5 0 138 KB
UNIVERSITAS PERTAMINA FISIKA DASAR I SOAL-SOLUSI LATIHAN OSILATOR HARMONIK Semester 1 2019/2020
1. Sebuah pegas yang panjang awalnya πΏ0 = 0,5 m dan konstanta pegasnya π = 100 N/m tergantung pada sebuah statif. Kemudian sebuah benda bermassa π = 1 ππ digantungkan pada ujung pegas tersebut. a. Pada kondisi setimbang, tentukan regangan pegasnya! Jika kemudian benda ditarik ke bawah sejauh 0,05 m dari posisi setimbangnya dan dilepaskan, maka benda akan berosilasi harmonik sederhana di sekitar titik setimbang. Tentukan: b. periode osilasi π, dan c. simpangan sebagai fungsi waktu π¦(π‘) dengan π‘ = 0 adalah saat sistem dilepas (ambil sumbu-y positif ke arah atas dan fungsi π¦(π‘) berupa fungsi cosinus)! SOLUSI a. Regangan pegas dalam kondisi setimbang. πg = πΞπΏ m πg (1 kg) (10 s2 ) ΞπΏ = = = 0,1 π N π (100 m) b. Periode osilasi jika pegas ditarik sejauh (simpangan maksimum) π΄ = 0,05 π dari titik setimbangnya, π π=β π 2π π =β π π π = 2πβ
π 1 kg = 2(3,14)β = 0.628 π π 100 N/m
c. Simpangan sebagai fungsi waktu dalam bentuk cosinus, dengan t = 0 ketika sistem dilepas (ambil sumbu-y positif ke arah atas), Misal, π¦(π‘) = π΄ cos(ππ‘ + π0 ).
π¦(0) = βπ΄ π΄ cos π0 = βπ΄ cos π0 = β1 π0 = π π
dengan π΄ = 0,05 π dan π = βπ = β
100 N/m 1 kg
= 10 rad/s, maka, persamaan
simpangan sebagai fungsi waktu dalam bentuk cosinus adalah π¦(π‘) = 0,05 cos(10π‘ + π) m. 2. Suatu benda bermassaπ = 0,5 kg yang diikatkan pada pegas berada di atas lantai licin seperti pada gambar. Pegas tersebut mempunyai konstanta pegas π. Jika benda ditekan sehingga berada pada posisi π₯ = β0,1 m dari posisi setimbangnya dan kemudian dilepas, benda akan mengalami gerak osilasi harmonik sederhana (OHS) di sekitar titik setimbangnya dengan frekuensi 2 Hz. a. Tentukan rumusan frekuensi sudutnya sebagai fungsi π dan π. b. Tentukan besarnya konstanta pegas π. c. Cari fungsi OHS-nya π₯(π‘) dalam bentuk πππ , jika π‘ = 0 pada saat benda dilepas. SOLUSI a. Pada saat π‘ = 0, benda disimpangkan sejauh 0,1 m ke arah sumbu-x negatif. Saat dilepas, benda mengalami Osilasi Harmonik Sederhana (OHS) dan selama geraknya, benda mengalami gaya pemulih yang berlawanan dengan arah geraknya. Besar frekuensi sudutnya, π π=β π b. Dari persamaan frekuensi sudut didapat : π = ππ2 = π(2ππ)2 = 4π 2 π 2 π = 4π 2 (2 Hz)2 (0,5 kg) = 78,92 π/π c. Persamaan gerak adalah : π₯(π‘) = π΄ cos(ππ‘) Lakukan diferensiasi dua kali untuk fungsi x(t) diatas terhadap waktu. π2π₯ = βπ΄π2 cos(ππ‘) 2 ππ‘ Substitusi dua persamaan di atas ke persamaan OHS didapat : π βπ΄π2 cos(ππ‘) + π΄ cos(ππ‘) = 0 π Diketahui kondisi awal sistem : π₯(π‘ = 0) = β0,1 π π₯(π‘ = 0) = π΄ cos 0 β π΄ = β0,1 π
Sehingga persamaan fungsi lengkapnya : π₯(π‘) = β0,1 cos(ππ‘) 3. Sebuah benda bermassa 1,2 kg tergantung pada sebuah pegas dengan konstanta gaya 300 N/m dan sistem berosilasi dengan laju maksimum 30 cm/s. (a) Tentukan perpindahan maksimum benda. Ketika benda berada pada posisi perpindahan maksimumnya, tentukan: (b) energi total sistem, (c) energi potensial gravitasi, dan (d) energi potensial di dalam pegas. SOLUSI Misalkan origin dari sumbu koordinat adalah π¦0 , di mana π¦0 adalah posisi kesetimbangan benda, dan misalkan energi potensial gravitasi sama dengan nol di posisi tersebut. Karena πΉπ‘ππ‘ππ = 0 di posisi setimbang, maka pertambahan panjang dari pegas adalah π¦0 = 1 ππ/π dan energi potensial yg tersimpan di dalam pegas adalah ππ = 2 π(π¦0 )2 . a. Pertambahan panjang lebih jauh dari pegas sejauh π¦ akan menambah ππ menjadi 1 1 1 1 1 1 π(π¦ + π¦0 )2 = ππ¦ 2 + ππ¦π¦0 + ππ¦02 = ππ¦ 2 + πgπ¦0 + ππ¦02 2 2 2 2 2 2 Bila dibuat asumsi ππ + ππ = 0, maka pertambahan panjang lebih jauh dari pegas 1
sejauh π¦ akan menambah ππ menjadi 2 ππ¦ 2 + πgπ¦ dan mengurangi ππ sebesar πππ¦. 1
Maka, jika π = 0 pada posisi setimbang, maka perubahan π diberikan oleh 2 π (π¦ β² )2 di mana π¦ β² = π¦ β π¦0 . Laju maksimum benda π£πππ₯ = ππ΄, sehingga amplitudo (perpindahan maksimum benda), π£πππ₯ π 1,2 kg π΄= = π£πππ₯ β = 30 cm/sβ = 1,9 cm N π π 300 m b. Energi benda pada posisi perpindahan maksimum 1 1 πΈ = ππ΄2 = (300 N/m)(0,019 m)2 = 0,054 J 2 2 c. Energi potensial gravitasi pada posisi perpindahan maksimum m ππ = βπgπ΄ = β(1,2 kg) (10 2 ) (0,019 m) = β0,228 J s d. Energi total ππ = πΈ + πgπ΄ = 0,054 J + 0,228 J = 0,282 J 4. Sebuah osilator harmonik sederhana terdiri dari sebuah balok yang ditempelkan pada sebuah pegas π = 200 N/m. Balok meluncuri di atas sebuah permukaan licin, dengan titik kestimbangan π₯ = 0 dan amplitudo 0,20 m. Grafik kecepatan balok sebagai fungsi waktu diperlihaatkan oleh gambar di samping, di mana nilai π‘π = 0,20 s. Tentukan: (a) periode dari gerak harmonik, (b) massa balok, (c) perpindahan balok pada π‘ = 0 s, (d) percepatan balok pada π‘ = 0,10 s, dan (e) energi kinetik maksimum sistem.
SOLUSI a. Dari gambar, π = 0,20 s π
ππ 2
b. π = 2πβ π β π = 4π2 =
(200N/m)(0,20 s)2 4π2
= 0,20 kg
c. Dari gambar, π£ = 0 pada π‘ = 0, balok berada pada posisi π₯0 = Β±π₯π . Kemiringan dari kurva kecepatan adalah positif pada π‘ = 0 sehingga nilai dari π₯ adalah negatif sesuai dengan persamaan gaya ππ = βππ₯. Oleh karena itu diperoleh nilai π₯0 = β0,20 m. d. Sistem diam, π£ = 0, pada π‘ = 0,10 s, sehingga π = Β±ππ = Β±π2 π₯π . Dapat dilihat pada gambar, kemiringan kurva π£ terhadap π‘ negatif pada π‘ = 0,10 s. Oleh karena itu dapat diperoleh, N 200 m π 2 ) 0,20 m = β2.0 Γ 102 m/s2 π = βπ π₯π = β ( ) π₯π = β ( π 0,20 kg 1
1
2 e. Dari grafik π£π = 2π m/s, sehingga πΎπ = 2 ππ£π = 2 (0,20 kg)(2π m/s)2 = 3,9 J
Soal: 6. Suatu benda titik melakukan gerak osilasi harmonik sederhana dengan amplitudo 10 m. Titik tersebut melakukan 100 getaran penuh dalam satu detiknya. Jika pada saat awal (t = 0) simpangan titik tersebut adalah 5 m. a. Tentukan frekuensi sudut ( Ο )? b. Tentukan fasa awal (οͺ o ) ? c. Tentukanlah persamaan gerak harmonik dari benda tersebut? Solusi: a. Diketahui (frekuensi osilasi) f = 100 Hz, maka frekuensi sudut osilasi benda tersebut adalah:
Ο = 2Οf = 2Ο (100) = 200Ο rad/s
b.
Diketahui (amplitudo) A = 10 m, maka bentuk persamaan gerak osilasi adalah:
x(t ) = A sin(ο·t + οͺ o )
x(t ) = 10 sin( 200Οt + οͺ o ) Diketahui simpangan titik tersebut adalah 5 m, maka besar fasa awal dapat ditentukan dengan menggunakan syarat awal yang diberikan, yaitu pada saat t = 0
x(0) = 5 = 10 sin( 200Ο (0) + οͺ o ) sin (οͺ o ) = 0,5 ο οͺ o = c.
Ο 6
Maka persamaan gerak titik tersebut adalah:
1 x(t ) = 10 sin( 200Οt + Ο ) 6