 300 N/m dan sistem berosilasi dengan laju maksimum 30 cm/s. (a) Tentukan perpindahan maksimum benda. Ketika benda berada pada posisi perpindahan maksimumnya, tentukan: (b) energi total sistem, (c) energi potensial gravitasi, dan (d) energi potensial di dalam pegas. SOLUSI Misalkan origin dari sumbu koordinat adalah 𝑦0 , di mana 𝑦0 adalah posisi kesetimbangan benda, dan misalkan energi potensial gravitasi sama dengan nol di posisi tersebut. Karena 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 di posisi setimbang, maka pertambahan panjang dari pegas adalah 𝑦0 = 1 𝑚𝑔/𝑘 dan energi potensial yg tersimpan di dalam pegas adalah 𝑈𝑠 = 2 𝑘(𝑦0 )2 . a. Pertambahan panjang lebih jauh dari pegas sejauh 𝑦 akan menambah 𝑈𝑠 menjadi 1 1 1 1 1 1 𝑘(𝑦 + 𝑦0 )2 = 𝑘𝑦 2 + 𝑘𝑦𝑦0 + 𝑘𝑦02 = 𝑘𝑦 2 + 𝑚g𝑦0 + 𝑘𝑦02 2 2 2 2 2 2 Bila dibuat asumsi 𝑈𝑔 + 𝑈𝑠 = 0, maka pertambahan panjang lebih jauh dari pegas 1



sejauh 𝑦 akan menambah 𝑈𝑠 menjadi 2 𝑘𝑦 2 + 𝑚g𝑦 dan mengurangi 𝑈𝑔 sebesar 𝑚𝑔𝑦. 1



Maka, jika 𝑈 = 0 pada posisi setimbang, maka perubahan 𝑈 diberikan oleh 2 𝑘 (𝑦 ′ )2 di mana 𝑦 ′ = 𝑦 − 𝑦0 . Laju maksimum benda 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴, sehingga amplitudo (perpindahan maksimum benda), 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑚 1,2 kg 𝐴= = 𝑣𝑚𝑎𝑥 √ = 30 cm/s√ = 1,9 cm N 𝜔 𝑘 300 m b. Energi benda pada posisi perpindahan maksimum 1 1 𝐸 = 𝑘𝐴2 = (300 N/m)(0,019 m)2 = 0,054 J 2 2 c. Energi potensial gravitasi pada posisi perpindahan maksimum m 𝑈𝑔 = −𝑚g𝐴 = −(1,2 kg) (10 2 ) (0,019 m) = −0,228 J s d. Energi total 𝑈𝑠 = 𝐸 + 𝑚g𝐴 = 0,054 J + 0,228 J = 0,282 J 4. Sebuah osilator harmonik sederhana terdiri dari sebuah balok yang ditempelkan pada sebuah pegas 𝑘 = 200 N/m. Balok meluncuri di atas sebuah permukaan licin, dengan titik kestimbangan 𝑥 = 0 dan amplitudo 0,20 m. Grafik kecepatan balok sebagai fungsi waktu diperlihaatkan oleh gambar di samping, di mana nilai 𝑡𝑠 = 0,20 s. Tentukan: (a) periode dari gerak harmonik, (b) massa balok, (c) perpindahan balok pada 𝑡 = 0 s, (d) percepatan balok pada 𝑡 = 0,10 s, dan (e) energi kinetik maksimum sistem.



SOLUSI a. Dari gambar, 𝑇 = 0,20 s 𝑚



𝑘𝑇 2



b. 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘 → 𝑚 = 4𝜋2 =



(200N/m)(0,20 s)2 4𝜋2



= 0,20 kg



c. Dari gambar, 𝑣 = 0 pada 𝑡 = 0, balok berada pada posisi 𝑥0 = ±𝑥𝑚 . Kemiringan dari kurva kecepatan adalah positif pada 𝑡 = 0 sehingga nilai dari 𝑥 adalah negatif sesuai dengan persamaan gaya 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥. Oleh karena itu diperoleh nilai 𝑥0 = −0,20 m. d. Sistem diam, 𝑣 = 0, pada 𝑡 = 0,10 s, sehingga 𝑎 = ±𝑎𝑚 = ±𝜔2 𝑥𝑚 . Dapat dilihat pada gambar, kemiringan kurva 𝑣 terhadap 𝑡 negatif pada 𝑡 = 0,10 s. Oleh karena itu dapat diperoleh, N 200 m 𝑘 2 ) 0,20 m = −2.0 × 102 m/s2 𝑎 = −𝜔 𝑥𝑚 = − ( ) 𝑥𝑚 = − ( 𝑚 0,20 kg 1



1



2 e. Dari grafik 𝑣𝑚 = 2𝜋 m/s, sehingga 𝐾𝑚 = 2 𝑚𝑣𝑚 = 2 (0,20 kg)(2𝜋 m/s)2 = 3,9 J



Soal: 6. Suatu benda titik melakukan gerak osilasi harmonik sederhana dengan amplitudo 10 m. Titik tersebut melakukan 100 getaran penuh dalam satu detiknya. Jika pada saat awal (t = 0) simpangan titik tersebut adalah 5 m. a. Tentukan frekuensi sudut ( ω )? b. Tentukan fasa awal ( o ) ? c. Tentukanlah persamaan gerak harmonik dari benda tersebut? Solusi: a. Diketahui (frekuensi osilasi) f = 100 Hz, maka frekuensi sudut osilasi benda tersebut adalah:



ω = 2πf = 2π (100) = 200π rad/s



b.



Diketahui (amplitudo) A = 10 m, maka bentuk persamaan gerak osilasi adalah:



x(t ) = A sin(t +  o )



x(t ) = 10 sin( 200πt +  o ) Diketahui simpangan titik tersebut adalah 5 m, maka besar fasa awal dapat ditentukan dengan menggunakan syarat awal yang diberikan, yaitu pada saat t = 0



x(0) = 5 = 10 sin( 200π (0) +  o ) sin ( o ) = 0,5   o = c.



π 6



Maka persamaan gerak titik tersebut adalah:



1 x(t ) = 10 sin( 200πt + π ) 6