Osilator Harmonik [PDF]

Citation preview

1. Keadaan suatu osilator harmonic bisa dinyatakan oleh 𝜓(𝑥) = 𝑒 −𝑚𝜔𝑥



2 /ℏ



.



a. Tentukan nilai harap (expextation value) posisinya, 〈𝑥〉 dan nilai harap momentumnya, 〈𝑝〉! b. Tentukan nilai kuadrat posisinya, 〈𝑥 2 〉 dan nilai harap kuadrat momentum linearnya, 〈𝑝2 〉! c. Tentukan ketidakpastian posisi, Δ𝑥, dan ketidakpastian momentum linearnya, Δ𝑝! d. Tentukan perkalian ketidakpastian posisi dan momentum linearnya (Δ𝑝Δ𝑥) untuk 𝑚 = 1 satuan massa dan 𝜔 = 1 satuan frekuensi sudut! Solusi : Pertama, persamaan gelombang 𝜓(𝑥) = 𝑒 −𝑚𝜔𝑥



2 /ℏ



belum ternormalisir, maka kita normalisasi terlebih dahulu.



Untuk mempermudah, misalkan 𝑚𝜔/ℏ = 𝛾/2. Maka kita akan peroleh ∞ ∞ ∞ 1 𝜋 2 2 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 = ∫ |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 = 2 ( √ ) 2 𝛾 −∞ −∞ 0



𝜋 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 = √ 𝛾 a. Nilai harap (expectation value) posisinya, 〈𝑥〉, adalah 〈𝑥〉 =



∞ 1 ∫ 𝑥|𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 −∞



𝛾 ∞ 2 〈𝑥〉 = √ ∫ 𝑥𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝜋 −∞ 2



Fungsi 𝑥𝑒 −𝛾𝑥 adalah fungsi ganjil sehingga integralnya nol. Nilai harap momentum linearnya adalah 〈𝑝〉 =



∞ 1 𝜕 ∫ 𝜓(𝑥) (−𝑖ℏ ) 𝜓(𝑥)𝑑𝑥 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 −∞ 𝜕𝑥 ∞ 𝛾 2 〈𝑝〉 = √ (−𝑖ℏ)(−𝛾) ∫ 𝑥𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −∞



𝛾 〈𝑝〉 = √ (𝑖ℏ𝛾)〈𝑥〉 = 0 𝜋 b. Nilai harap kuadrat posisinya, 〈𝑥 2 〉, adalah 〈𝑥 2 〉 =



∞ 1 ∫ 𝑥 2 |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 −∞



𝛾 ∞ 2 〈𝑥〉 = √ ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 𝜋 −∞ 𝛾 1 𝜋 1 〈𝑥〉 = √ ( √ 3 ) = 𝜋 2 𝛾 2𝛾 Ingat Kembali bahwa 𝑚𝜔/ℏ = 𝛾/2, maka 1/2𝛾 = ℏ/ 4𝑚𝜔 Nilai harap kuadrat momentum linearnya, 〈𝑝2 〉, adalah 〈𝑝2 〉



∞ 1 𝜕 2 = ∫ 𝜓(𝑥) (−𝑖ℏ ) 𝜓(𝑥)𝑑𝑥 〈𝜓(𝑥)|𝜓(𝑥)〉 −∞ 𝜕𝑥



∞ 𝛾 𝜕 2 2 〈𝑝2 〉 = √ (−ℏ2 ) ∫ 𝜓(𝑥) ( ) 𝑒 −𝛾𝑥 𝑑𝑥 𝜋 𝜕𝑥 −∞ ∞ 𝛾 𝜕 2 〈𝑝2 〉 = √ (−ℏ2 ) ∫ 𝜓(𝑥) ( ) (−𝛾𝑥𝑒 −𝛾𝑥 )𝑑𝑥 𝜋 𝜕𝑥 −∞ ∞ 𝛾 2 2 〈𝑝2 〉 = √ (−ℏ2 ) ∫ 𝜓(𝑥)(−𝛾𝑒 −𝛾𝑥 + 𝛾 2 𝑥 2 𝑒 −𝛾𝑥 )𝑑𝑥 𝜋 −∞ ∞ 𝛾 〈𝑝2 〉 = √ (−ℏ2 ) ∫ 𝜓(𝑥)(−𝛾𝜓(𝑥) + 𝛾 2 𝑥 2 𝜓(𝑥))𝑑𝑥 𝜋 −∞



𝛾 ∞ 𝛾 ∞ 〈𝑝2 〉 = ℏ2 [𝛾√ ∫ |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 − 𝛾 2 √ ∫ 𝑥 2 |𝜓(𝑥)|2 𝑑𝑥 ] 𝜋 −∞ 𝜋 −∞ 〈𝑝2 〉 = ℏ2 [𝛾 − 𝛾 2 〈𝑥 2 〉] 〈𝑝2 〉 = ℏ2 [𝛾 −



𝛾2 ℏ2 𝛾 ]= = 𝑚𝜔ℏ 2𝛾 2



c. Nilai ketidakpastian posisi, Δ𝑥, adalah’ ℏ ℏ Δ𝑥 = √〈𝑥 2 〉 − 〈𝑥〉2 = √ −0=√ 4𝑚𝜔 4𝑚𝜔 Nilai ketidakpastian momentum linearnya, Δ𝑝, adalah Δ𝑝 = √〈𝑝2 〉 − 〈𝑝〉2 = √𝑚𝜔ℏ − 0 = √𝑚𝜔ℏ d. Nilai perkalian ketidakpastian posisi dan momentum linearnya (Δ𝑝Δ𝑥) untuk 𝑚 = 1 satuan massa dan 𝜔 = 1 satuan frekuensi adalah ℏ ℏ Δ𝑝Δ𝑥 = √𝑚𝜔ℏ√ = 4𝑚𝜔 2