PDGK4406 [PDF]

Citation preview

Hak Cipta  dan Hak Penerbitan dilindungi oleh Undang-undang ada pada



Universitas Terbuka - Kementerian Riset, Teknologi, dan Pendidikan Tinggi Jalan Cabe Raya, Pondok Cabe, Pamulang,Tangerang Selatan - 15418 Banten - Indonesia Telp.: (021) 7490941 (hunting); Fax.: (021) 7490147; Laman: www.ut.ac.id



Dilarang mengutip sebagian ataupun seluruh buku ini dalam bentuk apa pun tanpa izin dari penerbit Edisi Kesatu Cetakan pertama, April 2007 Cetakan kedua, April 2008 Cetakan keenam, November 2009 Cetakan kedelapan, Agustus 2010 Cetakan kesebelas, November 2011 Cetakan ketiga belas, Agustus 2012



Cetakan keempat belas, Januari 2013 Cetakan ketujuh belas, September 2014 Cetakan kedelapan belas, Juni 2015 Cetakan kesembilan belas, September 2015 Cetakan keduapuluh. Mei 2016



Penulis Penelaah Materi



: :



Pengembang Desain Instruksional



:



Desain Cover & Ilustrator Lay-outer Copy Editor



: : :



510 MAT



Gatot Muhsetyo, dkk 1. Djamus Widagdo, M.Ed. 2. Yumiati M.Si. 3. Haholongan Simanjuntak, M.Pd. 1. Mery Noviyanti, S.Si. 2. Dra. Puryati Sunarty Setya Hadi Sayogyo, Syamsir



MATERI pokok pembelajaran matematika SD; 1-9 / PDGK4406/ 3 sks/ Gatot Muhsetyo [et.al]. --Cet.20; Ed 1-Tangerang Selatan: Universitas Terbuka, 2016. 608 hal; ill; 21 cm ISBN: 979-011-154-1 1. I.



matematika Muhsetyo, Gatot [et.al]



iii



Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH ..…...………………………………….. Modul 1:



ix



PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERDASARKAN KBK ……………………………………………………..



1.1



Kegiatan Belajar 1: Landasan Pembelajaran Matematika Berdasarkan KBK ....................... Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1 …………………………………………………………



1.5 1.17 1.19 1.21



Kegiatan Belajar 2: Pelaksanaan Pembelajaran Matematika yang Konstruktivistik ............. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



1.24 1.38 1.41 1.42



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



1.45 1.47



Modul 2:



MEDIA DAN BAHAN MANIPULATIF DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD ………………



2.1



Kegiatan Belajar 1: Media dalam Pembelajaran Matematika SD ………………………….. 2.3 Latihan ………………………………………………………………... 2.15 Rangkuman …………………………………………………………… 2.16 Tes Formatif 1…………………………………………………………. 2.16 Kegiatan Belajar 2: Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD …………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



2.20 2.30 2.33 2.34



iv



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



2.38 2.39



BILANGAN BULAT …………………………………...



3.1



Modul 3:



Kegiatan Belajar 1: Pembelajaran Materi Bilangan Bulat di SD serta Ragam Permasalahannya ………………………………………….................... 3.4 Latihan ………………………………………………………………... 3.43 Rangkuman …………………………………………………………… 3.46 Tes Formatif 1…………………………………………………………. 3.47 Kegiatan Belajar 2: Perkalian dan Pembagian pada Bilangan Bulat serta Sistem Persamaan Linear …………………………………………………………………. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



3.51 3.78 3.80 3.82



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



3.85 3.87



BILANGAN RASIONAL DAN DESIMAL ……………



4.1



Kegiatan Belajar 1: Bilangan Rasional …………………………………………………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1………………………………………………………….



4.4 4.12 4.15 4.16



Kegiatan Belajar 2: Kesulitan Belajar dan Pembelajaran Bilangan Rasional ……………… Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



4.20 4.42 4.46 4.47



Modul 4:



v



Kegiatan Belajar 3: Perluasan Nilai Tempat Desimal ……………………………………… Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 3………………………………………………………….



4.51 4.79 4.84 4.86



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



4.92 4.94



BANGUN RUANG ……………………………………..



5.1



Kegiatan Belajar 1: Bidang Banyak dan Bangun Ruang …………………………………... Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1………………………………………………………….



5.4 5.29 5.31 5.34



Kegiatan Belajar 2: Jaring-jaring Bangun Ruang ………………………………………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



5.38 5.49 5.53 5.54



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. GLOSARIUM ………………………………………………………… DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



5.59 5.62 5.64



LUAS DAN VOLUME BANGUN RUANG …………...



6.1



Kegiatan Belajar 1: Luas dan Volume Kubus, Balok, Prisma, dan Tabung ……………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1………………………………………………………….



6.3 6.17 6.20 6.21



Kegiatan Belajar 2: Luas dan Volume Limas, Kerucut, dan Bola …………………………. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



6.25 6.41 6.44 6.45



Modul 5:



Modul 6:



vi



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. GLOSARIUM ………………………………………………………… DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



6.49 6.52 6.53



SISTEM KOORDINAT ………………………………...



7.1



Modul 7:



Kegiatan Belajar 1: Sistem Bilangan Real dan Koordinat ……………………………......... 7.3 Latihan ………………………………………………………………... 7.27 Rangkuman …………………………………………………………… 7.30 Tes Formatif 1…………………………………………………………. 7.32 Kegiatan Belajar 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ………………………………. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



7.36 7.62 7.65 7.67



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. GLOSARIUM ………………………………………………………… DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



7.70 7.76 7.77



TRIGONOMETRI ………………………………………



8.1



Kegiatan Belajar 1: Sudut dan Fungsi Trigonometri ………………………………………. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1………………………………………………………….



8.3 8.16 8.18 8.20



Kegiatan Belajar 2: Fungsi Trigonometri Segitiga dan Penerapannya …………………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2………………………………………………………….



8.23 8.37 8.43 8.45



Modul 8:



vii



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………… LAMPIRAN …………………………………………………………...



8.48 8.54 8.55



BILANGAN BERPANGKAT DAN LOGARITMA …..



9.1



Kegiatan Belajar 1: Bilangan Berpangkat ………………………………………………….. Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 1………………………………………………………….



9.3 9.18 9.19 9.20



Kegiatan Belajar 2: Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku (Scientific Notation) …… Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 2 …………………………………………………………



9.25 9.29 9.31 9.32



Kegiatan Belajar 3: Logaritma dan Terapannya …………………………………………… Latihan ………………………………………………………………... Rangkuman …………………………………………………………… Tes Formatif 3 …………………………………………………………



9.35 9.50 9.55 9.55



KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………. DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………



9.59 9.63



Modul 9:



ix



Tinjauan Mata Kuliah



M



ata Kuliah Pembelajaran Matematika SD (PDGK4406) dengan bobot 3 sks merupakan mata kuliah yang akan membekali Anda dengan pengetahuan dan keterampilan yang akan membantu Anda dalam melaksanakan proses pembelajaran khususnya mata pelajaran matematika di SD Setelah mempelajari mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat mengenal dan mengetahui kecenderungan dan ragam model pembelajaran matematika masa kini, mampu menggunakan dalam pembelajaran matematika di Sekolah Dasar yang sesuai dengan materi kurikulum yang berlaku, serta mampu mengembangkan diri sebagai guru matematika yang profesional di Sekolah Dasar Untuk mempermudah cara belajar memahami mata kuliah ini, Anda dapat mempelajari Buku Materi Pokok (BMP) Pembelajaran Matematika SD (PDGK4406) yang dikemas dalam 9 modul dengan susunan sebagai berikut. Modul 1 : Pembelajaran Matematika Berdasarkan KBK. Modul 2 : Media dan Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD. Modul 3 : Bilangan Bulat. Modul 4 : Bilangan Rasional dan Desimal. Modul 5 : Bangun Ruang. Modul 6 : Luas dan Volume Bangun Ruang. Modul 7 : Sistem Koordinat. Modul 8 : Trigonometri. Modul 9 : Bilangan Berpangkat dan Logaritma. Agar tugas pembelajaran tercapai, pelajari BMP ini sebaik-baiknya dengan membaca dan mendiskusikannya dengan teman-teman Anda; Kerjakan soal-soal pada latihan Tes Formatif, bila telah selesai mengerjakan, bandingkanlah jawaban yang ada pada bagian akhir setiap modul; Bila ada kesulitan, diskusikan dengan teman-teman Anda atau tanyakanlah pada tutor; Untuk menambah wawasan Anda sebaiknya Anda juga mempelajari referensi yang direkomendasi dalam daftar pustaka. Akhirnya dengan membiasakan mempelajari setiap modul secara sistematik diharapkan Anda tidak mengalami kesulitan yang berarti dalam



x



mempelajari materi kuliah ini. Jika Anda mengalami kesulitan dalam belajar atau memahami materi modul-modul ini, cobalah untuk berdiskusi dengan teman Anda atau bertanyalah kepada tutor Anda. Selamat Belajar dan Bekerja!



xi



Peta Kompetensi Pembelajaran Matematika SD (PDGK4406)



xii



Keterangan Setelah mempelajari mata kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menjelaskan teori Konstruktivistik dalam pembelajaran matematika; 2. menjelaskan penerapan teori-teori belajar dalam pembelajaran matematika di SD; 3. menjelaskan keterkaitan dan kesulitan dalam melaksanakan pembelajaran konstruktivistik; 4. menjelaskan media yang sesuai dalam pembelajaran matematika SD; 5. menjelaskan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD; 6. menjelaskan penggunaan media dan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD; 7. menggunakan alat peraga balok garis bilangan, manik-manik, dan garis bilangan untuk menjelaskan konsep penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan bulat; 8. menjelaskan miskonsepsi yang terjadi pada proses pengoperasian bilangan; 9. mengaplikasikan penggunaan konsep bilangan bulat dan atau sistem persamaan/pertidaksamaan linier untuk menyelesaikan soal-soal yang terkait dalam masalah sehari-hari; 10. memilih pecahan sederhana dari beberapa pecahan yang diberikan; 11. menjelaskan konsep perkalian dan pembagian pada bilangan rasional dengan menggunakan alat peraga potongan karton; 12. menggunakan konsep pecahan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah sehari-hari; 13. menentukan bentuk rasional dari pecahan desimal berulang atau berakhir; 14. melakukan pembulatan terhadap suatu bilangan desimal menurut tempat desimal tertentu; 15. menyatakan notasi ilmiah baku dari suatu bilangan; 16. menyatakan suatu bilangan rasional yang berbentuk pecahan ke dalam bentuk persen, desimal, atau kebalikannya; 17. menggunakan makna rasio sebagai perbandingan antara bagian dengan keseluruhan, atau antara bagian dengan bagian; 18. menggunakan makna proporsi dalam nilai satuan, faktor pengali, dalam rasio, atau antar rasio; 19. menjelaskan bidang banyak dan bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai;



xiii



20. menjelaskan miskonsepsi yang terjadi pada unsur-unsur ruang; 21. menjelaskan jaring-jaring bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai; 22. menggunakan konsep jaring-jaring bangun ruang untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah sehari-hari; 23. menjelaskan konsep luas bangun ruang dengan menggunakan media yang sesuai; 24. menjelaskan konsep volume bangun ruang dengan menggunakan media yang sesuai; 25. menggunakan konsep luas atau volume bangun ruang untuk menyelesaikan masalah matematika atau masalah kehidupan sehari-hari; 26. menentukan jarak antara dua titik tertentu dalam sistem koordinat kartesius atau koordinat kutub; 27. menentukan koordinat kartesius dari suatu titik jika diketahui koordinat kutubnya atau sebaliknya; 28. menentukan persamaan garis; 29. menentukan kemiringan suatu garis yang diketahui persamaannya; 30. menggambarkan daerah selesaian dari suatu pertaksamaan; 31. menjelaskan konsep fungsi trigonometri dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari; 32. menyelesaikan soal-soal yang terkait dengan bilangan berpangkat; 33. menyederhanakan bentuk-bentuk logaritma dengan menggunakan sifatsifat logaritma; 34. menyelesaikan persamaan logaritma



Modul 1



Pembelajaran Matematika Berdasarkan KBK Prof. Drs. Gatot Muhsetyo, M. Sc.



S



ekarang dan mendatang penuh perkembangan dan perubahan yang cepat dan mendasar dalam berbagai aspek kehidupan. Perkembangan sains dan teknologi, perubahan sikap dan perilaku sosial/budaya, perubahan pengelolaan pemerintah/perdagangan, serta persaingan terjadi di mana-mana. Perhatikan perkembangan Hand Phone (HP) yang dapat menjangkau setiap orang di mana pun tempatnya, peningkatan jumlah TV dengan berbagai tayangan dan berlangsung 24 jam, perkembangan komputer yang menjangkau berbagai bidang pekerjaan, situasi orang bepergian di bandara yang menyerupai terminal bus, berbagai jenis apel (China, Jepang, Washington, dan Australia) yang dapat dijumpai di berbagai pelosok pedesaan, perkembangan otonomi daerah dan Pilkada, serta peningkatan berbagai jenis produk asing yang dapat dengan mudah dijumpai di pertokoan, harus mampu menyadarkan kita bahwa globalisasi telah hadir ditengahtengah kita. Kita tidak mungkin membendungnya karena sudah menjadi "kesepakatan" masyarakat dunia. Kita perlu menyadari juga bahwa pasar bebas Asia Pasifik dimulai tahun 2010 (yang sudah begitu dekat), dan pasar bebas dunia dimulai tahun 2020. Dunia pendidikan juga terus-menerus mengglobal. Kita tidak bisa mengabaikan organisasi pendidikan di dunia (Unesco, Seamolec, Seameo, Biotrop) karena kita negara anggota dari pergaulan masyarakat pendidikan dunia. Kita tidak bisa berbuat banyak jika mereka membuat peringkat kemajuan pendidikan yang menghasilkan posisi yang tidak seperti kita harapkan. Pendidikan matematika di berbagai negara, terutama negara-negara maju, telah berkembang dengan cepat, disesuaikan dengan kebutuhan dan tantangan yang bernuansa kemajuan sains dan teknologi. Amerika Serikat



1.2



Pembelajaran Matematika SD 



telah memulai pembaruan matematika sejak tahun 1980 (NCTM, 1985), melalui suatu gerakan yang disebut "An Agenda for Action". Agenda ini memuat banyak rekomendasi yang terkait langsung dengan pembelajaran dan isi kurikulum, tiga di antaranya adalah (1) Problem solving be the focus of school mathematics in the 1980's, (2) Basic skills in mathematics be defined to encompass more then computational facility, dan (3) Mathematics program take full advantage of the power of calculators and computers at all grade levels. Agenda ini kemudian dilanjutkan dengan pembakuan kerangka reformasi matematika sekolah untuk sepuluh tahunan, dimulai tahun 19891990. Bentuk nyata dari pembakuan itu adalah panduan baku (1) The Professional Standards for Teaching Mathematics, dan (2) Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Terkait dengan pembelajaran matematika, banyak kecenderungan baru yang tumbuh dan berkembang di banyak negara, sebagai inovasi dan reformasi model pembelajaran yang diharapkan sesuai dengan tantangan sekarang dan mendatang. Beberapa di antaranya adalah model-model (1) contextual learning, (2) cooperative learning, (3) Realistic Mathematics Education (RME), (4) problem solving, (5) mathematical investigation, (6) guided discovery, (7) open-ended (multiple solutions, multiple method of solution), (8) manipulative material, (9) concept map, (10) quantum teaching/learning, dan (11) writing in mathematics. Sebagai pengetahuan, matematika mempunyai ciri-ciri khusus antara lain abstrak, deduktif, konsisten, hierarkis, dan logis. Soedjadi (1999) menyatakan bahwa keabstrakan matematika karena objek dasarnya abstrak, yaitu fakta, konsep, operasi dan prinsip. Ciri keabstrakan matematika beserta ciri lainnya yang tidak sederhana, menyebabkan matematika tidak mudah untuk dipelajari, dan pada akhirnya banyak siswa yang kurang tertarik terhadap matematika (masih lebih untuk daripada membenci atau "alergi" terhadap matematika). Ini berarti perlu ada "jembatan" yang dapat menghubungkan keilmuan matematika tetap terjaga dan matematika dapat lebih mudah dipahami. Persoalan mencari jembatan merupakan tantangan, yaitu tantangan pendidikan matematika untuk mencari dan memilih model matematika yang menarik, mudah dipahami siswa, menggugah semangat, menantang terlibat, dan pada akhirnya menjadikan siswa cerdas matematika. Pencarian dan pemilihan model pembelajaran matematika perlu berorientasi pada perkembangan mutakhir di dunia, dengan terus berusaha memperpendek



 PDGK4406/MODUL 1



1.3



kesenjangan antara kemajuan di dunia dan keadaan nyata di Indonesia. Perkembangan dan kemajuan pembelajaran matematika di dunia tidak bisa diabaikan karena dapat menyebabkan kita semakin sulit mengejar kemajuan negara lain. Model pembelajaran matematika yang berkembang didasarkan pada teori-teori belajar. Hakikat dari teori-teori belajar yang sesuai dengan pembelajaran matematika perlu dipahami sungguh-sungguh sehingga tidak keliru dalam menerapkannya. Teori-teori belajar itu menjadi tidak berguna jika makna dari konsep-konsep yang dikembangkan tidak dipahami dengan baik. Jika suatu teori belajar ternyata efektif untuk membantu menolong guru menjadi lebih profesional, yaitu meningkatkan kesadaran guru bahwa mereka wajib menolong siswa mengintegrasikan konsep baru dengan konsep yang sudah ada maka teori itu berharga dan patut dipertimbangkan. Kompetensi umum dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu mengenal dan memahami kecenderungan dan ragam model pembelajaran masa kini, serta mampu menerapkannya dalam pembelajaran matematika di Sekolah Dasar. Kompetensi khusus dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu menjelaskan teori-teori belajar yang mendasari pembelajaran matematika di Sekolah Dasar, dan penerapannya dalam mengembangkan kreativitas siswa Sekolah Dasar untuk mampu membangun sendiri pengetahuan mereka. Modul ini terdiri dari dua Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar pertama adalah Landasan Pembelajaran Matematika Berdasarkan KBK, dan Kegiatan Belajar kedua adalah Pelaksanaan Pembelajaran Matematika yang Konstruktivistik. Petunjuk Belajar 1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat berulang-ulang sehingga Anda benar-benar memahami dan menguasai materi paparan. 2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam kasus tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab maka lihatlah rambu-rambu jawaban latihan. Jika langkah tersebut belum berhasil menjawab atau memahami soal latihan beserta rambu-rambu jawaban latihan maka mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih tahu.



1.4



3.



Pembelajaran Matematika SD 



Kerjakan tes formatif secara mandiri, dan periksalah tingkat kemampuan Anda dengan jalan mencocokkan jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif. Ulangilah pengerjaan tes formatif ini sampai Anda benarbenar merasa mampu mengerjakan semua soal dengan benar. Selamat belajar!



 PDGK4406/MODUL 1



1.5



Kegiatan Belajar 1



Landasan Pembelajaran Matematika Berdasarkan KBK



G



erakan atau reformasi untuk memperbaiki matematika di sekolah selalu terjadi dan mengalir dari waktu ke waktu. Isi, metode pembelajaran, urutan pembelajaran, dan cara evaluasi pembelajaran dimodifikasi, direformasi, dan direstrukturisasi. Tiga faktor utama yang melandasi gerakan perubahan adalah keberadaan dan perkembangan teori-teori belajar, psikologi belajar, dan filsafat pendidikan. Ketiganya memberi warna dan arah perubahan terutama dalam memandang dan melaksanakan pembelajaran, dan memposisikan guru dan peserta didik. Teori Thorndike yang bersifat behavioristik (mekanistik) memberi warna yang kuat perlunya latihan dan mengerjakan soal-soal matematika, sehingga peserta didik diharapkan terampil dan cekatan dalam mengerjakan soal-soal matematika yang beragam. Penerapan teori Thorndike ini ditengarai banyak penyimpangan karena pada akhirnya target pencapaian materi pelajaran menjadi sasaran utama, peserta didik menjadi terpaku pada keterampilan dan kurang dalam kemampuan menjelaskan alasan atau kurang menguasai konsep. Peserta didik mengalami kesulitan mengerjakan suatu soal yang fakta-faktanya diubah, dikurangi atau ditambah. Akibat lain dari penerapan teori Thorndike adalah para guru lebih berorientasi pada hasil (target), dan kurang memperhatikan pada proses. Materi-materi dan keterampilan-keterampilan baru terus-menerus ditambahkan, tetapi konsepkonsep matematika kurang dikaitkan dan kurang diintegrasikan. Teori holistik yang merupakan teori kognitif belajar dan dikembangkan berdasarkan teori pembelajaran bermakna (meaningful instruction) dari Aussbel, memberi warna perlunya atau pentingnya materi pelajaran yang bermakna dalam proses belajar karena kebermaknaan akan menyebabkan peserta didik menjadi terkesan, sehingga pelajaran tersebut akan mempunyai masa ingatan (retention spam) yang lebih lama dibandingkan dengan pembelajaran yang bersifat hafalan. Para pelaku pendidikan perlu menyadari bahwa pembelajaran dengan latihan dan pengerjaan (drill and practice instruction) dan pembelajaran bermakna (meaningful instruction) tidak bertentangan tetapi saling



1.6



Pembelajaran Matematika SD 



melengkapi (complementary). Pembelajaran bermakna diberikan untuk mengawali kegiatan belajar, dan pembelajaran drill & practice diberikan kemudian. Pembelajaran bermakna akan membuat materi pelajaran menjadi menarik, bermanfaat dan menantang, serta pembelajaran drill & practice akan membuat peserta didik terbiasa (familiar) terhadap penerapan konsep sehingga konsep-konsep itu akan dipahami dan tertanam dengan baik dalam pikiran peserta didik. Dalam proses belajar matematika, Bruner (1982) menyatakan pentingnya tekanan pada kemampuan peserta didik dalam berpikir intuitif dan analitik akan mencerdaskan peserta didik membuat prediksi dan terampil dalam menemukan pola (pattern) dan hubungan/keterkaitan (relations). Pembaruan dalam proses belajar ini, dari proses drill & practice ke proses bermakna, dan dilanjutkan proses berpikir intuitif dan analitik, merupakan usaha luar biasa untuk selalu meningkatkan mutu pembelajaran matematika. Reaksi-reaksi positif untuk perubahan mempunyai dampak perkembangan kurikulum matematika sekolah yang dinamis. Gerakan matematika modern pada tahun 1950-1960 menekankan perlunya "makna (meaning)", terutama dari sudut pandang materi (subject masser), yaitu pemusatan perhatian pada pemahaman (understanding). Struktur atau sistem formal matematika lebih diutamakan untuk dipahami dari pola latihan, pengerjaan, dan keterampilan komputasional, dengan harapan peserta didik lebih mudah dan lebih mampu menggunakan matematika pada situasi yang beragam. Pesona atau daya pikat matematika modern mulai menyusul ketika para matematisi dan pendidik mengkritik formalisme matematika sebagai sesuatu yang terlalu berlebihan dan tidak konsisten dengan keperluan kehidupan. Penurunan keterampilan peserta didik dalam komputasi dituduhkan akibat kurikulum matematika modern. Pada tahun tujuh-puluhan, gerakan keterampilan dasar (basic skills movement) berusaha mengembalikan keterampilan berhitung peserta didik tanpa harus membuang kegiatan pembelajaran yang bermakna. Selalu melalui tahapan yang cukup waktu, sekitar 10 tahun, ternyata diketahui bahwa gerakan "basic skills" mempunyai dampak peserta didik lebih pandai berhitung daripada peserta didik pada tahun-tahun sebelumnya, tetapi mereka kurang pandai menggunakan keterampilan dalam menyelesaikan masalah beragam. Reaksi tentang dampak positif ini ditandai dengan munculnya gerakan pemecahan masalah (problem solving) pada



 PDGK4406/MODUL 1



1.7



tahun delapan-puluhan. Gerakan ini merekomendasikan bahwa pemecahan masalah menjadi fokus dari kurikulum sekolah dan keterampilan dasar berhitung perlu diperluas untuk memberi arah lebih, tidak sekadar kemampuan komputasional. Banyak ragam kegiatan dan pendapat tentang penjabaran makna pemecahan masalah, antara lain soal tidak rutin (non-routine problems), soal cerita (word problems), soal penerapan (application problems), soal dengan banyak selesaian (multiple solutions problems), soal dengan banyak cara menyelesaikan (multiple methods odd solution of problems), dan soal yang memerlukan pemikiran tingkat tinggi. Ada juga pendapat yang mengaitkan sebagai strategi atau serangkaian langkah terencana dalam menjawab soal, dan penyelesaian soal yang mengaitkan bantuan kalkulator, grafik atau diagram. Seiring dengan perkembangannya strategi pembelajaran dari berpusat pada guru (teacher centered) menjadi berpusat pada peserta didik (student centered) maka berkembang pula cara pandang terhadap bagaimana peserta didik belajar dan memperoleh pengetahuan. Kenyataan bahwa peserta didik adalah makhluk hidup yang mempunyai kemampuan berpikir maka tentu mereka mempunyai kemampuan untuk menyesuaikan diri dengan lingkungan belajar dan lingkungan hidup. Mereka, secara individual atau berkelompok, dapat membangun sendiri pengetahuan mereka dari berbagai sumber belajar di sekitar mereka, tidak hanya yang berasal dari guru. Aliran ini disebut aliran konstruktivisme. Dampak dari berkembangnya aliran yang konstruktivistik adalah munculnya kesadaran tentang pentingnya kekuatan atau tenaga matematikal (mathematical power) pada tahun menjelang tahun sembilan-puluhan. Kekuatan matematikal antara lain terdiri dari kemampuan untuk (1) mengkaji, menduga, dan memberi alasan secara logis, (2) menyelesaikan soal-soal yang tidak rutin, (3) mengkomunikasikan tentang dan melalui matematika, (4) mengaitkan ide-ide di dalam matematika dan ide-ide antara matematika dan kegiatan intelektual yang lain, dan (5) mengembangkan percaya diri, watak atau karakter untuk mencari, mengevaluasi, dan menggunakan informasi kuantitatif dan spesial dalam menyelesaikan masalah dan membuat keputusan. Hal-hal yang dapat menumbuhkan kesadaran tentang kekuatan matematikal adalah ketekunan/keuletan/kekerasan hati, minat (interest), keingintahuan (curiosity), dan daya temu atau daya cipta (inventiness).



1.8



Pembelajaran Matematika SD 



Untuk mendukung usaha pembelajaran yang mampu menumbuhkan kekuatan matematikal, diperlukan guru yang profesional dan kompeten. Guru yang profesional dan kompeten adalah guru yang menguasai materi pembelajaran matematika, memahami bagaimana anak-anak belajar, menguasai pembelajaran yang mampu mencerdaskan peserta didik, dan mempunyai kepribadian yang dinamis dalam membuat keputusan perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran. Dukungan dan bimbingan untuk pengembangan profesionalisme dalam mengajar matematika dapat berupa pengembangan dan penetapan ukuranukuran baku (standar) minimal yang perlu dikuasai setiap guru matematika yang profesional. Beberapa komponen dalam standar guru matematika yang profesional adalah (1) penguasaan dalam pembelajaran matematika, (2) penguasaan dalam pelaksanaan evaluasi pembelajaran matematika, (3) penguasaan dalam pengembangan profesional guru matematika, dan (4) penguasaan tentang posisi penopang dan pengembang guru matematika dan pembelajaran matematika. Guru matematika yang profesional dan kompeten mempunyai wawasan landasan yang dapat dipakai dalam perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran matematika. Wawasan itu berupa dasar-dasar teori belajar yang dapat diterapkan untuk pengembangan dan/atau perbaikan pembelajaran matematika. 1.



Teori Thorndike Sebelum tahun lima-puluhan, kurikulum matematika sekolah dasar dipengaruhi oleh teori Thorndike, ditandai terutama dengan pengembangan keterampilan komputasional bilangan cacah, pecahan, dan desimal. Teori Thorndike disebut teori penyerapan, yaitu teori yang memandang peserta didik sebagai selembar kertas putih, penerima pengetahuan yang siap menerima pengetahuan secara pasif. Menurut Thorndike (1924), belajar dikatakan sebagai berikut: "learning in essentially the formation of connections or bonds between situations and responses ... and that habit rules in the realm of thought as truly and as fully in the realm of action". Pandangan belajar seperti ini mempunyai dampak terhadap pandangan mengajar. Mengajar dipandang sebagai perencanaan dari urutan bahan pelajaran yang disusun dengan cermat, mengkomunikasikan bahan kepada peserta didik, dan membawa mereka untuk praktik menggunakan konsep atau prosedur baru. Konsep dan prosedur baru itu akan semakin mantap jika



 PDGK4406/MODUL 1



1.9



makin banyak praktik (latihan) dilakukan. Keterampilan dan konsep baru sekadar ditambahkan terus-menerus, tidak dikait-kaitkan atau diintegrasikan satu sama lain. Kekuatan hubungan stimulus dan respons mewarnai matematika di sekolah dasar, misalnya stimulus 7 + 8 = yang mempunyai respons 15, yang banyak digunakan untuk membawa peserta didik terampil komputasi. Pada prinsipnya teori Thorndike menekankan banyak memberi praktik dan latihan (drill & practice) kepada peserta didik agar konsep dan prosedur dapat mereka kuasai dengan baik. 2.



Teori Ausubel Teori makna (meaning theory) dari Ausubel (Brownell dan Chazal) mengemukakan pentingnya pembelajaran bermakna dalam mengajar matematika. Kebermaknaan pembelajaran akan membuat kegiatan belajar lebih menarik, lebih bermanfaat, dan lebih menantang, sehingga konsep dan prosedur matematika akan lebih mudah dipahami dan lebih tahan lama diingat oleh peserta didik. Kebermaknaan yang dimaksud dapat berupa struktur matematika yang lebih ditonjolkan untuk memudahkan pemahaman (understanding). Wujud lain kebermaknaan adalah pernyataan konsepkonsep dalam bentuk bagan, diagram atau peta, yang mana tampak keterkaitan di antara konsep-konsep yang diberikan. Teori ini juga disebut teori holistik karena mempunyai pandangan pentingnya keseluruhan dalam mempelajari bagian-bagian. Bagan atau peta keterkaitan dapat bersifat hierarkis atau bersifat menyebar (distributif), sebagai bentuk lain dari rangkuman, ringkasan atau ikhtisar. 3.



Teori Jean Piaget Teori perkembangan intelektual dari Jean Piaget menyatakan bahwa kemampuan intelektual anak berkembang secara bertingkat atau bertahap, yaitu (a) sensori motor (0-2 tahun), pra-operasional (2-7 tahun), (c) operasional konkret (7-11 tahun), dan (d) operasional > 11 tahun). Teori ini merekomendasikan perlunya mengamati tingkatan perkembangan intelektual anak sebelum suatu bahan pelajaran matematika diberikan, terutama untuk menyesuaikan "keabstrakan" bahan matematika dengan kemampuan berpikir abstrak anak pada saat itu. Teori Piaget juga menyatakan bahwa setiap makhluk hidup mempunyai kemampuan untuk menyesuaikan diri dengan situasi sekitar atau lingkungan. Keadaan ini memberi petunjuk bahwa orang selalu belajar untuk mencari tahu dan



1.10



Pembelajaran Matematika SD 



memperoleh pengetahuan, dan setiap orang berusaha untuk membangun sendiri pengetahuan yang diperolehnya. Pendapat Piaget ini melandasi penerapan aliran konstruktivisme dalam pelaksanaan pembelajaran matematika, dan memposisikan peran guru sebagai fasilitator dan motivator agar peserta didik mempunyai kesempatan untuk membangun sendiri pengetahuan mereka. Dalam kaitannya dengan konsep, Piaget mengasumsikan adanya jaringan (abstrak) dalam pikiran, yang mana konsep-konsep seperti noktah, dan konsep yang terkait atau mempunyai bagian kesamaan dihubungkan dengan garis. Jaringan konsep ini disebut skemata. Setiap rangsangan (pengetahuan baru) akan ditangkap dan dicocokkan dengan konsep-konsep dalam skemata, untuk mencari kesamaan-kesamaan, dan proses ini disebut asimilasi. Jika ternyata rangsangan itu tidak terkait dengan konsep yang sudah ada maka konsep baru ditambahkan pada skemata, dan proses ini disebut dengan akomodasi. Penerapan dari teori Piaget dalam pembelajaran matematika adalah perlunya keterkaitan materi baru pelajaran matematika dengan bahan pelajaran matematika yang telah diberikan, sehingga lebih memudahkan peserta didik dalam memahami materi baru. Ini berarti bahwa pengetahuan prasyarat dan pengetahuan baru perlu dirancang berurutan sebelum pembelajaran matematika dilaksanakan. Lebih dari itu, agar konsep yang diberikan dapat lebih dipahami, representasi dari asimilasi perlu diwujudkan dalam contoh, dan representasi dari akomodasi perlu diwujudkan dalam bukan contoh. Jika seorang peserta didik sudah mampu menceritakan persamaan (asimilasi) dan perbedaan (akomodasi) tentang dua konsep atau lebih maka ia disebut berada dalam tahap ekuilibrasi. Hal lain yang dikembangkan oleh Piaget adalah pengertian konservasi (kelestarian, kelanggengan). Seorang anak yang teridentifikasi sudah dalam keadaan konservasi tertentu, ia dalam keadaan siap untuk menerima materi pelajaran matematika yang terkait. Beberapa konservasi disebut (a) konservasi bilangan, (b) konservasi panjang, (c) konservasi isi. Sebagai contoh, jika seorang anak yang mampu menyatakan bahwa banyaknya kelereng dari dua keadaan yang ditata berbeda (1) dan (2): (1) (2)



•



•



• ••••••



•



•



•



1.11



 PDGK4406/MODUL 1



adalah sama maka ia sudah dalam keadaan konservasi bilangan, dan siap diajar tentang bilangan cacah. Konservasi luas dapat ditandai antara lain dengan kemampuan menyatakan luas yang sama dari dua luasan yang terpisah dan yang menyatu (menggabung) Seperti Gambar 1.1. berikut.



Gambar 1.1.



Penerapan dari konservasi luas ini antara lain tangram (tangram 3, 5, 7: membentuk bangun-bangun berbeda-beda yang menarik tetapi luasnya sama), mencari rumus luas segi empat khusus (persegi, persegipanjang, jajaran genjang, belah ketupat, trapesium), menunjukkan kebenaran teorema Phytagoras, dan menjelaskan pecahan beserta operasi-operasinya. 4.



Teori Vygotsky Teori Vigotsky berusaha mengembangkan model konstruktivistik belajar mandiri dari Piaget menjadi belajar kelompok. Dalam membangun sendiri pengetahuannya, peserta didik dapat memperoleh pengetahuan melalui kegiatan yang beranekaragam dengan guru sebagai fasilitator. Kegiatan itu dapat berupa diskusi kelompok kecil, diskusi kelas, mengerjakan tugas kelompok, tugas mengerjakan ke depan kelas 2-3 orang dalam waktu yang sama dan untuk soal yang sama (sebagai bahan pembicaraan/diskusi kelas), tugas menulis (karya tulis, karangan), tugas bersama membuat laporan kegiatan pengamatan atau kajian matematika, dan tugas menyampaikan penjelasan atau mengkomunikasikan pendapat atau presentasi tentang sesuatu yang terkait dengan matematika. Dengan kegiatan yang beragam, peserta didik akan membangun pengetahuannya sendiri melalui membaca, diskusi, tanya jawab, kerja kelompok, pengamatan, pencatatan, pengerjaan dan presentasi.



1.12



Pembelajaran Matematika SD 



5.



Teori Jerome Bruner Teori Bruner berkaitan dengan perkembangan mental, yaitu kemampuan mental anak berkembang secara bertahap mulai dari sederhana ke yang rumit, mulai dari yang mudah ke yang sulit, dan mulai dari yang nyata atau konkret ke yang abstrak. Urutan tersebut dapat membantu peserta didik untuk mengikuti pelajaran dengan lebih mudah. Urutan bahan yang dirancang biasanya juga terkait usia atau umur anak. Secara lebih jelas Bruner menyebut tiga tingkatan yang perlu diperhatikan dalam mengakomodasikan keadaan peserta didik, yaitu (a) enactive (manipulasi objek langsung), (b) iconic (manipulasi objek tidak langsung), dan (c) symbolic (manipulasi simbol). Penggunaan berbagai objek, dalam berbagai bentuk dilakukan setelah melalui pengamatan yang teliti bahwa memang benar objek itu yang diperlukan. Sebagai contoh bagi anak SD kelas 1, tentu mereka dalam situasi enactive, artinya matematika lebih banyak diajarkan dengan manipulasi objek langsung dengan memanfaatkan kerikil, kelereng, manik-manik, potongan kertas, bola, kotak, karet, dan sebagainya, dan dihindari penggunaan langsung simbol-simbol huruf dan lambang-lambang operasi yang berlebihan. 6.



Pemecahan Masalah (George Polya) George Polya (dalam Posamentier) menyebutkan teknik heuristic (bantuan untuk menemukan), meliputi (a) understand the problem, (b) devise a plan, (c) carry out the plan, dan (d) look back. Pada tahun delapan puluhan, pemecahan masalah merupakan fokus matematika sekolah di Amerika Serikat. Usaha ini merupakan realisasi dari keinginan meningkatkan pembelajaran matematika sehingga peserta didik mempunyai pandangan atau wawasan yang luas dan mendalam ketika mereka menghadapi suatu masalah. Ada beberapa definisi tentang apa itu suatu masalah. Walaupun Oxford English Dictionary, dijelaskan bahwa "A problem is a doubtful or difficult question: a matter of inquiry, discussion, or thought; a question that exercises the mind". Dari definisi ini dapat diketahui bahwa suatu masalah merupakan pertanyaan untuk melatih pikiran melalui kegiatan inkuiri, diskusi, dan penalaran.



 PDGK4406/MODUL 1



1.13



Charles dan Laster (Walk, 1990) mendefinisikan: Suatu masalah adalah suatu tugas yang mana: 1. seseorang tertantang untuk menyelesaikan, 2. seseorang tidak mempunyai prosedur yang siap pakai untuk memperoleh selesaian, 3. seseorang harus melakukan suatu usaha untuk memperoleh selesaian. Definisi kedua ini lebih jelas karena menunjuk langsung tiga ciri atau sifat mendasar dari suatu masalah: keinginan tanpa petunjuk (yang jelas), dan usaha. Bentuk pertanyaan yang memerlukan pemecahan masalah antara lain (a) soal cerita (verbal/word problems), (b) soal tidak rutin (non-routine mathematics problems), dan (c) soal nyata (real/application problems). Seseorang mampu menyelesaikan soal cerita jika memahami susunan dan makna kalimat yang digunakan, memilih algoritma atau prosedur yang sesuai, dan menggunakan algoritma atau prosedur yang benar. Kendala utama peserta didik dalam menyelesaikan soal cerita adalah mereka mengalami kesulitan memahami makna bahasa dari kalimat yang digunakan karena adanya istilah matematika yang perlu diganti dalam bentuk lambang, misalnya jumlah, hasil kali, selisih, perbandingan, hasil bagi, dan kaitannya dengan pengertian bahasa: 1. kembalian (dalam pembelian) terkait pengurangan; 2. pajak (dalam pembelian) terkait penjumlahan; 3. kehilangan terkait pengurangan; 4. dan terkait penjumlahan; 5. setiap (harga barang) terkait perkalian. Masalah tidak rutin mengajak seseorang untuk berpikir tingkat tinggi karena tidak ada cara, jalan, prosedur atau algoritma yang jelas yang langsung dapat digunakan dan menjamin diperolehnya suatu selesaian. Bisa jadi dalam proses penyelesaian peserta didik melakukan coba-coba (trial & error), merancang tabel, membuat daftar atau membuat grafik. Soal nyata membuat situasi kehidupan yang sulit yang harus diselesaikan, dan tidak jarang memuat selesaian yang tidak eksak dan beragam. Perhatikan contoh berikut. Suatu panitia rekreasi siswa sekolah mencoba merancang biaya total wisata ke Yogyakarta. Carilah rincian dana yang diperlukan.



1.14



Pembelajaran Matematika SD 



Soal di atas bersifat realistis, mempunyai jawaban yang biasanya tidak tunggal, dan menuntut mereka menambah informasi berupa pertanyaanpertanyaan yang terkait dengan masalah (berapa banyak peserta rekreasi, kendaraan apa yang digunakan, berapa lama waktu yang tersedia, objek wisata apa saja yang dikunjungi). Dengan masalah penerapan seperti ini peserta didik mempunyai kesempatan meletakkan bersama konsep dan keterampilan matematika dan mengintegrasikan matematika dengan bidangbidang yang lain, misalnya bidang ilmu sosial dan ilmu pengetahuan alam. Penggunaan masalah nyata dapat dimaksudkan sebagai proyek-proyek pengayaan atau perluasan wawasan dalam berbagai bidang bukan matematika. Banyak pendekatan pembelajaran matematika yang bersifat konstruktifistik dan bernuansa pemecahan masalah. Beberapa di antaranya adalah (a) penemuan terbimbing (guided discovery), (b) mathematical investigation (penyelidikan matematikal), (c) open-ended (berakhir terbuka), (d) multiple solutions (banyak selesaian), (e) multiple methods of solution (banyak cara menyelesaikan), dan (f) writing in mathematics (tugas menulis matematika). 7.



Teori Van Hiele (Hierarkis Belajar Geometri) Teori Van Hiele menyatakan bahwa eksistensi dari lima tingkatan yang berbeda tentang pemikiran geometrik, yaitu (a) level 0 (visualisasi), (b) level 1 (analisis), (c) level 2 (deduksi informal), (d) level 3 (deduksi), dan (e) level 4 (rigor). Meskipun keadaan tingkatan tidak secara langsung terkait dengan usia, siswa TK sampai dengan kelas 2 SD biasanya berada pada level 0, dan siswa SD kelas 3-6 SD biasanya berada pada level 1. Pada level 0, kegiatan siswa cenderung memanipulasikan model fisik, sehingga kemampuan mereka perlu diarahkan pada mengurutkan, mengidentifikasi, dan mendeskripsikan berbagai bangun geometri. Mereka perlu diberi kesempatan untuk membangun, membuat, menggambar, meletakkan bersama, dan memilah (memisah) bangun-bangun. Sebagai contoh Gambar 1.2. dari potongan bangun-bangun (perlu lebih banyak) mereka secara berkelompok dapat diminta untuk memilih bentuk-bentuk yang sesuai menurut kriteria tertentu. Dari 4-5 contoh yang berbeda, siswa akan mengamati konsep yang ada. Jika mereka telah sampai pada "kesamaan" atau "persekutuan" maka kita siap menyebutkan nama tanpa harus secara formal mendefinisikannya. Perlu dihindari adanya jawaban benar atau salah, dan penggunaan definisi. Beberapa hasil identifikasi antara lain adalah:



1.15



 PDGK4406/MODUL 1



Gambar 1.2.



Gambar 1.3. Tiga sisi (segitiga)



Gambar 1.4. Mempunyai pojok (sudut siku)



Gambar 1.5. Mempunyai sisi berhadapan (segi empat)



Gambar 1.6. Mempunyai lingkungan (kurva)



Gambar 1.7. Mempunyai empat pojok (persegi panjang)



Pada level 1, kegiatan siswa cenderung seperti level 0, tetapi mulai dapat mengkaji sifat-sifat bangun. Kemampuan mereka mulai mengarah ke klasifikasi bangun berdasarkan bentuk dan nama. Mereka juga sudah mampu mendefinisikan, mengukur, mengamati, dan menyebutkan sifat-sifat bangun. Mereka dapat membedakan segitiga (sama sisi, sama kaki, sebarang, lancip, tumpul, siku-siku), segiempat (persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat), trapesium, sebarang), kurva (cekung, cembung, sederhana, tidak sederhana, tertutup, tidak tertutup). Pada level 2, peserta didik mempunyai kemampuan menggunakan model untuk mencari sifat-sifat misalnya menyebutkan persegi panjang adalah jajar genjang dengan sudut-sudut yang siku, dan mengatakan persegi adalah persegi panjang dan jajar genjang. Selanjutnya, untuk suatu bangun, misalnya persegi panjang, mereka mampu menyebut sifat-sifat: mempunyai empat sisi, mempunyai empat sudut siku, sisi yang berhadapan sejajar, diagonal-diagonal saling berpotongan, sisi yang berurutan tegak lurus, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang, mempunyai dua simetri. Jadi mereka mulai dapat bernalar deduktif secara informal, yaitu



1.16



Pembelajaran Matematika SD 



menggunakan jika - maka dan biasanya cocok untuk kelas 1 dan kelas 2 SMP. Level 3 ditandai dengan kemampuan menggunakan sistem aksiomatik deduktif dan menyusun pembuktian, dan diperkirakan cocok untuk siswasiswi di SMA. Level 4 ditandai dengan kemampuan membedakan dan mengaitkan sistem-sistem aksiomatik yang berbeda, dan merupakan level dari matematis. 8.



RME (Realistic Mathematics Education) Freudenthal dan Treffers adalah tokoh-tokoh yang mengembangkan RME, yang pada awalnya terjadi di Belanda, dan digunakan sebagai pendekatan untuk meningkatkan mutu pembelajaran matematika, melalui kegiatan yang disebut pematematikaan. Pematematikaan horizontal dimaksudkan untuk memulai pembelajaran matematika secara konstektual, yaitu mengaitkannya dengan situasi dunia nyata di sekitar siswa atau keadaan kehidupan sehari-hari. Dengan cara seperti ini, siswa merasa dekat dan tertarik terhadap materi pelajaran matematika. Namun demikian, pematematikaan horizontal saja belum cukup, mereka perlu mendalami dan memahami konsep-konsep matematika dengan benar, melalui kegiatan yang disebut pematematikaan vertikal. Jika pematematikaan horizontal dilambangkan H, dan pematematikaan vertikal dilambangkan V, serta tekanan yang lebih dilambangkan H  atau V  , dan tekanan yang kurang dilambangkan H  atau V  maka RME bersifat H  atau V  . Pembelajaran matematika yang lain dapat dinyatakan sebagai H  dan V  dan untuk mekanistik (drill & practice), H  dan V  untuk empirik, H  dan V  untuk strukturistik. 9.



Peta Konsep Peta konsep merupakan implementasi pembelajaran bermakna dari Ausubel, yaitu kebermaknaan yang ditunjukkan dengan bagan atau peta, sehingga hubungan antarkonsep menjadi jelas, dan keseluruhan konsep teridentifikasi. Jenis peta konsep dapat menyebar atau tegak, dengan susunan dari konsep umum ke konsep khusus, dan setiap perincian dihubungkan dengan kata kerja. Pembuatan peta konsep terhadap suatu materi matematika dapat dibuat oleh siswa sebagai tugas individual atau kelompok pada akhir pembelajaran. Sebagai contoh, peta konsep dapat dibuat sebagai rangkuman dalam pembicaraan bangun datar segiempat, antara lain adalah:



1.17



 PDGK4406/MODUL 1



Gambar 1.8.



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Sebutkan paling sedikit tiga hal yang terkait dengan teori dari Thorndike! 2) Sebutkan paling sedikit tiga hal yang terkait dengan teori holistik! 3) Sebutkan paling sedikit tiga hal yang perlu diperhatikan dalam pembelajaran matematika yang memperhatikan Teori Piaget! 4) Sebutkan beberapa kegiatan yang dapat memberikan kesempatan pada siswa untuk membangun pengetahuan dari berbagai sumber! 5) Berilah paling sedikit tiga contoh soal yang tidak rutin! 6) Berilah paling sedikit tiga contoh soal nyata! 7) Dalam mempelajari bangun datar pada level 0, kegiatan apa yang sebaiknya dilakukan? 8) Dalam mempelajari bangun datar pada level 1, kegiatan apa yang sebaiknya dilakukan? Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b. c.



Menekankan pada latihan dan praktik, bersifat mekanistik, menganggap siswa sebagai kertas putih yang polos dan siap ditulisi, tidak mengaitkan antarkonsep,



1.18



Pembelajaran Matematika SD 



d. e. f. 2) a. b. c. d.



e. f. 3) a. b. c. d. e. f.



4) a. b. c. d. e. f. g. h.



tidak menggambarkan keseluruhan konsep, tidak integratif, berorientasi pada keterampilan yang ditambah terus-menerus, mengutamakan target (hasil), kurang tekanan pada proses. Pembelajaran dilaksanakan secara bermakna, mengutamakan pentingnya penguasaan konsep, peserta didik perlu memahami materi pelajaran, dilaksanakan secara bermakna dengan memanfaatkan struktur matematika, bagan peta/rangkuman/ikhtisar/ringkasan dari konsepkonsep yang terkait, kegiatan belajar lebih menarik karena memperhatikan perlunya proses, bisa mengakibatkan siswa kurang terampil dalam berhitung. Keabstrakan materi dipertimbangkan dengan tingkat perkembangan intelektual siswa, pelajaran baru dikaitkan dengan pelajaran sebelumnya atau pengetahuan prasyarat, kemampuan siswa diarahkan dapat mencari persamaan dan perbedaan, sehingga diperlukan adanya contoh dan bukan contoh, memandang penting penerapan konservasi untuk menjelaskan konsep matematika, bersifat konstruktivistik, peran guru ditekankan pada fasilitator dan motivator, siswa mempunyai kesempatan yang luas dan beragam untuk mencari, menerima, dan menghimpun pengetahuan. Diskusi kelompok kecil, diskusi kelas, pengerjaan tugas kelompok, penyusunan laporan tugas pengamatan dan penyelidikan, mendengarkan presentasi atau penjelasan teman atau kelompok lain, membandingkan pekerjaan orang lain, memperhatikan dan memahami pekerjaan teman lain, mengadakan atau mengikuti tanya jawab.



 PDGK4406/MODUL 1



1.19



5) Contoh-contoh ini dengan syarat belum pernah diketahui oleh siswa a. Carilah ukuran persegi panjang yang luasnya 100 cm2, serta panjang dan lebarnya berupa bilangan-bilangan bulat. b. Suatu bilangan harus dikeluarkan dari barisan bilangan 2, 4, 5, 6, 7, 8. Carilah bilangan itu dan sebutkan alasannya. c. Ada 6 orang hadir dalam suatu rapat. Jika setiap orang harus mengalami orang lain satu kali, berapa banyaknya salaman. d. Carilah 1  3  5  7  9  11  13  15 dan ceritakan bagaimana kamu dapat memperoleh jumlah itu. e. Carilah luas x 60 40 X 25 6) a. b. c.



Berapa jumlah biaya sekolah masing-masing dalam satu bulan. Berapa jumlah biaya memotong rumput halaman sekolah. Dari beragam buku tulis di kelas, buku tulis mana yang terbaik untuk dibeli?



7) Manipulasi objek fisik (mengurutkan, mengidentifikasi, mendeskripsikan, membuat, menggambar, meletakkan bersama, dan memilah) berbagai bangun geometris. 8) Mengkaji sifat-sifat bangun, klasifikasi bangun, mendefinisikan bangun, memanipulasikan bangun (melipat, mengukur, dan menutup). R A NG KU M AN



Guru matematika yang profesional dan kompeten mempunyai wawasan landasan yang dapat dipakai dalam perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran matematika. Teori-teori yang berpengaruh untuk pengembangan dan perbaikan pembelajaran matematika. 1. Teori Thorndike Teori Thorndike disebut teori penyerapan, yaitu teori yang memandang peserta didik selembar kertas putih, penerima pengetahuan yang siap menerima pengetahuan secara pasif.



1.20



2.



3.



4.



5.



6.



7.



8.



9.



Pembelajaran Matematika SD 



Teori Ausubel Teori makna(meaning theory) dari Ausubel (Brownell dan Chazall) mengemukakan pentingnya kebermaknaan pembelajaran akan membuat pembelajaran lebih bermanfaat dan akan lebih mudah dipahami dan diingat oleh peserta didik. Teori Jean Piaget Teori ini merekomendasikan perlunya pengamatan terhadap tingkat perkembangan intelektual anak sebelum suatu bahan pelajaran matematika diberikan. Teori Vygotsky Teori ini berusaha mengembangkan model konstruktivistik belajar mandiri piaget menjadi belajar kelompok melalui teori ini peserta didik dapat memperoleh pengetahuan melalui kegiatan yang beranekaragam dengan guru sebagai fasilitator. Teori Jerome Bruner Teori Jerome Bruner berkaitan dengan perkembangan mental, yaitu kemampuan mental anak berkembang secara bertahap mulai dari sederhana ke yang rumit, mulai dari yang mudah ke yang sulit, dan mulai yang nyata atau konkret ke yang abstrak. Pemecahan masalah (George Polya) Pemecahan masalah merupakan realisasi dari keinginan meningkatkan pembelajaran matematika sehingga peserta didik mempunyai pandangan atau wawasan yang luas dan mendalam ketika menghadapi suatu masalah. Teori van Hiele Teori ini menyatakan bahwa eksitensi dari lima tingkatan yang berbeda tentang pemikiran geometrik, yaitu visualisasi, analisis, informal, deduksi, dan nigor. RME (Realistic Mathematics Education) Teori ini dimaksudkan untuk memulai pembelajaran matematika dengan cara mengaitkannya dengan situasi dunia nyata di sekitar siswa. Peta konsep Peta konsep merupakan kebermaknaan yang ditunjukkan dengan bagan atau peta sehingga hubungan antarkonsep menjadi jelas dan keseluruhan konsep teridentifikasi.



 PDGK4406/MODUL 1



1.21



1) Teori penyerapan dari Thorndike memandang pentingnya pembelajaran yang bertumpu pada …. A. pemahaman B. keterkaitan C. pemaknaan D. latihan dan praktik 2) Teori belajar yang mengutamakan latihan dan praktik bersifat …. A. realistik B. holistik C. mekanistik D. strukturistik 3) Pembelajaran yang bermakna mendorong siswa untuk lebih …. A. terampil B. menghargai C. memahami D. mandiri 4) Pengaitan materi baru dengan pengetahuan yang telah dipelajari siswa merupakan implementasi dari teori …. A. Piaget B. Thorndike C. Bruner D. Ausubel 5) Peristiwa atau proses mengaitkan objek baru dengan konsep yang telah ada melalui identifikasi kesamaan disebut …. A. akomodasi B. asimilasi C. interaksi D. ekuilibrasi 6) Peristiwa atau proses mengaitkan objek baru dengan konsep yang telah ada melalui identifikasi perbedaan disebut …. A. akomodasi B. asimilasi



1.22



Pembelajaran Matematika SD 



C. interaksi D. ekuilibrasi 7) Suatu keadaan di mana kesiapan siswa untuk menerima materi baru sudah mantap disebut …. A. akomodasi B. asimilasi C. konservasi D. ekuilibrasi 8) Dalam membangun sendiri pengetahuannya, seorang siswa dapat memperolehnya melalui berbagai kegiatan kelompok. Pendapat ini sesuai dengan teori …. A. Piaget B. Vygotsky C. Ausubel D. Bruner 9) Urutan langkah-langkah pembelajaran yang dimulai dari penggunaan objek langsung, diikuti dengan barang tiruan atau gambar, dan diakhiri dengan penggunaan simbol, merupakan pandangan dari teori …. A. Van Hiele B. Polya C. Ausubel D. Bruner 10) Pembelajaran matematika yang mengembangkan pematematikaan horizontal dan vertikal, merupakan pendekatan …. A. RME B. Mekanistik C. Holistik D. Realistik Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



 100%



 PDGK4406/MODUL 1



1.23



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.24



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 2



Pelaksanaan Pembelajaran Matematika yang Konstruktivistik



M



asa kini dan masa mendatang terjadi penuh perkembangan dan perubahan yang cepat dan mendasar dalam berbagai aspek kehidupan, antara lain perkembangan di bidang-bidang sains, teknologi, sosial, budaya, dan perubahan dalam perdagangan, pemerintahan, dan pergaulan dunia. Keadaan ini menunjukkan bahwa kehidupan sekarang dan mendatang penuh dengan tantangan dan persaingan. Untuk mampu bertahan hidup serta mampu menghadapi tantangan, persaingan, ketidakpastian, dan permasalahan pelik dan rumit, generasi muda sekarang perlu memperoleh bekal pengetahuan, pengalaman, kemampuan, dan keterampilan yang sesuai dengan kebutuhan dan tuntutan kemajuan. Dengan demikian kita memerlukan pendidikan bermutu tinggi untuk membawa generasi muda menjadi manusia yang cerdas, ahli, terampil, cinta tanah air, mempunyai dedikasi dan tanggung jawab yang tinggi terhadap kemajuan bangsa dan negara, dan berkompeten dalam pembangunan. Dasar pengembangan pendidikan yang bermutu tinggi adalah prinsip belajar sepanjang hayat (Puskur, 2002:2) dan empat pilar (tiang) belajar yang dikemukakan UNESCO (Yabe, T., 2001:1) yaitu (1) learning to know, (2) learning to do, (3) learning to be, dan (4) learning to live together. Prinsip-prinsip tersebut mendasari pengembangan pendidikan untuk menghasilkan kompetensi peserta didik sesuai dengan tingkatan belajar di sekolah. Peserta didik yang kompeten artinya peserta didik yang cerdas, cakap, mampu memahami dengan baik bahan yang diajarkan, mampu bersikap, bernalar, dan bertindak sesuai prosedur yang benar, dan mengembangkan integritas kebersamaan dalam perbedaan. A. PROSES PENDIDIKAN Untuk menjadi siswa yang berkompeten, setiap siswa mengikuti proses pendidikan berupa pembelajaran. Dalam proses pembelajaran terdapat serangkaian kegiatan untuk memberikan pengalaman belajar yang berkaitan



1.25



 PDGK4406/MODUL 1



dengan pengetahuan, keterampilan, dan sikap. Proses merupakan faktor penting untuk memperoleh hasil yang baik dan memuaskan. Gambaran tentang hubungan komponen-komponen proses penyelenggaraan pendidikan adalah sebagai berikut.



Gambar 1.9.



Guru merupakan komponen proses yang utama sebab guru adalah pelaksana dari proses itu sendiri. Agar guru dapat melaksanakan proses yang baik dan dapat dipertanggungjawabkan, guru perlu mempertimbangkan kedudukan keluaran: 1. kompetensi individual, kelompok, dan klasikal, 2. keberagaman hasil (keluaran), 3. kesesuaian penilaian, evaluasi atau asesmen, 4. pemberdayaan berbagai sumber belajar, 5. strategi pembelajaran untuk mencapai sasaran, dan mempertimbangkan sifat-sifat masukan sebagai: 1. makhluk Tuhan, 2. individu yang mandiri, 3. makhluk sosial dan budaya, anggota berbagai kelompok masyarakat, 4. anggota abad informasi, 5. sumber belajar, 6. anak yang sedang belajar dan dalam tahap pertumbuhan (teori belajar, motivasi).



1.26



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan gambaran di atas maka ciri dan/atau prinsip dalam proses pembelajaran agar siswa mempunyai kompetensi yang sesuai dengan tuntutan perkembangan saat ini dan mendatang adalah: 1. berorientasi pada siswa, 2. mengembangkan strategi pembelajaran yang tepat dan beragam, 3. memperhatikan teori pendidikan dan teori belajar, 4. mengusahakan suasana yang demokratis, partisipatif, dan kooperatif, 5. mengembangkan penilaian (evaluasi) yang menyeluruh dan beragam (tidak hanya dalam bentuk tes, tetapi juga dalam bentuk-bentuk lain portofolio, tugas (proyek), karya tulis, karya kerja (kinerja), 6. memperhatikan ciri pokok keilmuan dari bidang studi atau materi yang sedang dipelajari. B. PEMBELAJARAN MATEMATIKA Pembelajaran matematika adalah proses pemberian pengalaman belajar kepada peserta didik melalui serangkaian kegiatan yang terencana sehingga peserta didik memperoleh kompetensi tentang bahan matematika yang dipelajari. Salah satu komponen yang menentukan ketercapaian kompetensi adalah penggunaan strategi pembelajaran matematika, yang sesuai dengan (1) topik yang sedang dibicarakan, (2) tingkat perkembangan intelektual peserta didik, (3) prinsip dan teori belajar, (4) keterlibatan aktif peserta didik, (5) keterkaitan dengan kehidupan peserta didik sehari-hari, dan (6) pengembangan dan pemahaman penalaran matematis. Beberapa strategi pembelajaran matematika yang konstruktivistik dan dianggap sesuai pada saat ini antara lain (1) problems solving, (2) problems posing, (3) open-ended problems, (4) mathematical investigation, (5) guided discovery, (6) contextual learning, dan (7) cooperative learning. 1.



Pemecahan Masalah (Problem Solving) Ciri utama problem solving (pemecahan masalah) dalam matematika adalah adanya masalah yang tidak rutin (non-routine problem). Masalah seperti ini dirancang atau dibuat agar siswa tertantang untuk menyelesaikan. Meskipun peserta didik pada awalnya mengalami kesulitan mengerjakan pemecahan masalah karena tidak ada aturan, prosedur atau langkah-langkah yang segera dapat digunakan, mereka menjadi terbiasa dan cerdas



 PDGK4406/MODUL 1



1.27



memecahkan masalah setelah mereka memperoleh banyak latihan. Banyak manfaat dari pengalaman memecahkan masalah, antara lain adalah peserta didik menjadi (1) kreatif dalam berpikir, (2) kritis dalam menganalisis data, fakta, dan informasi, (3) mandiri dalam bertindak dan bekerja. Sasaran utama pemecahan masalah adalah (1) soal yang mempunyai banyak selesaian (multiple solution), (2) soal yang diperluas (extending problem), dan (3) soal yang mempunyai banyak cara menyelesaikan (multiple methods of solution). Kohesi (2000) mengungkapkan tiga kegiatan dalam pemecahan masalah, yaitu solving problem, posing problem, dan exploring open-ended problem. Negara-negara maju menempatkan pemecahan masalah sebagai fokus dalam pendidikan matematika (Kohesi, 2000; NCTM, 1987). Beberapa contoh kegiatan pembelajaran matematika yang berorientasi pada pemecahan masalah. Contoh 2.1 (Banyak selesaian) Guru memberikan soal/masalah kepada kelas sebagai berikut. Perhatikan susunan bilangan berikut: 2, 5, 8, 11, 14,..., 29 Kemudian guru meminta setiap siswa untuk mencari paling sedikit 3 keadaan atau sifat yang dimiliki susunan bilangan tersebut. Soal semacam ini tidak biasa (tidak rutin) dibuat oleh guru, sehingga pada awalnya tentu guru juga mengalami kesulitan tentang "keinginan" yang tersirat dalam soal ini. Siswa pada awalnya juga mengalami kesulitan untuk memahami maksud soal ini karena memang tidak ada petunjuk yang jelas cara menjawabnya, sehingga mereka mempunyai kesempatan untuk mengembarakan imajinasi pikiran, dan penalaran menjangkau wilayah "ketanggapan bilangan (number sense)" yang luas. Beberapa jawaban yang semuanya benar antara lain adalah: a. susunan bilangan itu dimulai dengan 2, b. susunan bilangan itu diakhiri dengan 29, c. bilangan-bilangan itu berurutan dari yang kecil ke yang lebih besar, d. bilangan-bilangan itu bergantian ganjil dan genap, e. bilangan-bilangan itu semuanya positif, f. bilangan-bilangan itu semuanya bulat, g. banyaknya bilangan yang disusun adalah sepuluh, h. selisih bilangan ke satu dan ke dua adalah 3,



1.28



i. j. k.



Pembelajaran Matematika SD 



selisih bilangan ke satu dan ke dua sama dengan selisih bilangan ke dua dan ke tiga, selisih dua bilangan yang berurutan adalah sama, selisih dua bilangan yang berurutan adalah 3.



Dari jawaban-jawaban di atas dapat diketahui bahwa banyak konsep muncul menyertai pikiran siswa (urutan, ganjil, genap, positif, bulat, banyak, selisih). Potensi ini tumbuh dan berkembang dari pemberian kesempatan yang seluas-luasnya kepada masing-masing siswa menjadi sumber belajar (yang biasanya hanya guru). Siswa merasa gembira dan bangga karena masing-masing jawaban dihargai oleh yang lain sehingga keberanian siswa untuk mengemukakan pendapat dan pikirannya meningkat, serta kesadaran akan perbedaan dan mau menerima pendapat orang lain dapat tumbuh seiring dengan bertambahnya kegiatan mereka dalam memecahkan masalah. Masalah ini bisa diperluas (extended) atau diperdalam antara lain dengan menanyakan 3 bilangan berikutnya atau menanyakan bilangan ke-50 jika susunan bilangan itu ditambah. Siswa dapat juga diberi kesempatan mencari contoh lain dan menyelesaikan/menjawab atau mengerjakan pertanyaanpertanyaan serupa (problem posing). Contoh 2.2 (Banyak selesaian) Guru menyampaikan masalah kepada kelas sebagai berikut: Dari lima bilangan:



Suatu bilangan harus dikeluarkan karena tidak memenuhi syarat kelompok. Carilah bilangan yang harus dikeluarkan, sebutkan syarat yang tidak dipenuhi, dan carilah bilangan pengganti yang sesuai. Masalah ini menuntut siswa untuk mengembara dalam wilayah aturan mengklasifikasikan (mengelompokkan) bilangan, mencari contoh dan bukan contoh.



 PDGK4406/MODUL 1



a. b. c. d. e.



1.29



Beberapa jawaban yang benar adalah: 10 dikeluarkan karena aturan pengelompokan adalah bilangan yang lambangnya terdiri atas satu angka. Pengganti 10 antara lain adalah 9; 7 dikeluarkan karena aturan pengelompokan adalah bilangan genap. Pengganti 7 antara lain adalah 2; 4 dikeluarkan karena aturan pengelompokan adalah bilangan asli lebih dari 5. Pengganti 4 antara lain adalah 12; 6 dikeluarkan karena aturan pengelompokan adalah bilangan asli bukan kelipatan dari 3. Pengganti 6 antara lain adalah 13; 8 dikeluarkan karena aturan pengelompokan adalah bilangan asli yang tidak dapat dinyatakan sebagai perpangkatan 3 dari suatu bilangan. Pengganti 8 antara lain adalah 9.



Dari jawaban-jawaban benar di atas dapat diketahui betapa kaya konsepkonsep yang muncul, yaitu bilangan berlambang 2 angka, bilangan genap, kelipatan, dan perpangkatan. Perluasan dari masalah ini adalah para siswa diminta memilih sendiri lima bilangan (bahkan bisa lebih dari lima bilangan), kemudian diminta serupa. Bahkan bilangan yang dikeluarkan dari kelompok bisa lebih dari satu bi1angan. Contoh 2.3 (Banyak Cara Menyelesaikan) Guru memberikan soal (masalah) kepada kelas sebagai berikut. Dari susunan bilangan:



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Carilah jumlahnya dan sebutkan bagaimana kamu memperoleh jumlah itu. Jawaban dari soal ini adalah 55, tetapi cara memperoleh jawaban itu banyak. Beberapa jawaban yang mungkin diperoleh adalah: a. menjumlahkan satu per satu bilangan, mulai dari yang pertama sampai dengan yang terakhir. 1  2  3, 1  2  3  3  3  6, 1  2  3  4  6  4  10...1  2  ...  10  55



1.30



b.



Pembelajaran Matematika SD 



menggabungkan dua-dua bilangan menurut cara tertentu:



Ada 5 pasangan, dan setiap pasang berjumlah 11, berarti jumlah semua bilangan adalah 5 × 11 = 55. c.



menyusun ulang bilangan dan memasangkan, kemudian mencari jumlah bilangan dalam setiap pasangan



d.



menyusun ulang bilangan dan memasangkan, kemungkinan mencari jumlah bilangan dalam setiap pasangan



e.



menyusun ulang bilangan dan memasangkan, kemudian mencari pasangan-pasangan yang berjumlah sama



 PDGK4406/MODUL 1



1.31



Hal yang serupa dapat dilakukan untuk susunan-susunan yang lain, misalnya



2.



Penyelidikan Matematis (Mathematical Investigation) Penyelidikan matematis adalah penyelidikan tentang masalah yang dapat dikembangkan menjadi model matematika, berpusat pada tema tertentu, berorientasi pada kajian atau eksplorasi mendalam, dan bersifat open-ended. Kegiatan belajar yang dilaksanakan dapat berupa cooperative learning. Contoh 2.4 Guru menyampaikan suatu masalah yang bertema persamaan linear: Seorang peternak sapi mempunyai tiga kandang, jumlah ternak pada kandang pertama dan kedua adalah 12, jumlah ternak pada kandang pertama dan ketiga adalah 8, dan jumlah ternak pada kandang kedua dan ketiga adalah 6. Berapa banyaknya sapi seluruhnya milik peternak itu? Untuk menjawab soal ini para siswa dikelompokkan dalam 3-5 orang (cooperative learning). Mereka diminta membahas atau membicarakan cara menyelesaikan. Sebagai gantinya sapi mereka bisa diberi kerikil, butiran atau manik-manik, sehingga memudahkan atau membantu mereka. Hasil penyelidikan dari kelompok yang sudah bisa menjawab diminta untuk menyampaikan kepada kelas. Tentu mereka tidak dapat disalahkan jika mereka menyebutkan cara coba-coba (trial and error). Kelompok yang cerdas barangkali sudah membuat cara sistematis dengan merinci berbagai cara untuk memperoleh jumlah tertentu dengan model tabel:



1.32



Pembelajaran Matematika SD 



Baris ke



Kandang Kedua



Kandang Ketiga



Kandang Pertama



1 2 3 4 5 7



0 1 2 3 4 6



6 5 4 3 2 0



12 atau 2 11 atau 3 10 atau 4 9 atau 5 8 atau 6 6 atau 8



Artinya, jika kandang ke-2 berisi 0 sapi berarti kandang 1 berisi 12 sapi dan seterusnya. Kemudian mengaitkan dengan fakta, yaitu memusatkan perhatian pada kandang pertama Baris ke-1 : Baris ke-2 : Baris ke-3 : Baris ke-4 : Baris ke-5 : Baris ke-6 : Baris ke-7 :



6+2 5+3 4+4 3+5 2+6 1+7 0+8



= 8, tetapi = 8, tetapi = 8, tetapi = 8, tetapi = 8, tetapi = 8, tetapi = 8, tetapi



0+2 1+3 2+4 3+5 4+6 5+7 6+8



 12  12  12  12  12 = 12  12



Artinya, bila kandang ke-3 berisi 6 sapi dan kandang ke-1 berisi 2 sapi maka 6 + 2 = 8. Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa Kandang Kedua berisi 5 sapi, Kandang Ketiga berisi 1 sapi, dan Kandang Pertama berisi 7 sapi. Model lain yang mungkin dapat mereka kembangkan adalah menggunakan gambar, misalnya:



Gambar 1.10



Gambar 1.11



1.33



 PDGK4406/MODUL 1



Pengembangan yang bersifat open-ended dapat dilakukan dengan meminta siswa memilih sendiri tiga bilangan, dan mencari nilai-nilai x, y, dan z yang memenuhi dari Gambar 1.10.



Gambar 1.12.



Contoh 2.5 Guru menyampaikan suatu masalah yang bertema barisan bilangan: Ada 10 orang siswa hadir dalam suatu rapat. Jika setiap orang harus berjabatan tangan dengan orang lain satu kali maka berapa banyak jabatan tangan yang dilakukan? Serupa dengan contoh 1.3, para siswa dapat dikelompokkan dalam 3-5 orang. Penyelidikan mereka boleh saja dilakukan dengan praktik di antara mereka. Misalnya mereka (dalam satu kelompok) adalah 5 orang, yaitu A, B, C, D, dan E. Dari 5 orang ini, setelah dipraktikkan dilakukan perhitungan: AB, AC, AD, AE; BC, BD, BE; CD, CE; DE, yaitu 4 + 3 + 2 + 1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Kalau sekarang bertambah menjadi 10 orang maka dengan melihat pola, dapat diketahui bahwa banyaknya berjabatan tangan sama dengan:



1  2  3  4  5  6  7  8  9  45 Untuk membantu penyelidikan mereka, dapat juga guru membimbing mereka menggunakan model, misalnya model lingkaran.



1.34



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 1.13



atau menggunakan model gabungan tabel dan Gambar 1.13. Banyaknya Siswa



Model



Banyaknya berjabatan tangan



1



0



2



1



3



3=1+2



4



6=1+2+3



5



10 = 1 + 2 + 3 + 4



 10



… = 1 + 2 + …+ 9



1.35



 PDGK4406/MODUL 1



3.



Penemuan Terbimbing Penemuan terbimbing adalah suatu kegiatan pembelajaran yang mana guru membimbing siswa-siswanya dengan menggunakan langkah-langkah yang sistematis sehingga mereka merasa menemukan sesuatu. Apa yang diperoleh siswa bukanlah temuan-temuan baru bagi guru, tetapi bagi siswa dapat mereka rasakan sebagai temuan baru. Agar siswa-siswa dapat mengetahui dan memahami proses penemuan, mereka perlu dibimbing antara lain dengan menggunakan pengamatan dan pengukuran langsung atau diarahkan untuk mencari hubungan dalam wujud "Pola" atau bekerja secara induktif berdasarkan fakta-fakta khusus untuk memperoleh aturan umum. Contoh 2.6 Guru menyampaikan masalah sebagai berikut. Carilah 65 × 65 dan 75 × 75 tanpa mengerjakan perkalian secara langsung. Bagaimana pula dengan 85 × 85 dan 95 × 95? Bimbingan dilakukan guru menggunakan kasus-kasus yang lebih sederhana: 15×15 25×25 35×3 45×45 65×65 75×75 85×85 95×95



= = = = = = = =



(10+5)(10+5) (20+5)(20+5) …. …. (...)(...) + 25 (...)(...) + 25 (...)(...) + ... (...)(...) + ...



= = = =



10.10+10.5+5.10+25 20.20+20.5+5.20+25 …. ….



= = = =



Hal yang serupa dapat dikerjakan untuk: 11 × 11, 21 × 21,...,91× 91 19 × 19, 29 × 29,...,99 × 99 21 × 29, 22 × 28, 23 × 27, 24 × 26, 25 × 25 71 × 79, 72 × 78, 73 × 77, 74 × 76, 75 × 75 32 × 48, 53 × 67, 64 × 76, 85 × 95



10.10+10(5+5)+25 20.20+20(5+5)+25 …. ….



= = = =



10.20+25 20.30+25 30(...)+25 (...).50+25



1.36



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 1.7 Guru menyampaikan masalah dengan membuat suatu bangun persegipanjang



Gambar 1.14.



Siswa kemudian diminta (secara individual atau kelompok) untuk mengukur berbagai "komponen" dari persegi panjang. Dari hasil pengukuran banyak orang inilah kemudian diidentifikasi berbagai sifat persegi panjang yang terkait dengan sisinya, sudutnya, diagonalnya, luasnya, dan kelilingnya. Contoh 1.8 Guru dapat membimbing siswa untuk menemukan FPB dan KPK dua bilangan, serta hubungan antara FPB dan KPK (guru tidak langsung memberikan aturan). 4.



Contextual Learning Contextual Learning adalah pengelolaan suasana belajar yang mengaitkan bahan pelajaran dengan situasi dan/atau kehidupan sehari-hari, hal-hal yang faktual atau keadaan nyata yang dialami siswa. Contoh 1.9 Perhatikan susunan kelereng (kerikil, manik-manik) berikut.



(susunan ini faktual karena dapat menjadi ornamen atau hiasan sesuatu). Susunan kelereng di atas dapat saja diganti susunan yang lain, misalnya susunan batu bata.



1.37



 PDGK4406/MODUL 1



Gambar 1.15.



Permasalahan utama adalah mencari banyaknya benda pada susunan ke n (n = 1, 2, 3, 4, ...). Contoh 1.10 Siswa dikelompokkan menjadi kelompok-kelompok 3 pria dan 2 wanita. Mereka diminta membagi 20 lembar uang ribuan (kelereng, kerikil) sehingga setiap pria menerima jumlah yang sama, setiap wanita menerima jumlah yang sama, pria dan wanita boleh menerima tidak sama. Contoh 1.11 Seorang harus membayar pembelian belanja sebesar 1000 rupiah. Jika di dompet hanya terdapat di dalamnya lembaran-lembaran lima-ratusan dan seratusan maka ada berapa cara membayar pembelian belanja tersebut?



1.38



Pembelajaran Matematika SD 



1) Jelaskan pembelajaran penemuan terbimbing dalam mencari FPB dengan menggunakan pemfaktoran prima! 2) Jelaskan pembelajaran kontekstual dalam mencari banyaknya kelereng (atau batu bata) pada susunan ke-10 dari contoh 2.0! 3) Jelaskan pembelajaran persamaan linear yang kontekstual dan kooperatif! 4) Dari susunan bilangan pada tabel 3 × 3 berikut, carilah sebanyakbanyaknya kejadian yang terdapat pada susunan 8



1



6



3



5



7



4



9



2



5) Dari susunan bilangan



Dua bilangan harus dikeluarkan. Carilah dua bilangan yang harus dikeluarkan dan sebutkan alasannya kenapa dua bilangan itu dikeluarkan. Petunjuk Jawaban Latihan 1) Pembelajaran dapat dilakukan setelah siswa memahami atau menguasai pengetahuan prasyarat, yaitu mencari FPB dengan menggunakan himpunan faktor persekutuan dari dua bilangan.



1.39



 PDGK4406/MODUL 1



Gunakan tabel untuk memudahkan siswa mengamati pola: Bilangan Pertama 6 = 2.3 10 = 2.5 10 = 2.5



Bilangan Kedua 10 = 2.5 15 = 3.5 14 = 2.7



FPB 2 5 2



Dari 3 kasus di atas, mereka dibimbing untuk melihat pola: x = a . b, y = c . b mempunyai FPB = b . (a dan b adalah bilangan-bilangan prima). Lanjutkan dengan kasus-kasus yang mempunyai pola: x = a . b2 x = a . b2 x=a.b x = ap . bq x = a p . b q . cr



dan dan dan dan dan



y=c.b y = c . b3 y = a . b2 y = ar . bs y = a s . b t . cu



2) Gunakan tabel: Susunan 1 2 3 4 . . . 10



Banyaknya 1 3 6 10 . . . ...



Pola ... ... ... ... ... ... ... ...



Temuan 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 ... ... ... 1+2+...+10



3) Secara tradisional (konvensional), guru mengajar topik ini kurang lebih sebagai berikut. Anak-anak marilah sekarang kita mempelajari persamaan linear dua variabel. Persamaan linear dua variabel mempunyai bentuk:



ax  by  c, dengan a, b,c  R



1.40



Pembelajaran Matematika SD 



Pasangan nilai x dan y yang menyebabkan ax + by = c benar penyelesaian. Pembelajaran kemudian dilanjutkan dengan contoh dan Pembelajaran semacam ini kurang menantang, siswa pasif dan menghafal, serta kurang menantang. Bandingkan sekarang pembelajaran berikut.



disebut latihan. banyak dengan



2 pria dan 3 wanita akan membagi 20 permen (gula-gula) jika setiap pria menerima jumlah yang sama dengan pria lain, dan setiap wanita menerima jumlah permen (gula-gula) yang sama dengan wanita lain maka berapa banyaknya permen (gula-gula) yang diterima masingmasing pria dan masing-masing wanita? Ceritakan pula bagaimana kalian dapat memperoleh jawaban itu? Pembelajaran dapat dirancang dengan mengelompokkan mereka (jika mungkin) seperti soal, dan permen dapat diganti dengan kerikil. Setelah jangka waktu tertentu, masing-masing kelompok ditagih untuk menyampaikan pekerjaan. Secara tak terduga tentu kita akan terkejut. Tentu pada akhirnya mereka dibimbing untuk menggunakan: 2x + 3y = 20. Persoalan dapat dilanjutkan antara lain dengan: 3 pria, 6 wanita, 20 permen (gula-gula) 2 pria, 4 wanita, 20 permen (gula-gula). 4) a. b. c. d. e. f. g. h.



menggunakan bilangan-bilangan asli 1, 2, 3,..., 9. bilangan-bilangan yang berada di pojok-pojok adalah bilanganbilangan genap. bilangan terkecil adalah 1. bilangan terbesar adalah 9. bilangan-bilangan yang tidak berada di pojok-pojok adalah bilangan-bilangan ganjil. selisih bilangan pada pojok-pojok atas, dan selisih bilangan pada pojok-pojok bawah adalah 2. selisih bilangan pada pojok-pojok kiri, dan selisih bilangan pada pojok kanan adalah 4. jumlah dua bilangan pada pojok-pojok yang berlawanan adalah 10.



 PDGK4406/MODUL 1



1.41



i.



bilangan yang berada ditengah. adalah sama dengan setengah dari bilangan-bilangan yang sebaris, sekolom atau sediagonal. j. 8 + 6 + 2 + 4 = 1 + 7 + 9 + 3. k. 8 + 1 + 6 = 3 + 5 + 7 = 4 + 9 + 2 = 15. 1. 8 + 3 + 4 = 1 + 5 + 9 = 6 + 7 + 2 = 15. m. 8 + 5 + 2 = 4 + 5 + 6 = 15. 5) a. b. c. d. e.



4 dan 9 ke luar karena merupakan bilangan-bilangan kuadrat. 3 dan 7 ke luar karena merupakan bilangan-bilangan prima ganjil. 7 dan 9 ke luar karena merupakan bilangan-bilangan yang lebih dari lima. 3 dan 9 ke luar karena merupakan bilangan-bilangan kelipatan 3. 2 dan 3 ke luar karena merupakan dua bilangan prima pertama.



Dari semua uraian dan contoh di atas jelas bahwa proses pembelajaran untuk menghasilkan kompetensi perlu mendapatkan penanganan dari guru secara sungguh-sungguh karena guru benar-benar secara sadar bersedia membuat persiapan dan bekerja lebih interaktif. Sebagai pembelajaran yang relatif berbeda dengan sebelumnya, guru dituntut lebih kreatif dan responsif untuk merencanakan pembelajaran berbasis kompetensi dari topik-topik matematika di dalam kurikulum sekolah. Keuntungan utama dari penerapan pembelajaran berbasis kompetensi bagi siswa adalah keawetan ingatan (lebih teringat) dan kecerdasan intelektual (meningkat) karena terlatih melihat sesuatu secara menyeluruh dengan memperhatikan berbagai aspek. Kemampuan individual dan kerja sama juga meningkat karena kegiatan pembelajaran diarahkan tidak selalu klasikal, dan kerja kelompok mendapatkan perhatian.



1.42



Pembelajaran Matematika SD 



1) Dari pernyataan-pernyataan: 1. Guru merupakan komponen proses pembelajaran matematika di SD. 2. Guru perlu mengusahakan penilaian belajar matematika, yang cocok. Dari pernyataan di atas yang benar adalah …. A. 1 saja B. 2 saja C. tidak ada yang benar D. semuanya benar 2) Dari pernyataan-pernyataan: 1. Berbagai sumber belajar perlu diberdayakan dalam pembelajaran matematika SD. 2. Kompetensi individual dan kelompok tidak perlu ditumbuhkan dalam pembelajaran matematika SD. Pernyataan yang benar adalah …. A. 1 saja B. 2 saja C. semua pernyataan benar D. tidak ada yang benar 3) Dari pernyataan-pernyataan 1. Teori belajar tidak perlu diperhatikan dalam pembelajaran matematika SD. 2. Suasana yang demokratis dan partisipatif tidak perlu ditumbuhkan dalam pembelajaran matematika SD. Pernyataan yang benar adalah …. A. 1 saja B. 2 saja C. semua pernyataan benar D. tidak ada yang benar 4) Dari pernyataan-pernyataan: 1. Mengerjakan soal yang serupa dengan contoh bersifat pemecahan masalah. 2. Langkah-langkah penyelesaian soal pemecahan masalah mudah diidentifikasi.



 PDGK4406/MODUL 1



1.43



Pernyataan yang benar adalah …. A. 1 saja B. 2 saja C. semua pernyataan benar D. tidak ada yang benar 5) FPB dari 540 dan 504 adalah …. A. 216 B. 36 C. 63 D. 20 6) Dari susunan noktah:



banyaknya noktah pada urutan ke-10 adalah …. A. 154 B. 145 C. 144 D. 155 7) Dari soal pada butir 6, banyaknya noktah pada urutan ke-10 dapat dicari dari deret …. A. 1 + 5 + 12 + ... B. 1 + 2 + 3 + ... C. 1 + 3 + 5 + ... D. 1 + 4 + 7 + ... 8) Empat pria dan tiga wanita membagi 25 butir permen. Setiap pria menerima jumlah yang sama, setiap wanita menerima jumlah yang sama, jumlah yang diterima pria dan wanita tidak harus sama, dan permen yang diterima harus utuh (tidak boleh dipecah). Salah satu keadaan tentang jumlah kelereng yang diterima adalah …. A. pria (4), wanita (3) B. pria (3), wanita (4) C. pria (3), wanita (5) D. pria (5), wanita (3)



1.44



Pembelajaran Matematika SD 



9) Dari soal pada butir 8, keadaan lain yang memenuhi adalah ….. A. pria (4), wanita (5) B. pria (5), wanita (4) C. pria (1), wanita (7) D. pria (7), wanita (1) 10) Seseorang harus membayar 1.000 rupiah. Jika lembaran uang yang tersedia adalah lima ratusan dan seratusan, jumlahnya tak terbatas maka banyaknya cara membayar adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



1.45



 PDGK4406/MODUL 1



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D. Sesuai dengan uraian. 2) C. Latihan dan praktik mengutamakan adanya hubungan Stimulus (s) dan Response, sehingga bersifat mekanistik. 3) C. Pembelajaran yang bermakna maupun menarik perhatian siswa sehingga mereka lebih terkesan karena lebih mudah dipahami polanya. 4) A. Implementasi dari keadaan skemata dalam teori Piaget. 5) B. Sesuai dengan makna asimilasi. 6) A. Sesuai dengan makna akomodasi. 7) C. Sesuai dengan makna konservasi (lestari). 8) B. Konstruktivisme melalui belajar kelompok. 9) D. Enactive, Iconic, Symbolic. 10) A. Sesuai dengan konsep RME. Tes Formatif 2 1) C. Sesuai dengan uraian. 2) A. Sesuai dengan uraian. 3) D. Sesuai dengan uraian. 4) D. Soal yang serupa contoh adalah soal rutin. Aturan yang harus dipakai dalam menyelesaikan masalah belum jelas, dan tidak segera diketahui. 5) B. 540 = 22 . 32 . 5 504 = 23 . 32. 7 FPB = 22 . 32 = 4.9 = 36 6) B. 145. 1 1  1= .1.  3.1  1 2 1 2  5  .2.  3.2  1 2 1 3  12  .3.  3.3  1 2   



1 10  .10.  3.10  1  5  29   145 2



1.46



Pembelajaran Matematika SD 



7)



D.



1 1 2  5  1  4 3  12  1  4  7 4  22  1  4  7  10



8)



A.



pria 1 2 3 3 4 4 4



9)



C.



(lihat tabel nomor 8)



10)



C.



lima ratusan 2 1 -



wanita 7 6 5 4 4 3 2



4 pria 4 8 12 12 16 16 16



seratusan 5 10



3 wanita 21 18 15 12 12 9 8



pembayaran 1000 1000 1000



jumlah 25 26 27 24 28 25 24



 PDGK4406/MODUL 1



1.47



Daftar Pustaka Balitbang Depdiknas. (2002). Pelaksanaan Kurikulum Berbasis Kompetensi. Jakarta: Puskur. Dalton, I. R. C. (1985). A Plan for Incorporating Problem Solving Throughout The Advanced Algebra Curriculum. Reston: NCTN. NCTM. (1996). Profesional Standards For Teaching Mathematics. Reston: NCTM. Posamentier, A., & Stepelman, J. (1986). Teaching Secondary School Mathematics. Columbus: Charles E. Merrill. Soedjadi. (1999). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Ditjen Dikti Depdiknas. Usiskin, Z. (1985). We Neet Another Revolution in Secondary School Mathematics. Reston: NCTM. Van de Walle, J. A. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Longman. Wadsworth, B. J. (1984). Piaget's Theory of Cognitive and Affective Development. New York: Longman.



Modul 2



Media dan Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD Prof. Drs. Gatot Muhsetyo, M. Sc.



P



ada dasarnya media dan bahan manipulatif dapat dimanfaatkan sebaikbaiknya dalam pembelajaran matematika SD. Keduanya merupakan alat bantu pembelajaran matematika SD yang penggunaannya didasarkan pada pertimbangan, alasan, atau kriteria tertentu, misalnya kesesuaian dengan topik pelajaran, ketersediaan alat dan fasilitas pendukung, ketersediaan operator, dan ketersediaan biaya. Perbedaan media dan bahan manipulatif terletak pada keterkaitannya dengan materi pelajaran yang diberikan, yaitu terkait tidak langsung dan terkait langsung. Media pembelajaran dalam pembelajaran matematika SD adalah alat bantu pembelajaran yang digunakan untuk menampilkan, mempresentasikan, menyajikan, atau menjelaskan bahan pelajaran kepada peserta didik, yang mana alat-alat itu sendiri bukan merupakan bagian dari pelajaran yang diberikan. Jenis media dapat dikelompokkan dari aspek-aspek yang berbeda, misalnya (1) dari bahan, berupa media cetak dan media non-cetak, (2) dari tayangan, berupa media proyeksi dan media non-proyeksi, (3) dari kelistrikan, berupa media elektronik dan media non-elektronik, dan (4) dari ukuran kemajuan, media sederhana dan media modern. Alat-alat itu dapat berupa segala bentuk papan (tulis, tempel), segala bentuk cetakan (bukan, LKS, modul, petunjuk/pedoman praktikum), segala bentuk bahan elektronik (kalkulator, radio, TV, film, VCD, DVD, komputer, internet, LCD). Bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD adalah alat bantu pembelajaran yang digunakan terutama untuk menjelaskan konsep dan prosedur matematika. Alat ini merupakan bagian langsung dari mata pelajaran matematika, dan dapat dimanipulasikan oleh peserta didik (dibalik, dipotong, digeser, dipindah, digambar, ditambah, dipilah, dikelompokkan/diklasifikasikan). Penggunaan bahan manipulatif ini



2.2



Pembelajaran Matematika SD 



dimaksudkan untuk mempermudah peserta didik dalam memahami konsep dan prosedur matematika. Kompetensi Umum Kompetensi umum dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu memahami makna media dan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD, sebagai bekal untuk mengembangkan diri sebagai guru matematika yang profesional di sekolah dasar. Kompetensi Khusus Kompetensi khusus dalam mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu menjelaskan, memilih, dan memutuskan penggunaan media dan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD. Susunan Kegiatan Belajar Modul ini terdiri dari dua kegiatan belajar. Kegiatan belajar pertama adalah Media dalam Pembelajaran Matematika SD, dan kegiatan belajar kedua adalah Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD. Petunjuk Belajar 1. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat berulang-ulang sehingga Anda benar-benar memahami dan menguasai materi paparan. 2. Kerjakan latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam kasus tertentu Anda mengalami kesulitan menjawab, maka lihatlah rambu-rambu jawaban latihan. Jika langkah tersebut belum berhasil menjawab atau memahami soal latihan beserta rambu-rambu jawaban latihan, maka mintalah bantuan tutor Anda, atau orang lain yang lebih tahu. 3. Kerjakan tes formatif secara mandiri, dan periksalah tingkat kemampuan Anda dengan jalan mencocokkan jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif. Ulangilah pengerjaan tes formatif ini sampai Anda benarbenar merasa mampu mengerjakan semua soal dengan benar.



 PDGK4406/MODUL 2



2.3



Kegiatan Belajar 1



Media dalam Pembelajaran Matematika SD



D



alam pembelajaran matematika SD, agar bahan pengajaran yang disampaikan menjadi lebih mudah dipahami oleh siswa, diperlukan alat bantu pembelajaran yang disebut dengan media. Media adalah alat bantu pembelajaran yang secara sengaja dan terencana disiapkan atau disediakan guru untuk mempresentasikan dan/atau menjelaskan bahan pelajaran, serta digunakan siswa untuk dapat terlibat langsung dengan pembelajaran matematika. Peralatan yang akan digunakan dalam kelas dapat digunakan untuk mengerjakan sesuatu tugas, tempat menulis pelajaran, membuat grafik, menampilkan gambar atau tabel, memberikan penjelasan, mengamati dan mempelajari hasil perhitungan, menyelidiki suatu pola, dan berlatih soal-soal. Media dalam pembelajaran matematika relatif sama dengan media dalam pembelajaran bidang yang lain, yaitu dapat dikelompokkan berupa media: (1) sederhana, misalnya papan tulis, papan grafik, (2) cetak, misalnya buku, modul, LKS (Lembar Kegiatan Siswa), petunjuk praktik atau praktikum, dan (3) media elektronik, misalnya OHT (Over Head Transparency) atau OHP (Over Head Projector), audio (radio, tape), audio & video (TV, VCD, DVD), kalkulator, komputer, dan internet. Pengelompokan di atas dapat saja diganti berdasarkan alasan tertentu, misalnya media sederhana dan media modern (berbasis elektronik), media cetak dan media non-cetak, media proyeksi dan media non-proyeksi, dan sebagainya. Seirama dengan perkembangan ICT (Information and Communication Technology), media berbasis elektronik semakin banyak dimanfaatkan dalam pembelajaran, pendidikan, dan latihan. LCD, power point, internet, televisi, dan Teleconferencing merupakan media-media masa kini yang digunakan untuk berbagai kegiatan pembelajaran. Dengan semakin beragamnya jenis dan mutu media pembelajaran, guru perlu semakin selektif dalam menentukan media pembelajaran. Beberapa kriteria utama dalam memilih media adalah kecocokan dengan materi pelajaran, ketersediaan alat dan pendukungnya, kemampuan finansial untuk pengadaan dan operasional, dan kemampuan/keterampilan menggunakan media dengan tepat dan benar. Tuntutan masa kini, agar guru mampu memilih dan menggunakan media pembelajaran yang tepat, perlu mendapat perhatian dan tanggapan sungguhsungguh dari banyak pihak, kalau tidak pendidikan di Indonesia akan



2.4



Pembelajaran Matematika SD 



semakin tertinggal dari negara-negara lain. Banyak keuntungan yang dapat diperoleh dalam penggunaan media pembelajaran, antara lain adalah (1) lebih menarik dan tidak membosankan bagi siswa, (2) lebih mudah dipahami karena dibantu oleh visualisasi yang dapat memperjelas uraian, (3) lebih bertahan lama untuk diingat karena mereka lebih terkesan terhadap tayangan atau tampilan, (4) mampu melibatkan peserta pembelajaran lebih banyak dan lebih tersebar (terutama penggunaan media elektronik: radio, televisi, internet), (5) dapat digunakan berulang kali untuk meningkatkan penguasaan bahan ajar (terutama media yang berbentuk rekaman: kaset, VCD, DVD, film, film strip), dan (6) lebih efektif karena dapat mengurangi waktu pembelajaran. Garis besar jenis-jenis media dan penggunaannya dapat dijelaskan sebagai berikut. 1.



Papan Tulis Sebagian besar sekolah menggunakan papan tulis hitam (black board) di dalam kelas. Dengan menggunakan kapur atau sejenisnya untuk menulis, bahan pelajaran dibicarakan dan dibahas dengan bantuan papan tulis. Proses pembelajaran dalam bentuk contoh, uraian, atau pengerjaan tugas, dapat dilihat dan diikuti langsung oleh semua siswa dalam kelas. Pembelajaran dapat dilaksanakan lebih menarik dan bersasaran jika guru menggunakan kapur yang berwarna-warni. Pada perkembangan berikutnya, didasarkan pada alasan untuk lebih menyehatkan mata, warna hitam papan tulis diganti dengan warna hijau (green board). Akhir-akhir ini, dengan alasan lebih menyehatkan badan, warna putih (white board) mulai banyak digunakan dan mengganti kapur dengan spidol. Lebih dari itu, papan putih ini dapat dipindahkan (tidak permanen), bahkan ada yang bersifat elektronik sehingga tulisan di papan putih dapat langsung dibuat foto copy-nya. 2.



Papan Grafik Pada dasarnya papan grafik sama dengan papan tulis, tetapi fungsinya lebih diarahkan untuk mempermudah guru dalam membuat grafik. Papan ini mempunyai kotak-kotak berskala tetap yang dapat dipakai untuk merancang koordinat dari titik-titik yang diperlukan untuk membuat grafik.



 PDGK4406/MODUL 2



2.5



3.



Papan Tempel Papan tempel ini dapat diletakkan di dalam atau di luar kelas. Jika diletakkan di dalam kelas, maka papan tempel ini dipasang tidak di bagian depan kelas (di samping kiri-kanan atau di bagian belakang dari kelas). Fungsi dari papan tempel ini antara lain untuk memasang informasi (pengumuman, berita, tugas), untuk menempel kliping dari koran, majalah, atau brosur yang berkaitan dengan pelajaran atau kemajuan iptek, dan untuk memasang karya-karya tulis siswa yang terpilih (bagus) untuk dapat diketahui oleh siswa-siswa yang lain. Dengan tersedianya alat-alat tempel (pengganti lem/perekat), misalnya selotip/pines/bahan magnetik, maka penggantian bahan tempelan menjadi lebih mudah dan lebih praktis. Untuk mata pelajaran matematika, papan tempel ini dapat digunakan untuk menginformasikan/mengkomunikasikan antara lain tokoh-tokoh matematisi, sejarah matematika, rekreasi matematika, permainan matematika, pola-pola khusus matematika dan tebakan matematika. 4.



Media Cetak Media cetak merupakan media pembelajaran yang utama karena media ini mudah dibawa dan dapat dibaca di mana saja dan kapan saja. Bentuk media cetak ini dapat berupa buku (buku ajar, buku mata pelajaran), LKS (Lembar Kegiatan Siswa), petunjuk praktik, petunjuk praktikum, laporan kegiatan, modul dan buku kerja. Jika seorang guru matematika menggunakan media buku pelajaran, maka guru itu harus benar-benar menguasai isi buku, yaitu hal-hal yang terkait dengan uraian, contoh: latihan, tugas, dan urutan. Penguasaan itu juga diikuti dengan wawasan yang kritis dari hal-hal tersebut di atas. Jika ada materi, urutan, latihan, atau soal di atas yang salah, maka guru itu harus berani membetulkan (jangan dibiarkan salah); dan kalau ada yang kurang (kurang lengkap), maka guru itu harus berani melengkapi atau menambahkan. Kalau ada sesuatu yang dianggap kurang jelas atau meragukan, maka guru itu harus berani bertanya kepada sejawat atau orang lain yang lebih tahu. Kalau dalam penerapan buku itu dirasakan peserta didik banyak yang mengalami kesulitan, maka guru itu bisa menganalisisnya, dan kemudian melakukan Penelitian Tindakan Kelas (PTK).



2.6



Pembelajaran Matematika SD 



5.



Kalkulator Sebetulnya kalkulator termasuk media elektronik, tetapi keberadaannya sudah dijumpai di mana-mana, dan dapat dibeli dengan harga yang terjangkau. Sebagai alat yang canggih yang mampu melakukan perhitungan dengan cepat dan akurat, maka potensi kalkulator ini dapat dimanfaatkan dalam pembelajaran matematika di sekolah dasar. Penggunaan kalkulator dalam pembelajaran matematika sudah lama dirintis di negara-negara maju, sebagai alat bantu pembelajaran (instructional aids) dan alat hitung (computational tools). Dengan adanya kalkulator, guru dan pendidik/pengembang dalam pembelajaran matematika mempunyai kesempatan yang lebih luas membantu siswa mempelajari matematika dan menyelesaikan masalah-masalah terkini. Namun demikian, penggunaan kalkulator tidak boleh menggantikan perlunya proses pembelajaran yang membawa siswa terampil dalam berhitung (komputasi). NCTM (1980) merekomendasikan bahwa “mathematics programs must take full advantage of the power of calculators and computers at all grade levels”. Beberapa contoh penggunaan kalkulator dalam pembelajaran matematika dapat dikaitkan dengan sasaran atau keperluan yang ingin dikembangkan oleh guru. a.



Kalkulator sebagai alat bantu berhitung Dengan kecepatan, ketepatan, dan kemampuan kalkulator dalam melakukan pengerjaan bilangan, kalkulator dapat dipakai menghitung (35,7  29,8)/(22  31) sampai persepuluhan terdekat, mencari sampai perseratusan terdekat, atau mencari terdekat. b.







3/ 5 2







2  3 5  10, 2 sampai satuan



Kalkulator sebagai alat bantu meningkatkan pemahaman konsep matematika Dengan menggunakan kalkulator, siswa dapat mempraktikkan, mencoba, dan mengamati berbagai hubungan dalam pengerjaan bilangan, dan mencoba menyimpulkan pola hubungan secara induktif-analitis sehingga mereka seolah-olah “menemukan” sifat-sifat matematika tertentu. Generalisasi kasuskasus dapat dilakukan untuk menunjukkan sifat bilangan nol, sifat bilangan satu, sifat pertukaran (komutatif), sifat pengelompokan (asosiatif), sifat penyebaran (distributif), sifat lawan, sifat kebalikan. Konsep bilangan prima,



2.7



 PDGK4406/MODUL 2



konsep faktor, dan konsep-konsep dalam pecahan dapat diselidiki dan dijelaskan dengan menggunakan kalkulator. Pembelajaran menjadi lebih interaktif dan partisipatif jika dilengkapi dengan media belajar yang lain, misalnya buku kerja atau LKS (Lembar Kegiatan Siswa). c.



Kalkulator sebagai alat bantu belajar pemecahan masalah Sifat bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai desimal dengan adanya lambang-lambang yang berulang secara teratur, merupakan salah satu penyelidikan yang dapat dikemas dalam kegiatan pemecahan masalah. a Hubungan pecahan sederhana (dengan fpb antara a dan b adalah 1) dan b lambang desimalnya, dapat dikemas dalam kegiatan pemecahan masalah. Penyelidikan dapat dilakukan dengan memilih penyebut b secara beragam, misalnya faktor 10, faktor 100, faktor 1000, ……, faktor 10 n (n = 1, 2, 3, …) dan bukan faktor 10n (n = 1, 2, 3, …). Dengan semakin canggihnya produk-produk kalkulator, misalnya TI (Texas Instrument) yang mempunyai kemampuan membuat grafik, maka pemecahan masalah matematika dapat dikembangkan dalam geometri, terutama untuk mengamati tingkah laku grafik jika persyaratan tertentu diketahui. Contoh 2.1 Dengan menggunakan kalkulator, secara perseorangan atau kelompok, 22 1 2 3  2 4 6  ,....  , para siswa dapat mempraktikkan  , , ,...  ,  , , ,...., 33   5 10 15   3 6 9 24  3 6 9 , ,..., ,...  , sehingga mereka memahami bahwa: dan  , 7 14 21 56  



a k x a  b k x b Contoh 2.2 Dengan menggunakan kalkulator, secara perseorangan atau kelompok, para siswa diminta menyatakan lambang desimal dari pecahan-pecahan yang pembilangnya 1, dan penyebutnya faktor 10 yang positif yang bukan 1 (2 dan 5), penyebutnya faktor 100 yang positif dan bukan 1 serta bukan faktor 10 (4, 20, 25, 50), penyebutnya faktor 1000 yang positif dan bukan 1



2.8



Pembelajaran Matematika SD 



serta bukan faktor 10 dan 100 (8, 40, 125, 200, 250, 500). Dari hasil pengamatan mereka diharapkan mereka dapat mengemukakan bahwa banyaknya angka di belakang koma berturut-turut adalah 1, 2, dan 3. Mereka juga diminta untuk menuliskan kembali masing-masing desimal dalam bentuk pecahan (penyebutnya 10, 100, atau 1000), sehingga mereka benarbenar memahami makna banyaknya angka di belakang koma (dalam lambang desimal), serta perluasannya. Misalnya, karena



1 2 20 200 2000 20000 k x 2  0, 2       .........  , 5 10 100 1000 10000 100000 k x 10 maka 0,2 = 0,20 = 0,200 = 0,2000 = 0,20000 = 0,200000 = 0,200000 ……. Contoh 2.3 Dengan menggunakan kalkulator, secara perorangan atau kelompok, 1 2 1 2 4 5 7 8 para siswa diminta mengkaji lambang desimal dari  , , , , , , ,  , 3 3 9 9 9 9 9 9 10 1 2 k  1 1 1  1 2 1 1 1   , ,..., , , ,...  ,  , ,  , dan  , ,  . Dari masing11 11 11 33 33 33 6 30 45      7 13 15  masing kelompok penyelidikan, mereka diminta secara bertahap mengamati lambang bilangan yang muncul, terutama bentuk-bentuk yang berulang. Ragam dari kelompok-kelompok yang berbeda dimaksudkan untuk memberi peluang pada mereka bahwa banyaknya angka berulang bisa 1, 2, atau yang lain, dan keteraturan berulang bisa dimulai dari berbagai tempat desimal (pada saatnya tentu dapat dikatakan bahwa hal ini merupakan ciri bilangan rasional). Contoh 2.4 Dengan bantuan kalkulator, konsep faktor atau pembagi dapat dikembangkan dengan lebih mudah, termasuk dalam memahami bukan faktor, atau bukan pembagi. Pada tahap berikutnya tentu terkait makna sisa pembagian. Penggunaan kalkulator untuk menentukan hasil bagi dan sisa dapat ditunjukkan dengan kegiatan sebagai berikut.



2.9



 PDGK4406/MODUL 2



89 2459



Hasil bagi 27 dan sisa 56. Latihan estimasi seperti ini dapat meningkatkan kepekaan siswa dalam pendekatan mencari hasil bagi dan sisa. Contoh 2.5 Di dalam melaksanakan pembagian, misalnya 8480 dibagi 24, maka menurut cara pembagian biasa (cara pistol), dilakukan sebagai berikut:



353 24 8490 72 129



8490 8472  18 8472 18    24 24 24 24 18 18  353   353 24 24



120 90 72 18 Sehingga 8490 dapat dinyatakan sebagai: 8490 = 24  353 + 18 hasil bagi = 353 Sisa = 18. Jika digunakan kalkulator, maka pembagian 8490 dengan 24 menghasilkan 353,75, berarti: 18 = 0,75. 24 18 = 0,75  24.



2.10



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan fakta ini dapat ditentukan bahwa sisa pembagian (dengan kalkulator) dapat diperoleh dari perkalian bagian di belakang koma dengan pembaginya, misalnya: 8956: 40 = 223,9 Hasil bagi = 223 Sisa = 0,9  40 = 36 8956 = 223  40 + 36 Contoh 2.6 FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari dua bilangan bulat positif biasanya dicari dengan menggunakan pemfaktoran prima. Misalnya FPB dari 1800 dan 540 dicari sebagai berikut: 1800 = 23.32.53 540 = 22.33.5 FPB dari 180 dan 540 adalah 22.32.5 = 180. Dengan menggunakan cara Euclides (tidak dibahas dalam buku ini), FPB 1800 dan 540 dicari sebagai berikut: 1800 = 3.540 + 180 540 = 3.180 FPB dari 1800 dan 540 adalah 180. Dengan cara serupa, FPB dari 222 dan 105 dicari sebagai berikut: 1) 222 = 2.111 = 2.3.37 105 = 3.35 = 3.5.7 FPB dari 222 dan 105 adalah 3 2) 222 = 2.105 + 12 105 = 5.12 + 9 12 = 1.9 + 3 9 = 3.3 FPB dari 222 dan 105 adalah 3. Dengan menggunakan kalkulator, cara 2) dapat dilakukan sebagai berikut.



2.11



 PDGK4406/MODUL 2



222: 105 = 2,1142857 – 2 = 0,1142857  105 = 12. 105: 12 = 8,75 – 8 = 0,75  12 = 9. 12: 9 = 1,333 …. – 1 = 0,333 …  9 = 3. FPB dari 222 dan 105 adalah 3. Contoh 2.7 Perhatikan bahwa: 5: 9 = 0,5555 … 7: 11= 0,6363 … Dengan cara yang sudah biasa digunakan, bilangan desimal 0,5555 … dan 0,6363 … dapat diubah menjadi bilangan pecahan dengan cara sebagai berikut. X = 0,5555 … 10X = 5,5555 … -9X = -5 X = 5/9



Y = 0,6363 … 100Y = 63,6363 -99Y = -63 63 7 Y =  . 99 11



Dengan menggunakan kalkulator, bilangan desimal 0,5555 … dan 0,6363 … dapat diubah menjadi bilangan pecahan, dengan pembilang dan penyebut dicari sebagai berikut. a. 0  9 = 0 0  9 + 5 = 0 + 5 = 5 (pembilang) Penyebutnya adalah 9. b.



0  99 = 0 0  99 + 63 = 0 + 63 = 63 (pembilang) Penyebutnya adalah 99.



Dapatkah anda menjelaskan aturannya? Untuk lebih memperjelas, perhatikan tiga peragaan berikut: a. 2,83333 …… = 2,83 28  9 = 252 252 + 3 = 255 (pembilang) Penyebutnya adalah: 9  10 = 9.



2.12



Pembelajaran Matematika SD 



b.



7,41666 …… = 7,416 741  9 = 6669 6669 + 6 = 6675 (pembilang) Penyebutnya adalah 9  100 = 900.



c.



4,203232 …… = 4,2032 420  99 = 41580 41580 + 32 = 41612 (pembilang) Penyebutnya adalah: 99  100 = 9900.



6.



Komputer Perkembangan dan kemajuan teknologi komputer saat ini benar-benar dramatis dan menakjubkan. Komputerisasi berbagai bidang kegiatan sudah menjadi bagian yang tak terelakkan dan diperlukan untuk mempercepat proses penyelesaian pekerjaan secara lebih akurat dan lebih berkualitas. Produksi komputer menjadi lebih beragam, yaitu dari segi kemampuan, ukuran, dan harga, sehingga lebih menarik bagi masyarakat pengguna untuk memanfaatkan komputer sesuai dengan keperluan dan keuangan yang tersedia. Sebagai alat bantu mengajar, komputer juga diperlukan untuk pendidikan matematika. Pembelajaran yang dibantu komputer disebut pembelajaran berbantuan komputer (computer assisted instruction). Bahkan komputer dalam pembelajaran matematika dikembangkan dengan memanfaatkan program-program komputer yang siap pakai dalam bentuk perangkat lunak (software), atau program-program komputer yang dirancang dan dibuat oleh guru matematika. Perangkat lunak dalam Pembelajaran Matematika Berbantuan Komputer (PMBK) dapat berupa paket-paket matematis atau paket-paket pembelajaran matematika. Paket-paket matematika (misalnya MAT LAB, MAT CAD, DERIVE, MATHEMATICA, MAPLE) memuat topik-topik penyelesaian persoalan matematika (misalnya polinomial, grafik fungsi, pendiferensialan, pengintegralan, grafik dimensi tiga, matriks dan permasalahannya), sehingga dapat dimanfaatkan oleh guru untuk memberikan penegasan kepada murid dalam penghitungan, penampilan hasil, pengecekan hasil, pengamatan pola, dan pembuatan grafik. Siswa juga dapat diberi pengalaman untuk banyak berinteraksi dengan komputer, yaitu menentukan, memilih, dan mencoba sendiri besaran/ ukuran/data yang diperlukan sebagai masukan.



 PDGK4406/MODUL 2



2.13



Paket-paket pembelajaran matematika, dalam bentuk perangkat lunak yang siap pakai maupun yang dibuat oleh guru, dapat berupa model tutorial, model latihan dan praktik (drill & practice), atau model simulasi. a.



Model tutorial Model tutorial PMBK adalah model pembelajaran berupa uraian atau penjelasan topik-topik tertentu yang dapat dilengkapi dengan contoh dan latihan soal. Tahap awal dari model ini dapat berupa tes mandiri, atau berupa menu pilihan. Jika berupa tes mandiri, maka hasil tes mandiri menentukan posisi awal untuk dipelajari. Tahap berikutnya berupa bacaan, yaitu uraian dan contoh, yang dipaparkan dengan bahasa yang mudah dipahami, dengan gambar, warna dan ukuran yang menarik, dan dengan animasi yang hidup dan dinamis. Tahap akhir berupa latihan soal yang dikerjakan secara mandiri dan penampilan skor hasil latihan. Dalam bentuk linear (tak bercabang), pilihan menu atau tes tidak ada, artinya secara berurutan dipaparkan penjelasan/uraian, contoh, dan latihan soal secara langsung dan berurutan. Guru matematika yang menguasai bahasa pemrograman (misalnya BASIC, PASCAL, atau C) dapat mengembangkan sendiri model pembelajaran tutorial. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam membuat program PMBK adalah interaktif, komunikatif, mudah dioperasikan, paduan warna serasi, animasi menarik, ukuran huruf dan bentuk tayangan tertata dengan baik, menyediakan proses tunggu waktu, dan semua salah tekan dapat teratasi dengan sebaik-baiknya. Program ini dapat memuat tugas-tugas yang memerlukan jawaban yang ditulis pada lembar kerja siswa. b.



Model latihan dan praktik (drill & practice) Model latihan dan praktik PMBK adalah model pembelajaran berupa latihan mengerjakan soal-soal. Tujuan dari latihan ini adalah untuk lebih memantapkan pemahaman konsep, dan lebih terampil dalam menyelesaikan beragam soal. Siswa-siswa yang menjalankan program ini akan memperoleh balikan tentang tingkat penguasaan mereka, dan mereka dapat mengulanginya sampai mereka benar-benar merasa lebih menguasai dan memahami bahan/materi/topik matematika yang dipelajari.



2.14



Pembelajaran Matematika SD 



c.



Model simulasi (demonstrasi) Model simulasi adalah model pembelajaran untuk memperagakan hal-hal yang sulit dilakukan karena mempunyai risiko besar (berbahaya, sangat mahal, langka). Di dalam PMBK, model simulasi digunakan untuk menunjukkan atau menampilkan proses, terutama hubungan tingkah laku grafik fungsi karena perbedaan besaran-besaran tertentu (grafik ax + by = c) untuk nilai-nilai a dan b yang berbeda; menampilkan gambar bangun-bangun geometri ruang dengan bidang-bidang irisan serta garis-garis tertentu; menampilkan transformasi dan simetri bangun-bangun geometri. Dengan model simulasi ini, bahwa yang sulit abstrak dapat diperagakan menjadi teramati (observable) sehingga menjadi lebih mudah untuk dipahami. 7.



Media Tayangan Media tayangan adalah media yang mampu menayangkan program pembelajaran pada layar sehingga bisa diikuti oleh banyak orang peserta belajar. Media ini dapat OHP (Over Head Projector), LCD projector, film (untuk motion picture dan still picture), audio-video, dan televisi. Dengan memanfaatkan plastik transparansi, OHP secara efektif dapat digunakan untuk mempresentasikan uraian, penjelasan, atau laporan. Dengan kombinasi bentuk tulisan, warna, dan gambar, tayangan pembelajaran matematika dengan OHP menjadi lebih menarik dan terpusat. Perkembangan teknologi foto copy yang mampu meng-copy gambar dan tulisan pada plastik transparansi, tayangan OHP dapat dikembangkan menjadi lebih baik dan lebih komunikatif. Meskipun penggunaan film (dan film strip) sudah diganti dengan teknologi yang lebih mudah dioperasikan (misalnya VCD dan DVD), film (dan film strip) pernah menjadi media tayangan yang mampu menarik perhatian dan mengajak pemirsa lebih antusias dan menikmati pembelajaran yang diberikan. Hal serupa dapat dilakukan dengan menggunakan media pembelajaran VCD/DVD, dan televisi. Peragaan dari suatu proses penyelesaian matematika menjadi lebih mudah dipahami, apalagi jika digabung dengan gerak, musik, nyanyian, dan permainan.



 PDGK4406/MODUL 2



2.15



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskan fungsi utama media dalam pembelajaran matematika! 2) Sebutkan pengelompokan media dalam pembelajaran matematika! 3) Sebutkan keuntungan penggunaan media dalam pembelajaran matematika! 4) Sebutkan beberapa jenis media elektronik! 5) Sebutkan sasaran penggunaan kalkulator dalam pembelajaran matematika! 6) Sebutkan model-model pembelajaran matematika berbantuan komputer! 7) Carilah perangkat-perangkat lunak yang terkait dengan pembelajaran matematika. Berdasarkan buku petunjuk yang tersedia, jalankan program-program itu, dan ceritakan apa saja pengerjaan matematika yang Anda lakukan! Petunjuk Jawaban Latihan 1) Mempresentasikan dan/atau menjelaskan bahan pelajaran. 2) Cetak dan non-cetak, sederhana dan modern/elektronik, proyeksi dan non-proyeksi. 3) Matematika bagi siswa, mudah dipahami, tahan lama dalam ingatan, bisa diulang sesuai keperluan, lebih banyak orang atau siswa yang terlibat, efektif. 4) VCD, DVD, film, film strip, TV, radio, internet, komputer, kalkulator. 5) Alat bantu berhitung, alat bantu meningkatkan pemahaman konsep, alat bantu memecahkan masalah. 6) Tutorial (linear dan/atau bercabang), praktik dan latihan (drill & practice), simulasi, demonstrasi, penggunaan paket. 7) MATLAB, DERIVE, MINITAB, MATCAD, MATHEMATICA, MAPLE (grafik, diferensial, integral, matriks)



2.16



Pembelajaran Matematika SD 



R A NG KU M AN



Dalam Kegiatan Belajar 1 ini Anda telah mempelajari berbagai media dalam pembelajaran matematika dan penggunaannya untuk mempresentasikan (tayangan, suara, gambar) atau menjelaskan materi pembelajaran dengan cara yang lebih menarik. Banyak macam media pembelajaran, tetapi guru perlu memilih media yang sesuai berdasarkan karakteristik audiens/siswa, karakteristik materi/bahan matematika, ketersediaan media, biaya yang tersedia, serta kemampuan mengoperasikan alat (termasuk ketersediaan operator). Keterbatasan-keterbatasan dalam memilih sesuai kriteria perlu diperhatikan sehingga tidak ada usaha untuk memaksakan keinginan yang pada akhirnya juga akan merugikan banyak hal dan banyak pihak (waktu, biaya, tenaga). Perlu juga diperhatikan bahwa masing-masing media tentu mempunyai dampak negatif di samping dampak positif, sehingga pertimbangan dalam penggunaan media menjadi lebih mendalam. Mengingat perkembangan teknologi komunikasi dan informasi akhir-akhir ini sangat mempesona (HP di mana-mana, internet/warnet tersebar semakin banyak), maka guru perlu mempertimbangkan masakmasak untuk melangkah mengikuti kecenderungan baru dalam menggunakan media elektronik, terutama komputer dan kelengkapannya (internet, LCD, laptop, teleconferencing, Power Point). TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dari pernyataan-pernyataan: 1. Modul termasuk media cetak. 2. OHT (OHP) termasuk media proyektor. 3. LCD termasuk media proyeksi. yang benar adalah …. A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3



2.17



 PDGK4406/MODUL 2



2) Kriteria utama dalam memilih media adalah: 1. Sesuai dengan materi yang akan diajarkan. 2. Harganya mahal. 3. Ketersediaan alat. Pernyataan yang benar adalah …. A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3



2 4 6 14 , , , dan . 49 7 14 21 Bilangan-bilangan desimal yang diperoleh adalah sama, yaitu …. A. 0.2851742 B. 0.2857142 C. 0.2857124 D. 0.2581742



3) Ambil suatu kalkulator, carilah:



4) Dari hasil nomor 3 dapat ditentukan bahwa …. m tm A. = n tn 1 m B. = m n n m C. = mn n m D. = mn n 5) Dengan menggunakan kalkulator, carilah:



3 6 7 , , dan . Banyaknya 4 25 50



angka di belakang titik adalah …. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6) Dengan menggunakan kalkulator, sisa pembagian 3578 dibagi 32 adalah …. A. 111 B. 23



2.18



Pembelajaran Matematika SD 



C. 62 D. 32 7) Dengan menggunakan kalkulator, FPB dari 182 dan 325 adalah …. A. 11 B. 12 C. 13 D. 15 8) Nilai pecahan dari 0,323232 … adalah …. A. 32/100 B. 32/99 C. 32 D. 99 9) Nilai pecahan dari 5,7323232 … adalah …. A. 5643/99 B. 5643/90 C. 5675/900 D. 5675/990 10) Nilai pecahan 7,45141414 … mempunyai pembilang …. A. 77369 B. 73769 C. 76379 D. 73976 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 PDGK4406/MODUL 2



2.19



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.20



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 2



Bahan Manipulatif dalam Pembelajaran Matematika SD



D



alam pembelajaran matematika SD, agar bahan pelajaran yang diberikan lebih mudah dipahami oleh siswa, diperlukan bahan-bahan yang perlu disiapkan guru, dari barang-barang yang harganya relatif murah dan mudah diperoleh, misalnya dari karton, kertas, kayu, kawat, kain, untuk menanamkan konsep matematika tertentu sesuai dengan keperluan. Bahan-bahan itu dapat dipegang, dipindah-pindah, dipasang, dibolakbalik, diatur/ditata, dilipat/dipotong oleh siswa sehingga dapat disebut sebagai bahan manipulatif, yaitu bahan yang dapat “dimain-mainkan” dengan tangan. Bahan ini berfungsi untuk menyederhanakan konsep yang sulit/sukar, menyajikan bahan yang relatif abstrak menjadi lebih nyata, menjelaskan pengertian atau konsep secara lebih konkret, menjelaskan sifat-sifat tertentu yang terkait dengan pengerjaan (operasi) hitung dan sifat-sifat bangun geometri, serta memperlihatkan fakta-fakta. Dengan semakin banyaknya kesempatan dan keleluasaan guru dalam melaksanakan proses belajar mengajar, agar siswa benar-benar menguasai kompetensi yang dituntut, maka guru dapat berkreasi secara dinamis, tanpa harus menunggu pemberian orang lain atau “dropping” dari atas, untuk mampu menyiapkan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD. Bahan-bahan ini tidak harus mahal, atau dapat menjadi murah, karena dibuat dari barang bekas/buangan/tak terpakai, misalnya dari berbagai karton bungkus makanan, bungkus berbagai rokok, plastik-plastik bekas dan potongan-potongan kayu tak terpakai. 1.



Bahan Manipulatif dari Kertas Bahan kertas ini mudah diperoleh, dengan warna yang beragam, dari kertas manila yang dibeli dari toko, atau dari bekas berbagai sampul tak terpakai (buku, map), dari macam-macam bungkus rokok yang berwarnawarni, dari karton pembungkus makanan/minuman. Manfaat dari bahan manipulatif kertas/karton ini antara lain adalah:



2.21



 PDGK4406/MODUL 2



a.



Untuk menjelaskan pecahan (konsep, sama/senilai, operasi) Konsep pecahan m/n sebagai m bagian dari n bagian yang sama, dapat didemonstrasikan guru, atau dipraktikkan siswa, dengan menggunakan berbagai bangun geometri, misalnya persegi, persegi panjang, jajargenjang, belah ketupat, segitiga, lingkaran.



Gambar 2.1



1 ditunjukkan dengan satu bagian dari empat bagian yang sama. 4



Gambar 2.2



2 ditunjukkan dengan dua bagian dari tiga bagian yang sama. 3 Pecahan-pecahan senilai juga dapat ditunjukkan dengan potongan kertas memanjang atau potongan kertas dalam bangun-bangun geometris, misalnya, dengan menggunakan potongan kertas memanjang, dapat ditunjukkan pecahan-pecahan senilai, misalnya:



2 3 4 1 2   dan  4 6 8 3 6



2.22



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan menggunakan pola, dapat dikembangkan bentuk-bentuk pecahan senilai, yaitu:



a ap  b bp perkalian pecahan dapat ditunjukkan dengan berbagai cara sebagai berikut. 2/3



2/3



1



2/3



1



4 4



2/3



1



2 2 2 . 3 3



2 dapat juga ditunjukkan menggunakan luas daerah sebagai berikut. 3



1



1



1 satuan = 3 bagian bertitik. 2 4  = 8 bagian bertitik. 3



1



1



2.23



 PDGK4406/MODUL 2



2 8  . 3 3 Pada akhirnya, dengan berbagai kasus, dapat diketahui bahwa: 4



a



b ab  c c



Selanjutnya, perkalian



2 1  dapat dilakukan dengan menggunakan luas 3 4



daerah sebagai berikut:



2 3



1 4 1 2 2   4 3 12 Dengan menggunakan makna:



2:



1  ... 2



sebagai mencari banyaknya perpaduan dalam 2, maka dapat ditentukan 1 bahwa 2 :  4 . 2 1 1/2



1 1/2



Terdapat empat duaan dalam 2. Jadi: 2 :



1 4. 2



1/2



1/2



2.24



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan menggunakan makna



2 1 :  ... 3 2 sebagai mencari banyaknya perduaan dalam bahwa :



2 , maka dapat ditentukan 3



2 1 1 : 1 3 2 3



2 1 1 : menghasilkan perduaan sebanyak 1 dan lebihnya . 3 2 3 Jadi:



2 1 1 : 1 . 3 2 3



Dalam perkembangan kognitif Piaget, konservasi luas merupakan tahapan perkembangan kognitif yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika SD. Jika suatu bangun datar dipotong-potong dan disusun menjadi bangun-bangun lain yang berbeda, maka luas dari bangun-bangun itu sama meskipun bentuknya berubah. Misalnya, jika bangun jajaran genjang ABCD mempunyai luas L, lihat Gambar 2.3A dan 2.3B, kemudian dipotong pada tepi-tepi sisi AB, BC, CD, dan DA, serta pada diagonal BD, maka akan diperoleh dua potong bangun segitiga. Dua bangun segitiga ini dapat disusun menjadi bangun-bangun lain, sesuai dengan kreativitas masing-masing penyusun, antara lain akan diperoleh bangun-bangun seperti di bawah, yang mana luas setiap bangun sama (tetap, tidak berubah) yaitu sama dengan L.



2.25



 PDGK4406/MODUL 2



Gambar 2.3



Gambar 2.4.



Model penyusunan potongan-potongan kertas (karton) seperti di atas dapat membangun kreativitas, dan memantapkan konservasi luas, dan pada akhirnya dapat digunakan untuk menjelaskan konsep matematika. Model lain yang terkenal disebut tangram, antara lain meliputi tangram 3, tangram 5, dan tangram 7.



2.26



Pembelajaran Matematika SD 



Tangram 3



Tangram 5



Tangram 7



Dengan banyak latihan tentang konservasi luas, para siswa menjadi siap untuk menggunakannya dalam pembahasan tentang topik-topik matematika yang sesuai, misalnya penentuan luas bangun jajar genjang dan trapesium, serta penentuan hubungan Teorema Pythagoras dalam segitiga siku-siku, luas jajar genjang dijelaskan sebagai berikut:



 PDGK4406/MODUL 2



Luas trapesium dijelaskan seperti di bawah



Teorema Pythagoras dijelaskan sebagai berikut:



Luas I = Luas II 1  1  c2 + 4  ab  = a2 + b2 + 4  ab  2  2  c2 = a 2 + b 2



2.27



2.28



Pembelajaran Matematika SD 



L1 + L2 + L3 = b2 L4 + L5 = a2 L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = c2 c2 = a 2 + b 2



L1 + L2 + L3 + L4 = b2 L5 = a2 L1 + L2 + L3 + L4 + L5 = c2 c2 = a 2 + b 2



Jaring bangun-bangun ruang tertentu dapat ditunjukkan dengan kertas/karton, dan sebaliknya bangun-bangun ruang itu dapat dibangun dari jaringnya (jaring atau rebahan). Bangun-bangun itu antara lain kubus, balok, parallepipidum, tetrahedron, oktahedron, ikosahedron, dan dodekahedron. Bangun-bangun tersebut merupakan bangun-bangun yang konveks, yaitu bangun-bangun ruang yang perpanjangan rusuknya, atau perluasan bidangnya tidak memotong dirinya sendiri, dengan menampilkan secara fisik modelmodel bangun ruang konveks, siswa mempunyai kesempatan untuk “mempraktekkan” berlakunya Teorema Euler, yaitu: B+T=R+2 B = banyaknya bidang datar (face) T = banyaknya titik (vertex) R = banyaknya sisi (edge) Tetrahedron/Piramid



Kubus



Oktahedron



Ikosahedron



 PDGK4406/MODUL 2



2.29



Dodekahedron



Dari model-model bangun ruang tersebut dapat ditentukan lebih lanjut bahwa untuk: s = banyaknya sisi dari setiap bidang. b = banyaknya bidang dari setiap titik. Terdapat hubungan: bT = 2R sB = 2R sehingga:



2.



T R B   b 1 1 s 2 s



Model Stik (lidi: dari rangka daun kelapa, dari bambu, atau dari plastik) Model ini dapat dipakai untuk menjelaskan konsep satuan, puluhan, dan ratusan untuk siswa-siswa SD kelas rendah. Lidi-lidi tersebut dalam bentuk lepas (sebagai satuan), bentuk ikatan (dengan tali/karet) sepuluhan, dan bentuk ikatan dari ikatan sepuluhan (dan disebut seratusan). Model-model stik ini dapat digunakan untuk menjelaskan konsep numeral (lambang bilangan), kesamaan bilangan, operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian) bilangan bulat, misalnya : 234 = 2 ratusan + 3 puluhan + 4 satuan = 2 ikatan ratusan + 3 ikatan puluhan + 4 lepas 35 = 30 + 5 = 20 + 15 = 10 + 25 = 23 + 12 = 18 + 17 = 9 + 26 36 = 6 + 6 + 6 = 18 5  10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 2  100 = 100 + 100 = 200 46 – 23 = (40 + 6) – (20+3) = (40 – 20) + (6 – 3) = 20 + 3 = 23 35 – 19 = (30 + 5) – (10 + 9) = (20 + 10 + 5) – (10 + 9) = (20 – 10) + (10 + 5 – 9) = 10 + 6 = 16.



2.30



Pembelajaran Matematika SD 



3.



Model persegi dan strip dari kayu/tripleks Model ini terdiri dari potongan-potongan persegi kayu/tripleks, stripstrip sepanjang sepuluh persegi, dan daerah seluas sepuluh strip. Kegunaan model persegi dan strip serupa dengan kegunaan model stik, yaitu untuk menjelaskan konsep numeral, kesamaan bilangan, dan operasi bilangan bulat. Bahan kayu/tripleks dapat diganti dengan karton yang relatif tebal. 4.



Model kertas bertitik/berpetak Kertas bertitik dapat bersifat persegi atau bersifat isometrik. Model ini dapat digunakan untuk menjelaskan banyak hal yang terkait dengan geometri (bangun datar dan sifat-sifatnya, hubungan antar bangun datar, dan luas bangun datar). Berbagai posisi datar, tegak, miring bangun datar (segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium) dapat diperagakan dengan model kertas bertitik (pengerjaannya menggunakan pensil sehingga bisa dihapus). Dengan perkembangan ketersediaan bahan saat ini, kertas bertitik/berpetak ini dapat dibuat menggunakan white board (dengan titik/petak menggunakan spidol permanen), dan pengerjaannya dengan spidol white board yang dapat dihapus. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskan pengertian bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika! 2) Apa fungsi utama dari bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika? 3) Sebutkan model-model matematika yang merupakan bahan manipulatif matematika! 4) Jelaskan perbedaan utama antara media dan bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika! 5) Ada berapa cara menyusun dua segitiga ini menurut cara yang berbeda?



 PDGK4406/MODUL 2



2.31



6) Dari bangun trapesium ini, dipotong di tengah-tengah. Pindahan potongan atas ke tempat yang sesuai, sehingga terbentuk bangun datar tertentu. Bangun datar apa yang diperoleh? Jika luas bangun datar itu sudah diketahui aturannya, maka sebutkan luas trapesium yang diperoleh!



7) Sebutkan 2 jaring kubus, dan 1 jaring yang bukan jaring kubus! 3 2 8) Sebutkan satu cara mencari  ! 4 3 Petunjuk Jawaban Latihan 1) Bahan manipulatif adalah bahan yang dapat dimanipulasikan dengan tangan, diputar, yaitu dipegang, dibalik, dipindah, diatur/ditata, diputar, atau dipotong-potong. 2) Fungsi utama bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika adalah untuk menjelaskan konsep, menunjukkan operasi matematika, mengembangkan pola, dan menunjukkan kesamaan (nilai, luas) 3) Model potongan-potongan kertas/karton, model stik, model papan bertitik/berpetak, model strip dan persegi. 4) Media merupakan alat bantu pembelajaran yang digunakan guru untuk menyampaikan materi pembelajaran, antara lain media cetak dan noncetak, tetapi terkait langsung sebagai bagian dari konsep yang disampaikan. Bahan manipulatif adalah alat bantu pembelajaran yang terkait langsung dan merupakan bagian dari penjelasan konsep uraian-uraian materi yang disampaikan.



2.32



Pembelajaran Matematika SD 



5) Ada 6 cara menyusun, yaitu:



6)



Bangun datar yang berbentuk adalah jajar-genjang. 1 Luas jajar genjang = alas  t 2 1 = (a + b)  t 2 1 Luas trapesium = (a + b)  t. 2 7)



 PDGK4406/MODUL 2



2.33



8)



R A NG KU M AN



Dalam kegiatan belajar dua ini Anda telah mempelajari berbagai jenis bahan manipulatif yang dapat digunakan untuk menanamkan konsep matematika, atau untuk mengidentifikasi pengamatan. Bahanbahan yang dipaparkan terbatas, tetapi sesungguhnya guru dapat berkreasi untuk mampu menciptakan bahan manipulatif yang sesuai untuk mengajarkan topik tertentu, dan tersedia bahan-bahannya, atau mudah dicari di lingkungan sekitar. Bahan manipulatif pada hakikatnya membantu guru mengajar sehingga siswa mudah menerima konsep matematika yang diberikan suatu topik matematika bisa jadi dapat dibantu oleh dua macam atau lebih bahan manipulatif yang semuanya cocok, sehingga dalam hal ini guru dapat memilih bahan manipulatif yang tersedia. Barang atau benda yang dapat dibuat untuk bahan manipulatif dapat berupa kertas, karton, plastik, kayu, lidi, papan, atau bahkan bahanbahan yang “sudah jadi”, misalnya bola tenis (bekas) atau bola plastik, kemasan plastik bola tenis (untuk model tabung/silinder), berbagai macam “kotak” kertas/karton (untuk model kubus dan balok, atau “mainan” plastik yang tersedia dan berupa bangun geometri ruang.



2.34



Pembelajaran Matematika SD 



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Bahan manipulatif sebaiknya dipilih guru karena .... A. mahal B. berbahaya C. sulit dicari D. sulit digunakan E. sesuai dengan materi 2) Bahan manipulatif diperlukan. kecuali untuk .... A. menanamkan konsep B. bahan pengamatan C. melihat fakta D. bahan permainan E. bahan penyelidikan 3) Konsep satuan, puluhan, dan ratusan dijelaskan dengan bahan manipulatif tertentu, kecuali model .... A. papan bertitik B. abakus C. potongan blok kayu D. stik dan ikatan E. strip dan persegi 4) Bangunan datar dan sifat-sifatnya dapat dijelaskan menggunakan bahan manipulatif. 1. papan bertitik 2. papan berpetak 3. papan berpaku Pernyataan yang benar adalah .... A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3 E. tidak ada



 PDGK4406/MODUL 2



5) Peragaan ini menunjukkan ....



A. B. C. D. E.



2 1  3 4 1 2 : 4 3 2 1 : 3 4 2 1  3 4 2 1  3 4



6) Dari pernyataan-pernyataan: 1. Banyaknya bidang pada kubus adalah 8. 2. Banyaknya titik pada limas segitiga adalah 3. 3. Banyaknya rusuk pada balok adalah 12. yang benar adalah .... A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3 E. tidak ada 7) Banyaknya bidang setiap titik pada tetrahedron adalah .... A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7



2.35



2.36



Pembelajaran Matematika SD 



8) Banyaknya rusuk setiap bidang pada oktahedron adalah .... A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2 9) Pada bangun parallepipidum, B + T = .... A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 E. 16 10) Dengan konservasi luas dapat ditunjukkan rumus luas dari: 1. segitiga 2. lingkaran 3. trapesium pernyataan yang benar adalah .... A. 1 dan 2 B. 1 dan 3 C. 2 dan 3 D. 1, 2, dan 3 E. tidak ada Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 PDGK4406/MODUL 2



2.37



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



2.38



Pembelajaran Matematika SD 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) E 2) D 3) A 4) D 5) C 6) B 7) A 8) D 9) E 10) B



Tes Formatif 2 1) E 2) D 3) A 4) D 5) C 6) B 7) A 8) D 9) E 10) B



 PDGK4406/MODUL 2



2.39



Daftar Pustaka NCTM. (1996). Profesional Standarts For Teaching Mathematic. Reston: NCTM. Posamentier, A., & Stempelman, J. (1986). Teaching Secondary School Mathematics. Columbus: Charles E. Merrill. Van de Walle, J. A. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Longman. Wadsworth, B.J. (1984). Piaget’s Theory of Cognitive and Affective Developmen. New York: Longman.



Modul 3



Bilangan Bulat Drs. Elang Krisnadi



PEN D A HU L UA N



D



alam modul yang pertama ini akan dibahas kajian materi tentang bilangan bulat di Sekolah Dasar (SD) mulai dari bagaimana menanamkan adanya bilangan bulat, pengertian bilangan bulat, operasi hitung bilangan bulat, sifat-sifat bilangan bulat untuk operasi hitung penjumlahan dan pengurangan, strategi penyampaian materi kepada siswa dengan menggunakan media dan pendekatan yang sesuai, ragam permasalahan yang dihadapi guru dan siswa dalam proses pembelajaran di kelas, serta tambahan materi matematika (sebagai pengayaan) yang sangat berguna bagi Anda untuk memperluas atau memperkuat bekal pengetahuan matematika yang telah Anda miliki. Dari segi materi tentunya Anda tidak mengalami kesulitan yang berarti untuk mempelajarinya, karena istilah-istilah yang ada dalam materi bilangan bulat sudah Anda kenal sebelumnya dan ini dapat Anda jadikan sebagai bekal pengalaman untuk mengikuti perkuliahan yang disajikan melalui modul ini. Kalau Anda perhatikan buku-buku yang ada di sekolah dasar atau yang beredar di kalangan sekolah dasar (sebagian besar), sebenarnya cukup banyak disampaikan topik bilangan bulat yang ilustrasi dan penyampaiannya kurang tepat, dan terlalu abstrak. Padahal dalam usia sekolah dasar proses abstraksi siswa masih perlu dibantu dengan media lain. Hampir semua buku tidak menjelaskan kenapa harus ada bilangan negatif dan bagaimana proses penentuan bilangan negatifnya. Kemudian tidak dipergunakannya media tertentu yang dapat memperlihatkan hasil operasi hitung secara realistik. Penggunaan garis bilangan yang diperagakan dalam buku-buku tersebut selalu orientasi pada ujung anak panah dalam menunjukkan hasil operasinya. Sebenarnya hal tersebut tidak salah, tetapi jika orientasinya selalu seperti ini maka dapat dipastikan bahwa guru akan mengalami kesulitan dalam menyampaikan operasi hitung bilangan bulat yang berbentuk a-(-b).



3.2



Pembelajaran Matematika SD 



Dalam Modul 3 ini akan dibahas tentang bilangan bulat yang uraian materinya dimulai dengan membahas atau menjelaskan bagaimana menyampaikan pengertian dan adanya bilangan bulat (perluasan bilangan bulat) dengan pendekatan atau cara yang tepat, penggunaan alat peraga (balok garis bilangan dan manik-manik) untuk menjelaskan proses menentukan hasil operasi bilangan bulat secara konkret, serta dilanjutkan dengan membahas operasi hitung bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan (dalam rangka menyampaikan konsep secara semi abstrak), kemudian membahas tentang sifat-sifat operasi hitungnya dan ragam permasalahannya, serta beberapa materi tambahan yang bersifat matematis sebagai pengayaan. Saudara, setelah mempelajari Modul 3 ini diharapkan Anda akan mampu: 1. menjelaskan cara menanamkan pengertian bilangan bulat secara tepat; 2. memilih suatu media atau alat peraga yang sesuai dengan tahap pengenalan konsep; 3. menggunakan media atau peragaan yang tepat untuk menyampaikan konsep-konsep operasi hitung pada pembelajaran bilangan bulat; 4. melakukan abstraksi terhadap konsep-konsep bilangan bulat; 5. menentukan sifat-sifat dasar operasi hitung bilangan bulat; 6. melakukan proses pembelajaran bilangan bulat yang sesuai tahap perkembangan mental berpikir anak dengan strategi yang tepat; 7. mengatasi kesulitan-kesulitan yang mungkin dialami siswa dalam pembelajaran bilangan bulat; 8. menjelaskan pengertian persamaan dan pertidaksamaan dengan satu peubah; 9. menggunakan media yang tepat untuk menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan dengan satu peubah; 10. menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan dengan satu peubah yang merupakan himpunan bilangan bulat. Kemampuan-kemampuan di atas akan sangat berguna bagi Anda dalam melaksanakan tugas di lapangan, baik sebagai guru kelas, pengawas, pimpinan sekolah, dan pejabat di bidang pendidikan dasar yang penuh perhatian dalam usaha meningkatkan mutu pendidikan di sekolah dasar. Untuk membantu Anda menguasai kemampuan-kemampuan di atas, materinya disajikan ke dalam dua kegiatan belajar sebagai berikut.



 PDGK4406/MODUL 3



Kegiatan Belajar 1



Kegiatan Belajar 2



3.3



: Kegiatan Belajar 1 ini diberi judul Pembelajaran Materi Bilangan Bulat di SD serta Ragam Permasalahannya. Isinya membahas tentang cara menanamkan pengertian dan adanya bilangan bulat, operasi hitung bilangan bulat dengan beberapa pendekatan (konkret sampai abstrak), penggunaan media yang tepat pada bilangan bulat, sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat, serta ragam permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat. : Kegiatan Belajar 2 ini diberi judul Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat, serta Sistem Persamaan Linear. Isinya membahas tentang operasi hitung perkalian dan pembagian bilangan bulat dengan pendekatan-pendekatan yang sesuai taraf berpikir anak, penggunaan media yang tepat, sifat-sifat operasi hitung perkalian dan pembagian pada bilangan bulat, serta persamaan dan pertidaksamaan dengan satu peubah. Semua materi yang tersaji dalam Kegiatan Belajar 2 ini bersifat sebagai pengayaan.



Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari bahan yang pertama maupun bahan yang kedua, ikutilah petunjuk belajar berikut ini. 1. Bacalah setiap uraian dengan cermat, teliti, dan tertib sampai Anda memahami pesan, ide, dan makna yang disampaikan. 2. Lakukanlah diskusi dengan teman-teman sejawat dalam mengatasi bagian-bagian yang belum Anda pahami. 3. Kerjakan semua soal yang terdapat pada latihan dan tes formatif dengan disiplin tinggi. 4. Buatlah alat peraga sederhana seperti yang ada dalam panduan untuk mempraktekkan soal-soal yang ada di buku sekolah dasar agar Anda secara langsung merasakan kegunaan adanya alat peraga sehingga Anda tidak lagi mengalami kesulitan dalam mendemonstrasikan di dalam kelas. 5. Perbanyak pula membaca dan mengerjakan soal-soal dari sumber lainnya. 6. Jangan lupa, tanamkan dalam diri Anda bahwa Anda akan berhasil dan buktikanlah bahwa Anda memang berhasil.



3.4



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 1



Pembelajaran Materi Bilangan Bulat di SD serta Ragam Permasalahannya



U



raian dalam Kegiatan Belajar 1 ini diawali dengan membahas bagaimana menerapkan pengertian dan adanya bilangan bulat dengan pendekatan sebagai berikut. Pembahasan bilangan bulat (integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tentang bilangan asli (natural/Counting Numbers). Jadi sebelum membahas kajian bilangan bulatnya, akan disinggung terlebih dahulu tentang pembentuk bilangan bulat dari proses operasi hitung pada bilangan asli. Seperti kita ketahui bahwa bilangan asli seolah-olah terjadi dengan sendirinya atau secara alamiah. Masih ingatkah Anda pada waktu pertama kali mengenal bilangan, atau bagaimana kita memperkenalkan bilangan ini kepada anak kita. Tentunya kita sepakat bahwa salah satu caranya adalah dengan mempergunakan jari jemari anak tersebut dalam mengenalkan bilangan satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya. Jadi yang kita kenalkan ini sebenarnya adalah bilangan asli. Untuk Anda ketahui bahwa, dalam masa periode masyarakat yang bercocok tanam atau bertani secara tidak langsung mereka telah menggunakan bilangan asli untuk menghitung (menjumlahkan, mengurangkan, atau melakukan perkalian) terhadap hasil panen yang mereka dapatkan. Selanjutnya akan kita kaji proses pembentukan bilangan bulat dengan memperluas himpunan bilangan asli. Pada himpunan bilangan asli, kita dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal: 2 + 5 = 7. Kita ketahui bahwa 2 dan 5 merupakan bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan tersebut, yaitu 7 juga merupakan anggota dari himpunan bilangan asli. Jadi pada kalimat penjumlahan 2 + 5 = …., pelengkapnya adalah 7. Berarti pada setiap bilangan asli a dan b selalu ada bilangan asli c untuk melengkapi kalimat a + b = …… sehingga menjadi a + b = c. Jadi, kalimat-kalimat penjumlahan, 3 + 5 = … ; 4 + 3 = ….; 6 + 5 = …. selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli, yaitu 8, 7 dan 11, sehingga bentuk kalimat lengkapnya menjadi 3 + 5 = 8, 4 + 3 = 7, dan 6 + 5 = 11.



3.5



 PDGK4406/MODUL 3



Sekarang, perhatikanlah kalimat yang berbentuk “a + … = b”, dengan a dan b bilangan asli. Apakah kalimat tersebut selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli? Bagaimana menurut Anda? Ya, pendapat Anda benar sekali bahwa kalimat a + … = b tidak selalu dapat dilengkapi oleh bilangan asli. Misalkan untuk bentuk kalimat 6 + … = 4. Lalu dengan bilangan yang bagaimana kita dapat melengkapi kalimat tersebut agar menjadi kalimat yang benar. Sebagai solusinya, maka kita perlu memperluas himpunan semua bilangan asli agar jawaban dalam kalimat tersebut termuat dalam himpunan bilangan yang baru ini. Yang menjadi pertanyaannya sekarang adalah, bagaimana cara memperluas himpunan bilangan asli tersebut agar kita dapat melengkapi bentuk-bentuk kalimat seperti 6 + … = 4; 5 + … = 2; 7 + … = 5; dan sebagainya. Sekarang perhatikanlah kembali kalimat yang berbentuk a + … = b di atas. Jika a = 4 dan b = 9 (a < b), maka bentuk kalimat 4 + … = 9 pelengkapnya berupa bilangan asli 5, dan untuk mendapatkan bilangan 5 ini dapat diperoleh dengan mengubah kalimat 4 + … = 9 menjadi 9 – 4 dengan mengenalkan suatu operasi pengurangan (-) yang pelengkapnya juga 5, sehingga 4 + 5 = 9 sama artinya dengan 9 – 4 = 5. Lalu, bagaimanakah proses menentukan bentuk pelengkap dari a + … = b atau a – b = … jika a = 9 dan b = 4 ( a > b)? Tentunya pelengkap dari kalimat tersebut bukanlah merupakan bilangan asli. Bentuk kalimatkalimat seperti inilah yang akan memperluas himpunan semua bilangan asli. Tentunya Anda telah mengenal bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5… atau yang kita kenal sebagai bilangan cacah, dan jika disajikan ke dalam garis bilangan dapat Anda lihat pada Gambar 3.1 di bawah ini.



0



1



2



3



4



5



6



Gambar 3.1.



Pada garis bilangan di atas kalau kita melangkah maju dari 0 (nol) ke kanan sebanyak dua langkah, maka kita akan sampai pada bilangan 2 (lihat Gambar 3.2).



3.6



Pembelajaran Matematika SD 



0



1



2



3



4



5



6



Gambar 3.2.



Selanjutnya, kalau kita melangkah lagi maju dari bilangan 2 ini sebanyak 3 langkah ke kanan, maka kita akan sampai pada bilangan 5 (lihat Gambar 3.3). 0



1



2



3



4



5



6



Gambar 3.3.



Sekarang, kalau kita melangkah mundur dari bilangan 5 ke kiri sebanyak 4 langkah, maka kita akan sampai pada bilangan 1 (lihat Gambar 3.4).



0



1



2



3



4



5



6



Gambar 3.4.



Lalu bagaimana kalau kita melangkah mundur sebanyak 2 langkah dari bilangan 0 (nol). Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka garis bilangan harus diperpanjang ke kiri.



?



0



1



2



3



4



5



6



Gambar 3.5.



Catatan: Setiap ada tanda atau berarti anak panah yang berada di bawahnya bergerak mundur. Gerakan mundur ini kalau kita peragakan munculnya mulai dari ujung panah dan berakhirnya di pangkal panah.



3.7



 PDGK4406/MODUL 3



Kemudian kita harus melengkapi terlebih dahulu bilangan-bilangan di sebelah kiri 0 pada garis bilangan di atas, yaitu dengan kajian sebagai berikut.  Bila kita melangkah “maju” ke kanan 1 langkah maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat kita mulai di “tambah” 1. Contoh : Jika kita melangkah maju 1 langkah ke kanan dari bilangan 2, maka kita akan sampai pada bilangan 2 + 1 = 3.  Sebaliknya kalau kita melangkah “mundur” ke arah kiri 1 langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan bilangan tempat kita mulai “dikurangi” 1. Contoh : Jika kita melangkah mundur 1 langkah ke kiri dari bilangan 4, maka kita akan sampai pada bilangan 4 – 1 = 3. Jika Anda sudah paham dengan dua prinsip di atas, selanjutnya kita akan melengkapi garis bilangannya. 











Kalau kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 (selanjutnya skala 0) sebanyak 1 langkah, maka bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 1 (0 – 1). Kalau kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 2 langkah, maka bilangan yang di tuju sama dengan 0 dikurangi 2 (0 – 2).



Gambar 3.6.



Gambar 3.7.



Selanjutnya kalau kita melangkah mundur ke arah kiri dari bilangan 0 sebanyak 3 langkah, tentunya bilangan yang dituju sama dengan 0 dikurangi 3 (0 – 3). Gambar 3.8.



3.8



Pembelajaran Matematika SD 



Untuk memudahkan penulisan pada garis bilangannya berdasarkan kesepakatan para ahli matematika 0 – 1, 0 – 2, 0 – 3 dan seterusnya ditulis sebagai negatif 1, negatif 2, negatif 3 (ditulis -1, -2, -3, ...), dan seterusnya. Jadi, 0 – 1 = -1, 0 - 2 = -2, 0 – 3 = -3. dan seterusnya. Dengan demikian kita mendapatkan bilangan-bilangan baru dari perluasan bilangan asli, yaitu: -1, -2, -3, -4, -5…. sehingga bentuk garis bilangannya menjadi



Gambar 3.9.



Catatan :



Tanda panah di kedua garis bilangan di atas menunjukkan bahwa untuk ke arah kanan masih terdapat bilangan-bilangan positif lainnya ( 6, 7, 8,….) sedang untuk ke arah kirinya masih terdapat bilangan-bilangan -6, -7, -8, ...).



Jadi bilangan-bilangan yang terdapat pada garis bilangan pada Gambar 3.9 disebut sebagai himpunan bilangan bulat yang ditulis B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }.



1. 2. 3.



Berarti pada bilangan bulat terdiri dari: Bilangan-bilangan yang bertanda negatif (-1, -2, -3, -4,…) yang selanjutnya disebut bilangan bulat negatif. Bilangan 0 (nol), dan Bilangan-bilangan yang bertanda positif (1, 2, 3, 4,…) yang selanjutnya disebut bilangan bulat positif.



Jadi, dengan adanya himpunan bilangan bulat maka bentuk pelengkap dari kalimat-kalimat 6 + … = 4; 5 + … = 2; 7 + … = 5; dan 9 + … = 4 dapat ditentukan dengan cara atau langkah-langkah sebagai berikut: Bentuk 6 + … = 4 dapat ditulis sebagai 4 - 6 = … dan untuk mendapatkan hasil ini, dapat Anda lihat dalam peragaan berikut (Gambar 3.10).



Gambar 3.10.



 PDGK4406/MODUL 3



3.9



Keterangan: - Mula-mula dari skala 0 kita melangkah maju sebanyak 4 langkah sampai berhenti di skala 4 . Hal ini untuk menunjukkan bilangan positif 4. - Kemudian dari skala 4 tersebut kita melangkah mundur sebanyak 6 langkah sampai berhenti di skala -2 dengan ujung panah tetap mengarah ke bilangan positif (Mengapa?). - Jadi bilangan -2 inilah yang merupakan bentuk pelengkap dari kalimat 6 + … = 4, yaitu: 6 + (-2) = 4 atau 4 - 6 = -2. Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bentuk pelengkap dari kalimat-kalimat 5 + … = 2; 7 + … = 5; dan 9 + …= 4, yaitu -3, -2, dan –5. Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya Anda pernah mendengar pernyataan-pernyataan berikut: 1. hutang 50 rupiah; 2. enam derajat di bawah nol; 3. 150 meter di bawah permukaan laut; 4. mengalami kerugian sebesar Rp1.500,00; 5. turun harga sebesar Rp125,00. Sebenarnya pernyataan-pernyataan di atas merupakan bentuk aplikasi dari bilangan bulat negatif dalam kehidupan sehari-hari. Hutang 50 rupiah menyatakan -50; enam derajat di bawah nol menyatakan –6, 150 meter di bawah permukaan laut menyatakan -150, mengalami kerugian sebesar Rp.1.500,00 menyatakan -1500, dan turun harga sebesar Rp125,00; menyatakan -125. Jadi perluasan himpunan bilangan asli menjadi bilangan bulat bukan hanya sekedar memenuhi kebutuhan kalimat-kalimat yang berbentuk a + … = b, dengan a > b, melainkan untuk keperluan proses penghitungan yang lebih luas lagi dalam kehidupan nyata, seperti: untuk melakukan pembukuan, pemasaran, perdagangan, industri, dan iptek. Selain itu tumbuh pula untuk melakukan proses hutang piutang, maju-mundur, atas bawah seperti pernyataan-pernyataan di atas. Untuk Anda ketahui pula, bahwa menurut sejarah pengembangan bilangan negatif lebih lambat dibandingkan bilangan positif. Namun ada petunjuk bahwa bilangan negatif sudah di kenal oleh bangsa Cina pada tahun 200 SM, yaitu menandainya dengan tanda merah. Pada abad ke 7 Masehi,



3.10



Pembelajaran Matematika SD 



Hindu Brahmagupta telah mempunyai aturan dalam pengerjaan bilangan positif dan bilangan negatif. Untuk bilangan negatifnya ditandai dengan membubuhi lingkaran kecil atau noktah di atas angka yang dinegatifkan. Pada akhir abad ke 16 orang-orang Eropa mulai menyebutkan bilangan tertentu misalnya dengan penulisan 0 – 1. Pada tahun 1545, ahli matematika berkebangsaan Italia yang bernama Cardan (1501 – 1566), menjelaskan sifatsifat dasar bilangan negatif yaitu dengan menyebutkan bilangan positif dengan istilah bilangan yang sungguh-sungguh (true number), dan menyebutkan bilangan negatif dengan istilah bilangan yang fiktif (fictitious number). Setelah masa Cardan, bangsa Eropa dapat menerima kehadiran bilangan negatif, dan bilangan inilah yang membulatkan bilangan yang telah ada, sehingga menjadi bilangan bulat (integer/number with integrity). Dalam proses pembelajaran matematika di sekolah dasar perlu dijelaskan bahwa keberadaan bilangan negatif memang perlu, misalkan untuk, mengetahui kedalaman laut, pengukuran suhu (temperatur) yang negatif setelah diukur dengan termometer, dan lain sebagainya yang ada kaitannya dengan bilangan bulat. A. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT (PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN) Sesuai dengan kebutuhan kurikulum, maka operasi hitung yang dibahas dalam kegiatan pertama ini dibatasi hanya pada bentuk penjumlahan dan pengurangan. Operasi hitung dalam bahasan bilangan bulat baru diperkenalkan kepada siswa sekolah dasar di kelas 5 (pada siswa yang masih dalam taraf berpikir konkret). Berarti pendekatan yang harus dilakukan harus sesuai dengan perkembangan mental anak di usia antara 10 sampai 11 tahun. Banyak persoalan yang muncul pada sistem bilangan bulat bagi siswasiswa sekolah dasar kelas 5, misalkan pada waktu mereka akan melakukan operasi hitung seperti: 4 + (-7); (-6) + 9; (-3) – (-6) 2 – 7; dan sebagainya. Persoalan yang muncul dalam kaitannya dengan soal-soal yang seperti itu adalah bagaimana memberikan penjelasan dan cara menanamkan pengertian operasi tersebut secara konkret, karena kita tahu bahwa pada umumnya siswa berpikir dari hal-hal yang bersifat konkret menuju hal-hal yang bersifat abstrak. Untuk mengenalkan konsep operasi hitung pada sistem bilangan bulat dapat dilakukan melalui 3 tahap, yaitu:



3.11



 PDGK4406/MODUL 3



1. 2. 3.



tahap pengenalan konsep secara konkret, tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak, tahap pengenalan konsep secara abstrak.



Pada tahap pertama ada 2 model peragaan yang dapat dikembangkan, yaitu yang menggunakan pendekatan himpunan (yaitu menggunakan alat peraga manik-manik), sedang model yang kedua menggunakan pendekatan hukum kekekalan panjang (yaitu menggunakan alat peraga balok garis bilangan atau pita garis bilangan atau tangga garis bilangan). Pada tahap kedua, proses pengerjaan operasi hitungnya diarahkan menggunakan garis bilangan dan pada tahap ketiga kepada siswa baru diperkenalkan dengan konsep-konsep operasi hitung yang bersifat abstrak. 1.



Tahap Pengenalan Konsep secara Konkret Seperti yang telah disebutkan di atas bahwa dalam tahap ini ada 2 model yang dapat terapkan. Pertama, yaitu model yang menggunakan pendekatan himpunan (dalam hal ini menggunakan alat peraga manik-manik), dan kedua menggunakan pendekatan hukum kekekalan panjang (dalam modul ini akan dibahas penggunaan alat peraga balok garis bilangan). Alat peraga manik-manik pendekatannya menggunakan konsep himpunan. Seperti kita ketahui bahwa pada himpunan, kita dapat menggabungkan atau memisahkan dua himpunan yang dalam hal ini anggotanya berbentuk manik-manik. Bentuk alat ini dapat berupa bulatanbulatan setengah lingkaran yang apabila sisi diameternya digabungkan akan membentuk lingkaran penuh. Alat ini biasanya terdiri dari dua warna, satu warna untuk menandakan bilangan positif (misal biru), sedangkan warna lainnya untuk menandakan bilangan negatif (misal kuning).



Warna hitam mewakili bilangan positif



Warna putih mewakili bilangan negatif



3.12



Pembelajaran Matematika SD 



Dalam alat ini, bilangan nol (netral) diwakili oleh dua buah manik-manik dengan warna berbeda yang dihimpitkan pada sisi diameternya, sehingga membentuk lingkaran penuh dalam dua warna.



Netral = bernilai 0



Bentuk netral ini dipergunakan pada saat kita akan melakukan operasi pengurangan a - b dengan b > a atau b < 0. Selanjutnya, dalam menggunakan alat peraga ini (dalam hal ini untuk melakukan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan) harus memperhatikan beberapa prinsip kerjanya, yaitu: Dalam operasi hitung, proses penggabungan dalam konsep himpunan dapat diartikan sebagai penjumlahan, sedangkan proses pemisahan dapat diartikan sebagai pengurangan. Berarti, kalau kita menggabungkan sejumlah manik-manik ke dalam kelompok manik-manik lain sama halnya dengan melakukan penjumlahan. Namun demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam melakukan proses penjumlahan, yaitu: 1. Jika a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0, maka gabungkanlah sejumlah manik-manik ke dalam kelompok manik-manik lain yang warnanya sama. 2. Jika a > 0 dan b < 0 atau sebaliknya, maka gabungkanlah sejumlah manik-manik yang mewakili bilangan positif ke dalam kelompok manikmanik yang mewakili bilangan negatif. Selanjutnya, lakukan proses "penghimpitan" di antara kedua kelompok manik-manik tersebut agar ada yang menjadi lingkaran penuh. Tujuannya untuk mencari sebanyakbanyaknya kelompok manik-manik yang bernilai nol. Melalui proses ini akan menyisakan manik-manik dengan warna tertentu yang tidak berpasangan. Manik-manik yang tidak berpasangan inilah yang merupakan hasil penjumlahannya. Selanjutnya, kalau kita melakukan proses pemisahan sejumlah manikmanik keluar dari kelompok manik-manik, maka sama halnya dengan



 PDGK4406/MODUL 3



3.13



melakukan pengurangan. Namun demikian, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam melakukan proses pengurangan, yaitu: 1. Jika a > 0 dan b > 0 tetapi a > b, maka pisahkanlah secara langsung sejumlah b manik-manik keluar dari kelompok manik-manik yang berjumlah a. 2. Jika a > 0 dan b > 0 tetapi a < b, maka sebelum memisahkan sejumlah b manik-manik yang nilai bilangannya lebih besar dari a, terlebih dahulu Anda harus menggabungkan sejumlah manik-manik yang bersifat netral ke dalam kelompok manik-manik a, dan banyaknya tergantung pada seberapa kurangnya manik-manik yang akan dipisahkan. 3. Jika a > 0 dan b < 0, maka sebelum memisahkan sejumlah b manikmanik yang bernilai negatif, terlebih dahulu Anda harus menggabungkan sejumlah manik-manik yang bersifat netral dan banyaknya tergantung dari besarnya bilangan pengurangnya (b). 4. Jika a < 0 dan b > 0, maka sebelum melakukan proses pemisahan sejumlah b manik-manik yang bernilai positif dari kumpulan manikmanik yang bernilai negatif, terlebih dahulu Anda harus menggabungkan sejumlah manik-manik yang bersifat netral ke dalam kumpulan manikmanik a, dan banyaknya tergantung pada seberapa besarnya bilangan b. 5. Jika a < 0 dan b < 0 tetapi a > b, maka sebelum melakukan proses pemisahan sejumlah b manik-manik yang bilangannya lebih kecil dari a, terlebih dahulu Anda harus melakukan proses penggabungan sejumlah manik-manik yang bersifat netral ke dalam kumpulan manik-manik a, dan banyaknya tergantung dari seberapa kurangnya manik-manik yang akan dipisahkan. 6. Jika a < 0 dan b < 0 tetapi a < b, maka pisahkanlah secara langsung sejumlah b manik-manik keluar dari kelompok manik-manik yang berjumlah a. Selanjutnya, agar Anda dapat memahami prinsip-prinsip di atas, berikut ini akan diperagakan beberapa contoh penggunaan alat peraga tersebut, misal untuk menjelaskan operasi hitung 3 + (-5) dan 3 - 5, yaitu dengan langkahlangkah sebagai berikut.



3.14



Pembelajaran Matematika SD 



a.



3 + (-5) = ....? Untuk menjalankan proses peragaan bentuk operasi ini harus mengacu pada prinsip kerja nomor 2 pada subbagian penjumlahan, yaitu dengan proses kerja sebagai berikut. 1.



Tempatkanlah 3 buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Hal ini untuk menunjukkan bilangan positif 3.



2.



Tambahkanlah ke dalam papan peragaan tersebut manik-manik yang bertanda negatif sebanyak 5 buah yang menunjukkan bilangan kedua dari operasi tersebut, yaitu negatif 5.



3.



Lakukan pemetaan antara manik-manik yang bertanda positif dengan yang bertanda negatif dengan tujuan untuk mencari sebanyak-banyaknya bilangan yang bersifat netral (bernilai nol).



4.



Dari hasil pemetaan pada langkah ke 3 di atas, terlihat ada 3 pasangan manikmanik yang membentuk lingkaran penuh (bersifat netral). Jika pasangan manikmanik ini dikeluarkan, maka dalam papan peragaan terlihat ada 2 buah manik-manik yang berwarna kuning (bernilai negatif 2). Peragaan ini menunjukkan kepada kita bahwa 3 + (-5) = -2.



Selanjutnya, untuk memperlancar pemahaman Anda terhadap prinsipprinsip kerja alat tersebut, khususnya terkait dengan operasi hitung



3.15



 PDGK4406/MODUL 3



penjumlahan ada baiknya Anda coba peragakan contoh-contoh penjumlahan berikut: (-5) + ( -6) = ....? dan (-8) + 5 = ....? b. 3 - 5 = ....? Untuk menjalankan proses peragaan bentuk operasi ini harus mengacu pada prinsip kerja nomor 2 pada subbagian pengurangan, yaitu dengan proses kerja sebagai berikut. 1.



Tempatkanlah 3 buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan (untuk menunjukkan bilangan positif 3).



2.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan yaitu oleh bilangan positif 5, maka seharusnya kita memisahkan dari dalam papan peragaan tersebut manik-manik yang bertanda positif sebanyak 5 buah. Namun, untuk sementara pengambilan tidak dapat dilakukan. Mengapa ?



3.



4.



Agar pemisahan dapat dilakukan, maka kita perlu menambahkan 2 buah manikmanik yang bertanda positif dan 2 buah manik-manik yang bertanda negatif dan letaknya dihimpitkan ke dalam papan peragaan. Setelah melalui proses tersebut, dalam papan peragaan terlihat ada 5 buah manik-manik yang bertanda positif dan 2 buah manik-manik yang bertanda negatif. Selanjutnya kita dapat memisahkan ke 5 buah manik-manik yang bertanda positif keluar dari papan peragaan.



Akan diambil sebanyak 5 buah, tetapi hanya ada 3 buah



diambil/dipisahkan



3.16



5.



Pembelajaran Matematika SD 



Dari hasil pemisahan tersebut, di dalam papan peragaan sekarang terdapat 2 buah manik-manik yang bertanda negatif (bernilai negatif 2). Hal ini menunjukkan kepada kita bahwa 3 - 5 = -2.



Berdasarkan proses kerja dari kedua peragaan di atas, secara realistik penggunaan alat peraga ini dapat memperlihatkan perbedaan proses untuk mendapatkan hasil dari operasi hitung dalam sistem bilangan bulat yang berbentuk a + (-b) dan a - b, sekaligus memperlihatkan pula secara nyata keberlakuan konsep a - b = a + (-b). Penggunaan alat peraga ini dapat kita manfaatkan untuk melatih pola (logika) berpikir siswa dalam memahami suatu persoalan. Untuk pemahaman lebih lanjut, silakan Anda lakukan peragaan sendiri untuk operasi-operasi hitung berikut: (-3) - 5 (prinsip pengurangan nomor 4); 5 - (-3) (prinsip pengurangan nomor 3); (-4) - (-9) (prinsip pengurangan nomor 5), dan (-8) - (-3) (Prinsip pengurangan nomor 6). Seandainya Anda mengalami kesulitan memperagakan operasi-operasi hitung tersebut, silakan Anda tanyakan ke Tutor Anda pada saat kegiatan tutorial berlangsung, atau Anda dapat menghubungi alamat email berikut: [email protected]. Saudara, selain alat peraga manik-manik di atas, terdapat alat peraga lain yang dapat dijadikan media untuk menjelaskan operasi hitung pada bilangan bulat, yaitu: Tangga Garis Bilangan, Pita Garis Bilangan, dan Balok Garis Bilangan. Ketiga alat ini lebih cenderung merupakan alat permainan matematika, dan pada umumnya ketiga alat ini digunakan untuk mengenalkan atau melakukan operasi hitung dasar pada sistem bilangan bulat. Tangga garis bilangan terbuat dari triplek yang bentuknya memanjang. Pada potongan triplek tersebut dibuat skala yang berurutan dan jarak antar skalanya sama. Alat ini disebut tangga garis bilangan, sebab pada saat menggunakannya harus meniti mistar yang berskala tersebut. Selanjutnya, untuk memperagakan alat tersebut biasanya diperlukan pemeraga (model) yang diperankan oleh siswa (siswa melakukan loncatan-loncatan maju ataupun mundur di atas mistar dan setiap loncatannya mengandung makna atau mewakili bilangan-bilangan yang dioperasikan).



 PDGK4406/MODUL 3



3.17



Sementara itu, Pita Garis Bilangan adalah alat bantu sejenisnya yang dibuat dari karton duplek, dan di dalam penggunaannya memiliki prinsip kerja yang sama dengan tangga garis bilangan. Jika pada tangga garis bilangan model yang dijadikan pemeraga adalah siswa sendiri, maka dalam pita garis bilangan peran siswa sebagai model digantikan oleh orang-orangan atau mobil-mobilan yang terbuat dari karton duplek juga.



Balok Garis Bilangan merupakan bentuk modifikasi dari tangga maupun pita garis bilangan dengan pertimbangan bahwa alat ini lebih memenuhi kriteria atau syarat dari pengadaan alat peraga (lebih kuat dan tahan lama). Alat ini terbuat dari kayu kaso 4  6 cm dan pada bagian atasnya diberi lubang-lubang skala untuk pijakan model. Panjang alat ini kurang lebih 1,5 m dan mempunyai dua warna (misal, pada skala yang mewakili bilangan positif diberi warna biru sedangkan pada skala yang mewakili bilangan negatif diberi warna kuning). Model yang digunakan untuk melakukan peragaan berupa wayang-wayangan (wayang golek atau wayang kulit, atau wayang lainnya).



3.18



Pembelajaran Matematika SD 



Ketiga alat peraga ini, proses kerjanya berpedoman pada hukum kekekalan panjang, bahwa "panjang keseluruhan sama dengan panjang masing-masing bagian-bagiannya".



Selanjutnya, dalam modul ini akan dibahas jenis alat yang ketiga, yaitu: Balok Garis Bilangan. Seperti hal dalam alat peraga manik-manik, maka pada saat menggunakan alat peraga Balok Garis Bilangan harus pula memperhatikan prinsip kerja alat ini. Prinsip kerja yang harus diperhatikan dalam melakukan operasi penjumlahan maupun pengurangan dengan menggunakan alat ini adalah sebagai berikut. 1. Posisi awal benda yang menjadi model harus berada pada skala nol. 2. Jika bilangan pertama bertanda positif, maka bagian muka model menghadap ke bilangan positif dan kemudian melangkahkan model tersebut ke skala yang sesuai dengan besarnya bilangan pertama tersebut. Proses yang sama juga dilakukan apabila bilangan pertamanya bertanda negatif. 3. Jika model dilangkahkan maju, dalam prinsip operasi hitung istilah maju diartikan sebagai tambah (+), sedangkan jika model dilangkahkan mundur, istilah mundur diartikan sebagai kurang (-). 4. Gerakan maju atau mundurnya model tergantung dari bilangan penambah dan pengurangnya. Untuk gerakan maju, jika bilangan penambahnya merupakan bilangan positif maka model bergerak maju ke arah bilangan positif, dan sebaliknya jika bilangan penambahnya merupakan bilangan negatif, maka model bergerak maju ke arah bilangan negatif. Untuk gerakan mundur, apabila bilangan pengurangnya merupakan bilangan positif maka model bergerak mundur dengan sisi muka model menghadap ke bilangan positif, dan sebaliknya apabila bilangan pengurangnya merupakan bilangan negatif, maka model bergerak mundur dengan sisi muka menghadap ke bilangan negatif.



 PDGK4406/MODUL 3



3.19



Selanjutnya, agar Anda dapat memahami prinsip-prinsip di atas, berikut ini akan diperagakan beberapa contoh penggunaan alat peraga tersebut, misal untuk menjelaskan operasi hitung 3 + (-5) dan 3 - 5, yaitu dengan langkahlangkah sebagai berikut. a.



3 + (-5) ....?



1.



Tempatkan model pada skala nol dan menghadap ke bilangan positif.



2.



Langkahkan model tersebut satu langkah demi satu langkah maju dari angka 0 sebanyak 3 skala. Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertama dari operasi tersebut, yaitu positif 3.



3.



Karena bilangan penjumlahnya merupakan bilangan negatif, maka pada skala 3 tersebut posisi muka model harus kita hadapkan ke bilangan negatif.



4.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan penjumlahan, yaitu oleh bilangan (-5) berarti model tersebut harus dilangkahkan maju dari angka 3 satu langkah demi satu langkah sebanyak 5 skala.



3.20



5.



Pembelajaran Matematika SD 



Posisi terakhir dari model pada langkah 4 di atas terletak pada skala -2, dan ini menunjukkan hasil dari 3 + (-5). Jadi 3 + (-5) = -2.



b. 3 – 5 = ....? 1. Tempatkan model pada skala nol dan menghadap ke bilangan positif.



2.



Langkahkan model tersebut satu langkah demi satu langkah maju dari angka 0 sebanyak 3 skala (untuk menunjukkan bilangan pertama, yaitu positif 3).



3.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan, maka langkahkan model tersebut mundur dari angka 3 satu langkah demi satu langkah sebanyak 5 skala dengan posisi muka model tetap menghadap ke bilangan positif.



4.



Posisi terakhir dari model pada langkah 3 di atas terletak pada skala -2, dan ini menunjukkan hasil dari 3 - 5. Jadi 3 - 5 = -2.



Untuk pemahaman lebih lanjut, silakan Anda lakukan peragaan sendiri untuk operasi-operasi hitung berikut: (-4) - 6 dan (-4) + (-6); 5 - (-3) dan 5 + 3; (-4) -(-9) dan (-4) + 9; serta (-8) -(-3) dan (-8) + 3. Kemudian, bandingkanlah hasil dari pasangan-pasangan tersebut. Kira-kira, apa yang Anda dapat simpulkan dan mengarah ke proses abstraksi yang bagaimana? Seandainya Anda mengalami kesulitan memperagakan operasi-operasi



 PDGK4406/MODUL 3



3.21



hitung tersebut, silakan Anda tanyakan ke Tutor Anda pada saat kegiatan tutorial berlangsung. Selanjutnya, seandainya gambar model pada posisi akhir peragaan dari 2 contoh peragaan balok garis bilangan di atas dihilangkan, maka akan terlihat bentuk "peragaan garis bilangan dalam proses yang sebenarnya" baik untuk operasi 3 + (-5) maupun untuk operasi 3 - 5.



Kedua peragaan garis bilangan di atas memperlihatkan dengan jelas kepada kita bahwa terdapat proses yang berbeda untuk menunjukkan hasil dari 3 + (-5) dan 3 - 5. Peragaan garis bilangan untuk bentuk 3 + (-5) hasilnya ditunjukkan oleh ujung anak panah, sedangkan bentuk operasi 3 - 5 hasilnya ditunjukkan oleh ujung pangkal panah. Berarti, untuk menentukan hasil dari operasi bilangan bulat jika peragaannya menggunakan garis bilangan, bilangan yang ditunjuk sebagai hasil tidak selalu berorientasi pada ujung anak panah, pangkal panahpun dapat digunakan sebagai penunjuk hasil. 2.



Tahap Pengenalan Konsep secara semi konkret atau semi abstrak Pada tahap ini, proses pengerjaan operasi hitung pada sistem bilangan bulat diarahkan kepada bagaimana "menggunakan garis bilangan". Seperti halnya saat menggunakan alat peraga, maka pada tahap inipun sebelum kita membahas bagaimana menjelaskan penggunaan garis bilangan dalam operasi hitung bilangan bulat, akan dibahas terlebih dahulu mengenai prinsip-prinsip penggunaan garis bilangan tersebut. Pada prinsipnya, cara kerja pada garis bilangan sama dengan cara kerja pada balok, tangga, atau pita garis bilangan, yaitu ditekankan pada langkah "maju" untuk operasi penjumlahan dan langkah "mundur" untuk operasi pengurangan. Kemudian sisi muka model yang dihadapkan ke arah bilangan positif maupun negatif ditunjukkan oleh arah ujung anak panah pada garis bilangannya.



3.22



Pembelajaran Matematika SD 



Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah prinsip-prinsip kerja penggunaan garis bilangan berikut agar Anda tidak mengalami kesulitan yang berarti dalam memperagakannya nanti di hadapan siswa-siswa Anda. a. Setiap akan melakukan peragaan, posisi awal aktivitas peragaan harus selalu dimulai dari bilangan atau' skala 0 (nol). b. Jika bilangan pertama dalam suatu operasi hitung bertanda positif, maka ujung anak panah diarahkan ke bilangan positif dan bergerak maju dengan skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama sedangkan pangkal anak panahnya mengarah pada bilangan negatifnya. Sebaliknya jika bilangan pertamanya bertanda negatif, maka ujung anak panahnya diarahkan ke bilangan negatif dan gerakkan dengan skala yang besarnya sama dengan bilangan pertama sedangkan pangkal anak panahnya mengarah ke bilangan positif. c. Jika anak panah dilangkahkan maju, maka dalam prinsip operasi hitung istilah maju dapat diartikan sebagai "penjumlahan". Sebaliknya, jika anak panah dilangkahkan mundur maka istilah mundur dapat diartikan sebagai "pengurangan". Namun demikian, gerakan maju atau mundurnya anak panah tergantung pada bilangan penambah atau pengurangannya. Untuk gerakan maju: apabila bilangan penambahnya merupakan bilangan positif, maka gerakan maju anak panah harus ke arah bilangan positif. Sebaliknya, apabila bilangan penambahnya merupakan bilangan negatif, maka gerakan maju anak panah juga harus ke arah bilangan negatif. Untuk gerakan mundur: apabila bilangan pengurangnya merupakan bilangan positif, maka anak panah akan mundur dengan ujung anak panahnya menghadap ke bilangan positif. Sebaliknya, apabila bilangan pengurangannya merupakan bilangan negatif, maka anak panah akan mundur dengan ujung anak panahnya menghadap ke bilangan negatif. Dalam penjumlahan, hasil akhir dilihat dari posisi akhir ujung anak panah, sedangkan pengurangan, hasil akhir dilihat dari posisi akhir pangkal anak panah. Keterangan: 1)



3.23



 PDGK4406/MODUL 3



2) Gerakan maju: gerakan dimulai dari pangkal panah ke arah ujung panah.



Untuk gerakan maju selanjutnya cukup digambarkan tanpa 2 anak panah di atasnya. 3) Gerakan mundur: gerakan dimulai dari ujung anak panah ke arah pangkal panah.



Selanjutnya, akan dijabarkan bagaimana kita dapat menjumlahkan dua buah bilangan bulat dengan pendekatan yang semi konkret atau semi abstrak ini dengan menggunakan garis bilangan, dan sebaran penjumlahannya mencakup: a. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. b. Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. c. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. d. Penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif. Misalkan kita ingin mengerjakan bentuk-bentuk penjumlahan dua buah bilangan berikut: 1. 2 + 5 = … (cakupan pertama) 2. 2 + (-5) = … (cakupan kedua) 3. (-2) + 5 = … (cakupan ketiga) 4. (-2) + (-5) = … (cakupan keempat)



a.



Untuk butir yang pertama, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 2 (lihat Gambar 3. 11). Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (positif 2).



Gambar 3.11.



3.24



b.



Pembelajaran Matematika SD 



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan penjumlahan, dan anak panah arahnya sudah sesuai dengan jenis bilangan keduanya, maka langkahkanlah maju anak panah tersebut sebanyak 5 langkah dari posisi skala 2. Lihat Gambar 3.12.



Gambar 3.12.



c.



a.



Posisi akhir dari ujung panah pada langkah kedua tepat berada di atas skala 7, dan ini menunjukkan hasil dari 2 + 5. Jadi 2 + 5 = 7. Untuk butir yang kedua, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 2. Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya positif 2. (Lihat Gambar 3.13).



Gambar 3.13.



b.



Karena bilangan penjumlahnya merupakan bilangan negatif, maka pada skala 2 tersebut ujung anak panahnya harus dihadapkan ke arah bilangan negatif. (Lihat Gambar 3.14).



Gambar 3.14.



c.



Karena operasi hitungnya mengenai penjumlahan, yaitu oleh bilangan 5 berarti anak panah tersebut harus dilangkahkan maju sebanyak 5 langkah. (Lihat Gambar 3.15).



3.25



 PDGK4406/MODUL 3



Gambar 3.15.



d.



a.



Posisi akhir dari ujung panah pada langkah ketiga tepat berada di atas skala –3 dan ini menunjukkan hasil dari 2 + (-5). Jadi 2 + (-5) = -3. Untuk butir yang ketiga, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala –2. (Lihat Gambar 3.16). Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (negatif 2).



Gambar 3.16.



b.



Karena bilangan penjumlahnya merupakan bilangan positif, maka pada skala –2 tersebut ujung anak panahnya harus dihadapkan ke arah bilangan positif. (Lihat Gambar 3.17).



Gambar 3.17.



c.



Karena operasi hitungnya mengenai penjumlahan, yaitu oleh bilangan 5 berarti anak panah tersebut harus dilangkahkan maju sebanyak 5 langkah. (Lihat Gambar 3.18).



Gambar 3.18.



3.26



d.



a.



Pembelajaran Matematika SD 



Posisi akhir dari ujung panah pada langkah ketiga tepat berada di atas skala 3, dan ini menunjukkan hasil dari (-2) + 5. Jadi (-2) + 5 = 3. Untuk butir yang keempat, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala –2 (Lihat Gambar 3.19). Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (negatif 2).



Gambar 3.19.



b.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan penjumlahan, dan anak panah arahnya sudah sesuai dengan jenis bilangan keduanya, maka langkahkanlah maju anak panah tersebut sebanyak 5 langkah dari posisi skala –2. Lihat Gambar 3.20.



Gambar 3.20.



c.



Posisi akhir dari ujung panah pada langkah kedua tepat berada di atas skala –7, dan ini menunjukkan hasil dari (-2) + (-5). Jadi (-2) + (-5) = -7.



B. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PENJUMLAHAN PADA BILANGAN BULAT Materi yang akan dibahas dalam subbahasan ini dapat dikatakan sebagai materi pengayaan (karena materi ini tidak disampaikan di sekolah dasar). Namun, hal ini perlu Anda pelajari untuk memperluas wawasan pengetahuan Anda, dan juga untuk membekali Anda dalam mengambil suatu keputusan yang harus disampaikan kepada siswa Anda agar tidak terjadi penyampaian konsep yang salah (miskonsepsi). Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, terdapat sifat-sifat penting yang perlu Anda ketahui. Untuk mengetahui dan memahami sifat-sifat tersebut, simaklah keterangan serta contoh-contoh berikut:



3.27



 PDGK4406/MODUL 3



1.



Sifat Tertutup Perhatikan himpunan bilangan bulat B = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. Sekarang, ambillah dua buah bilangan bulat yang berbeda, misalnya –3 dan 5. Lalu, jumlahkanlah di antara keduanya dan periksalah, apakah hasilnya juga merupakan bilangan bulat?. Bandingkanlah jawaban Anda dengan keterangan berikut: jumlah dari –3 dan 5 ((-3) + 5) sama dengan 2, dan ternyata 2 merupakan bilangan bulat juga. Kemudian, tentukan pula dua buah bilangan bulat yang lainnya lagi, misal –13 dan 8. Lakukanlah kegiatan yang sama. Tentunya Anda sepakati bahwa jumlah dari kedua bilangan tersebut adalah –5 ((-13) + 8 = -5), dan hasilnya ini pun juga merupakan bilangan bulat. Lakukanlah kegiatan seperti ini untuk beberapa bilangan bulat lagi dan apakah hasil penjumlahannya merupakan bilangan bulat lagi?. Tentunya Anda sepakat pula dengan pernyataan berikut: “Bila kita mengambil sebarang dua buah bilangan bulat, maka jumlah kedua bilangan itu merupakan bilangan bulat lagi” Sifat penjumlahan ini memberi petunjuk kepada kita, bahwa “himpunan bilangan bulat tertutup terhadap operasi penjumlahan”. Artinya, setiap jumlah dua bilangan bulat merupakan bilangan bulat lagi. 2.



Sifat Pertukaran (Komutatif) Untuk memahami sifat komutatif penjumlahan pada bilangan bulat, lengkapilah tabel penjumlahan berikut ini. a -2 -7 9 -8 4



b 5 3 -4 5 -6



a+b (-2) + 5 = … … … … …



b+a 5 + (-2) = … … … … …



Setelah Anda lengkapi tabel tersebut, lalu apa yang dapat Anda simpulkan dari kegiatan itu. Tentunya Anda sepakat bahwa hasil penjumlahan yang terdapat pada kolom ketiga sama dengan hasil penjumlahan pada kolom keempat, yaitu sama-sama menghasilkan bilanganbilangan 3, -4, 5, -3, dan –2. Hasil penjumlahan dalam tabel di atas memberi petunjuk bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat hasilnya akan tetap



3.28



Pembelajaran Matematika SD 



walaupun letak kedua bilangan itu dipertukarkan” atau secara matematis dikatakan: Untuk sebarang dua bilangan bulat a dan b berlaku a+b=b+a Sifat penjumlahan seperti ini disebut sebagai sifat komutatif pada penjumlahan. 3.



Sifat Pengelompokan (Asosiatif) Untuk memahami sifat asosiatif penjumlahan pada himpunan bilangan bulat, lengkapilah terlebih dahulu tabel berikut: a



b



c



(a + b)



(a + b) + c



(b + c)



a + (b + c)



-5 4 8 -7 3



2 -6 -3 4 -9



-7 8 -6 5 2



-3 … … … …



-10 … … … …



-5 … … … …



-10 … … … …



Setelah tabel di atas lengkap, apa yang dapat Anda kaji dari kegiatan itu. Anda benar, bahwa terdapat kesamaan hasil antara kolom kelima dengan kolom ketujuh, yaitu sama-sama menghasilkan bilangan –10, 6, -1, 2 dan –4. Hasil-hasil yang diperlihatkan pada kolom kelima dan ketujuh dari tabel di atas memberi petunjuk bahwa “penjumlahan tiga buah bilangan bulat hasilnya akan sama, bila pengelompokan pada penjumlahan itu dipertukarkan”, atau secara matematis dikatakan bahwa: Untuk sebarang tiga bilangan bulat a, b, dan c berlaku: (a + b) + c = a + (b + c) Sifat penjumlahan seperti ini disebut sebagai sifat asosiatif pada penjumlahan.



 PDGK4406/MODUL 3



3.29



Catatan: Dengan berlakunya hukum ini, maka pemakaian tanda kurung yang menyatakan prioritas pengerjaan dapat dihilangkan, seperti: (6 + 2) + (-5) dapat ditulis sebagai 6 + 2 + (-5), juga untuk 6 + (2 + (-5)) dapat ditulis sebagai 6 + 2 + (-5). 4.



Sifat Bilangan Nol (sebagai Unsur Identitas Penjumlahan) Pada himpunan bilangan bulat, terdapat unsur yang mempunyai sifat “bila ditambah dengan suatu bilangan atau bila suatu bilangan ditambah dengan bilangan yang dimaksud hasilnya tidak berubah”. Menurut Anda unsur apa yang mempunyai sifat demikian? Sebelum menjawab pertanyaan itu, periksalah terlebih dahulu apakah penjumlahan berikut benar. a. (-3) + 0 = -3 b. 0 + (-3) = -3 c. (-50) + 0 = -50 d. 0 + (-50) = -50 e. 75 + 0 = 75 f. 0 + 75 = 75 Tentunya Anda sepakat bahwa penjumlahan-penjumlahan di atas adalah benar. Jadi unsur pada bilangan bulat yang mempunyai sifat seperti yang dinyatakan di atas adalah bilangan 0. Uraian di atas memberikan petunjuk bahwa “suatu bilangan bulat apabila dijumlahkan dengan bilangan 0, hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri”. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagai: Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku a + 0 = 0 + a Selanjutnya, sehubungan dengan sifat bilangan 0 pada operasi penjumlahan, maka dapat dikatakan bahwa 0 adalah unsur identitas pada penjumlahan. 5.



Sifat Invers Penjumlahan (Lawan Suatu Bilangan) Untuk memahami pengertian sifat ini, perhatikan uraian berikut:



3.30



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 3.21.



Pada garis bilangan yang tampak dalam Gambar 3.21, titik yang bertanda 1 dan titik yang bertanda –1 mempunyai jarak yang sama terhadap titik 0, yaitu sejauh 1 satuan. Demikian pula dengan titik yang bertanda 2, 3, 4, … bila dibandingkan terhadap titik dengan tanda –2, -3, -4, …, maka masing-masing mempunyai jarak yang sama terhadap titik 0, yaitu sejauh 2, 3, 4, … satuan. Karena titik-titik yang bertanda positif dan yang bertanda negatif letaknya berseberangan, maka dapat kita katakan bahwa titik yang bertanda positif 1 berlawanan letaknya terhadap titik 0 dengan titik yang bertanda negatif 1. Demikian pula dengan titik-titik yang bertanda positif 2, positif 3, positif 4, dan seterusnya terhadap titik-titik yang bertanda negatif 2, negatif 3, negatif 4, dan seterusnya. Sekarang, bagaimanakah hasilnya jika titik-titik yang berlainan tanda tersebut dijumlahkan perpasangannya, misal 1 + (-1); 2 + (-2); 3 + (-3); dan seterusnya. Tentunya kita sepakat bahwa semua hasil penjumlahan tersebut menghasilkan nilai yang sama, yaitu 1 + (-1) = 0; 2 + (-2) = 0; 3 + (-3) = 0. Dari uraian di atas, dapatlah disimpulkan bahwa “setiap bilangan bulat (kecuali 0) dapat dipasangkan dengan bilangan bulat yang lain sedemikian sehingga jumlah pasangan itu adalah 0”. Bilangan 0 (nol) tidak termasuk karena 0 pasangannya adalah 0 sendiri. Selanjutnya, setiap anggota pasangan bilangan itu disebut “lawan” atau “invers aditif” (invers tambah) dari anggota yang lain dalam pasangannya. Misalnya: - lawan dari 1 adalah –1 atau –3 lawannya adalah 3. - lawan dari 2 adalah –2 atau –2 lawannya adalah 2. - lawan dari 3 adalah –3 atau –1 lawannya adalah 1. - lawan dari 4 adalah –4 atau –4 lawannya adalah 4.



 PDGK4406/MODUL 3



3.31



Karena lawan –4 adalah 4 dan –4 dinyatakan dengan –(–4) maka dapat ditentukan bahwa –(–4) = 4. Secara umum dapat disebutkan bahwa untuk setiap bilangan bulat 4, berlaku –(–a) = a. Selanjutnya secara matematis dapatlah dinyatakan bahwa setiap bilangan bulat a mempunyai invers tambah –a (dapat juga dikatakan –a adalah lawan a), sehingga berlaku a + (-a) = 0 = (-a) + a. Catatan: a. Setiap bilangan a berkorespondensi dengan invers tambahnya (-a). b. Lawan (invers tambah) dari suatu bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif dan lawan suatu bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif, misal lawan dari –3 adalah 3; 5 merupakan lawan dari –5. Berdasarkan sifat-sifat penjumlahan di atas, dapat diperlihatkan atau dikaji hal-hal yang cukup penting sebagai bekal pengetahuan Anda di dalam mengembangkan pembelajaran matematika di tingkat yang lebih tinggi. Halhal yang dianggap penting itu di antaranya adalah sebagi berikut. a. Sifat komutatif dan sifat asosiatif dapat kita gunakan untuk menyederhanakan penjumlahan banyak suku yang mengandung sukusuku sejenis, seperti: 2p + 6q + 5p + 3q. Bentuk ini dapat disederhanakan, dan cara pengerjaannya adalah sebagai berikut: 2p + 6q + 5p + 3q = 2p + (6q + 5p) + 3q (sifat asosiatif). = 2p + (5p + 6q) + 3q (sifat komutatif). = 2p + 5p + 6q + 3q (sifat asosiatif). = (2p + 5p) + (6q + 3q) (sifat asosiatif). = 7p + 9q (penjumlahan suku sejenis). b.



Semua sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk menunjukkan konsep pengurangan yang dinyatakan dengan a – b = a + (-b), yaitu dengan cara sebagai berikut: Misalkan a – b = c, atau a = b + c, akan dibuktikan a + (-b) = c. Substitusikan a = b + c ke dalam a + (-b), maka didapat bentuk: a + (-b) = (b + c) + (-b) a + (-b) = (c + b) + (-b) (sifat komutatif) a + (-b) = c + (b + (-b)) (sifat asosiatif)



3.32



Pembelajaran Matematika SD 



a + (-b) = c + 0 a + (-b) = c



(sifat invers penjumlahan) (sifat unsur identitas)  terbukti.



Karena a – b = c dan a + (-b) = c maka berlakulah a – b = a + (-b). Kondisi ini menunjukkan hubungan yang jelas antara pengurangan dengan istilah lawan (invers) dari sudut pandang penjelasan secara abstrak, sehingga bentuk penjumlahan dengan lawan bilangan dapat diganti dengan bentuk pengurangan, dan sebaliknya, misal: bentuk 3 + (-5) dapat diganti menjadi 3 – 5, atau bentuk 6 – (-5) dapat diganti menjadi 6 + 5, dan sebagainya. Pada uraian berikut ini, akan dijabarkan bagaimana kita dapat melakukan pengurangan dua buah bilangan bulat dengan pendekatan yang semi abstrak atau menggunakan garis bilangan sesuai dengan prinsipnya mencakup: a. Pengurangan bilangan bulat positif oleh bilangan bulat positif. b. Pengurangan bilangan bulat positif oleh bilangan bulat negatif. c. Pengurangan bilangan bulat negatif oleh bilangan bulat positif. d. Pengurangan bilangan bulat negatif oleh bilangan bulat negatif. Misalkan kita ingin mengerjakan bentuk-bentuk pengurangan berikut: 1. 4 – 6 = … (cakupan pertama) 2. 4 – (-6) = … (cakupan kedua) 3. (-4) – 6 = … (cakupan ketiga) 4. (-4) – (-6) = … (cakupan keempat)



a.



Untuk butir yang pertama, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 4 (lihat Gambar 3.22). Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (positif 4).



Gambar 3.22.



3.33



 PDGK4406/MODUL 3



b.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan, dan anak panah arahnya sudah sesuai dengan jenis bilangan keduanya, langkahkanlah mundur anak panah tersebut sebanyak 6 langkah dari skala 4. Lihat Gambar 3.23.



Gambar 3.23.



c.



a.



Posisi akhir dari pangkal anak panah pada langkah kedua tepat berada di atas skala –2, dan ini menunjukkan hasil dari 4 – 6. Jadi 4 – 6 = -2. Untuk butir yang kedua, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan positif dan berhenti pada skala 4. Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (positif 4). Lihat Gambar 3.24.



Gambar 3.24.



b.



Karena bilangan pengurangnya merupakan bilangan negatif, maka pada skala 4 tersebut ujung panahnya harus dihadapkan ke bilangan negatif (lihat Gambar 3.25).



Gambar 3.25.



c.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan, yaitu oleh bilangan negatif 6 (-6), berarti langkahkanlah anak panah tersebut mundur sebanyak 6 skala (lihat Gambar 3.26).



3.34



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 3.26.



d.



a.



Posisi akhir dari pangkal panah pada langkah ketiga, tepat di atas skala 10. Hal ini menunjukkan hasil dari 4 – (-6). Jadi 4 – (-6) = 10. Untuk butir yang ketiga, caranya adalah sebagai berikut. Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala –4. Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (negatif 4). Lihat Gambar 3.27.



Gambar 3.27.



b.



Karena bilangan pengurangnya merupakan bilangan positif, maka pada skala –4 tersebut ujung panahnya harus dihadapkan ke bilangan positif (lihat Gambar 3.28).



Gambar 3.28.



c.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan, yaitu oleh bilangan positif 6, berarti langkahkanlah anak panah tersebut mundur sebanyak 6 skala (Lihat Gambar 3.29).



Gambar 3.29.



3.35



 PDGK4406/MODUL 3



d.



a.



Posisi akhir dari pangkal panah pada langkah ketiga, tepat di atas skala – 10. Hal ini menunjukkan hasil dari –4 – 6. Jadi –4 – 6 = -10. Untuk butir yang keempat, caranya adalah sebagai berikut: Dari skala 0, langkahkanlah anak panah ke arah bilangan negatif dan berhenti pada skala –4. Hal ini untuk menunjukkan bilangan pertamanya (negatif 4). (Lihat Gambar 3.30).



Gambar 3.30.



b.



Karena operasi hitungnya berkenaan dengan pengurangan dan anak panah arahnya sudah sesuai dengan jenis bilangan yang keduanya (-6), maka anak panah tersebut dilangkahkan mundur sebanyak 6 langkah dari skala –4. (lihat Gambar 3.31).



Gambar 3.31.



c.



Posisi akhir dari pangkal panah pada langkah kedua, tepat di atas skala 2. Hal ini menunjukkan hasil dari –4 – (–6) = 2.



C. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PENGURANGAN PADA BILANGAN BULAT Untuk sifat pengurangan ini, Anda diminta untuk mengkajinya sendiri dengan cara seperti membahas sifat-sifat operasi hitung pada penjumlahannya. Mohon hal ini Anda laksanakan dan jangan Anda abaikan. Catatlah hasil kajian Anda tersebut serta diskusikanlah bersama-sama temanteman sejawat Anda. Materi ini merupakan bagian yang cukup penting pula yang bisa dijadikan sebagai bahan ujian. Jika pada waktu diskusi bersama



3.36



Pembelajaran Matematika SD 



teman-teman tidak menghasilkan suatu ketentuan atau Anda dan temanteman Anda mengalami kesulitan dalam merumuskan hasil kajian Anda, maka tanyakanlah kepada Tutor yang menyampaikan perkuliahan ini. D. TAHAP PENGENALAN KONSEP SECARA ABSTRAK Penggunaan alat peraga ataupun garis bilangan untuk melakukan operasi hitung bilangan bulat mempunyai keterbatasan, karena tidak dapat menjangkau bilangan-bilangan yang cukup besar. Dengan demikian, kita harus dapat menyampaikannya tanpa menggunakan alat bantu yang didahului oleh proses abstraksi. Setelah melalui proses abstraksi diharapkan pada saat kita mengenalkan konsep operasi hitung secara abstrak kepada siswa tidak terlalu mengalami kendala yang berarti. Dari segi mental siswa siap menerima pelajaran dalam tahap pengenalan konsep yang abstrak. Oleh karena itu, dalam uraian berikut akan kita pelajari strategi yang diperlukan guna menyampaikan materi tersebut tanpa alat bantu. Untuk memberikan pemahaman kepada anak, mereka diinstruksikan untuk melihat atau memperhatikan kembali hasil-hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada waktu mereka menggunakan alat bantu. Misalnya, untuk penjumlahannya diperlihatkan contoh-contoh seperti: a. 2 + 5 =7. b. 2 + (-5) = -3 atau (-5) + 2 = -3. c. (-2) + 5 = 3 atau 5 + (-2) = 3. d. (-2) + (-5) = -7. Kemudian, informasikanlah kepada siswa Anda, bahwa dari keempat hasil penjumlahan bilangan-bilangan di atas ada beberapa hal menarik yang bisa disimpulkan untuk melakukan ketepatan-ketepatan, yaitu: 1. Dari soal butir a, dapatlah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat positif adalah positif lagi”. Adapun cara untuk memperoleh hasilnya sama saja dengan menjumlahkan kedua bilangan itu seperti penjumlahan biasa. Misal: (i) 4 + 5 = 9 (ii) 6 + 17 = 23, dan sebagainya. 2. Dari butir b dan c, dapatlah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat, satu positif dan yang satunya lagi negatif hasilnya dapat berupa bilangan bulat positif atau bilangan negatif, atau dapat pula



 PDGK4406/MODUL 3



3.37



menghasilkan bilangan 0 (nol). Hal ini tergantung dari bilangan-bilangan bulat yang dijumlahkan. Misal: (i) 2 + (-5) = -3 atau (-5) + 2 = -3. Pada penjumlahan (i), tampak bahwa angka dari bilangan bulat negatifnya (yaitu 5) lebih besar dari angka bilangan bulat positifnya (yaitu 2), sehingga hasil penjumlahannya adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai negatif. (ii) (-2) + 5 = 3 atau 5 + (-2) = 3 Pada penjumlahan (ii), tampak bahwa angka dari bilangan bulat positifnya (yaitu 5) lebih besar dari angka bilangan bulat negatifnya (yaitu 2), sehingga hasil penjumlahan adalah selisih dari 5 dengan 2 yang ditandai positif. Dengan menggunakan cara-cara tersebut, mantapkanlah pengetahuan siswa Anda dengan contoh-contoh soal yang lain. (iii) 6 + (-6) = 0 atau (-6) + 6 = 0. Pada penjumlahan yang bersifat khusus ini, tampak bahwa angka dari bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negatifnya sama, sehingga hasil penjumlahan bilangan-bilangan itu sama dengan nol. (Ingat konsep tentang lawan atau invers aditif pada sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat). 3.



Dari soal butir d, dapatlah disimpulkan bahwa “jumlah dua buah bilangan bulat negatif adalah bilangan negatif lagi”. Sedangkan cara untuk memperoleh hasilnya sama saja dengan menjumlahkan kedua angka tersebut dan hasilnya diberi tanda negatif. Misal: (i) (-6) + (-7) = - (6 + 7) = - 13. (ii) (-11) + (-19) = - (11 + 19) = - 30. (iii) (-31) + (-4) = - (31 + 4) = - 35.



Sedangkan untuk bentuk pengurangannya, dapat disampaikan dengan strategi dan pendekatan berikut: Pada waktu memperagakan operasi pengurangan dengan menggunakan alat bantu, sebaiknya disajikan contoh-



3.38



Pembelajaran Matematika SD 



contoh yang berpola dan pada akhirnya dapat digunakan untuk merumuskan atau menetapkan suatu kesimpulan yang mengarah ke konsep pengurangan pada sistem bilangan bulat. Misalnya dapat Anda sajikan beberapa contoh soal berikut, tentunya masih banyak variasi contoh soal berpola yang dapat Anda berikan. 1. 4 – (-7) = … 2. 4 – (-6) = … 3. 4 – (-5) = … 4. 4 – (-4) = … 5. 4 – (-3) = … Kemudian, Anda minta pula kepada siswa untuk membandingkannya dengan peragaan-peragaan yang menyangkut operasi penjumlahan berikut: 1. 4 + 7 = … 2. 4 + 6 = … 3. 4 + 5 = … 4. 4 + 4 = … 5. 4 + 3 = … Tentunya siswa Anda nantinya dapat melihat fakta bahwa hasil yang didapat dari operasi-operasi hitung di atas adalah bilangan-bilangan yang sama, yaitu 11, 10, 9, 8 dan 7. Kalau langkah-langkah pembelajaran seperti itu sudah dijalankan dengan baik dan benar, setelah itu baru Anda dapat menegaskan kepada siswa suatu konsep pengurangan pada sistem bilangan bulat, bahwa “mengurangi suatu bilangan bulat sama saja dengan menjumlahkan lawan dari bilangan yang mengurangi”, dan secara matematis ditulis sebagai a – b = a + (-b) atau a – (-b) = a + b. Setelah siswa diperkenalkan dengan konsep pengurangan yang seolaholah didapatnya dari proses penemuan, maka di dalam proses pembelajaran selanjutnya baru kita dapat meningkatkan proses berpikir anak ke jenjang berpikir yang lebih tinggi, yaitu memasuki tahap pengerjaan soal-soal atau pengerjaan operasi hitung pengurangan bilangan tanpa menggunakan alat peraga. Misalnya kita ingin menentukan hasil dari 5 dikurangi negatif 8 (5 – (-8) = …), maka dengan menggunakan konsep pengurangan di atas kita dapat ubah penulisan 5 – (-8) menjadi 5 + 8. (Ingat, lawan dari –8 adalah 8). Selanjutnya, dari bentuk yang terakhir ini dengan mudah kita dapat



3.39



 PDGK4406/MODUL 3



menentukan hasilnya secara matematis proses di atas dapat kita tulis sebagai berikut: 5 – (-8) = 5 + 8 = 13. Contoh lainnya: 1. 11 – (-19) = = 2. 5 – 8 = = 3. (-6) – 11 = = Catatan :



11 + 19 30. 5 + (-8) -3. (-6) + (-11) -17.



Untuk dua contoh terakhir, proses penentuan hasilnya sama saja dengan cara pada waktu menjumlahkan dua buah bilangan bulat tanpa alat bantu.



E. RAGAM PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SD 1.



Penggunaan Garis Bilangan yang Prinsipnya Tidak Konsisten Berdasarkan pengamatan di lapangan, banyak sekali buku-buku pelajaran matematika di sekolah dasar ataupun guru-guru yang mengajarkannya tidak memperhatikan dengan benar prinsip-prinsip kerja dari garis bilangan. Sebagai contoh, misalnya untuk memperagakan bentuk pengurangan 2 – 5, hampir semua buku yang beredar memperagakan sebagai berikut:



Gambar 3.32.



Peragaan-peragaan yang dilakukan seperti pada Gambar 3.32 atau yang ada di buku-buku sekolah dasar, selalu berorientasi pada hasil yang ditunjukkan oleh ujung anak panah. Padahal tidaklah demikian, pangkal panah pun bisa berfungsi sebagai penunjuk hasil dari operasi hitung.



3.40



Pembelajaran Matematika SD 



Penyampaian yang dilakukan seperti prinsip di atas memang tidak selalu salah, tetapi kalau penggunaan garis bilangan selalu berorientasi pada hasil yang ditunjukkan oleh ujung anak panah, maka kita akan mengalami kesulitan untuk memperagakan bentuk-bentuk operasi hitung seperti: 5 – (-6); (-3) – (-7); (-4) – 8; dan sebagainya, dalam posisi sebenarnya. Oleh karenanya, banyak buku-buku di sekolah dasar ataupun guru-guru yang mengajarkannya tidak pernah memberikan contoh-contoh penggunaan garis bilangan untuk bentuk a – b, dengan b < 0 (b bilangan negatif). Kalaupun ada, bentuk operasinya telah diubah terlebih dahulu berdasarkan konsep pengurangannya. Hal ini tentunya tidak menyelesaikan masalah, karena umumnya siswa menginginkan suatu konsep yang dapat diperlihatkan atau digambarkan secara nyata. Sedangkan yang dilakukan di atas hanyalah manipulasi agar ketidaktahuan kita bisa ditutup-tutupi. Jadi, untuk bentuk operasi hitung 2 – 5 peragaan garis bilangan yang sebenarnya adalah sebagai berikut:



Gambar 3.33.



Catatan :



2.



Dalam peragaan tersebut, hasilnya (-3) ditunjukkan oleh pangkal anak panah dan bukan oleh ujung anak panahnya.



Masih banyak guru yang salah dalam menafsirkan bentuk a + (-b) sebagai a – b atau bentuk a – (-b) sebagai bentuk a + b Dalam buku-buku pelajaran di sekolah dasar kelas 5 (khususnya yang membahas bilangan bulat), banyak dijumpai bentuk-bentuk operasi hitung seperti 8 + (-5) atau 6 – (-7) yang oleh para guru penulisan + (- …) ditafsirkan dan disampaikan kepada siswa sebagai bentuk perkalian antara positif dan negatif. Sedangkan bentuk – (- …) ditafsirkan sebagai bentuk perkalian antara negatif dengan negatif. Padahal penafsiran seperti itu tidaklah pada tempatnya dan menjadikan adanya miskonsepsi, karena di sekolah dasar bentuk atau konsep perkalian pada bilangan bulat belum diajarkan. Jadi, bentuk-bentuk operasi hitung seperti di atas dalam penyampaiannya atau dalam menjelaskan proses penyelesaiannya perlu



 PDGK4406/MODUL 3



3.41



diarahkan berdasarkan konsep “a – b = a + (-b)” atau “a – (-b) = a + b” yang dibaca bahwa setuju melakukan pengurangan pada bilangan bulat sama halnya dengan menambahkan dengan lawannya. Sehingga bentuk-bentuk operasi seperti 8 + (-5) dan 6 – (-7) sebelum dikerjakan dapat ditulis sebagai 8 – 5 dan 6 + 7. Dari bentuk terakhir ini, secara abstrak siswa akan lebih mudah menyelesaikannya. 3.



Masih banyak para guru dan siswa yang tidak dapat membedakan tanda – atau + sebagai operasi hitung dengan tanda – atau + sebagai jenis suatu bilangan Umumnya, para guru atau siswa belum paham benar menempatkan tanda – atau + sebagai bentuk operasi hitung dengan tanda – atau + sebagai jenis suatu bilangan. Misalnya untuk bentuk “8 + (-5)”, masih banyak dari kalangan guru maupun siswa yang membacanya “delapan ditambah minus lima” atau “delapan ditambah min 5”. Sedangkan untuk bentuk (-5) – (-7) dibaca “min lima min min tujuh” atau “minus lima dikurangi minus tujuh”. Padahal bentuk seperti “8 + (-5)” harusnya dibaca “delapan ditambah negatif lima” atau “delapan plus negatif lima”, sedangkan untuk bentuk (-5) – (-7) harus dibaca “negatif lima dikurangi negatif tujuh” atau “negatif lima minus negatif tujuh”. Jadi, kalau tanda – atau + berfungsi sebagai operasi hitung, maka harus dibaca “minus atau min atau kurang untuk tanda – dan plus atau tambah untuk tanda +”. Sedangkan, kalau tanda – atau + ditempatkan sebagai jenis suatu bilangan, maka harus dibaca “negatif untuk tanda – dan positif untuk tanda +”. Dalam berbagai buku tentang pembelajaran matematika, untuk menghindari kekeliruan-kekeliruan seperti di atas biasanya penulisan tanda – atau + sebagai bentuk operasi hitung dibedakan dengan penulisan tanda – atau + sebagai jenis suatu bilangan. Bentuk penulisan yang dimaksud adalah sebagai berikut, untuk bentuk 8 + (-5) atau yang sejenisnya ditulis sebagai + 8 + -5. Sedangkan untuk bentuk –5 – (-7) atau yang sejenisnya ditulis sebagai -5 – -7. Dari dua bentuk penulisan yang terakhir ini dapat terlihat dengan jelas perbedaan antara tanda – atau + sebagai bentuk operasi dan sebagai jenis bilangan, dan juga dapat memperlihatkan hubungan yang jelas antara tanda – sebagai pengurangan dan tanda – sebagai istilah lawan (invers aditif). Penulisan contoh-contoh seperti ini antara lain dikemukakan oleh Charles D’ Augustine and C. Winston S (1992, hal 361 – 354), dan John A. Van De Walle (1990. hal. 345 – 351).



3.42



Pembelajaran Matematika SD 



4.



Kurang tepatnya memberikan pengertian bilangan bulat Pada umumnya, dalam buku-buku pelajaran di sekolah dasar (khususnya untuk kelas 5) banyak yang tidak memperhatikan bagaimana memberikan penjelasan atau pengertian adanya bilangan bulat secara tepat. Misal, ada buku yang memberi ilustrasi anak berjalan maju untuk menandakan bilangan positif dan anak mundur untuk bilangan negatif tanpa adanya penjelasan kenapa harus ada bilangan negatif. Atau ada pula buku yang memberi ilustrasi anak berjalan ke kiri dari suatu pohon untuk menandakan bilangan negatif dan di sisi lain dari pohon tersebut diperlihatkan anak sedang berjalan ke arah kanan untuk menandakan bilangan positif. Padahal untuk menjelaskan pengertian bilangan bulat (khususnya yang menyangkut bilangan yang negatif) harus dikaitkan dengan jenis atau bentuk operasi pada bilangan asli seperti yang disampaikan di awal pembahasan modul ini, sehingga anak akan mengerti kenapa harus ada bilangan negatif yang secara utuh jika digabungkan dengan bilangan cacah menjadi bilangan bulat. Setelah pengertian ini diberikan, barulah dalam penjabaran berikutnya dikaitkan dengan fakta-fakta yang ada dalam kehidupan sehari-hari untuk menambah pemahaman anak terhadap bilangan bulat. 5.



Sulitnya memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak (tanpa menggunakan alat bantu) Untuk mengatasi hal ini, bacalah kembali uraian materi yang menyangkut bahasan operasi hitung bilangan bulat baik yang terdapat dalam modul ini, maupun dalam bahan pendukung. Di samping itu baca pula uraian materi yang menyangkut bahasan tentang penyampaian konsep operasi hitung tanpa alat bantu. Yang terpenting, Anda harus mempunyai keinginan untuk mencoba menggunakan alat peraga dengan prinsip yang benar dan ini harus Anda latih sendiri, serta harus banyak berbuat agar pembelajaran matematika menjadi pelajaran yang menarik dan tidak kering. Dan jangan lupa, kaitkanlah setiap soal yang Anda sampaikan dengan persoalan dalam kehidupan sehari-hari walaupun tidak semuanya dapat dilakukan.



3.43



 PDGK4406/MODUL 3



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan balok garis bilangan untuk menjelaskan bentuk operasi (-6) – (-8) dan (-5) – 4! 2) Jelaskan secara tepat, bagaimana memperagakan alat peraga manikmanik untuk menjelaskan bentuk operasi 4 – 7 dan (-5) + 8! 3) Apa yang dapat Anda simpulkan tentang gerakan model pada garis bilangan dalam kaitannya dengan gerakan anak panah pada garis bilangan? 4) Seorang guru sedang menjelaskan cara penggunaan garis bilangan untuk mengerjakan operasi hitung 6 – (-5) dan 5 – 9 dengan hasil peragaannya sebagai berikut: Peragaan garis bilangan untuk 6 – (-5):



Gambar 3.34



Peragaan garis bilangan untuk 5 – 9:



Gambar 3.35



Menurut Anda apakah peragaan tersebut sudah sesuai dengan prinsip penggunaan garis bilangan yang dikemukakan dalam modul ini? Jelaskan! 5) Seorang guru sedang memberikan beberapa contoh soal dengan menggunakan garis bilangan untuk beberapa soal berikut:



3.44



Pembelajaran Matematika SD 



1. 2. 3.



4–4=0 4–3=1 4–2=2



4. 5. 6.



4–1=… 4–0=… 4 – (-1) = …



7. 8. 9.



4 – (-2) … 4 – (-3) … 4 – (-4) = …



Untuk nomor 4 sampai 9 diperintahkannya 6 orang siswa untuk melanjutkan pengisiannya. Setelah itu diperintahkan pula beberapa siswa lainnya untuk menyelesaikan soal-soal berikutnya tanpa alat bantu. 10. 4 + 1 = … 11. 4 + 2 = … 12. 4 + 3 = … Menurut Anda, konsep apakah yang hendak ditekankan oleh guru tersebut dan dalam tahap yang mana sebaiknya konsep tersebut diperkenalkan kepada siswa? 6) Kajilah beberapa buku pelajaran matematika SD (khusus yang membicarakan pokok bahasan bilangan bulat) di sekitar lingkungan Anda mengajar. Identifikasilah bentuk-bentuk penyampaian konsep yang kurang tepat. Kemudian diskusikanlah bersama teman-teman sejawat Anda, bagaimana seharusnya penyampaian konsep yang Anda anggap salah tersebut. 7) Sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat? 8) Selidikilah, sifat-sifat apa saja yang berlaku pada himpunan A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} terhadap operasi penjumlahan? Petunjuk Jawaban Latihan Untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat, gunakanlah rambu-rambu (petunjuk) jawaban berikut sebagai salah satu solusinya. 1) Untuk bentuk operasi (-6) – (-8), dari skala 0 langkahkanlah model ke arah bilangan negatif di skala –6, kemudian langkahkanlah mundur sebanyak 8 langkah dengan muka model menghadap ke bilangan negatif (mengapa?) Lalu, pada skala berapa model tersebut berhenti. 2) Untuk bentuk operasi (-5) – 4, dari skala 0 langkahkan model ke arah bilangan negatif dan berhenti di skala –5. Kemudian, langkahkanlah mundur model tersebut sebanyak 4 langkah dengan muka model menghadap ke bilangan positif (mengapa?). Dan perhatikanlah pada skala berapa model tersebut berhenti.



 PDGK4406/MODUL 3



3)



4)



5)



6)



7) 8)



3.45



Untuk bentuk operasi 4 – 7, letakkanlah empat buah manik-manik yang bertanda positif ke dalam papan peragaan. Kemudian, letakkan pula 3 buah manik-manik yang bertanda positif dan negatif dengan posisi dihimpitkan sehingga menjadi lingkaran penuh. setelah itu, barulah kita ambil manik-manik yang bertanda positif sebanyak 7 buah. Sisa manikmanik yang tertinggal itulah hasil dari 4 – 7. Untuk bentuk operasi (-5) + 8, letakkanlah 5 buah manik-manik yang bertanda negatif ke dalam papan peragaan. Kemudian, letakkan pula 8 buah manik-manik yang bertanda positif. Setelah itu, lakukanlah pemetaan antara manik-manik yang bertanda negatif dan positif sehingga menjadi lingkaran penuh. Tentunya ada beberapa manik-manik dengan tanda positif yang tidak mempunyai pasangan. Manik-manik yang tidak mempunyai pasangan itulah merupakan hasil dari (-5) + 8. Kalau kita melakukan peragaan menggunakan balok garis bilangan, maka gerakan model yang terjadi sama halnya dengan gerakan anak panah pada garis bilangan. Untuk lebih jelasnya, cobalah Anda gambarkan gerakan-gerakan model untuk operasi hitung tertentu, kemudian hapuslah gambar modelnya. Maka gambar yang terjadi merupakan gambar arah-arah anak panah seperti pada peragaan garis bilangan. Berdasarkan prinsip penggunaan garis bilangan, ada langkah-langkah yang salah pada kedua garis bilangan tersebut yaitu kurang tepatnya memperagakan gerakan anak panah untuk bilangan-bilangan keduanya. Coba Anda perbaiki kesalahan langkah anak panah tersebut. Yang ditekankan adalah konsep a – b = a + (-b) atau a – (-b) = a + b. Dan sebaiknya konsep ini diperkenalkan di akhir tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak. Umumnya banyak kesalahan dalam penyampaian konsep pengertian bilangan bulat, penggunaan garis bilangan, atau pengenalan istilah lawan. Sifat yang berlaku pada pengurangan bilangan bulat hanya sifat ketertutupan. Untuk menyelidikinya, lengkapilah tabel yang ada di halaman berikut:



3.46



Pembelajaran Matematika SD 



Tabel 3.1.



+ -3 -2 -1 0 1 2 3



-3



-2



-1



0



1



2



3



Kemudian kajilah seperti pada waktu membahas sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat. Kalau hasil kajian Anda benar, maka ada beberapa sifat yang tidak memenuhi syarat. Silakan Anda sendiri yang menyebutkannya. R A NG KU M AN 1.



2.



3.



4. 5.



Untuk menyampaikan pengertian bilangan bulat, sebaiknya diawali dengan penyampaian kasus-kasus dalam operasi hitung pada bilangan asli, agar anak dapat mengerti kenapa harus ada bilangan bulat. Dalam menyampaikan konsep operasi hitung bilangan bulat, sebaiknya dilakukan dalam 3 tahap, yaitu: Tahap pertama : tahap pengenalan konsep secara konkret Tahap kedua : tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak. Tahap ketiga : tahap pengenalan konsep secara abstrak. Pada pengenalan konsep secara konkret sebaiknya diperkenalkan melalui alat peraga, seperti balok garis bilangan dan manik-manik, ataupun alat peraga lain selama prinsip kerjanya dapat dipertanggungjawabkan kebenarannya. Pada tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semi abstrak dapat mempergunakan garis bilangan. Sedangkan pada tahap pengenalan konsep secara abstrak dapat dilakukan dengan memberikan contoh-contoh soal yang berpola atau mempunyai keistimewaan-keistimewaan.



 PDGK4406/MODUL 3



3.47



6.



Pada penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat-sifat: a. Tertutup. b. Komutatif. c. Asosiatif. d. Adanya unsur identitas penjumlahan (bilangan 0). e. Adanya unsur invers aditif (linear). Sedangkan pada pengurangannya hanya berlaku sifat yang pertama, yaitu sifat tertutup. 7. Untuk menghindarkan salah penafsiran hendaknya dibedakan bentuk penulisan tanda – sebagai operasi hitung dan sebagai jenis bilangan. 8. Masih cukup banyak ragam permasalahan dalam pembelajaran bilangan bulat, seperti: a. penggunaan alat peraga atau garis bilangan yang menyimpang dari prinsip kerjanya. b. salah penafsiran bentuk a + (-b) sebagai a – b atau a – (-b) sebagai a + b. c. masih banyak para guru dan siswa yang tidak dapat membedakan antara tanda +/- sebagai operasi hitung dengan tanda +/- sebagai garis bilangan. d. kurang tepatnya memberikan pengertian bilangan bulat. e. sulitnya memberikan penjelasan bagaimana melakukan operasi hitung pada bilangan bulat secara konkret maupun secara abstrak. TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dari bentuk-bentuk kalimat berikut, yang dapat dijadikan sebagai awal pembahasan bilangan bulat adalah …. A. 5 + … = 7 B. … + 8 = 13 C. 13 + … = 7 D. 8 + 5 = ... 2) Jika seorang guru melakukan peragaan sebagai berikut! Mula-mula ia letakkan 2 buah manik-manik yang bertanda negatif ke dalam papan peragaan, kemudian ia tambahkan lagi ke dalam papan peragaan tersebut 5 pasang manik-manik (tanda positif dan negatif) yang diletakkan secara berdampingan (membentuk lingkaran), lalu ia ambil kembali 7 buah



3.48



Pembelajaran Matematika SD 



manik-manik yang bertanda negatif. Peragaan di atas memperlihatkan bentuk operasi hitung .... A. 2 - 7 B. (-2) – (-7) C. 2 – (-7) D. 2 + 7 3)



Gambar 3.37.



Peragaan garis bilangan di atas memperlihatkan kepada kita bentuk operasi hitung …. A. (-4) – (-9) B. (-4) + 9 C. (-4) - 9 D. 9 - 4 4) Seorang guru sedang memperagakan penggunaan balok garis bilangan. Mula-mula ia langkahkan model ke arah bilangan positif dan berhenti di skala 5. Pada skala 5 tersebut sisi muka model diarahkan ke bilangan negatif, kemudian ia langkahkan model tersebut mundur sebanyak 9 skala. Peragaan operasi hitung ini memperlihatkan kepada kita bentuk operasi hitung …. A. 5 + 9 B. 5 + (-9) C. 5 - 9 D. 5 – (-9) 5) Di antara peragaan-peragaan garis bilangan yang memperlihatkan bentuk operasi hitung (-2) – (-3) adalah …. A.



 PDGK4406/MODUL 3



3.49



B.



C.



D.



6) Penggunaan dua buah mistar hitung untuk melakukan operasi hitung bilangan bulat lebih dapat digunakan untuk mengenalkan konsep secara …. A. konkret B. semi konkret C. semi abstrak D. abstrak 7) Bentuk operasi hitung –20 – (-15) sama artinya dengan bentuk operasi hitung …. A. 20 - 15 B. (-15) + 20 C. 20 – (-15) D. (-20) + 15 8) Pada operasi pengurangan bilangan-bilangan bulat tidak berlaku sifatsifat berikut, kecuali …. A. komutatif B. asosiatif C. tertutup D. ada unsur inversinya 9) Seekor burung terbang ke utara dengan kecepatan 10 m/detik. Dari utara tertiup angin dengan kecepatan 11 m/detik, maka besarnya kecepatan burung tersebut ke arah utara adalah …. A. 1 m/detik B. -1 m/detik C. -21 m/detik D. 21 m/detik



3.50



Pembelajaran Matematika SD 



10) Masih terkait soal nomor 9, bentuk operasi untuk menyatakan kecepatan burung ke arah utara tersebut adalah …. A. (11 – 10) m /detik B. (-11 – 10) m /detik C. (10 – (-11)) m /detik D. (10 + (-11)) m /detik Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4406/MODUL 3



3.51



Kegiatan Belajar 2



Perkalian dan Pembag ian pada Bilangan Bulat serta Sistem Persamaan Linear



M



ateri yang akan dibahas dalam Kegiatan Belajar 2 ini dapat dikatakan sebagai materi pengayaan. Namun hal ini perlu Anda pelajari pula dengan sungguh-sungguh. Di samping sebagai materi tambahan, juga berguna untuk memperluas wawasan pengetahuan Anda, sehingga Anda sendiri nantinya punya cukup bekal untuk menyampaikan pengetahuan ini kepada siswa agar tidak terjadi penyampaian konsep yang tidak pada tempatnya. Seperti halnya pada waktu membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, maka untuk mengenalkan konsep operasi hitung perkalian dan pembagian pada sistem bilangan bulat juga dilakukan melalui 3 tahap, yaitu: tahap pengenalan konsep secara konkret, tahap pengenalan konsep secara semi konkret dan semi abstrak, dan tahap pengenalan konsep secara abstrak. Selanjutnya karena materi yang ada pada kegiatan belajar ini sifatnya pengayaan, maka pembahasannya diarahkan ke dalam tahap yang ketiga, sedangkan untuk tahap pertama dan tahap kedua dapat Anda pelajari pada bahan pendukung. Namun, agar materi yang Anda pelajari ini dapat diterima secara berkesinambungan sebelum melanjutkan pembahasan materi yang ada dalam bahan ajar pokok (modul) ini, ada baiknya Anda pelajari terlebih dahulu bahasan materi yang ada dalam bahan pendukung. A. OPERASI HITUNG PERKALIAN PADA BILANGAN BULAT DALAM TAHAP PENGENALAN KONSEP SECARA KONKRET Sebelum membahas perkalian bilangan bulat, cobalah Anda kaji kembali pengertian tentang perkalian bilangan cacah, dan sifat-sifat yang berlaku pada perkalian bilangan cacah yang mungkin pernah Anda ajarkan kepada siswa Anda di kelas 2 dan kelas 3. Pada operasi perkalian bilangan cacah, telah diketahui bahwa “3  4” (yang dibaca tiga kali empatan) diartikan sebagai “4 + 4 + 4” sedangkan “4  3” (yang dibaca empat kali tigaan) diartikan sebagai “3 + 3 + 3 + 3”.



3.52



Pembelajaran Matematika SD 



Dari uraian yang singkat ini, dapat kita tekankan bahwa sebenarnya perkalian pada suatu bilangan dapat diartikan sebagai penjumlahan berulang. Berarti, untuk mencari hasil dari a  b sama halnya dengan cara menunjukkan penjumlahan b + b + b + ... sebanyak a kali. Berpedoman pada prinsip tersebut, maka dapatlah diperlihatkan bentukbentuk peragaan perkalian bilangan-bilangan bulat menggunakan balok garis bilangan dengan berbagai kemungkinannya, yaitu: 1.



a  b dengan a > 0 dan b > 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan positif. b. Langkahkan model maju sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b skala. c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya.



2.



a  b dengan a > 0 dan b < 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif. b. Langkahkan model maju sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b skala. c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya.



 PDGK4406/MODUL 3



3.



a  b dengan a < 0 dan b > 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan positif. b. Langkahkan model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b skala. c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya.



4.



a  b dengan a < 0 dan b < 0, maka prinsip kerja yang harus dijalankan adalah: a. Pasang model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif. b. Langkahkan "model mundur sebanyak a langkah, dan setiap langkah sebanyak b skala. c. Kedudukan akhir model menunjukkan hasil perkaliannya.



3.53



Operasi Hitung Perkalian pada Bilangan Bulat dalam Tahap Pengenalan Konsep Secara Semi Konkret atau Semi Abstrak Pada tahap pengenalan konsep secara semi konkret, prosesnya diarahkan kepada bagaimana "menggunakan garis bilangan". Seperti halnya saat menggunakan alat peraga, maka dalam tahap inipun penggunaannya harus mengacu pada prinsip-prinsip penggunaan garis bilangan tersebut. Prinsipnya, cara kerja pada garis bilangan sebenarnya sama dengan prinsip kerja pada alat peraga balok garis bilangan. Kalau Anda perhatikan



3.54



Pembelajaran Matematika SD 



peragaan-peragaan balok garis bilangan yang ada di halaman 3.52 dan 3.53, jika modelnya diangkat maka akan terlihatlah bentuk peragaan garis bilangannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar-gambar peragaan garis bilangan di bawah ini.



Selanjutnya, untuk tahap pengenalan secara semi abstrak dapat Anda simak pada uraian berikut. Sebagai acuannya adalah konsep-konsep operasi hitung perkalian pada sistem bilangan cacah. Pada perkalian bilanganbilangan cacah, tentunya Anda sudah mengenal beberapa sifat berikut, yaitu: 1. komutatif, artinya untuk setiap bilangan cacah a dan b berlaku a  b = b  a. 2. asosiatif, artinya untuk setiap bilangan cacah a, b dan c berlaku (a  b)  c = a  (b  c). 3. adanya unsur identitas, yaitu 1, artinya untuk setiap bilangan cacah a berlaku a  1 = 1  a = a. Selanjutnya, dengan menggunakan pengertian perkalian dan sifat-sifat bilangan cacah akan kita bahas mengenai perkalian pada sistem bilangan bulat dengan cakupan: 1. Perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. 2. Perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. 3. Perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. 4. Perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif.



 PDGK4406/MODUL 3



3.55



1.



Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif Mengalikan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif caranya sama seperti pada waktu melakukan perkalian-perkalian pada bilanganbilangan cacah atau pada bilangan asli, yaitu sebagai berikut: a. 3  6 = 6 + 6 + 6 = 18. b. 6  3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18. c. 4  5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20. d. 5  4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20. e. 3  7 = 7 + 7 + 7 = 21. Dari contoh-contoh tersebut, dapatlah kita nyatakan bahwa “hasil kali dua buah bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif. 2.



Perkalian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif Pada subbahasan di atas telah dijelaskan bahwa 3  6 sama artinya dengan penjumlahan berulang terhadap bilangan 6 sebanyak 3 kali, atau 3  6 = 6 + 6 + 6 = 18. Selanjutnya dengan menggunakan pengertian tersebut, cobalah Anda kerjakan soal-soal perkalian berikut: 3  (-7); 4  (-3); dan 2  (-8). Silakan! Kemudian bandingkanlah jawaban Anda dengan keterangan berikut: a. 3  (-7) sama artinya dengan (-7) + (-7) + (-7) = -21, jadi 3  (-7) = -21. b. 4  (-3) sama artinya dengan (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12, jadi 4  (-3) = -12. c. 2  (-8) sama artinya dengan (-8) + (-8) = -16, jadi 2  (-8) = -16. Dari keterangan serta penjabaran contoh di atas, memberi petunjuk kepada kita bahwa “hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif”. 3.



Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif Pada subbahasan ini masih akan membicarakan perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, tetapi dengan penempatan yang berbeda. Artinya kita akan mencari tahu bagaimanakah cara menghitung soal-soal seperti: (-4)  6; (-5)  7; (-3)  9, dan seterusnya dengan posisi bilangan negatif letaknya pada bilangan pertama.



3.56



Pembelajaran Matematika SD 



Tentunya proses pengerjaannya tidak dapat dilakukan menggunakan prinsip penjumlahan berulang seperti contoh-contoh di atas. Lalu, bagaimana caranya? Pandang bentuk perkalian-perkalian berikut: a. 5  5 = … b. 5  3 = … 45=… 43=… 35=… 33=… 25=… 23=… 15=… 13=… 05=… 03=… --------------------(-1)  5 = … (-1)  3 = … (-2)  5 = … (-2)  3 = … (-3)  5 = … (-3)  3 = … (-4)  5 = … (-4)  3 = … bilangan yang dikali bilangan pengali Kedua kelompok perkalian di atas, sementara hanya dapat dikerjakan sampai batas garis putus-putus berdasarkan prinsip-prinsip perkalian sebelumnya yaitu: a. 5  5 = 25 b. 5  3 = 15 4  5 = 20 4  3 = 12 3  5 = 15 33=9 2  5 = 10 23=6 15=5 13=3 05=0 03=0 --------------------(-1)  5 = … (-1)  3 = … (-2)  5 = … (-2)  3 = … (-3)  5 = … (-3)  3 = … (-4)  5 = … (-4)  3 = … Untuk dapat melengkapi hasil perkalian dari masing-masing kelompok di atas, simak dan kajilah keterangan berikut:



 PDGK4406/MODUL 3



3.57



Perhatikan perkalian-perkalian pada kelompok I. Dalam kelompok tersebut terlihat bahwa dari urutan teratas sampai urutan di bawahnya, bilangan pengali selalu “berkurang 1” (dari 5 ke 4 berkurang 1, dari 4 ke 3 berkurang 1, dari 3 ke 2 berkurang 1, dan seterusnya). Sedangkan bilangan yang dikalinya tetap, yaitu 5. Hasil-hasil perkalian dari urutan yang teratas ke urutan berikutnya selalu “berkurang 5” (dari 25 ke 20 berkurang 5, dari 20 ke 15 berkurang 5, dari 15 ke 10 berkurang 5, dan seterusnya). Untuk lebih jelasnya lihat pola berikut:



Dengan memperhatikan pola atau aturan yang terlihat dari perkalian di atas, maka dapatlah kita tentukan hasil kali bilangan-bilangan yang ada di bawah garis putus-putus, yaitu: (-1)  5 = (-5) (-2)  5 = (-10) (-3)  5 = (-15) (-4)  5 = (-20)



didapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu 0, dikurang 5. didapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (-5), dikurang 5. didapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (-10), dikurang 5. didapat dari hasil kali bilangan di atasnya, yaitu (-15), dikurang 5.



3.58



Pembelajaran Matematika SD 



Dan jika perkalian ini diteruskan, maka akan selalu menghasilkan bilangan bulat negatif. Dengan cara yang sama seperti dalam perkalian-perkalian pada kelompok I, maka pada kelompok II akan menghasilkan bilangan-bilangan yang berkurang 3 dari hasil perkalian bilangan di atasnya. Sehingga hasil kali bilangan-bilangan yang ada di bawah garis putus-putus pada kelompok II adalah: (-1)  3 = (-3) didapat dari 0 dikurang 3 (0 – 3). (-2)  3 = (-6) didapat dari -3 dikurang 3 (-3 – 3). (-3)  3 = (-9) didapat dari -6 dikurang 3 (-6 – 3). (-4)  3 = (-12) didapat dari -9 dikurang 3 (-9 – 3). Dari pola-pola di atas maka kita dapat menarik suatu kesimpulan, yaitu: “hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif”. Selanjutnya kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti: 1. (-4)  6 = -24. 2. (-5)  7 = -35. 3. (-3)  9 = -27. 4. (-2)  8 = -16. 4.



Perkalian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif Pada subbahasan ini kita akan membahas bagaimana menentukan proses penyelesaian soal-soal seperti (-3)  (-2), (-4)  (-3), (-5)  (-4) dan seterusnya. Gunakan pola-pola perkalian seperti pola perkalian pada saat mencari hasil perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. Buat kelompok perkalian dalam tiga kelompok seperti: a.



4  (-2) = … 3  (-2) = … 2  (-2) = … 1  (-2) = … 0  (-2) = … --------(-1)  (-2) = … (-2)  (-2) = … (-3)  (-2) = …



atas.



(-5)  5 = … (-5)  4 = … (-5)  3 = … (-5)  2 = … (-5)  1 = … (-5)  0 = … --------(-5)  (-1) = … (-5)  (-2) = … (-5)  (-3) = … Selanjutnya Anda dapat mencari pola perkalian dari ketiga kelompok di b.



3  (-3) = … 2  (-3) = … 1  (-3) = … 0  (-3) = … ---------(-1)  (-3) = … (-2)  (-3) = … (-3)  (-3) = … (-4)  (-3) = …



c.



3.59



 PDGK4406/MODUL 3



Dari pola-pola tersebut apa yang dapat Anda simpulkan? Ya, kesimpulan yang dapat diperoleh adalah: “hasil kali dua buah bilangan bulat negatif merupakan bilangan bulat positif”. Dengan demikian kita dapat menyelesaikan soal-soal seperti: 1. (-7)  (-3) = 21 4. (-8)  (-7) = 56 2. (-4)  (-5) = 20 5. (-6)  (-5) = 30 3. (-9)  (-6) = 54 6. (-15)  (-20) = 300 Lengkaplah semua perkalian yang mungkin pada bilangan-bilangan bulat, sehingga dengan mudah kita dapat menghitung hasil kali sebarang dua buah bilangan bulat. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa: (bilangan bulat positif)  (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif). (bilangan bulat positif)  (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif)  (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif)  (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif). B. SIFAT-SIFAT PERKALIAN PADA BILANGAN BULAT Untuk mengetahui sifat-sifat yang ada pada perkalian bilangan bulat, perhatikan tabel perkalian berikut. Tabel 3.2.



X



-5



-4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



5



-5



25



20



15



10



5



0



-5



-10



-15



-20



-25



-4



20



16



12



8



4



0



-4



-8



-12



-16



-20



-3



15



12



9



6



3



0



-3



-6



-9



-12



-15



-2



10



8



6



4



2



0



-2



-4



-6



-8



-10



-1



5



4



3



2



1



0



-1



-2



-3



-4



-5



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



0



1



-5



-4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



5



2



-10



-8



-6



-4



-2



0



2



4



6



8



10



3



-15



-12



-9



-6



-3



0



3



6



9



12



15



4



-20



-16



-12



-8



-4



0



4



8



12



16



20



5



-25



-20



-15



-10



-5



0



5



10



15



20



25



3.60



Pembelajaran Matematika SD 



Dari tabel perkalian ini, cobalah Anda periksa. 1. 2. 3. 4.



5.



Apakah hasil perkalian tersebut semuanya merupakan bilangan bulat? Bagaimanakah jika bilangan-bilangan tersebut dikalikan dengan 0. Bagaimanakah jika bilangan-bilangan tersebut dikalikan dengan 1. Apakah bilangan-bilangan yang terletak di bawah diagonal utama (lihat garis putus-putus) semuanya sama dengan bilangan-bilangan yang tercetak di atas diagram utama tersebut. Selanjutnya, lengkapilah tabel-tabel berikut ini dan kajilah, adakah halhal istimewa yang dapat digunakan untuk menetapkan suatu pernyataan yang baku. a. a -2 4 -4 2



Tabel 3.3.



b 3 -1 1 -4



c 2 -3 -5 -2



(a  b) -6 … … …



(b  c) 6



b 1 -4 -1 -5



c -3 -3 -2 2



(b + c) … -7 … …



a  (b + c) … … -12 …



b 3 1 -5 -2



c -4 3 4 -5



(b - c) 7 … … …



a  (b - c) … 10 … …



b. a -5 2 4 -3



a  (b  c) -12



Tabel 3.4.



c. a -2 -5 2 -3



(a  b)  c -12



(a  b) -5 … … …



(a  c) … … … -6



(a  b) + (a  c) … -14 … …



Tabel 3.5.



(a  b) … … -10 …



(a  c) 8 … … …



(a  b) - (a  c) … … … -9



 PDGK4406/MODUL 3



3.61



Sebelum pembahasannya dilanjutkan, usahakanlah agar Anda mengkaji terlebih dahulu dengan sungguh-sungguh atas pertanyaan-pertanyaan pada poin 1 sampai 5 di atas. Setelah itu, barulah Anda lanjutkan pembahasannya. Jika Anda sungguh melaksanakan instruksi ini, maka ada hal yang akan Anda dapatkan yaitu Anda mempunyai kemampuan untuk memberikan penguatan terhadap diri sendiri dan biasanya ini berpengaruh terhadap keingintahuan pada materi-materi yang lain. Selanjutnya, jika Anda telah melakukan pengkajian, tentunya Anda sepakat bahwa: 1. Hasil perkalian semua bilangan bulat dalam Tabel 3.2. perkalian di atas merupakan bilangan bulat pula. Berarti pada operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat ketertutupan. 2. Semua bilangan bulat jika dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0 atau jika a bilangan bulat, maka a  0 = 0  a = 0. 3. Semua bilangan bulat jika dikalikan dengan bilangan 1, hasilnya akan tetap yaitu bilangan bulat itu sendiri. Hal ini menunjukkan bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat ada unsur identitasnya, yaitu 1. Secara matematis hal ini ditulis “jika a bilangan bulat maka a  1 = 1  a = a”. 4. Bilangan-bilangan yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan bilangan-bilangan yang terletak di atas diagonal utama. Hal ini menunjukkan bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat komutatif, dan secara matematis dinyatakan “jika a dan b sebarang bilangan bulat, maka berlaku a  b = b  a”. 5. Dari Tabel 3.3 letak keistimewaannya ada pada kolom ke 6 dan kolom ke 7, yaitu hasil perkalian bilangan-bilangan pada kolom ke 6 sama dengan hasil perkalian bilangan-bilangan pada kolom ke 7. Padahal pengelompokannya berbeda (masing-masing kolom menghasilkan bilangan-bilangan –12, 12, 20, dan 16). Hal ini memberi petunjuk kepada kita bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, dan secara matematis dinyatakan bahwa “jika a, b, dan c sebarang bilangan bulat maka berlaku (a  b)  c = a  (b  c). 6. Dari Tabel 3.4 letak keistimewaannya ada pada kolom ke 5 dan kolom ke 8, yaitu hasil operasi hitung pada kedua kolom tersebut sama, kedua kolom menghasilkan bilangan-bilangan 10, -14, -12, dan 9. Demikian pula halnya untuk Tabel 3.5 bahwa pada kolom ke 5 dan ke 8 menghasilkan bilangan-bilangan yang sama yaitu: –14, 10, -18, dan –9. Hal ini menunjukkan kepada kita bahwa dalam operasi perkalian



3.62



Pembelajaran Matematika SD 



bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian, baik terhadap penjumlahan maupun terhadap pengurangan, dan secara matematis dinyatakan bahwa “jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka berlaku a  (b + c) = (a  b) + (a  c) dan a  (b – c) = (a  b) – (a  c). Sifat distributif yang ditunjukkan di atas merupakan sifat distributif kanan. Bagaimana dengan sifat distributif kiri? Silakan Anda membuat sendiri tabel seperti Tabel 3.4 dan Tabel 3.5 yang akan menunjukkan keberlakuan sifat distributif kiri dalam perkalian bilangan bulat baik terhadap penjumlahan maupun pengurangan, yaitu “jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka berlaku (a + b)  c = (a  c) + (b  c) dan (a – b)  c = (a  c) – (b  c)”. Dengan demikian untuk setiap bilangan bulat a, b dan c berlaku: a  (b + c) = (a  b) + (a  c) dan (a + b)  c = (a  c) + (b  c). a  (b – c) = (a  b) – (a  c) dan (a – b)  c = (a  c) – (b  c). Dari uraian di atas, secara umum dapatlah dikatakan bahwa operasi perkalian dalam himpunan bilangan bulat memenuhi sifat: 1. tertutup; 2. komutatif (pertukaran); 3. asosiatif (pengelompokan); 4. memiliki unsur identitas perkalian yaitu 1; 5. distributif perkalian terhadap penjumlahan dan distributif perkalian terhadap pengurangan. Seperti halnya pada waktu membahas sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat, maka pada perkalian bilangan bulat pun, berdasarkan sifat-sifatnya dapat kita kaji hal-hal penting yang sangat bermanfaat sebagai bekal pengetahuan Anda dalam mengembangkan pembelajaran matematika, dan juga dapat Anda buktikan sendiri nantinya bahwa dengan sifat distributif proses perhitungan menjadi lebih mudah dikerjakan.



1.



Hal-hal yang dimaksud di atas di antaranya adalah sebagai berikut. Di antara sifat-sifat di atas, ada yang dapat digunakan untuk membuktikan bahwa “hasil kali dua buah bilangan bulat negatif, adalah bilangan bulat positif”.



 PDGK4406/MODUL 3



3.63



Kasus 1: Kasus Umum Misalkan a dan b adalah bilangan bulat positif, maka (a) & (-b) adalah bilangan bulat negatif. Perhatikanlah bentuk kesamaan berikut: (-a) . (-b) + (-a) . b + a . b = (-a) . (-b) + (-a) . b + a . b.  (-a) . (-b) + [(-a) . b + a . b] = [(-a) . (-b) + (-a) . b] + a . b (sifat asosiatif).  (-a) . (-b) + [((-a) + a) . b] = [(-a) . ((-b) + b)] + a . b (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).  (-a) . (-b) + [0 . b] = [(-a) . 0] + a . b (sifat invers penjumlahan).  (-a) . (-b) + 0 = 0 + a . b (setiap bilangan bulat dikali nol, hasilnya 0).  (-a) . (-b) = a . b (sifat identitas pada penjumlahan). Dari bentuk kesamaan yang terakhir inilah, terbukti bahwa hasil kali dua buah bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif. Kasus 2: kasus khusus Misalkan kita ingin menentukan hasil kali (-6)  (-5). Untuk menentukan hasil perkalian bilangan-bilangan itu, harus diperhatikan dahulu pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Penjumlahan yang menghasilkan nol adalah penjumlahan bilanganbilangan yang saling invers (invers aditif). b. Perkalian dengan bilangan nol menghasilkan bilangan nol pula. c. Berlakunya sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Sekarang bila kembali pada persoalannya, yaitu bagaimana menentukan hasil kali (-6)  (-5) dengan pernyataan-pernyataan di atas. 



Jumlahkanlah (-6)  (-5) dengan (-6)  5, sehingga: [(-6)  (-5)] + [(-6)  5] = (-6) [(-5) + 5] (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) = (-6). 0 (sifat invers penjumlahan) = 0 (setiap bilangan dikali 0, hasilnya 0).



3.64



Pembelajaran Matematika SD 











2.



Ternyata ((-6)  (-5)) + ((-6)  5) = 0, artinya (-6)  (-5) adalah lawan dari (-6)  5. Sedangkan kita tahu bahwa (-6)  5 = 5  (-6) = -30. Jadi perkalian (-6)  (-5) adalah negatif atau lawan dari –30. berarti (-6)  (-5) sama saja dengan 30. Oleh karena itu (-6)  (-5) = 30.



Dengan sifat distributif dapat mempermudah penyelesaian hitunganhitungan seperti: a. 50  615 + 50  85 = … b. 80  97 – 80  47 = … Yaitu: a. 50  615 + 50  85 = 50  (615 + 85) (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan) = 50  700 = 35.000 b. 80  97 – 80 x 47 = 80  (97 – 47) (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan) = 80  50 = 4000.



C. OPERASI PEMBAGIAN PADA BILANGAN BULAT Operasi pembagian pada dasarnya sama dengan mencari faktor (bilangan) yang belum diketahui. Karenanya bentuk pembagian dapat dipandang sebagai bentuk operasi perkalian dengan salah satu faktornya belum diketahui. Sebagai contoh, kalau dalam perkalian 3  4 = n, maka tentu nilai n = 12. Dalam pembagian hal tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk 12 : 3 = n atau 12 : 4 = n. Dari bentuk ini, bagaimanakah proses mencari nilai n-nya? Seperti halnya pada operasi hitung penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, maka pada operasi hitung pembagian pada bilangan bulat pada tahap “pengenalan konsep secara konkret” juga dapat didekati dengan menggunakan alat peraga balok garis bilangan. Selanjutnya, untuk memperagakan hasil pembagian bilangan bulat dengan menggunakan balok garis bilangan ini, prinsip kerja yang harus diperhatikan adalah:



 PDGK4406/MODUL 3



3.65



Untuk menuju bilangan yang akan dibagi (misal a), dengan skala sebesar bilangan pembaginya (misal b), berapa langkahkah kita dapat menjalankan model, baik maju maupun mundur agar dapat sampai ke bilangan a. Posisi awal model tergantung pada bilangan pembaginya. Bila bilangan pembaginya merupakan bilangan positif (b > 0), maka posisi awal model "menghadap ke bilangan positif. Sebaliknya, bila bilangan pembaginya merupakan bilangan negatif (b < 0), maka posisi awal model "menghadap ke bilangan negatif'. Bilangan yang merupakan hasil pembaginya ditentukan dari jumlah langkah, sedangkan jenis bilangannya ditentukan oleh "gerakan maju atau mundurnya model". Bila model bergerak maju dengan jumlah langkah tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan positif yang besarnya sesuai dengan jumlah langkah yang terjadi. Selanjutnya, bila model bergerak mundur dengan jumlah langkah tertentu, maka hasil baginya merupakan bilangan negatif yang besarnya sesuai dengan langkah yang terjadi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan peragaan beberapa contoh berikut. Sementara itu, untuk kelancaran memahami proses kerja alat ini, banyak-banyaklah berlatih dengan contoh-contoh yang Anda buat sendiri. a.



-6 : 2 = ....?



1.



Dari soalnya diketahui b > 0, berarti posisi awal model menghadap ke bilangan positif pada skala 0. Untuk sampai ke bilangan -6 model bergerak mundur sebanyak 3 langkah dengan masing-masing langkah sebanyak 2 skala (bilangan pembaginya 2).



2.



3.



Hasil dari -6 : 2 = -3 (diperlihatkan oleh mundurnya model sebanyak 3 langkah).



3.66



Pembelajaran Matematika SD 



b. -6 : -2 = ....? 1.



2.



3.



Dari soalnya diketahui b < 0, berarti posisi awal model menghadap ke bilangan negatif pada skala 0. Untuk sampai ke bilangan -6 model bergerak maju sebanyak 3 langkah dengan masing-masing langkah sebanyak 2 skala (bilangan pembaginya -2). Hasil dari -6 : -2 = 3 (diperlihatkan oleh majunya model sebanyak 3 langkah).



Selanjutnya, dalam tahap pengenalan konsep secara semi konkret, seperti halnya pada operasi-operasi sebelumnya maka pada operasi pembagianpun prosesnya diarahkan kepada bagaimana "menggunakan garis bilangan". Adapun prinsip kerja yang harus diperhatikan pada penggunaan garis bilangan ini sebenarnya sama dengan pada saat kita menggunakan alat peraga balok garis bilangan. Kalau Anda perhatikan peragaan-peragaan yang ada di halaman 3.64, jika modelnya diangkat maka akan terlihatlah bentuk peragaan garis bilangannya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar-gambar peragaan garis bilangan di bawah ini.



Saudara, demikian uraian singkat bagaimana seharusnya menanamkan konsep operasi hitung pembagian bilangan bulat dalam tahap konkret dan semi konkret. Selanjutnya, uraian berikut akan dipaparkan bagaimana seharusnya kita menanamkan konsep operasi hitung pembagian pada bilangan bulat secara semi abstrak atau abstrak.



 PDGK4406/MODUL 3



-



3.67



Coba Anda perhatikanlah bentuk-bentuk perkalian berikut: 3  a = 15. 4  b = 12. 7  c = 28.



Yang menjadi pertanyaannya adalah, berapakah nilai a, b, c dari perkalian-perkalian tersebut. Untuk mencari nilai a, sama artinya dengan mencari jawab pertanyaan berikut: (i) Bilangan manakah yang jika dikalikan dengan 3 menghasilkan 15, atau (ii) Berapakah nilai 15 : 3? Dua pertanyaan di atas, tentunya menghasilkan bilangan yang sama. Jadi bila dalam pertanyaan pertama sudah pasti bilangan yang dimaksud 5, berarti pula nilai dari 15 : 3 = 5  a = 5. Bagaimana dengan nilai b dan c? Uraian di atas memberikan petunjuk kepada kita bahwa membagi 15 dengan 3 sama artinya dengan mencari bilangan yang harus dikalikan 3 untuk memperoleh 15. Dengan demikian dapatlah dikatakan bahwa “pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian”. Jadi, 15 : 3 = 5  3  5 = 15. Berarti 12 : 4 = n  4  n = 12 dan 12 : 3 = n  3  n = 12 Dari bentuk 4  n = 12 didapat n = 3, sehingga 12 : 4 = 3 sedangkan dari bentuk 3  n = 12 didapat n = 4, sehingga 12 : 3 = 4. Contoh 3.3 Hitunglah pembagian bilangan-bilangan bulat berikut: a. 40 : (-8) = … c. (-72) : (-9) = … b. (-48) : 6 = … d 45 : 5 = … Penyelesaian a. 40 : (-8) = -5, sebab (-5)  (-8) = 40 b. (-48) : 6 = -8, sebab (-8)  6 = -48 c. (-72) : (-9) = 8, sebab 8  (-9) = -72 d. 45 : 5 = 9, sebab 9  5 = 45



3.68



1. 2. 3. 4.



Pembelajaran Matematika SD 



Selanjutnya secara ringkas dapatlah kita tetapkan: (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat positif) positif). (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat negatif) negatif). (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat positif) negatif). (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat negatif) positif).



= (bilangan bulat = (bilangan bulat = (bilangan bulat = (bilangan bulat



Pembagian dengan Bilangan Nol Dari uraian di atas, untuk memperoleh hasil dari 15 : 3 kita harus mencari suatu bilangan yang bila dikalikan 3 sama dengan 15, atau a  3 = 15 dan dengan mudah dapat kita tentukan bahwa a = 5. Sekarang, bagaimana caranya untuk memperoleh hasil dari 15 : 0? Jika harus disesuaikan dengan konsep di atas, berarti kita harus menemukan suatu bilangan yang bila dikalikan dengan 0 hasilnya 15 atau a  0 = 15. Untuk jenis bilangan apapun tentunya tidak ada bilangan yang memenuhi perkalian tersebut. Dengan demikian, “pembagian dengan bilangan nol tidak didefinisikan”. Contoh 3.4 Hitunglah pembagian bilangan-bilangan bulat berikut: a. 6 : 4 = … b. (-7) : 2 = … Penyelesaian: a. Tidak ada satu pun bilangan bulat yang dapat diisikan atau sebagai pelengkap dari kalimat 6 : 4 = … sehingga menjadi kalimat yang benar. Dengan kata lain, tidak ada satu pun bilangan bulat jika dikalikan dengan 4 menghasilkan 6. b. Jawabannya sama dengan, jawaban a, yaitu tidak ada bilangan bulat yang memenuhi kalimat (-7) : 2 = … Dari penyelesaian Contoh 3.4 tersebut memberi petunjuk kepada kita bahwa himpunan bilangan bulat tidak tertutup terhadap operasi pembagian.



 PDGK4406/MODUL 3



3.69



D. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN SATU PEUBAH 1.



Kalimat Terbuka, Pernyataan, Peubah, dan Konstanta Perhatikanlah beberapa kalimat berikut, kemudian tentukanlah benar atau tidaknya kalimat-kalimat tersebut: a. Sebuah kubus mempunyai p titik sudut. b. 12 – (-18) = 40. c. x + 5 = 9. d. Jakarta adalah ibukota negara RI. Untuk kalimat-kalimat seperti pada poin (a) dan (c) tentunya kita belum dapat mengatakan benar atau salahnya sebelum kita menentukan nilai “x” dan “p”. Sedangkan untuk kalimat seperti pada poin (b) dan (d) dapatlah kita tentukan benar atau salahnya. (12 – (-18) = 40 merupakan kalimat yang salah dan Jakarta adalah ibukota negara RI merupakan kalimat yang benar). Selanjutnya, bentuk kalimat seperti yang tercantum dalam poin (a) dan (c) disebut sebagai “kalimat terbuka”. Sedangkan bentuk kalimat seperti pada poin (b) dan (d) disebut sebagai “pernyataan”. Pada kalimat “sebuah kubus mempunyai p titik sudut “dan kalimat “x + 5 = 9”, tanda “p” “x” dalam kalimat-kalimat tersebut dinamakan peubah (variabel), sedangkan bilangan “5” dan “9” disebut sebagai konstanta (tetapan). Bila dalam kalimat “x + 5 = 9” nilai peubah x kita ganti dengan bilangan 4, maka bentuk “4 + 5 = 9” menjadi kalimat yang benar, sedangkan bilangan 4-nya dinamakan “pengganti”. Lalu, bagaimanakah dengan peubah p dalam kalimat “sebuah kubus mempunyai p titik sudut”?. Uraian di atas memberikan petunjuk kepada kita, apabila dalam suatu kalimat terbuka tanda peubahnya kita ganti sehingga menjadi kalimat yang benar, maka pengganti itu dinamakan penyelesaian (jawab). Catatan: Di sekolah dasar pengenalan bentuk kalimat terbuka diberikan melalui contoh-contoh seperti … + 4 = 7 atau  + 4 = 7 dan 4 + … = 9 atau 4 + = 9. Dan menurut yang tercantum dalam kurikulum tidak diperkenankan mengenalkannya dalam bentuk n + 4 = 7 atau 4 + n = 9.



3.70



Pembelajaran Matematika SD 



Penyelesaian Kalimat Terbuka Dalam menentukan pengganti suatu kalimat terbuka harus dilakukan seteliti mungkin, karena tidak tertutup kemungkinan bahwa jawabannya tidak hanya satu (dapat pula pengganti tersebut lebih dari 1). Perhatikan dua soal berikut: a. Tentukanlah penyelesaian dari: “x adalah semua faktor positif dari 12”. b. Jika x adalah peubah pada himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, tentukanlah penyelesaian dari 3 + x = 7. Penyelesaian: a. Berdasarkan pohon faktor dapatlah ditentukan bahwa pengganti x yang tepat (penyelesaiannya) adalah: 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. soal ini menunjukkan kepada kita bahwa penggantinya lebih dari satu b. Cara menentukan penyelesaiannya adalah sebagai berikut: Jika x = 0, maka didapat kalimat 3 + 0 = 7 (kalimat yang salah). Jika x = 1, maka didapat kalimat 3 + 1 = 7 (kalimat yang salah). Jika x = 2, maka didapat kalimat 3 + 2 = 7 (kalimat yang salah). Jika x = 3, maka didapat kalimat 3 + 3 = 7 (kalimat yang salah). Jika x = 4, maka didapat kalimat 3 + 4 = 7 (kalimat yang benar). Jika x = 5, maka didapat kalimat 3 + 5 = 7 (kalimat yang salah). Jadi, pengganti x yang menjadikan kalimat 3 + x = 7 menjadi benar hanyalah 4 atau x = 4 merupakan penyelesaian atau kalimat 3 + x = 7. Soal seperti ini menunjukkan kepada kita bahwa penggantinya hanya satu. Selanjutnya, jika pengganti-pengganti dari suatu kalimat terbuka sudah kita dapatkan dan dinyatakan dalam himpunan, maka hal ini dinamakan sebagai suatu himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaian dari soal butir a, adalah {1, 2, 3, 4, 6, 12}, sedangkan himpunan penyelesaian dari soal butir b adalah {4}. 2.



Persamaan Linear dengan Satu Peubah Untuk memahami pengertian dari istilah di atas, cobalah Anda perhatikan, bentuk-bentuk kalimat berikut! a. 4 + x = 6 e. x adalah bilangan prima antara b. 12 – a = 7 1 dan 10. c. x merupakan faktor dari 10 f. 2p + 4 = 5 d. 13  5 = 75 g. 14 + 16 = 30 h. 24 adalah bilangan yang habis di bagi 5.



 PDGK4406/MODUL 3



3.71



Kemudian, kalau dilihat dari jenis kalimatnya, maka 8 kalimat di atas dapat dikategorikan ke dalam 2 jenis, yaitu:  Kalimat terbuka, yaitu untuk kalimat pada poin (a), (b), (c), (e), dan (f).  Pernyataan, yaitu untuk kalimat pada poin (d), (g) dan (h). Sekarang, perhatikan kalimat-kalimat yang termasuk dalam jenis kalimat terbuka, dan telitilah apakah di antaranya ada perbedaan yang cukup jelas. Anda benar, dalam kelompok kalimat terbuka tersebut ada kalimat yang dinyatakan dengan hubungan sama dengan (=) (seperti kalimat pada poin (a), (b) dan (f) dan ada kalimat yang tidak dinyatakan dengan tanda = (seperti kalimat pada poin (c) dan (e). Selanjutnya, untuk kalimat-kalimat terbuka yang dinyatakan dengan tanda “=” disebut sebagai persamaan. Jadi, yang dimaksud dengan persamaan adalah “suatu kalimat terbuka yang dinyatakan dengan hubungan atau tanda sama dengan (=)”. Bentuk: a x + b = c, dengan a  0 dan b, c adalah konstanta disebut sebagai persamaan linear dengan satu peubah karena dalam persamaan tersebut hanya memuat satu peubah (x) yang pangkatnya paling tinggi berderajat 1. (x sebenarnya dapat dinyatakan dengan x1). Untuk bentuk kalimat pada poin (d) dan (g), diskusikanlah apakah kedua kalimat tersebut dapat dikatakan sebagai “persamaan”. Penyelesaian Persamaan Linear dengan satu Peubah Penyelesaian suatu persamaan adalah menentukan pengganti dari peubahnya sehingga persamaan (kalimat terbuka) tersebut menjadi kalimat yang benar, atau dapat juga dikatakan bahwa penyelesaian suatu persamaan adalah proses untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya. Selanjutnya untuk menyelesaikan persamaan linear selain menggunakan cara substitusi seperti pada waktu mencari penyelesaian dari kalimat terbuka, dapat juga menggunakan persamaan yang “ekuivalen”. Namun yang menjadi pertanyaan adalah apa yang dimaksud dengan persamaan yang ekuivalen? dan bagaimana proses penyelesaian persamaan tersebut dengan menggunakan persamaan yang ekuivalen. Yang dimaksud dengan persamaan-persamaan yang ekuivalen adalah persamaan-persamaan yang himpunan penyelesaiannya sama.



3.72



Pembelajaran Matematika SD 



Misalkan: - persamaan 4x + 9 = 17, 4x + 2 = 10; 4x = 8; dan x = 2 adalah persamaan-persamaan yang ekuivalen sebab himpunan penyelesaiannya sama, yaitu {2}. - persamaan 2x + 7 = 9; 2x + 5 = 7; 2x = 2; dan x = 1, adalah persamaanpersamaan yang ekuivalen sebab himpunan penyelesaiannya sama, yaitu {1}. Dari persamaan-persamaan yang ekuivalen di atas, perhatikanlah persamaan –persamaan ekuivalen yang ditebalkan. (4x + 9 = 17 dan x = 2, serta 2x + 7 = 9 dan x = 1) . Kira-kira, apa maksud dari penebalan kalimatkalimat itu? Anda benar, kalau kalimat x = 2 kita substitusikan ke dalam kalimat 4x + 9 = 17 maka kalimat yang terakhir ini menjadi kalimat yang benar, yaitu 4.2 + 9 = 17 juga apabila x = 1 disubstitusikan ke dalam kalimat 2x + 7 = 9, maka kalimat ini pun menjadi benar, yaitu: 2 . 1 + 7 = 9. Jadi berdasarkan kajian-kajian ini, dapatlah disimpulkan bahwa untuk dapat menyelesaikan persamaan linear dengan satu peubah dapat dilakukan dengan menjadikannya persamaan tersebut dalam bentuk persamaan ekuivalen yang paling sederhana. Sebuah persamaan linear dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen yang paling sederhana dengan melakukan pengerjaan-pengerjaan tertentu pada kedua ruasnya. Pengerjaan-pengerjaan yang dimaksud adalah: a. Melakukan penambahan atau pengurangan pada kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama. b. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan bilangan yang sama dan bukan nol. Contoh 3.5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3 = 9 dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian Usahakanlah agar semua konstanta ada di satu ruas (biasanya di ruas kanan). Untuk itu tambahkanlah dengan (-3) pada kedua ruas persamaan x + 3 = 9, yaitu sebagai berikut:  x + 3 + (-3) = 9 + (-3)



3.73



 PDGK4406/MODUL 3



Selanjutnya ingat konsep penjumlahan dan sifat-sifat pada bilangan bulat, bahwa 3 + (-3) = 0 dan 9 + (-3) = 6. Berarti, bentuk persamaan di atas menjadi x = 6 (merupakan persamaan = ekuivalen yang paling sederhana dari bentuk persamaan x + 3 = 9). Jika x = 6 ini kita substitusikan ke dalam persamaan x + 3 = 9, maka kalimat ini menjadi benar, yaitu 6 + 3 = 9. Jadi, himpunan penyelesaian dari x + 3 = 9 adalah {6}. Penyelesaian persamaan di atas secara ringkas ditulis sebagai berikut: x+3=9  x + 3 + (-3) = 9 + (-3) (kedua ruas ditambah (-3)  x+0=6 (sifat identitas penjumlahan)  x = 6.



 Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3 = 9, x  B adalah {6}. Contoh 3.6 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: 3x – 2 = 2x + 10 dengan x  B. Penyelesaian: Secara ringkas soal tersebut dapat dikerjakan sebagai berikut: 3x – 2 = 2x + 10  3x – 2 + 2 = 2x + 10 + 2 (kedua ruas ditambah 2)  3x = 2x + 12  3x + (-2x) = 2x + (-2x) + 12 (kedua ruas ditambah -2x)  x = 12. Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan 3x – 2 = 2x + 10, x  B adalah {12}. Contoh 3.7. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari -5x + 8 = 23, x  B. Penyelesaian: -5x + 8 = 23  -5x + 8 + (-8) = 22 + (-8)  -5x = 15



(kedua ruas ditambah -8)



3.74



 1  1     .(5x)     .15  5  5  x = -3.



Pembelajaran Matematika SD 



1 (kedua ruas dikalikan  ) 5



Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan -5x + 8 = 23, x  B adalah {-3}. Contoh 3.8 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 5x + 6 = 2x – 3, dengan x  B. Penyelesaian 5x + 6 = 2x – 3  5x + 6 – 6 = 2x – 3 – 6  5x = 2x - 9  5x – 2x = 2x – 2x – 9  3x = -9 1 1  . 3x = (-9) 3 3  x = -3.



(kedua ruas dikurang 6) (kedua ruas dikurang 2x) (kedua ruas dikali



1 ) 3



Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 5x + 6 = 2x – 3, x  B adalah {-3}. 3.



Pertidaksamaan Linear dengan Satu Peubah Seperti kita ketahui bahwa x + 5 = 7 disebut sebagai persamaan linear dengan satu peubah. Apabila tanda = pada persamaan tersebut diganti dengan salah satu lambang ketidaksamaan seperti ,  atau  maka diperoleh bentuk kalimat terbuka yang baru yang selanjutnya disebut sebagai “pertidaksamaan”. Misalnya x + 5 < 7 atau x + 5 > 7 atau x + 5  7; atau x + 5  7. Berarti, pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang dinyatakan dengan salah satu tanda ketidaksamaan.



 PDGK4406/MODUL 3



3.75



Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dengan Satu Peubah Perhatikan pertidaksamaan x + 3 < 6, dengan x peubah pada himpunan C = {0, 1, 2, 3, 4}. Bagaimanakah cara memperoleh himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut? Seperti halnya pada persamaan linear, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini dapat Anda peroleh dengan mengganti peubah x berturutturut dengan anggota himpunan C (cara substitusi), yaitu sebagai berikut: Bila x = 0, maka didapat kalimat 0 + 3 < 6 (kalimat yang benar). Bila x = 1, maka didapat kalimat 1 + 3 < 6 (kalimat yang benar). Bila x = 2, maka didapat kalimat 2 + 3 < 6 (kalimat yang benar). Bila x = 3, maka didapat kalimat 3 + 3 < 6 (kalimat yang salah). Bila x = 4, maka didapat kalimat 4 + 3 < 6 (kalimat yang salah). Pengganti-pengganti x agar menghasilkan kalimat yang benar adalah 0, 1, dan 2. Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 3 < 6, dengan x peubah pada himpunan C = {0, 1, 2, 3, 4,} adalah {0, 1, 2,}. Cara lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan linear adalah dengan menjadikan pertidaksamaan linear ini ke dalam bentuk pertidaksamaan ekuivalen yang paling sederhana dengan cara yang sama seperti pada waktu mencari persamaan yang ekuivalen. Hanya kita perlu hati-hati pada saat mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif. Karena dalam keadaan ini terjadi perubahan tanda ketidaksamaan. Contoh 3.9 Tentukanlah bentuk pertidaksamaan paling sederhana yang ekuivalen dengan pertidaksamaan: a. x + 5 < 12. b. 5x + 5  4x + 2. c. 3x – 4  7x + 8. Penyelesaian a. x + 5 < 12



 x + 5 – 5 < 12 – 5 (kedua ruas dikurang 5)  x < 7. Jadi x < 7 merupakan bentuk pertidaksamaan paling sederhana yang ekuivalen dengan x + 5 < 12.



3.76



b.



Pembelajaran Matematika SD 



5x + 5  4x + 2 Usahakanlah agar peubah x ada pada satu ruas (misal di ruas kiri), maka tambahkanlah dengan -4x pada kedua ruas pertidaksamaan tersebut, berarti 5x + 5  4 x + 2  5x + (-4x) + 5  4x + (-4x) + 2  x + 5  2. Selanjutnya usahakan agar konstannya juga berada pada ruas yang sama (berarti harus di ruas kanan), maka tambahkanlah kedua ruas pertidaksamaan dengan (-5), berarti x + 5  2  x + 5 + (-5)  2+ (-5).  x  -3. Jadi pertidaksamaan x  -3 merupakan bentuk pertidaksamaan yang sederhana yang ekuivalen dengan 5x + 5  4 x + 2.



c.



3x – 4  7x + 8. Caranya sama seperti butir b dan secara ringkas ditulis: 3x – 4  7x + 8  3x + (-7x) – 4  7x + (-7x) + 8 (kedua ruas ditambah -7x)  -4x -4  8  -4x -4 + 4  8 + 4 (kedua ruas ditambah 4)  -4x  12  1  1     . (-4x) <    . 12 (kedua ruas dikalikan  4  4 1  dan karenanya tanda ketidaksamaan berubah 4 dari > menjadi < ).  x  - 3. Jadi, x  -3 merupakan bentuk pertidaksamaan paling sederhana yang ekuivalen dengan 3x – 4  7x + 8.



Tentunya, yang menjadi pertanyaan buat Anda, kenapa jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan bilangan negatif, tanda ketidaksamaannya berubah menjadi kebalikannya? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikanlah ketidaksamaan 5 > 3 ketidaksamaan ini merupakan kalimat/pernyataan yang benar. Jika kedua ruas ketidaksamaan tersebut dikalikan dengan (-1), maka didapat bentuk:



 PDGK4406/MODUL 3



3.77



(-1)  5 > (-1)  3  -5 > -3. Kalau tanda ketidaksamaan tersebut tidak diubah, apakah pernyataan tersebut tetap bernilai benar? Ternyata salah bukan? Agar pernyataan tersebut tetap bernilai benar, maka tanda ketidaksamaannya haruslah berubah dari > menjadi < sehingga didapat kalimat/pernyataan yang benar, yaitu -5 < -3. Contoh 3.10. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x + 8  7x -4. dengan x peubah pada himpunan bilangan bulat. Penyelesaian: 5x + 8  7x – 4  5x + (-7x) + 8  7x + (-7x) -4 (kedua ruas ditambah -7x)  -2x + 8  -4  -2x + 8 – 8  -4 -8 (kedua ruas dikurang 8)  -2x  - 12 1  1  1      2 x      .  12  (kedua ruas dikalikan dengan  dan tanda 2 2 2     ketidaksamaannya berubah menjadi > ).  x  6. Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x + 8  7x -4, dengan x  B adalah {6, 7, 8, …}. Catatan: Kalau Anda perhatikan dalam uraian tentang persamaan dan pertidaksamaan linear, maka cukup banyak konsep dan sifat-sifat pada bilangan bulat yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear ini.



3.78



Pembelajaran Matematika SD 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Jelaskanlah secara tepat, bagaimana memperagakan balok garis bilangan untuk menjelaskan bentuk operasi 3  (-4)? 2) Jelaskanlah secara tepat, bagaimana memperagakan bentuk operasi (-2)  (-3) pada garis bilangannya? 3) Berikan uraian secara singkat jika Anda akan menjelaskan proses menentukan hasil dari (-6)  (-4) dengan menggunakan pola keteraturan perkalian bilangan seperti pada waktu membahas hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif! 4) Bila di definisikan bahwa operasi * pada bilangan bulat sebagai a * b = a + b + 5, carilah bilangan bulat p (jika ada) sehingga untuk setiap bilangan bulat a berlaku a * p = p * a = a. Apa yang dapat disimpulkan dari hasil tersebut? 5) Dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, tunjukkan bahwa sifat distributif perkalian terhadap pengurangan berlaku! 6) Jelaskan secara singkat, bagaimana menjelaskan bentuk penyelesaian dari persamaan 2x + 4 = 10 secara konkret? 7) Suatu persegi panjang diketahui panjangnya (x + 3) cm dan lebarnya (x + 2) cm. Pertanyaan: a. Nyatakanlah kelilingnya dalam bentuk paling sederhana? b. Bila kelilingnya 42 cm, hitunglah x? c. Berapa cm panjang dan lebar persegi panjang tersebut? 8) Suatu balok rusuk-rusuknya dibuat dari batang kawat dengan panjangnya masing-masing x cm, (x + 2) cm, dan (x + 4) cm (lihat Gambar 3.38). Pertanyaan: a. Nyatakanlah panjang seluruh kawat dalam x. b. Bila kawat yang dipakai panjangnya tidak melebihi 84 cm, tentukan pertidaksamaan yang paling sederhana dalam x. Gambar 3.38



3.79



 PDGK4406/MODUL 3



Petunjuk Jawaban Latihan Untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat, gunakanlah petunjuk jawaban latihan berikut sebagai salah satu solusinya. 1) Pasanglah model pada skala 0 dan sisi mukanya menghadap ke bilangan positif, karena pengalinya adalah bilangan positif yaitu 3. Kemudian langkahkan mundur tiga langkah dengan setiap langkah sebanyak 4 skala. Dilangkahkan mundur karena bilangan yang dikali adalah bilangan negatif yaitu (-4). Kedudukan terakhir dari model memperlihatkan hasil 3  (-4). (silakan Anda buat sketsanya). 2) Pada skala 0 anak panah menghadap ke bilangan negatif, karena pengalinya adalah bilangan bulat negatif yaitu (-2). Selanjutnya karena bilangan yang dikalikannya negatif (yaitu –3), maka anak panah bergerak mundur sebanyak 2 langkah dengan setiap langkahnya memuat 3 skala. Kedudukan terakhir dari ujung pangkal panah memperlihatkan hasil (-2)  (-3). 3) Mulailah dengan melakukan perkalian 3  (-4); 2  (-4), 1  (-4), dan seterusnya (bilangan pengalinya berkurang 1 dan bilangan yang dikalikan tetap yaitu (-4). 4) Jika a * b = a + b + 5, maka a * p = a + p + 5 sedangkan p * a = p + a + 5 a * p = a atau p * a = a, berarti: a + p + 5 = a atau p + a + 5 = a. dari bentuk yang terakhir ini didapat p = -5. Kesimpulan: Himpunan bilangan bulat terhadap operasi * mempunyai elemen identitas yaitu –5. 5) Dari bentuk a  (b – c) ubahlah menjadi a  (b + (-c)) (arti pengurangan), dari a  (b + (-c) jabarkanlah seperti sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sampai didapat bentuk (a  b) – (a  c). 6) Gunakanlah ilustrasi atau peragaan berikut:



Gambar 3.39



3.80



Pembelajaran Matematika SD 



7) a.



Keliling K K



= = =



2  p + 2   diketahui p = x + 3 dan  = x + 2. 2 (x + 3) + 2 (x + 2) 4x + 10 K = 42  42 = 4x + 10  42 – 10 = 4x + 10 – 10 (kedua ruas dikurang 10)  32 = 4x 1 1 1  . 32 = . 4  (kedua ruas dikali ) 4 4 4  8 = x atau x = 8



b.



Diketahui



c.



p=x+3  p=8+3 p = 11



 =x+2



8) a. b.



 =8+2  = 10. Bila panjang seluruh kawat dinyatakan dengan p, maka p = 4(x + 4) + 4(x + 2) + 4 x  p = 12x + 24 Panjang kawat tak melebihi 84, maka p  84  12x + 24  84 R A NG KU M AN



Jika hasil penyederhanaan Anda benar maka diperoleh bentuk x  5. Operasi perkalian bilangan-bilangan bulat pada dasarnya merupakan operasi penjumlahan yang dilakukan secara berulang 2. Dalam perkalian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif)  (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif) (bilangan bulat positif)  (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif)  (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif)  (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif) 3. Pada setiap operasi perkalian bilangan bulat akan berlaku adanya sifat: 1.



 PDGK4406/MODUL 3



a. b. c. d. e.



4. 5.



6)



7)



8) 9)



3.81



tertutup; komutatif, a  b = b  a; asosiatif (a  b)  c = a  (b  c); identitas perkalian, yaitu 1; bilangan 0, di mana setiap bilangan bulat dikalikan 0 hasilnya 0; f. distributif perkalian terhadap penjumlahan a  (b + c) = (a  b) + (a  c) dan (a + b)  c = (a  c) + (b  c); g. distributif perkalian terhadap pengurangan a  (b – c) = (a  b) – (a  c) dan (a – b)  c = (a  c) – (b  c). Untuk setiap a, b dan c anggota himpunan bilangan bulat. Operasi pembagian pada dasarnya adalah proses pencarian faktor yang belum diketahui dari suatu perkalian. Dalam pembagian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif). (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif). (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif). Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang dinyatakan dengan hubungan “=”. Bentuk ax + b = c dengan a  0 dan b, c suatu konstanta, adalah persamaan linear dengan satu peubah. Di samping dengan cara substitusi penyelesaian persamaan dapat juga dilakukan dengan menjadikan persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan ekuivalen paling sederhana dengan aturan-aturan tertentu pada kedua ruas persamaannya. Pertidaksamaan adalah suatu kalimat terbuka yang dinyatakan dengan salah satu tanda ketidaksamaan ,  atau . Penyelesaian pertidaksamaan dapat dilakukan dengan cara substitusi, dan juga dapat dilakukan dengan menjadikan pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk pertidaksamaan ekuivalen paling sederhana dengan pengerjaan-pengerjaan tertentu pada kedua ruas pertidaksamaannya.



3.82



Pembelajaran Matematika SD 



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1)



Gambar 3.40.



Peragaan balok garis bilangan di atas memperlihatkan operasi hitung …. A. (-4)  2 B. 8 : (-2) C. 2  (-4) D. (-2)  4 2)



Gambar 3.41.



Peragaan garis bilangan di atas memperlihatkan operasi hitung … A. 2  (-3) B. 3  (-2) C. 6 : (-3) D. (-3)  2 3) Bila model yang dipasang pada skala 0 dan menghadap ke bilangan negatif, kemudian dilangkahkan mundur 3 kali dengan setiap langkah 4 skala, maka peragaan ini menunjukkan operasi hitung …. A. (-3)  (-4) B. 3  (-4) C. (-4)  (-3) D. (-4)  3



 PDGK4406/MODUL 3



3.83



4) Bila operasi * pada bilangan bulat didefinisikan sebagai a * b = a + b – 7, maka nilai x sehingga untuk setiap bilangan bulat a berlaku x * a = a adalah …. A. -7 B. 0 C. 7 D. 14 5) Bentuk perkalian 8  45 dapat ditulis seperti berikut, kecuali …. A. (8  90) + (8  5) B. (8  100) - (8  5) C. (8  100) + (8  5) D. (10  95) - (2  95) 6) Bentuk perkalian 14  15 dapat dinyatakan sebagai …. A. (14  20) + (14  1) B. (14  20) + (14  (-1)) C. (10  19) + (4  9) D. (10  19) - (4  19) 7) Suatu persegi panjang diketahui panjangnya (2x –3) cm dan lebarnya (x + 1) cm. Bila K adalah keliling persegi panjang tersebut, maka bentuk formula dari keliling tersebut adalah …. A. K = 4x + 6 B. K = 6x + 4 C. K = 6x - 4 D. K = 4x - 6 8) Dari soal nomor 7, bila keliling persegi panjang tersebut semua dengan 50, maka panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut adalah …. A. p = 13 dan  = 9 B. p = 18 dan  = 10 C. p = 15 dan  = 9 D. p = 15 dan  = 10 9) Jika pada segitiga ABC pada Gambar 3.42 berlaku AC + BC > AB, maka bentuk pertidaksamaan yang paling sederhana dari pernyataan ini adalah ….



3.84



Pembelajaran Matematika SD 



A. 2x > 9 1 B. x > 4 2 1 C. x < 4 2 D. 2 x < 9 Gambar 3.42.



10) Suatu persegi panjang, panjangnya 8 cm dan lebarnya (2x – 3) cm. Jika luasnya tidak lebih dari 40 cm2, maka bentuk pertidaksamaan yang berlaku pada persegi panjang tersebut dalam bentuk yang paling sederhana adalah …. A. x  4 B. x < 4 C. x  4 D. x > 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4406/MODUL 3



3.85



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1. C Cukup jelas, lihat uraian awal pembahasan materi. 2. B Kaji kembali prinsip penggunaan alat peraga manik-manik yang menyangkut masalah pengurangan. 3. A Karena dalam peragaan terdapat arah mundur dari skala –4 dengan posisi ujung anak panah tetap mengarah ke bilangan negatif, maka bentuk operasi yang paling tepat adalah = 4 – (-9). 4. D Cukup jelas, alasannya hampir sama dengan soal nomor 3. 5. B Perhatikan bentuk operasi hitungnya, bahwa anak panah akan mundur dari skala –2 dengan arah ujung anak panah tetap menghadap ke bilangan negatif. 6. A Pendekatannya hampir sama dengan penggunaan balok garis bilangan. 7. D Ingat konsep a – (-b) = a + b. 8. C Pada pengurangan bilangan bulat hanya berlaku sifat tertutup. 9. B Di dapat dari bentuk operasi 10 + (-11). Ingat arah burung dan arah angin berlawanan tanda. 10. D Sama dengan alasan nomor 9. Tes Formatif 2 1. D Kaji kembali prinsip penggunaan alat peraganya 2. B Cukup jelas, karena anak panah menghadap ke bilangan positif kemudian mundur sebanyak 3 langkah dengan setiap langkah 2 skala. 3. A Cukup jelas, sesuai dengan prinsip penggunaan alat peraganya. 4. C x * a = a berarti x + a – 7 = a, jika dikerjakan maka x = 7. 5. C Cukup jelas, pahami sifat distributif. 6. B Cukup jelas, pahami pula sifat distributif. 7. C Ingat K = 2p + 2  , substitusikanlah nilai-nilai p dan  -nya ke dalam persamaan K-nya. 8. D Jika penjabaran Anda pada nomor 7 benar, maka dengan menyubstitusikan 50 ke dalam persamaan K akan di dapat x = 9 sehingga p = 15, dan  = 10.



3.86



9.



Pembelajaran Matematika SD 



B



10. A



Substitusikan panjang masing-masing sisa segi tiga ABC, ke dalam AC + BC > AB dan gunakan aturan-aturan dalam penyederhanaannya. Luas persegi panjang = p   , substitusikanlah nilai-nilai yang ada ke dalam rumus tersebut dengan mengganti tanda = dengan  untuk menyatakan istilah tidak lebih dari.



3.87



 PDGK4406/MODUL 3



Daftar Pustaka Charles D. Augustine and C. Winston Smith, Jr. (1992). Teaching Elementary School Mathematics, Ohio University, Alhens: Harper Collins Publisher Inc. Darhim. (1993). Workshop Matematika. Jakarta: Ditjen Dikdasmen Depdikbud - Karunika UT. Didi Suryadi. (1997). Alat Peraga dan Media Pengajaran Matematika. Jakarta: Ditjen Dikdasmen Depdikbud - Karunika UT. John A. Van De Walle. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. Virginia: Commonwealth University. Wahyudin. (1989). Matematika untuk SMP 2a. Bandung: Epsilon Grup. Wia P., dkk. (1994). Penuntut Belajar Matematika. Bandung: Ganeca Exact.



Modul 4



Bilangan Rasional dan Desimal Prof. Drs. Gatot Muhsetyo, M. Sc.



M



odul yang keempat ini membahas tentang bilangan rasional (operasi bilangan rasional, sifat-sifat bilangan rasional, kesulitan belajar siswa, dan pembelajaran bilangan rasional) dan desimal (persen, rasio, dan proporsi). Materi yang ada dalam modul ini tentunya bukan bahan yang baru bagi Anda, diharapkan Anda tidak mengalami kesulitan dalam mempelajari dan mengkaji isi modul ini. Dalam modul ini, Anda akan mempelajari kembali (1) Bilangan Rasional (sifat bilangan rasional, kesulitan siswa dalam memahami bilangan rasional dan/atau pecahan, serta pola pengembangan dan pembelajaran yang sesuai untuk membantu mengatasi kesulitan siswa) dan (2) bilangan desimal (desimal, persen, rasio, proporsi, serta strategi pembelajaran masing-masing yang dapat dikaitkan dengan keadaan sehari-hari para peserta didik. Setelah menyelesaikan modul ini, Anda diharapkan mempunyai kemampuan sebagai berikut: 1. dapat menyebut sifat-sifat bilangan rasional; 2. dapat menjelaskan makna sifat-sifat bilangan rasional; 3. dapat mengidentifikasi ragam kesulitan siswa yang mungkin terjadi dalam memahami pecahan dan/atau bilangan rasional; 4. dapat menerapkan strategi pembelajaran pecahan yang realistik dan konseptual; 5. dapat mengenal banyak ragam bahan manipulatif yang dapat disiapkan guru untuk mengajar; 6. menjelaskan nilai tempat yang diperluas; 7. menjelaskan bentuk baku, bentuk panjang, dan bentuk pangkat; 8. mengganti bilangan pecahan biasa menjadi pecahan desimal; 9. mengganti bilangan pecahan desimal menjadi pecahan biasa; 10. menyebutkan desimal berakhir dan desimal berulang; 11. menyatakan notasi ilmiah baku bilangan desimal;



4.2



Pembelajaran Matematika SD 



12. menyebut semua cara memperoleh nilai pendekatan; 13. menjelaskan makna dan hubungan antara persen, desimal, pecahan, dan perseratus; 14. menyatakan suatu pecahan menjadi desimal dan persen, dan sebaliknya; 15. menjelaskan rasio dan pecahan sebagai perbandingan; 16. menjelaskan, makna pecahan sebagai perbandingan antara bagian dan keseluruhan; 17. menjelaskan makna rasio sebagai perbandingan antara bagian dan keseluruhan, serta antara bagian dengan bagian; 18. menyebutkan berbagai keadaan yang berkaitan dengan masalah rasio; 19. menjelaskan rasio sebagai pasangan berurutan; 20. menjelaskan hubungan antara proporsi dan rasio; 21. menjelaskan makna proporsi dalam nilai satuan; 22. menjelaskan makna proporsi dalam faktor pengali; 23. menyelesaikan masalah proporsi dalam rasio dan antar rasio. Kemampuan tersebut sangat berguna bagi guru, pengawas, pengembang kurikulum, dan pejabat di bidang pendidikan dasar, terutama dalam membantu tugas mereka di lapangan serta melengkapi dan/atau menambah pengetahuan, wawasan, dan keterampilan tentang persen, rasio, dan proporsi dan strategi pembelajarannya. Kemampuan-kemampuan penting ini sangat membantu tugas para pendidik di lapangan karena topik-topik yang dibahas termasuk abstrak dan sesuai untuk siswa yang telah mampu berpikir operasional formal. Untuk membantu Anda menguasai kemampuan di atas, pembahasan modul ini akan disajikan dalam tiga kegiatan belajar sebagai berikut: 1. Kegiatan Belajar 1 : Bilangan Rasional. 2. Kegiatan Belajar 2 : Kesulitan belajar dan Pembelajaran Bilangan Rasional. 3. Kegiatan Belajar 3 : Desimal, Persen, Rasio, dan Porporsi. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini, maka ikuti hal-hal berikut: 1. Kaitkan uraian yang dipaparkan dengan pengetahuan yang telah Anda miliki serta pengalaman Anda di lapangan.



 PDGK4406/MODUL 4



2.



3.



4.



4.3



Ajaklah sejumlah kawan Anda untuk bersama-sama membahas dan mendiskusikan topik-topik atau istilah-istilah baru, terutama bagianbagian yang sering dirasakan sulit bagi para siswa SD. Bertanyalah kepada orang yang lebih tahu untuk memperjelas pemahaman uraian yang dirasakan masih ragu-ragu dalam menginterpretasikan makna yang terkandung di dalamnya. Lengkapilah pengetahuan Anda dengan buku-buku sumber dan jurnal atau majalah ilmiah yang tersedia di sekitar Anda.



4.4



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 1



Bilangan Rasional



B



ilangan bulat belum cukup untuk memenuhi berbagai kebutuhan, keperluan, atau kepentingan manusia. Hal-hal yang belum dapat dipenuhi oleh keberadaan bilangan bulat antara lain adalah menyatakan beberapa bagian yang sama dari keseluruhan, menyatakan banyaknya beberapa benda dari sejumlah benda, menyatakan hasil pengukuran (panjang, berat, waktu, luas, isi), menghitung pajak atau upeti barang hasil produksi pertanian dan industri, menghitung nilai uang pembayaran pajak penghasilan usaha, membagi hasil kerja bersama dengan aturan (perbandingan) tertentu, dan melaksanakan tukar barang atau transaksi pembayaran dengan kegiatan jual-beli serta perdagangan. Keperluan bilangan selain bilangan bulat sudah diketahui pada awal sejarah peradaban manusia, dan keperluan ini dirasakan mendesak setelah interaksi, komunikasi, dan kehidupan sosial-budaya menjadi lebih intensif dan lebih rumit. Secara nyata masyarakat memerlukan bilangan-bilangan antara 0 dan 1, antara 1 dan 2, antara 2 dan 3, dan seterusnya. Setelah berlangsung berabad-abad, matematisi menyadari perlunya merumuskan atau menyatakan keperluan bilangan khusus ini sesuai dengan kasus-kasus sederhana: 1. Ada pengganti bilangan cacah x sehingga kalimat-kalimat di bawah ini bernilai benar 36 : 9 = x, 42 : 7 = x, 27 : 3 = x. 2. Tidak ada pengganti bilangan cacah x sehingga kalimat-kalimat di bawah ini bernilai benar 3 : 2 = x, 7 : 3 = x, 35 : 8 = x. Untuk menjawab kebuntuan butir 2 di atas, para matematisi kemudian memperluas bilangan cacah dengan mendefinisikan bilangan-bilangan baru yang dapat digunakan untuk mengganti x sehingga kalimat-kalimat pada butir 2 bernilai benar. Untuk mengganti nilai x dari sebarang kalimat yang mempunyai bentuk p : q = x, dengan p dan q adalah bilangan-bilangan cacah dan q ≠ 0, ditulis



4.5



 PDGK4406/MODUL 4



dalam bentuk



p p dan bentuk ini disebut pecahan. Pada bentuk , p disebut q q



pembilang (numerator), dan q disebut penyebut (denumerator). Bilangan-bilangan yang ditulis dalam bentuk pecahan,



p q



disebut



bilangan rasional. Dengan perluasan bilangan ini secara nyata dapat ditunjukkan bahwa: 3 7 35 3 : 2 = , 7 : 3 = , 35 : 8 = . 2 8 3 Dalam kaitannya dengan pecahan, perhatikan dua definisi berikut: Definisi 4.1 Pecahan adalah suatu lambang yang memuat pasangan berurutan p bilangan-bilangan bulat p dan q (q ≠ 0), ditulis dengan , untuk q menyatakan nilai x yang memenuhi hubungan p : q = x. Dari definisi 4.1 di atas jelas bahwa 5 : 9 = x dipenuhi oleh nilai x =



5 . Dengan jalan yang sama dapat ditentukan bahwa: 9 7 10 15 7:3  ,  10 : 4  , 15 :  7   3 4 7 10 3 12 10 : 5  , 3 : 6  ,  12  :  3  5 6 3



berarti 5 : 9 =



Definisi 4.2 Pecahan



p p r r sama dengan pecahan , ditulis = , jika dan hanya q q s s



jika ps = qr. Dari Definisi 4.2 di atas dapat diketahui bahwa 3 6 sebab 3 . 10 = 5 . 6 = 30.  5 10



5 , 9



4.6



Pembelajaran Matematika SD 



7 21 sebab 7 . 27 = 9 . 21 = 189.  9 27 3 5 sebab (-3) . (-20) = 4 . 15 = 60.  4 20 Definisi 4.3 Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p pecahan yang mana p dan q adalah bilangan-bilangan bulat dan q ≠ 0. q Dari Definisi 4.3 di atas dapat diketahui lebih jelas bahwa pecahan merupakan lambang baku bilangan rasional. Definisi 4.4 Jika faktor persekutuan terbesar (FPB) dari p dan q sama dengan 1, p (p, q) = 1, maka pecahan disebut dengan pecahan sederhana. q



2 3 10 23 adalah pecahan-pecahan yang , , , dan 3 4 23 31 sederhana sebab FPB dari pembilang dan penyebut masing-masing pecahan sama dengan 1. Pecahan-pecahan



Pecahan-pecahan: 4 adalah bukan pecahan sederhana sebab (4,6) = 2 ≠ 1 6 6 adalah bukan pecahan sederhana sebab (6,9) = 3 ≠ 1 9 10 adalah bukan pecahan sederhana sebab (10,15) = 5 ≠ 1 15 Mengubah pecahan yang bukan pecahan sederhana menjadi pecahan sederhana disebut menyederhanakan (simplifying) pecahan. Penyederhanaan p dikerjakan dengan membagi pembilang (p) dan penyebut (q) dengan q (p, q).



4.7



 PDGK4406/MODUL 4



Jika



p bukan pecahan sederhana, maka: q



p  p, q  q  p, q  adalah pecahan sederhana karena



p q ,  1. p, q p,    q



Contoh 4.1 4 adalah bukan pecahan sederhana dan (4, 6) = 2, maka 6 4 4  4  4,  6 2 2 6 4 6 ,       ,    2, 3  1 dan 6 6 3   4, 6   4, 6    2 2  4, 6   2 adalah pecahan sederhana. Suatu pecahan sederhana



p dapat diubah atau dibuat menjadi pecahanq



pecahan lain yang senilai. Pengubahan dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan sebarang bilangan. Misalkan untuk semua bilangan bulat p, q, dan r, q  0, r  0, berlaku p pr  q qr Definisi 4.5 p pr  untuk semua bilangan bulat p, q ≠ 0, dan r ≠ 0. q qr Contoh 4.2 2 2  2 4 2 2  5 10 2 2 11 22 2 2   3 6   ,   ,   ,   3 3  2 6 3 3  5 15 3 3 11 33 3 3   3 9



4.8



Pembelajaran Matematika SD 



Jadi



2 4 10 22 6 senilai dengan , , , . 6 15 33 9 3



Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional Definisi 4.6 p r Jika dan adalah sebarang dan bilangan rasional, maka q s



p r ps  qr p r ps  qr   dan   q s qs q s qs Contoh 4.4 2 3 2.4  3.3 8  9 17     . 3 4 3.4 12 12 Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional mempunyai beberapa kesamaan dengan sifat-sifat dalam penjumlahan (+) dan pengurangan (-) bilangan bulat, yaitu: p r t Jika , , dan , adalah bilangan-bilangan rasional, maka q s u 1.



Penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional bersifat tertutup p r p r  dan  adalah bilangan rasional. q s q s



2.



Penjumlahan bilangan rasional bersifat komutatif:



3.



Penjumlahan bilangan rasional bersifat asosiatif : p r t  p r t        . q s u q s u Penjumlahan bilangan rasional mempunyai unsur identitas 0 yang p p p tunggal sehingga  0  0   (0 adalah bilangan rasional karena q q q



4.



dapat dinyatakan sebagai pecahan



p r r p    . q s s q



0 dengan x ≠ 0). x



4.9



 PDGK4406/MODUL 4



5.



Setiap bilangan rasional mempunyai invers terhadap +, yaitu untuk p p setiap bilangan rasional , ada bilangan rasional    sehingga: q q



p  p  p p             0. q  q  q q Invers 6. 7.



p p terhadap + disebut lawan  . q q



Penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional adalah tunggal. p q pq . Jika r  0, maka   r r r



Operasi Perkalian dan Pembagian Bilangan Rasional Definisi 4.7 p r Jika dan adalah sebarang dua bilangan rasional, q s p p r pr q ps maka . = dan  . r qr q s qs s Sifat-sifat operasi perkalian () dan pembagian (:) bilangan rasional adalah sebagai berikut: Jika



1.



2.



p r t , , dan adalah bilangan-bilangan rasional, maka q s u



Perkalian pada bilangan rasional bersifat tertutup



p r  adalah bilangan q s



rasional, sedangkan operasi pembagian bersifat tidak tertutup, sebab pembagian dengan 0 tidak didefinisikan sehingga pembagian bilangan rasional tidak selalu menghasilkan bilangan rasional. p r r p Perkalian pada bilangan rasional bersifat komutatif :    . q s s q



4.10



Pembelajaran Matematika SD 



3.



Perkalian pada bilangan rasional bersifat asosiatif: p r t  p r t        . q s u q s u



4.



Perkalian pada bilangan rasional mempunyai unsur identitas I yang p p p tunggal yaitu 1 sehingga 1  1  (1 adalah bilangan rasional q q q karena dapat dinyatakan sebagai pecahan



5.



x dengan x ≠ 0). x



Kecuali 0, semua bilangan rasional yang lain mempunyai invers terhadap x, yaitu: p q q p p q     1 , berarti dan saling invers. q s s q q p Invers



p p q terhadap x disebut kebalikan  , yaitu . q q p



6.



Perkalian sebarang bilangan rasional dengan 0 adalah 0, yaitu: p p  0  0   0. q q



7. 8.



Perkalian bilangan rasional adalah tunggal. x bersifat distributif terhadap +, yaitu: p r t  p r p t              dan q s u q s q u



p r t p t  r t             . q s u q u s u Urutan Bilangan Rasional Definisi 4.8 p r Jika dan adalah sebarang dua bilangan rasional yang penyebutnya q s positif, yaitu (q > 0 dan s > 0), maka



p r p r sama dengan , atau    jika q s q s



4.11



 PDGK4406/MODUL 4



dan hanya jika ps = qr, dan



p r p r kurang dari , atau    jika dan hanya q s q s



jika ps < qr. Contoh 4.4 3 12 1. sebab 3 . 28 = 84 dan 7 . 12 = 84 sehingga 3 . 28 = 7 . 12.  7 28 3 1 2.  sebab -3 . 2 = -6 dan 5 . 1 = 5 sehingga -3 . 2 < 5 . 1. 5 2 2 3 3.  sebab 2 . 4 = 8 dan 3 . 3 = 9 sehingga 2 . 4 < 3 . 3. 3 4



1.



Beberapa sifat urutan bilangan rasional adalah: p r Sifat trikotomi: jika dan adalah sebarang dua bilangan rasional q s dengan q > 0 dan s > 0, maka berlaku satu hubungan dari tiga kemungkinan hubungan: p r p r p r  ,  , atau  . q s q s q s



2.



3.



Jika



p r t p r , , adalah bilangan-bilangan rasional dan  maka: q s u q s



a.



p t r t    q u s u



b.



p t r t t .  . jika  0 q u s u u



c.



p t t r t .  . jika  0. q u u s u



Sifat transitif: Jika q > 0, s > 0, u > 0,



p t p r r t  , dan   , maka  . q u q s s u



4.12



4.



Pembelajaran Matematika SD 



Sifat kepadatan (dense): p r Jika dan adalah sebarang dua bilangan rasional yang tidak sama, q s q > 0, s > 0 dan



p r t sehingga  , maka tentu ada bilangan rasional q s u



p t r   . q u s LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Nyatakan sebagai jumlah pembilangnya adalah 1: 8 19 a. b. 12 20



dua



pecahan



yang



masing-masing



2) Nyatakan dengan benar atau salah, dan sebutkan alasannya: 3 45 13 221 a. b.   7 105 15 270 3) Nyatakan sederhana atau bukan sederhana, dan sebutkan alasannya: 24 13 a. b. 30 20 4) Sederhanakan bentuk-bentuk pecahan di bawah ini 45 63 a. b. 60 180 5) Carilah jumlah dan selisih dari: 2 3 4 5 a. dan b. dan . 3 4 7 3



4.13



 PDGK4406/MODUL 4



6) Buktikan: untuk semua bilangan rasional



p q dan , dan r  0, berlaku r r



p q pq   . r r r 7) Buktikan untuk semua bilangan rasional berlaku



p r  dengan q  0, dan r  0, q s



p r r p    . q s s q



8) Buktikan: untuk semua bilangan rasional berlaku



p r r p .  . q s s q



9) Buktikan: untuk semua bilangan rasional maka



p r dan , q  0, dan s  0, q s



p r t p r , jika , , dan  r s u r s



p t r t .  . r u s u



10) Buktikan: jika



p r dan adalah bilangan-bilangan rasional dengan q s



q > 0 dan s > 0 maka



p r p r r p  ,  , atau  . q s q s s q



Petunjuk Jawaban Latihan Gunakan rambu-rambu atau kunci jawaban berikut untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat. 1) a. 2) a. b. 3) a. b.



9 1 1 8 1 1 b.     20 4 5 15 3 5 benar, sebab 3 . 105 = 7 . 45 = 315. salah, sebab 13 . 270 = 3510, 15 . 221 = 3315, 13 . 270  15 . 221. bukan sederhana, sebab (24, 30) = 6  1. sederhana, sebab (13, 20) = 1.



4.14



Pembelajaran Matematika SD 



4) a.



(45, 60) = 15 b. (63, 180) = 9 45 63 45 15 3 63 7    9  60 180 60 4 180 20 15 9 2 3 2.4  3.3 17 5) a.    3 4 3.4 12 2 3 2.4  3.3 1    3 4 3.4 12 4 5 4.3  7.5 23 b    7 3 7.3 21 4 5 4.3  7.5 47    7 3 7.3 21 p p p.r  q.r 6) Bukti   (Definisi 4.6) q r r.r







 7) Bukti :



p  q r r .r



(Sifat Distributif Bilangan Bulat)



pq (Definisi 4.5) r



p r  q s



Gunakan langkah-langkah pada butir 6. p r pr 8) Bukti: .  (Definisi 4.7) q s qs







rp (Sifat Komutatif Perkalian Bilangan bulat) sq



r p  . (Definisi 4.7) s q 9. Bukti:



p r  (diketahui) q s ps = qr (Definisi 4.2). ps . tu = qr . tu (Sifat Perkalian Bilangan Bulat). p(stu) = q(rtu) (Sifat Asosiatif Perkalian Bilangan Bulat). p(tsu) = q(urt) (Sifat Komutatif Perkalian Bilangan Bulat).



 PDGK4406/MODUL 4



4.15



pt . su = qu . rt pt rt  qu su



p t r t .  . (Sifat Asosiatif Perkalian Bilangan Bulat). q u s u 10) Bukti:



p r dan q s



adalah bilangan-bilangan rasional, maka p, q, r, dan s



adalah bilangan-bilangan bulat, sehingga ps dan qr, sesuai dengan sifat tertutup perkalian bilangan bulat, ps dan qr juga bilangan-bilangan bulat. Sesuai dengan sifat trikotomi bilangan bulat, dari bilangan-bilangan Bulat ps dan qr, tentu terdapat hubungan ps = qr, ps < qr, atau qr < ps. p r p r r p Karena ps = qr, ps < qr, atau qr < ps, maka  ,  , atau  . q s q s s q



R A NG KU M AN



Dari seluruh uraian tentang bilangan rasional dalam modul ini dapat dirinci secara singkat hal-hal yang terkait dengan bilangan rasional. l. Bilangan rasional sudah dikenal manusia sejak zaman Mesir Kuno dalam bentuk pecahan. p 2. Pecahan adalah lambang yang digunakan untuk menyatakan q bilangan yang q memenuhi kalimat x = p : q. 3. Bilangan rasional adalah bilangan yang lambangnya dapat p dinyatakan sebagai pecahan , yang mana p dan q adalah bilanganq bilangan bulat dan q ≠ 0. p 4. Pecahan disebut pecahan sederhana jika (p, q) = 1. q 5. 6.



p pr dinyatakan sebagai , q  0, s  0. q qs Perkalian dan pembagian bilangan rasional dinyatakan sebagai Pecahan senilai



4.16



7.



Pembelajaran Matematika SD 



p p r pr q ps dan .   . r qr q s qs s Sebarang dua bilangan rasional memenuhi sifat trikotomi, p r p r p r  ,  , atau  . q s q s r s TES F OR M AT I F 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!



1) Percahan b adalah bilangan pengganti x yang memenuhi .... A. a : b = x, dengan b  0 B. b : a = x, dengan a  0 C. a : x = b, dengan xb  0 D. x : a = b, dengan a  0 2) Dari bilangan-bilangan di bawah ini, yang bukan bilangan rasional adalah .... 3 A. 1 4 B. 0,5 C. 3 D. 4 3) Di antara pernyataan-pernyataan di bawah ini yang merupakan syarat pecahan sederhana adalah .... A. (p, q)  1 dan jika p = 0 B. (p, q) = 1 dan jika q  0 C. (p, q) = 1 dan jika q = 0 D. (p, q)  1 dan jika p = q 4) Semua pernyataan-pernyataan di bawah ini benar, kecuali .... a c a d A. :   b d b c p r pr   B. q s qs



4.17



 PDGK4406/MODUL 4



C.



p r ps  qr   q s qs



D



a c ac   b d bd



5) Di antara sifat-sifat urutan di bawah ini, yang merupakan sifat transitif adalah …. p r p r t , , dan  , maka A. Jika bilangan-bilangan rasional q s q s u



p t r t    q u s u B. Jika



p r dan adalah sebarang dua bilangan rasional dengan q dan s q s



tidak nol, maka



p r p r p r  ,  , dan  q s q s q s



C. Jika q > 0, s > 0, dan u > 0, D. Jika



p t p r r t  ,  maka  q u q s s u



p r dan adalah sebarang dua bilangan rasional yang tidak q s



sama q dengan q, s tidak nol, dan rasional



p t r t sehingga   q u s u



6) Yang merupakan invers dari 13 adalah .... 2 A. 1 3 2 B. 1 3 3 C. 5 3 D. 5



p r  , maka ada bilangan q s



4.18



Pembelajaran Matematika SD 



7) Di antara pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah .... 6 5 A.  5 6 5 6 B.  17 18 2 3 2 C. 3  5 5 3 5 D. Invers dari 2 adalah 5 13



1  1 8) Himpunan Q   , 0,  terhadap operasi penjumlahan memenuhi 3 3  sifat …. A. tidak mempunyai unsur identitas B. tidak mempunyai unsur invers C. tidak memenuhi sifat tertutup D. tidak memenuhi syarat asosiatif 9) Jika Q adalah himpunan bilangan rasional dan * adalah operasi pada Q a c a 3 c a c yang didefinisikan sebagai:     untuk setiap ,  Q b d b 4 d b d 2 1   .... 3 2 4 A. 12 5 B. 12 12 C. 5 12 D. 4 5 10) Dari soal nomor 9, invers terhadap operasi * adalah .... 4 1 A. 4



4.19



 PDGK4406/MODUL 4



B.



4 5



C.







D.



4 1



5 4



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.20



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 2



Kesulitan Belajar dan Pembelajaran Bilangan Rasional



K



onsep pecahan dan operasinya merupakan konsep yang sangat penting untuk dikuasai, sebagai bekal untuk mempelajari bahan matematika berikutnya dan bahan bukan matematika yang terkait. Kenyataan di lapangan menunjukkan bahwa banyak siswa Sekolah Dasar mengalami kesulitan memahami pecahan dan operasinya, dan banyak guru Sekolah Dasar menyatakan mengalami kesulitan untuk mengajarkan pecahan dan bilangan rasional. Para guru cenderung menggunakan cara yang mekanistik, yaitu memberikan aturan secara langsung untuk dihafal, diingat, dan diterapkan. Perubahan cara mengajar tidak banyak dilakukan oleh para guru karena secara empirik mereka selalu gunakan cara yang sama dari waktu ke waktu. Tidak mudah untuk membawa para siswa mampu memahami konsep dan makna pecahan. Ini berarti bahwa pembelajaran pecahan memerlukan perhatian, kesungguhan, keseriusan, ketekunan, dan kemampuan profesional. Mengingat secara alami tingkat berpikir yang dominan dapat meniadakan kesulitan para siswa, disarankan para guru menggunakan dan memanfaatkan benda-benda manipulatif dan keadaan yang realistik di sekitar kehidupan dan lingkungan siswa. Dengan benda-benda manipulatif tersebut diharapkan para siswa mempunyai pengalaman memanipulasikan sendiri benda-benda itu untuk memahami konsep dan makna, sehingga mereka akan lebih mendalami dan menghayati bahan matematis yang sedang mereka pelajari. Dengan pengalaman yang realistik, sesuai dengan keadaan di sekitar kehidupan dan lingkungan mereka, mereka akan merasakan bahan matematis yang diberikan mempunyai kaitan nyata dan manfaat dengan situasi yang mereka alami setiap hari. Beberapa kesulitan siswa dan cara meniadakan kesulitan itu diuraikan sebagai berikut.



3 1 2 , , dan 4 2 3 Pecahan pada prinsipnya menyatakan beberapa bagian dari sejumlah bagian yang sama. Seluruh jumlah bagian yang sama tersebut bersama-sama 1.



Siswa kurang tahu makna dari pecahan,



4.21



 PDGK4406/MODUL 4



membentuk satuan (unit). Dua macam keadaan yang perlu penekanan adalah konsep keseluruhan sebagai satuan dan konsep sama. Kedua konsep ini dapat dikaitkan dengan panjang, luas, volume, dan hitungan atau cacah. Kaitan masing-masing dapat ditunjukkan dengan menggunakan benda-benda manipulatif, misalnya kertas, karton, kelereng, kerikil, manik-manik, mata uang, buku, pensil, atau butiran. Diberikan kesempatan yang seluas-luasnya kepada para siswa untuk langsung merasakan dan menghayati sendiri makna pecahan dengan mengerjakan sendiri: a.



Mintalah kepada setiap siswa untuk menyediakan lembaran-lembaran kertas. Masing-masing anak diminta mengambil kertasnya satu lembar dan melipatnya sesuai dengan keinginan masing-masing sehingga lipatan yang satu dapat menutup lipatan yang lain, kemudian menggunting tepi lipatan dan terjadi lem an kertas yang mempunyai dua lipatan yang tepat dapat saling menutup. Beberapa bentuk guntingan mungkin sebagai berikut.



Gambar 4.1.



b.



Beri kesempatan kepada mereka untuk membuka dan menutup lipatan kertas masing-masing sampai mereka merasakan bahwa satu lembaran kertas mempunyai dua lipatan yang sama, yaitu lipatan yang satu tepat menutup lipatan yang lain. Katakan kepada mereka 1 lipatan dari 2 lipatan yang sama disebut setengah, atau seperdua, ditulis dengan 1 lambang pecahan . 2 Mintalah setiap siswa untuk melipat kembali satu kali kertasnya, dengan jalan melipat garis lipatan sehingga tepat berhimpitan. Kemudian mintalah mereka memotong tepi lembaran kertas yang bukan lipatan. Beberapa bentuk lipatan antara lain adalah:



4.22



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 4.2.



Beri kesempatan kepada mereka untuk membuka dan menutup lipatan kertas masing-masing sampai mereka merasakan bahwa satu lembaran kertas mempunyai empat lipatan yang sama, yaitu lipatan yang satu dan yang lain tepat bisa saling menutup. Katakan kepada mereka pengertian atau makna seperempat, duaperempat, tigaperempat, dan empatperempat. 1 lipatan dari 4 lipatan yang 1 sama disebut 4 2 lipatan dari 4 lipatan yang 1 sama disebut 2



3 lipatan dari 4 lipatan yang 3 sama disebut 4



4 lipatan dari 4 lipatan yang 4 sama disebut 4



Gambar 4.3.



c.



Untuk lebih memantapkan pemahaman mereka, sediakan banyak potongan karton dengan berbagai warna dan bentuk, misalnya:



4.23



 PDGK4406/MODUL 4



Gambar 4.4.



Berilah kesempatan kepada semua siswa untuk memilih sendiri bentuk dan karton yang disukainya, kemudian mintalah kepada masing-masing siswa untuk menjiplaknya pada lembaran kertas yang mereka miliki. Setelah itu, mintalah kepada mereka menggunting jiplakannya, dan melipatnya sedemikian hingga lipatan yang pertama dapat menutup lipatan kedua. Berikan kesempatan sejumlah siswa untuk menceritakan hasil lipatannya, dan memberikan arsiran untuk menyatakan 1 lipatan 1 dari 4 lipatan yang sama disebut . 2



Gambar 4.5.



4.24



d.



2.



Pembelajaran Matematika SD 



1 1 1 1 dan , dan . 4 8 3 6 Tunjukkan hasilnya di papan tulis (sesuai abstrak) dengan gambargambar daerah yang diarsir, antara lain daerah-daerah yang terkait 1 2 3 1 2 3 7 dengan , , ; daerah-daerah yang terkait dengan , , , ..., ; 4 4 4 8 8 8 8 1 2 daerah-daerah yang terkait dengan , , dan daerah-daerah yang 3 3 1 2 3 4 5 terkait dengan , , , , dan . 6 6 6 6 6



Kerjakan hal yang serupa untuk pecahan-pecahan



Siswa kurang memahami perkalian bilangan asli dengan pecahan Untuk memperbaiki kelemahan siswa terhadap masalah ini, antara lain dapat dilakukan kegiatan sebagai berikut; ambil 10 potong karton berukuran (1 cm  10 cm) dengan warna-warna yang berbeda. Satu potong karton dengan warna tertentu ditentukan sebagai satuan. Potongan karton yang lain dipotong-potong menjadi perduaan, pertigaan, perempatan, perlimaan, perenaman, pertujuhan, perdelapanan, persembilanan, dan persepuluhan, kemudian anturlah potongan-potongan kertas itu sebagai berikut:



 PDGK4406/MODUL 4



4.25



Dari potongan-potongan karton di atas dikembangkan antara lain ditunjukkan fakta-fakta sebagai berikut 3 a. 3 potongan dari 4 potongan yang sama nilainya sama dengan artinya 4 3 1 terdiri dari 3 potongan, masing-masing bernilai , atau 4 4 3 1 1 1    . 4 4 4 4 1 1 1 Karena sesuai dengan prinsip perkalian maka bentuk   dapat 4 4 4 1 3 1 dikalikan sebagai 3  . Jadi: 3   . 4 4 4 b. 5 potongan dari 7 potongan yang sama nilainya menyatakan bentuk 5 pecahan . 7 5 1 terdiri dari 5 potongan, masing-masing bernilai atau 7 7 5 1 1 1 1 1 sesuai dengan prinsip perkalian      7 7 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 5     = 5  , jadi 5   . 7 7 7 7 7 7 7 7 Berdasarkan fakta-fakta atau kasus-kasus yang kita sampaikan, para siswa diajak untuk melihat pola, sehingga mereka sampai pada kesimpulan bahwa: 1 p p 1 p   . q q q Setelah sejumlah latihan diberikan dan dirasakan cukup memadai, pengembangan berikutnya antara lain adalah: a. 3 3 6 2  3    7 7 7 7  2



3 7



Jadi 2 



3 23  7 7



4.26



Pembelajaran Matematika SD 



b.



2 2 2 6 3 2     9  9  9 9 9  3



2 9



Jadi 3 



2 3 2  9 9



Berdasarkan fakta-fakta atau kasus-kasus yang tersedia, para siswa diajak untuk melihat pola, sehingga mereka sampai pada kesimpulan bahwa: q pq p  dengan p  q  r . r r Setelah potongan-potongan karton yang tersedia diperbanyak secukupnya, kemudian para siswa diajak untuk sampai pada kesimpulan, yaitu: q pq p  dengan p  q  r . r r 3.



Siswa mengalami kesulitan dalam memahami pecahan-pecahan yang senilai Untuk membantu siswa dapat lebih memahami terhadap masalah ini, kembali gunakan potongan-potongan karton yang tersedia pada butir 2. Dari potongan-potongan karton tersebut antara lain dikembangkan faktafakta: a. Karton dengan nilai dua perempat tepat dapat menutup karton dengan nilai setengahan. Karton dengan nilai tiga perenam tepat dapat menutup karton dengan nilai dua perempatan. Karton dengan nilai empat perdelapanan tepat dapat menutup karton dengan nilai tiga perenaman. Karton dengan nilai lima persepuluhan tepat dapat menutup karton dengan nilai empat perdelapanan. Tunjukkan keadaan ini dengan memanipulasikan potongan-potongan tersebut agar saling menutup atau membariskan berdampingan agar terlihat sama panjang. Kemudian ajaklah mereka bersama-sama untuk menerima fakta berikut:



 PDGK4406/MODUL 4



4.27



1 2 1 2   2 4 2 2 1 2 3 1 3    2 4 6 23 1 2 3 4 1 4     2 4 6 8 2 4 b.



Lakukan hal serupa untuk: 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 4 1  4   ,    ,     3 6 2  3 3 6 9 3  3 3 6 9 12 3  4 1 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 4 1 4   ,    ,     4 8 4  2 4 8 12 4  3 4 8 12 16 4  4 2 4 2 2 2 4 6 23 2 4 6 8 24   ,    ,     3 6 3  2 3 6 9 3  3 3 6 9 12 3  4 Berdasarkan fakta-fakta atau kasus-kasus yang tersedia, para siswa diajak untuk melihat pola, sehingga mereka sampai pada kesimpulan bahwa: 1 1 q q   p pq pq p pr  q qr Dengan demikian mereka mengetahui bahwa perkalian oleh bilangan yang sama terhadap pembilang dan penyebut suatu pecahan menghasilkan pecahan-pecahan yang senilai (sama).



4.



Siswa mengalami kesulitan dalam membandingkan dan mengurutkan pecahan Kesulitan ini dapat diatasi dengan menggunakan potongan-potongan karton, yang bentuknya seperti halaman 36, yaitu dengan jalan menutup potongan karton dengan nilai pecahan tertentu terhadap potongan karton lainnya, atau membariskan dua potongan karton tersebut menurut sisi panjangnya sehingga akan terlihat potongan karton yang lebih panjang. 1 1 Misalnya kita ingin membandingkan pecahan terhadap dan 2 3 3 2 pecahan terhadap . 4 3



4.28



a.



Pembelajaran Matematika SD 



Langkah-langkah yang dapat Anda kerjakan adalah sebagai berikut: 1 1 Pecahan atau 2 3 Ambilah potongan-potongan karton yang bernilai 1 atau 2 kemudian himpitkanlah atau dampingkanlah kedua karton tersebut menurut sisi panjangnya. Kemudian suruhlah siswa untuk mengamatinya. Dari kegiatan ini dapatlah ditunjukkan bahwa potongan karton dengan nilai 1 pecahan terlihat lebih panjang bila dibandingkan dengan potongan 2 1 1 1 karton dengan nilai pecahan , atau > . (lihat Gambar 4.6). 2 3 3



Gambar 4.6.



b.



Pecahan



3 2 dan 4 3



1 sebanyak 3 dua buah dan dampingkanlah (jejerkan) menurut sisi pendeknya. Hal ini 2 untuk menunjukkan pecahan . 3 Ambillah potongan-potongan karton yang bernilai pecahan



Gambar 4.7.



4.29



 PDGK4406/MODUL 4



Kemudian ambil pula potongan-potongan karton yang bernilai pecahan 1 sebanyak 3 buah dan dampingkanlah menurut sisi pendeknya pula. Hal ini 4 3 untuk menunjukkan pecahan . 4



Gambar 4.8.



Setelah itu suruhlah siswa Anda untuk membariskan secara berdampingan menurut sisi panjangnya, kemudian suruhlah pula siswa Anda untuk mengamatinya. Tentunya dari kegiatan ini dapatlah diperlihatkan 3 kepada siswa bahwa potongan karton dengan nilai pecahan lebih panjang 4 3 2 2 bila dibandingkan dengan potongan karton nilai , atau > (lihat 4 3 3 Gambar 4.9).



a



Berikan siswa Anda beberapa kasus dan/atau fakta dari kegiatan seperti di atas, kemudian tanamkanlah kepada siswa Anda untuk dapat mengenal pola atau aturan yang sesuai (bentuk penyampaian konsep secara abstrak), yaitu sebagai berikut:



4.30



Pembelajaran Matematika SD 



Misalkan terdapat beberapa pasang bilangan pecahan yang akan 3 2 3 4 dibandingkan, seperti dan , serta dan . 4 3 5 5 Suruhlah siswa Anda untuk mengalikan bilangan-bilangan yang terdapat pada pecahan di atas secara silang, kemudian tentukan pula hasil kali antara bilangan-bilangan penyebutnya. Bentuk perkalian silang yang dimaksud adalah 2 . 5 = 10 dan 3 . 3 = 9 sedangkan hasil kali bilangan-bilangan penyebutnya adalah 3 . 5 = 15. Berarti



2 10 3 9 10 9 dan  , sekarang bandingkanlah antara dan .  3 15 5 15 15 15



Dari bentuk yang terakhir ini diharapkan siswa akan lebih mudah 10 9 menyatakan bahwa lebih besar dari . Hal ini menunjukkan bahwa 15 15 2 3 > . 3 5



3 4 dan , maka bentuk perkalian silang yang 4 5 dimaksud adalah 3 . 5 = 15 dan 4 . 4 = 16, sedangkan hasil perkalian 3 15 bilangan-bilangan penyebutnya adalah 4 . 5 = 20. Berarti dan  4 20 4 16 = . 20 5 Setelah melewati proses ini, siswa akan lebih mudah untuk 15 16 membandingkan antara bilangan pecahan dengan dari pada 20 20 bilangan-bilangan pecahan sebelumnya. Diharapkan siswa tersebut akan 15 16 mengatakan bahwa lebih kecil dari . Hal ini menunjukkan bahwa 20 20 3 4 < . 4 5 Untuk bilangan pecahan



4.31



 PDGK4406/MODUL 4



Dari pola dan aturan seperti kegiatan di atas, dapatlah disimpulkan p r bahwa dari bilangan-bilangan pecahan dan dengan p, q, r, dan s > 0, q s Jika p . s < q . s, maka



p r < (kasus kedua) q s



Jika p . s > q . s, maka



p r > (kasus pertama) q s



Selanjutnya, untuk dapat lebih memperjelas pemahaman mereka, gunakanlah garis bilangan, yaitu dengan jalan meletakkan bilangan-bilangan yang akan dibandingkan pada garis bilangan tersebut. Dari kegiatan ini akan diketahui bahwa bilangan yang lebih kecil nantinya akan berada di sebelah kiri bilangan yang lebih besar, atau sebaliknya. 5.



Siswa mengalami kesulitan untuk mencari hasil pembagian, 1 1 1 misalnya: 1: , 1: dan 1: dan seterusnya 4 2 3 Untuk mengatasi kesulitan pembagian di atas, gunakanlah potonganpotongan karton sesuai dengan keperluannya. 1 Misalnya untuk mencari atau menjelaskan 1: , maka gunakanlah 2 potongan karton perduaan dengan jalan sebagai berikut: 1 Mencari hasil dari 1: sama artinya mencari banyaknya nilai perduaan 2 (tengahan) dalam satu satuan, atau dengan kata lain ada beberapa nilai perduaan dalam satu satuan. Kalau kita peragakan dengan karton perduaan dapat dilihat pada gambar berikut:



Gambar 4.10.



Dari gambar di atas, terlihat adanya dua buah karton perduaan dalam 1 satu satuan, hal ini menunjukkan bahwa 1: = 2. Lakukanlah langkah2



4.32



Pembelajaran Matematika SD 



langkah yang serupa untuk memperagakan pembagian 1:



1 1 dan 1: 4 3



dengan menggunakan karton pertigaan dan karton perempatan. 1  1: sama artinya dengan mencari banyaknya nilai pertigaan dalam 3 satu satuan, lihat gambar.



Gambar 4.11.



Dari gambar di atas, terlihat adanya tiga buah karton pertigaan 1 dalam satu satuan. Hal ini menunjukkan bahwa 1: = 3. 3 1  1: sama artinya dengan mencari banyaknya nilai perempatan 4 dalam satu satuan, lihat gambar



1 __ __ 4



1 __ __ 4



1 __ __ 4



1 __ __ 4



Gambar 4.12



Dari gambar di atas, terlihat adanya empat buah karton perempatan 1 dalam satu satuan. Hal ini menunjukkan bahwa 1: = 4. 4 Pada akhir kegiatan, ajaklah siswa Anda untuk dapat membentuk 1 pola atau aturan umum yang memberlakukan bahwa: 1: = p. p



4.33



 PDGK4406/MODUL 4



6.



Siswa mengalami kesulitan untuk mencari hasil pembagian, 1 1 1 1 misalnya 2 : , 2 : , 3 : , dan 4 : , dan seterusnya 2 4 3 5 Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, jelaskan kepada siswa dengan bantuan potongan-potongan kartun sesuai keperluan. 1 Misalkan untuk menjelaskan 2 : . 2 1  2 : , sama artinya mencari banyaknya nilai perduaan (tengahan) 2 dalam dua satuan, dan hal ini dapat di tunjukkan dengan dua potongan karton satuan yang terpisah, dengan masing-masing memuat potongan kartun perduaan (lihat gambar).



1 __ __ 2 



1 __ __ 2



_____



1 __ __ 2



1 __ __ 2











satuan



satuan



1 2 :  4. 2 Gambar 4.13.



Dari gambar di atas terlihat adanya 4 buah karton tengahan dalam 2 satuan. Perhatikan bahwa ada dua satuan dan masing-masing satuan dibagi dua, 1  1 sehingga: 2 : = 2  1:  = 2  2 = 4. 2  2 Dengan demikian dapat dicari: 1  1 3 : = 3  1:  = 3  2 = 6. 2  2 1  1 2 : = 2  1  = 2  4 = 8. 4  4 1  1 3 : = 3  1:  = 3  5 = 15. 5  5



4.34



Pembelajaran Matematika SD 



4:



1  1 = 4  1:  = 4  5 = 20. 5  5



7.



Siswa mengalami kesulitan untuk mencari hasil pembagian, 3 3 2 2 misalnya 1: , 1: , 2 : , dan 3 : dan seterusnya 4 4 3 3 Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, jelaskan pula kepada siswa dengan menggunakan potongan-potongan karton yang sesuai dengan keperluan. 2 Misalkan untuk menjelaskan 1: . 3 2  1: sama artinya dengan mencari banyaknya nilai dua pertigaan 3 dalam satu satuan (lihat gambar).



Gambar 4.14.



Dari Gambar 4.14 terlihat adanya satu buah karton dengan nilai dua pertigaan dan sisanya satu buah karton dengan nilai pertigaan. Selanjutnya gunakan potongan karton pertigaan sebagai satuan baru, sehingga potongan 1 karton satu pertigaan (sisa) menjadi bernilai . 2 2 1 1 Jadi: 1:  1   1 . 3 2 2 3 Selanjutnya untuk bentuk pembagian 1: dapat dijelaskan dengan 4 menggunakan susunan potongan karton sebagai berikut:



4.35



 PDGK4406/MODUL 4



Gambar 4.15.



3 1 1 1:  1   1 . 4 3 3



3 2 , dan 3 : dapat dijelaskan dengan 4 3 menggunakan susunan potongan karton sebagai berikut: 2  2 : sama artinya dengan mencari banyaknya nilai dua pertigaan 3 dalam dua satuan (lihat Gambar 4.16). Untuk bentuk pembagian 2 :



Gambar 4.16.



Terdapat tiga buah potongan karton dengan nilai dua pertigaan. 2 Hal ini menunjukkan bahwa 2 : = 3. 3 3  3 : sama artinya dengan mencari banyaknya nilai tiga perempatan 4 dalam tiga satuan (lihat Gambar 4.17).



4.36



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 4.17.



Terdapat empat buah potongan karton dengan nilai tiga perempat. Hal ini 3 menunjukkan bahwa 3 : = 4. 4 8.



Siswa mengalami kesulitan untuk mencari hasil pembagian dalam 3 2 2 3 bentuk : dan : 4 3 3 8 Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, jelaskan kepada siswa dengan menggunakan susunan potongan karton sebagai berikut: 3 2 Misalkan untuk menjelaskan : 4 3 a. Ambil dua buah potongan karton satu-satuan, dan bentuklah masingmasing potongan karton tersebut seperti berikut.



Gambar 4.18.



4.37



 PDGK4406/MODUL 4



b.



3 dengan menurut sisi 4 3 2 panjangnya, dan tentunya potongan karton dengan nilai 4 3 mempunyai kelebihan panjang dibandingkan dengan potongan karton 2 dengan nilai . 3



Dampingkanlah potongan karton yang bernilai



Gambar 4.19.



c.



d.



e.



3 4 sehingga menjadi potongan karton kecil yang akan kita cari nilainya 2 terhadap potongan karton . 3 Dari bentuk peragaan di atas, kita telah mendapatkan satu buah potongan karton dengan nilai 1 potong dua pertigaan dan potongan karton yang diarsir. Langkah selanjutnya, potongan karton yang diarsir diukurkan pada potongan karton dua pertigaan, ternyata pada potongan karton dua pertigaan terdapat delapan bagian potongan karton yang diarsir. Jadi 1 potongan karton yang diarsir menyatakan bagian dari nilai potongan 8 karton dua pertigaan (lihat gambar). Guntinglah daerah yang diarsir pada potongan karton dengan nilai



Garnbar 4.20.



4.38



f.



Pembelajaran Matematika SD 



3 2 :  1 potongan karton dua pertigaan ditambah seperdelapan 4 3 3 2 1 1 bagian potongan karton dua pertigaan, atau :  1   1 . . 4 3 8 8 2 3 Dengan langkah yang sama, maka dapatlah ditentukan, bahwa: :  1 3 8 2 3 7 7 buah potongan karton tiga perdelapan, atau :  1   1 (lihat 3 8 9 9 Gambar 4.21). Satu buah potongan karton tiga perdelapan



Jadi



Gambar 4.21.



Potongan sisa bila dibandingkan dengan potongan tiga perdelapan merupakan tujuh bagian dari sembilan bagian yang sama. Jadi daerah yang 7 diarsir adalah bagian. 9



4.39



 PDGK4406/MODUL 4



9.



Siswa mengalami kesulitan untuk mencari basil bagian, dalam 2 3 bentuk : 5 4 Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, jelaskan hal yang serupa pada butir 8 (dengan sedikit perbedaan, dari "dijumlahkan" menjadi "dikurangkan").



Gambar 4.22.



3 , ternyata diperoleh 4 tujuh bagian dari lima belas bagian yang sama, sehingga terdapat kekurangan 7 . 15 2 3 7 8 Jadi :  1   . 5 4 15 15 Potongan kekurangan diukurkan pada potongan



4.40



Pembelajaran Matematika SD 



10. Siswa mengalami kesulitan untuk mencari hasil pembagian p r sembarang pecahan : q s Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, jelaskan butir-butir 5, 6, 7, 8 dan 9 dengan sebaik-baiknya. Kemudian bawalah mereka melihat sejumlah kasus atau fakta untuk melihat pola atau aturan umum yang dipakai. 1 3 1 5 3 5 3 5 3 :  :  15     5 1 5 1 11 1 1 2 2 2 6 23 2 3 2:  :  3     3 1 3 2 1 2 1 2 3 2 1 9 3 3 3 3 : :1     4 3 8 8 42 4 2 2 3 7 16 2  8 2 8 : :1     3 8 9 9 3 3 3 3 2 3 8 24 2 3 : :    3 4 15 5  3 5 4 p r p s Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa: :   . q s q r



11. Siswa mengalami kesulitan untuk mencari penjumlahan pengurangan



p r  dan q s



p r  q s



Untuk membantu siswa yang mengalami kesulitan tentang hal ini, gunakanlah kembali potongan-potongan karton yang tersedia. Untuk mencari jumlah, sambungkan bagian potongan masing-masing memanjang ke luar sebagai pernyataan penambahan, dan untuk mencari selisih, sambungkan bagian masing-masing memanjang ke dalam sebagai pernyataan pengurangan. Selanjutnya, carilah potongan karton yang lain sama panjang dengan potongan-potongan tersambung.



4.41



 PDGK4406/MODUL 4



Beberapa contoh adalah sebagai berikut. 1.



Potongan



1 2



Potongan



1 3



1 1   5 bagian dari 6 bagian yang sama. 2 3 1 1 5 Jadi,   . 2 3 6 2.



Potongan



2 3



Potongan



2 1   5 bagian dari 12 bagian yang sama. 3 4



1 4



4.42



Pembelajaran Matematika SD 



Jadi,



2 1 5 .   3 4 12



Berdasarkan jumlah fakta yang telah kita perlihatkan dengan potonganpotongan karton, selanjutnya ajaklah siswa mencari pola atau aturan yang berlaku umum, yaitu sebagai berikut:



1 1 5 3  2 1.3  2.1 : :   2 3 6 6 2.3



3 2 17 9  8 3.3  4.2 : :   4 3 12 12 4.3



2 1 5 8  2 4.2  2.1 : :   3 4 12 12 4.3



4 1 11 16  5 4.4  5.1 : :   5 4 20 20 5.4



sehingga secara umum dapat disimpulkan bahwa: p r ps  qr p r ps  qr :  dan   . q s qs q s qs LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1. 2.



3. 4. 5. 6.



1 ! 4 Tunjukkan paling sedikit dua gambar hasil memotong dua kali melipat 3 untuk menunjukkan ! 4 3 Tunjukkan paling sedikit dua cara untuk menunjukkan pecahan ! 8 4 Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan 1: ! 5 4 Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan 4 : ! 5 2 Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan 3 : ! 5 Tunjukkan paling sedikit tiga gambar yang menyatakan pecahan



 PDGK4406/MODUL 4



4.43



3 5 : ! 4 8 1 2 8. Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan : ! 4 3 3 2 9. Tunjukkan cara lain untuk menyatakan  ! 4 5 1 3 10. Tunjukkan cara lain untuk menyatakan 1  ! 2 5 7.



Tunjukkan susunan potongan karton yang menyatakan



Petunjuk Jawaban Latihan Gunakan rambu-rambu atau kunci jawaban berikut untuk mengetahui benar atau tidaknya jawaban yang Anda buat. 1.



2.



3.



4.



Satu empat perlimaan.



4.44



Pembelajaran Matematika SD 



5.



6.



7.



Potongan sisa di atas jika dibandingkan dengan potongan lima perdelapan merupakan satu bagian dari lima bagian yang sama. Daerah 3 5 1 5 1 5 yang diarsir adalah bagian dari . Jadi, :  1 1   . 4 8 5 8 5 8



4.45



 PDGK4406/MODUL 4



8.



2 , maka 3 diperoleh lima bagian dari delapan bagian yang sama, sehingga terdapat 5 1 2 5 3 kekurangan . Jadi, :  1   . 4 3 8 8 8 Jika potongan kekurangannya diukurkan pada potongan



9.



3 2  = 6 bagian dari 20 bagian 4 5  6  yang sama =   .  20 



4.46



Pembelajaran Matematika SD 



Daerah yang terkena 2 kali arsiran menyatakan hasil kalinya, yaitu: 6  6  bagian dari 20 bagian   .  20 



1 3 3 3 1     9 dari bagian yang sama 2 5 2 5 9 = . 10



R A NG KU M AN



1.



2.



3.



4.



5. 6.



Pecahan dan operasinya merupakan salah satu topik matematika SD yang masih dirasakan sulit oleh banyak siswa, dan masih dirasakan sulit oleh banyak guru dalam mengajarkannya. Mengerjakan pecahan sebaiknya tidak mekanistik dan empirik dalam bentuk hapalan, ingatan, dan statis, tetapi dalam bentuk konseptual, bermakna, manipulatif benda konkret, dan realistik. Potongan kertas yang dilipat-lipat dan digunting dengan cara tertentu dapat digunakan sebagai salah satu cara agar siswa lebih aktif, lebih partisipatif dan lebih terlibat secara mental. Potongan karton dengan warna menarik dan beragam dapat dimanfaatkan untuk membuat bahan manipulatif dalam menjelaskan pecahan, sifat-sifat pecahan, dan operasi pecahan. Penjelasan dengan bahan manipulatif sebaiknya diakhiri dengan penyelidikan pola atau aturan umum yang berlaku. Kreativitas dan kemauan yang tinggi para guru untuk lebih



4.47



 PDGK4406/MODUL 4



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Kecenderungan pembelajaran matematika masa kini hendaknya .... A. berpusat pada guru B. bersifat realistik C. mengacu pada hasil D. paham akan hapalan 2) Strategi pembelajaran matematika yang perlu dihindari oleh para guru adalah .... A. mekanistik B. interaktif C. manipulatif benda konkret D. realistik 3) Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah …. 1 1 1   A. q q pq B.



p r pr   q s qs



C.



p r ps  qr   q s qs



D.



t r t r :   u s u s



4) Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah …. p r A. Jika q, s > 0 dan < , maka ps - qr < 0 q s B. Jika q, s > 0 dan



p p r < , maka 3 < 2 q q s



C. Jika q, s  0 dan



p r < , maka ps - qr < 0 q s



D. Jika q, s < 0 dan



p r > r , maka ps - qr = 0 q s



4.48



Pembelajaran Matematika SD 



5)



1 1 1 1 4 4 4 4 Peragaan di atas menyatakan .... 1 A. 1: = 4 4 1 B. 4   1 4 1 C. 1: 4  4 1 1 1  D. 4 4



6)



1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 Peragaan di atas menyatakan ... 1 A. 4  3 1 B. 4 : 3 3 C. 4 : 3  4 1 D. 1: 3  3



7)



Peragaan di atas menyatakan .... 3 A. 3 :  4 4 1 4 1 B. 4 1 3 C. 3 :  4 4



1 3



1 3



1 3



1 3



1 3



1 3



 PDGK4406/MODUL 4



D. 3 



1 3  4 4



8)



Peragaan di atas dapat digunakan untuk mencari …. 7 1 A. : 5 3 7 1 B.  5 3 1 7 C. : 3 5 1 7 D.  3 5 9)



10)



Peragaan di bawah ini menyatakan ... 1 1 A.  3 4 2 1 B.  3 3 3 1  C. 2 4 4 3  D. 1 2 Peragaan di bawah ini menyatakan ... 1 2 A.  5 3 5 3  B. 4 2 4 2 C.  5 3



4.49



4.50



Pembelajaran Matematika SD 



D.



5 2  4 3



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4406/MODUL 4



4.51



Kegiatan Belajar 3



Perluasan Nilai Tempat Desimal



K



ata desimal berasal dari Bahasa Latin decem yang artinya sepuluh. Penggunaan sepuluh diduga dipengaruhi jumlah jari tangan kiri dan tangan kanan (atau kaki kiri dan kaki kanan), dan menandai banyaknya lambang dasar yang disebut angka (digit). Sistem numerasi desimal adalah sistem numerasi yang berbasis sepuluh, artinya bilangan 10 dipakai sebagai acungan pokok dalam melambangkan dan menyebut bilangan. Sistem ini berasal dari sistem Hindu - Arab, berawal dari India sekitar tahun 300 S.M., berkembang di Timur Tengah (Baghdad) sekitar tahun 750, sekitar abad 8 mulai digunakan di Spanyol (Spain) dan kemudian berkembang di Eropa, serta mempunyai lambang baku sekitar pertengahan abad 20 melalui penggunaan mesin ketik (typewriter) untuk menulis naskah. Seperti yang telah dibahas pada modul 1, beberapa sifat sistem numerasi Hindu-Arab atau desimal adalah: 1. Menggunakan 10 lambang yang disebut angka (digit), yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8, dan 9 2. Lambang bilangan dari 0 sampai dengan 9 mempunyai lambang yang sama dengan lambang-lambang angka 3. Bilangan-bilangan yang lebih dari 9 dinyatakan sebagai suku-suku penjumlahan perpangkatan dari 10. 4. Bersifat aditif. 5. Bersifat posisional. Penulisan bilangan dalam bentuk posisional, misalnya 12, 345, 4978, dan 56192, disebut dalam bentuk baku (standard form), dan penulisan bilangan yang dinyatakan sebagai suku-suku penjumlahan perpangkatan 10 disebut dalam bentuk panjang (expanded form). Contoh 4.1: 1. 23 = 2  10 + 3. 2. 2749 = 2  1000 + 7  100 + 4  10 + 9. Ruas kiri adalah bentuk baku, dan ruas kanan adalah bentuk panjang. Jika kelipatan-kelipatan 10 ditulis dalam bentuk pangkat (eksponen), maka diperoleh bentuk panjang yang lebih sederhana.



4.52



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 4.2: 1. 2749 = 2  103 +7  102 + 4  10 + 9. 2. 4562718 = 4  106 + 5  105 + 6  104 + 2  103 + 7  102 + 1  10 + 8. Secara umum, hubungan antara bentuk baku, bentuk panjang dan eksponen dapat ditunjukkan dengan diagram berikut: N =  a n a n-1 ... a 3 a 2 a1 a 0 



Jika kita perhatikan, kita dapat mengetahui dengan jelas bahwa bentuk baku mengembangkan satu arah penulisan, yaitu ke kiri, dilihat mulai dari a0 dalam sebarang N = (an an-1 ... a3 a2 a1 a0). Dari himpunan semua bilangan rasional, ada himpunan bagian bilangan rasional yang memerlukan perhatian khusus, yaitu bilangan-bilangan pecahan yang penyebutnya 10, 100, 1000, atau sebarang kelipatan 10. Definisi 4.1 Untuk b  Z dan sekarang n  Z , Z adalah himpunan bilangan bulat



bn =  b  b ...   b,  n faktor



b0 = 1, dan b  n  1



1



bn b disebut dengan basis. Dari definisi 1 dapat diketahui jika basis b = 10, maka:



100 = 1 10n = 10 10  ... 10  n faktor



dan 10-4 



1



104 sehingga dapat diketahui bahwa:



4.53



 PDGK4406/MODUL 4



101 



1 1 1 1 1 . , 102  2  ,...., 10 n  n  10 100 1000...0 10 10   n nol



Berdasarkan definisi 1 ini, sistem nilai tempat untuk bilangan bulat dapat diperluas (extended) ke bilangan rasional. Ada kelompok bilangan rasional yang memerlukan perhatian khusus, yaitu pecahan-pecahan yang







penyebutnya perpangkatan dari 10, yaitu mempunyai penyebut 10n n  Z







perluasan sistem nilai tempat berupa pengembangan bentuk baku penulisan menjadi 2 arah yaitu ke kiri, dan ke kanan, dilihat mulai dari angka satuan. Jika dilihat dari tempat satuan, maka arah ke kiri menyatakan a n 10n



n  Z  . 



Dengan memperluas tempat dan arah, di sebelah kiri dan di



sebelah kanan angka satuan, yang mana arah ke kanan menyatakan a n 10 n , maka pola pengembangan penulisan nilai tempat yang diperluas menjadi sebagai berikut: •••



a3



a2



a1



a0



a1



a2



a3



•••



••• •••



103 a3  103



102 a2  102



101 a1  101



100 a0  100



10-1 a1  10-1



10-2 a2  10-2



10-3 a3  10-3



•••



Di dalam penulisan, untuk menandai bagian yang mengarah ke kiri, digunakan lambang (koma), diletakkan di antara a0 dan an. Lambang 0 (nol) ditulis sebelum koma jika bagian ke kiri tidak ada. Contoh 4.3: 1. 2135,413 = 2  103 + 1  102 + 3  101 + 5  100 + 4  10-1 + 1  10-2 + 3  10-3 2. 0,325 = 3  10-1 + 2  10-2 + 5  10-3 Sebagai pernyataan bilangan rasional, pecahan 1. 2. 3.



pecahan biasa jika q + p dan q ≠ 0; pecahan sejati jika p < q; pecahan tidak Sejati jika p > q;



p dapat disebut: q



4.54



Pembelajaran Matematika SD 



p b b dapat ditulis sebagai a dengan adalah q c c



4.



pecahan campuran jika



5.



pecahan sejati; pecahan sederhana jika ( p, q ) = 1 dan p < q.



Contoh 4.4: 12 1. adalah pecahan biasa sebab 5 + 12 dan 5 ≠ 0. 5 12 bukan pecahan sejati (pecahan tidak sejati) sebab 12 > 5. 5 12 2 adalah pecahan campuran sebab dapat ditulis sebagai 2 , dan 5 5 2 adalah pecahan sejati. 5 12 2. adalah bukan pecahan sebab 5 | 20. 5 5 adalah bukan pecahan sebab penyebutnya nol. 0 0 adalah bukan pecahan sebab penyebutnya nol 0 0 adalah bukan pecahan sebab 5 | 0 5 Dalam sistem numerasi desimal yang diperluas, setiap bilangan rasional dapat dinyatakan dalam notasi desimal. Lambang bilangan rasional dalam notasi desimal disebut pecahan desimal. Wujud bilangan rasional dalam pecahan desimal dapat dibedakan menjadi: 1.



2.



Desimal berakhir (terminating decimal), yaitu desimal-desimal yang mengandung sejumlah terhingga angka, dan dapat dinyatakan dalam a bentuk m n , a  Z, m dan n adalah bilangan-bilangan cacah. 2 .5 Desimal berulang/periodik (periodic/repeating decimal), yaitu desimaldesimal yang mengandung serangkaian terhingga angka-angka yang berulang secara terhingga.



4.55



 PDGK4406/MODUL 4



Contoh 4.5:



3 adalah 0,3. 10 15 pecahan desimal adalah 0,15. 100 1 1 1 25 25 2)     0, 25 2 0 4 4  25 100 2 .5 7 7 7 125 875     0,875 3 0 8 8 125 1000 2 .5 1 7 3 3) , , dan adalah desimal-desimal berakhir karena lambang 4 8 20 desimal masing - masing mengandung sejumlah terhingga angka a dan dapat dinyatakan sebagai m n . 2 .5 4) Lambang desimal bilangan rasional pecahan dapat diperoleh dengan cara pembagian biasa, 1) pecahan desimal



0,75 4)3,0 28 _ 20 20 _ 0



berarti



3 = 0,75 4



Pecahan desimal yang diperoleh dari hasil pembagian, berubah desimal berakhir karena lambangnya berakhir, dan proses pembagian berakhir yang dikerjakan juga berakhir. 5 2 5) bilangan-bilangan rasional pecahan dan tidak mudah ditulis 11 3 dalam bentuk pecahan desimal dengan menggunakan cara seperti pada contoh 5. Bilangan-bilangan ini dapat diubah menjadi pecahan desimal melalui pembagian biasa sebagai berikut:



4.56



Pembelajaran Matematika SD 



0,6666... 3)2,000 18 _ 20 18 _ 20 18 _ 20



2 = 0,6666 3



___________



0,4545... 3)5,0000 44 _ 60 55 _ 50 44 _ _ 60 55 _ 50 5 = 0,4545 11



Pecahan desimal yang diperoleh dari hasil pembagian, berupa desimal berulang karena mengandung serangkaian terhingga angka angka yang berulang secara terhingga. Bilangan desimal 0,6666... mengandung satu angka, yaitu 6, yang berulang secara tak terhingga, ditulis 0,6 . Bilangan desimal 0,4545... mengandung dua angka, yaitu 45, yang berulang secara tak terhingga, ditulis 0, 45 . 6) Pecahan desimal berakhir dapat dinyatakan sebagai desimal berulang dengan menambahkan angka-angka nol setelah angka terakhir, misalnya: 0,25 = 0,25000 0,075 = 0,07500 7) Pecahan tidak sejati dapat diubah menjadi pecahan campuran kemudian dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal kemudian dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal dengan menggunakan koma, misalnya: 7 5 256 6  3  3,5  25  25, 6 2 10 10 10 8) Lambang desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang bukan merupakan bilangan rasional, sehingga tidak bisa dinyatakan sebagai p pecahan  p, q  Z dan q  0  , misalnya: q 0,345124367981... 2 = 1,414214... 3 = 1,732050 .... 0,2102210222210...  = 3,1415926... e = 2,71828 ... masing-masing bilangan di atas disebut bilangan irasional (irrational numbers).



 PDGK4406/MODUL 4



4.57



9) Bilangan-bilangan desimal yang berakhir atau berulang dapat dinyatakan p sebagai bilangan rasional pecahan  p, q  Z dan q  0  , misalnya: q a.



3,48 = 3



48 12 87 3  100 25 25



a dengan cara sebagai berikut: b x = 0,8888...  10 x = 8,8888... x = 0,8888... _ 9x=8 8 x 9 8 0,8888.... = . 9 a c. 9, 345 ... = 9,3454545 ... diubah menjadi dengan cara sebagai b berikut: x = 9,3454545 ...  100 x = 934,54545 .... x = 9,34545 ... 99 x = 925,2 990 x = 9252 9252 3084 1028 x= = = 990 330 110 1028 9,3454545 .... = . 110 Untuk bilangan-bilangan yang cukup besar atau cukup kecil dalam basis 0, atau dalam sistem desimal, terdapat cara penulisan bilangan yang disebut notasi ilmiah baku (standard scientific notation) Notasi ilmiah baku suatu bilangan terdiri dari suatu bilangan b dengan 1 < | b | < 10, lambang perkalian, dan perpangkatan n dari 10 dengan n Z, sehingga secara singkat dapat dinyatakan sebagai: b 10n ,1  | b |< 10, n  Z . b.



0, 8 = 0, 8888... diubah menjadi



4.58



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 4.6: Notasi ilmiah baku dari beberapa bilangan adalah sebagai berikut: 1. 4 = 4  100 2. 5697 = 5,697  103 3. 0,5 = 5  10-1 4. 0,0000045 = 4,5  10-6 Di dalam suatu perhitungan atau kalkulasi, yang didahului dengan proses sejumlah operasi bilangan desimal (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), hasil yang diperoleh memuat sederatan angka yang cukup panjang, sehingga pada batas-batas tertentu deretan angka yang cukup panjang tersebut dipandang kurang bermakna dan perlu dipendekkan dengan alasan-alasan tertentu cara memendekan bilangan desimal ini disebut membulatkan (rounding off). Hasil pembulatan disebut nilai pendekatan menurut tempat desimal yang dikehendaki, yaitu: 1. pembulatan sampai satuan terdekat, puluhan terdekat, ratusan terdekat, ribuan terdekat, sepuluh ribuan terdekat dan seterusnya. 2. pembulatan sampai persepuluhan terdekat (satu tempat desimal), perseratusan terdekat (dua tempat desimal), perseribuan terdekat (tiga tempat desimal), dan seterusnya.



1. 2. 3.



Cara memperoleh nilai pendekatan adalah sebagai berikut: Tentukan letak pendekatan yang dikehendaki. Jika angka di sebelah kanan letak pendekatan adalah kurang dari 5, maka semua bilangan di sebelah kanan dibuang atau dihapus. Jika angka di sebelah kanan letak pendekatan adalah 5 atau lebih dari 5, maka tambahan 1 pada angka letak pendekatan, dan semua bilangan di sebelah kanan di buang atau di hapus.



Contoh 4.7: Bulatkan 27654,64735 sampai dengan: 1. Satuan terdekat. 2. Puluhan terdekat. 3. Satu tempat desimal. 4. Perseratusan terdekat.



 PDGK4406/MODUL 4



4.59



Jawab: 1. 27654,64735 lebih dari 5 tempat satuan letak pendekatan karena angka di sebelah kanan letak pendekatan adalah lebih dari 5, maka I ditambahkan pada 4, dan 64735 dihapus, sehingga hasil pembulatan sampai satuan terdekat adalah 27655. 2.



2765,64735 kurang dari 5 tempat puluhan letak pendekatan karena angka di sebelah kanan letak pendekatan adalah kurang dari 5, maka semua bilangan di sebelah kanan 5 dihapus, sehingga hasil pembulatan sampai puluhan terdekat adalah 27650.



3.



27654,64735 kurang dari 5 satu tempat desimal



letak pendekatan



karena angka di sebelah kanan 6 adalah kurang dari 5, maka semua bilangan di sebelah kanan 6 dihapus, sehingga hasil pembulatan sampai satu tempat desimal (persepuluhan terdekat) adalah 27654,6. 4.



27654,65.



Masalah Pembelajaran Pecahan Desimal Banyak siswa SD mengalami kesultanan untuk memahami dan p membedakan makna dan pecahan desimal. Beberapa masalah yang q mungkin dialami para guru di lapangan dan cara menyelesaikan adalah sebagai berikut:



4.60



1.



Pembelajaran Matematika SD 



1 sebagai 4 pernyataan yang sama suatu bilangan. Mereka cenderung menyatakan desimal sebagai bilangan dan pecahan sebagai daerah yang terbagi. Sesungguhnya pecahan desimal adalah dua sistem notasi yang dikembangkan berbeda untuk menyatakan secara praktis, orang Iebih 1 mudah mengingat dari pada 0,25 untuk menyatakan bagian. Dilain 4 pihak, orang lebih mudah mengingat 0,21 atau 0,23 untuk menyatakan 1 bilangan yang dekat dengan dan lebih mudah dalam hitung 4 menghitung di kertas, dengan kalkulator dan komputer, serta dengan alat pengukuran yang lain. Untuk membantu siswa memahami dan menguasai hubungan antara pecahan dan desimal, gunakan berbagai model atau bahan manipulatif yang sesuai, misalnya piringan berskala atau potongan karton. Alat-alat ini dapat dipakai untuk menjelaskan hubungan persepuluhan dan perseratusan dengan pecahan, serta mentranslasikan bentuk-bentuk pecahan dengan bentuk-bentuk desimal. a.



Siswa kurang memahami makna antara lain 2,25 dan 2



3 bagian dari 10 bagian yang sama



3 atau 0,3. 10



b. 4 bagian dari 10 bagian yang sama atau 0,4.



4 10



 PDGK4406/MODUL 4



4.61



c.



25 1  . 100 4 d.



2.



Banyak siswa belum memahami translasi kesejajaran perhitungan yang melibatkan notasi pecahan dan notasi desimal. Untuk menyelesaikan kesulitan siswa ini, model-model yang dijelaskan pada bagian I dapat digunakan untuk memperagakan dan mentranslasikan dari kalimat pecahan ke kalimat desimal, dan pada akhirnya guru menunjukkan kesejajarannya: 2 3 5 a.    0, 2  0,3  0,5 10 10 10 1 9 2 8 3 7 4 6 5 5 10 b.           1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10  0,1  0,9  0, 2  0,8  0,3  0,7  0, 4  0,6  0,5  0,5  1  1,0 2 5 7 c. 3  4  7  3, 2  4,5  7, 7 10 10 10



4.62



Pembelajaran Matematika SD 



d.



3.



8



4 9 13 3  6  14  15  8, 4  6,9  15,3 10 10 10 10



Banyak siswa belum terampil menjumlahkan (bersusun) dengan pecahan desimal. Untuk membantu siswa translasi kesejajaran merupakan usaha yang perlu diterapkan guru:



4 15   ...  10 100



4 40 10 100  15 15  100 100   pecahan



4.



0, 4 0, 40 0,15   0,15  ... ...    desimal



Banyak siswa belum terampil mengganti nama pecahan menjadi desimal dengan menggunakan pembagian. Untuk membantu siswa, berilah contoh-contoh nyata pecahan yang dapat diganti menjadi desimal berakhir, kemudian dikembangkan ke pecahan yang dapat diganti menjadi desimal periodik (berulang). Translasi kesejajaran dengan menggunakan model atau bahan manipulatif diperlukan lebih awal agar para siswa mampu menyatakan pecahan yang sejajar/senilai/ekvivalen dengan desimal berakhir, misalnya:



1 = 0,25, 4



1 2 = 0,5 = 0,50 = 0,500, = 0,4 = 0,40 = 0,400 2 5



Kemudian mereka diajak untuk membuat translasi kesejajaran ke bentuk bersusun pembagian (cara pistol).



0,5 2 1  2 1, 0 1, 0 0



5 10 1   1   0,5 sebab 0,5  2   2  2 10 10  



4.63



 PDGK4406/MODUL 4



0, 75 4 3  4 3, 0 2,8



300 3   3   0, 75 sebab 0, 75  4  4 100  



2, 0 2, 0 0 Beberapa fakta pembagian yang menghasilkan desimal berulang misalnya: 0,3333 3 1  3 1,000  3 1,000



0,900



0,3



9



0,100



0,30



10



0,090 0,010



9 0,003



10



0,009 0,001



0,0003



 sehingga kalau dilanjutkan akan diperoleh: 1 = 0,333 ... = 0,3 3 5.



Banyak siswa masih mengalami kesulitan dalam mengalikan desimal. Untuk membantu mereka memahami dan menguasai perkalian, pada tahap awal gunakan translasi kesejajaran, kemudian secara bertahap bawalah ke bentuk perkalian bersusun, misalnya: 2 3 6 a.    0, 2  0,3  0,06 10 10 100 4 8 32    0, 4  0, 08  0, 032 10 100 1000 Dari fakta-fakta seperti ini mereka dibimbing sehingga perkalian desimal dan perkalian bilangan bulat mempunyai kesamaan. Bedanya hanya terletak pada penempatan tanda koma yang bersesuaian dengan letak koma dari masing-masing faktor.



4.64



Pembelajaran Matematika SD 



b.



Pengembangan berikutnya adalah perkalian bersusun, dilakukan setelah para siswa memahami cara menempatkan koma dalam perkalian desimal, misalnya: 2,56 0, 032 ....



6 2 12   100 1000 100000 5 2 10 100    10 1000 10000 100000 2 2 4 400    1 1000 1000 100000 6 3 18 180    100 100 10000 100000 5 3 15 1500    10 1000 10000 100000 2 3 6 6000    1 100 100 100000



2,56 0, 032 0, 00012











0,00100







0,00400







0,00180







0,01500







0, 06000 0, 08192



Kemudian dikembangkan menjadi:



dan terakhir menjadi: 256 256 32  3,2  512 512 7680 + 7680 + 8192 819,2



2,56 3,2 512 7680 8,192



 +



2,56 0,32 512 7680 0,8192



 +



4.65



 PDGK4406/MODUL 4



6.



Dari penjelasan di atas para siswa dibimbing sampai memahami dengan sungguh-sungguh bahwa perkalian desimal sama dengan perkalian biasa, tetapi hasil akhir harus menempatkan koma pada tempat yang sesuai, artinya banyaknya angka di belakang koma (setelah koma) sama dengan jumlah banyaknya angka dari masing-masing faktor. Banyaknya siswa masih mengalami kesulitan dalam membagi desimal. Untuk membantu mereka memahami dan menguasai pembagian, beberapa tahap yang perlu dilakukan adalah: a. menggunakan perkalian untuk memberi makna pembagian: 4 : 8 = ... artinya 8  ... = 4, 2 : 4 = ... artinya 4  ... = 2, 3 : 12 = ... artinya 12  ... = 3, kemudian dijelaskan bahwa: 4 : 8 = 0,5 sebab 8  0,5 = 4 2 : 4 = 0,5 sebab 4  0,5 = 2 3 : 2 = 0,25 sebab 12  0,25 = 3 dan dikembangkan menjadi bentuk bersusun, misalnya:



8 4,0 4,0



0,5







0,5 8 4,0 4,0



0



0 12 3, 0 2, 4 0, 6 0, 6 0



0, 2 0, 05







0, 25 12 3, 0 2, 4 0, 6 0, 6 0



b.



menyederhanakan bentuk pembagian dengan memindahkan letak koma sedemikian hingga pembaginya menjadi bilangan bulat



4, 23 : 0,9 



4, 23 4, 23 10 42,3    42,3 : 9 0,9 0,9 10 9



4.66



Pembelajaran Matematika SD 



0,9 4, 23







9 42,3 36, 0 6,3 6,3







4



4, 7 9 42,3 36, 0



0, 7



0



6,3 6,3 0



c.



menyederhanakan bentuk pembagian sesuai dengan keadaan letak koma dari bilangan yang dibagi dan pembagi



0,5 32,45



 50 3245



300







3245 : 50 = 64



45 90 9 = 64 = 64 50 100 10



245 200 45  50 3245



300 245



 32,45 : 0,5 = 3245:50 = 64,9



200 450 450 0 Persen Pada Perluasan Nilai Tempat telah diuraikan banyak hal tentang lambang desimal dan pecahan. Para siswa perlu dibantu dengan sungguh-sungguh sehingga mereka memahami bahwa lambang desimal dan pecahan adalah dua sistem lambang yang berbeda untuk menyatakan lambang yang sama yaitu bagian dari keseluruhan, dan keduanya merupakan wujud bilangan rasional. Istilah persen adalah nama lain dari Perseratusan, sehingga kata persen 1 dapat digunakan untuk mengganti kata perseratus. Pecahan dapat 4



4.67



 PDGK4406/MODUL 4



25 , dan dalam bentuk desimal ditulis 0,25, dan 100 keduanya dibaca sama, yaitu dua puluh lima perseratus atau 25 persen, ditulis 25%. Persen bukan merupakan konsep baru, artinya persen hanyalah merupakan istilah dan notasi baru. Bahan manipulatif yang dapat dipakai untuk menjelaskan keterkaitan antara pecahan, desimal, dan persen antara lain adalah potongan kertas atau kartun, potongan melingkar berskala, dan karton berpetak seratus. dinyatakan sebagai



1 dari satu daerah 4



0,25 dari satu daerah



25% dari satu daerah



Beberapa masalah atau kesulitan yang mungkin dihadapi atau dialami oleh para siswa dan usaha guru untuk membantu menyelesaikan masalah mereka adalah sebagai berikut.



4.68



1.



Pembelajaran Matematika SD 



Kesulitan mengkaitkan pecahan dan persen, misalnya mengisi jawaban: 2 3 3 3  ...%,  ...%,  ...%,  ...% 5 4 10 8 Usaha guru untuk membantu siswa adalah memberikan bimbingan kepada mereka untuk memahami kesamaan makna persen dengan perseratus, artinya mencari nama lain suatu pecahan tetapi penyebutnya adalah 100, sehingga translasi kesejajaran dapat dibuat, yaitu: a ak = =  a  k  % jika b  k = 100 b bk



Contoh 4.8: 2 2 ... a.  ...%   5 5 100 Karena 5  20 = 100, maka b.



3 3 ...  ...%   4 4 100 Karena 4  25 = 100, maka



2.



2 2  20 40    40% 5 5  20 100



3 3  25 75    75% 4 4  25 100



menyatakan suatu bilangan sebagai persen dari bilangan yang lain, yaitu: a adalah beberapa persen dari b? Untuk membantu mereka menyelesaikan masalah ini, guru perlu memberikan tekanan translasi kesejajaran bahwa: a c   a  c%  b  a adalah c% dari b  0 adalah b% dari c. b 100



Contoh 4.9: a. 15 adalah berapa persen dari 25? Jawab: 15 ... 15 = ... %  25  = 25 100 15 15  4 60 Karena 25  4 = 100, maka = = = 60% 25 25  4 100 Jadi 15 adalah 60% dari 25.



 PDGK4406/MODUL 4



b.



18 adalah 40% dari berapa? Jawab: 40 ... 18 ... 18 = 40% x ... 18= =  ... 18 =  40  100 100 40 100 1 18  2 1 18 2  45 Karena 40  2  100 maka  2 40 40  2 1 100 2 45 40 Jadi 18 =  40 =  45 = 40%  45 100 100 18 adalah 40% dari 45.



c.



Carilah 20% dari 25



4.69



Jawab: 20% dari 25 adalah: 20 20 25 20  25 500 5  100 5 =  25 =  = = = = =1 100 100 1 100 1 100 1100 1 20% dari 25 adalah 5. 3.



Kesulitan menyatakan suatu bilangan pecahan dalam persen karena penyebut pecahan bukan merupakan faktor dari 100. Untuk membantu mereka menyelesaikan masalah ini, guru perlu membimbing mereka untuk menggunakan pembagian biasa (pembagian cara pistol), kemudian disederhanakan sehingga diperoleh penyebut 100.



Contoh 4.10: 3 a. = p%, p=... 8 Jawab: Dengan menggunakan pembagian cara pistol:



4.70



Pembelajaran Matematika SD 



0,375 8 30 24 60 56 40 40 0 diperoleh 3 375 37,5  10 37,5 = 0,375 = = = =37,5% 8 1000 100 10 100 1 Jadi: p = 37,5 atau p = 37 . 2 4.



Kesulitan mengkaitkan dengan keadaan yang realistik, yaitu permasalahan yang terkait dengan keadaan sehari-hari para siswa. Untuk membantu mereka menyelesaikan masalah ini, guru perlu membimbing mereka menggunakan bahan manipulatif, peraga, diagram, atau gambar dalam proses memahami pokok permasalahan.



Contoh 4.11: a. Suatu toko memberikan potongan harga sebesar 25%. Jika harga satu baju adalah 60.000 rupiah maka seseorang harus membayar berapa untuk membeli satu baju itu? Jawab:



25% =



75%



25 =1 100



25%



60.000 rupiah dinyatakan sebagai empat bagian yang sama, masingmasing bagian senilai 15.000 rupiah potongan pembayaran: 3 bagian, yaitu 3  15.000 rupiah; atau pembayaran dapat diperoleh dari:



 PDGK4406/MODUL 4



4.71



75% dari 60000 rupiah  75%  60000 rupiah 75 75%  60000 rupiah =  60000 rupiah 100 3 =  60.000 rupiah = 45000 rupiah. 4 Rasio Suatu rasio suatu pasangan terurut bilangan atau pengukuran yang digunakan untuk menyatakan perbandingan bilangan atau pengukuran. Permasalahan sehari-hari yang terkait dengan rasio bilangan atau pengukuran antara lain adalah panjang atau jarak terhadap waktu, jumlah barang dan harga barang, panjang dengan panjang, luas dengan luas, isi dengan isi, berat barang dengan harga barang, nilai uang dengan nilai uang, umur orang dengan umur orang, dan temperatur (suhu) dengan temperatur. Pada dasarnya rasio dan pecahan mempunyai makna yang sama sebagai perbandingan. Pecahan dimaksudkan untuk membandingkan bagian terhadap 2 keseluruhan. Pecahan adalah perbandingan 2 bagian terhadap 3 bagian 3 pembentuk keseluruhan, yang mana bagian dan keseluruhan diukur menurut pertigaan. Rasio adalah suatu perbandingan bagian terhadap keseluruhan, berarti semua pecahan adalah rasio, tetapi tidak semua rasio adalah pecahan. Suatu keadaan yang mana mempunyai rasio 5 dengan 0 dapat terjadi karena bagian pertama memperoleh 5 dan bagian yang kedua memperoleh 0, tetapi 5 bukan pecahan karena pembagian dengan nol tidak ada atau tidak 0 didefinisikan. Suatu pecahan selalu merupakan perbandingan bagian-bagian terhadap keseluruhan, sedangkan rasio merupakan perbandingan suatu bagian dari keseluruhan terhadap bagian yang lain. Misalnya terdapat 15 kelereng, 5 kelereng berwarna merah dan 10 kelereng berwarna putih. Rasio atau pecahan dari kelereng merah terhadap keseluruhan adalah lima dari 15, atau 1 dari kelereng adalah merah. Perbandingan banyaknya kelereng merah 3 terhadap kelereng putih bukan merupakan suatu pecahan, tetapi merupakan rasio suatu bagian terhadap satu bagian yang lain. Banyaknya kelereng merah dan kelereng putih mempunyai rasio 5 terhadap 10, atau 1 terhadap 2.



4.72



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 4.12: 1. Di dalam geometri, setiap lingkaran mempunyai rasio keliling dan garisgaris tengah yang dinyatakan dengan huruf Yunani  (pi), dan hal ini merupakan rasio yang bukan bilangan rasional. 2. Di dalam barisan geometri: 2, 6, 18, 54, 142, 486, ... rasio dua suku yang berurutan adalah 3, yaitu: U 6 18 54 162 486      ... n  3 2 6 18 54 162 U n 1 3.



4. 5.



Di dalam geometri, bentuk-bentuk geometri yang sebangun (similar), mempunyai rasio yang terkait antara lain dengan luas, panjang garis tinggi, panjang garis bagi, panjang garis berat, dan keliling. Di dalam Trigonometri, fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secan, dan cosecan dikembangkan dari rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Di dalam probabilitas, besarnya kemungkinan terjadi sesuatu adalah suatu rasio. Besarnya kemungkinan muncul bilangan prima dalam melempar sebuah dadu sekali adalah 3 dari 6, atau I dari 2. Probabilitas adalah rasio bagian dari keseluruhan, yaitu rasio banyaknya kemungkinan terjadi sesuai dengan keinginan dan banyaknya seluruh kemungkinan.



Beberapa masalah atau kesulitan yang mungkin dihadapi atau dialami oleh para siswa dan usaha guru untuk membantu menyelesaikan masalah atau kesulitan mereka adalah sebagai berikut: 1. Kesulitan menggunakan pecahan atau bilangan rasional untuk menunjukkan perbandingan situasi tertentu, misalnya: Andi membeli 3 batang coklat dengan harga 6 ribu rupiah, dan Nana membeli 9 batang coklat dengan harga 20 ribu rupiah. Andi atau Nana yang membayar lebih murah? Untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, gunakan bahan-bahan manipulatif sebagai tiruan batang coklat dan tiruan suatu uang ribuan, kemudian bimbinglah mereka membuat kelipatan dari data yang nilainya lebih kecil, yaitu 3 dan 6, seperti diagram berikut.



4.73



 PDGK4406/MODUL 4



3 coklat 6 ribu rupiah



6 coklat 12 ribu rupiah



9 coklat 18 ribu rupiah



Dari peragaan di atas, jika Andi membeli 9 batang coklat, maka Andi harus membayar 18 ribu rupiah. Jadi Andi membeli coklat lebih murah karena Nana membayar 20 ribu rupiah untuk 9 batang coklat. Pada akhir penjelasan, sebaiknya pola konkrit di atas ditabelkan sehingga diperoleh gambaran yang lebih nyata. coklat harga



3 6



6 12



9 18



12 ...



15 ...



Pengembangan contoh ini antara lain adalah harga yang dibayar oleh Andi jika dia membeli 60 batang coklat. Perluaslah tabel di atas sampai diperoleh bilangan 60 pada baris coklat, maka baris harga menjadi 120, sehingga Andi harus membayar 120 ribu untuk membeli 60 batang coklat. Selanjutnya, dengan mengatur diagram sebelah kiri menjadi sebelah kanan:



Dapat dijelaskan bahwa Andi harus membayar dua ribu rupiah jika ia hanya membeli satu batang coklat.



4.74



2.



Pembelajaran Matematika SD 



Kesulitan menyatakan perbandingan dalam bentuk pembagian dan pecahan. Untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, gunakan langkah-langkah bertahap sebagai berikut: a. menyatakan dalam bentuk pasangan berurutan. b. mengganti bentuk pasangan berurutan dengan bentuk pembagian. c. mengganti bentuk pembagian dengan bentuk pecahan. Misalnya, dari uraian butir 1 di atas, dibuat pasangan-pasangan berurut (3,6), (6,12), (9,18), dan seterusnya, dengan penjelasan: (3,6) artinya 3 batang coklat untuk setiap 6 ribu rupiah. (6,12) artinya 6 batang coklat untuk setiap 12 ribu rupiah. (9,18) artinya 9 batang coklat untuk setiap 18 ribu rupiah. Kemudian dikaitkan dengan simbol lain yang bermakna: a a untuk setiap b, ditulis a : b, atau b sehingga 3 (3,6) diganti 3 : 6, atau 6 6 (6,12) diganti 6 : 12, atau 12 9 (9,18) diganti 9 : 18, atau 18 yang semuanya menyatakan perbandingan yang sama 1 : 2 dan pecahan 1 yang sama . 2



3.



Kesulitan memahami hubungan kesebangunan dalam geometri dengan pecahan yang bersesuaian untuk menyatakan perbandingan untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, gunakan bangun-bangun geometri tertentu, misalnya persegi panjang dan segitiga siku-siku. Contoh 4.13: a. Siapkan persegi-persegi pada kertas berpetak seperti pada gambar, kemudian buatlah tabel untuk menunjukkan pola hubungan panjang dan lebar dari setiap persegi, yaitu lebar dan panjang dapat dinyatakan sebagai perbandingan 1 : 2, 2 : 4, 3 : 6, 4 : 8, dan 5 : 10,



 PDGK4406/MODUL 4



4.75



atau dinyatakan sebagai pecahan 2 , 4 , 6 , 8 , dan 10 yang mana semuanya bernilai dan dapat diwakili 2. Dengan pola semacam ini, mereka diajak dan dibimbing tentang konsep kesebangunan persegi. Akhir kegiatan ini adalah menentukan panjang dan lebar misalnya dari persegi ke 8, 10, dan ke 20 tanpa harus memperluas gambar.



b.



4.



Kerjakan hal yang serupa dengan butir 1, tetapi dengan persegipersegi yang berbeda, atau bangun-bangun geometri yang berbeda (misalnya segitiga siku-siku). Kesulitan memahami tentang skala Untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, gunakan penjumlahan berulang dalam perkalian, dan pengurangan berulang dalam pembagian. Bimbinglah mereka memahami skala naik dan skala turun, melalui halhal yang terkait dengan ukuran, pembelian (belanja), dan kalender. Contoh 4.14: Jika 1 botol minyak seharga 3000 rupiah, maka berapa harga 5 botol minyak? 1 botol  3000 rupiah. 2 botol = 1 botol + 1 botol  3000 rupiah + 3000 rupiah.  6000 rupiah  (2  3000) rupiah. Dengan demikian, dapat dicari bahwa: 5 botol  (5  3000) rupiah  15000 rupiah. Harga 5 botol minyak adalah 15000 rupiah.



4.76



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan pengembangan korespondensi seperti ini, mereka diharapkan dapat menangkap secara benar makna skala sebagai perbandingan dan dapat terkait dengan perkalian. Proporsi Pada saat siswa mempelajari dan berlatih tentang rasio, atau perbandingan, mereka mulai mempunyai pengalaman tentang berbagai perbandingan, termasuk perbandingan-perbandingan yang mempunyai rasio sama. Misalnya, dalam kesebangunan geometri, rasio sebarang dua sisi dari bangun yang lebih kecil sama dengan rasio sisi-sisi yang bersesuaian dari bangun yang lebih besar. Suatu proporsi adalah pernyataan tentang kesamaan dua rasio. Dua notasi yang berbeda yang biasa digunakan seperti berikut: 2 6 2: 5 = 6: 15 atau  5 15 dibaca 2 berbanding 5 sama dengan 6 berbanding 15, atau 2 per 5 sama dengan 6 per 15. Ada perbedaan yang jelas antara suatu proporsi dan konsep pecahan senilai (sama, ekuivalen). Dua pecahan yang senilai menyatakan bilangan, jumlah, atau kuantitas sama, tetapi lambangnya berbeda, yaitu dua bilangan rasional yang sama dalam bentuk yang berbeda. Proporsi terkait dengan fakta dari dua keadaan atau lebih, misalnya: Dalam satu tas terdapat 2 pensil dan 5 pulpen, dan tas yang lain terdapat 6 pensil dan 15 pulpen. Banyaknya pensil dan pulpen dalam kedua tas adalah jelas berbeda, tetapi perbandingan banyaknya pensil dan pulpen dari tas pertama dan tas kedua adalah sama. Jika dalam suatu proporsi diketahui tiga bilangan dan bilangan keempat dicari, maka pekerjaan ini disebut penjelasan suatu proporsi. Penyelesaian proporsi dilakukan dengan menggunakan sifat dua bilangan rasional yang sama, yaitu: a c  jika dan hanya jika ad = bc. b d Beberapa masalah atau kesulitan yang mungkin dihadapi atau dialami para siswa dan usaha guru untuk membantu menyelesaikan masalah mereka adalah sebagai berikut:



4.77



 PDGK4406/MODUL 4



1.



Kesulitan dalam memahami makna proporsi sebagai konsep yang lebih luas dari rasio. Untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, bimbinglah mereka sehingga mampu membandingkan rasio dan menduga atau membuat rasio yang senilai (ekuivalen). Bimbingan melalui mencongak (lisan) juga diperlukan sehingga mereka lebih mampu dan terampil membuat perbandingan dari berbagai informasi. Perkembangan berfikir proporsi melibatkan berfikir kuantitatif dan berfikir kualitatif sehingga dalam teori perkembangan intelektual anak menurut Piaget, kemampuan berfikir proporsi termasuk tahap berfikir operasional formal. Bentuklah mereka menggunakan fakta-fakta di sekitar mereka. Contoh 4.15: Harga gula baku di pasaran ditunjukkan sebagai tabel berikut: gula (kg) harga (rupiah)



3 11700



6 23400



9 35100



12 46800



15 58500



18 x



Berilah kesempatan pada siswa untuk menyelidiki proporsi dari faktafakta pada tabel, misalnya dengan mengambil sebarang pasangan rasio: 6 kg 12 kg = 23400 rupiah 46800 rupiah kemudian tulislah menjadi: 6 kg  46800 rupiah = 12  23400 rupiah. Murid diminta menghitung bagian numerik, yaitu 6  46800 dan 12  23400, sehingga mereka sampai pada kesimpulan bahwa hasilnya sama. Terutama kegiatan ini menggunakan rasio-rasio yang lain yang diambil dari tabel. Perluaslah tabel di atas sehingga ada pasangan yang salah satu nilainya tidak diketahui, kemudian tulislah: 12 kg 18 kg = 46800 rupiah x rupiah Ada dua cara bermakna untuk menginterpretasikan persamaan ini, yaitu: 46800 rupiah a. x rupiah = 18 kg  12 kg



4.78



2.



Pembelajaran Matematika SD 



Pecahan (46800 rupiah/12 kg) adalah senilai dengan (3900 rupiah/1 kg), yaitu harga gula setiap kg, atau harga gula rata-rata, atau harga gula satuan. 18 kg b. x rupiah =  46800 rupiah 12 Pecahan (18 kg/12 kg) memberikan gambaran tentang banyaknya dua-belasan dalam delapanan belas (yaitu 1,5), dan bilangan 1,5 ini merupakan faktor pengali. Dengan bimbingan pada butir a dan butir b, para siswa tidak hanya melakukan perhitungan secara mekanis, tetapi mereka lebih mantap dalam memahami makna. Kesulitan dalam melakukan pilihan perhitungan untuk memperoleh suatu nilai yang tidak diketahui dalam suatu proporsi. Untuk membantu menyelesaikan masalah mereka, jelaskan dua cara praktis yang perlu diketahui para siswa: a. Proporsi dalam rasio Proporsi ini menghubungkan dua rasio yang disamakan berdasarkan keadaan dari masing-masing kejadian. b. Proporsi antar rasio Proporsi ini menghubungkan dua rasio yang disamakan berdasarkan kesuaian antar kejadian. Contoh 4.16: a. Jika harga 4 buku adalah 3000 rupiah, maka berapa rupiah harga 7 buku? Penyelesaian soal ini dapat dilakukan dengan cara: 1) Proporsi dalam rasio: 4 buku 7 buku = 3000 rupiah h rupiah 2) Proporsi antar rasio 4 buku 3000 rupiah = 7 buku h rupiah Hitungan bagian numerik (tanpa satuan) dari cara maupun cara b adalah sama, yaitu: 4  h = 7  3000.



 PDGK4406/MODUL 4



a.



b.



4.79



Proporsi dalam rasio 3 15 2 AC  dan  4 AB 3 15 Proporsi antar rasio 3 4 2 3 dan   . 15 AB AC 15 LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!



1.



2. 3.



Nyatakan dalam bentuk persen 3 2 a. b. 1 5 5 a. 27 adalah berapa persen dari 40? b. 30 adalah 15% dari berapa? a. Carilah p jika: 5 =p% 8 b. Carilah p jika: 0,2375 = p % c. Carilah rasio dari dua suku yang berurutan dari barisan: 1, 3, 9, 27, ... dan 2, -4, 8, -16, ... d. Carilah 4% dari 6,785 dan 250 persen dari 36 e. beberapa persen dari 740 adalah 37? f. 210 adalah 40% dari berapa?



4.80



4.



5.



6.



7.



8. 9. 10.



11.



12.



13.



14.



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar perencanaan suatu rumah adalah 2 cm untuk setiap 5m. Jika 1 suatu ruangan panjangnya 7 , maka berapa cm panjang gambarnya? 2 Termometer Fahrenheit berubah 18° jika termometer celsius berubah 10°. Berapa derajat perubahan termometer Fahrenheit jika termometer celcius berubah 12,5°? Persegi ABCD mempunyai panjang 4 cm dan lebar 3 cm. Persegi panjang PQRS mempunyai panjang 6 cm, dan persegi PQRS sebangun persegi ABCD. a. Berapa lebar persegi PQRS? b. Berapa keliling persegi PQRS? Keliling persegi PQRS berapa kali keliling persegi ABCD? c. Berapa luas persegi PQRS? Luas persegi PQRS berapa kali luas persegi ABCD. d. Berapa panjang diagonal PQRS? Tuliskan 123,475 dalam bentuk: a. perluasan nilai tempat bilangan rasional b. perluasan nilai tempat desimal Carilah bentuk pecahan rasional dari: a. 0,36 b. 5,225 Tuliskan dalam bentuk baku: a. 7349250000 b. 432,57 Nyatakan dalam bentuk desimal: 2 6 a. b. 11 13 Bulatkan 2 3 7 5 6 1, 5 4 7 8 2 6 sampai dengan: a. satuan terdekat c. persepuluhan terdekat b. puluhan terdekat d. dua tempat desimal Carilah 24,5 + 0,007 + 69,86 + 241 a. dengan menggunakan desimal dan b. dengan menggunakan pecahan senilai Carilah: a. 0,0693: 0,36 c. 5,143 - 2,7 b. 6,93 : 0,00036 d. (0,024 - 0,02) x 0,004 Urutkan dari yang kecil ke yang paling paling besar: a. (0,25), (2,25), (1), (0,02), (1,02), (2,002), (2,2)



 PDGK4406/MODUL 4



4.81



2 1 3 4 5 5 4 , , , , , , 5 3 4 7 6 8 9 15. Berilah satu contoh pembagian biasa yang menghasilkan: a. desimal berakhir b. desimal berulang b



Petunjuk Jawaban Latihan 1.



a. b.



2.



3.



3 3  20 60 = = = 60% . 5 5  20 100 2 7 7  20 140 1 = = = = 140% . 5 5 5  20 100



a.



27 27  2,5 67,5    67,5%  27  67,5%  40 . 40 40  2,5 100



b.



30  15%  t 



a.



Dengan menggunakan pembagian cara pistol diperoleh:



15 t 30 t t t 15   2  t  200 100 100 15 100 100 30  15%  200.



0,6255 = 0,625 8 50 8 625 62,5  110 62,5 48 = = = = 62,5% 1000 1000 10 100 20 16 40 40 0



b. c.



2375 23,75 100 23,75 = = = 23,75% . 10000 100 100 100 3 9 27 4 8 16    ...  3 dan    ...  2 . 1 3 3 2 4 8



0,2375 =



4.82



Pembelajaran Matematika SD 



4 27,140  6,785 = = 0,2714 dan 100 100 250 9000  36 = = 90 . 100 100 p 3700 e. p%  740 = 37   740 = 37  740p = 3700  p = = 5. 100 740 40 21000 f. 40%  q = 210   q = 210  40q = 21000  q = = 525 100 40 d. 4%  6,785 =



4.



5.



2 cm p cm 1 =  2  7 = 5  p  5p=15  p = 3 . 5cm 7 1 m 2 2 Panjang gambar adalah 3 cm.



18 derajat F derajat F 18 d     18 12,5=10 d  10 derajat C 12,5 derajat C 10 12,5 225 = l0 d  d = 22,5. Perubahan termometer Fahrenheit adalah 22,5°.



6.



Dengan menggunakan proporsi dalam diperoleh: 4 6 1 a. =  4 lebar = 18  1  4 cm; 3 lebar 2 1 lebar persegi PQRS adalah 4 cm . 2 1 1  b. keliling persegipanjang PQRS =  6 + 4 +6+4  cm = 21 cm. 2 2  keliling persegi ABCD =  4 + 3 + 4 + 3 cm = 14 cm.



21 3 = kali keliling persegi ABCD. 14 2 Luas persegi PQRS = (4 x 3) cm2 = 12 cm2 27 9 = kali luas persegi ABCD. Luas persegi PQRS adalah 12 4 Diagonal ABCD mempunyai panjang 5 cm (Dalil Pythagoras). keliling persegi PQRS adalah



c.



d.



4.83



 PDGK4406/MODUL 4



Diagonal PQRS mempunyai panjang



7.



8.



3 1  5 cm = 7 cm. 2 2



1 1 1 +7 +5 10 100 1000



a.



123,475 = 1100 + 2 10 + 3 + 4 



b.



123,475 = 1102 + 2 +101 + 3 100 + 4 101 + 7 102 + 5 103



a.



x = 0, 36  100x = 36,36



x = 0,36 99 x = 36 36 4  . 99 11 x = 5,225  1000x = 5225,225 x=



b.



x = 5,225 999 x = 5220 x=



9.



a.



5220 580  . 999 111



7,349250000  109



b.



4,3257  102.



10. Dengan menggunakan pembagian biasa akan diperoleh: 2 6 = 0,18 a. b. = 0,461538 11 13 11. a. b.



237562 237560



c. d.



237561,5 237561,55



12. 24,5 + 0,007 + 69,86 + 241 = 24,500 + 0,007 + 69,860 + 241,000 = 335,367 dan



4.84



Pembelajaran Matematika SD 



24,5 + 0,007 + 69,86 + 241 5 7 86 = 24 + + 69 +241 10 1000 100 500 7 860 = 24 + 69 + 241 + + + 1000 1000 1000 367 367 = 334 + 1 + = 335 + = 335,367. 1000 1000 13. a.



0,1925



14. a. b.



(0,02), (0,25), (1), (1,02), (2,002), (2,2), (2,25) Bilangan yang diurutkan diubah menjadi desimal: (0,4), (0, 3 ), (0,75), (0, 571428 ), (0, 83 ), (0,625), (0, 4 ) sehingga urutan dari yang terkecil adalah: (0, 3 ), (0,4), (0, 4 ) , (0, 571428 ), (0,625), (0,75), (0, 83 ) 1 2 4 4 5 3 5 , , , , , , . 3 5 9 7 8 4 6



15.



a.



0,625 8 5,000 48 20 16 40 40 0



b.



b.



19250



c.



2,443



d.



0,000016



0,555... 9 5,000 45 50 45 50 45 5



R A NG KU M AN



Dari semua uraian pada kegiatan belajar 3 ini dapat disimpulkan bahwa 1. Notasi desimal merupakan notasi yang bersifat posisional, yaitu menggunakan dasar nilai tempat, dan menggunakan basis sepuluh.



 PDGK4406/MODUL 4



2. 3.



4.



5.



6.



7. 8.



9.



10. 11.



12. 13. 14.



4.85



Notasi desimal dapat diperluas sehingga dapat digunakan untuk menyatakan bilangan-bilangan yang nilainya kurang dari satu. Penulisan bilangan dalam notasi yang diperluas dapat dalam bentuk baku (standard form) atau dalam bentuk panjang (expanded form). Wujud bilangan rasional dalam pecahan desimal dapat berupa desimal berakhir (terminating decimal), atau desimal berulang (periodic/repeating decimal). Desimal yang berakhir atau yang berulang selalu dapat dinyatakan p sebagai pecahan dengan p, q  Z dan q ≠ 0. q Desimal-desimal yang tidak berakhir dan tidak berulang bukan merupakan bilangan rasional sehingga tidak dapat dinyatakan p sebagai pecahan dengan p, q  Z dan q ≠ 0. q Notasi ilmiah baku bilangan adalah: b 10n , 1  b < 10, n  Z Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian desimal mempunyai pola yang sama dengan operasi-operasi yang sama pada bilangan bulat, tetapi perlu memperhatikan peletakan atau penempatan tanda koma yang benar untuk membedakan yang bulat dan yang tidak bulat. Untuk keperluan tertentu, setiap bilangan dapat dibulatkan sampai nilai terdekat yang diperlukan, yaitu pembulatan pada arah yang bulat (pendekatan ke satuan, puluhan, ratusan, ribuan, dan puluhan ribu), dan pembulatan pada arah yang tidak bulat (misalnya pendekatan ke persepuluhan, perseratusan, perseribuan, persepuluhribuan). Pembelajaran desimal dapat menggunakan bahan-bahan manipulatif atau peraga yang dipakai pada pembelajaran bilangan rasional. Translasi kesejajaran dari bentuk pecahan ke bentuk desimal dapat membantu siswa lebih memahami dan lebih terampil dalam mengoperasikan pecahan. Perkalian dan pembagian bersusun dapat dijelaskan melalui translasi kesejajaran dan penyederhanaan. Istilah persen dan perseratus adalah sama, sehingga kata persen dan perseratus dapat saling mengganti. Kertas berpetak 10  10 dan lingkaran berskala 100 dapat digunakan untuk menjelaskan persen.



4.86



Pembelajaran Matematika SD 



15. Translasi kesejajaran untuk mengganti pecahan



a ak = = (a  k)% jika b  k = 100 . b bk a Penggantian pecahan (b tidak membagi 100) menjadi persen b dikerjakan dengan pembagian cara pistol. Semua pecahan adalah rasio tetapi tidak semua rasio adalah pecahan. Pecahan menyatakan perbandingan antara bagian dengan keseluruhan. Rasio dapat menyatakan perbandingan antara bagian dengan keseluruhan atau perbandingan antara bagian dengan bagian. Masalah rasio banyak dijumpai dalam matematika antara lain dalam kesebangunan geometri, barisan geometri, fungsi trigonometri, dan probabilitas. Masalah rasio banyak dijumpai dalam keadaan sehari-hari antara lain dalam urusan jual-beli, urusan skala, urusan perjalanan, urusan temperatur atau suhu, urusan waktu (tahun, bulan, minggu, hari, jam, menit, detik), dan urusan pengukuran (berat, panjang, isi). Proporsi adalah kesamaan dua rasio. a c Proporsi  jika dan hanya jika ad = bc. b d Bagi siswa sekolah dasar, tahap berpikir proporsi termasuk tahap berpikir operasional formal. Penyelesaian proporsi dapat melibatkan nilai satuan atau faktor pengali. Penyelesaian proporsi dapat melalui hubungan proporsi dalam rasio atau proporsi antar rasio. adalah:



16. 17. 18. 19. 20.



21.



22. 23. 24. 25. 26.



TES F OR M AT IF 3



A. B. C. D.



a menjadi persen b



Untuk nomor 1 sampai dengan 5 pilihlah! Jika jawaban 1 dan 2 benar. Jika jawaban 1 dan 3 benar. Jika jawaban 2 dan 3 benar. Jika jawaban 1, 2, dan 3 benar.



 PDGK4406/MODUL 4



4.87



1) Dari pernyataan-pernyataan: 1. sistem desimal mempunyai basis 10 2. sistem desimal bersifat aditif 3. sistem desimal bersifat posisional yang benar adalah …. A. 1 dan 2 saja B. 1, 2, dan 3 C. 2 dan 3 saja D. tidak ada 2) Dari pernyataan-pernyataan: 1. 359,23 adalah bukan penulisan bentuk baku 1 1 2. 359,23 = 3  100 + 5  10 + 9 + 2  +3 adalah penulisan 100 10 bentuk panjang 3. 359,23 = 3102 + 5  10 + 9 + 2  10-1 + 3  10-2 adalah penulisan bentuk bulan 3) Dari pernyataan-pernyataan: 1. 8 adalah bukan pecahan biasa 2. 8 adalah pecahan sederhana 3. 8 adalah bukan pecahan sejati yang benar adalah …. 4) Dari pernyataan-pernyataan: 1. 0,0035 adalah desimal berakhir 2. 0,0035 adalah desimal berulang 7 3. bukan merupakan desimal berulang 9 yang benar adalah …. 5) Dari pernyataan-pernyataan: 1. 16 adalah bukan desimal berakhir 16 2. 125 adalah desimal berakhir 125 3. 2345 adalah desimal berakhir yang benar adalah …. Petunjuk: Untuk nomor 6 sampai dengan 10, pilih salah satu jawaban yang paling tepat!



4.88



Pembelajaran Matematika SD 



6) Bentuk rasional pecahan dari 0,4666 ... adalah ... 8 A. 17 5 B. 11 7 C. 15 7 D. 13 7) Bentuk rasional pecahan dari 8,00905905 ... adalah .... 889 A. 111 89 B 11 898 C 111 92 D 11 8) Dari pernyataan-pernyataan Notasi ilmiah buku dari 3457 yang benar adalah .... A. 3,5  10-3 B. 3,457  10-3 C. 3,5  103 D. 3,457  103 9) Dari pernyataan-pernyataan: pembulatan 37924,4725 sampai perseratusan terdekat adalah .... A. 379,4 B. 379,47 C. 37924,47 D. 37924,48 10) Dari pernyataan-pernyataan: 234 Pembulatan sampai dengan satuan terdekat yang benar adalah …. 14



 PDGK4406/MODUL 4



A. B. C. D.



A. B. C. D.



14 17 23 34



Untuk nomor 11 sampai dengan 15 pilihlah! Jika jawaban 1 dan 2 benar. Jika jawaban I dan 3benar. Jika jawaban 2 dan 3 benar. Jika jawaban 1, 2, dan 3 benar.



11) Manakah yang benar dari pernyataan-pernyataan di bawah ini? 1 1. = 12,5% 8 9 2. 45% = 200 2 3. = 40% 5 12) Manakah yang benar dari pernyataan-pernyataan di bawah ini? 1. 15% dari 10% adalah 1,5%. 2. 2000 adalah 25% dari 80. 3. 30% dari 3000 adalah 900. 13) Manakah yang benar dari pernyataan-pernyataan di bawah ini? 1. 0,25% = 0,025 2. 5,3 = 530% 3. 0,15% = 15.10-4 14) Manakah yang benar dari pernyataan-pernyataan di bawah ini? 1. Semua pecahan adalah rasio. 2. Ada rasio yang bukan pecahan. 3. Semua pecahan senilai adalah proporsi. 15) Diketahui gambar berikut:



4.89



4.90



Pembelajaran Matematika SD 



Dari pernyataan-pernyataan …. 1. keliling ADE: Keliling ABC= DE : BC adalah proporsi antar 2. AB : AC = AD : AE adalah proporsi dalam 3. A : AC = DE : B : C adalah proporsi dalam Untuk nomor 16 sampai dengan 20: Pilihlah salah satu jawaban yang Anda anggap paling benar. 16) Jika jarak 15 km digambar dengan 2



1 cm, maka 72 km digambar 2



dengan …. A. 10 cm B. 9 cm C. 15 cm D. 12 cm 17) Jika harga 9 buku adalah 12 ribu rupiah, maka harga 6 buku adalah: ... ribu rupiah A. 6 B. 8 C. 10 D. 9 18) Termometer Celsius berubah 15 derajat jika termometer Reamur berubah 12 derajat. Jika termometer Reamur berubah 20 derajat, maka termometer Celsius berubah ... derajat A. 18 B. 25 C. 15 D. 20 19) Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar adalah .... A. Suatu rasio menghubungkan dua proporsi. B. Suatu rasio adalah suatu pasangan terurut. C. Semua rasio adalah pecahan. D. Proporsi adalah pecahan senilai. 20) Jika 12 pekerja dapat menyelesaikan suatu tugas dalam 30 hari, maka 18 pekerja dapat menyelesaikan tugas itu dalam …. A. 24 hari B. 15 hari C. 45 hari D. 20 hari



4.91



 PDGK4406/MODUL 4



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



4.92



Pembelajaran Matematika SD 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1. A cukup jelas, lihat riwayat adanya bilangan pecahan di awal pembahasan Kegiatan 1. p 2. C sebab 3 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk . q 3. 4.



B D



5. 6. 7. 8.



C D B C



9.



B



10. A



cukup jelas. cukup jelas, karena konsep penjumlahan harus memperhatikan perbedaan pada penyebutnya. lihat pembahasan mengenai sifat-sifat urutan bilangan rasional. cukup jelas. cukup jelas, gunakan konsep perkalian silang. lihat uraian materi tentang grup. 2 1 2 3 1 1 6 5 .        3 2 3 4 2 12 12 12 5 bilangan pecahan yang jika dioperasikan oleh menurut aturan 4 1 3 nomor 9 yang menghasilkan sifat identitas   adalah . 4 4



Tes Formatif 2 1. B cukup jelas, lihat uraian di awal pembahasan Kegiatan Belajar 2. 2. A cukup jelas. 3. C lihat konsep pengurangan pecahan. 4. A untuk membuktikannya buat raja beberapa contoh dengan bilanganbilangan tertentu 5. A cukup jelas. 6. B cukup jelas. 7. A cukup jelas. 8. A cukup jelas. 9. B cukup jelas. 10. D cukup jelas.



 PDGK4406/MODUL 4



Tes Formatif 3 1. D cukup jelas. 2. C cukup jelas. 3. C cukup jelas. 4. A cukup jelas. 5. C cukup jelas. 6. C cukup jelas. 7. A cukup jelas. 8. D cukup jelas. 9. C cukup jelas. 10. B cukup jelas. 11. B cukup jelas. 12. B cukup jelas. 13. C cukup jelas. 14. A cukup jelas. 15. C cukup jelas. 16. D cukup jelas. 17. B cukup jelas. 18. D cukup jelas. 19. B cukup jelas. 20. C cukup jelas.



4.93



4.94



Pembelajaran Matematika SD 



Daftar Pustaka Begle, E.G. (1975). The Mathematics of The Elementary School. New York: Mc Graw-Hill. Britton, J.R. & Bello, I. (1979). Topics in Contemporary Mathematics. New York: Harper & Row. D’Augustine, C.H. (1973). Multiple Methods of Teaching Mathematics in The Elementary School. New York: Harper & Row. Knaupp, J., Smith, L.T., Scoecraft, P., & Warkentin, G.D. (1977). Pattern and Systems of Elementary Mathematics. Boston: Houghton Mifflin. Smith, K.J. (1973). The Nature of Modern Mathematics. Monterey: Brooks/Cole. Van De Walle, J.A. (1990). Elementary School Mathematics: Teaching Developmentally. New York: Longman.



Modul 5



Bangun Ruang Drs. H. Karso, M. M. Pd.



M



engapa geometri khususnya bangun ruang diajarkan pada siswa Sekolah Dasar (SD)? Pengetahuan geometri termasuk bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya. Bukan hanya kemampuan bangun datar saja, kemampuan tentang bangun ruang pun dapat dikenalkan pada anak usia SD, bahkan pada anak Taman Kanak-kanak (TK) asalkan dengan pendekatan yang sesuai dengan tahap berpikir mereka. Geometri dengan bangun ruangnya merupakan pengetahuan dasar yang harus dipelajari siswa. Para siswa diharapkan mengenal konsep titik, garis, bidang, kubus, balok, prisma, kerucut, tabung, bola, dan pengukuran serta konsep bangun ruang lainnya. Pertimbangan lainnya adalah bangun ruang sangat banyak digunakan dalam kehidupan keseharian siswa. Para siswa sering menemukan bangun-bangun ruang seperti bentuk ruang kelas, televisi, lemari, stadion, bahkan komputer. Pengetahuan bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya. Tentu saja anak akan lebih tertarik untuk mempelajari bangun ruang jika mereka terlibat secara aktif dalam kegiatan-kegiatan individu atau kelompok berkenaan dengan bangun-bangun ruang. Anak hendaknya diberi kesempatan untuk melakukan investigasi secara individu atau kelompok dengan bantuan benda-benda konkret atau semi konkret di sekitar lingkungan kehidupannya. Perlu diketahui, bahwa modul yang sekarang Anda pelajari ini adalah modul yang kelima dari mata kuliah Pembelajaran Matematika SD. Materimateri dalam modul ini berkaitan dengan materi-materi dasar tentang bangun ruang seperti pengenalan unsur-unsur ruang, bidang banyak, dan jaring-jaring bangun ruang. Selain itu, dalam modul ini pun didiskusikan pula masalah pembelajaran dan miskonsepsi serta pendalamannya untuk menambah wawasan pembelajaran bangun ruang di SD. Kondisi ini tentunya diperlukan pula untuk memantapkan pemahaman bangun ruang khususnya dan geometri



5.2



Pembelajaran Matematika SD 



serta matematika lanjut lainnya maupun dalam mempelajari pembelajaran matematika di sekolah. Secara garis besarnya bahasan dalam modul ini terbagi ke dalam dua bagian kegiatan belajar pokok. Bagian pertama mendiskusikan pembelajaran konsep-konsep bidang banyak dan bangun-bangun ruang. Sedangkan pada bagian yang kedua membahas pembelajaran jaring-jaring bangun ruang. Perlu pula diketahui, bahwa secara umum setelah Anda mempelajari modul yang kelima ini diharapkan dapat melaksanakan pembelajaran matematika di SD untuk bangun-bangun ruang dengan pendekatan dan media yang sesuai, serta dapat mengembangkan diri sebagai guru matematika di SD dalam bidang matematika. Untuk menunjang kemampuan-kemampuan tersebut di antaranya diperlukan beberapa kompetensi berikut. 1. menjelaskan bidang banyak dan bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai; 2. menjelaskan miskonsepsi yang terjadi pada unsur-unsur ruang; 3. menjelaskan jaring-jaring bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai; 4. menggunakan konsep jaring-jaring bangun ruang untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah sehari-hari. Adapun susunan materi dalam modul ini terbagi menjadi dua kegiatan belajar sebagai berikut. Kegiatan Belajar 1: Unsur-unsur Ruang, Bidang Banyak dan Bangun Ruang, dan Miskonsepsi Pemahaman Unsur-unsur Ruang. Kegiatan Belajar 2: Jaring-jaring Kubus dan Balok, Jaring-jaring Limas, Jaring-jaring Prisma, Jaring-jaring Tabung, dan Jaring-jaring Kerucut. Petunjuk Belajar Untuk dapat memahami modul ini dengan baik serta mencapai kompetensi yang diharapkan, gunakanlah strategi belajar berikut. 1. Sebelum membaca modul ini, cermati terlebih dahulu glosarium pada akhir modul yang memuat istilah-istilah khusus yang digunakan dalam modul ini.



 PDGK4406/MODUL 5



2.



3.



4. 5.



5.3



Baca materi modul dengan saksama, tambahkan catatan pinggir, berupa tanda tanya, pertanyaan, konsep lain yang relevan, dan lain-lain sesuai dengan pemikiran yang muncul. Cermati dan kerjakan soal-soal latihan dan tes formatif seoptimal mungkin, dan gunakan rambu-rambu jawaban untuk membuat penilaian tentang kemampuan pemahaman Anda. Buatlah catatan khusus hasil diskusi dalam tutorial untuk digunakan dalam pembuatan tugas dan ujian akhir. Usahakan Anda mempelajari beberapa buku sumber penunjang lainnya.



5.4



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 1



Bidang Banyak dan Bangun Ruang A. UNSUR-UNSUR RUANG 1.



Titik Tentunya Anda masih ingat tentang beberapa konsep dalam geometri bangun datar seperti titik, ruas garis, sudut, segitiga, persegipanjang, lingkaran, dan konsep-konsep bangun datar lainnya. Dalam kesempatan berikut beberapa konsep bangun datar tersebut akan kita jumpai lagi. Perlu Anda ketahui bahwa dalam mempelajari bangun ruang tentu saja bangun datar adalah prasyaratnya. Sebagaimana telah diketahui bahwa secara sederhana kita dapat mendefinisikan bahwa geometri merupakan suatu studi tentang himpunan titik. Pada definisi ini memuat kata yang tidak didefinisikan (non-defined forms), yaitu “titik”. Dalam mempelajari geometri bangun ruang kita akan menemukan beberapa kata yang tidak didefinisikan, misalnya titik, garis, bidang, ruang, dan permukaan (surface). Namun walaupun kata atau istilah tersebut tidak didefinisikan, kita masih bisa mempelajari beberapa sifatnya. Sebagai contoh, sebuah “titik” tidak mempunyai ukuran atau dimensi. Sifat ini tentunya akan memberikan implikasi bagi kita sebagai guru. Walaupun titik tidak mempunyai ukuran, seorang guru SD dapat menggambar sebuah “noktah” pada sehelai kertas atau pada papan tulis untuk mewujudkan suatu model dari titik tersebut. Noktah-noktah ini akan memberikan suatu ide tentang lokasi atau letak titik yang dibicarakan. Untuk mempermudah pemahaman siswa SD kita dapat memberi nama bagi setiap titik yang menjadi perhatian kita. Umpamanya kita menggunakan huruf kapital pada noktah yang digambar untuk menyatakan titik. Perhatian Gambar 5.1 yang menyatakan titik dan namanya.



Gambar 5.1



5.5



 PDGK4406/MODUL 5



2.



Garis Selain titik unsur-unsur bangun ruang lainnya adalah garis dan bidang. Sebelum membicarakan garis tentunya Anda masih ingat dengan konsep ruas garis (segment) dan sinar. Ruas garis adalah bagian atau patahan dari sebuah garis, sedangkan jika ruas garis itu diperpanjang terus-menerus ke satu arah,  maka terjadilah sinar. Pada Gambar 5.2 tampak bahwa ruas garis AB AB  diperpanjang terus ke kanan, maka terjadilah sinar AB AB . Titik A disebut



 



 



titik pangkal sinar. Sinar berpangkal, tetapi tidak berujung.



Gambar 5.2



Apabila ruas garis AB diperpanjang terus-menerus ke kiri, maka    terjadilah BA . Titik pangkal BA adalah titik B. Jelas bahwa AB tidak  sama dengan BA . Panah pada gambar sinar menunjukkan bahwa sinar tidak berujung, melainkan terus memanjang tanpa batas. Sekarang kita perhatikan apabila ruas garis diperpanjang terus-menerus ke kiri dan ke kanan, maka terjadilah garis. Garis tidak mempunyai ujung maupun pangkal. Karena itu gambar sebuah garis diberi mata panah pada kedua arahnya (Gambar 5.3). Nama garis terdiri dari dua huruf dengan ruas garis bermata dua di atasnya. Huruf-huruf itu merupakan nama sebarang dua titik yang terletak pada garis tadi. Nama garis, selain dengan dua huruf dapat pula ditulis dengan menggunakan huruf kecil. Garis pada Gambar 5.3 boleh     disebut AB , atau BA , atau AC , atau CA , atau g, dan seterusnya.



Gambar. 5.3



5.6



Pembelajaran Matematika SD 



3.



Bidang Unsur ruang atau himpunan bagian dari ruang yang menjadi perhatian kita selanjutnya adalah “bidang”. Secara intuitif, kita dapat membayangkan suatu bidang sebagai permukaan suatu meja yang sangat rata, atau permukaan suatu lantai, atau permukaan suatu dinding, atau permukaan rata yang lain. Karena bidang (bidang datar) meluas terus-menerus ke segala arah, maka tidak mungkinlah kita menggambar bidang itu seluruhnya. Biasanya untuk menggambar suatu bidang kita ambil bagian yang berbentuk daerah persegipanjang untuk mewakili bidang tadi. Pada Gambar 5.4, tampak daerah persegipanjang yang mewakili bidang α atau bidang ABCD.



Gambar 5. 4



Pada Gambar 5.4 tampak tiga titik A, B, dan C. Sebarang tiga titik yang berlainan dan tidak segaris menentukan satu bidang. Ide dasar tentang bidang ini dapat didemonstrasikan kepada siswa sebagai berikut. a. Mintalah seorang siswa untuk mengambil sebuah kursi yang berkaki tiga. b. Semua siswa diminta mengamati kursi tersebut yang diletakkan di atas meja, sehingga ujung ketiga kaki kursi tersebut terletak pada permukaan meja. c. Mintalah siswa untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan: Apakah hal yang sama selalu terjadi jika kursinya berkaki empat? d. Bimbinglah siswa untuk menjawab pertanyaan tersebut. e. Bimbinglah siswa untuk mengamati bahwa dua titik tidak akan menentukan sebuah bidang, tetapi sebaliknya akan menentukan banyak sekali bidang yang melalui dua titik tersebut. Selanjutnya untuk memudahkan pemahaman tentang suatu bidang biasanya menggunakan model berupa jajarangenjang untuk menggambarkan konsep tentang bidang (Gambar 5.4). Kemudian sebagai pendalaman pemahaman guru tentang unsur-unsur ruang seperti titik, garis, dan bidang



5.7



 PDGK4406/MODUL 5



dapat didiskusikan berbagai kemungkinan letak titik, garis, dan bidang. Misalnya bagaimana kemungkinan letak titik dan bidang, letak titik dan garis, letak garis dan bidang, letak dua garis, letak dua bidang, letak tiga bidang, dan sebagainya. B. BIDANG BANYAK DAN BANGUN RUANG 1.



Bidang Banyak (Polihedron) Apakah Anda masih ingat pada geometri bangun datar (ruang dimensi dua) dengan yang disebut segibanyak (polygon)? Apakah Anda bisa menjelaskan kembali tentang lengkungan tertutup sederhana (kurva tertutup sederhana)? Bagaimana hubungan antara lengkungan tertutup sederhana dengan poligon? Tentu Anda sudah mengenal dengan baik lengkungan tertutup sederhana, seperti segitiga, segiempat, segilima, lingkaran, dan sebagainya. Segitiga, segiempat, dan segilima adalah contoh-contoh segi banyak, sedangkan lingkaran tentunya bukanlah contoh segi banyak (Gambar 5.5).



Gambar 5.5



Sekarang kita perhatikan benda-benda di sekitar kehidupan seperti batu. bata, kaleng mentega, drum minyak tanah, lemari, bola basket, TV, kulkas, dan sejenisnya. Benda semacam ini mempunyai permukaan sebagai pembatasnya. Dalam geometri bangun ruang batas-batas benda seperti itu disebut permukaan tertutup sederhana (Gambar 5.6). Permukaan tertutup sederhana dalam geometri ruang (tiga dimensi) adalah suatu konsep yang mirip dengan konsep lengkungan tertutup sederhana pada geometri bidang (dua dimensi).



5.8



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 5.6



Lengkungan tertutup sederhana membagi bidang (bidang gambar) menjadi tiga bagian lepas, yaitu bagian luar, lengkungan tertutup sederhana sendiri, dan yang ketiga bagian dalamnya. Demikian pula dengan sebuah permukaan tertutup sederhana yang membagi ruang menjadi tiga himpunan titik lepas. Ketiga himpunan titik itu adalah bagian dalam, bagian luar, dan permukaan tertutup sederhana itu sendiri. Gabungan dari bagian dalamnya dan permukaan tertutup sederhana dinamakan daerah permukaan tertutup sederhana. Sedangkan sebuah permukaan tertutup sederhana yang terdiri dari daerah-daerah segibanyak (poligon) dinamakan bidang banyak (polyhedron). Beberapa bidang banyak tampak pada Gambar 5.7.



Gambar 5.7



Pada Gambar 5.7(a) bidang banyak tersebut dinamakan bidang empat dengan pembatas-pembatasnya hanya ada empat segitiga. Pada Gambar 5.7(b) pembatas-pembatasnya hanya berupa segiempat sebanyak enam buah dan dinamakan bidang enam. Sedangkan pada Gambar 5.7(c)



5.9



 PDGK4406/MODUL 5



pembatas-pembatasnya segiempat dan segitiga (bidang banyak semacam ini akan kita jumpai dalam pembahasan berikutnya). Selanjutnya berikut ini adalah beberapa contoh yang bukan bidang banyak. Gambar 5.8(a) bukan bidang banyak karena mempunyai lubang. Gambar 5.8(b) bukan bidang banyak karena bidangnya lengkung, dan Gambar 5.8(c) bukan pula bidang banyak karena daerah dalamnya tidak tertutup.



Gambar 5.8



Perlu pula Anda ketahui bahwa daerah segibanyak (poligon) dari bidang banyak (polihedron) disebut sisi, ruas garis persekutuan dua sisi disebut rusuk, dan titik potong dua rusuk disebut titik sudut. Pada Gambar 5.9, tampak bidang banyak yang disebut balok dengan beberapa unsur seperti berikut. a. Titik-titik sudutnya adalah titik-titik A, B, C, D, E, F, G, dan titik H. b. Rusuk-rusuknya adalah ruas garis-ruas garis AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, DH, BF, dan ruas garis CG. c. Sisi-sisinya adalah bidang-bidang ABCD, EFGH, ABFE, DCGF, ADHE, dan bidang BCGF.



Gambar 5.9



5.10



Pembelajaran Matematika SD 



2.



Bidang Banyak Beraturan Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segi banyak saja, tetapi ada pula yang dibatasi oleh beberapa macam segi banyak (Gambar 5.7). Jika pembatasnya hanya terdiri atas satu macam segi banyak beraturan dan kongruen (sama dan sebangun), maka bidang banyak tersebut dinamakan bidang banyak beraturan. Jadi, jelaslah bahwa bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang bidang sisinya berupa satu macam segi banyak beraturan yang kongruen. Beberapa bidang banyak beraturan yang sudah dikenal sejak zaman Yunani kuno, di antaranya: a. Bidang empat beraturan (tetrahedron); b. Bidang enam beraturan (heksahedron); c. Bidang delapan beraturan (oktahedron); d. Bidang dua belas beraturan (isohedron); e. Bidang dua puluh beraturan (dodecahedron). Gambar masing-masing bidang banyak beraturan tersebut dan salah satu jaring-jaringnya ditunjukkan dalam Gambar 5.10 sampai dengan Gambar 5.14. Sedangkan bidang banyak-bidang banyak yang lain beserta jaringjaringnya akan kita jumpai pembelajarannya dalam Kegiatan Belajar 2. Perlu pula diketahui bahwa dalam Kegiatan Belajar 2 mendatang bahasan tentang jaring-jaring bidang banyak beraturan tidak dibicarakan secara khusus karena sudah kita bicarakan dalam pembelajaran yang sekarang.



Gambar 5.10



5.11



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.11



Gambar 5.12



Gambar 5.13



Gambar 5.14



5.12



Pembelajaran Matematika SD 



Mengenai bidang banyak beraturan ini ada seseorang yang bernama Euler yang telah menemukan sifat atau hubungan antara banyak titik sudut (T), banyaknya sisi (S), dan banyaknya rusuk (R), yaitu sebagai berikut: Bidang n beraturan Bidang 4 Bidang 6 Bidang 8 Bidang 12 Bidang 20



T 4 8 6 20 12



S 4 6 8 12 20



R 6 12 12 20 30



Hubungan 4+4=6+2 8 + 6 = 12 + 2 6 + 8 = 12 + 2 20 + 12 = 20 + 2 12 + 20 = 30 + 2



Kesimpulan: T + S = R + 2 (Rumus Euler). 3.



Bangun Ruang Sekarang kita perhatikan kembali beberapa contoh sebagai model dari permukaan tertutup sederhana seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.6 di atas. Beberapa contoh dari permukaan daerah tertutup sederhana, bidang banyak (Gambar 5.7), dan bidang banyak beraturan (Gambar 5.10 sampai dengan Gambar 5.14) kesemuanya merupakan contoh dari bangun-bangun ruang. Apakah Anda dapat memberikan contoh bangun-bangun ruang yang ada di sekitar lingkungan kehidupan kita? Cobalah Anda perlihatkan kepada para siswa sebuah kotak misalnya tempat kapur tulis, balon yang sudah ditiup, atau mendiskusikan keberadaan ruangan kelas yang dibatasi oleh empat dinding, lantai dan plafon (langitlangit). Kesemuanya itu merupakan contoh-contoh bangun ruang. Selain itu, masih banyak contoh-contoh bangun ruang yang mempunyai nama-nama khusus seperti kubus, balok (nama yang biasa digunakan untuk kotak), limas, prisma, kerucut, tabung, bola, dan sebagainya.



5.13



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.15



4.



Prisma (Prism) Apakah Anda pernah melihat bangun ruang yang namanya prisma? Salah satu di antara bidang banyak yang penting adalah prisma. Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. (Gambar 5.16).



Gambar 5.16



5.14



a. b. c. d.



Pembelajaran Matematika SD 



 dan  dua bidang sejajar segi n pertama terletak pada  segi n ketiga terletak pada  segi n pertama dan segi n kedua sama dan sebangun (kongruen) dan sisisisinya berpasangan sejajar.



Bila titik-titik sudut yang seletak dihubungkan, maka semua daerah segi empat yang dibentuk oleh semua garis hubung tersebut, dan daerah kedua segi n itu akan membentuk sebuah prisma. Garis-garis hubung itu akan saling sejajar pula. Bila segi n itu adalah segitiga, maka prismanya itu disebut prisma segitiga dengan batas alas dan batas atasnya adalah kedua daerah segitiga itu. Prisma adalah gabungan semua sisinya dan bagian dalamnya himpunan titik yang kosong. Sedangkan nama prisma ditentukan oleh segi n itu, misalnya prisma sisi tiga, prisma sisi empat, dan seterusnya. Yang cukup penting dari pengelompokan prisma ini adalah prisma sisi empat yang akan kita bicarakan pada bagian mendatang. Pengelompokan prisma atas letak rusuk tegaknya terhadap alas prisma terbagi menjadi prisma-prisma tegak dan prisma-prisma miring (Gambar 5.17). Salah satu keluarga prisma yang sangat penting adalah prisma segi empat. Prisma segi empat ada yang alasnya segi empat sebarang (Gambar 5.18) dan ada yang alasnya berupa jajarangenjang (Gambar 5.19). Prisma yang alasnya berbentuk jajarangenjang disebut paralelepipidum atau paralelepipida. Paralelepipida dapat dikelompokkan atas dua jenis, yaitu paralelepipida tegak dan paralelepipida miring.



Gambar 5.17



5.15



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.18



Gambar 5.19



Paralelepipida tegak masih dapat dikelompokkan atas dua jenis lagi, yang alasnya daerah jajarangenjang dan yang alasnya daerah empat persegipanjang. Paralelepipida tegak yang alasnya daerah persegipanjang disebut balok (Gambar 5.20(a)). Jika alas dari sisi-sisi tegak sebuah balok adalah bujursangkar atau persegi, maka balok itu disebut sebuah kubus (Gambar 5.20(b)).



(a)



(b) Gambar 5.20



5.16



Pembelajaran Matematika SD 



Dari penjelasan di atas, kita dapatkan skema tentang macam-macam prisma segi- empat sebagai berikut.



5.



Limas atau Piramid (Pyramid) Limas merupakan salah satu bangun ruang yang perlu kita ketahui untuk lebih memantapkan konsep tentang bangun ruang. Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh sebuah segibanyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segibanyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segi banyak itu merupakan alas-alas segitiga-segitiga itu (definisi). Suatu limas dinamakan limas sisi tiga, sisi empat, sisi lima, dan sebagainya, jika segibanyak itu berupa segitiga, segiempat, segilima, dan sebagainya. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan Gambar 5.21 berikut yang menunjukkan limas segiempat TABCD.



Gambar 5.21



5.17



 PDGK4406/MODUL 5



Keterangan: 1. Segiempat ABCD dinamakan bidang alas. 2. Segitiga-segitiga TAB, TBC, TCB, dan TAD dinamakan bidang-bidang sisi tegak. 3. Titik T dinamakan titik puncak. 4. Ruas garis-ruas garis TA, TB, TC, dan TD dinamakan rusuk-rusuk tegak. 5. Rusuk-rusuk AB, BC, CD, dan DA dinamakan rusuk-rusuk bidang alas. 6. Jarak dari titik puncak pada bidang alas dinamakan tinggi limas (TT 1). 7. Garis tinggi pada tiap-tiap bidang sisi tegak dinamakan apotema (TT 2 salah satu apotemanya). 8. Bidang-bidang TBD dan TAC dinamakan bidang-bidang diagonal. Perlu pula diketahui, bahwa limas segitiga dinamakan bidang empat, karena dibatasi oleh empat buah bidang. Khusus mengenai bidang empat ini akan kita bicarakan pada bagian mendatang. Pada Gambar 5.21 di atas, alas limas TABCD yaitu segiempat ABCD merupakan segiempat sebarang. Jika alas suatu limas berbentuk segi n yang beraturan, maka dikenal dengan sebutan limas teratur. Limas teratur adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya berimpit dengan pusat bidang alas (definisi). Sekarang kita perhatikan gambar berikut (Gambar 5.22) dan beberapa keterangannya, sehingga kita dapat membedakan antara limas teratur dan limas tidak teratur.



Gambar 5.22



Keterangan: 1. Rusuk-rusuk alasnya sama panjang AB = BC = CD = AD



5.18



2. 3.



Pembelajaran Matematika SD 



Rusuk-rusuk tegaknya sama panjang TA = TB = TC = TD Semua bidang sisi tegaknya kongruen  TAB   TBC   TCD   TAD.



Limas TABCD adalah limas segiempat teratur. Bidang alas ABCD berbentuk bujursangkar (persegi). Titik T1 merupakan proyeksi titik puncak T pada bidang alas ABCD, dan titik T 1 merupakan pusat bujursangkar ABCD. Untuk lebih jelasnya lagi kita perhatikan Gambar 5.23 limas TABCDE dengan alas ABCDE merupakan segilima beraturan.



Gambar 5.23



Dari Gambar 5.23 di atas: 1. Apakah rusuk-rusuk alasnya sama panjang? 2. Apakah rusuk-rusuk tegaknya sama panjang? 3. Apakah semua bidang sisi tegaknya kongruen? Dengan memperhatikan definisi dan contoh-contoh serta keterangan tentang limas teratur di atas, apakah limas-limas berikut merupakan limas teratur? Jelaskan!



Gambar 5.24



Gambar 5.25



5.19



 PDGK4406/MODUL 5



6.



Bidang Empat Seperti telah disebutkan di muka, bahwa limas segitiga dinamakan juga bidang empat, karena dibatasi oleh empat buah bidang. Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga (definisi).



Gambar 5.26



Pada Gambar 5.26 limas ABCD merupakan bidang empat dan mudah dilihat bahwa banyaknya bidang batas adalah empat, sesuai dengan namanya. Adapun bidang-bidang batasnya adalah bidang-bidang ABC, ABD, BCD, dan ACD. Berbeda dengan limas segi-n (n lebih besar dari tiga), pada bidang empat setiap titik sudutnya dapat dianggap sebagai titik puncak. Pada bidang empat ABCD, unsur-unsurnya dan kemungkinankemungkinan pemberian namanya adalah sebagai berikut. Titik Puncak A B C D



Bidang Alas CBD ACD ABD ABC



Jarak Jarak Jarak Jarak



Tinggi titik A terhadap CBD titik B terhadap ACD titik C terhadap ABD titik D terhadap ABC



Nama A.BCD B.ACD C.ABD D.ABC



Ada beberapa ketentuan (definisi) yang perlu kita ketahui tentang bidang empat, yaitu: 1. Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidang batasnya kongruen. 2. Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas.



5.20



3. 4.



Pembelajaran Matematika SD 



Bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus. Bidang empat sebarang adalah bidang empat yang tidak termasuk salah satu bidang empat di atas.



Macam-macam bidang empat dan keistimewaannya masing-masing dapat dilihat pada Gambar 5.27.



(a) Bidang empat teratur



(b) Bidang empat tegak



(c) Bidang empat siku-siku



(d) Bidang empat sebarang



Gambar 5.27



Pada bidang empat teratur, kekongruenan bidang-bidang batasnya mengakibatkan semua rusuknya sama panjang sehingga masing-masing bidang tegak berupa segitiga sama sisi. 7.



Tabung atau Silinder (Cylinder) Pada bahasan yang lalu kita telah membicarakan permukaan tertutup sederhana dengan sisi-sisinya adalah daerah-daerah segibanyak. Perlu kita ketahui bahwa tidak semua permukaan tertutup sederhana adalah bidang banyak yang bersisi daerah-daerah segibanyak. Ada pula permukaan tertutup



5.21



 PDGK4406/MODUL 5



sederhana yang sisinya lengkung. Beberapa di antaranya yang sering kita jumpai adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola. Secara khusus, tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu (R) dari sebuah garis tetap s dinamakan tabung atau silinder (definisi). Tabung dengan sumbu s dan jari-jari R disingkat dengan tabung (s, R) seperti tampak pada Gambar 5.28.



Gambar 5.28



Benda-benda seperti kaleng susu, drum minyak tanah, kaleng dan sejenisnya merupakan tabung lingkaran tegak. Jika kita menyebut tabung, maka yang dimaksud adalah tabung lingkaran tegak. Tabung lingkaran tegak atau kita sebut tabung, permukaannya terdiri dari dua buah lingkaran beserta bagian-bagian dalamnya (daerah lingkaran) dan sebuah sisi lengkung. Kedua daerah lingkaran itu kongruen dan letaknya sejajar lingkaran-lingkaran dan bagian-bagian dalamnya biasa disebut alas-alas tabung.



lingkaran (a)



ellips (b) Gambar 5.29



lingkaran (c)



5.22



Pembelajaran Matematika SD 



Ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung yang vertikal semua letaknya tegak lurus pada kedua alasnya, sejajar letaknya dan sama panjang. Karena semua ruas garis tegak lurus pada alas dan alasnya adalah lingkaran, maka tabung itu disebut tabung lingkaran tegak (Gambar 5.29(a)). Gambar 5.29(b) memperlihatkan tabung ellips tegak. Maksudnya ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus pada alasnya dan alas-alasnya adalah daerah ellips. Sedangkan Gambar 5.29(c) adalah tabung lingkaran miring. Jadi ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung letaknya tidak tegak lurus (miring) pada alasnya dan alas-alasnya adalah daerah lingkaran. Pada umumnya tabung terjadi dari dua alas yang berbentuk dua daerah lengkungan sejajar dan kongruen dengan sisi lengkung yang merupakan daerah yang dibatasi kedua lengkungan itu. Jika ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus pada alasnya, maka disebut tabung tegak (Gambar 5.30(a)). Sedangkan apabila ruas garis-ruas garis itu miring letaknya pada alas, maka disebut tabung miring (Gambar 5.30(b)).



(a)



(b) Gambar 5.30



8.



Kerucut (Conic) Sebuah kerucut terdiri atas dua sisi. Sisi pertama merupakan sebuah daerah lengkungan tertutup sederhana yang datar dan disebut sebagai alasnya. Sisi kedua merupakan daerah lengkungan tertutup sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya. Titik ujung sekutu semua ruas garis itu letaknya di luar bidang alas dan disebut puncak kerucut (Gambar 5.31(a)).



5.23



 PDGK4406/MODUL 5



(a)



(b)



(c)



Gambar 5.31



Sebuah kerucut dengan alas daerah lingkaran disebut kerucut lingkaran, misalnya alat kukusan (Gambar 5.31(b)) atau topi petani (Gambar 5.31(c)). Jika ruas garis penghubung puncak dengan pusat lingkaran alas tegak lurus pada bidang alasnya, maka kerucut itu disebut kerucut lingkaran tegak. (Gambar 5.32(a)). Jadi PN  bidang alas. Akibatnya PA = PB = PC = …, jika A, B, C, … pada lingkaran alasnya. Jika QN tidak tegak lurus (miring) pada bidang alasnya dan alas itu daerah lingkaran, maka kerucut itu disebut kerucut lingkaran miring (Gambar 5.32(b)). Jika D dan E pada lingkaran alasnya, maka pada umumnya QD  QE.



(a)



(b) Gambar 5.32



Dari penjelasan di atas dapatlah kita simpulkan bahwa kerucut atau kerucut lingkaran tegak ialah tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N, R) sehingga PN  bidang lingkaran (N, R). Titik P disebut titik puncak, lingkaran (N, R) dinamakan lingkaran alas dan PN disebut sumbu kerucut. Garis-garis itu disebut garis-garis pelukis (definisi).



5.24



Pembelajaran Matematika SD 



Perhatikan kerucut pada Gambar 5.33 berikut. Kiranya tidaklah sukar untuk memahami sifat-sifat yang berikut. a. Semua garis pelukis sama panjangnya (dihitung dari puncak sampai titik potongnya dengan lingkaran alas). Garis pelukis itu disebut apotema kerucut. b. Semua garis pelukis membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan PN. Sudut itu disebut setengah sudut puncak. c. Semua garis pelukis membentuk sudut-sudut yang sama besar dengan bidang alas. Sudut itu disebut sudut alas.



Gambar 5.33



Dari sifat-sifat (2) dan (3) di atas, kita dapat menentukan tempat-tempat yang berikut. a. Tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan membentuk sudut-sudut yang sama besar () dengan sebuah garis tetap s adalah kerucut yang puncaknya di titik P, setengah sudut puncaknya , dan sumbunya s. Dalam hal ini tentunya P terletak pada s. Bagaimanakah jika titik P tidak terletak pada titik s? b. Tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan membentuk sudut yang sama besar () dengan sebuah bidang  adalah kerucut yang puncaknya di titik P, setengah sudut puncaknya 90 o -  dan sumbunya melalui titik P yang tegak lurus pada . Dalam hal ini tentunya titik P terletak di luar bidang , bagaimanakah jika titik P terletak pada ?



5.25



 PDGK4406/MODUL 5



8.



Bola Tentunya kita telah mengenal sebuah permukaan tertutup sederhana dengan pembatasnya bidang lengkung yang disebut bola. Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (R) dari sebuah titik tetap M. Titik M disebut titik pusat dan jarak yang sama atau R disebut jari-jari bola. Bola yang demikian disingkat dengan bola (M, R) (definisi). Untuk lebih jelasnya kita perhatikan Gambar 5.34.



Gambar 5.34



Seperti halnya dalam lingkaran pada geometri bidang, bahwa di dalam bola dikenal pula istilah tali busur dan garis tengah. Tali busur bola ialah garis hubung dua buah titik sebarang yang terletak pada bola, dalam Gambar 5.34 ruas garis PQ adalah tali busur. Sedangkan tali busur yang melalui titik pusat disebut garis tengah bola. Selanjutnya sebagai tambahan sekaligus sebagai pendalaman rasanya perlu pula kita mengetahui beberapa istilah yang berkaitan dengan bola, di antaranya: a. Bidang singgung pada bola ialah bidang yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola. Sedangkan titik persekutuannya disebut titik singgung. b. Garis singgung pada bola ialah garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola, dan titik persekutuannya disebut titik singgung. Bola dapat pula dianggap sebagai benda putar. Perhatikan Gambar 5.35 yang memperlihatkan sepotong kawat berbentuk setengah lingkaran. Sepotong kawat lurus dilas pada lingkaran, di A dan di B. Pusat setengah lingkaran adalah titik P.



5.26



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 5.35



Sekarang bayangkan keadaan berikut. Kawat lurus AB diputar sebagai sumbu putar dengan letak tetap. Jika putarnya cukup cepat, tampak sebagai bentuk geometri apakah putaran setengah lingkaran? Karena bentuknya adalah bola, maka bola disebut benda putar. Dengan cara pemutaran sumbu putar seperti di atas bentuk-bentuk apakah yang dihasilkan oleh kerangka-kerangka kawat seperti Gambar 5.36(a), (b), dan (c) berikut.



Gambar 5.36



Gambar 5.36(a) menghasilkan benda putar yang disebut ellipsoida, Gambar 5.36(b) kerucut lingkaran tegak dan Gambar 5.36(c) tabung lingkaran tegak. Jika kerangka kawat berbentuk sebuah lingkaran, sedang sumbu putarnya tidak memotong (Gambar 5.37), bentuk apakah benda putar yang dihasilkan?



5.27



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.37



Hasil yang didapat berbentuk kue donat. Bentuk demikian dalam geometri disebut torus. Perlu pula diketahui bahwa sebenarnya masih banyak konsep-konsep yang berkaitan dengan bangun ruang sebagai pendalaman atau perluasannya, dalam hal ini tentunya akan kita jumpai dalam pembahasan geometri ruang (mata kuliah tersendiri) pada Program Studi Pendidikan Matematika. C. MISKONSEPSI PEMAHAMAN UNSUR-UNSUR RUANG Ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan dalam menjelaskan konsep bangun ruang kepada para siswa di SD, sehingga terhindar dari terjadinya miskonsepsi dalam proses pembelajaran itu. Selain itu, perlu pula kita mengetahui beberapa hal yang sering terjadi miskonsepsi dalam pembelajaran bangun-bangun ruang, untuk itulah kita perlu memperhatikan beberapa catatan berikut ini. 1. Sering terjadi miskonsepsi dalam memahami konsep sisi dari bangunbangun ruang. Dalam sebuah permukaan tertutup sederhana, yaitu dalam geometri ruang pengertian sisi adalah sebagai bidang-bidang pembatas. Sisi-sisi tersebut bisa berupa daerah-daerah segibanyak (poligon) dan bisa pula sisinya lengkung. Bangun-bangun ruang yang sisinya berupa segibanyak seperti prisma, limas, balok, bidang banyak dan sejenisnya, sedangkan bangun-bangun ruang yang sisinya berupa lengkung adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola. Namun kenyataannya sering di antaranya kita menyebut sisi dari suatu bangun ruang pada rusuk. Pada hal rusuk adalah ruas garis yang merupakan perpotongan dua sisi suatu bangun ruang. Kesalahan ini terjadi disebabkan pengertian sisi dalam



5.28



Pembelajaran Matematika SD 



geometri bangun datar terbawa ketika membicarakan bangun-bangun ruang. Memang benar bahwa sisi dari suatu lengkungan tertutup atau segibanyak adalah berupa ruas garis.



Gambar 5.38



Pada Gambar 5.38(a), yaitu segitiga ABC (bangun datar) sisi-sisinya adalah ruas garis AB, BC, dan AC. Pada Gambar 5.38(b), yaitu balok ABCDEFGH (bangun ruang) sisi-sisinya adalah bidang-bidang ABCD, EFGH, ABFE, CDHG, BCGF, dan bidang ADHE. Sedangkan pada Gambar 5.38(b) ruas garis-ruas garis AB, BC, CD, DA, AE, BF, CG, DH, EF, FG, GH, dan EH adalah rusuk-rusuknya bukan sisi-sisinya. 2.



Miskonsepsi sering pula terjadi ketika memahami konsep kerucut dan tabung. Sebagaimana kita ketahui bahwa kerucut mempunyai dua sisi. Sisi pertamanya adalah daerah lengkungan tertutup sederhana yang disebut alas. Sisi kedua merupakan daerah tertutup sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya. Jadi keliru besar kalau TA dan TB dianggap rusuk kerucut (Gambar 5.39). Ruas garis TA dan TB adalah garis pelukis, yaitu sebagai batas pandang pada sisi kedua sebagaimana dijelaskan di atas.



Gambar 5.39



5.29



 PDGK4406/MODUL 5



Untuk lebih jelasnya pernahkah Anda melihat alat kukusan atau topi petani seperti Gambar 5.40?



Gambar 5.40



Selanjutnya untuk memantapkan pemahaman Anda tentang materi pembelajaran di atas, kerjakanlah soal-soal Latihan berikut ini.



1) Berikanlah ilustrasi konkret untuk mempermudah pemahaman siswa terhadap konsep garis! 2) Sebutkanlah nama-nama bangun ruang berikut.



5.30



Pembelajaran Matematika SD 



3) Gambarlah bangun-bangun ruang berikut. a. limas sisi lima; b. prisma sisi tiga; c. tabung. 4) Tentukan banyaknya sisi, titik sudut, dan banyaknya rusuk bangun ruang yang tergambar berikut.



5) Berikanlah sebuah contoh pembelajaran pengenalan bangun ruang yang berpermukaan lengkung (di SD)! Petunjuk Jawaban Latihan Setelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Latihan di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petunjuk jawaban berikut: 1) Garis dapat diperagakan sebagai pinggir: sebuah papan tulis, meja, sehelai kertas, sebuah penggaris atau seutas benang yang direntangkan. 2) A tabung, B limas sisi tiga atau bidang empat, C limas sisi empat, D kerucut, dan E balok. 3)



 PDGK4406/MODUL 5



5.31



4) Mempunyai titik sudut sebanyak 6, sisi sebanyak 7, dan rusuk sebanyak 11. 5) Alternatif pembelajaran pengenalan bangun ruang yang berpermukaan lengkung: Sebagaimana diketahui bahwa anak mempunyai banyak pengalaman di dalam maupun di luar rumah dengan objek-objek bangun ruang yang berpermukaan lengkung, seperti kaleng susu (tabung), tempat es krim (kerucut), bola yang biasa mereka lihat seperti bola voli atau basket. Dengan mengkaji benda-benda yang ada di sekitar, anak akan dapat mengidentifikasi benda-benda ruang di sekitar mereka. Pada waktu pengenalan bangun ruang yang berpermukaan lengkung, sediakan benda-benda konkret yang ada di sekitar mereka. Kemukakan pada siswa mana yang berbentuk tabung, kerucut, dan mana yang berbentuk bola. Kemudian mintalah pada anak untuk menyebutkan bentuk bangun ruang dari benda yang ia tunjukkan atau ditunjukkan temannya. Untuk selanjutnya anak dapat mengidentifikasi apakah suatu benda berbentuk tabung, bukan tabung, kerucut, bukan kerucut, bola atau bukan bola. Selanjutnya buatlah rangkuman dari materi dalam Kegiatan Belajar 1, kemudian bandingkanlah dengan alternatif rangkuman berikut.



1) Titik. Titik adalah salah satu unsur dalam geometri yang tidak didefinisikan (unsur primitif). Titik adalah sesuatu yang tidak mempunyai ukuran atau dimensi. Titik adalah suatu objek yang tidak mempunyai ukuran panjang, ukuran lebar, atau ukuran luas. Titik biasanya digambarkan dalam bentuk noktah pada sehelai kertas atau pada papan tulis sebagai wujud dari pemodelannya. 2) Garis. Seperti halnya titik garis merupakan suatu unsur dalam geometri yang tidak didefinisikan. Suatu garis adalah himpunan titik-titik yang bergerak lurus tak terhingga, sehingga kita tidak tahu di mana ujungnya dan di mana pangkalnya. Dalam kegiatan pembelajaran, garis dapat dilakukan melalui suatu pemodelan dengan merentangkan benang atau tali rafia sepanjang mungkin dan katakanlah bahwa tali tersebut hanya merupakan bagian dari garis (ruas garis) yang bisa memanjang terus-menerus pada bagian pangkal maupun ujungnya.



5.32



Pembelajaran Matematika SD 



3) Bidang (Bidang datar). Keabstrakan titik, garis, dan bidang membuat ketiga unsur-unsur yang tidak didefinisikan dalam geometri tersebut sulit untuk dipahami anak usia SD. Secara intuitif, suatu bidang dapat kita bayangkan sebagai suatu permukaan meja yang rata, permukaan lantai, atau permukaan rata lainnya. Bidang itu meluas ke segala arah, sehingga tidak mungkin menggambar bidang itu seluruhnya. Untuk menggambar suatu bidang sebagai yang mewakilinya biasanya dibuat model dalam bentuk persegi panjang. 4) Bidang banyak (polihedron). Bidang banyak adalah suatu permukaan tertutup sederhana yang pembatas-pembatasnya terdiri dari daerah-daerah segibanyak (poligon). Permukaan tertutup sederhana dalam ruang adalah suatu konsep yang mirip dengan konsep lengkungan tertutup sederhana dalam bidang. Permukaan tertutup sederhana membagi ruang menjadi tiga bagian lepas, yaitu himpunan titik pada permukaan, himpunan titik dalam permukaan, dan himpunan titik di luar permukaan. 5) Bidang banyak beraturan. Bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang sisi-sisinya berupa daerah segibanyak beraturan yang kongruen atau identik (sama dan sebangun). Sejak zaman Yunani kuno telah dikenal lima buah bidang banyak beraturan, yaitu bidang empat beraturan, bidang enam beraturan, bidang delapan beraturan, bidang dua belas beraturan, dan bidang dua pulih beraturan. 6) Bangun-bangun ruang. Anak mempunyai banyak pengalaman di dalam dan di luar rumah dengan objek yang berdimensi tiga seperti kotak kapur, batu bata, terompet, tempat eskrim (kerucut), kaleng susu dan kaleng cat (tabung), bola sepak dan bola basket (bola), tenda pramuka (prisma tegak, atap rumah (ada yang berbentuk prisma tegak ada yang berbentuk limas), dan sebagainya. Dengan mengkaji benda-benda yang ada di sekitar seperti di atas, anak akan dapat mengidentifikasi benda-benda ruang. 7) Prisma. Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar. 8) Limas dan Bidang empat. Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh sebuah segibanyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segi banyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segi banyak itu merupakan alas-alas segitigasegitiga itu. Sedangkan bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga. 9) Tabung (Silinder). Tabung adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu (R) dari sebuah garis tetap s dinamakan



 PDGK4406/MODUL 5



5.33



tabung atau silinder (definisi). Tabung dengan sumbu s dan jari-jari R disingkat dengan tabung (s, R). 10) Kerucut. Kerucut atau kerucut lingkaran tegak ialah tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N, R) sehingga PN  bidang lingkaran (N, R). Titik P disebut titik puncak, lingkaran (N, R) dinamakan lingkaran alas dan PN disebut sumbu kerucut. Garis-garis itu disebut garis-garis pelukis. 11) Bola. Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (R) dari sebuah titik tetap M. Titik M disebut titik pusat dan jarak yang sama atau R disebut jari-jari bola. Bola yang demikian disingkat dengan bola (M, R). 12) Miskonsepsi dan Pembelajaran Bangun Ruang. Sebagaimana telah dikemukakan di depan bahwa anak SD telah banyak mempunyai pengalaman di dalam dan di luar rumah dengan objekobjek yang berdimensi tiga. Pada waktu mengenalkan benda-benda ruang pada mereka, di antaranya dapat dilakukan beberapa hal berikut. a. Anak diminta mengidentifikasi bangun-bangun ruang di sekitar kehidupannya, manakah yang berbentuk kubus, balok, prisma, limas, kerucut, tabung, bola, dan sebagainya. b. Siapkan pula beberapa bangun ruang yang secara konkret ada di sekitar mereka. Mintalah kepada mereka untuk menyebutkan bangun ruang tersebut. Kemudian minta pula untuk menyebutkan bagian-bagian atau unsure-unsur dari bangun tersebut seperti sisi, rusuk, dan titik sudutnya. c. Hindarkan untuk terjadi miskonsepsi dalam memahami konsepkonsep bangun ruang seperti konsep sisi dan konsep rusuk sebagaimana disebutkan di atas. d. Yang perlu diingat adalah bahwa anak harus diberi kesempatan untuk memegang, berpendapat, dan mengamati secara langsung benda-benda bangun ruang tersebut. Selanjutnya untuk mengetahui tingkat pemahaman Anda tentang bahasan Kegiatan Belajar 1, cobalah kerjakan dengan sebaik-baiknya soal-soal berikut sebagai evaluasi formatifnya.



5.34



Pembelajaran Matematika SD 



1) Gambaran konkret model geometri dari perpotongan dua tembok/dinding kelas adalah …. A. sinar B. garis C. bidang D. ruang 2) Di antara pernyataan berikut tentang konsep garis yang salah adalah …. A. tidak mempunyai tebal B. panjangnya tak terhingga C. tidak mempunyai lebar D. mempunyai ukuran 3) Posisi/letak yang tidak mungkin dari dua buah bidang dalam ruang adalah …. A. berpotongan B. sejajar C. bersilangan D. berimpit 4) Pilihan yang salah dari pernyataan berikut: “Jika alas dari sisi-sisi tegak sebuah balok adalah bujursangkar (persegi), maka balok tersebut dinamakan …” A. kubus B. bidang banyak C. prisma segiempat D. bidang empat beraturan 5) Bidang empat HACF pada kubus ABCDEFGH berikut adalah ….



 PDGK4406/MODUL 5



A. B. C. D.



5.35



bidang empat teratur bidang empat siku-siku bidang empat sebarang bidang empat tegak



6) Bangun ruang berikut mempunyai ….



A. B. C. D.



enam titik sudut, enam sisi, dan sepuluh buah rusuk tujuh titik sudut, enam sisi, dan sepuluh buah rusuk lima titik sudut, lima sisi, dan lima buah rusuk enam titik sudut, lima sisi, dan sepuluh buah rusuk



7) Gambar berikut secara berturut-turut menunjukkan bangun ruang adalah ….



A. B. C. D.



tabung, prisma sisi enam, limas sisi lima kerucut, prisma sisi lima, limas sisi tujuh tabung, limas sisi lima, prisma sisi lima kerucut, limas sisi lima, prisma sisi lima



8) Gambar limas sisi empat, prisma sisi tiga, dan balok berturut-turut …. A.



5.36



Pembelajaran Matematika SD 



B.



C.



D.



9) Salah satu contoh kemungkinan terjadinya miskonsepsi pada bangunbangun ruang karena istilahnya sama tetapi pengertiannya berbeda dengan bangun-bangun datar adalah …. A. titik sudut B. rusuk C. sisi D. poligon 10) Bagian dari bola yang merupakan himpunan titik-titik yang jaraknya kurang dari ukuran jari-jarinya dinamakan …. A. daerah luar bola B. daerah dalam bola C. permukaan bola D. diameter bola Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal



 100%



 PDGK4406/MODUL 5



5.37



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



5.38



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 2



Jaring-jaring Bangun Ruang A. JARING-JARING KUBUS DAN BALOK Dalam kegiatan belajar berikut, kita kembali lagi membicarakan bangunbangun ruang seperti kubus, balok, limas, prisma, tabung, dan kerucut. Khusus yang akan kita bicarakan sekarang adalah pembelajaran yang berkaitan dengan jaring-jaringnya. Pada pembahasan awal ini kita akan bicarakan jaring-jaring kubus dan jaring-jaring balok beserta pembelajarannya. Namun sebelum pembelajaran dimulai terlebih dahulu kita akan mempelajari konsep jaring-jaring itu sendiri. Dengan mudah kita dapat memahami bahwa jika sebuah kubus yang terbuat dari karton diiris menurut rusuk-rusuknya, sehingga terdapat enam daerah bujursangkar (persegi) yang membentuk suatu bangun geometri yang dinamakan jaring-jaring. Untuk lebih jelasnya kita dapat melakukan kegiatan pembelajaran membuka sisi balok (kotak) yang berbentuk kubus dan balok seperti berikut ini. 1. Siapkan bekas tempat makanan, atau kardus kotak kapur, atau kardus bekas tempat sepatu yang berbentuk balok dan kubus serta sebuah gunting. 2. Mintalah pula anak-anak membawa bekas makanan ringan atau kotak bekas kotak lain yang berbentuk kubus dan balok. 3. Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi kotak sedemikian hingga permukaan kotak mendatar berupa rangkaian enam persegi (bujursangkar). 4. Yang susunannya seperti tampak pada Gambar 5.41, dan rangkaian enam persegipanjang yang susunannya seperti tampak pada Gambar 5.42. 5. Selanjutnya mintalah anak maju ke depan untuk menjelaskan kepada teman-temannya, mana sisi, bagaimana bentuknya, berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut. 6. Mintalah anak yang lain untuk menanggapinya. Berikan kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi.



5.39



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.41



Gambar 5.42



Kegiatan pembelajaran membuka sisi-sisi kotak yang berbentuk kubus dan balok seperti telah dibahas di atas, dapat digunakan sebagai alternatif untuk pembelajaran jaring-jaring kubus dan jaring-jaring balok. Bentuk Gambar 5.41 disebut jaring-jaring kubus, sedangkan bangun pada Gambar 5.42 disebut jaring-jaring balok. Dalam kegiatan di atas, jelas bahwa jaring-jaring kubus merupakan bentuk khusus yang dapat digulung untuk membentuk suatu benda yang berbentuk kubus. Demikian pula dengan jaring-jaring balok dapat digulung kembali menjadi sebuah balok. Kegiatan yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jaring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan visualisasi mereka mengenai ruang. Selanjutnya setelah anak memahami jaring-jaring kubus dan balok serta pembelajarannya, sekarang bagaimana anak belajar membuat model kubus



5.40



Pembelajaran Matematika SD 



dan balok. Untuk pembelajaran model kubus dan model balok dapat kita lakukan dengan menggunakan kertas karton/kertas tebal dengan peralatan gunting dan lem perekat. Adapun alternatif kegiatan pembelajarannya dapat kita lakukan seperti berikut ini. 1. Mintalah anak menggambarkan jaring-jaring kubus atau balok pada kertas karton dengan ukuran tertentu, berilah tempat untuk melekatkannya (lihat Gambar 5.43).



Gambar 5.43



2. 3.



4.



Mintalah anak untuk menggunting kertas/karton itu menurut keliling gambar. Mintalah anak untuk membuat bangun ruang dari potongan kertas tersebut. Daerah yang diarsir diberi lem, kemudian dilekatkan pada bagian lain, jadilah sebuah kubus atau balok. Langkah kegiatan 1 sampai dengan 3 dapat pula dilakukan dalam berbagai ukuran untuk dapat membuat model kubus atau model balok.



Dari kegiatan pembelajaran di atas, jelas bahwa dengan jaring-jaring kubus kita dapat membuat kembali kubus semula. Demikian pula dengan jaring-jaring balok kita dapat membuat kembali balok semula. Namun tidaklah semua rangkaian daerah persegi merupakan rangkaian kubus, misalnya rangkaian enam persegi pada Gambar 5.44 bukanlah jaring-jaring kubus, karena rangkaian enam daerah persegi yang susunannya seperti itu tidak dapat dibuat kubus.



5.41



 PDGK4406/MODUL 5



Gambar 5.44



Apakah rangkaian daerah enam persegi yang susunannya seperti ditunjukkan pada Gambar 5.45 merupakan jaring-jaring kubus? Benar bahwa rangkaian enam daerah persegi tersebut merupakan jaring-jaring kubus. Lihatlah bagaimana melipat rangkaian tersebut sehingga menjadi sebuah kubus (Gambar 5.46).



Gambar 5.45



Gambar 5.46



5.42



Pembelajaran Matematika SD 



Selanjutnya, coba Anda perhatikan rangkaian enam daerah persegi yang ditunjukkan pada Gambar 5.47! Manakah yang merupakan jaring-jaring kubus?



Gambar 5.47



Rangkaian enam daerah persegi pada Gambar 5.47(a), (b), dan (d) bukan merupakan jaring-jaring kubus, sedangkan Gambar 5.47(c) merupakan jaring-jaring kubus. Silakan Anda buat rangkaian daerah enam persegi seperti pada Gambar 5.47 kemudian lipatlah sehingga membentuk kubus. Rangkaian manakah yang bisa membentuk kubus dan rangkaian manakah yang tidak bisa membentuk kubus? Selanjutnya cobalah Anda diskusikan apakah masih ada kemungkinan lain dari rangkaian enam daerah persegi yang dapat membentuk sebuah kubus? Tentu saja masih ada beberapa kemungkinan lainnya yang berbeda dengan yang sudah kita diskusikan di atas. Selamat berdiskusi dan mencobanya. B. JARING-JARING LIMAS Sekarang kita perhatikan kembali bangun ruang yang bernama limas. Pada Gambar 5.48(a) tampak limas T. ABCD yang terbuat dari karton. Kemudian bidang sisi tegak direbahkan ke arah luar (poros rotasi terletak



5.43



 PDGK4406/MODUL 5



pada bidang tegak) limas tersebut diiris menurut TA, TB, TC, dab TD. Selanjutnya masing-masing seperti ditunjukkan oleh Gambar 5.48(b). Akhirnya semua bidang tegak terletak pada bidang pemuat alas. Bangun geometri yang kita peroleh merupakan jaring-jaring limas (Gambar 5.48(c))



Gambar 5.48



Dalam proses pembelajaran pembuatan model jaring-jaring limas seperti di atas, ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan untuk dipahami secara bersama di kelas, yaitu: 1. Jika limas dari karton diiris menurut beberapa rusuknya, dan direbahkan pada bidang rata, maka: a. Semua bidang batas membentuk suatu bangun geometri. b. Tidak ada bagian dari bidang sisi yang saling menutup. c. Rangkaian bangun rebahan itu dinamakan jaring-jaring limas. 2. Cara mengiris limas dari karton tersebut tidak harus menurut rusuk tegak, tetapi dapat juga mengirisnya menurut sebagian rusuk alas. Untuk lebih jelasnya lagi kita perhatikan proses pembelajaran pembuatan berbagai bentuk jaring-jaring limas sebagaimana telah dibicarakan di atas



5.44



Pembelajaran Matematika SD 



bahwa cara mengiris rusuk-rusuk limas dari karton tidak selalu menurut rusuk tegak saja. Kombinasi atau variasi pemilihan rusuk yang diiris akan menghasilkan berbagai bentuk jaring-jaring.



Gambar 5.49



Berikut ini adalah proses pembelajaran pembentukan macam-macam jaring-jaring limas, khususnya untuk limas segitiga beraturan dan limas segiempat beraturan. Untuk lebih memahaminya kita perhatikan Gambar 5.49. Pada gambar tersebut, jika limas segitiga beraturan diiris menurut rusuk-rusuk tegaknya, kemudian bidang sisi tegak direbahkan pada bidang alas, maka akan diperoleh bangun jaring-jaring limas segitiga beraturan (Gambar 5.49(b)). Alternatif-alternatif lain dari cara mengirisnya dapat dilakukan melalui satu rusuk tegak dan dua rusuk alas sehingga kita dapatkan jaring-jaring seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.50. Dalam kegiatan pembelajaran berikutnya dapat pula Anda diskusikan di kelas dengan melakukan pengirisan pada limas segitiga beraturan tersebut melalui dua rusuk tegak dan rusuk alas.



Gambar 5.50



5.45



 PDGK4406/MODUL 5



Proses pembelajaran selanjutnya adalah proses membuat model limas dari jaring-jaringnya yang terbuat dari karton. Sediakanlah gunting dan perekat untuk membangun kembali limas dari jaring-jaringnya. Pembentukan model limas tersebut dilakukan dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, sedangkan untuk melekatkannya digunakan tambahan (lidah) untuk dilem sebagai perekat (Gambar 5.51). Dalam kegiatan pembelajaran tersebut setiap anak diusahakan pernah mencoba membuat jaring-jaring dan pernah pula membuat model-model dari jaring-jaringnya.



Gambar 5.51



C. JARING-JARING PRISMA Proses pembelajaran pembentukan jaring-jaring prisma sebenarnya sudah dimulai sejak pertama kali kita mendiskusikan konsep jaring-jaring, yaitu dalam pembelajaran jaring-jaring dari model kubus dan balok. Ingat konsep prisma dalam kegiatan belajar mengajar 1 bahwa balok dan kubus adalah prisma yang istimewa. Karenanya dalam pembelajaran jaring-jaring prisma sekarang ini akan kita diskusikan model prisma bentuk lain. Misalkan kita akan menunjukkan salah satu bentuk jaring-jaring prisma tegak dengan alas segienam beratuan seperti terlihat pada Gambar 5.52. Sebaliknya kita dapat pula membuat model bangun ruang dari jaring-jaring tersebut. Misalnya dari jaring-jaring prisma tegak segienam beraturan akan dibangun kembali model bangun ruangnya.



5.46



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 5.52



Kegiatan pembelajaran membentuk model bangun ruang prisma segienam beraturan dari jaring-jaringnya dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan lem sebagai bahan perekatnya. Caranya dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, dan untuk melekatkannya digunakan tambahan (lidah), seperti tampak pada Gambar 5.53 (perhatikan kembali proses pembuatan model kubus dan limas di atas.



Gambar 5.53



5.47



 PDGK4406/MODUL 5



D. JARING-JARING TABUNG DAN JARING-JARING KERUCUT Selanjutnya kita akan mendiskusikan pelajaran jaring-jaring tabung dan jaring-jaring kerucut. Kegiatan pembelajarannya dilakukan dengan membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut. Materi yang diperlukan berupa tempat (wadah) bekas makanan ringan yang terbuat dari karton yang berbentuk tabung dan kerucut, kemudian sediakan pula gunting dan lem sebagai bahan perekat. Sedangkan alternatif kegiatan pembelajarannya dapat dilakukan sebagai berikut. 1. Mintalah anak membawa bekas tempat makanan ringan yang terbuat dari karton yang berbentuk tabung atau kerucut. 2. Tidak ada salahnya kita mengingatkan kembali unsur-unsur bangun ruang, misalnya mintalah mereka menghitung banyaknya sisi (permukaan), sudut, dan garis tepinya. 3. Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi wadah sedemikian hingga permukaan wadah tersebut mendatar seperti ditunjukkan pada Gambar 5.54 (sisi wadah yang berbentuk tabung) dan Gambar 5.55 (sisi wadah yang berbentuk kerucut).



Gambar 5.54



5.48



4.



5.



Pembelajaran Matematika SD 



Kemudian mintalah anak atau kelompoknya untuk maju ke depan menjelaskan kepada teman-temannya, bagaimana bentuknya dan mana sisinya, serta berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut. Mintalah anak-anak yang lain atau kelompok lain untuk menanggapinya. Apakah mereka setuju dengan yang dikemukakan temannya atau kelompok lainnya. Berikanlah kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi dengan bimbingan guru.



Gambar 5.55



Kegiatan pembelajaran membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut seperti yang telah didiskusikan di atas adalah alternatif proses pembelajaran jaring-jaring tabung (Gambar 5.54(c)) dan jaring-jaring kerucut (Gambar 5.55(b)). Selanjutnya, setelah anak memahami jaring-jaring tabung dan jaringjaring kerucut, anak perlu pula belajar bagaimana membuat model tabung dan model kerucut. Dengan bantuan kertas karton atau kertas yang agak tebal, gunting, dan perekat kita dapat membuat model tabung dan model kerucut melalui tahapan seperti kegiatan pembelajaran membuat model kubus dan model balok di atas. Selamat mencobanya (Perhatikan Gambar 5.56).



5.49



 PDGK4406/MODUL 5



(a)



(b) Gambar 5.56



E. JARING-JARING BIDANG BANYAK BERATURAN Pembelajaran jaring-jaring bidang banyak beraturan telah kita lakukan pada Kegiatan Belajar 1. Karenanya dalam kesempatan sekarang tidak kita bahas secara khusus. Anda dapat mempelajari dan mendiskusikan alternatifalternatif pembelajaran pembentukan jaring-jaring maupun modelnya seperti bangun-bangun ruang yang lainnya. Selanjutnya untuk memantapkan pemahaman Anda tentang materi pembelajaran di atas, kerjakanlah soal-soal Latihan berikut ini.



1) Apakah rangkaian enam daerah berikut merupakan jaring-jaring kubus? a.



b.



c.



d.



5.50



Pembelajaran Matematika SD 



2) Cobalah Anda buat beberapa buah rangkaian enam daerah persegi yang berbeda dengan yang telah dibicarakan di atas sehingga merupakan jaring-jaring kubus. 3) Gambarkanlah jaring-jaring limas segiempat dengan rusuk yang diiris a. empat rusuk tegak b. tiga rusuk tegak dan satu rusuk alas c. dua rusuk tegak dan dua rusuk alas d. satu rusuk tegak dan tiga rusuk alas 4) Limas T. ABCD memiliki alas seperti tampak pada gambar berikut dengan k merupakan proyeksi titik puncak T pada bidang alas. Jika diketahui pula tinggi limas tersebut adalah t, lukislah jaring-jaring limas tersebut.



5) Diketahui sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas 7 cm dan tingginya 10 cm. Lukislah jaring-jaring tabung tersebut. Petunjuk Jawaban Latihan Setelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Latihan di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petunjuk jawaban berikut: 1) a, b, dan d merupakan jaring-jaring kubus. Silakan Anda membuat rangkaian enam bujursangkar tersebut, kemudian lipat sehingga terjadi kubus. Sedangkan yang c bukan merupakan jaring-jaring kubus. 2) Misalnya enam daerah bujursangkar berikut kesemuanya merupakan jaring-jaring kubus. Silakan Anda mencoba membuat model kubus dari jaring-jaring tersebut, atau mungkin Anda menemukan rangkaian lain yang berbeda, dan hal ini memungkinkan terjadi.



5.51



 PDGK4406/MODUL 5



3) a. 4 rusuk tegak



b. tiga rusuk tegak dan satu rusuk alas



c. 2 rusuk dan 2 rusuk alas



d. satu rusuk tegak dan 3 rusuk alas



5.52



Pembelajaran Matematika SD 



4) Perhatikan gambar berikut.



5) Jaring-jaring tabung terdiri dari dua lingkaran, yaitu bagian alas dan bagian atas yang berjari-jari 7 cm ditambah selimut berupa persegipanjang yang ukuran panjangnya = 2 π.r atau 44 cm. Adapun lebarnya sama dengan tinggi tabung, yaitu 10 cm. Jadi dalam melukis jaring-jaring tabung dapat diurutkan sebagai berikut: a. Lukis persegipanjang yang panjangnya 44 cm dan lebar 10 cm. b. Lukis lingkaran alas dan lingkaran atas yang masing-masing menyinggung panjang persegipanjang dan berjari-jari 7 cm.



Selanjutnya buatlah rangkuman dari materi dalam kegiatan belajar yang pertama, kemudian bandingkanlah dengan alternatif rangkuman berikut.



 PDGK4406/MODUL 5



1.



2.



3.



4.



5.53



Jaring-jaring Bangun Ruang dan Pembelajarannya. Bangunbangun ruang dapat dibuat modelnya dan jaring-jaringnya. Jaringjaring adalah rangkaian daerah segi-n yang merupakan hasil “bukaan” dari suatu bangun ruang. Jadi, suatu jaring-jaring bangun ruang merupakan bentuk khusus yang dapat dilipat untuk membentuk bangun ruang tersebut. Pembelajaran yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jaring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan visualisasi mereka mengenai ruang. Jaring-jaring Kubus dan Balok. Jika sebuah kubus atau balok yang terbuat dari karton diiris menurut rusuk-rusuknya, sehingga terdapat enam rangkaian segiempat yang dapat membentuk suatu bangun geometri kubus atau balok, maka rangkaian bangun geometri datar itu disebut jaring-jaring kubus atau balok (jaringjaring kubus merupakan rangkaian enam daerah enam persegi, sedangkan jaring-jaring balok merupakan rangkaian enam daerah persegipajang. Model-model Bangun Ruang. Pembelajaran pembuatan modelmodel bangun ruang (kubus, balok, prisma, limas, dan kerucut) dapat dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan perekat. Adapun caranya dengan terlebih dahulu dibuat jaring-jaring dari bangun-bangun ruang tersebut dan dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, maka akan terbentuklah model-model bangun ruang tersebut. Penggunaan Konsep Jaring-jaring. Dengan bantuan konsep jaring-jaring bangun ruang dapat menyelesaikan masalah-masalah matematika atau masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bangunbangun ruang. Penggunaan konsep jaring-jaring bangun ruang ini dapat dilakukan dalam proses pembelajaran yang melibatkan anak secara langsung mengidentifikasi, mempraktikkan, dan mendiskusikan baik dalam kelompok kecil maupun kelompok besar.



Selanjutnya untuk mengetahui tingkat pemahaman Anda tentang bahasan Kegiatan Belajar 2, cobalah kerjakan dengan sebaik-baiknya soal-soal berikut sebagai evaluasi formatifnya.



5.54



Pembelajaran Matematika SD 



1) Suatu model balok dipotong menurut rusuk yang ditunjukkan pada gambar berikut, maka akan mendapatkan jaring-jaring balok



A.



B.



C



D



2) Yang bukan jaring-jaring kubus adalah …. A



B



5.55



 PDGK4406/MODUL 5



C



D



3) Suatu model kubus dipotong/diiris menurut rusuk-rusuknya sehingga tergambar seperti berikut:



jaring-jaring yang terjadi: A



B



C



D



4) Jaring-jaring ini adalah jaring-jaring dari bangun geometri ruang



5.56



Pembelajaran Matematika SD 



A. B. C. D.



prisma sisi tiga limas sisi empat prisma sisi empat balok



5) Dari empat jaring-jaring berikut yang bukan merupakan jaring-jaring kubus tanpa tutup (dihilangkan salah satu bidang sisinya) adalah …. A



B



C



D



6) Jaring-jaring limas segiempat beraturan berikut diperoleh dari model limas segiempat beraturan dengan cara mengiris



A. B. C. D.



1 rusuk tegak dan 3 rusuk alas 2 rusuk tegak dan 2 rusuk alas 3 rusuk tegak dan 1 rusuk alas 2 rusuk tegak dan 3 rusuk alas



 PDGK4406/MODUL 5



5.57



7) Diketahui limas beraturan T. ABCD dibuat semua kemungkinan jaringjaringnya. Jumlah jaring-jaring yang berbeda yang dapat dibuat sebanyak …. A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8) Daerah rangkaian bangun datar yang terdiri dari sebuah lingkaran dan sebuah juring lingkaran merupakan jaring-jaring dari geometri A. prisma B. tabung C. kerucut D. bola 9) Dalam membuat jaring-jaring limas segiempat beraturan dengan rusuk alas 4 cm dan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas 45 o diperlukan panjang rusuk tegak …. A. 2 cm B. 4 cm C. 2 2 cm D. 2 3 cm 10) Diketahui sebuah kaleng mentega yang berbentuk tabung dengan jari-jari 22 lingkaran alas 7 cm dan tingginya 5 cm dengan π = . Luas daerah sisi 7 lengkung kaleng tersebut (melalui jaring-jaring tabung). A. 44 cm2 B. 88 cm2 C. 110 cm2 D. 220 cm2 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



5.58



Pembelajaran Matematika SD 



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



 PDGK4406/MODUL 5



5.59



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) B. Perpotongan dua bidang adalah garis. 2) D. Sebuah garis tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai tebal, lebar, dan panjang (panjangnya tak terhingga). 3) C. Dua bidang tidak mungkin bersilangan, yang kemungkinan bersilangan adalah dua buah garis dalam ruang. 4) D. Bidang empat beraturan adalah limas segitiga yang keempat bidang batasnya merupakan segitiga sama sisi yang kongruen (balok dengan sisi-sisinya persegi dinamakan kubus, prisma segiempat, dan sekaligus bidang banyak, yaitu bidang enam beraturan). 5) A. Bidang empat H. ACF merupakan bidang empat teratur, sebab keenam rusuknya merupakan diagonal bidang sisi kubus yang sama panjangnya, sehingga bidang-bidang batasnya merupakan segitiga sama sisi yang kongruen. 6) A. Anda perhatikan gambarnya (titik sudutnya 6, sisinya 6, dan rusuknya 10). 7) D. Kerucut, limas sisi lima, dan prisma sisi lima. 8) C. Anda perhatikan gambarnya (berturut-turut limas sisi empat, prisma sisi tiga, dan balok). 9) C. Istilah sisi pada bangun datar adalah ruas garis yang menjadi pembatas suatu segi banyak, sedangkan istilah sisi pada bangun ruang adalah bidang-bidang pembatas dari suatu bidang banyak. Miskonsepsi yang mungkin terjadi pengertian sisi pada bangun datar diterapkan pada bangun ruang. 10) B. Bola membagi ruang menjadi tiga bagian lepas yaitu bagian luar, permukaan bola, dan bagian dalam (daerah yang mempunyai jarak kurang dari jari-jarinya). Tes Formatif 2 1) D. Silakan Anda buat rangkaian seperti gambar A, B, C, dan D kemudian lipatlah, dan ternyata yang dapat membentuk balok seperti soal di atas adalah D.



5.60



Pembelajaran Matematika SD 



2)



D.



3) 4)



D. C.



5) 6) 7)



D. B. A.



8)



C.



9)



B.



Anda dapat membuat rangkaian daerah persegi tersebut, carilah mana yang bukan jaring-jaring kubus. Buat model kubus tersebut kemudian iris menurut gambar. Buat jaring-jaring tersebut, kemudian bentuk bangun ruangnya, apa yang terjadi. Dipersilakan kepada Anda untuk mencobanya. Silakan Anda mencobanya. Ada delapan kemungkinan yang bisa dibuat jaring-jaring yang satu sama lainnya berbeda. Silakan Anda mendiskusikannya. Jaring-jaring kubus terdiri dari rangkaian daerah lingkaran dan jaring lingkaran. BC = 4 cm. Titik O adalah perpotongan AC dan BD AC2 = AB2 + BC2 = 42 + 42 = 36. AC = 4 OC =



2 cm



1 BC = 2 2 cm 2



Δ TOC siku-siku di O, sehingga TC =



10) D



OC OC . Jadi, TC = = 4 cm Cos Cos45o



 PDGK4406/MODUL 5



5.61



22 × 7 = 44 cm. 7 Keliling sisi alas = panjang sisi lengkungan pada jaring-jaring. Luas daerah sisi lengkung = luas daerah persegipanjang = 44 × 5 = 220 cm2. Keliling sisi alas = 2 π r = 2 ×



5.62



Pembelajaran Matematika SD 



Glosarium Conic



=



Congruent



=



Cylinder



=



Euler theorem



=



Hexahedron



=



Nondefined forms



=



Pyramid



=



Polygon



=



Polyhedron



=



Prism



=



kerucut, atau kerucut lingkaran tegak adalah bangun ruang berupa tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N, R) sehingga PN tegak lurus bidang lingkaran (N, R). kongruen atau sama dan sebangun yaitu istilah yang digunakan untuk menyatakan sifat dua bangun geometri atau lebih yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. silinder atau tabung adalah bangun ruang yang berupa tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu (R = jari-jari) terhadap garis tetap (s = sumbu). teorema Euler atau dalil Euler adalah dalil yang berlaku dalam bidang banyak yang menyatakan hubungan antara banyaknya titik sudut (T), banyaknya sisi (S), dan banyaknya rusuk (R) yang dinotasikan T + S = R + 2. heksahedron atau bidang enam beraturan adalah bangun ruang berupa kubus, yaitu balok yang keenam sisinya kongruen (semua rusuknya sama panjang). bentuk-bentuk yang tidak didefinisikan atau unsur primitif dalam geometri adalah unsur-unsur awal yang tidak didefinisikan seperti titik, garis, dan bidang. piramid atau limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segibanyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segibanyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segibanyak merupakan alasalas segitiga. poligon atau segibanyak adalah bangun datar yang berupa kurva (lengkungan) tertutup sederhana yang dibatasi oleh beberapa ruas garis (minimal oleh tiga buah garis). polyhedron atau bidang banyak adalah bangun ruang yang berupa permukaan tertutup sederhana yang dibatasi oleh beberapa segibanyak. prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua



 PDGK4406/MODUL 5



Segment



=



Square



=



Tetrahedron



=



5.63



buah bidang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar. segmen atau ruas garis atau patahan garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua buah titik. persegi atau bujursangkar adalah segiempat beraturan yang sisi-sisi sama panjang dan keempat sudutnya berukuran 90o. bidang empat beraturan, adalah limas yang alasnya berupa segitiga sama sisi.



5.64



Pembelajaran Matematika SD 



Daftar Pustaka Burdah. N. (1988/ 1989). Matematika (Geometri). Bandung: Balai Penataran Guru Tertulis Depdikbud. Cholis Sa’dijah. (1998/1999). Pendidikan Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.



Matematika



II.



Jakarta:



Djoko Iswadji, dkk. (1995/1996). Geometri Ruang. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Depdikbud. E. T. Ruseffendi. (1980). Pengajaran Matematika Modern untuk Murid Guru dan SPG Seri Kelima. Bandung: Tarsito. Karso. (2000). Geometri Ruang. Bandung: Institut Agama Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung. _________. (2001). Geometri. Bandung: Institut Agama Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung. Leonard M. Kennedy. (1984). Guiding Children’s Learning of Mathematics. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company A Division of Wadsworth Company. N.V. Efimov (1980). Higer Geomtry. Moskow: Mir Publisher. P. Moelenbroek (1949). Leeboek Der Sterometrie. Groningen-Batavia: P. Noordhoff N.V. R. Rawuh, Gouw Keyhong, Tan Boen Tat. (1971). Ilmu Ukur Ruang. Bandung: Tarate. Siskandar, Mohamad Rahmat. (1990). Pendidikan Matematika I. Jakarta: Universitas Terbuka.



 PDGK4406/MODUL 5



5.65



Soewito, dkk. (1991/1992). Pendidikan Matematika I. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.



Modul 6



Luas dan Volume Bangun Ruang Drs. H. Karso, M. M.Pd.



M



odul yang sekarang Anda pelajari ini adalah modul yang keenam dari mata kuliah Pembelajaran Matematika Sekolah Dasar (SD). Materimateri dalam modul ini merupakan kelanjutan langsung dari materi dalam Modul 5 yang baru saja kita diskusikan. Selain itu tentunya akan mempermudah bagi kita dalam mempelajarinya jika kita telah memahami dengan baik konsep pengukuran dalam geometri bidang. Perlu diketahui bahwa materi-materi dalam modul ini selain secara langsung menyangkut pembelajaran luas dan volume bangun ruang di SD, memuat pula materi-materi pembelajaran matematika yang bersifat pendalaman. Pendalaman dan perluasan pemahaman konsep-konsep bangun ruang ini akan menjadi bekal utama bagi kita dalam meningkatkan kualitas pembelajaran matematika di SD, maupun dalam mempelajari materi matematika lanjutan lainnya Secara garis besar materi dalam modul ini terbagi ke dalam dua pembelajaran pokok. Bagian pertama mendiskusikan konsep luas dan volume untuk bangun-bangun ruang kubus, balok, prisma, dan silinder atau tabung. Pembelajaran yang kedua mendiskusikan konsep luas dan volume bangunbangun ruang limas, kerucut, dan bola. Kemudian akan didiskusikan pula pembelajaran penerapan konsep luas dan volume bangun-bangun ruang dalam menyelesaikan masalah matematika atau masalah kehidupan seharihari. Secara umum setelah Anda mempelajari modul ini diharapkan untuk dapat melaksanakan pembelajaran matematika di SD untuk materi luas dan volume bangun-bangun ruang dengan pendekatan dan media yang sesuai, serta dapat mengembangkan diri sebagai guru matematika di SD dalam bidang matematika. Untuk menunjang kemampuan tersebut di antaranya diperlukan beberapa kompetensi khusus berikut ini.



6.2



1. 2. 3.



Pembelajaran Matematika SD 



menjelaskan konsep luas bangun ruang dengan menggunakan media yang sesuai; menjelaskan konsep volume bangun ruang dengan menggunakan media yang sesuai; menggunakan konsep luas atau volume bangun ruang untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah kehidupan sehari-hari.



Adapun susunan materi dalam modul ini terbagi menjadi dua kegiatan belajar sebagai berikut. Kegiatan Belajar 1: Luas dan Volume Kubus, Balok, Prisma, dan Tabung. Kegiatan Belajar 2: Luas dan Volume Limas, Kerucut, dan Bola. Petunjuk Belajar Untuk dapat memahami modul ini dengan baik serta mencapai kompetensi yang diharapkan, gunakanlah strategi belajar sebagai berikut. 1. Sebelum membaca modul ini, cermati terlebih dahulu glosarium pada akhir modul yang memuat istilah-istilah khusus yang digunakan dalam modul ini. 2. Baca materi modul dengan saksama, tambahkan catatan pinggir, berupa tanda tanya, pertanyaan, konsep lain yang relevan, dan lain-lain sesuai dengan pemikiran yang muncul. 3. Cermati dan kerjakan soal-soal latihan dan tes formatif seoptimal mungkin, dan gunakan rambu-rambu jawaban untuk membuat penilaian tentang kemampuan pemahaman Anda. 4. Buatlah catatan khusus hasil diskusi dalam tutorial untuk digunakan dalam pembuatan tugas dan ujian akhir. 5. Usahakan Anda mempelajari beberapa buku sumber penunjang lainnya.



6.3



 PDGK4406/MODUL 6



Kegiatan Belajar 1



Luas dan Volume Kubus, Balok, Prisma, dan Tabung A. LUAS DAERAH PERMUKAAN KUBUS Dalam melengkapi pembelajaran pemahaman bangun-bangun ruang, tentu saja kita dapat mempersoalkan pembelajaran tentang luas permukaannya. Sedangkan yang dimaksud dengan luas daerah permukaan (surface) bangun ruang adalah jumlah luas daerah seluruh permukaannya, yaitu luas daerah bidang-bidang sisinya. Misalkan kita akan menentukan luas permukaan sebuah kubus ABCDEFGH dengan ukuran rusuknya a cm. Dalam hal ini sama saja dengan kita akan menentukan luas daerah seluruh bidang sisi dari kubus tersebut.



Gambar 6.1



Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6.1 dan sesuai pula dengan pengertian kubus, maka kubus memiliki enam buah sisi berupa bujursangkar (persegi) yang kongruen (sama dan sebangun). Luas tiap daerah sisinya sama dengan luas daerah persegi yang rusuknya a cm, yaitu sama dengan a 2 cm2. Jadi, luas daerah seluruh bidang sisi kubus (luas daerah permukaan kubus) sama dengan 6 a2 cm2. Karena dalam proses pembelajaran di atas pada perhitungannya satuan a dipilih sebagai sembarang bilangan, maka secara umum dapatlah kita simpulkan: luas daerah permukaan kubus = luas daerah seluruh bidang sisi kubus = enam kali kuadrat yang menyatakan ukuran panjang rusuknya.



6.4



Pembelajaran Matematika SD 



B. LUAS DAERAH PERMUKAAN BALOK Sekarang kita perhatikan sebuah balok ABCDEFGH yang dibatasi oleh enam daerah persegipanjang yang sepasang-sepasang kongruen. Hal ini berarti bahwa sebuah balok memiliki enam sisi yang sepasang-sepasang sama luasnya.



Gambar 6.2



Misalkan kita akan melakukan pembelajaran daerah permukaan balok pada Gambar 6.2. Hal ini berarti kita harus menentukan luas daerah semua sisi balok ABCDEFGH yang rusuk-rusuk utamanya p cm, l cm, dan t cm sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6.2. Dengan kata lain balok tersebut mempunyai ukuran panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi t cm. Dari Gambar 6.2 di atas tampak bahwa sisi-sisi yang berhadapan ABCD dan EFGH kongruen, luas daerahnya masing-masing (p × l) cm2 = pl cm2. Kemudian sisi-sisi berhadapan ADHE dan BCGF kongruen, luas daerahnya masing-masing (l × t) cm2 = lt cm2. Selanjutnya sisi ABFE dan CDHG kongruen, luas daerahnya masing-masing (p × t) cm2 = pt cm2. Luas daerah permukaan balok sama dengan luas daerah seluruh sisi balok yang dapat dipandang sebagai jumlah luas daerah bidang alas dan bidang atas ditambah dengan jumlah daerah semua sisi tegaknya. Hal ini berarti: Jumlah luas daerah bidang alas dan bidang atas = 2 pl cm2. Jumlah luas daerah semua sisi tegak = (2 pt + 2 lt) cm2. Luas daerah permukaan balok = luas daerah seluruh bidang sisi balok = (2 pl + 2 pt + 2 lt) cm2 = 2(pl + pt + lt) cm2.



6.5



 PDGK4406/MODUL 6



Dengan memperhatikan proses pembelajaran di atas, dapatkah Anda merumuskan luas permukaan balok dengan kalimat sendiri? Luas daerah permukaan balok = luas daerah bidang-bidang sisi balok = dua kali jumlah hasil kali sepasang-sepasang rusuk utamanya yang berlainan. C. LUAS DAERAH PERMUKAAN PRISMA Gambar 6.3 menunjukkan empat buah prisma yang bersifat bahwa dua di antara sisi-sisinya kongruen dan sejajar. Gambar 6.3(a), (b), dan (c) adalah prisma tegak karena sisi atas dan sisi alasnya tegak lurus rusuk-rusuk tegaknya. Pada prisma tegak, sisi-sisi tegaknya berbentuk persegi panjang. Sedangkan pada Gambar 6.3(d) adalah prisma miring. Dari keempat gambar prisma tersebut dengan mudah kita dapat menentukan luas daerah bidangbidang sisi suatu prisma.



Gambar 6.3



Luas daerah permukaan prisma



= =



luas daerah bidangbidang sisi prisma luas daerah atas + luas daerah alas + jumlah luas daerah sisi-sisi yang lain.



Untuk lebih jelasnya kita perhatikan beberapa contoh berikut ini. Contoh 6.1 Diketahui sebuah prisma yang berbentuk kubus dengan jumlah panjang semua rusuknya 60 cm. Hitunglah luas daerah permukaan prisma yang berbentuk kubus tersebut.



6.6



Pembelajaran Matematika SD 



Penyelesaian: Sebuah prisma istimewa yang bernama kubus memiliki 12 buah rusuk yang sama panjangnya. Karena jumlah panjang semua rusuknya 60 cm, maka 1 panjang setiap rusuknya =  60 cm = 5 cm. Kita sudah mengenal bahwa 12 luas daerah permukaan kubus = luas daerah bidang-bidang sisi kubus  6  (5  5)



 150 cm 2 Jadi, luas daerah permukaan prisma yang berbentuk kubus adalah 150 cm2. Contoh 6.2 Diketahui prisma tegak segitiga, alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm, sedangkan tinggi prisma 10 cm. Tentukan luas daerah permukaan prisma. Penyelesaian: Hipotesis  siku-siku sisi alas prisma = 5 (dalil Pythagoras).











Luas alas  luas atas = 12  4  3 cm  6 cm2



Luas sisi-sisi tegaknya   5 10    3 10    4 10   120 cm2 Sehingga luas seluruh permukaan prisma Gambar 6.4



  6  6  120  cm  132 cm2



D. LUAS DAERAH PERMUKAAN TABUNG (SILINDER) Kita perhatikan sebuah kaleng kue yang berbentuk tabung yang label kertasnya masih ada. Dengan pisau atau gunting irislah label pembungkus tersebut secara vertikal dari atas ke bawah, kemudian lepaskanlah label pembungkus tersebut. Bagaimanakah bentuknya? Hubungan apakah yang



6.7



 PDGK4406/MODUL 6



terdapat antara panjang dan lebar label dengan ukuran-ukuran tabung? Bagaimanakah bentuk alas dan tutup tabung?



(a)



(b) Gambar 6.5



Sekarang kita perhatikan kembali sebuah tabung dengan jaring-jaringnya (Gambar 6.5). Jenis tabung yang akan kita diskusikan dalam pembelajaran ini adalah tabung tegak, yaitu tabung yang bidang tegaknya atau bidang lengkungnya (selimutnya) tegak lurus kepada alas tabung dan bidang atasnya sejajar dengan bidang alasnya. Gambar 6.5(a) adalah sebuah tabung tegak yang alasnya merupakan sebuah lingkaran dengan jari-jari r, demikian pula atasnya berupa lingkaran dengan jari-jari r. Jika permukaan tabung (Gambar 6.5(a)) dibeberkan/dibuka, maka salah satu bentuk jaring-jaringnya adalah seperti Gambar 6.5(b). Jaring-jaring tabung ini terdiri dari tiga rangkaian bangun datar, yaitu dua buah lingkaran berjari-jari r dan sebuah persegipanjang dengan ukuran panjang 2π r (panjang keliling lingkaran atas atau alas) dan lebarnya adalah t (tinggi tabung). Selanjutnya luas daerah jaring-jaring tersebut dapat kita hitung sebagai berikut: Luas daerah lingkaran atas = π r2 Luas daerah lingkaran alas = π r2 Luas daerah persegipanjang = 2 π r t Jadi, luas daerah permukaan tabung: L = luas bidang alas + luas bidang atas + luas bidang lengkung tabung



6.8



Pembelajaran Matematika SD 



=  r2 +  r 2 + 2  r t = 2 r2 + 2  r t = 2  r (r + t). Contoh 6.3 Misalkan diketahui sebuah tabung berdiameter 10 cm dengan tinggi 20 cm. Tentukanlah: a. Luas daerah bidang lengkung tabung. b. Luas seluruh permukaan tabung. Penyelesaian: a. Luas bidang lengkung tabung = 2  r t = 2  . 5 . 20 = 200  cm2 b. Luas tutup dan alasnya = 2 r2 = 2 .  . 52 = 50  Luas seluruh permukaan tabung = (50  + 200 ) cm2 = 250  cm2. E. VOLUME Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kata-kata seperti “satu liter”, “satu kg”, “satu menit”, “satu derajat”, dan sebagainya. Liter adalah salah satu satuan untuk mengukur volume, kg adalah salah satu satuan untuk mengukur berat, menit adalah salah satu satuan untuk mengukur waktu (lama), derajat adalah salah satu satuan untuk mengukur besar sudut juga untuk suhu (temperatur). Khusus dalam pembelajaran sekarang ini kita akan mendiskusikan pengertian ukuran bangun untuk bangun ruang (berdimensi tiga). Ukuran bangun tersebut dinamakan volume (volum) atau isi. Volume adalah suatu ukuran yang menyatakan besar suatu bangun ruang. Mengukur volume berarti membandingkan besar sesuatu dengan sesuatu yang mempunyai besar tertentu, yaitu sesuatu bangun ruang yang menjadi patokan yang disebut satuan volume (volume satuan). Patokan satuan volume yang dipakai sebagai ukuran suatu bangun ruang biasanya berupa bangun ruang yang lebih kecil. Biasanya untuk menentukan volume suatu bangun kita lakukan dengan membandingkan bangun ruang tersebut dengan bangun ruang yang lebih kecil. Kita dapat menggunakan



6.9



 PDGK4406/MODUL 6



bangun ruang apa pun sebagai patokan satuan volume, misalnya kubus kecil, batu bata, kelereng dan sebagainya. Sebuah bangun ruang yang akan diukur volumenya haruslah diisi dengan bangun ruang yang dijadikan patokan satuan volume sampai penuh, lalu dihitung berapa banyaknya satuan yang dapat mengisi bangun ruang tersebut sampai penuh. Pada umumnya yang dipakai sebagai patokan satuan volume (satuan) untuk mengukur volume bangun ruang adalah kubus (kubus satuan) yang rusuknya mempunyai panjang satu satuan. Dalam hal ini kita akan menggunakan patokan satuan volume berupa kubus yang panjang rusuknya 1 cm dan volumenya 1 cm3 (satu senti meter kubik/cubic). Kubus tersebut kita namakan kubus satuan (Gambar 6.6). Sehubungan dengan itu, maka pengertian volume suatu bangun ruang secara formal didefinisikan dengan memperhatikan pengertian satuan volume tersebut, yaitu volume suatu bangun ruang adalah banyaknya satuan volume yang dapat tepat mengisi bagian ruang yang ditempati oleh bangun tersebut.



Gambar 6. 6



Dengan pengertian seperti di atas, jika kita harus menentukan volume suatu bangun ruang, berarti kita harus mencari bilangan yang menunjukkan banyaknya satuan volume. Bilangan yang kita cari dapat kita peroleh dengan menggunakan rumus untuk volume dari bangun ruang tersebut. Untuk lebih jelasnya lagi kita perhatikan kegiatan-kegiatan pembelajaran berikutnya. Sebelum secara panjang lebar kita lakukan proses pembelajaran, maka ada baiknya kita pahami beberapa sifat volume dan satuan volume yang digunakan secara internasional, yaitu sebagai berikut.



6.10



1. 2. 3.



Pembelajaran Matematika SD 



Volume bersifat penjumlahan, artinya volume keseluruhan sama dengan jumlah dari volume bagian-bagiannya. Jika bangun ruang R = bangun ruang S, maka volume bangun ruang R sama dengan volume bangun ruang S. Jika bangun ruang dipotong-potong kemudian disusun sehingga membentuk bangun ruang yang lain, maka dua bangun tersebut mempunyai volume yang sama.



Jika digunakan Sistem Internasional, maka ukuran volume menggunakan satuan meter kubik (m3); untuk volume yang lebih kecil digunakan satuan sentimeter kubik (cm3) atau milimeter kubik (mm3). 1 km3 = 109 m3, karena 1 km = 103 m 1 hm3 = 106 m3, karena 1 hm = 102 m 1 dam3 = 103 m3, karena 1 dam = 102 m 1 dm3 = 10-3 m3, = 1 l (liter) 1 cm3 = 10-6 m3, = 1 ml (mili liter) 1 mm3 = 10-9 m3, karena 1 mm = 10-3 m 1 m3 = 10-18 m3, karena 1 m = 10-6 m Contoh 6.4 Misalkan kita akan menyatakan 321 m3 ke dalam senti meter kubik, yaitu sebagai berikut: 1 m3 = 1000000 cm3 321 m3 = 321000000 cm3 F. VOLUME BALOK Perhatikan balok pada Gambar 6.7(a). Pada balok tersebut ada 6 kubus satuan yang dapat ditempatkan pada panjangnya, 4 kubus satuan pada lebarnya dan 3 kubus satuan pada tingginya. Banyaknya kubus satuan yang dapat ditempatkan pada alas balok 4  6 = 24. Karena ada 3 lapisan kubus satuan yang dapat memenuhi balok tersebut, sehingga volume balok pada Gambar 6.7(a) adalah 3  24 = 72 kubus satuan. Bagaimana volume balok pada Gambar 6.7(b)? Tentunya dengan mudah dapat dilihat volumenya 8 kubus satuan.



6.11



 PDGK4406/MODUL 6



Gambar 6.7



Contoh 6.5 Dengan menghitung banyaknya kubus satuan kita akan menentukan volume bangun seperti tampak pada Gambar 6.8(a) dan (b).



Gambar 6.8



Penyelesaian: a. Pada Gambar 6.8 (a) ada 3 lapis kubus. Tiap lapis terdiri dari 6 . 3 kubus. Jadi, volume adalah (6 . 3) . 3 = 54 kubus satuan. b. Pada Gambar 6.8 (b) dapat kita lihat lapisan paling bawah ada (3  3) + 1 = 10 kubus satuan. Pada lapisan kedua terdapat 3  3 = 9 kubus. Pada lapisan yang paling atas terdapat 2  3 = 6 kubus. V = 10 + 9 + 6 = 25 kubus satuan. Contoh 6.6 Kita akan menentukan volume sebuah balok dengan ukuran panjang rusuk-rusuknya 10 cm, 2 cm, dan 1 cm.



6.12



Pembelajaran Matematika SD 



Penyelesaian: Balok yang panjangnya 10 cm, lebarnya 2 cm, dan tingginya 1 cm, volumenya ternyata 20 m3, ini sesuai dengan perkalian: (10 × 2 × 1) cm3 = 20 cm2, dengan 10 merupakan ukuran panjang (dalam cm), 2 menyatakan lebar (dalam cm), dan 1 menyatakan tinggi (dalam cm). Dari proses pembelajaran di atas, dapatlah kita menyimpulkan bahwa sebuah balok yang ukuran panjangnya dinyatakan dengan p, lebarnya dinyatakan dengan l, dan ukuran tingginya dinyatakan dengan t, maka volume balok = p × l × t. Sedangkan satuan yang digunakan oleh volume tentunya harus sama dengan satuan yang digunakan oleh panjang, lebar, dan tinggi. Perlu diketahui bahwa pada perhitungan di atas bilangan p, l, dan t diambil sebarang, maka secara umum dapatlah kita simpulkan bahwa: volume balok sama dengan hasil perkalian dari bilangan-bilangan yang menyatakan panjang, lebar, dan tinggi dari balok tersebut. G. VOLUME KUBUS Selanjutnya bagaimana dengan volume kubus? Sebagaimana telah kita ketahui bahwa kubus merupakan balok, sehingga volumenya dapat dicari dengan menggunakan aturan untuk balok dengan panjang, lebar, dan tinggi yang sama. Jadi, jika suatu kubus mempunyai ukuran rusuk a cm (Gambar 6.9), maka akan dapat ditunjukkan bahwa kubus tersebut memuat a × a × a = a3 kubus satuan, berarti kita dapat menunjukkan bahwa volume kubus = a × a × a = a3 cm3



Gambar 6. 9



6.13



 PDGK4406/MODUL 6



Karena pada perhitungan di atas bilangan a diambil sebarang, maka secara umum dapatlah kita simpulkan bahwa volume sebuah kubus sama dengan pangkat tiga dari bilangan yang menyatakan rusuknya. Untuk lebih jelasnya lagi kita perhatikan sebuah contoh berikut, namun contoh ini bukanlah untuk anak usia SD secara keseluruhan, tetapi diperlukan bagi kita sebagai pengayaan dalam menentukan volume sebuah kubus. Contoh 6.7 Diketahui sebuah kubus ABCDEFGH dengan ukuran panjang diagonal ruangnya (AG = BH = DF = CE) 6 3 cm (Gambar 6.10). Tentukanlah volume kubus tersebut. Penyelesaian: Misal ukuran panjang rusuk kubus ABCDEFGH adalah a dan misal kita ambil diagonal ruangnya CE (Gambar 6.10). Segitiga ABC siku-siku AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2 Segitiga ACE siku-siku CE2 = AC2 + AE2 = 2a2 + a2 = 3a2 CE = a 3 (hypotenusa).



Gambar 6. 10



Karena CE = 6 3 (diketahui) dan CE = 3 (dihitung), maka a = 6. Karena panjang rusuk kubus ABCDEFGH adalah 6 cm, maka volume kubus = 6 × 6 × 6 = 216 cm3



6.14



Pembelajaran Matematika SD 



H. VOLUME PRISMA Setelah proses pembelajaran pemahaman volume balok dan kubus, kita akan mengarahkan pembelajaran untuk menemukan rumus volume prisma. Dalam hal ini kegiatan pembelajarannya akan melibatkan siswa secara aktif dengan bantuan benda-benda konkret. Adapun alternatif kegiatannya dapat dilakukan seperti berikut ini.



Gambar 6.11



1.



2.



Misalkan, mintalah anak membentuk balok dari lilin atau plastisin dengan ukuran panjang (p), lebar (l), dan tinggi (t) menurut keinginannya. Misal panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut 4 cm, 5 cm, dan 6 cm seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.11. Bagilah lilin yang berbentuk balok (prisma tegak segiempat tersebut) dengan cara memotong vertikal oleh benang senar atau pisau sepanjang bidang diagonal seperti tampak pada gambar, sehingga diperoleh dua prisma segitiga tegak yang kongruen.



Gambar 6.12



6.15



 PDGK4406/MODUL 6



3.



Kemudian mintalah anak untuk menggabungkan dua prisma segitiga tegak sehingga didapatkan prisma segitiga tegak seperti ditunjukkan pada Gambar 6.12. Akibatnya tentu saja volume prisma tegak yang baru (Gambar 6.12) sama dengan volume balok pada Gambar 6.11 (Ingat salah satu sifat volume bangun ruang). Volume balok =p×l×t = L × t (L = luas alas) Luas alas balok = luas alas prisma = L Volume prisma tegak =V = L × t (L = luas alas, t = tinggi).



Selanjutnya dengan memperlihatkan kembali bagaimana prisma tegak segitiga mempunyai ciri kedua sisi atas dan bawah sama dan sejajar, kita dapat mengarahkan bahwa rumus volume V = L × t dapat diterapkan pada bangun-bangun yang mempunyai ciri seperti itu. Berilah kesempatan pada anak-anak untuk mengeksplorasi hal tersebut. Mereka dapat bekerja dengan bantuan benda-benda konkret, misalnya lilin atau plastisin (malam) yang dapat dibentuk menjadi bangun-bangun ruang yang padat. Selamat mencoba dalam proses pembelajaran. I.



VOLUME TABUNG (SILINDER)



Sekarang kita perhatikan prisma tegak beraturan bersisi n. Jika n bertambah makin besar, maka akan mendapatkan prisma yang sisi alas dan atasnya tidak dapat dibedakan dengan lingkaran (Gambar 6.13). Dalam hal ini prisma menjadi tabung, sehingga rumus volume prisma tegak yaitu luas alas kali tinggi juga berlaku untuk volume tabung.



(a)



(b) Gambar 6.13



(c)



6.16



Pembelajaran Matematika SD 



Karena alas tabung berbentuk lingkaran dan rumus luas lingkaran untuk jari-jari r adalah r2, maka rumus untuk volume tabung dapat dinyatakan dalam bentuk: V = volume tabung = luas alas x tinggi = r2t. Perlu diketahui  (pi) adalah suatu bilangan tetap yang merupakan nilai perbandingan antara keliling lingkaran dengan garis tengah (diameter) lingkaran. Nilai  mendekati 3, 14 atau ada juga yang menyatakan dengan 22 . Jadi, volume tabung yang jari-jari lingkaran atasnya dinyatakan dengan r 7 dan tingginya dinyatakan dengan t adalah: V = volume tabung V = 3,14  r2  t (bila  = 3,14) atau 22 22 V=  r2  t (bila  = ) 7 7 Contoh 6.8 Suatu tangki berbentuk tabung tertutup, berisi minyak tanah. Bila tinggi tabung 70 cm, dan diameter 40 cm. Tentukan berapa liter volume dari tangki 22   tersebut  ambil  = . 7   Penyelesaian: V = volume tabung = r2t  22 40  =  ( )2 .70  cm3 = 88.000cm3 7 2   = 88 dm3 = 88 liter. Jadi, volume tangki tersebut adalah 88 liter. Alternatif lain dari proses pembelajaran pemahaman rumus volume tabung ini dapat pula dengan memberikan kesempatan kepada anak untuk mencoba menemukannya. Anak-anak dapat bekerja dengan benda-benda



 PDGK4406/MODUL 6



6.17



konkret, misalnya tabung yang terbuat dari lilin atau plastisin, atau mungkin langsung menerapkannya tentang bagaimana menemukan rumus volume bangun ruang seperti alternatif di atas. Selamat berdiskusi untuk mencobanya. Selanjutnya untuk memantapkan pemahaman Anda tentang materi pembelajaran di atas, cobalah Anda kerjakan soal-soal Latihan berikut ini.



1) Tentukanlah luas permukaan prisma yang berbentuk balok dengan panjang semua rusuknya 152 cm, sedangkan perbandingan ukuran panjang rusuk-rusuknya adalah; 12: 4: 3. 2) Diketahui sebuah kubus dengan jumlah panjang semua diagonal sisinya 60 2 cm. Tentukanlah luas daerah permukaan kubus. 3) Suatu kolam panjangnya 10 m, lebarnya 5 m, dan dalamnya 2 m. Berapa liter banyaknya air yang dapat diisikan pada kolam tersebut hingga penuh. 4) Suatu tangki berbentuk tabung berisikan minyak premium 7.700 liter. 22 Jari-jari alasnya 70 cm, hitunglah tinggi tangki tersebut ( = ). 7 5) Suatu tangki minyak berupa tabung dengan jari-jari 3,5 dm, dan tingginya 10 dm diisi penuh dengan minyak tanah. Minyak tanah tersebut akan dipindahkan ke dalam blek yang berbentuk balok dengan 22 panjang dan lebar 2 dm, tinggi 3,5 cm. Bila  = , berapa buah blek 7 yang diperlukan untuk minyak tanah tersebut. Setelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Latihan di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petunjuk jawaban berikut. 1) Sebuah balok mempunyai 12 rusuk yang terdiri dari 4 rusuk panjang  p  , 4 rusuk lebar  l  dan 4 rusuk tinggi  t  . Hal ini berarti:



6.18



Pembelajaran Matematika SD 



4p  4l  4t  152 p  l  t  38 Karena p : l : t = 12 : 4 : 3 maka 12  38  24 . 19 4 l   38 = 8 19 3 t   38 = 6 19 p



Luas daerah permukaan balok = luas daerah bidang-bidang sisi balok = 2  pl + pt + lt  cm2 = 2  24  8 + 24  6 + 8  6  cm2 = 384 cm2 2) Perhatikan kubus ABCDEFGH berikut (Gambar 6.14)



Gambar 6. 14



Diagonal sisi sebuah kubus atau balok adalah diagonal dari persegi atau persegipanjang yang merupakan sisi dari kubus atau balok. Karena setiap kubus mempunyai enam buah bidang sisi dan setiap sisi mempunyai diagonal sisi, maka jumlah diagonal bidang sisi suatu kubus = 2  6 = 12 buah.



6.19



 PDGK4406/MODUL 6



Karena diketahui jumlah panjang semua diagonal kubus tersebut adalah 60 2 cm, maka ukuran panjang salah satu diagonal sisinya (d), yaitu 12d = 60 2 cm atau d = 5 2 cm. Misal ukuran rusuk kubus tersebut adalah a. Kemudian kita perhatikan segitiga ABE, maka:



BC2 = AD2 + AE 2 d2 = a 2 + a 2 d=a 2 5 2 =a 2 Jadi, a = 5 cm



Luas daerah permukaan kubus = luas daerah bidang-bidang sisi kubus = 6(5 x 5) cm2 = 150 cm2 3) Kolam tersebut tentunya berbentuk balok (kotak). Karena panjang (p) = 10 m, lebarnya (l) = 5m, dan dalamnya atau tingginya (t) = 2 m, maka Volume kolam = p  l  t



= (10  5  2) m3 = 100 m3 Banyaknya air yang dapat diisikan pada kolam tersebut hingga penuh



= 1000 m3 = 1.000.000 dm3 = 1. 000.000 liter. 4) Misal tinggi balok tersebut adalah t, dan menurut rumus volume tabung:



Volume tabung = π r 2 t 7700 liter =



22  702  t atau t = 50 dm. 7



Jadi, tinggi tangki tersebut adalah 50 dm atau 500 cm atau 5 m.



6.20



Pembelajaran Matematika SD 



5) Banyaknya minyak tanah = volume tangki yang berbentuk tabung 22   3, 5  3, 5  10 dm3 7



= 385 dm3



Volume Blek = volume balok =p  l  t = 2  2  3,5 = 14 dm3 Banyaknya blek yang harus disediakan = 385: 14 = 7,5. Jadi harus menyediakan 8 buah blek. Selanjutnya buatlah rangkuman dari uraian materi dalam Kegiatan Belajar 1 di atas, kemudian bandingkanlah dengan alternative rangkuman berikut.



1. 2.



3.



4.



Luas daerah permukaan suatu bangun ruang adalah luas daerah bidang-bidang sisi bangun ruang tersebut. Luas daerah permukaan kubus atau balok adalah jumlah luas daerah semua bidang sisi dari kubus atau balok tersebut. Jika a menyatakan ukuran panjang rusuk kubus dan L menyatakan luas permukaan kubus, maka L = 6a2. Sedangkan jika p, l, dan t berturut-turut menyatakan panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok dengan L menyatakan luas balok, maka L = 2(pl + pt + lt). Luas daerah permukaan prisma adalah luas daerah bidang-bidang sisi prisma tersebut, yaitu luas daerah alas + luas daerah atas + jumlah luas daerah sisi-sisi yang lain. Sedangkan luas daerah permukaan tabung adalah luas daerah lingkaran atas + luas daerah lingkaran alas + luas daerah persegipanjang (bidang lengkung/bidang tegak/selimut) atau 2 π r (r + t) dengan r jari-jari lingkaran alas dan t tinggi tabung tersebut. Volume adalah suatu ungkapan yang menyatakan “besarnya” suatu bangun ruang. Besarnya suatu bangun ruang dapat diungkapkan bila ada bangun ruang yang lebih kecil yang dijadikan patokan yang disebut satuan volume (volume satuan). Dengan patokan berupa



 PDGK4406/MODUL 6



6.21



satuan volume (biasanya 1 cm3) dikembangkan aturan (rumus) untuk volume bangun-bangun ruang: a. Volume balok = p x l x t (p = panjang, l = lebar, dan t = tinggi) b. Volume kubus = a3 (a = rusuk kubus) c. Volume prisma = L x t (L = luas alas dan t = tinggi) d. Volume tabung = π r2 t (r = jari-jari lingkaran alas/atas, t tinggi, π = 3, 14 = 22 . 7



1) Jika sebuah balok ukuran rusuk-rusuk utamanya 8 cm, 6 cm, dan 5 cm, maka luas daerah permukaan balok adalah …. A. 120 3 cm3 B. 236 cm3 C. 128 3 cm3 D. 256 cm3 2) Luas daerah permukaan kubus yang panjang salah satu diagonal ruangnya 12 cm adalah …. A. 288 cm2 B. 192 cm2 C. 96 3 cm2 D. 48 2 cm2 3) Sebuah bak kamar mandi bagian dalamnya mempunyai ukuran panjang 1,5 m, lebar 1,2 m, dan dalamnya 0,8 m. Air yang dapat ditampung dalam bak itu sebanyak-banyaknya adalah …. A. 1800 liter B. 1200 2 liter C. 1440 liter D. 960 3 liter 4) Volume sebuah kubus yang jumlah panjang semua diagonal ruangnya 32 3 cm adalah ….



6.22



Pembelajaran Matematika SD 



A. B. C. D.



360 3 cm3 480 cm3 512 cm3 450 2 cm3



5) Luas permukaan kubus yang volumenya 100 cm3 adalah …. A. 6 3 3 cm2 B. 60 3 10 cm2 C. 120 cm2 D. 100 3 3 cm2 6) Volume bangun ruang dari gambar berikut (Gambar 6.15) adalah ….



Gambar 6.15



A. B. C. D.



100 cm3 300 cm3 400 cm3 500 cm3



7) Tinggi suatu tangki berbentuk tabung berisi minyak tanah 7700 liter dengan jari-jari alasnya 70 cm adalah …. A. 200 cm B. 300 cm C. 400 cm D. 500 cm 8) Meminta anak mengisi suatu kotak kosong yang berbentuk balok dengan ukuran panjang p cm, lebar l cm, dan tinggi t cm dengan kubus-kubus satuan (1 cm3) merupakan proses pembelajaran pemahaman konsep ….



6.23



 PDGK4406/MODUL 6



A. B. C. D.



luas permukaan balok volume kubus volume balok luas permukaan kubus



9) Media yang sesuai dalam proses pembelajaran untuk memahami konsep luas permukaan tabung dengan bantuan jari-jari tabung adalah bangun tabung yang terbuat dari …. A. karton B. lilin C. kawat D. kayu 10. Suatu tabung yang berada dalam suatu kubus seperti tampak pada 22 Gambar 6.16. Bila panjang rusuk kubus 7 cm dengan π = , maka 7 volume kubus di luar tabung adalah ….



Gambar 6.16



A. B. C. D.



343 cm3 269,5 cm3 73,5 cm3 612,5 cm3



6.24



Pembelajaran Matematika SD 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



6.25



 PDGK4406/MODUL 6



Kegiatan Belajar 2



Luas dan Volume Limas, Kerucut, dan Bola A. LUAS PERMUKAAN LIMAS Kegiatan pembelajaran yang sekarang ini merupakan kelanjutan langsung dari kegiatan belajar yang pertama, yaitu masih tentang luas dan volume bangun-bangun ruang dengan penggunaan media yang sesuai serta aplikasi dalam masalah matematika atau kehidupan sehari-hari. Khusus dalam kesempatan yang sekarang ini kita melakukan pembelajaran tentang luas bangun ruang yang bernama limas. Untuk lebih jelasnya lagi pada gambar berikut tampak limas segitiga beraturan yang sisi alasnya berupa segitiga sama sisi dan ketiga sisi tegaknya berupa segitiga sama kaki yang kongruen (Gambar 6.17(a)). Sedangkan pada Gambar 6.17(b) tampak limas segi empat beraturan dengan keempat sisi tegaknya berupa segitiga sama kaki dan alasnya berupa persegi. Gambar 6.17(c) adalah limas segilima yang tidak beraturan dengan sisi-sisi tegaknya berupa segitiga, dan alasnya berupa segilima yang tidak beraturan. Sedangkan Gambar 6.17(d) adalah limas segienam berarturan, keenam sisi tegaknya berupa segitiga sama kaki, dan alasnya berupa segi enam beraturan.



(a)



(b)



(c)



(d) Gambar 6.17



6.26



Pembelajaran Matematika SD 



Selanjutnya untuk menentukan luas daerah permukaan limas, tentunya harus kita jumlahkan luas daerah alasnya dengan luas daerah seluruh permukaan sisi-sisi tegaknya, sehingga luas permukaan limas tersebut merupakan luas daerah bidang-bidang sisi limas tersebut. Hal ini tentunya tergantung pada bentuk segi banyak yang menjadi alas dan sisi-sisi segitiga limas tersebut. Demikian pula kaitannya dengan jaring-jaring limas, maka luas permukaan limas sama saja dengan luas daerah rangkaian bangun jaringjaring limas tersebut. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan contoh berikut ini. Contoh 6.7 Diketahui limas segiempat beraturan dengan ukuran panjang rusuk-rusuk alasnya 10 cm. Ukuran panjang apotemanya 12 cm (apotema adalah tinggi segitiga sama kaki yang merupakan sisi tegak limas). Tentukan luas permukaan limas tersebut! Penyelesaian: Kita perhatikan kembali limas segiempat beraturan T. ABCD seperti ditunjukkan pada Gambar 6.18 dengan AB = BC = CD = AD = 10 cm, dan TE = 12 cm.



Gambar 6. 18



Luas daerah permukaan limas = luas daerah bidang-bidang sisi limas = luas alas + 4 luas sisi tegaknya







= 10 . 10  + 4 . 12 . 10 . 12 = 100 + 240 = 340 Jadi, luas permukaan limas tersebut adalah 340 cm2.







6.27



 PDGK4406/MODUL 6



B. LUAS PERMUKAAN KERUCUT Sekarang kita akan melakukan kegiatan pembelajaran untuk mendapatkan rumus luas daerah permukaan kerucut (luas daerah bidangbidang sisi kerucut). Untuk lebih jelasnya kita perhatikan Gambar 6.19. Gambar 6.19(a) memperlihatkan sebuah kerucut yang diiris (dipotong) sepanjang garis pelukis TA, sehingga sisi lengkung kerucut akan berbentuk juring lingkaran seperti tampak pada Gambar 6.19(b). Proses pembelajaran di sini dapat kita lakukan dengan bantuan kertas karton dan gunting untuk membuat kerucut dan jaring-jaringnya. Adapun alternatif kegiatannya dapat kita lakukan dengan meminta anak untuk membawa bekas makanan yang berbentuk kerucut dari karton atau membangun kerucut dari jaring-jaringnya. Dengan memotong kerucut sepanjang sisi tepi wadah sedemikian hingga permukaan tersebut mendatar seperti ditunjukkan pada Gambar 6.19. Kemudian lakukan diskusi untuk menyebutkan bangun-bangun yang merupakan rangkaian jaring-jaring kerucut tersebut, yaitu sebuah sisi lengkung yang berbentuk juring dan sebuah sisi yang berbentuk lingkaran.



Gambar 6.19



Selanjutnya untuk mencari luas daerah juring ditunjukkan sebagai berikut.



6.28



Pembelajaran Matematika SD 



busur ABA 2r r   keliling lingkaran berpusat T 2s s luas juring TABA r  luas lingkaran berpusat T s Jadi luas juring TABA =



r x s2 = rs. s



Jadi pada kerucut berlaku: Luas daerah permukaan kerucut = luas daerah bidang-bidang sisi kerucut = Luas bidang lengkung (selimut) + luas daerah sisi alas



= rs + r 2 = r (s + r) Perlu pula diketahui, sebagai prasyarat dalam proses pembelajaran luas permukaan kerucut ini adalah pengetahuan tentang rumus keliling lingkaran dan luas daerah lingkaran. Kedua konsep prasyarat langsung ini tentunya telah kita dapatkan dalam pembelajaran geometri bangun datar. Contoh 6.8 Diketahui sebuah kukusan berbentuk kerucut lingkaran tegak dengan diameter lingkaran alasnya 60 cm dan tingginya 40 cm. Hitunglah luas daerah: a. bidang lengkung kerucut; b. seluruh permukaan kerucut. Penyelesaian:



Gambar 6.20.



6.29



 PDGK4406/MODUL 6



Karena ukuran panjang diameter (AB) dari lingkaran alas 60 cm, maka ukuran jari-jarinya = r =



1 1 diameter = x 60 = 30 cm (AC = BC) 2 2



Dalam segitiga ACT berlaku teorema Pythagoras: Garis pelukis = s =



r 2  t 2  900  1600  50cm  TA = TB



a.



Luas daerah bidang lengkung kerucut = luas daerah selimut kerucut = luas daerah juring T.ABA = rs =  x 30 x 50 = 1500  cm2



b.



Luas daerah seluruh permukaan kerucut = luas daerah bidang-bidang sisi kerucut = luas daerah bidang lengkung + luas daerah bidang alas = r (s + r) =  x 30 (50 + 30) = 2400  cm2



C. LUAS PERMUKAAN BOLA Dalam kegiatan pembelajaran pemahaman luas daerah permukaan bola, rumusnya akan diperoleh dengan bantuan luas daerah tembereng bola dan luas daerah setengah bola. Oleh karena itu terlebih dahulu kita harus mengingat kembali pengertian tembereng bola. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan bangun ruang bola seperti tampak pada Gambar 6.21.



6.30



Pembelajaran Matematika SD 



(a)



(b) Gambar 6.21



Jika sebuah bola yang berpusat di titik M dengan ukuran jari-jari R dan kita tulis bola (M,R) (Gambar 6.21(b), dipotong oleh sebuah bidang menurut lingkaran yang berpusat di N dengan jari-jari r ditulis lingkaran (N, r), maka tiap-tiap bagian bangun bola itu disebut tembereng bola (Gambar 6.21(a)). Tembereng bola seperti di atas juga dapat terjadi dengan memutar busur lingkaran AC mengelilingi garis tengah AB (Gambar 6.21(a)). Jadi suatu tembereng bola dibatasi oleh sebagian dari suatu bola dan sebuah bidang lingkaran. Garis yang melalui pusat lingkaran ini dan tegaklurus padanya sampai pada titik potongnya dengan bagian bola tadi, adalah tinggi tembereng (AN dan BN). Karena luas tembereng bola = 2Rt, dengan R jari-jari bola dan t tinggi tembereng bola (buktinya tidak diberikan), maka luas setengah bola = 2R2 (tinggi tembereng bola = jari-jari bola atau t = R). Jadi, rumus untuk luas permukaan bola dengan jari-jari R adalah 4 R2 atau L = 4 R2. Proses pembelajaran di atas adalah salah satu alternatif diskusi dalam menemukan rumus luas daerah permukaan bola. Namun ada alternatif lain dari proses pembelajaran penemuan rumus luas permukaan bola. Alternatif ini dilakukan dengan menggunakan metode penemuan dan laboratorium dengan rincian kegiatan sebagai berikut. 1. Anak-anak dibagi menjadi beberapa kelompok dan setiap kelompok diberi sebuah bola atau buah yang berbentuk bola. Besar bola yang kita berikan pada setiap kelompok berbeda-beda.



6.31



 PDGK4406/MODUL 6



2.



Mintalah anak-anak membandingkan luas daerah permukaan bola dengan luas daerah lingkaran besarnya melalui beberapa kegiatan pembelajaran berikut: a. Mintalah mereka untuk membelah buah itu menjadi tepat dua bagian yang sama besarnya (Gambar 6.22(a)). b. Mintalah mereka mengukur luas daerah lingkaran besar itu dengan seutas tali halus tetapi padat (Gambar 6.22(b)). c. Kemudian mintalah mereka mengukur luas permukaan bola itu dengan cara melilit bola oleh benang yang sama atau sejenis (Gambar 6.22(c)). d. Mintalah mereka membandingkan antara panjang benang yang dipakai untuk melilit bola (Gambar 6.22(c)) dengan benang yang dipakai untuk melilit daerah lingkaran bola itu (Gambar 6.22(b)).



(a)



(b)



(c) Gambar 6.22



6.32



3.



4.



Pembelajaran Matematika SD 



Ternyata benang yang dipakai pada Gambar 6.22(c) panjangnya empat kali panjang benang yang dipakai pada Gambar 6.22(b). Karena panjang benang yang dipakai melilit pada Gambar 6.22(b) sama dengan luas daerah lingkaran jari-jari r, maka luas permukaan bola yang berjari-jari R adalah 4 × R2 = 4 R2 atau L = 4 R2. Selanjutnya diperiksa dan didiskusikan penemuan dari setiap kelompok yang diberi bola berbeda-beda panjang jari-jarinya dan ternyata penemuannya akan sama, yaitu luas permukaan bola sama dengan empat kali luas daerah lingkaran besarnya atau L = 4 R2.



D. VOLUME LIMAS Sekarang kita perhatikan Gambar 6.23 yang memperlihatkan sebuah kubus dengan ukuran panjang rusuknya a dalam kubus tersebut tampak ada enam limas yang mempunyai tinggi dan alas yang kongruen. Masing-masing limas beralaskan sisi kubus dan berpuncak pada titik potong diagonaldiagonal ruangnya.



(a)



(b) Gambar 6.23.



Dengan memperhatikan Gambar 6.23, kita akan mencoba membandingkan antara volume kubus dengan volume limas, yaitu sebagai berikut: Volume kubus = a × a × a



6.33



 PDGK4406/MODUL 6



Volume masing-masing limas



1 6 1 = 6 1 = 6 1 = 3 =



volume kubus



1 2 a ×a 6 1 a2 × 2t (sebab t = a) 2 1 a2t = luas alas × tinggi 3 a×a×a=



Secara umum dapat kita simpulkan bahwa untuk setiap limas berlaku 1 Volume limas = V = luas alas × tinggi. 3 Alternatif lain dari proses pembelajaran penemuan rumus volume limas dilakukan dengan metode laboratorium, yaitu sebagai berikut. 1. Kita siapkan prisma dan limas yang luas alas dan tingginya sama. 2. Isilah limas dengan air atau pasir hingga penuh, kemudian pindahkan ke dalam prisma, dan tentunya tidak akan penuh, bila ingin penuh kita harus mengulangi dua kali lagi, sehingga menjadi tiga kali. 3. Hal ini berarti volume prisma tiga kali volume limas, atau volume limas 1 volume prisma. Sedangkan volume prisma adalah luas alas kali 3 1 tinggi. Jadi, volume limas adalah luas alas × tinggi. 3 4. Ulangi beberapa limas dan prisma lain asalkan luas alas dan tingginya sama seperti ditunjukkan oleh Gambar 6.24.



buka alasnya



isi dengan air/pasir Gambar 6.24.



akan penuh diisi tiga kali



6.34



Pembelajaran Matematika SD 



E. VOLUME KERUCUT Suatu kerucut (Gambar 6.25) dapat dianggap sebagai limas dengan alas lingkaran, sehingga rumus volume limas juga berlaku untuk volume kerucut. Melalui penjelasan dalam proses pembelajaran seperti di atas, dengan mudah kita mendapatkan rumus volume kerucut, yaitu sebagai berikut: Volume kerucut = volume limas 1 = luas alas × tinggi 3 1 2 = r t (luas alas kerucut = luas lingkaran = r2). 3



Gambar 6.25.



Alternatif lain proses pembelajaran penemuan rumus volume kerucut dapat pula kita lakukan dengan melibatkan siswa secara aktif melalui metode penemuan dan metode laboratorium, yaitu sebagai berikut: 1. Kita siapkan beberapa pasang tabung (silinder) dengan kerucut yang mempunyai luas alas dan tinggi yang sama. 2. Ambillah sepasang tabung dan kerucut yang luas alas dan tingginya sama tersebut. Kemudian isilah kerucut dengan air/pasir hingga penuh, lalu pindahkan ke dalam tabung. Akan tampak bahwa untuk dapat memenuhi isi tabung diperlukan tiga kali isi kerucut. Lakukan kegiatan ini untuk pasangan-pasangan lainnya (Gambar 6.26).



6.35



 PDGK4406/MODUL 6



3.



Dari proses penemuan secara laboratorium seperti di atas, akan diperoleh suatu kesimpulan bahwa: 1 Volume kerucut = volume tabung. 3 Karena volume tabung dengan jari-jari r dan tinggi t adalah r2t, berarti: 1 Volume kerucut = r2t. 3



buka alasnya



isi dengan air/pasir



akan penuh diisi tiga kali



Gambar 6.26.



Contoh 6.9 Tentukanlah volume sebuah kukusan yang berbentuk kerucut dengan diameter 40 cm dan tinggi 27 cm. Penyelesaian: Volume kerucut = V 2



=



1 2 1  40  r t =    27 = 3600 cm3 3 3  2 



F. VOLUME BOLA Sebagaimana telah diketahui dalam proses pembelajaran modul sebelumnya, bahwa bola adalah salah satu bangun ruang yang pembatasnya merupakan bidang lengkung (Modul 5). Sedangkan proses pembelajaran pemahaman luas daerah permukaan bola (sebagai prasyarat) baru saja kita



6.36



Pembelajaran Matematika SD 



lalui, dan pada kesempatan sekarang ini kita akan mendiskusikan berbagai alternatif pembelajaran penemuan rumus volume bola. Alternatif kegiatan pembelajaran yang pertama adalah bagi kita sebagai guru yang tentunya harus mempunyai kemampuan lebih daripada siswa. Namun untuk siswa di kelas-kelas tertentu dapat saja alternatif pembelajaran berikut kita cobakan disesuaikan dengan kondisi kemampuan para siswanya. Untuk dapat menunjukkan volume bola dengan jari-jari tertentu, maka terlebih dahulu harus memperhatikan volume juring bola. Juring bola ialah benda yang terdiri atas sebuah tembereng bola dan sebuah kerucut yang lingkaran alasnya bersekutu, sedangkan puncak kerucut berimpit dengan pusat bola (Gambar 6.27). Juring bola semacam itu juga dapat terjadi dengan cara memutar juring lingkaran MAE mengelilingi MA (lihat Gambar 6.27).



Gambar 6.27.



Gambar 6.28.



Jika R adalah jari-jari bola dan t adalah tinggi tembereng, maka volume juring bola atau V = 2/3 R2t. Untuk memperlihatkan kebenaran rumus volume juring bola ini, kita perhatikan Gambar 6.28. Pada gambar ini tampak permukaan tembereng dibagi menjadi bagian-bagian yang banyak sekali jumlahnya, yaitu menjadi bagian-bagian yang bentuknya kecil, maka tiap-tiap bagian dapat dianggap sebagai limas dengan puncak di M dengan alasnya datar. Jadi volume juring sama dengan jumlah volume limas-limas tersebut (L = luas alas limas-limas kecil yang dianggap datar).



6.37



 PDGK4406/MODUL 6



Volume juring = = = = =



1 3 1 3 1 3 1 3 2 3



R L1 +



1 1 1 RL2 + RL3 + ... + RLn  n  . 3 3 3



R  L1 + L 2 + L3 + ... R . Luas tembereng R . 2 Rt (t = tinggi tembereng) R 2 t.



Jika tinggi tembereng adalah R seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.28 maka juring bola itu menjadi setengah bola, sehingga kita dapatkan rumus volume juring bola.



Volume juring bola = V = volume setengah bola =



2 R 3 3



Jadi, volume bola dengan jari-jari R adalah dua kali volume juring dengan tinggi R atau dua kali volume setengah bola dengan jari-jari R, yaitu:



Volume bola = V 2 4 = 2  R 3 = R 3 3 3 Alternatif lain proses pembelajaran penemuan rumus volume bola untuk para siswa di jenjang pendidikan dasar dapat kita lakukan dengan metode penemuan dan metode laboratorium. Kegiatannya dapat dilakukan melalui diskusi kelompok atau diskusi kelas dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Perlihatkan sebuah bola M dengan jari-jari R seperti ditunjukkan pada Gambar 6.29(a). 2. Mintalah siswa untuk mengisi bola M dengan air/pasir sampai benarbenar penuh.



6.38



3.



Pembelajaran Matematika SD 



Perlihatkanlah sebuah tabung tanpa tutup dengan jari-jari lingkaran alas dan atasnya sama dengan jari-jari bola (R) dan tingginya sama dengan diameter bola (t = 2R atau R = ½ t) seperti ditunjukkan dengan Gambar 6.29(b).



Gambar 6.29



4. 5.



6.



7.



Mintalah anak menuangkan pasir/air dari bola ke dalam tabung. Kemudian lakukan diskusi dari beberapa pertanyaan yang kita ajukan seperti berikut: a. Apakah tabung terisi penuh dengan pasir/air dari bola M? b. Berapa bagian tabung yang terisi pasir/air yang berasal dari bola M? c. Berapa volume tabung yang jari-jari lingkaran alasnya R dan tingginya t? d. Apa yang dapat kita simpulkan dari volume bola hubungannya dengan volume tabung? Dari hasil diskusi, diharapkan siswa dapat menyimpulkan bahwa pasir/air yang berasal dari bila M hanya dapat memenuhi 23 dari tabung tersebut. Karena dalam kegiatan belajar yang telah lalu volume tabung adalah R2t, sedangkan tinggi tabung diketahui 2R, maka volume tabung menjadi R2 x 2R = 2R3. Dari hasil diskusi tersebut jelaslah bahwa hubungan antara volume bola dengan volume tabung mengakibatkan kita dapat menemukan volume bola M dengan jari-jari R, yaitu:



6.39



 PDGK4406/MODUL 6



Volume bola = V 2 volume tabung 3 2 =  2R 3 3 4 = R 3 . 3 =



Alternatif lain yang dapat kita lakukan dalam proses pembelajaran pemahaman rumus volume bola untuk siswa pendidikan dasar, dapat dilakukan dengan metode penemuan dan laboratorium sebagai berikut: 1) Ambil sebuah bangun ruang merupakan setengah bola (sebuah bola yang sudah dipotong menjadi dua bagian yang sama besar) (Gambar 6.30(a)). Kemudian buatlah sebuah kerucut yang alas dan tingginya sama dengan alas dan tinggi setengah bola itu (Gambar 6.30(b)).



(a)



(b)



(c)



Gambar 6.30.



2) Isilah kerucut dengan air/pasir sampai penuh (rata). Kemudian tumpahkan isinya ke dalam setengah bola (Gambar 6.30(c)). Berapa kali isi kerucut yang diperlukan untuk memenuhi setengah bola itu? Apakah kesimpulan kita tentang setengah bola? (Ingat rumus volume kerucut). Selamat berdiskusi untuk mencobanya. Contoh 6.10 Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung sehingga menyinggung tabung pada sisi alas dan atas dan sisi lengkung tabung (Gambar 6.31). Hitunglah perbandingan antara volume bola dan tabung.



6.40



Pembelajaran Matematika SD 



Penyelesaian:



Gambar 6.31.



Misalkan jari-jari bola R, maka jari-jari lingkaran alas tabung adalah R juga, dan tinggi tabung haruslah 2R (Gambar 6.31). Menurut rumus volume 4 bola V = r3 dan volume tabung = luas alas x tinggi = r2 x 2r = 2r3 3 (t = 2r). 4 2 Volume bola: volume tabung = r3: 2r3 = : 1. 3 3 2 Jadi, perbandingan antara volume bola dengan volume tabung adalah 3 2 berbanding 1, dengan kata lain volume bola adalah dari volume tabung. 3 Selanjutnya untuk memantapkan pemahaman Anda tentang materi pembelajaran di atas, cobalah Anda kerjakan soal-soal Latihan berikut ini.



 PDGK4406/MODUL 6



6.41



1) Suatu kerucut terbuat dari selembar seng yang berbentuk setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Tentukanlah: a. Jari-jari lingkaran alas kerucut b. Luas permukaan kerucut. 2) Tentukan volume kerucut pada soal nomor 1 di atas. 3) Diketahui limas segiempat beraturan dengan ukuran panjang rusuk alas 6 cm dan ukuran panjang apotema pada salah satu bidang tegaknya 5 cm. Tentukan luas permukaan limas tersebut. 4) Tentukan volume limas pada soal nomor 2 di atas. 5) Diketahui sebuah bola dengan titik pusat M dan berdiameter 20 cm. Bola tersebut dipotong oleh sebuah bidang V berjarak 6 cm dari titik pusat M. Hitunglah: a. Luas permukaan bola tersebut. b. Volume juring yang terjadi. c. Volume bola tersebut Setelah Anda mencoba mengerjakan soal-soal Latihan di atas, bandingkanlah jawabannya dengan petunjuk jawaban berikut. 1) a.



Perhatikan sebuah seng yang berbentuk setengah lingkaran dengan pusat di titik T dan jari-jarinya R (Gambar 6.32(a)). Hal ini berarti 1 ukuran panjang garis pelukis kerucut: TA = s = R = diameter = 2 1 × 28 = 14 cm. 2 Misal jari-jari lingkaran alas kerucut adalah r, sehingga ukuran busur ABA = 2  r …. (I) 1 Busur ABA = keliling lingkaran (T, R) 2



6.42



Pembelajaran Matematika SD 



1 × 2  r =  r = 14  2 Dari (I) dan (II): 2  r 14  atau R = 7 cm. Jadi, jari-jari lingkaran alas kerucut adalah 7 cm. =



(a)



…. (II)



(b) Gambar 6.32.



Luas permukaan kerucut =  r (s + r) =  × 7 (14 + 7) = 147  cm2 atau, luas permukaan kerucut = luas bidang lengkung + luas alas 1 =  r2 +  r2 2 1 =  × 196 + 49  = 147  cm2 2 2) Perhatikan segitiga TAC (Gambar 6.32(b)): TC2 = TA2 – AC2 atau t2 = s2 – r2 = 142 – 72 atau t = 147 1 1 49 Volume kerucut =  r2 t =  × 49 × 147 = 147  cm3. 3 3 3 b.



3) Perhatikan limas segiempat beraturan T. ABCD (Gambar 6.33). Karena AB = BC = CD = AD = 6 cm (diketahui), maka luas alas = luas segiempat ABCD = 36 cm2. 1 1 Luas sisi tegak = luas segitiga ABC = TP × BC = × 5 × 6 = 15 cm2 2 2



6.43



 PDGK4406/MODUL 6



Gambar 6. 33



Luas daerah permukaan limas = luas daerah bidang-bidang sisi limas = luas alas + 4 luas daerah sisi segitiga = 36 + 4 x 15 = 96 cm2



1 1 AB = x 6 = 3 cm. 2 2 Segitiga TPO siku-siku di O: TO2 = TP2 – PO2 = 25 – 9 = 16 TO = tinggi limas = t = 4 cm 1 1 Volume limas = t x luas alas = x 4 x 36 = 48 cm3. 3 3



4) PO =



5) a.



b.



Luas permukaan bola dengan jari-jari R = 4π r2 = 4 π x 102 1 = 400 cm2. 2 Dari Gambar 6.34 tampak bahwa R = MB = MC + ME



1 diameter 2 1 = x 20 cm = 10 cm 2 Tinggi tembereng = t = AE = ME – MA = R – 6 = 10 – 6 = 4 cm. =



6.44



Pembelajaran Matematika SD 



Volume juring bola =



2 2  r2 t =  x 102 x 4 = 266,67 cm3. 3 3



Gambar 6.34.



c.



Volume bola =



4 4  r3 =  × 103 = 1333,33 cm3. 3 3



Selanjutnya buatlah rangkuman dari uraian materi dalam Kegiatan Belajar 2 di atas, kemudian bandingkanlah dengan alternative rangkuman berikut.



1.



Luas daerah suatu permukaan bangun ruang merupakan luas daerah bidang-bidang sisi bangun ruang tersebut. a. Luas permukaan limas = luas daerah alas + luas daerah seluruh permukaan sisi tegaknya. b. Luas permukaan kerucut = luas daerah bidang lengkung + luas daerah alas. c. Luas permukaan bola = 4  R2 ( R = jari-jari bola) 2. Volume suatu bangun ruang adalah “besarnya” bangun ruang tersebut. 1 a. Volume limas = luas alas × tinggi. 2



 PDGK4406/MODUL 6



b.



c.



1 1 × luas alas × tinggi =  R2 t 3 3 jari lingkaran alas, t = tinggi kerucut). 4 Volume bola =  R3 (R = jari-jari bola). 3 Volume kerucut =



6.45



(R = jari-



Untuk mengetahui tingkat pemahaman Anda tentang Kegiatan Belajar 2 di atas, cobalah kerjakan dengan sebaik-baiknya soal-soal berikut sebagai evaluasi formatifnya.



1) Yang bukan merupakan konsep prasyarat luas permukaan limas dengan menggunakan media yang sesuai adalah …. A. segibanyak B. jaring-jaring C. luas polygon D. busur lingkaran 2) Media berupa bola dan setengah bola yang dipergunakan untuk membantu menjelaskan konsep luas permukaan bola dan perlu pula dibantu oleh media lain berupa …. A. air atau minyak B. air atau pasir C. tali halus yang padat D. batu kerikil 3) Bangun ruang yang dapat dipakai untuk menjelaskan konsep volume limas dengan menggunakan media yang sesuai adalah …. A. tabung B. prisma C. bola D. kerucut



6.46



Pembelajaran Matematika SD 



4) Bangun ruang yang dapat dipakai untuk menjelaskan konsep volume kerucut dengan menggunakan media yang sesuai …. A. tabung B. bola C. balok D. limas 5) Pasangan bangun ruang yang dapat digunakan sebagai media yang sesuai untuk menjelaskan konsep volume suatu bola adalah …. A. limas dan bola B. tabung dan kerucut C. bola dan tabung D. limas dan kerucut 6) Jika berat satu cm3 besi = 7,5 gram, berapakah berat 1000 bola besi yang masing-masing diameternya 0,4 cm adalah …. A. 2,25 gram B. 22,5 gram C. 225 gram D. 2250 gram 7) Suatu limas berada dalam suatu kubus seperti tampak pada Gambar 6.35. Bila ukuran panjang rusuk kubus 9 cm, maka volume kubus di luar limas adalah …. A. 486 cm3 B. 684 cm3 C. 729 cm3 D. 972 cm3



6.47



 PDGK4406/MODUL 6



Gambar 6.35.



8) Bangun berikut terdiri atas kerucut dan tabung (Gambar 6.36), jari-jari lingkaran alas 3,5 cm, tinggi tabung = tinggi kerucut = 9 cm dan π 22 dianggap , maka volume benda tersebut adalah …. 7



Gambar 6.36.



A. B. C. D.



2



115,5 cm 346,5 cm2 393 cm2 462 cm2



6.48



Pembelajaran Matematika SD 



9) Luas sebuah permukaan kerucut dengan jari-jari lingkaran alasnya 10 cm dan ukuran panjang garis pelukisnya 15 cm adalah …. A. 100 π cm2 B. 125 π cm2 C. 150 π cm2 D. 250 π cm2 10) Perbandingan luas daerah permukaan bak yang panjang diameternya 22 berbanding sebagai 4 dan 8 dengan π = adalah …. 7 A. 1: 3 B. 1: 2 C. 1: 5 D. 1: 4 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



6.49



 PDGK4406/MODUL 6



Tes Formatif 1 1) B Luas daerah permukaan bola



2)



A



= 2 (p × l + p × t + l × t) cm2 = 2 (8 × 6 + 8 × 5 + 6 × 5) cm2 = 236 cm2 Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan pada kubus atau balok yang jumlahnya ada empat diagonal ruang. Misal kubusnya ABCDEFGH dengan rusuknya a cm (Gambar 6.37). Salah satu diagonal ruangnya adalah CE.



Gambar 6.37.



3)



C



4)



C



CE2 = AC2 + AE2 = AB2 + BC2 + AE2 = 3 a2. CE = a 3 = 12 atau a = 4 3 cm. Luas daerah permukaan kubus = luas daerah bidang-bidang sisi kubus = 6 (4 3 × 4 3 ) cm2 = 288 cm2. Bak kamar mandi tersebut berbentuk balok, dan volume balok sama dengan p × l × t = 1,5 × 1,2 × 0,8 = 1,44 m3 = 1440 dm3 = 1440 liter. Misal diagonal ruang suatu kubus dinyatakan dengan d dan jumlahnya ada empat (lihat soal nomor 2 di atas. Sehingga kita dapatkan 4d = 32 3 atau d = 8 3 cm



…. (1).



6.50



5)



Pembelajaran Matematika SD 



B



6)



D



7)



D



8)



C



9)



A



10) C



Perhatikan lagi kubus ABCDEFGH dengan rusuk A seperti pada soal nomor 2 di atas, maka CE2 = d = a 3 cm …. (2). Dari (1) dan (2) kita dapatkan a = 8, sehingga volume kubus tersebut = 8 × 8 × 8 = 512 cm3. Misal rusuk kubus tersebut adalah a, maka volume kubus a 3 = 100 atau a 3 100 . Jadi, luas permukaan kubus sama dengan 6 × a2 = 6 × 3 100 × 3 100 = 60 3 10 cm2. Gambar tersebut terdiri dari dua bangun ruang yang telah kita kenal, yaitu balok ABCDEFGH dan prisma segitiga EFIGHJ. Volume balok = p × l × t = 8 × 5 × 10 = 400 cm2. Volume prisma = luas alas × tinggi = 100 cm3. Jadi, volume bangunan rumah tersebut adalah 500 cm3 Luas alas tabung π R2 = 15.400 cm2. Volume tabung = luas alas × tinggi 7700 liter = 15.400 t. 7.700.000 cm3 = 15.400 t cm2 Jadi, t = 500 cm. Peragaan benda konkret melalui pengisian kubus satuan terhadap balok merupakan proses pembelajaran pemahaman konsep volume balok. Supaya bisa dibuat jari-jarinya, maka tabung tersebut haruslah terbuat dari karton. Volume kubus = 7 × 7 × 7 = 343 cm3. Volume tabung = 269,5 cm3. Volume benda tersebut = 343 – 269,5 = 73,5 cm3.



Tes Formatif 2 1) D Konsep segibanyak sangat diperlukan dalam menjelaskan konsep permukaan limas, sebab permukaan limas terdiri dari beberapa segibanyak. Demikian pula luas polygon dan jaring-jaring, sebab luas permukaan limas pada dasarnya luas serangkaian bangunbangun polygon yang merupakan jaring-jaring dari limas tersebut. 2) C Tali halus yang padat dapat dipergunakan sebagai alat untuk melilit bola dan menutupi daerah lingkaran setengah bola,



 PDGK4406/MODUL 6



3)



B



4)



A



5)



C



6)



C



7)



A



8)



D



9)



D



10) D



6.51



sehingga akan didapat hubungan antara luas lingkaran dengan luas permukaan bola. Dengan bantuan rumus volume prisma akan didapatkan rumus volume limas, yaitu dengan menggunakan air atau pasir yang berasal dari limas diisikan ke dalam prisma (limas dan prisma dengan luas alas dan tinggi yang sama). Dengan membuat beberapa pasang kerucut dan tabung yang mempunyai luas alas dan tinggi yang sama dan diisi dengan air atau pasir, maka akan didapat hubungan bahwa volume kerucut 1 sama dengan volume tabung. 3 Dengan bantuan volume tabung dapat dijelaskan volume bola, yaitu dengan cara membuat bola berjari-jari R dan tabung tingginya 2R dengan jari-jari lingkaran alasnya R (perhatikan Gambar 6.29). 1 Jari-jari bola besi = R = × diameter = 0,2 cm. 2 4 Volume bola =  R3 = 0,03 cm3. 3 Berat sebuah bola = 0.03 × 7,5 = 0,225 gram. Berat 1000 buah bola besi = 1000 x 0,225 = 225 gram. Volume kubus = 9 × 9 × 9 = 729 cm3. 1 Volume limas = × 9 × 9 × 9 = 243 cm3. 3 Jadi, volume kubus di luar limas = 729 – 243 = 486 cm3. Silakan Anda hitung, bahwa volume kerucut = 115,5 cm3, volume tabung = 346,5 cm3, sehingga volume benda tersebut = 115,5 + 346,5 = 462 cm3. Luas permukaan kerucut = π r (s + r) = π × 10 (15 + 10) = 250 π cm2. 352 Silakan Anda hitung luas permukaan bola I = dan luas 7 1408 permukaan bola II = , sehingga LI: LII = 1: 4. 7



6.52



Pembelajaran Matematika SD 



Glosarium Apotema



:



Bangun datar



:



Congruent



:



Cubic



:



Diameter Hypotenusa Pi (π)



: : :



Plastisin



:



Radius Surface



: :



Tembereng



:



Volume



:



yaitu garis-garis pelukis dalam suatu kerucut yang sama panjangnya dan dihitung dari puncak sampai dengan titik potongnya dengan lingkaran alas. yaitu bangun-bangun geometri yang berdimensi dua seperti segitiga, persegi, belah ketupat, trapezium, dan sebagainya. kongruen atau sama dan sebangun yaitu dua bangun geometri yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. kubik yaitu satuan yang dipergunakan untuk ukuran volume suatu bangun ruang. yaitu garis tengah suatu lingkaran atau suatu bola. hipotenusa yaitu sisi miring suatu segitiga siku-siku yaitu suatu bilangan tetap yang merupakan nilai perbandingan antar keliling lingkaran dengan garis tengah 22 yang nilainya mendekati atau 3,14. 7 sejenis malam yaitu zat sejenis lilin yang elastis dan mudah dibentuk untuk peragaan model-model bangun ruang. yaitu jari-jari dari suatu lingkaran atau bola. permukaan suatu bangun ruang adalah daerah bidangbidang sisi bangun ruang tersebut. tembereng bola adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh sebagian dari permukaan suatu bola dan sebuah bidang lingkaran yang terletak pada bola. isi yaitu suatu ukuran yang menyatakan besar suatu bangun ruang.



6.53



 PDGK4406/MODUL 6



Daftar Pustaka Burdah. N. (1988/1989). Matematika (Geometri). Bandung: Balai Penataran Guru Tertulis Depdikbud. Cholis Sa’dijah. (1998/1999). Pendidikan Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.



Matematika



Djoko Iswadji, dkk. (1995/1996). Geometri Ruang. Jakarta: Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Depdikbud.



II.



Jakarta:



Direktorat



E. T. Ruseffendi. (1980). Pengajaran Matematika Modern untuk Murid Guru dan SPG Seri Kelima. Bandung: Tarsito. Karso. (2000). Geometri Ruang. Bandung: Institut Agama Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung. _____. (2001). Geometri. Bandung: Institut Agama Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung. Leonard M. Kennedy. (1984). Guiding Children’s Learning of Mathematics. Belmont, California: Wadsworth Publishing Company A Division of Wadsworth Company. N.V. Efimov (1980). Higher Geometry. Moskow: Mir Publisher. P. Moelenbroek (1949). Leeboek Der Sterometrie, Groningen-Batavia: P. Noordhoff N.V. R. Rawuh, Gouw Keyhong, Tan Boen Tat. (1971). Ilmu Ukur Ruang. Bandung: Tarate. Siskandar, Mohamad Rahmat. (1990). Pendidikan Matematika I. Jakarta: Universitas Terbuka. Soewito, dkk. (1991/1992). Pendidikan Matematika I, Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.



Modul 7



Sistem Koordinat Dra. Endang Wahyuningrum, M.Si.



PE N DA H UL U AN



R



ené Des Cartes, yang lahir di La Haye Perancis pada tahun 1596, memperkenalkan suatu alat dalam konsep aljabar yang sangat membantu (a powerful toolalgebra) menyederhanakan dan memperkaya geometri. Konsep dasar dari ide Des Cartes ini adalah menentukan posisi suatu titik pada bidang datar. Posisi titik pada suatu bidang datar ditentukan oleh arah vertikal dan horizontal dengan titik pusatnya adalah titik O yang disebut titik asal. Sebagai petunjuk arah horizontal digunakan sumbu–x dengan x positif untuk arah ke kanan dan x negatif untuk arah ke kiri. Sedangkan arah vertikal digunakan sumbu-y dengan y positif untuk arah ke atas dan y negatif untuk arah ke bawah. Posisi setiap titik ditandai dengan pasangan dua bilangan yang merupakan pasangan posisi x dan y yaitu (x, y) dan disebut koordinat. Sistem yang menentukan posisi titik pada bidang datar ini disebut sistem koordinat. Sebagai bentuk penghargaan kepada René Descartes maka sistem koordinat ini dinamakan sistem koordinat kartesius (Cartesian Coordinate System) dan bidang datarnya disebut bidang kartesius (Cartesian Plane). Dengan mempelajari Modul 7 ini, Anda memperoleh pengetahuan tentang beberapa konsep yang terkait dengan sistem koordinat yaitu sistem bilangan real, koordinat kartesius, koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesius, jarak, penerapan koordinat dalam masalah sehari-hari,



7.2



Pembelajaran Matematika SD 



persamaan linear (persamaan garis lurus), gradien garis dan penyelesaian pertidaksamaan linear. Setelah mempelajari modul ini, secara umum, Anda diharapkan dapat menggunakan sistem koordinat dan konsep lainnya yang terkait untuk menyelesaikan masalah. Secara khusus, Anda diharapkan dapat: 1. menentukan koordinat kartesius suatu titik pada bidang; 2. menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat kartesius; 3. menentukan koordinat kutub suatu titik; 4. menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat kutub; 5. mengubah koordinat kartesius dari suatu koordinat kutub atau sebaliknya; 6. menentukan persamaan lingkaran; 7. menentukan persamaan garis; 8. menentukan kemiringan suatu garis yang diketahui persamaannya; 9. menentukan daerah selesaian dari suatu pertidaksamaan linear. Sajian materi modul ini dibagi dalam dua kegiatan belajar, yaitu: Kegiatan Belajar 1: Sistem Bilangan Real dan Koordinat, mencakup sistem bilangan real, koordinat kartesius, koordinat kutub dan hubungannya dengan koordinat kartesius, jarak, penerapan koordinat dalam masalah sehari-hari. Kegiatan Belajar 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Liniear, mencakup persamaan linear (persamaan garis lurus), gradien garis dan penyelesaian pertidaksamaan linear. Agar Anda dapat memahami modul ini dengan baik, sebaiknya Anda bekerja sama dalam kelompok belajar untuk mendiskusikan dan menyelesaikan kesulitan yang Anda hadapi ketika mempelajari modul. Mulailah dengan membaca dan mencoba memahami penjelasan dalam modul disertai dengan catatan-catatan yang Anda anggap perlu. Kerjakan setiap contoh soal dan latihan, dan melihat penyelesaiannya kemudian setelah Anda selesai mengerjakan. Demikian juga ketika Anda mengerjakan soal tes formatif. Jika hasil yang Anda peroleh masih salah, pahami kembali teorinya dan kerjakan kembali soalnya hingga Anda tidak menemukan kesalahan. Selamat belajar, semoga Anda berhasil!



7.3



 PDGK4406/MODUL 7



Kegiatan Belajar 1



Sistem Bilangan Real dan Koordinat A. SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan diawali oleh kebutuhan manusia untuk menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari misalnya untuk mengetahui banyaknya ternak/benda yang dimiliki. Bilangan yang pertama kali digunakan oleh manusia adalah bilangan asli. Bilangan asli yang digunakan menunjukkan banyaknya ternak/benda yang dimiliki manusia. Bilangan 9 berarti banyaknya ternak yang dimiliki sembilan, dan seterusnya. Himpunan bilangan asli, dalam bahasa Inggris disebut Natural Numbers dan dilambangkan N. Himpunan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4,.... . Sejalan dengan permasalahan yang dihadapi manusia, kebutuhan manusia akan bilangan meningkat. Ketika, misalnya, kepemilikan terhadap suatu ternak/benda tidak ada yaitu mungkin karena hilang atau mati hingga tidak ada satupun ternak/benda yang dimiliki, maka manusia membutuhkan bilangan yang menyatakan “kosong”. Bilangan yang digunakan untuk menyatakan kosong adalah bilangan nol. Himpunan bilangan asli telah berkembang menjadi himpunan bilangan cacah dengan termuatnya bilangan nol ke dalam bilangan asli. Bilangan cacah dilambangkan W, berasal dari bahasa Inggris yaitu “Whole Numbers”. Himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan cacah N  W . Kepemilikan manusia terhadap ternak/benda tidak hanya habis, bisa saja berkurang. Misalnya yang tadinya memiliki ternak sebanyak 20 ekor, akan tetapi kemudian berkurang 5 disebabkan karena mati dimakan predator. Keadaan ini menginspirasikan pada manusia akan kebutuhan suatu bilangan yang menandai makna berkurang (ternaknya berkurang 5), maka manusia menambahkan pada himpunan bilangan cacah suatu bilangan negatif dari bilangan asli. Dengan bertambahnya bilangan negatif dari bilangan asli pada bilangan cacah munculah bilangan bulat. Bilangan bulat dilambangkan J dan dalam bahasa Inggris disebut “Integers”. Himpunan bilangan bulat adalah , 3, 2, 1,0,1, 2,3, . Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat W  J .



7.4



Pembelajaran Matematika SD 



Kemampuan manusia dalam menyelesaikan permasalahan sehari-hari, secara bertahap, makin memperkaya sistem bilangan. Sebagai contoh, Bapak Robert memiliki satu bilah kayu, lalu kayu tersebut di potong menjadi 8 yaitu menjadi 8 potongan kayu, dan 5 potongan kayu tersebut diberikan pada sahabatnya. Ketika Pak Robert ingin menyatakan sebagian dari kayunya yang diberikan pada sahabat dalam suatu bilangan, himpunan bilangan bulat tidak dapat lagi memenuhi kebutuhannya. Pak Robert membutuhkan bilangan yang 5 menyatakan makna 5 bagian dari 8 yaitu . Berdasarkan kebutuhan tersebut, 8 himpunan bilangan cacah telah berkembang menjadi himpunan bilangan rasional yaitu dengan termuatnya bilangan pecahan ke dalam himpunan bilangan bulat. Bilangan rasional dilambangkan Q dan dalam bahasa Inggris disebut “Rational Numbers”. Himpunan bilangan rasional adalah a  Q   | a, b  J, b  0  . Penyebut dari bilangan rasional tidak boleh sama b   5 dengan nol, karena setiap bilangan jika dibagi oleh nol misalnya tidak 0 memberikan arti. 5 Perhatikan: misalnya = c sehingga 5 = c 0 0 terlihat bahwa tidak ada nilai c yang jika dikalikan dengan nol akan menghasilkan 5. Hal ini dikarenakan setiap bilangan real jika dikalikan dengan nol hasilnya adalah nol tidak pernah 5. Jadi berapa pun bilangan yang menggantikan c jika dikalikan nol hasilnya nol dan tidak pernah 5. 0 Sedangkan nilainya tidak pasti. 0 Perhatikan: Misalnya



a 0  c , untuk a = 0 dan b = 0 sehingga c. b 0



a  c dapat diubah bentuknya menjadi a = bc. b Kita ganti c dengan suatu bilangan real. Bentuk



 PDGK4406/MODUL 7



7.5



Contoh: 0  5 dapat diubah menjadi 0 = 5  0 dan hasilnya benar 0 = 0. 0 0  7 dapat diubah menjadi 0 = (-7)  0 dan hasilnya benar 0 = 0. 0 0 Jadi jika  c , maka berapa pun bilangan real yang menggantikan c 0 akan memberikan hasil yang selalu benar, yaitu nol. 0 Dengan demikian nilainya tidak pasti. 0 Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional J  Q , karena bilangan bulat dapat dinyatakan ke dalam 4 8 atau 4  bentuk bilangan rasional, misalnya 4  dan seterusnya. 1 2 Himpunan pecahan desimal terbatas, juga himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional karena pecahan desimal terbatas dapat 124 dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional, misalnya 1, 24  atau 100 1240 dan seterusnya. 1, 24  1000 Himpunan pecahan desimal berulang tak terbatas juga merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional karena pecahan ini dapat 2 juga dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional, misalnya 0, 666666...  . 3 Himpunan bilangan campuran, yaitu campuran antara bilangan bulat dan pecahan juga merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional, karena bilangan campuran dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional, 1 7 misalnya 2   , selain itu 9 juga merupakan bilangan rasional 3 3 karena 9 = 3. Setelah himpunan bilangan rasional terbentuk, muncul permasalahan baru yang solusinya tidak dapat diakomodasi oleh himpunan bilangan rasional. Sebagai contoh, Pak Robert tidak dapat memanjat dan ingin mengambil anak kucing yang berada di atap rumah dengan ketinggian 4 meter dari tanah. Pak Robert ingin membuat tangga, yang apabila disandarkan ke dinding rumah hingga dekat dengan posisi anak kucing, kaki



7.6



Pembelajaran Matematika SD 



tangganya berjarak 2 meter dari dinding rumah. Himpunan bilangan rasional tidak dapat digunakan untuk menyatakan ukuran dari panjang tangga yang dibutuhkan Pak Robert, yaitu:



Gambar 7.1. Ukuran Panjang Berbentuk Irrasional.



Dengan rumus Pythagoras di peroleh bilangan yang melambangkan ukuran panjang tangga yang diinginkan Pak Robert yaitu 2 5 meter, yang diperoleh dari



42  22  16  4  20  4  5  2 5 Himpunan bilangan bentuk akar ini disebut himpunan bilangan irrasional. 3 Yang termasuk bilangan irrasional adalah 7, 11 ,  (phi) = 3,141592654... , sedangkan 9 bukan bilangan irrasional karena



9 = 3. Pecahan desimal yang tidak berulang dan tidak terbatas juga merupakan bilangan irrasional. Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan bilangan real, yang dilambangkan dengan R. Himpunan bilangan irrasional dilambangkan dengan H, yaitu H = x | x  R, x  Q . Hubungan antara himpunan bilangan asli, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irrasional, himpunan bilangan real dapat dinyatakan dalam diagram venn berikut.



 PDGK4406/MODUL 7



7.7



Gambar 7.2. Diagram Venn Sistem Bilangan.



Karena Q  H  R dan Q  H   maka setiap bilangan real adalah bilangan rasional atau bilangan irrasional. Semua bilangan real dapat diwakili oleh titik pada garis bilangan. Bilangan real memiliki sifat terurut. Untuk menunjukkan posisi suatu titik pada garis bilangan digunakan bilangan real. Posisi suatu titik pada garis bilangan ditunjukkan dengan koordinat. Sistem koordinat pada garis bilangan pada dimensi satu adalah sistem koordinat yang paling sederhana. Titik pusat garis bilangan adalah O dan ditunjukkan dengan lambang bilangan nol. Garis bilangan dapat disajikan secara horizontal dan vertikal. Jika garis bilangan dibuat secara horizontal, maka bilangan positif berada di sebelah kanan dari O dan bilangan negatif berada di sebelah kiri dari O. Sementara, jika garis bilangan dibuat secara vertikal, maka bilangan positif berada di sebelah atas dari O sedangkan bilangan negatif berada di sebelah bawah dari O. Jadi himpunan bilangan real dapat dinyatakan sebagai garis bilangan, yaitu:



7.8



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 7.3. Garis Bilangan Real Vertikal



Gambar 7.4. Garis Bilangan Real Horizontal



3 satuan ke kiri dari titik 5 3 pusat dan ditunjukkan dengan lambang bilangan real yaitu 1 . Posisi titik 5 T ' merupakan proyeksi T terhadap garis bilangan, panjang Pada Gambar 7.4. posisi titik P berjarak 1



OT  12  12  2 . Dengan demikian letak titik T berjarak 2 satuan ke kanan dari titik pusat O. Berikut ini contoh perbedaan letak titik koordinat pada garis bilangan vertikal dan horizontal berdasarkan jarak dan arahnya terhadap O (pusat koordinat garis). Titik koordinat pada garis 3 -10



Letak titik pada garis bilangan Horizontal Vertikal 3 satuan di sebelah kanan O 3 satuan di sebelah atas O 10 satuan di sebelah kiri O 10 satuan di sebelah bawah O



Bentuk Desimal suatu Bilangan Real Himpunan bilangan real adalah gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional. Semua bilangan real dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Berikut ini penjelasan dan contoh dari bentuk desimal suatu bilangan real.



7.9



 PDGK4406/MODUL 7



Bentuk Desimal dari Bilangan Rasional



a , dengan b a, b  himpunan bilangan bulat dan b  0. Bentuk desimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian terhadap pembilang oleh penyebut menghasilkan bilangan di belakang koma yang terbatas serta berakhir dengan pengulangan bilangan nol, dan berulang tidak terbatas. Bilangan rasional adalah bilangan real yang berbentuk



Contoh 7.1: 4 = 0.571428571428571… 7



(bilangan di belakang koma terjadi pengulangan terbatas).



7 = 0,8750… 8



571428



dan



tidak



(bilangan di belakang koma tidak berulang dan berakhir pengulangan bilangan nol).



dengan



Bentuk Desimal dari Bilangan Irrasional Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dibentuk a menjadi . Bentuk desimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan b di belakang koma yang tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol. Contoh 7.2: 7 = 2.6457513110645. . .



37 = 6.0827625302982 . . .



(bilangan di belakang koma tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol). (bilangan di belakang koma tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol).



7.10



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 7.3: Buktikan bahwa bilangan 0,48914891489 . . . merupakan bilangan rasional. Bukti: Misalkan x = 0,489148914891. . . (kalikan ruas kanan dan kiri dengan 4 10 = 10.000, karena bilangan di belakang koma yang berulang sebanyak 4 digit), sehingga diperoleh 10.000 x = 4891,489148914891. . . x = 0,489148914891. . . (-) 9.999 x = 4891 4891 4891 jadi x= , dan adalah bilangan rasional. 9999 9999 Jika banyaknya bilangan di belakang koma yang berulang ada n digit, maka ruas kanan dan kiri dikalikan dengan 10n. Kelengkapan dan Kerapatan Bilangan Real Titik-titik dari garis bilangan rasional disebut titik-titik rasional. Setiap bilangan rasional berkorespondensi dengan titik rasional pada garis bilangan rasional, dan setiap titik rasional berkorespondensi dengan beberapa bilangan rasional. Perhatikan gambar berikut. 



-2



3 2



1 2



-1



0



2 4 3 6



2



1



2



3 4



11 4



Gambar 7.5. Garis Bilangan Rasional.



Sebelumnya kita telah mengetahui ada bilangan yang bukan merupakan bilangan rasional. Bilangan itu adalah bilangan irrasional. Karena bilangan irrasional tidak berkorespondensi dengan titik-titik pada garis bilangan rasional, hal ini menunjukkan bahwa pasti ada “lobang atau cela” di dalam garis bilangan rasional. Untuk memperjelas hal ini perhatikan bilangan 2 = 1,4142135…. Sekarang perhatikan bilangan 1,4 ; 1,41; 1,414; 1,4142,



7.11



 PDGK4406/MODUL 7



dan seterusnya “yang mendekati” lobang/cela berada, pada garis bilangan rasional berikut. 1,4



di mana seharusnya



1,5



1



2



Skala standar 2



2



1,4



1,41



1,42



1,5



Skala diperbesar 10 x



1,42



Skala diperbesar 100 x



2



1,41



1,414



1,415 2



1,414



1,4142 1,4143



1,415 Skala diperbesar 1000 x



2



dan seterusnya



Gambar 7.6. Posisi Bilangan



2 pada Garis Bilangan



Ilustrasi pada Gambar 7.6. di atas menjelaskan bahwa garis bilangan rasional tidak lengkap, ada lobang/cela di mana titik untuk bilangan irrasional seharusnya berada. Dengan mencantumkan titik-titik untuk bilangan irrasional pada garis bilangan rasional maka tidak ada lagi lobang/cela pada garis bilangan. Bilangan irrasional telah melengkapi lobang/cela pada garis bilangan rasional dan menghasilkan garis bilangan real. Sifat kelengkapan ini menunjukkan bahwa bilangan real ada dan lengkap. Selain sifat kelengkapan, bilangan real juga memiliki sifat kerapatan. Perhatikan gambar berikut.



7.12



Pembelajaran Matematika SD 



1,4



1,5



Skala standar



1



1,4



2



1,41



1,42



1,41



1,41



1,414



1,42



1,414



1,41



1,42



1,41 1,41



1,42



1,415



1,4142 1,4143



1,5



Skala diperbesar 10 x



1,42



Skala diperbesar 100 x



1,415 Skala diperbesar 1000 x



2



dan seterusnya



Gambar 7.7. Kerapatan Bilangan Real.



Pada Gambar 7.7 di atas terlihat bahwa di antara bilangan 1 dan 2 terdapat bilangan 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; . . . ; 1,9. Di antara bilangan 1,4 dan 1,5 terdapat bilangan 1,41 ; 1,42 ; . . . ; 1,49. Di antara bilangan 1,41 dan 1,42 terdapat bilangan 1,411 ; 1,412 ; . . . ; 1,419. Di antara bilangan 1,414 dan 1,415 terdapat bilangan 1,4141 ; 1,4142 ; . . . ; 1,4149. Dan seterusnya. Bahkan di antara dua bilangan rasional ada bilangan irrasional misalnya bilangan 2 = 1,4142135…. berada di antara bilangan 1,4142134 dan1,4142136. Selalu ada, tidak berhingga, titik bilangan real di antara dua titik bilangan real. Di antara dua bilangan real berapa pun nilainya dan berapa pun kerapatannya letak antara dua bilangan real tersebut selalu ada bilangan rasional lain atau bilangan irrasional lain. Sifat ini menunjukkan bahwa bilangan-bilangan real rapat satu sama lain dan tidak ada lobang/cela yang tidak terisi oleh bilangan real (baik itu bilangan real yang rasional maupun yang irrasional). B. SISTEM KOORDINAT COORDINATE SYSTEM)



KARTESIUS



(RECTANGULAR



Sistem koordinat kartesius pada bidang dua dimensi dibentuk oleh dua garis bilangan real yaitu garis horizontal dan garis vertikal yang saling berpotongan tegak lurus di titik nol dari setiap garis tersebut. Titik potong



 PDGK4406/MODUL 7



7.13



(titik nol) tersebut disebut titik asal (origin). Dua garis yang saling berpotongan tegak lurus disebut sumbu koordinat atau secara sederhana disebut sumbu. Sumbu yang horizontal biasa dinamakan sumbu-x dan yang vertikal dinamakan sumbu-y. Sumbu-x dan sumbu-y membagi bidang koordinat menjadi 4 wilayah yang disebut kuadran (quadrants). Sehingga bidang koordinat terbagi menjadi 4 kuadran. Penomoran kuadran diurut menurut arah yang berlawanan dengan arah jarum jam. Untuk jelasnya perhatikan Gambar 7.8.



Gambar 7.8. Bidang Koordinat



Pada sumbu-x, dari titik asal ke kanan adalah tempat kedudukan titiktitik bilangan real positif yang selanjutnya disebut sumbu-x positif, sedangkan dari titik asal ke kiri adalah tempat kedudukan titik-titik bilangan real negatif yang selanjutnya disebut sumbu-x negatif. Pada sumbu-y, dari titik asal ke atas adalah tempat kedudukan titik-titik bilangan real positif yang selanjutnya disebut sumbu-y positif, dari titik asal ke bawah adalah tempat kedudukan titik-titik bilangan real negatif yang selanjutnya disebut sumbu-y negatif. Kuadran I dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y positif. Kuadran II dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y positif. Kuadran III dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif. Kuadran IV dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y negatif. Setiap titik pada bidang koordinat posisinya dapat dinyatakan oleh sepasang bilangan yang disebut pasangan terurut (ordered pair). Bilangan pertama dari pasangan terurut merupakan ukuran jarak horizontal titik



7.14



Pembelajaran Matematika SD 



pasangan terurut tersebut terhadap sumbu-y dan selanjutnya disebut absis (abscissa). Bilangan kedua dari pasangan terurut merupakan ukuran jarak vertikal titik pasangan terurut tersebut terhadap sumbu-x dan selanjutnya disebut ordinat (ordinate). Bilangan-bilangan dalam pasangan terurut yang berhubungan dengan titik pada bidang koordinat disebut koordinat (coordinates) dari titik. Contoh 7.4: Gambar di bawah adalah gambar posisi titip P(2,3) terhadap sumbu-x dan sumbu-y.



Gambar 7.9. Titik P(2,3)



Gambar dari pasangan terurut adalah titik pada bidang koordinat. Gambar dari titik (2,3) terlihat pada Gambar 7.9. diberi nama titik P. Jarak horizontal



Pasangan terurut



absis



Jarak vertikal



P (2,3)



ordinat



Urutan penulisan bilangan dalam pasangan terurut sangatlah penting, karena ini akan menunjukkan posisi titik tersebut pada bidang koordinat. Bilangan 2 pada titik P(2,3) menunjukkan jarak sepanjang 2 satuan dari titik P ke sumbu-y (absisnya 2) dan bilangan 3 menunjukkan jarak sepanjang 3 satuan dari titik P ke sumbu-x (ordinatnya 3).



 PDGK4406/MODUL 7



7.15



Contoh 7.5: Gambar di bawah adalah gambar garis yang menghubungkan kedua pasangan terurut (2,-1) dan (-3, -2).



Gambar 7.10. Gambar Titik (2,-1) dan (-3,-2).



C. RUMUS JARAK (DISTANCE) Ketika dua titik dihubungkan dengan garis lurus, bagian garis antara dua titik disebut ruas garis (a line segment). Panjang ruas garis tersebut menunjukkan jarak antar dua titik di kedua ujung ruas garis tersebut. Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan panjang ruas garis yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat. Contoh 7.6: Tentukan jarak antara titik A(2, 3) dan B(5, 5). Penyelesaian: Pertama, gambarlah garis horizontal melalui A(2, 3) dan garis vertikal melalui B(5, 5). Kedua garis tersebut berpotongan di C(5, 3), hingga terbentuk segitiga siku-siku ABC. Dari gambar di ketahui panjang ruas garis: AC = 5 - 2 BC = 5 - 3 =3 =2



7.16



Pembelajaran Matematika SD 



Berdasarkan teorema Pythagoras:



 AB



2



 



 AC  32



 



2



 CB







2



22



 9  4  13 AB







13



Gambar 7.11. Jarak Ruas Garis AB



Dengan



memisalkan titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x 2 , y2 ) , kita dapat



menentukan rumus jarak antara dua titik secara umum. Kita akan mencari jarak antara dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x 2 , y2 ) yaitu yang diwakili oleh ruas garis P1P2 . Gambarlah garis horizontal melalui P1 dan garis vertikal melalui P2 sehingga berpotongan di titik C seperti pada Gambar 7.12. Segitiga yang dibentuk oleh titik-titik P1 , P2 , dan C adalah segitiga siku-siku dengan P1P2 sebagai sisi miring (hypotenuse)-nya. Titik-titik P1 , P2 dan C disebut sudutsudut (vertices) segitiga.



Gambar 7.12. Jarak antara Dua Titik.



7.17



 PDGK4406/MODUL 7



Kita menggunakan teorema Pythagoras untuk memperoleh jarak d  P1P2 . P2



 d 2   x 2  x1 2   y2  y1 2 d 



 x 2  x1 



2



d 



 x 2  x1







2



  y 2  y1  2



d 2



  y 2  y1







2



P1



x 2  x1 



y 2



 y1 



C



Jarak P1P2 antara dua titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x 2 , y2 ) , yaitu: P1P2 



 x 2  x1 2   y2  y1 2



Rumus jarak tersebut berlaku untuk semua titik P1 dan P2 dimana pun letaknya pada bidang kartesius. Jarak antara dua titik selalu bernilai positif, karena akar kuadrat selalu bernilai positif. D. PERSAMAAN LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x, y) pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik (x, y) terhadap titik pusat disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan r. Jika titik pusat lingkaran P(a, b) dan jarak titik-titik Q(x, y) terhadap titik pusat P berjarak r, maka dengan rumus jarak kita akan memperoleh hubungan antara titik Q(x, y), P(a, b) dan r seperti pada ilustrasi berikut.



Gambar 7.13. Lingkaran dengan Pusat P(a, b).



7.18



Pembelajaran Matematika SD 



Perhatikan segitiga berikut yang merupakan duplikat segitiga pada lingkaran di atas. Hubungan antara titik Q(x, y), P(a, b), dan r dapat ditunjukkan dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga berikut.



r2   x  a  



 y  b 2



2



 x  a 2   y  b 2



r



Hubungan antara titik Q(x, y), P(a, b) dan r yang ditunjukkan oleh:



r2   x  a    y  b 2



2



merupakan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di P(a, b) dan melalui titik Q(x, y) dengan jarak antara titik P dan Q disebut jari-jari r dan rumus jari-jarinya adalah:



 x  a 2   y  b 2



r



Contoh 7.7: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(2, 3) dan melalui titik A(4, 5) Penyelesaian: Jari – jari lingkaran adalah



r



 4  2 2   5  32



r



 2 2   2 2



r 8 Persamaan lingkaran dimaksud adalah:



yang



r2   x  a    y  b



 8



2



2



  x  2    y  3



2



8   x  2    y  3



2



2



2 2



Gambar 7.14. Gambar Lingkaran dengan Pusat P(2, 3) dan melalui A(4, 5).



7.19



 PDGK4406/MODUL 7



Persamaan lingkaran 8   x  2    y  3 2



kedudukan titik-titik yang berjarak



2



juga merupakan tempat



8 satuan dari titik pusat P(2, 3).



E. SISTEM KOORDINAT KUTUB (POLAR COORDINATE SISTEM) Dalam sistem koordinat kartesius, tempat kedudukan titik pada bidang ditunjukkan oleh pasangan terurut bilangan real (x, y). Makna ini berlaku juga sebaliknya yaitu pasangan terurut bilangan rasional (x, y) menunjukkan posisi suatu titik pada bidang koordinat. Selain koordinat kartesius, untuk menunjukkan posisi suatu titik pada bidang dalam sistem koordinat dapat juga digunakan koordinat kutub atau koordinat polar. Dalam sistem koordinat kutub, letak suatu titik pada bidang ditandai dengan jarak dan sudut. Untuk menggambarkan koordinat polar pada bidang (seperti pada Gambar 7.15. di bawah), kita mulai dengan menetapkan suatu titik tetap O dan titik tetap ini disebut titik asal (origin) atau kutub (pole). Dari titik asal, kita tarik garis dan garis ini disebut sumbu kutub. Sumbu kutub selalu horizontal dan ke arah kanan, oleh karena itu sumbu kutub dapat disamakan dengan sumbu x pada sistem koordinat kartesius.



(a)



(b)



Gambar 7.15. Sistem Koordinat Kutub



Titik P adalah titik sebarang pada bidang (lihat Gambar 7.15b). Dalam sistem koordinat kutub, titik P terletak pada jarak r satuan dari titik  asal/kutub, dan sinar garis OP membentuk sudut θ terhadap sumbu kutub.  Sinar garis OP dibuat dengan menarik garis dari kutub hingga titik P seperti



7.20



Pembelajaran Matematika SD 



pada Gambar 7.15b. Letak titik pada bidang koordinat kutub dapat diketahui jika nilai jarak r dan sudut θ diketahui dan letak titik tersebut ditandai dengan (r, θ).  Sudut θ diukur dari sumbu kutub ke sinar garis OP , dengan ketentuan bahwa θ bernilai positif jika arah pengukuran sudut berlawanan dengan arah pergerakan jarum jam dan θ bernilai negatif jika arah pengukuran sudut searah dengan pergerakan jarum jam seperti pada Contoh 7.8 dengan Gambar 7.16. Satuan θ dapat berupa derajat (o) atau π dengan ketentuan 1π =1800, 2 2 sehingga   (1800 )  1200 dan seterusnya. 3 3 Contoh 7.8: Gambarkan koordinat kutub: a. P(r, 400) b. P(r, -400) c. P(r, -1900)



Gambar 7.16. Arah Pengukuran Sudut



Koordinat r pada titik P (r, θ) diukur dari kutub hingga titik P. Nilai r positif jika diukur dari kutub hingga titik yang berkoordinat (r, θ) yang terletak pada sinar garis yang membentuk sudut θ dengan sumbu kutub. Dengan panjang yang sama, nilai r negatif jika merupakan kepanjangan dari   sinar garis OP (dengan arah yang berlawanan arah sinar garis OP ) yang membentuk sudut θ dengan sumbu kutub melalui kutub seperti pada Contoh 7.9 dengan Gambar 7.17. Contoh 7.9: Letakkan dan gambarkan titik berikut pada koordinat kutub:



7.21



 PDGK4406/MODUL 7



P(7, 400) Q(-7, 400) R(7, 2900) S(-7, 2900) Koordinat titik-titik P, Q, R, dan S terlihat pada Gambar 7.17 di samping. Gambar 7.17. Koordinat Kutub Titik P, Q, R, S



Pada Gambar 7.17 jarak titik Q terhadap kutub sama dengan jarak titik P  dengan kutub, dan titik Q terletak pada kepanjangan dari sinar garis OP dan  berlawanan arah dengan OP . Oleh karena itu nilai r pada titik Q adalah negatif. Begitu pula dengan titik R dan S. Jarak titik P, Q, R, S terhadap kutub tetap adalah r satuan. Akan tetapi yang biasa digunakan adalah bahwa r ≥ 0. Jika r = 0 menunjukkan titik asal dengan sudut θ sebarang. Pada koordinat kartesius terjadi korespondensi satu-satu antara titik-titik pada bidang dengan pasangan terurut (x, y). Pada koordinat kutub, terdapat tepat satu titik untuk setiap pasangan terurut (r, θ). Jika (r, θ) pasangan koordinat titik T maka (r, θ + k.360o) untuk semua nilai k adalah pasangan koordinat lain dari titik T, karena θ dan (θ + k.360 o) adalah sama, seperti pada Contoh 7.10 dengan Gambar 7.18. berikut. Contoh 7.10: Gambarkan koordinat kutub: P(7, 400) P(7, 4000) P(7, 7600) Koordinat titik-titik P(7, 400) = P(7, 4000) = P(7, 7600) terlihat pada Gambar 7.18.



Gambar 7.18. Koordinat (r, θ + k.(3600)).



7.22



Pembelajaran Matematika SD 



Selain dengan cara di atas, menandai letak suatu titik pada sistem koordinat kutub (r, θ) dalam bentuk lain dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Misalnya pada Gambar 7.18. kita letakkan titik P' (7, 2200), yang jaraknya terhadap kutub sama dengan jarak titik P dengan kutub. Sinar garis  OP ' membentuk sudut 2200 dengan sumbu kutub. Jika suatu titik yang jaraknya terhadap kutub sama dengan jarak titik P' terhadap kutub yaitu 7,  sedangkan letaknya berada pada kepanjangan dari sinar garis OP ' (arahnya  berlawanan dengan arah sinar garis OP ' dan melalui kutub) maka posisi titik tersebut sama dengan posisi titik P tapi dengan koordinat berbeda, yaitu (-7, 2200) seperti pada Gambar 7.19 berikut. Contoh 7.11: Gambarkan koordinat kutub: P(7, 2200) P(-7, 2200) P(-7, 5800) P(-7, 9400)   2200 Koordinat titik-titik P(7, 400) = P(-7, 2200) = P(-7, 5800) = P(-7, 9400) P' 7, 2200  terlihat pada Gambar 7.19.



y



 7, 220    7, 220   7,220 0







0



 360 0  ( 7,580 0 )



0



 2.( 360 0 )   7,940 0 dan seterusnya



 







r=7



O



  400 x



Gambar 7.19. Koordinat Kutub (-r, θ + k.(3600)).



Penjelasan di atas menunjukkan adanya perbedaan antara sistem koordinat kartesius dengan sistem koordinat kutub. Pada sistem koordinat kutub, ada banyak pasangan terurut untuk menyatakan posisi suatu titik pada bidang datar. Seperti pada contoh di atas letak titik P dapat dinyatakan dengan pasangan terurut (7, 400), (7, 4000), (7, 7600), (-7, 2200), (-7, 5800), (-7, 9400) dan seterusnya. F. HUBUNGAN KOORDINAT KUTUB DENGAN KOORDINAT KARTESIUS Jika sumbu-sumbu pada sistem koordinat kutub dan sistem koordinat kartesius dihimpitkan hingga saling menutupi, maka letak suatu titik pada sistem koordinat kutub yang ditandai dengan pasangan terurut (r, θ) dan titik



7.23



 PDGK4406/MODUL 7



pada sistem koordinat kartesius yang ditandai dengan pasangan terurut (x, y) dapat dihubungkan oleh persamaan berikut. Pada segitiga OPR dengan rumus Pythagoras terdapat hubungan:



y  y  r sin  r x cos    x  r cos  r



sin  



r 2  x 2  y2 dan tan  



y x Gambar 7.20. Hubungan Koordinat Kutub dan Koordinat Kartesius



Hubungan koordinat kutub dan koordinat kartesius tersebut di atas berlaku pada seluruh kuadran pada bidang kartesius. Penentuan besarnya sudut θ pada setiap kuadran dapat menggunakan sifat fungsi tangen di setiap kuadran, yaitu: Pada kuadran I, nilai x positif dan nilai y positif sehingga



tan  



y  nilai tan  positif x



Pada kuadran II, nilai x negatif dan nilai y positif sehingga



tan  



y  nilai tan  negatif x



Pada kuadran III, nilai x negatif dan nilai y negatif sehingga



tan  



y x



 nilai tan  positif



Pada kuadran IV, nilai x positif dan nilai y negatif sehingga



tan  



y x



 nilai tan  negatif



7.24



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan cara yang sama dengan tan silakan Anda mencoba menentukan nilai sin θ dan cos θ pada setiap kuadran (ingat karena r melambangkan jarak maka nilainya selalu positif). Selanjutnya Anda perhatikan Gambar 7.21 berikut. Y



Kuadran I nilai : sin  positif cos  positif tan  positif



Kuadran II nilai : sin  positif cos  negatif tan  negatif



X O



Kuadran III nilai : sin  negatif cos  negatif tan  positif



Kuadran IV nilai : sin  negatif cos  positif tan  negatif



Gambar 7.21. Nilai sin θ, cos θ dan tan θ di Setiap Kuadran.



Untuk mempermudah penyelesaian soal berikut ini nilai–nilai sudut istimewa dari sin θ, cos θ dan tan θ pada setiap kuadran. Sinus θ (sin θ) Kuadran I



Kuadran II



Kuadran III



Kuadran IV



sin 300 =



1 2 1 2 sin 450 = 2 1 3 sin 600 = 2



sin 1500 =



1 2 1 2 sin 1350 = 2 1 3 sin 1200 = 2



sin 2100 = 



1 2 1 sin 2250 =  2 2 1 0 sin 240 =  3 2



sin 3300 = 



sin 900 = 1



sin 1800 = 0



sin 2700 = -1



sin 3600 = 0



1 2 1 sin 3150 =  2 2 1 0 sin 300 =  3 2



7.25



 PDGK4406/MODUL 7



Cosinus θ (cos θ) Kuadran I



Kuadran II



Kuadran III



Kuadran IV



cos 300 =



1 3 2 1 cos 450 = 2 2 1 cos 600 = 2



cos 1500 = -



1 3 2 1 cos 1350 = - 2 2 1 0 cos 120 = 2



cos 2100 = -



1 3 2 1 cos 2250 = - 2 2 1 0 cos 240 = 2



cos 3300 =



1 3 2 1 cos 3150 = 2 2 1 cos 3000 = 2



cos 900 = 0



cos 1800 = -1



cos 2700 = 0



cos 3600 = 1



Tangen θ (tan θ) Kuadran I tan 300 =



1 3 3



tan 450 = 1 tan 600 = 3 tan 900 = tidak didefinisikan



Kuadran II tan 1500 = -



1 3 3



tan 1350 = - 1 tan 1200 = - 3 tan 1800 = 0



Kuadran III tan 2100 =



1 3 3



tan 2250 = 1 tan 2400 = 3 tan 2700 = tidak didefinisikan



Kuadran IV tan 3300 = -



1 3 3



tan 3150 = -1 tan 3000 = - 3 tan 3600 = 0



Contoh 7.12: Ubahlah koordinat kutub berikut menjadi koordinat kartesius: a. b.



  A  4,   4











 1 0    180  4 4 



5  5  B  2,  (silakan Anda mencoba merubah dalam bentuk 6 6   derajat).



Jawab: Gunakan rumus:



y  y  r sin  r x cos    x  r cos  r



sin  



7.26



a.



Pembelajaran Matematika SD 



 y  1    y  4 sin  4  2  2 2 4 4 4 2   x  1   cos   x  4 cos  4  2  2 2 4 4 4 2 



sin



  Jadi koordinat kartesius dari A  4,  adalah A 2 2, 2 2 .  4







b.



y  (2) sin



5 1  (2)    1 6 2



x  (2) cos



5  1   (2)   3  3 6  2 







5   Jadi koordinat kartesius dari B  2,  adalah B 3, 1 . 6   Sebagai latihan tambahan, coba Anda gambarkan letak titik A dan B pada bidang koordinat.







Contoh 7.13:















Ubahlah koordinat kartesius A  3,1 menjadi koordinat kutub dengan r ≥ 0 dan 0    180 . 0



0



Jawab: Gunakan



r 2  x 2  y2







r2   3 tan  



1  3







2



 12  4  r  2







1 3. 3



pada tabel tangen θ diperoleh 1 tan    3    1500 3



















Jadi koordinat kutub dari A  3,1 adalah A 2,1500 .



7.27



 PDGK4406/MODUL 7



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan panjang jarak antara titik-titik: a. P(3, 4) dan Q(-2, 3) b. R(-2, -5) dan (4, 4) 2) Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3, 4) dan jari-jari 6 satuan. 3) Gambarkan pada bidang koordinat kartesius titik-titik: a. A (2, -3) b. B( -4, -2) c. C(3,5) 4) Gambarkan pada bidang koordinat kutub titik-titik:  3  a. A  2,   6  5   b. B  3,  6  







5) Ubahlah koordinat kartesius A  2, 2







menjadi koordinat kutub



dengan r ≥ 0 dan 0     .



 9  6) Ubahlah koordinat kutub A  5,  menjadi koordinat kartesius.  6  Petunjuk Jawaban Latihan Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi sistem koordinat, silakan Anda mengerjakan soal-soal latihan berikut! 1) Menentukan panjang jarak antara titik-titik: a. P(3, 4) dan Q(-2, 3)



7.28



Pembelajaran Matematika SD 



Dengan menggunakan rumus: PQ 



 x 2  x1 2   y2  y1 2



sehingga diperoleh: PQ 



 (2)  3 2   3  4 2



PQ 



 5 2  



1



2



PQ  25  1 PQ  26



jadi jarak antara titik P dan Q adalah b.



26 satuan.



Panjang jarak antara titik-titik: R(-2, -5) dan S(4, 4) RS 



 4  (2) 2   4  (5) 2



RS 



 6 2   9 2



RS  36  81 RS  117



jadi jarak antara titik R dan S adalah



117 satuan.



2) Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 4) dan jari-jari 6 satuan adalah



r2   x  a    y  b 2



2



 6 2   x  32   y  4 2 2 2 36   x  3   y  4  atau 0  x 2  y2  6x  8y  11



7.29



 PDGK4406/MODUL 7



3) Menggambarkan titik-titik A(2, -3), B(-4, -2) dan C(3, 3) pada bidang kartesius.



4   2   4) Menggambarkan titik-titik A  2,  dan B  3,  pada bidang 6    8  2 2 4 4 kutub, dengan = 1800  450 dan  1800  1200 . 8 6 6 8



5) Mengubah











koordinat kartesius A  2, 1



dengan r ≥ 0 dan 0     .



menjadi koordinat kutub



7.30



Pembelajaran Matematika SD 



Jawab: Gunakan rumus



r 2  x 2  y2 r 2  ( 2)2  2  4  r  2 cos  



 2 2



   135o 







3  4







 3  Jadi koordinat kutub dari A  2, 2 adalah A  2,   .  4   9  6) Ubahlah koordinat kutub A  5,  menjadi koordinat kartesius  6  9 y  5sin  5  1  5 6 9 x  5cos  5 0  0 6  9  Jadi koordinat kartesius dari A  5,  adalah A(5, 0) .  6  R A NG KU M AN



1.



2.



3.



4.



Penggunaan istilah kartesius pada sistem koordinat kartesius (Cartesian Coordinate Sistem) merupakan bentuk penghargaan kepada René Descartes sebagai penemunya. Bidang datarnya disebut bidang kartesius (Cartesian Plane). Pada sistem bilangan hubungan antara himpunan bilangan asli (N), himpunan bilangan cacah (W), himpunan bilangan bulat (J), himpunan bilangan rasional (Q) dan himpunan bilangan Real (R) saling berelasi yaitu N  W  J  Q  R . Bentuk desimal dari bilangan rasional sebagai hasil pembagian terhadap pembilang oleh penyebut menghasilkan bilangan di belakang koma yang terbatas serta berakhir dengan pengulangan bilangan nol, dan berulang tidak terbatas. Bentuk desimal dari bilangan irrasional menghasilkan bilangan di belakang koma yang tidak berulang dan tidak terbatas dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol.



7.31



 PDGK4406/MODUL 7



5.



6.



7.



Bilangan real selain memiliki sifat kelengkapan juga memiliki sifat kerapatan Berapapun kerapatan letak antara dua bilangan real tersebut selalu ada bilangan rasional lain atau bilangan irrasional lain. Sistem koordinat kartesius pada bidang dua dimensi dibentuk oleh dua garis bilangan real yaitu garis horizontal (sumbu-x) dan garis vertikal (sumbu-y) yang saling berpotongan tegak lurus di titik nol dari setiap garis tersebut. Sumbu-x dan sumbu-y membagi bidang koordinat menjadi 4 wilayah yang disebut kuadran (quadrants). Kuadran I dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y positif. Kuadran II dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y positif. Kuadran III dibatasi oleh sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif. Kuadran IV dibatasi oleh sumbu-x positif dan sumbu-y negatif. Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan jarak antar titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x 2 , y2 ) , yaitu: P1P2 



8.



 x 2  x1 2   y2  y1 2



Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik (x, y) terhadap titik pusat disebut jari-jari (radius) dan dilambangkan r. Persamaan lingkaran yang bertitik pusat di P(a, b) dan melalui titik Q(x, y) dengan jarak antara titik P dan Q disebut jari-jari r dan rumus jari-jarinya adalah:



r2   x  a    y  b 2



r 9.



2



 x  a 2   y  b 2



Hubungan antara koordinat kartesius (x, y) dan koordinat kutub (r, θ) ditunjukkan oleh persamaan y sin    y  r sin  r x cos    x  r cos  r



r 2  x 2  y2 dan tan  



y x



7.32



Pembelajaran Matematika SD 



TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jarak antara titik-titik P(6, 4) dan Q(-3, 5) adalah….. satuan. A. 82 B. C. D.



72 62 52



 2  2) Jarak antara titik R (2,-3) dan S  5,  adalah … satuan.  6  1 102  40 3 A. 2 1 102  60 3 B. 2 1 102  60 3 C. 2 1 102  40 3 D. 2 3) Persamaan lingkaran yang berpusat di (-5,4) dan berjari-jari 4 adalah .... A. 0  x 2  y2  10x  8y  25 B.



0  x 2  y2  10x  8y  25



C.



0  x 2  y2  10x  8y  25



D.



0  x 2  y2  10x  8y  25



4) Persamaan lingkaran dengan pusat A(3, 4) dan melalui titik B(6, 7) adalah …. A. 0  x 2  y2  6x  8y  7 B.



0  x 2  y2  6x  8y  7



C.



0  x 2  y2  6x  8y  7



D.



0  x 2  y2  6x  8y  7



7.33



 PDGK4406/MODUL 7



5) Koordinat kutub dari







A 3 3,3







dengan r ≥ 0 dan 0    



adalah ....  2  A.  6,    3   5  B.  6,    6  2   C.  6,   3   5   D.  6,   6  



 4  6) Koordinat kartesius dari A  3,  adalah ....  6  3 3   A. A  , 3 2 2   3 3  3 B. A   ,   2 2  3 3  3 C. A  ,  2 2   3 3  D. A   , 3  2 2   2  7) Salah satu koordinat kutub lain dari koordinat kutub T  5,   6  adalah ….  2  A. T  5,   6  2   B. T  5,  6    14  C. T  5,   6  8   D. T  5,  6  



7.34



Pembelajaran Matematika SD 



  2   8) Jarak antara titik M  3,  dan N  2,   adalah … satuan. 6  6   A. 10 B. C. D.



11 12 13



9) Ordinat y di dua titik yang berabsis x = 2 pada lingkaran x 2  y2  4x  6y  13  25 adalah .... A. B. C. D.



y1  12 dan y2  2 y1  10 dan y2  2 y1  8 dan y2  2 y1  6 dan y2  2



10) Dalam koordinat kutub, persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari (r) = 5 adalah .... A. B. C. D.



 52  5cos   22  5sin   32  52  5cos   32  5sin   22  52  5cos   22  5sin   32  52  5cos   32  5sin   22



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang



 PDGK4406/MODUL 7



7.35



Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.36



Pembelajaran Matematika SD 



Kegiatan Belajar 2



Persamaan dan Pertidaksamaan Linear A. PERSAMAAN LINEAR Konsep persamaan linear sering ditemui dalam permasalahan sehari-hari. Perhatikan ilustrasi pada Contoh 7.14 berikut. Contoh 7.14. Penuangan air dalam tangki pada Gambar 7.22 di samping, terlihat adanya relasi antara waktu (menit) dan volum air (liter). Relasi yang terjadi membentuk suatu garis lurus yang kemiringannya menunjukkan kecepatan dari aliran air 10liter / menit. Formulasikan relasi yang terjadi! Kita dapat memformulasikan relasi antara waktu dan volum air dalam peristiwa penuangan air ke



Gambar 7.22. Grafik Penuangan Air ke Tangki.



dalam tangki di atas, yaitu: Waktu (menit)



Volum (liter)



Relasi



0 1 2 3 4 5 dan seterusnya x



31 41 51 61 71 81 dan seterusnya f(x)



31 = 0 + 31  31 = 10 (0) + 31 41 = 10 + 31  41 = 10 (1) + 31 51 = 20 + 31  51 = 10 (2) + 31 61 = 30 + 31  61 = 10 (3) + 31 71 = 40 + 31  71 = 10 (4) + 31 81 = 50 + 31  81 = 10 (5) + 31 dan seterusnya f(x) = 10x + 31



7.37



 PDGK4406/MODUL 7



Relasi antara waktu dan volum air (pada Gambar 7.22) yang berbentuk garis lurus dapat diformulasikan sebagai fungsi linear f(x) = 10x + 31. Bentuk umum fungsi linear adalah f(x) = ax + b dimana a dan b konstan. Jika f(x) diganti dengan y, maka fungsi linear dapat ditulis menjadi y = ax + b. Bentuk y = ax + b disebut sebagai persamaan linear (persamaan garis) dalam dua variabel x dan y dimana pangkat dari kedua variabel adalah 1, sedangkan ax + b y = c , x dan y  { bilangan Real} juga



merupakan persamaan linear, karena dapat ditulis menjadi  a c y     x    dengan b ≠ 0. b   b Jika b = 0, kita peroleh ax = c, dan ini bukan fungsi linear tetapi tetap merupakan persamaan linear. Bentuk ax + b y = c merupakan bentuk umum persamaan linear. Fungsi linear dan persamaan linear dalam dua variabel sering dimaknai sebagai dua hal yang sama. Kita menggunakan fungsi linear, jika kita ingin menekankan konsep fungsi dari relasi pasangan x dan y, selainnya kita menggunakannya sebagai persamaan linear. Fungsi f(x) = 10x + 31 pada Gambar 7.22 dapat dinyatakan sebagai persamaan linear y = 10x + 31 yang memberi makna: 1. untuk x = 0, yaitu waktu penuangan air ke tangki adalah 0 menit, tangki telah terisi air sebanyak 31 liter (atau sebelum penuangan, tangki telah terisi sebanyak 31 liter). 2. untuk x = 1, yaitu setelah terjadi penuangan (aliran) air ke tangki selama 1 menit, isi tangki bertambah 10 liter sehingga menjadi 41 liter. 3. dan seterusnya, setiap penambahan waktu 1 menit aliran air ke tangki menyebabkan terjadi penambahan isi tangki 10 liter  peristiwa ini menjelaskan bahwa kecepatan aliran air ke tangki adalah 10liter / menit . Pada Gambar 7.22 kecepatan ini terlihat sebagai kemiringan garis. Kemiringan garis disebut juga gradien atau slope, dan pada Gambar 7.22 gradiennya adalah 10.



7.38



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 7. 15: Berikut ini beberapa contoh dari persamaan garis: 1. 2x + 5y = 20 (a = 2, b = 5) 2. 5x – 2y = 10 (a = 5, b = -2)  3 3. y     x  6  4 4. x = 7 5. y = 3 Dalam bentuk umum, Contoh 3, 4, dan 5 dapat ditulis sebagai berikut:  3  4y  3x  24 3. y     x  6  4  3x  4y  24 ( a = 3, b = 4) 4. 5.



x + 0.y = 7 0.x + y = 3



( a = 1, b = 0) ( a = 0, b = 1)



Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel Penyelesaian dari persamaan linear dua variabel adalah pasangan terurut dari bilangan (x, y) yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Contoh 7. 16 Tunjukkan bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari persamaan y 



1 x2. 2



Jawab: Untuk mengetahui apakah (4,4) adalah penyelesaian dari y  gantilah: x pada persamaan dengan 4. y dengan 4. Bandingkan hasilnya.



1 x2, 2



 PDGK4406/MODUL 7



7.39



1 Jika hasilnya tidak sama, berarti y  x2 bahwa (4,4) bukan penyelesaian dari 2 1 persamaan y  x  2 . 2 1 4  4  2 Jika hasilnya sama, berarti benar 2 bahwa (4,4) adalah penyelesaian dari 22 1 persamaan y  x  2 . (ternyata 2 4 4 hasilnya sama). Benar (4, 4) adalah Selain (4,4), ada banyak penyelesaian dari persamaan pasangan terurut lainnya yang 1 merupakan penyelesaian dari y  x2 2 1 y  x  2 . Coba Anda buktikan 2 dengan cara yang sama, apakah (6, 5), (-6, -1) dan (-2, 1) juga merupakan 1 penyelesaian dari y  x  2 ? 2 Secara umum, persamaan linear dalam dua variabel mempunyai penyelesaian yang tidak terbatas banyaknya. Dengan memilih berapapun nilai untuk x dan mensubstitusikan nilai x tersebut ke dalam persamaan 1 y  x  2 , selalu dapat diperoleh nilai y pasangannya yang menyebabkan 2 persamaan tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar. (Silakan Anda mencoba!) Menggambar Persamaan Linear Dua Variabel Tidak mudah bagi kita untuk menuliskan semua pasangan terurut yang mungkin merupakan penyelesaian dari suatu persamaan linear yang menyebabkan persamaan tersebut menjadi sebuah pernyataan yang bernilai benar. Akan tetapi, setiap penyelesaian suatu persamaan linear dapat ditunjukkan/direpresentasikan secara visual pada sistem koordinat kartesius. Representasi dari penyelesaian suatu persamaan linear adalah garis, dan garis tersebut dapat ditentukan melalui dua titik. Untuk menggambarkan sebuah garis sebagai penyelesaian suatu persamaan linear dengan variabel x dan y, biasanya diawali dengan membuat sistem koordinat kartesius yaitu dengan menarik 2 garis yang saling berpotongan tegak lurus di titik asal O. Dua garis tersebut adalah garis



7.40



Pembelajaran Matematika SD 



horizontal merupakan sumbu-x dan garis vertikal merupakan sumbu-y. Kemudian menentukan sedikitnya dua buah titik sebagai penyelesaian dari persamaan linear dan meletakkannya pada sistem koordinat kartesius. Sebaiknya Anda tambahkan lagi satu atau lebih titik penyelesaian lainnya, untuk mengetahui kebenaran pekerjaan Anda dan jika semua titik tersebut segaris maka pekerjaan Anda benar. Contoh 7.17 Gambarkan persamaan linear y 



1 x2. 2



Jawab: Untuk dapat menggambarkan persamaan garis tersebut akan ditentukan 1 titik-titik yang merupakan penyelesaian persamaan linear y  x  2 . 2 x



-4 -2 0 2 4



y



1 x2 2



1  4   2  0 2 1  2   2  1 2 1  0  2  2 2 1  2  2  3 2 1  4  2  4 2



solusi



(-4,0) (-2,1) (0,2) (2,3) (4,4)



Gambar 7.23. Gambar Garis y 



1 x2. 2



Gambar 7.23 menjelaskan bahwa titik yang berkorespondensi dengan 1 solusi-solusi dari persamaan terletak pada garis y  x  2 , yang 2 sebagiannya ditunjukkan oleh garis pada gambar. Jika himpunan bilangan real adalah himpunan pengganti untuk x dan y, maka setiap solusi dari persamaan merupakan koordinat-koordinat titik pada garis, dan koordinat1 koordinat setiap titik pada garis sesuai dengan persamaan y  x  2 . 2



7.41



 PDGK4406/MODUL 7



Karena



garis



tersebut



adalah himpunan dari semua titik-titik 1 penyelesaian persamaan y  x  2 , maka garis tersebut dinamakan gambar 2 1 1 dari persamaan y  x  2 pada bidang koordinat dan y  x  2 atau 2 2 x  2y  4 dinamakan persamaan garis.



Pada bidang koordinat, gambar dari persamaan yang ekuivalen dengan ax + by = c, x dan y  {bilangan real} dimana a, b, dan c adalah bilangan real dengan a dan b keduanya tidak sama dengan nol berupa garis lurus. Gambar dari persamaan linear dimana salah satu variabelnya tidak ada merupakan garis horizontal atau vertikal. Contoh 7.18 Gambarkan persamaan linear y  2 . Jawab: Untuk dapat menggambarkan persamaan garis tersebut akan ditentukan titik-titik yang merupakan penyelesaian persamaan linear y  2 .



y2 x solusi -4 2 (-4,2) -2 2 (-2,2) 0 2 (0,2) 2 2 (2,2) 4 2 (4,2) Pada Gambar 7.24 garis y  2 merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu-x dan melalui titik (0, 2). a



Gambar 7.24. Gambar Garis y  2



7.42



Pembelajaran Matematika SD 



Garis y  b merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu-x dan melalui titik (0, b). Contoh 7.19: Gambarkan persamaan linear x  3 Jawab: Untuk dapat menggambarkan persamaan garis tersebut akan ditentukan titik-titik yang merupakan penyelesaian persamaan linear x  3 . y -4 -2 0 2 4



x 3 3 3 3 3 3



solusi (3,-4) (3,-2) (3,0) (3,2) (3,4)



Pada Gambar 7.25 garis x  3 merupakan garis vertikal yang sejajar dengan sumbu-y dan melalui titik (3, 0). Gambar 7.25. Gambar Garis x  3 a



garis x  a merupakan garis vertikal yang sejajar dengan sumbu-y dan melalui titik (a, 0). Titik Potong Garis terhadap Sumbu-x dan –y (x- dan y-intercept) Sebelumnya kita telah dapat menggambar garis dengan menentukan minimal dua titik sebarang pada garis tersebut. Kita juga dapat menggambar garis dengan hanya menentukan dua titik yang merupakan titik-titik potong garis dengan sumbu-sumbu koordinat. Ke dua titik tersebut dinamakan intercept. Intercept-x adalah titik di mana garis memotong sumbu-x. Intercept-y adalah titik di mana garis memotong sumbu-y.



7.43



 PDGK4406/MODUL 7



Gambar 7.26. x- dan y-intercept



Contoh 7.20 Gambarlah persamaan 4x - 2y = 8. Jawab: Terlebih dahulu menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x (xintercept). Tentukan: y = 0



x 2



y 0



x 2 0



y 0 -4



maka menjadi



4x - 2y = 8 4x - 2(0) = 8 4x = 8 x=2 Oleh karena itu x-intercept adalah (2, 0)



Menentukan titik potong terhadap sumbu-y (y-intercept). Tentukan: x = 0



garis



maka 4x - 2y = 8 menjadi 4(0) - 2y = 8 -2y = 8 y = -4 Oleh karena itu y-intercept adalah (0,-4)



7.44



Pembelajaran Matematika SD 



Selanjutnya kita letakkan kedua titik tersebut pada bidang koordinat, menghubungkan kedua titik dengan garis, maka diperolehlah gambar garis 4x - 2y = 8.



Gambar 7.27. Gambar Garis 4x - 2y = 8.



Kemiringan (Slope) atau Gradien Garis Jika Anda diminta untuk mendeskripsikan gambar pada Gambar 7.27 Anda akan menjawab bahwa gambar tersebut adalah garis lurus yang memotong sumbu-x pada x = 2 dan sumbu-y pada y = 4. Kemungkinan lain Anda akan menjawab bahwa gambar tersebut adalah gambar garis yang menanjak dari kiri ke kanan. Garis pada Gambar 7.27 menanjak 2 satuan untuk setiap pergerakan 1 satuan dari kiri ke kanan. Ukuran dari gambaran langkah tersebut disebut kemiringan (slope) dari garis atau dapat juga disebut sebagai gradien garis. Gradien garis lurus didefinisikan sebagai laju perubahan koordinat-y dari suatu titik pada suatu garis lurus terhadap koordinat-x. Perhatikan contoh berikut. Contoh 7.21. Gambarlah persamaan garis y = 2x. Jawab: Sebelum menggambar garis y = 2x, sebaiknya buatkan tabel relasi antara x dan y, yaitu:



7.45



 PDGK4406/MODUL 7



Gambar 7.28. Garis y = 2x.



Pada tabel terlihat bahwa setiap absis (x) dari dua titik pada garis berbeda 1, maka ordinat (y)-nya berbeda 2. Gambar 7.28 memperlihatkan garis dengan gradien 2 dan melalui titik asal (0, 0). Dapatkah Anda perkirakan, berapa gradien dari garis y = -2x? Untuk semua bilangan real m, gambar dalam bidang koordinat dari persamaan y = mx adalah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik asal (0, 0). Penerapan definisi gradien secara umum dapat dijelaskan melalui penghitungan gradien ruas garis P1P2 pada Gambar 7.29.



7.46



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 7.29. Penghitungan Gradien dari Ruas Garis P1P2 dan gradien (m) ruas garis P1P2 ditunjukkan oleh persamaan



m



y2  y1 x 2  x1



di mana (y2  y1 ) adalah jarak vertikal antara titik P1 dan P2, sedangkan



(x 2  x1 ) adalah jarak horizontal antara titik P1 dan P2. Contoh 7.22: Tentukan gradien garis yang melalui titik (x1 , y1 ) = (-3, 2) dan



(x 2 , y2 ) = (2, 5). Gambarkan! Jawab: Gradien: m 



y2  y1 52 3   x 2  x1 2  (3) 5



Jika kita ubah titik (x1 , y1 ) = (2,5) dan (x 2 , y2 ) = (-3, 2), maka hasilnya adalah



Gambar 7.30. Garis dengan Gradien



3 5



 PDGK4406/MODUL 7



m



7.47



y2  y1 25 3 3 (sama).    x 2  x1 (3)  2 5 5



Hal ini menunjukkan bahwa urutan penamaan dari titik memberikan hasil yang sama. 3 Gradien artinya untuk setiap gerakan 5 satuan ke kanan menyebabkan 5 garis bergerak ke atas 3 satuan atau setiap gerakan 5 satuan ke kiri menyebabkan garis bergerak ke bawah 3 satuan. Kesimpulan tentang gradien garis lurus berikut dapat menambah pemahaman Anda. 1. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas. (pada Gambar 7.31a) 2. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-x adalah nol, karena arah garis vertikal tidak ada (lihat Gambar 7.31b) 3. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah (pada Gambar 7.31c) 4. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-y tidak terdefinisi, karena arah garis horizontal tidak ada (menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak didefinisikan) (pada Gambar 7.31d). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu-y tidak mempunyai gradien. 5. Misalnya garis lurus k gradiennya m1 dan garis lurus j gradiennya m2. Jika garis k dan garis j saling tegak lurus, maka gradien-gradiennya 1 menunjukkan hubungan m1   dengan m2 ≠ 0 atau m1 . m2 = -1 m2 6.



(lihat Contoh 7.25). Garis-garis lurus yang sejajar (paralel) mempunyai gradien yang sama (pada Contoh 7.31).



Gambar 7.31. Macam-macam Gradien Garis.



7.48



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 7.23: Tentukan gradien garis yang melalui titik (-2,2) dan (3,2). Gambarkan garis tersebut! Jawab: Umpamakan (x1 , y1 ) = (-2,2) dan (x 2 , y2 ) = (3,2) gradien garis:



m



y2  y1 22 0   0 x 2  x1 3  (3) 6



Gambar 7.32. Garis dengan Gradien 0.



Contoh 7.24: Tentukan gradien garis yang melalui titik (3, 2) dan (3, -3). Gambarkan garis tersebut! Jawab: Umpamakan



(x1 , y1 ) = (3,2) (x 2 , y2 ) = (3, -3) gradien garis: m 



dan



y2  y1 3  2  x 2  x1 33 5  tidak didefinisikan 0



Gambar 7.33. Garis dengan tanpa gradien



Contoh 7.25: Tentukan: 1. Gradien garis yang melalui titik (2, 1) dan (-4, 6). 2. Tentukan gradien dari garis yang tegak lurus garis pada nomor 1. 3. Gambar kedua garis tersebut yang tegak lurus dan melalui (2,1)!



7.49



 PDGK4406/MODUL 7



Jawab: 1. Namakan garis yang melalui (2, 1) adalah l; gradien garis l: y y 6 1 5 ml  2 1   x 2  x1 (4)  2 6 2.



Namakan garis yang tegak lurus garis l adalah k; gradien garis k: 1 1 6 mk     ml  5  5    6 



Gambar 7.34. Gradien Garis yang Saling Tegak Lurus



Gambar 7.34 adalah gambar garis (pada nomor l dan k) yang saling tegak lurus. Menentukan Persamaan Garis yang melalui Titik dengan Gradien tertentu Jika (x1 , y1 ) adalah titik pada garis dan (x, y) adalah titik lain pada garis yang sama, maka gradien dari (x1 , y1 ) ke (x, y) adalah



m



y  y1 x  x1



Persamaan tersebut dapat diubah menjadi y  y1  m  x  x1  . Koordinat x dan y adalah variabel dari titik pada garis dan persamaan y  y1  m  x  x1  mewakili hubungan antara x dan y. Dengan demikian,



y  y1  m  x  x1  adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x1 , y1 ) .



Contoh 7.26: Berikut ini contoh persamaan garis berbentuk y  y1  m  x  x1  .



7.50



Pembelajaran Matematika SD 



Titik



Gradien



Persamaan



(x1 , y1 )



m



y  y1  m  x  x1 



a.



(1, 2)



2



b.



(-5, 7)



1   2



c.



(0, 3)



-5



y  2  2  x  1 1  x   5 2 1 y  7   x  5 2 y  3   5 x  0  y7 



y  3   5 x d. e.



(-2, 4) (-3, 2)



0 tidak ada



y  4  0  x   2   y  4  0 atau y  4 garis horizontal x  3 garis vertikal



Contoh 7.27: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,1) dan gradien 3. Jawab: y  y1  m  x  x1 



y 1  3 x  2 y  1  3x  6 y  3x  5 Menentukan Persamaan Garis dengan y-intercept dan Gradien Diketahui Perhatikan, Gambar 7.35(a) adalah gambar garis y = 2x, sedangkan Gambar 7.35 (b) menunjukkan perbedaan gambar garis y = 2x dan garis y = 2x + 4. Keduanya mempunyai gradien yang sama, tetapi memotong sumbu-y pada titik yang berbeda. Ordinat dari titik dimana garis memotong sumbu-y disebut y-intercept dari garis.



7.51



 PDGK4406/MODUL 7



(a)



(b) Gambar 7.35. Garis y = 2x dan y = 2x + 4



Untuk menentukan y-intercept, ganti x dengan 0 pada setiap persamaan garis. y = 2x y = 2x + 4 y = 2 (0) y = 2(0) + 4 y=0 y-intercept y=4 Jika Anda menulis “y = 2x” dengan “y = 2x + 0”. Anda akan mengetahui bahwa konstanta pada setiap persamaan berikut y = 2x + 0 dan y = 2x + 4 adalah y-intercept. Secara umum, jika garis memotong sumbu-y (y-intercept) di b, maka titik potong tersebut adalah (0, b). Persamaan garis yang melalui titik (0, b) dengan gradien m adalah y  b  m  x  0



y  b  mx y  mx  b y = mx + b merupakan persamaan garis dengan m adalah gradien dan b adalah titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept).



7.52



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 7.28: Berikut ini contoh persamaan garis berbentuk y = mx + b. Persamaan garis



gradien



y-intercept



y = mx + b



m



b



y = 3x + 5 y = -2x – 4  3 1 y   x    5 2 y = 12 x=5



3 -2  3    5 0 tidak ada



5 -4 1   2 12 tidak ada



Contoh 7.29: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dan dengan gradien



1 . 3



Jawab: Misalkan titik P(x, y) mewakili titik pada garis (selain titik (2, 1)). Titik P(x, y) adalah titik umum dan dapat diletakkan di mana saja. Gradien garis yang melalui titik (0, 1) dan P(x, y) adalah y 1 y 1 1 m   x 0 x 3 Disederhanakan menjadi: 3(y  1)  x



3y  x  3 1 x 1 3 merupakan persamaan linear. y



Gambar 7.36. Garis dengan y-intercept dan Gradien Tertentu.



Contoh 7.30: Tentukan gradien dan y-intercept dari persamaan 3x + 2y = 6.



7.53



 PDGK4406/MODUL 7



Jawab: Persamaan tersebut diubah menjadi bentuk y = mx + b. 3x + 2y = 6



2y =  3x + 6  3 y   x 3  2 Diperoleh:  3 a. gradien =    .  2 b. y-intercept = 3. (garis tersebut memotong sumbu-y di titik (0, 3)).



 3    benar  2 gradien dari garis 3x + 2y = 6, kita gunakan titik lain yaitu (-2, 6) dan (4, -3). Apakah titik (-2,6) dan (4,-3) berada pada garis? (-2, 6) 3(-2) + 2(6) = 6 dan 6 = 6 (benar). (4,-3) 3(4) + 2(-3) = 6 dan 6 = 6 (benar).  3 Sekarang apakah benar    gradien  2 garis? 6   3 9  3 (benar). m     2   4  6   2  Untuk membuktikan



Gambar 7.37.



 3  2



Garis y     x  3



Garis-garis sejajar digambarkan sebagai garis-garis pada bidang datar yang tidak berpotongan, berapa pun jarak antara garis-garis tersebut. Dua garis saling sejajar jika dan hanya jika: 1. kedua garis tersebut memiliki gradien yang sama; 2. kedua garis tersebut memiliki y-intercept yang berbeda. Contoh berikut akan memperjelas pemahaman Anda tentang persamaan garis yang sejajar.



7.54



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 7.31. Tunjukkan apakah garis 9x + 6y = 2 dan 3x = 10 -2y sejajar? Jawab: Bentuk kedua garis diubah menjadi y = mx + b, yaitu: 9x + 6y = 2



6y =  9x + 2 2  9 y   x  6  6 3 1   y   x  3  2



Gambar 7.38. Persamaan Garis Sejajar.



3x = 10  2y 2y =  3x + 10 10  3 y   x  2  2  3 y   x 5  2 Pada Contoh 7.31, y-intercept kedua garis berbeda sedangkan gradien kedua garis sama sehingga kedua garis tersebut sejajar. Jika dua garis memiliki gradien dan y-intercept yang sama maka kedua garis tersebut sama. y2 x2 2 3 Silakan Anda buktikan apakah garis dan y  x  2  3 2 5 5 adalah sama atau sejajar, yaitu dengan mengubah kedua bentuk persamaan garis menjadi y = mx + b.



7.55



 PDGK4406/MODUL 7



Contoh 7.32: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, -2) dan sejajar dengan garis 2x – 3y = 12. Jawab: Persamaan garis 2x – 3y = 12 dapat diubah bentuknya menjadi



3y  2x  12 y



2 x4 3



2   gradien garis adalah  3 



Persamaan garis yang melalui titik (4, -2) dan sejajar dengan garis 2 2x  3y  12 memiliki gradien , sehingga persamaan garis yang diinginkan 3 adalah



y   2  



2 2 8  x  4  y  2  x  3 3 3  3y  6  2x  8  2x  3y  14  0 (bentuk persamaan umum garis lurus)



Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik (x1 , y1 ) dan (x 2 , y2 ) adalah titik-titik pada satu garis dan (x, y) adalah titik lain pada garis yang sama dengan gradien. Gradien garis dari (x1 , y1 ) ke



(x, y) adalah m1 dan gradien garis dari (x1 , y1 ) ke (x 2 , y2 ) adalah m2, yaitu m1 =



y  y1 y  y1 dan m2 = 2 x  x1 x 2  x1



Karena titik (x, y) , (x1 , y1 ) dan (x 2 , y2 ) terletak pada garis yang sama maka gradien garis dari (x1 , y1 ) ke (x, y) sama dengan gradien garis dari



(x1 , y1 ) ke (x 2 , y2 ) sehingga diperoleh m1 = m2 atau



y  y1 x  x1  . y2  y1 x 2  x1



7.56



Pembelajaran Matematika SD 



y  y1 x  x1  y2  y1 x 2  x1 merupakan persamaan garis yang melalui titik (x1 , y1 ) dan (x 2 , y2 ) . Persamaan tersebut dapat diubah menjadi y  y1  m  x  x1  dengan



m



y2  y1 sehingga diperoleh x 2  x1



 y y  y  y1   2 1   x  x1   x 2  x1  dan persamaan tersebut juga merupakan persamaan garis dengan bentuk yang lain. Contoh 7.33: Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan (5, 1). Jawab: Persamaan garis yang dimaksud adalah y   3 x  2 dan disederhanakan menjadi  1   3 5  2



y   3



x2 4 atau y  3   x  2   4 3 3 4 8 4 17 y  x   3 atau y x . 3 3 3 3 Cara lain: Gradien garis yang melalui titik (2, -3) dan (5, 1) adalah 1   3 4 y y m 2 1 =  x 2  x1 52 3 Persamaan garis yang melalui (2, -3) dengan gradien



y   3 



4 4 17  x  2  atau y  x  3 3 3



4 adalah 3



7.57



 PDGK4406/MODUL 7



Persamaan garis yang melalui (5, 1) dengan gradien



y 1 



4 adalah 3



4 4 17  x  5 atau y  x  3 3 3



B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR Gambar 7.39 menggambarkan garis y = x – 2. Ingatkah Anda bahwa gambar garis memuat semua titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari persamaan garis.



Gambar 7.39. Gambar y = x – 2 dengan Wilayah (A) dan (B)



Pada Gambar 7.39 terlihat bahwa garis y = x – 2 membagi bidang dari sistem koordinat dalam dua wilayah. Wilayah (A) digambarkan sebagai setengah bidang di atas garis y = x – 2 dan wilayah (B) digambarkan sebagai setengah bidang di bawah garis y = x – 2. Garis y = x – 2 adalah pembatas yang memisahkan setengah bidang wilayah (A) dan (B). Secara umum, gambar garis ax + by = c membagi bidang sistem koordinat dalam dua bagian. Jika garis tidak vertikal, maka setengah bidang akan berada di atas garis, dan setengahnya lagi akan berada di bawah garis. Sedangkan pada kasus garis yang vertikal, setengah bidang berada di kiri garis dan sisanya di sebelah kanan. Berikut ini bentuk-bentuk pertidaksamaan linear.



7.58



Pembelajaran Matematika SD 



Pertidaksamaan linear dalam x dan y dapat ditulis dalam salah satu bentuk bentuk berikut: 1. ax + by < c 2. ax + by > c 3. ax + by ≤ c 4. ax + by ≥ c dimana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a dan b tidak keduanya nol.



Contoh 7.34: Berikut ini contoh pertidaksamaan linear a. 3x - 2y < 6 b. 4x + y > 8 c. x + 5y ≤ 10 d. x ≥ 5 Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah pasangan terurut dari bilangan real yang menyebabkan pertidaksamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Contoh 7.35: Apakah titik (3,2) dan (5, 1) merupakan penyelesaian dari 3x - 2y < 6? Jawab: Untuk titik (3, 2), x diganti dengan 3 dan y diganti dengan 2 sehingga 3(3) – 2(2) < 6  9 – 4 < 6 (benar) Dengan demikian (3, 2) adalah penyelesaian dari 3x - 2y < 6. Untuk titik (5, 1) silakan Anda coba! Gambar Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan Linear Gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah setengah bidang koordinat. Untuk menunjukkan bahwa setengah bidang koordinat merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang diberikan, setengah bidang koordinat tersebut di arsir. Berikut langkah-langkah menggambarkan himpunan penyelesaian dari ax + by < c. 1. Gambar garis batas ax + by = c dengan bentuk putus-putus, merupakan batas dari setengah bidang yang memuat himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan.



7.59



 PDGK4406/MODUL 7



2.



3.



Gunakan titik sebarang P(a, b) untuk menguji (biasanya yang lebih mudah digunakan adalah titik (0, 0)), dimana P adalah suatu titik pada salah satu dari setengah bidang. Gantikan x dengan a dan y dengan b pada pertidaksamaan yang diberikan. Jika (a, b) adalah salah satu solusi dari ax + by < c, arsirlah daerah setengah bidang yang memuat P(a, b). Jika (a, b) bukan solusi dari ax + by < c , arsirlah daerah setengah bidang yang tidak memuat P(a, b).



Langkah di atas dapat digunakan untuk bentuk pertidaksamaan lainnya: (1) ax + by > c; (2) ax + by ≤ c; (3) ax + by ≥ c Pada pertidaksamaan bentuk (2) dan (3), garis lurus tidak putus-putus digunakan sebagai batas, karena titik-titik pada garis termasuk penyelesaian dari pertidaksamaan. Contoh 7.36: Gambarkan himpunan penyelesaian dari 2x – y < 2. Jawab: 1. Gambar garis batas 2x – y = 2 (secara putus-putus, karena lambang pertidaksamaannya kurang dari “< “), dengan menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept) dan titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept). Titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept), y = 0 diperoleh x = 1, di (1, 0).



2.



Titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept), x = 0 diperoleh y = –2, di (0, -2). Gunakan salah satu titik sebarang misalnya (0, 0) untuk menguji apakah titik tersebut merupakan salah satu penyelesaian. (0, 0)  2(0)  (0)  2



0  2 (benar). Karena (0, 0) adalah penyelesaian dari 2x – y < 2, maka setengah bidang



Gambar 7.40. Daerah Penyelesaian 2x – y < 2.



7.60



Pembelajaran Matematika SD 



terasir yang memuat (0, 0) adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x – y < 2. Contoh 7.37: Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear x + 3y > –6. Jawab: 1. Gambarkan garis batas x + 3y = –6 (secara putus-putus, karena lambang pertidaksamaannya lebih dari “> “), dengan menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x dan sumbu-y, yaitu: titik potong garis terhadap sumbu-x, y = 0 x = -6 di titik (-6, 0). titik potong garis terhadap sumbu-y, x = 0 y = -2 di titik (0, -2). Garis x + 3y = -6 membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. 2. Gunakan titik (0, 0) untuk menguji apakah setengah bagian bidang koordinat yang memuat titik (0, 0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + 3y > -6 yang dimaksud. (0, 0) 0 + 3(0) > -6 0 > -6 (benar). Jadi benar bahwa setengah bagian bidang koordinat yang memuat titik (0, 0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + 3y > -6 yang dimaksud. 3. Karena (0, 0) adalah penyelesaian dari x + 3y > -6, setengah bagian daerah bidang koordinat terarsir yang memuat (0, 0) adalah gambar dari himpunan penyelesaian yang diinginkan (perhatikan Gambar 7.41).



Gambar 7.41. Penyelesaian x + 3y > -6.



Contoh 7.38: Gambarkan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x + 3y ≤ 6.



 PDGK4406/MODUL 7



7.61



Jawab: 1. Gambarkan garis batas 2x + 3y = 6 (secara tidak putus-putus, karena lambang pertidaksamaannya memuat sama dengan “≤“), dengan menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x dan sumbu-y, yaitu: titik potong garis terhadap sumbu-x, y = 0 x = 3 di titik (3, 0). titik potong garis terhadap sumbu-y, x = 0 y = 2 di titik (0, 2). Garis 2x + 3y = 6 membagi bidang koordinat menjadi dua bagian. 2. Gunakan titik (0, 0) untuk menguji apakah setengah bagian bidang koordinat yang memuat titik (0, 0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6 yang dimaksud. (0, 0) 2(0) + 3(0) ≤ 6 0 ≤ 6 (benar). Jadi benar bahwa setengah bagian bidang koordinat yang memuat titik (0, 0) adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + 3y ≤ 6 yang dimaksud. 3. Karena (0, 0) adalah penyelesaian dari 2x + 3y ≤ 6, setengah bagian daerah bidang koordinat terarsir yang memuat (0, 0) adalah gambar dari himpunan penyelesaian yang diinginkan (perhatikan Gambar 7.42).



Gambar 7.42. Penyelesaian 2x + 3y ≤ 6



7.62



Pembelajaran Matematika SD 



LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tunjukkan apakah pasangan terurut berikut adalah penyelesaian dari persamaan yang diberikan a. 3x – 5y = 15 ; (-5, -6) b. 4a + 6b = 12 ; (-3, 4) 2) Tentukan titik potong terhadap sumbu-x (x-intercept) dan sumbu-y (y-intercept) dari persamaan garis berikut: a. 6x - 4y = 24. b. 3x + 7y = 21. 3) Gambarkan persamaan garis 5x + 2y = 10 pada bidang koordinat! 4) Tentukan gradien garis yang melalui titik: a. (7, -3) dan (7, 5). b. (13, -9) dan (-5, 3). 5) Selidiki gradiennya, apakah pasangan garis 3x  5y  10 dan



3 x  2 sejajar? 5 6) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, -5) dan (-6, 9)! 7) Gambarkan pertidaksamaan linear 2x – 7y > 14! y



Petunjuk Jawaban Latihan 1) a.



b.



Untuk mengetahui apakah (-5, -6) adalah penyelesaian dari 3x – 5y = 15, gantilah x pada persamaan dengan -5 dan y dengan -6 3(5)  5(6)  15



15  30  15 15 = 15 Hasilnya sama, berarti benar bahwa (-5, -6) adalah penyelesaian dari persamaan 3x  5y  15. 4a  6b  12 4(3)  6(4)  12 12  24  12



 PDGK4406/MODUL 7



7.63



12  12



Hasilnya sama, berarti benar bahwa (-3, 4) adalah penyelesaian dari persamaan 4a  6b  12.



2) a.



b.



Titik-titik potong garis 6x - 4y = 24 terhadap: sumbu-x (x-intercept), y = 0 x=4 (4,0) sumbu-y (y-intercept), x = 0 y = -6 (0,-6) Titik-titik potong garis 3x + 7y = 21 terhadap: sumbu-x (x-intercept), y = 0 x=7 (7,0) sumbu-y (y-intercept), x = 0 y=3 (0,3)



3) Untuk menggambarkan persamaan garis tersebut akan ditentukan titik-titik potong garis 5x + 2y = 10 terhadap: sumbu-x (x-intercept), y = 0 x = 2 (2, 0) sumbu-y (y-intercept), x = 0 y = 5 (0, 5)



4) a.



b.



Gradien garis yang melalui (7, -3) dan (7, 5) adalah 5   3 8 y y m 2 1   tidak didefinisikan x 2  x1 77 0 (13, -9) dan (-5, 3) 3   9  12 y y 2 m 2 1    x 2  x1  5  13 18 3



5) Persamaan garis pertama 3x + 5y = 10 3 y= x +2 persamaan garis ke dua y = 5 3 sejajar karena gradiennya sama, yaitu 5 sumbu-y yang berbeda.



di ubah bentuknya menjadi 3 x – 2, benar kedua garis 5 dan melalui titik potong di



7.64



Pembelajaran Matematika SD 



6) Persamaan garis yang melalui (4, -5) dan (-6, 9) adalah y   5  x4  9   5   6   4



y5 x4  14  10 



 10  y  5  14  x  4  14x  10y  6 7) Menggambar himpunan penyelesaian dari 2x – 7y > 14, dengan langkah berikut: a. Gambar garis batas 2x – 7y = 14 (secara putus-putus, karena lambang pertidaksamaannya lebih dari “>”, dengan menentukan titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept) dan titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept). Titik potong garis terhadap sumbu-x (x-intercept), y = 0 diperoleh x = 7, di (7, 0). Titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept), x = 0 diperoleh y = -2, di (0, -2). b. Gunakan salah satu titik sebarang misalnya (0, 0) untuk menguji apakah titik tersebut merupakan salah satu penyelesaian. (0,0)  2(0) – 7(0) > 14 0 > 14 (salah). c. Karena (0, 0) bukan penyelesaian dari 2x – y < 2, maka setengah bidang terasir yang tidak memuat (0, 0) adalah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x – 7y > 14.



 PDGK4406/MODUL 7



7.65



R A NG KU M AN



1.



2. 3. 4. 5. 6.



7.



Bentuk umum persamaan linear adalah ax + b y = c, x dan y  {bilangan real} dimana a dan b tidak keduanya sama dengan nol. Garis y = a merupakan garis horizontal yang sejajar dengan sumbu-x dan melalui titik (0, b). Garis x = a merupakan garis vertikal yang sejajar dengan sumbu-y dan melalui titik (a, 0). Intercept-x adalah titik di mana garis memotong sumbu-x. Intercepty adalah titik di mana garis memotong sumbu-y. Gradien garis lurus didefinisikan sebagai laju perubahan koordinat-y dari suatu titik pada suatu garis lurus terhadap koordinat-x. Untuk semua bilangan real m, gambar dalam bidang koordinat dari persamaan y = mx adalah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik asal (0, 0). Gradien (m) ruas garis P1P2 antara titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x 2 , y2 ) adalah m 



8.



y2  y1 , dimana (y2  y1 ) adalah jarak vertikal antara x 2  x1



titik P1 dan P2, sedangkan (x 2  x1 ) adalah jarak horizontal antara titik P1 dan P2. Macam-macam gradien garis: a. Gradien garis lurus positif, jika arah garis dari kiri ke kanan atas. b. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-x adalah nol, karena arah garis vertikal tidak ada. c. Gradien garis lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah. d. Gradien garis lurus yang sejajar sumbu-y tidak terdefinisi, karena arah garis horizontal tidak ada (menyebabkan pembaginya nol dan hasilnya tidak didefinisikan). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu-y tidak mempunyai gradien. e. Misalnya garis lurus k gradiennya m1 dan garis lurus j gradiennya m2. Jika garis k dan garis j saling tegak lurus, maka 1 gradien-gradiennya menunjukkan hubungan m1   m2 dengan m2 ≠ 0 atau m1 . m2 = -1.



7.66



9.



Pembelajaran Matematika SD 



y  y1  m  x  x1  adalah persamaan garis dengan gradien m dan



melalui titik (x1 , y1 ) . 10. y = mx + b merupakan persamaan garis dengan m adalah gradien dan b adalah titik potong garis terhadap sumbu-y (y-intercept). 11. Dua garis saling sejajar jika dan hanya jika: a. kedua garis tersebut memiliki gradien yang sama. b. kedua garis tersebut memiliki y-intercept yang berbeda. y  y1 x  x1  12. merupakan persamaan garis yang melalui titik y2  y1 x 2  x1



(x1 , y1 ) dan (x 2 , y2 ) . 13. Pertidaksamaan linear dalam x dan y dapat ditulis dalam salah satu bentuk berikut: a. ax + by < c 2. ax + by > c b. ax + by ≤ c 4. ax + by ≥ c dimana a, b, dan c adalah bilangan real, dan a dan b tidak keduanya nol. 14 Gambar himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear adalah setengah bidang koordinat. Untuk menunjukkan bahwa setengah bidang koordinat merupakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang diberikan, setengah bidang koordinat tersebut di arsir. Berikut langkah-langkah menggambarkan himpunan penyelesaian dari ax + by < c. a. Gambar garis ax + by = c dengan bentuk putus-putus, merupakan batas dari setengah bidang yang memuat himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan. b. Gunakan titik sebarang P(a, b) untuk menguji (biasanya yang lebih mudah digunakan adalah titik (0, 0)), dimana P adalah suatu titik pada salah satu dari setengah bidang. Gantikan x dengan a dan y dengan b pada pertidaksamaan yang diberikan. c. Jika (a, b) adalah salah satu solusi dari ax + by < c, arsirlah daerah setengah bidang yang memuat P(a, b). Jika (a, b) bukan solusi dari ax + by < c, arsirlah daerah setengah bidang yang tidak memuat P(a, b). Langkah di atas dapat digunakan untuk bentuk pertidaksamaan lainnya: (1). ax + by > c; (2). ax + by ≤ c; (3). ax + by ≥ c.



 PDGK4406/MODUL 7



7.67



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Pasangan terurut berikut yang merupakan penyelesaian dari persamaan 2x – 5y = 20 adalah .... A. (5, -2) B. (-5, 2) C. (5, 2) D. (-5, -2) 2) Titik potong persamaan 6x + 2y = 12 terhadap sumbu-x dan sumbu-y adalah .... A. (0, -6) dan (-2, 0) B. (0, -6) dan (2, 0) C. (0, 6) dan (2, 0) D. (0, 6) dan (-2, 0) 3) Persamaan garis dari gambar di samping adalah .... A. y = x + 2 B. y = - x – 2 C. y = -x + 2 D. y = x - 2



4) Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (7, -3) adalah .... 7 A. 10 7 B.  10 10 C.  7 10 D. 7



7.68



Pembelajaran Matematika SD 



5) Persamaan garis yang melalui titik (5, -7) dengan gradien (-3) adalah .... A. y = 3x + 8 B. y = (-3)x - 8 C. y = 3x - 8 D. y = (-3)x + 8 6) Persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan (-4, -3) adalah .... A. y = -3 B. y = 3 C. x = -3 D. x = 3 7) Persamaan garis yang tegak lurus terhadap garis y = -2x + 2 dan melalui titik (3, 1) adalah .... 1 1 A. y = x + 2 2 1 1 B. y = - x 2 2 1 1 C. y = x 2 2 1 1 D. y = - x + 2 2 8) Persamaan garis yang melalui titik (7, -3) dan sejajar dengan garis 4x – 2y = 8 adalah .... A. y = 2x – 17 B. y = -2x – 17 C. y = 2x + 17 D. y = -2x + 17 9) Peridaksamaan linear dari gambar di samping adalah .... A. y ≥ 2x + 4 B. y ≥ 2x – 4 C. y ≤ 2x +4 D. y ≤ 2x – 4



7.69



 PDGK4406/MODUL 7



10) Pertidaksamaan linear dari gambar di samping adalah .... 1 A. y < - x + 1 2 1 B. y < x – 1 2 1 C. y < - x – 1 2 1 D. y < x + 1 2



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.



Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar



 100%



Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



7.70



Pembelajaran Matematika SD 



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1)



A



PQ 



 (3)  6 2   5  4 2







 9 2  12







81  1







82



2 ) adalah 6 2 1  5  y  5 sin  5 3  3 6 2  2  5 5  3 S  , 2 1 5  2 2  x  5 cos  5x     6 2 2



2) B. Koordinat kartesius dari S(5,



 2  Jarak antara titik R (2,-3) dan S  5,  adalah:  6  2 2  5   5  RS    3   3    2   2   2  1  102  60 3 2



3) C. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-5, 4) dan berjari-jari 4



r2   x  a    y  b 2



2



 4 2   x  5 2   y  4 2 2 2 16   x  5    y  4  atau 0  x 2  y2  10x  8y  25 4) D. Jari-jari lingkaran yang berpusat A(3, 4) dan melalui titik B(6, 7) merupakan jarak antara titik A dan B, yaitu



7.71



 PDGK4406/MODUL 7



 6  32   7  4 2



AB 



AB  32   3



2



AB  9  9 AB  3 2



jari  jari(r)  3 2 satuan



Persamaan lingkaran yang berpusat di A(3, 4) dan melalui B(6, 7) adalah



3 2 



2



  x  3   y  4  2



2



18  x 2  y 2  6x  8y  25



atau 0  x 2  y2  6x  8y  7 5) B. Koordinat kutub dari



r x y



2











2



2



r 2  3 3 tan  



3 3 3



2



 



 3







3, 3 dengan r ≥ 0 dan 0     adalah



33  36  r  6 1 5 3    150o  . 3 6



 4  6) D. Koordinat kartesius dari A  3,  adalah  6  4 1  3  y  3sin  3 3  3 6 2  2   3 3  3 A  , 4 3  2 2   1 x  3cos  3x       6 2   2 7) C. 8) D.



Lihat Contoh 7.11



  2   Jarak antara titik M  3,  dan N  2,   . 6  6  



7.72



Pembelajaran Matematika SD 



 2  Koordinat kartesius dari M  3,  adalah  6  2 1  3  y  3sin  3 3  3 6 2   2  3 3  3 M , 2 2 2  1 3  x  3cos  3    6 2 2   Koordinat kartesius dari N  2,   adalah 6      1 y   2  sin      2      1   6  2   N  3, 1   1  x   2  cos      2   3   3    6 2   2      Jarak antara titik M  3,  dan N  2,   sama dengan jarak 6  6   antara 3 3  M , 3  dan N  3,1 , yaitu 2 2   3 2  3 2  MN   ( 3)     (1)  3  2  2  















pada



lingkaran















MN  13 satuan 9) C. Absis



x



=



2



memberikan ordinat y di dua titik yaitu



22  y 2  4(2)  6y  13  25 y 2  6y  16  0



 y  8 y  2   0 y1  8



dan



y 2  2



x 2  y2  4x  6y  13  25



7.73



 PDGK4406/MODUL 7



10) D. Kita telah tahu bahwa y sin   , dengan r  5  y  5sin  r x cos   , dengan r  5  x  5cos  r Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 5



r2   x  a    y  b 2



2



 52   5cos   32   5sin   2 2 Sebagai pengayaan: Pada Modul 8 (topik Trigonometri) ada suatu bentuk identitas cos2   sin 2   1 , dengan menggunakan bentuk identitas tersebut Anda dapat mempeeroleh bentuk lain dari persamaan lingkaran tersebut di atas dengan langkah sebagai berikut







 



25  25cos 2   (2).(3)(5cos )  9  25sin 2   (2).(2)(5sin )  4







25  25cos 2   25sin 2   (2).(2)(5sin )  (2).(3)(5cos )  4  9











25  25 cos 2   sin 2   (2).(3)(5cos  (2).(2)(5sin )  13 25  25 1   30 cos   20sin   13 0  30 cos   20sin   13 13  30 cos   20sin  Tes Formatif 2 1) A. (5, -2)



(bentuk



persamaan lingkaran)



2(5) – 5(-2) = 20 20 = 20 (benar). 2) C. Titik potong 6x + 2y = 12 terhadap sumbu-y, x = 0; y = 6 di titik (0, 6). Titik potong 6x + 2y = 12 terhadap sumbu-x, y = 0; x = 2 di titik (2, 0). 3) D. Persamaan garis yang melalui (2, 0) dan (0, -2) adalah y0 x2   2  0 02  



y  x2



7.74



Pembelajaran Matematika SD 



4) B. Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (7, -3) adalah  3  4 7 m  7   3 10 5) D. Persamaan garis yang melalui (5, -7) dengan gradien (-3) adalah y  (7)  (3)(x  5)



y  (3)x  8 6) A. Persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan (-4, -3) adalah y   3 x2   3   3       4  2



y3  0 y  3 7) C. Persamaan garis yang tegak lurus terhadap garis y = -2x + 2 1 mempunyai gradien dan melalui titik (3,1) adalah 2 1 1 1 y – 1 = (x – 3) atau y = x - . 2 2 2 8) A. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 4x – 2y = 8 mempunyai gardien 2 dan melalui titik (7, -3) adalah y – (-3)= 2 (x – 7) atau y = 2x - 17 9) B. Persamaan garis yang melalui titik (2,0) dan (0,-4) adalah y = 2x – 4. Jika titik (0, 0) di substitusikan ke y = 2x – 4 yaitu 0 = 2(0) – 4 diperoleh y ≥ 2x – 4. Jadi pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar adalah y ≥ 2x – 4. 10) C. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 0) dan (0, -1) adalah 1 y = - x – 1. 2



 PDGK4406/MODUL 7



Jika titik (0,0) di substitusikan ke y = diperoleh y >-



7.75



1 1 x – 1yaitu 0 = - (0) – 1 2 2



1 x – 1 adalah daerah setengah bidang koordinat yang 2



memuat (0, 0). Jadi pertidaksamaan dari daerah yang diarsir pada gambar adalah 1 y < - x – 1. 2



7.76



Pembelajaran Matematika SD 



Glosarium Absis (Abscissa)



:



Gradien (gradien)



:



Intercept



:



Jarak (distance) Koordinat



: :



Koordinat Kutub



:



Ordinat Origin



: :



Persamaan (equation) :



Koordina–x atau koordinat horizontal dari suatu titik pada suatu bidang. Kemiringan, adalah laju perubahan koordinat-y dari suatu titik pada suatu garis lurus terhadap koordinat-x. Bagian dari suatu garis, kurva, bidang, atau permukaan yang dipotong masing-masing oleh garis, kurva, bidang atau permukaan lain. suatu ukuran panjang jalur antara dua titik. Koordinat suatu titik adalah suatu pasangan terurut dari bilangan-bilangan yang menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang atau ruang. Suatu sistem koordinat untuk menentukan posisi suatu titik P dengan patokan jarak 0 dari suatu titik tetap O serta sudut yang dibuat oleh garis OP dengan garis OX, titik O dikatakan kutub. OP dikatakan jari-jari vektor dan sudut XOP yaitu  di ukur berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam (positif). Sudut  dinamakan amplitude. Untuk mengubah persamaan Cartesian menjadi persamaan polar kita buat transformasi sebagai berikut. y sin    y  r sin  r x cos    x  r cos  r y r 2  x 2  y2 dan tan   x Koordinat-y suatu titik dalam bidang. adalah suatu titik tetap dalam bidang atau ruang, sehingga dari titik tersebut jarak dapat di ukur. Titik tersebut merupakan titik perpotongan sumbusumbu koordinat. adalah pernyataan dari kesamaan.



7.77



 PDGK4406/MODUL 7



Daftar Pustaka Aufmann, R. N., dkk. 1985. Intermediate Approach.Houghton Mifflin Company: USA.



Agebra.



An



Applied



Dolciani, M. P., dkk. 1976. Algebra. Structure And Method. Book 1. Houghton Mifflin Company: Boston, USA. Hassi, R., dkk. 1987. Kamus Matematika, Inggris – Indonesia. Tarsito: Bandung. Purcell, Edwin J & Dale Varberg. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid I. Jakarta: Penerbit Erlangga. Purcell, Edwin J & Dale Varberg. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid II. Jakarta: Penerbit Erlangga. Rice, B. J., dkk. 1981. College Algebra. Third Edition. PWS Publishers: USA. Sellers, G. 1984. Beginning Algebra. Brooks/Cole Publishing Company: USA. Willis, A. T., dkk. 1987. Intermediate Algebra. Second Edition. Wadsworth Publishing Company, Belmont: California. Wheeler, R. E.,---. Modern Mathematics. Eighth Edition. Brooks/Cole Publishing Company: USA.



Modul 8



Trigonometri Drs. Tarhadi



PE N DA H UL U AN



T



rigonometri merupakan suatu cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut segitiga dan sisi-sisinya yang digunakan pada bidang fisika, astronomi, teknik dan cabang matematika lainnya. Istilah “trigonometry” berasal dari bahasa Yunani yang artinya pengukuran segitiga. Dua astronom Yunani, Hipparchus (sekitar tahun 140 sebelum masehi) dan Ptolemy (sekitar tahun 150 sesudah masehi) menggunakan trigonometri untuk menyelesaikan masalah astronomi yang mereka hadapi. Pada Modul 8 ini akan Anda pelajari fungsi trigonometri yang didefinisikan berdasarkan pendekatan lingkaran dan dilanjutkan dengan pendekatan segitiga siku-siku. Pengetahuan Anda tentang koordinat bidang dan dalil Pythagoras dapat membantu Anda dalam mempelajari modul ini. Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda mampu menjelaskan konsep fungsi trigonometri dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Secara lebih terperinci diharapkan Anda mampu: 1. menjelaskan konsep sudut pada kajian trigonometri; 2. menjelaskan perhitungan dengan konversi antar satuan sudut; 3. menganalisis gerak melingkar suatu objek berdasarkan konsep sudut; 4. menjelaskan fungsi trigonometri dengan pendekatan lingkaran; 5. menentukan nilai fungsi trigonometri dengan tabel fungsi trigonometri; 6. menerapkan konsep fungsi trigonometri dari segitiga siku-siku; 7. menggunakan aturan sinus pada segitiga sebarang; 8. menggunakan aturan cosinus pada segitiga sebarang; 9. menentukan luas segitiga dengan rumus Heron; 10. menentukan jari-jari lingkaran dalam segitiga sebarang; 11. menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga sebarang.



8.2



Pembelajaran Matematika SD 



Untuk membantu Anda dalam menguasai kemampuan tersebut, dalam modul ini disajikan uraian materi dan contoh-contohnya, latihan memecahkan soal dan tes formatif pada tiap kegiatan belajarnya. Modul ini terdiri dari 2 (dua) kegiatan belajar, yaitu: 1. 2.



Kegiatan Belajar 1 : Sudut dan Fungsi Trigonometri. Kegiatan Belajar 2 : Fungsi Trigonometri Segitiga dan Penerapannya.



Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini bacalah dengan seksama uraian materi dan contoh-contohnya. Untuk memantapkan penguasaan materi modul kerjakanlah soal-soal latihan dan tes formatif dengan baik, secara individual, dalam kelompok kecil atau dalam tutorial.



8.3



 PDGK4406/MODUL 8



Kegiatan Belajar 1



Sudut dan Fungsi Trigonometri A. SUDUT Di dalam geometri sebuah sudut ditentukan oleh dua buah sinar atau dua garis g1 dan g2 dengan titik pangkal yang sama, misal titik O. Jika titik A dan B masing-masing pada garis g1 dan g2 maka AOB merupakan sebuah sudut (Gambar 8.1). Dapat pula dikatakan bahwa sebuah sudut merupakan dua segmen garis yang memiliki satu titik ujung, titik O. Sementara itu di dalam trigonometri sudut AOB dipandang sebagai hasil rotasi yang berawal dari g1, sebagai garis acuan, dan berakhir pada g2 sebagai garis pemberhentian dan titik ujung O sebagai pusat rotasi. Garis g 1, garis g2, dan titik O, masing-masing disebut sisi awal (inisial side), sisi akhir (terminal side), dan titik sudut (vertex).



Gambar 8.1.



Rotasi dapat dilakukan secara berulang-ulang sehingga menghasilkan dua sudut atau lebih dengan sisi awal dan sisi akhir yang masing-masing sama (g1 tetap sebagai sisi awal dan g2 tetap sebagai sisi akhir). Dua sudut atau lebih dengan sisi awal dan sisi akhir yang masing-masing sama dinamakan sudut sama batas (conterminal). Sebagai pelengkap dari definisi ini dikatakan bahwa suatu sudut sama batas dengan dirinya sendiri. Untuk contoh sudut sama batas lihat Gambar 8.2.



8.4



Pembelajaran Matematika SD 



Gambar 8.2.



1.



Sudut pada bidang koordinat Untuk pembahasan selanjutnya yang dimaksudkan dengan sudut adalah sudut yang digambarkan pada bidang koordinat xoy, dengan sumbu x positif sebagai sisi awal sudut (sisi acuan) dan pusat koordinat (0, 0) sebagai titik sudut. Sudut yang dibentuk oleh rotasi yang berlawanan arah jarum jam dinamakan sudut positif, sedangkan sudut yang dibentuk dengan rotasi yang searah jarum jam dinamakan sudut negatif (lihat Gambar 8.3). Jika sisi akhir sudut berimpit dengan sumbu koordinat maka sudut yang terbentuk dinamakan sudut kuadran (quadrantal angle). Pada pembahasan satuan sudut Anda akan mengetahui ukuran besar sudut kuadran.



Sudut positif Gambar 8.3.



2.



Satuan Ukuran Sudut Untuk menentukan ukuran besar sudut diperlukan satuan. Satuan yang digunakannya terdiri dari dua macam, yaitu derajat dan radian. Satuan derajat sudut digunakan pada pemetaan tanah, navigasi dan pembuatan perkakas mesin. Sedangkan satuan radian digunakan pada bidang sains dan matematika, di antaranya digunakan pada fisika dan kalkulus.



8.5



 PDGK4406/MODUL 8



3.



Derajat



1  1 kali putaran dan 360 dilambangkan dengan 1 . Dengan definisi tersebut maka besar sudut kuadran adalah 0 ,90 ,180 , 270 ,360 , dan kelipatannya. Sementara itu besar sudut Didefinisikan satu derajat sama dengan



 dengan 0    180 dikelompokkan menjadi tiga kategori, yaitu: sudut  , dengan 0    90 , dinamakan sudut lancip, sudut  dengan   90 dinamakan sudut siku, dan sudut  , dengan 90    180 , dinamakan sudut tumpul. Dua buah sudut lancip yang positif dikatakan saling berkomplemen jika jumlah dua sudut tersebut 90. Misalnya sudut 20 dan 70 , sudut 20 merupakan komplemen dari sudut 70 dan sebaliknya. Sementara itu dua buah sudut positif dikatakan saling berpelurus jika jumlah dua buah sudut tersebut 180. Misalnya sudut 80 dan sudut 100 , kedua sudut tersebut saling berpelurus, sudut 80 merupakan pelurus dari sudut 100 dan sebaliknya. Sudut antara 0 dan 360 dengan arah positif dan negatif masingmasing dikelompokkan dalam empat kuadran berikut. Tabel 8.1. Untuk sudut positif dengan 0    360 o



Kuadran Sudut (derajat)



I 0o < θ < 90o



II 90o < θ < 180o



o



III 180o < θ < 270o



IV 270o < θ < 360o



Tabel 8.2. Untuk sudut negatif, dengan 360o    0o Kuadran Sudut (derajat)



3.



I -360o 0, b akar kuadrat dari a, maka b disebut “akar kuadrat utama dari a”. Jika a > 0, –b akar kuadrat dari a, maka –b disebut “akar kuadrat negatif dari a”. 0, merupakan “akar kuadrat utama dari 0”.



Kita telah mendefinisikan bahwa:



a m . a n  a mn dan



am 



n



 a mn



untuk m dan n bilangan bulat



Definisi di atas juga berlaku untuk m dan n bilangan pecahan. Jadi untuk p r m dan n  dengan p, q, r, s bilangan bulat dan q  0, s  0 q s berlaku: 1. 2.



a a  a m



n



m



n



p q



p q



r as



a : a = a :



a



r as



p r  q s



= a



 a m n



p r  q s



= a mn



r



3.



am 



n



pr  p s q qs   a  a = a mn    



1



1



1 1



 1 Jika m = n = , maka a 2  a 2  a 2 2  a 2



 



1 Kalau m = 2 dan n = , maka a 2 2 Mengingat



1 25 2



berarti



1 (25) 2



.



1 2



a



2.



1 2



 a , sehingga



1 25 2



 5.



9.17



 PDGK4406/MODUL 9



Jadi: 1



1



1



25 2  (25) 2  (52 ) 2  5 . Contoh 9.5. 1



1.



16 2  4 sebab 42 = 16 dan 4 > 0.



2.



16 2  4



3.



1212  11



4.



02  0



5.



 



1



1



1



32



1 3



3



2. 1



3



2



 33



2



6.



1 1. 2  12  3  5   5 2 3  53  



7.



7 5 .7 4  7 5



2



23 4



3



7



8 15 20 23



 7 20



Problem yang Terjadi Kerap kali kita menemui kesalahan ketika menyelesaikan soal-soal bilangan berpangkat. Kesalahan itu terjadi disebabkan kesalahan penulisan, misal: 1. 2.



a m × a n = a mn m m n a : a = an



3.



 ab n



4.



a   b



5.



am 



= abn



n =



n



an b



n = am



yang seharusnya



am × an = am  n



yang seharusnya



am : an = am  n



yang seharusnya



 ab n



yang seharusnya



a   b



yang seharusnya



am 



= a n bn



n =



n



an bn



= a mn



9.18



Pembelajaran Matematika SD 



Kesalahan-kesalahan ini terjadi karena pemahaman konsep yang belum benar. Agar kesalahan konsep ini tidak berulang, siswa disarankan untuk lebih cermat dan sering berlatih menyelesaikan soal. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! Selesaikan: 1.



(3x0y-5z-3)3 = ….



2.



(5x3y-5z2)4 = ….



3.



(4xn+1ym-1)r (32x1-ny1-m)r = ….



4.



 3x 2  5 y



5.



6.



7.



  



3



2x 2 y 2 3y5



 ….



 ….



4a14 b3 18a 2 b 10



25x a  b yb a 5x a  b yb  a



 ….



 ….



1



8.



 13 52  3x y 1  5  9x



3   ….  



9.



3a 2 . 9a



1



n 1



2



 ….



9.19



 PDGK4406/MODUL 9



Petunjuk Jawaban Latihan 1.



Gunakan formula (am)n.



2.



Gunakan formula (am)n.



3.



Gunakan formula (am.an) dan (am)n.



4.



a Gunakan formula   dan (am)n. b



5.



Gunakan formula



6.



Gunakan formula



7.



Gunakan formula



8.



am a Gunakan gabungan formula   dan . b bn



9.



Gunakan formula a m .a n .



n



am bn am bn am bn



. . . n



1



1



R A NG KU M AN



1. 2. 3.



4.



a n  a  a  a a ; a disebut bilangan pokok dan n pangkat. n faktor Setiap bilangan jika dipangkatkan nol hasilnya satu, yaitu a 0 = 1. Sedangkan 0n tidak didefinisikan untuk n yang tidak positif. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, pangkatnya dijumlahkan, sedangkan bilangan pokoknya tetap. a m . an = am+n. Bilangan berpangkat yang dipangkatkan, bilangan pokoknya tetap, sedangkan pangkatnya dikalikan. (am)n = am n.



9.20



Pembelajaran Matematika SD 



5.



Bilangan berpangkat yang pangkatnya negatif dapat diubah menjadi 1 bilangan berpangkat dengan pangkat positif. a  m  dan am 1  am . m a



6.



Bilangan berpangkat yang pangkatnya bilangan rasional, sifatp sifatnya sama dengan bilangan berpangkat yang lain. Jika m = q



r dengan p, q, r dan s bilangan-bilangan bulat dan q  0, s s  0 berlaku: dan n =



p



r



p



r



p r



a.



 a m . a n = a q . a s = a q s = a m n .



b.



 a m : a n = a q : a s = a q s = a mn .



c.



7.



a 



m n



p r



r



pr  p s   a q   a qs = a mn .    



Bilangan pecahan yang dipangkatkan sama dengan memangkatkan pembilang dan penyebut. n



an a    n b b n



 apc  a np cn  q   nq . b  b   TES F OR M AT IF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1)



(2x 3 y)(16x5 y3 )  …. A.



25 x 2 y4



B.



25 x 2 y4



 PDGK4406/MODUL 9



2)



3)



C.



25 x 2 y4



D.



25 x 2 y4



7mn.72m3n  …. A.



73m2n



B.



72m2n



C.



73m2n



D.



73m 2n



12x a 1



 …. 4x 2a A. 3x3 B. 3x2a1 C. 3x1 D. 3xa1



4) (5xmy3z2)s = …. A. 5sxmsy3+sz2s B. 5sxmsy3+sz2+s C. 5sxmsy3sz2s D. 5sxm+sy3sz2+s 5) (243y3)5 (81y2)7 = …. A. 33y29 B. 39y1 C. 33y29 D. 39y210 5



 4x 2a yb 1  6)    ….  2x a 1y1 b    1 2a 1 2 A. x y 32 B.



32x10a y10 x 5



9.21



9.22



Pembelajaran Matematika SD 



C. D.



x10a y10 32x 5 x10a y10 32x 5 n



7)



 2m n  m  2a 3 b m  = ….     A. B.



2 n 2 n n 2 2m a 3 b m



2 n a3 2 n n 2 2m bm



2



n



C.



2m a 3 n2



bm



2



2



1



D.



n



(2 m a 3 ) n n



n



(2 m ) m



8)



 2c  a  b7c 



a



C.



3



 a 4c  3c b 



1



A. B.



   



10ac 24ac



b



1 a10ac b24ac b 24ac a10ac



   



a



= ….



9.23



 PDGK4406/MODUL 9



D.



9)



a10ac b 24ac



 1 2 3 2   p q   2    A. 16



2



= ….



q12



p8 B. 16 p8q12 C. 16



p8



q12 D. 16p-8 q-12  2 3   2 1 2    10)    a 2 b 3      3        9 12 16 a b A. 4 224 12 16 B. a b 324 4 24 16 C. a b 9 D.



224 324



4



a 24 b16



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar  100% Jumlah Soal



9.24



Pembelajaran Matematika SD 



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.25



 PDGK4406/MODUL 9



Kegiatan Belajar 2



Terapan Bilangan Berpangkat, Notasi Baku (Scientific Notation)



A



da berbagai macam simbol atau notasi suatu bilangan seperti notasi pecahan, desimal dan persen yang sudah biasa kita gunakan. Pada kegiatan belajar ini kita mempelajari notasi yang lain, khususnya yang berkaitan dengan pekerjaan, dan bermanfaat sekali untuk pemecahan masalah. Notasi tersebut adalah notasi bilangan berpangkat yang penulisannya dinyatakan dalam bentuk baku. Notasi ini sering digunakan pada disiplin ilmu lain seperti kimia, fisika, dan anatomi. Definisi 9.9. Setiap bilangan positif dapat dinyatakan dalam notasi baku: a × 10n dengan 1  a < 10 dan n bilangan bulat. Contoh 9.6. 1. Ubah 3560 ke dalam notasi baku: 3560 3560 = × 1000 = 3,560 × 103 1000 Amati bahwa pembagian dengan 1000 atau 10 3 adalah suatu kenyataan yang terjadi oleh bergeraknya tiga tempat koma ke arah kiri (menghasilkan 3,56) dikalikan 103. 2.



Tuliskan dengan cepat 0,00073 ke dalam notasi baku: 0, 00073 0,00073 = × 10.000 10.000 7,3 = = 7,3 × 104 104 Pembagian dengan 10.000 atau 104 ini terjadi karena tanda koma dari 0,00073 bergerak ke arah kanan melewati empat angka atau empat digit, menghasilkan 7,3 × 104.



9.26



Pembelajaran Matematika SD 



Berikut contoh notasi baku: 6,4 x 106 0,3 x 108 3,75 x 105 2,0 x 109



artinya 6.400.000 artinya 30.000.000 artinya 0,000.0375 artinya 0,000.000.002 Tabel 9.10



Notasi Biasa 7 100 7.500 7.500.000 3.750.000.000.000 0,000.000.063 5 x 0,000.001 3 x 0,000.000.000.000.000.1



Notasi Baku 7 × 100 1 × 102 7,5 × 103 7,5 × 106 3,75 × 1012 6,3 × 108 5 × 106 3 × 1016



Bilangan negatif juga boleh ditulis dalam notasi baku. Sekarang amati, pikirkan atau diskusikan untuk melengkapi Tabel 9.11. Tabel 9.11 Problem



Faktor



Nilai



0,0701







0, 0701  100 100



7, 01



0,000 0037







0,0000037 1.000.000 1.000.000



3, 7



0,000 000 105



…..



0,9814



…..



0,00432







0,08000 00059



…..



0, 00432 1.000 1.000



102



106



….. -9,814 10



Notasi Baku 7,01 x 102



3,7 x 106 1,05 x 107 9,814 x 101



…..



…..



…..



8,000 00059 102



 PDGK4406/MODUL 9



9.27



Dari paparan pada Tabel 9.11 dapatkah Anda menyimpulkan? Jika Anda masih mendapatkan kesulitan menyimpulkan, perhatikan angka-angka pada tabel sebelah kanan sebagai berikut. 7,01 3,7 1,05 9,814 8,000 000 59 dan seterusnya. Berapakah bilangan terbesar dari bilangan-bilangan itu? Dengan demikian bilangan negatif dapat ditulis dalam notasi baku seperti tertuang dalam definisi berikut: Definisi 9.10. Setiap bilangan negatif dapat dinyatakan dalam notasi baku: a 10n dengan 10  a  1 dan n bilangan bulat. Contoh 9.7. 1. Kecepatan cahaya 186.000 mil/detik dan jarak matahari ke bumi 93.000.000 mil maka tentukan waktu yang diperlukan sinar matahari mencapai bumi! Penyelesaian: Jika d = jarak matahari ke bumi r = kecepatan cahaya t = waktu yang diperlukan Maka: d = r.t d t = r 93.000.000 mil t = 186.000 mil/det t



=



9,3.107 5



mil .



1,86.10 t = 5 × 102 detik atau t = 500 detik.



det mil



9.28



2.



Pembelajaran Matematika SD 



Selesaikan  0, 27 840 



 21.000.000  0, 0012 



dalam notasi baku.



Penyelesaian:



 2, 7 10  8, 4 10   0, 27 840    21.000.000  0, 0012   2,1107  1, 2 103  1







2, 7  8, 4 101  102  2,11, 2 107  103







0,9  7  103 0, 7



2



 9  103 3.



Sejenis kawat akan digunakan membuat 350 km transmisi. Diameter kawat 1,2 cm. Berapakah volume kawat yang diperlukan, untuk satu kawat panjangnya 350 km? Penyelesaian:



1,2 cm Volume kawat: V V



350 km



= = = = =



 . r2 . h 3,14 (0,5  1,2)2 35.000.000 3,14  0,62  3,50  107 3,14  0,36  3,5  107 3,9564  107 cm3.



Beberapa penggunaan notasi baku: 1. Jarak dari planet Pluto ke matahari = 3,664  109 mil.



9.29



 PDGK4406/MODUL 9



2. 3. 4. 5. 6.



Massa elektron = 9,11  1028 gram. Populasi manusia di Amerika Serikat = 2,04  108. Panjang gelombang sinar merah = 6,6  105 cm. Pendapatan bersih Amerika Serikat 1 tahun = U$ 9.32  1011. Harga sebuah elektron = 4,8  1010 electrostic units.



Nama Standar Bilangan Besar Seratus Seribu Satu juta Bellion/satu milyar Trillion Qudrillion Quintillion Sextillion Septillion Octillion Nonillion Decillion Googol



102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 1027 1030 1033 10100



= 100 = 1.000 = 1.000.000 = 1.000.000.000 = 1.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000



Nama Googol diambil dari nama kemenakan ahli matematika Amerika Edward Kasner yang berumur 9 tahun, nama itu populer pada Tahun 1940 dalam bukunya Mathematics and the Imagination. LAT IH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tulislah ke dalam notasi baku bilangan-bilangan besar berikut. A. 8.760.000.000 B. 0,000.000.004.004 C. 6.835.000.000.000 D. 0,000.100.937



9.30



Pembelajaran Matematika SD 



2) Tentukan jawabannya! A. (300.000.000)(0,000.000.3) = ….  0, 000.000.17  0, 000.000.53 …. B.   0, 000.6  0, 000.000.000.17  C.



81.000.000.000 0, 000.000.9   0, 000.000.027  0, 000.000.1



….



3) Ibu Hartini akan mendepositokan uangnya Rp.10.000.000,- dengan suku bunga 8% tiap tahun. Berapakah uang yang diterima sesudah 2 tahun dengan aturan bunga berbunga? 4) Seorang pengusaha meminjam uang sebagai modal awal di Bank sebesar Rp.4.000.000,00 dengan bunga majemuk 30% tiap tahun selama 2 tahun. Berapakah besar uang yang harus dikembalikan ke Bank pada waktu jatuh tempo? 5) Jarak yang ditempuh cahaya dalam 100 tahun mendekati 5,8  1014 mil. Berapakah jarak tempuh cahaya dalam 13 minggu? Petunjuk Jawaban Latihan Cocokkan jawaban Anda dengan penyelesaian ini. 1) a. 8,76 × 109 b. 4,004 × 109 c. d. 2) a. b.



c.



6,835 × 1012 1,00937 × 104 3 × 108 . 3 × 107 = 9 × 10



1, 7 107 . 5,3 107   1, 7  (5,3)  8,833 101  6 104  1, 7 1010  6  (1, 7) 8,11010   9 107   27 1018  2, 7 1019  2, 7 108    1107 



9.31



 PDGK4406/MODUL 9



3) Rumus yang digunakan M t  M0 1  i  di mana M 0 = uang awal



i t Mt M0



t



= suku bunga = 8% = 0,08 = waktu = 2 tahun = jumlah uang setelah didepositokan = 107 (1 + 0,08)2 = 107 × 1,082 = 1,1664 × 107



4) Penyelesaian seperti soal nomor 3. Diketahui M 0 = 4.000.000 = 4 × 106 i t M3



= 30% = 0,3 =3 = 4 × 106 × (1 + 0,3)3 = 4,3709 × 106 .



= 100 tahun = 4.800 minggu = 4,8  103 minggu = 5,8 × 1014 mil = 13 minggu 13 Jarak yang ditempuh = × 5,8 × 1014 mil 3 4,8 10



5) t1 d t2



= = =



13  5,8 1014 4,8 103 15,7 × 1011 mil 15,7 × 1012 mil



mil



R A NG KU M AN



Setiap bilangan dapat ditulis dalam notasi baku, dan terapannya digunakan pada disiplin ilmu kimia, fisika, anatomi, dan yang lain. Penulisannya dinyatakan dengan notasi:



9.32



Pembelajaran Matematika SD 



a  10n



dengan n bilangan bulat



Untuk bilangan-bilangan positif nilai a adalah: 1  a < 10 Untuk bilangan-bilangan negatif nilai a adalah: 10 < a  1



TES F OR M AT IF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Notasi baku dari 957.000.000.000.000.000 adalah …. A. 957 × 1015 B. 95,7 × 1016 C. 9,57 × 1017 D. 0,957 × 1018 2) Notasi baku dari 0,000.000.000.010.3 adalah …. A. 1,03 × 1012 B. 1,03 × 1011 C. 1,03 × 1011 D. 1,03 × 1012. 3) Cari hasilnya: A. B. C. D.



 72.000.000.000 0, 000.000.018   0, 000.003 0, 000.000.101



4,28 × 1015 4,28 × 1014 4,28 × 1014 4,28 × 1015



….



 PDGK4406/MODUL 9



9.33



4) Tentukan hasilnya dari (0,000.000.002)(4.000.000) = …. A. 8 × 1015 B. 8 × 103 C. 8 × 103 D. 8 × 1015. 5) Pada tahun 1939 sebelum perang dunia ke II US $1,- senilai dengan 3,38 pengo Hongaria. Tetapi pada Tahun 1946 karena Hongaria inflasi nilai tukar US $1,- seharga 500.000.000.000.000.000 pengo. Tulislah dalam notasi baku dari nilai tukar yang terakhir! A. 500 × 1015 pengo B. 50 × 1016 pengo C. 5 × 1017 pengo D. 0,5 × 1018 pengo 6) Luas tanah yang berbentuk bujur sangkar atau persegi = 36.000 m2. Dijual dengan harga Rp.4.800.000,-/m2. Mediator menjual tanah itu dengan harga Rp.4.900.000,/m2. Tentukan keuntungan mediator. A. 36 × 1010 rupiah B. 3,6 × 109 rupiah C. 3,6 × 1010 rupiah D. 36 × 1011 rupiah. 7) Seorang astronot berada di bulan mengirimkan suatu pesan radio dengan kecepatan 238.000 mil/det. Berapa lama pesan radio itu sampai di bumi jika jarak dari bumi ke bulan 350.000 km dan 1 mil = 1,6 km? A. 9,2 × 10-1 detik B. 9 × 10-2 detik C. 9,2 × 10-2 detik D. 9 × 10-1 detik.



200  0, 0004  64.000 = .... 4.000  0, 032  0, 08 5 ×104 5 ×103 5 ×102 5 ×10



8) Hitung: A. B. C. D.



9.34



Pembelajaran Matematika SD 



Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar  100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.35



 PDGK4406/MODUL 9



Kegiatan Belajar 3



Logaritma dan Terapannya



L



ogaritma merupakan invers dari perpangkatan suatu bilangan. Materi ini sering digunakan dalam penyelesaian masalah Fisika, Kalkulus, Persamaan Diferensial, dan lain-lain. Untuk menguasai dan mengerti makna logaritma, perhatikan Tabel 9.12, lengkapilah tabel tersebut dengan mengisi titik-titik yang telah tersedia. Tabel 9.12



Problem



1 243 1 81 ….. …..



1 3



Perpangkatan



1 5



3 1



4



3 1



3



3 …..



1



=



35



=



34



3



=



…..



3



=



32



=



1



Logaritma



…..



3



log



3



….. …..



30 …..



9



…..



32



243 3n



…..



5



1 = 3log 3-4 81



4



1 = 3log 3-3 27 …..



log



3



1 3



1 = 3log 3-5 243



log



log



1 3 = log 3-1 3



….. 2 …..



….. …..



0 1



log 9 = 3log 32



…..



….. log 3n



5 n



3



….. 3n



Hasil



3



Jika angka 3 Anda ganti dengan a maka Anda dapatkan suatu bentuk umum:



x  a n a log x a log a n  n



9.36



Pembelajaran Matematika SD 



Keterangan: a dinamakan bilangan pokok. x bilangan yang ditarik logaritmanya. n hasil penarikan logaritma.



Catatan: 1 = a0 a = a1



 



Contoh 9.8. 1 1. = 54 625 2. 64 = 26



a



log 1 = 0 log a = 1



a



1 = 5log 54 = 4 625 2 log 64 = 2log 26 = 6 1 = 26 64







5



log







3.



1 6 = log 64



4.



1 2 = log 2 3 3



2







1



5.



1 2 log 1



6.



1 2 log 64



7.



8



5



= 3 = 6



log 125 = 3







……..







……..







……..







……..



SIFAT-SIFAT LOGARITMA Pembuktian formula-formula logaritma berikut ini menggunakan pendekatan deduktif. Sifat 9.1. Jika p, x, dan y bilangan real positif dan p  1, maka



1.



p



log xy = plog x + plog y



9.37



 PDGK4406/MODUL 9



2.



p



log



x p = log x  plog y y



Bukti: 1.



Misalkan plog x = q dan plog y = r, maka x = pq dan y = p r. q r x.y = p . p x.y = pq+r p log xy = q + r p log xy = plog x + plog y  terbukti. p p Jadi: log xy = log x + plog y



2



Misalkan



p



log x = q dan plog y = r, maka x = pq dan y = p r.



x pq = y pr x = pqr y



Jadi: plog



p



log



x =qr y



p



log



x p = log x  plog y  terbukti. y



x p = log x  plog y y



Catatan: Jika bilangan pokok logaritma tidak ditulis, berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10.



9.38



Pembelajaran Matematika SD 



Contoh 9.9. 1.



3



log 18 = 3log (2 . 32) = 3log 2 + 3log 32 = 3log 2 + 2



2.



3



1 1 3 + log 54 + 3log 162  3log 4 2 6 1 3 log + 3log 2.33 + 3log 2.34  3log 32. 21 2.3 3 log 21 + 3log 31 + 3log 2 + 3log 33 + 3log 2 + 3log 34  3log 32 - 3log 21 3 log 2-1 + (1) + 3log 2 + 3 + 3log 2 + 4 – 2 – 3log 2-1 2 3log 2 + 4



log



= = = = 3.



log 15 + log 20 = = = = = =



log (15.20) log 300 log (3.100) log 3 + log 100 log 3 + log 102 log 3 + 2



4.



log 125  log 75 = log = log



125 75 53



3.52 5 = log 3 5.



2 3 2 3 2 2 2 2 2 4 log 2 .3 + log 2 .7  log 2 .3 + log 2 .3 + 2log 2  2log 3 2 log 23 + 2log 3 + 2log 22 + 2log 7  2log 22  2log 3 + 2log 24 + 2log 3 + 1  2log 3 3 + 2 + 2log 7  2 + 4 + 1 8 + 2log 7.



log 24 + 2log 28  2log 12 + 2log 48 + 2log



2



= = = =



9.39



 PDGK4406/MODUL 9



Sifat 9.2. p



log xn = n plog x ;



p dan x bilangan real positif, p  1dan n bilangan rasional.



Bukti: Misalkan plog x = q; maka x



= p q.



xn =



 pq 



n



xn = pn q Jika kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p maka: p log xn = plog pnq p log xn = nq p n p Jadi: log x = n log x  terbukti. Contoh 9.10. 1.



Sederhanakan: 1 log y5 + log  3 log y; untuk y  0. y2 Penyelesaian: 1 log y5 + log  3 log y = 5 log y + log y2  3 log y y2 = 5 log y  2 log y  2 log y = 0



2.



Hitunglah y jika: 2y = 8, dan y  R. Penyelesaian: 2y = 8  log 2y = log 23  y log 2 = 3 log 2 y=3



9.40



3.



Pembelajaran Matematika SD 



Hitung p jika 3p = 54; gunakan daftar logaritma. Penyelesaian: 3p = 2.33  log 3p = log 2 . 33 p log 3 = log 2 + 3 log 3 (p – 3) log 3 = log 2. log 2 p–3 = log 3



0,3010 0, 4771 = 0,6309 = 3,6309. =



p



Tabel Logarima 1 N 0 1 2 1 2 3 3010 4 4771 



Sifat 9.3.



P



log x =



log x ; log p



Bukti: Misal: plog x = q; maka x = pq log x = log pq log x = q log p log x q = log p P



log x =



log x log p



Jadi: Plog x =



 terbukti.



log x . log p



x; p  Real positif dan p  1



3



…



9.41



 PDGK4406/MODUL 9



Contoh 9.11 1.



Diketahui: e  2,72 Hitunglah: elog 16 Penyelesaian: log16 e log 16 = log e =



log16 log 2, 72



1, 2041 = 0, 4346 = 2,7706. 2.



N 0 1 2  16



Tabel Logaritma 2 0 1 2 3 …



2041



 272



4346



1 2 log 3 . 2 Penyelesaian: 1 log 3 1 2 log 3 = 2 2 log 2 Hitung:



1  0, 4771 = 2 0,3010 0, 2385 = 0,3010 = 0,7925. 3.



Jika x = 0,5018 dan y = 0,9542. Hitung: xlog y. Penyelesaian: log y x log y = log x =



log 0,9542 log 0,5018



Tabel Logaritma 3 Bilangan Logaritma 0,9542 0,9796 – 1 0,5018 0,7005 – 1



9.42



Pembelajaran Matematika SD 



  log  5, 018  101 



log 9,542  101 =



0,9796  1 0, 7005  1 = 0,068. =



Catatan: Dua bilangan pokok yang umum dipakai: 1. Logaritma biasa yang memakai bilangan pokok 10. 2. Logaritma naturalis yang memakai bilangan pokok e  2,72. Biasa ditulis: elog x = ln x. Sifat 9.4.



1.



p



log x . x log y  p log y ;



2.



p



log x  p log y  x  y



3.



p, x, y elemen bilangan real positif, m, n,  Q; p  1; n  0



m



Pn



log x m  p log x n



Bukti: 1.



p



log x . xlog y =



Jadi: 2.



Misal:



log x log y log y p  = = log y log p log x log p



p



log x . xlog y = plog y log x = a  x = pa …………………... (i) log x = plog y = a maka plog y = a  y = pa ….... (ii) Dari (i) dan (ii) didapat: x = pa = y Jadi x = y  terbukti. p p



3.



n Misalkan: p log x m  q maka



9.43



 PDGK4406/MODUL 9



 pn 



q



 xm .



 p nq  x m m



 pq  x n



Kedua ruas dilogaritmakan dengan bilangan pokok p







p



log pq 







Jadi:



pn



log x m 



q p



p p



m



log x n m



log x n



m



log x n  terbukti.



Contoh 9.12. 1. 2log 5 x 5log 3 x 3log 8 = (2log 5 x 5log 3) x 3log 8 = 2log 3 x 3log 8 = 2log 8 = 2log 23 = 3. 2.



2



log 6 x 6log 3 x 3log 16 = (2log 6 x 6log 3) x 3log 24 = 2log 3 x 3log 24 = 2log 24 = 4.



3.



2



log 7 x 49log 36 x 6 log 4 log 7 log 36 log 4    1 log 2 log 49 log 6 2







log 7 log 2







2 2  1  2 1 2  4.



2 log 6 2 log 7







2 log 2 1 log 6 2



9.44



4.



Pembelajaran Matematika SD 



4 log 64 = 2 log 26



16



6



 2 log 2 4 2



 2 log 2 3 



5.



1 9 log



1  243



3 2



4



log8 







1    3



2



5



1 log   3



5 1 1 2 3 log  



   3







22



log 23 3



2



log 2 2



5 3 2 2  4.



 



6.



1 32 log128 49



5



1



1  2  log  log 27  343



72



5



=



=



1   2



1 log   2



7 1 1 5 2 log  



7



3



1 log   7







72



log  7  3



7 2    log 7 2



7  3 =    5  2 14  15 = 10 1 = 10



3



 PDGK4406/MODUL 9



9.45



Problem yang terjadi Kerap kali kita menemui kesulitan ketika menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan logaritma. Kesulitan itu terjadi disebabkan kesalahan penulisan, misal: p log x ditulis p log x, ini adalah kesalahan yang fatal, sebab plog x artinya p adalah bilangan pokok; dan x bilangan yang ditarik logaritmanya, sedangkan p log x = log xp; p berarti pangkat dari x dan bilangan pokoknya adalah 10. Karena itu disarankan Anda berhati-hati dalam menulis bentuk logaritma. PENERAPAN LOGARITMA Sifat-sifat logaritma dapat digunakan dalam penyelesaian masalahmasalah dalam berbagai bidang ilmu yang perhitungannya menggunakan operasi hitung: perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar. Misalnya dalam mencari luas pada geometri datar, dan mencari volume pada geometri ruang. Dalam modul ini hanya ditunjukkan terapan sifat-sifat logaritma untuk perhitungan bunga majemuk dan pertumbuhan penduduk. Sedangkan terapan untuk bidang lain Anda dapat mengembangkannya sendiri. Model Bunga Majemuk Untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan, kita dapat menggunakan model bunga majemuk:



i   M t  M0 1    m



mt



di mana: M t = jumlah pinjaman atau tabungan setelah t tahun



M 0 = jumlah sekarang (tahun ke-0)



i m t



= tingkat bunga per tahun = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun = jumlah tahun



9.46



Pembelajaran Matematika SD 



Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun. Jumlah dimasa datang tersebut dapat dirumuskan menjadi



M t  M0eit dengan e  2,7183 Bentuk ini dinamakan model bunga majemuk sinambung. Bunga majemuk sinambung dalam kasus pinjam meminjam seringkali dipraktikkan oleh para pelepas uang atau “lintah darat” yang kadang-kadang menetapkan atau memperhitungkan bunga atas uang yang dipinjamkannya secara harian (m=360). Oleh karenanya model ini dapat pula kita sebut “model lintah darat”. Contoh 9.13. Seorang ibu rumah tangga meminjam uang sebesar Rp. 10.000.000,00 pada seorang pelepas uang untuk jangka waktu 2 tahun. Suku bunga sebesar 10% per tahun diperhitungkan secara harian (dalam bisnis 1 tahun = 360 hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayar oleh ibu rumah tangga tersebut pada saat hutangnya jatuh tempo! Penyelesaian. 1.



i   Dengan rumus bunga majemuk biasa M t  M0 1   m   a. tanpa menggunakan logaritma



0,1   M 2  10.000.000  1    360   10.000.000 1, 0003



3602



720



 10.000.000 1, 2411  12.411.000 b.



dengan menggunakan logaritma



M2  10.000.000 1,0003



720



log M 2  log107  720 log1, 0003  7  0, 0938  7, 0938 M 2  12.411.000



mt



9.47



 PDGK4406/MODUL 9



2.



Dengan rumus bunga majemuk sinambung: M t  M0eit a.



tanpa menggunakan logaritma 0,1 2 M t  10.000.000e  



M t  10.000.000  2, 7183



0,2



M t  10.000.000 1, 2214  M t  12.214.000 b.



dengan menggunakan logaritma



Mt  10.000.000e0,2 lnM t  ln10.000.000  0, 2 ln e lnM t  16,1181  0, 2 lnM t  16,3181 M t  12.214.000 Jadi, jumlah pelunasan Rp.12.400.000,00



hutang



sekitar



Rp.12.000.000,00



sampai



Contoh 9.14. Tabungan seorang mahasiswa yang semula Rp.4.000.000,00 menjadi Rp.5.324.000,00 setelah t tahun dengan suku bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Tentukan nilai t! Penyelesaian:



M t  M0 1  i 



t



5.324.000  4.000.000 1,1



t



log 5.324.000  log 4.000.000  t log1,1 6, 7262  6, 6021  0, 0414t 0, 0414t  0,1241 1, 241 t 3 0, 414



9.48



Pembelajaran Matematika SD 



Model Pertumbuhan Perkiraan jumlah penduduk di suatu daerah/negara dapat ditentukan, hal ini seperti yang dinyatakan oleh Malthus, bahwa penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematika dapat dirumuskan sebagai:



Pt  P1 1  r 



t 1



di mana P1 : Jumlah pada tahun pertama Pt : Jumlah pada tahun ke-t



r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun ke ..) Rumus tersebut tidak hanya digunakan untuk memperkirakan pertumbuhan penduduk, tetapi juga digunakan untuk memperkirakan pertumbuhan lainnya seperti pertumbuhan hewan atau ekonomi. Berikut adalah contoh penggunaan rumus tersebut. Contoh 9.15 Penduduk suatu kota berjumlah 2 juta jiwa pada tahun 2006, dan tingkat pertumbuhan penduduknya 3% per tahun. Hitunglah perkiraan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2020. Jika mulai tahun 2020 pertumbuhannya menurun menjadi 1,5%, berapa perkiraan jumlah penduduk 10 tahun kemudian? Penyelesaian: a.



P1  2 juta r  0, 03 t  tahun ke -15 P15  2.000.000 1  0, 03



14



 2.000.000 1,512589725  3.025.179 jiwa



atau dengan menggunakan logaritma



9.49



 PDGK4406/MODUL 9











log P15  log 2 106 1, 03



14



 log 2  6 log10  14 log1, 03  6, 480751142 P15  3.025.179 jiwa b.



P1  3.025.179 r  0, 015 t  10 P10  3.025.179 1  0, 015 



9



 3.025.179 1, 015 



9



 3.025.179 1,143389975  3.458.959 jiwa atau dengan menggunakan logaritma log P10  log 3.025.179  9 log1, 015



log P10  6,538945457 P10  3.458.959 jiwa Contoh 9.16 Produk Domestik Bruto (PDB) suatu negara pada tahun 2001 sebesar $35 milyar. Jika dalam periode 2001-2006 perekonomian bertumbuh dengan rata-rata 3% per tahun, berapa PDB negara tersebut pada tahun 2006? Penyelesaian:



P1  35 milyar dollar r  0, 03 t  tahun ke  6 P6  35 1  0, 03



5



 35 1, 03



5



 35 1,159274074   40,5745926 milyar dollar



9.50



Pembelajaran Matematika SD 



atau dengan menggunakan logaritma log P6  log 35  5log1, 03



 1, 608254168 P6  40,5745926 milyar dollar



1) Nyatakanlah dalam bentuk logaritma yang ekuivalen: a. k = 51 1 b. = 3-4 81 2) Nyatakanlah dalam bentuk perpangkatan yang sesuai. a. 3log 4 = x 1 1 2 b. = log 2 5 5 2 c. log a = 5 d. alog n = b 3) Tentukan x dari a. x = 2log 2 b. x = alog a 4) Sederhanakanlah: log 32 – 2log



1 64



a.



2



b.



log 5 + log 2



c.



log 3 + log 4 + log



5 - log 2 3



5) Selesaikanlah: a. 2log 45 + 2log 72 – 2log 81



9.51



 PDGK4406/MODUL 9



b.



x



log 1 + xlog 1 + xlog 1



6) Carilah x, jika diketahui xlog 8 + xlog 4 – xlog 2 = 2 7) Selesaikanlah: a. elog  jika e  2,72 dan   3,14 b. 3log 7 c. log 20 8) Hitung a. b.



1 3 log 9



log



9)



1 3 log



10)



1 27 log



9 1 3



81 x



81



243 



log 1 7



11) Tentukan x, jika



1  27



log 343 



1   x



2



log 729  1



Petunjuk Jawaban Latihan 1) a.



5



b.



3



2) a.



log k = 1 1 log  4 81



4 = 3x 1



b. c. d.



1



25 = 25 a = 25 n = ab



9.52



Pembelajaran Matematika SD 



3) a.



x = 2log 2







b.



x = alog a







4) a.



2



2x = 21 x=1 ax = a1 x=1



log 25 – 2log 2-6 = 2log



25



b.



2 6 log 5 + log 2 = log 10 = 1



c.



log 3 + log 4 + log



= 2log 211 = 11



5 - log 2 3



= log



3.4. 53 2



= log 10 =1 5) a.



2



log 32.5 + 2log 32.23 – 2log 34



= 2log



34 = log 2 + 2log 5 = 3 + 2log 5 2



b.



6)



x



log 1 + xlog 1 + xlog 1 Misal xlog 1 = c artinya xc = 1 xc = xo c =0 Maka xlog 1 = 0 Jadi xlog 1 + xlog 1 + xlog 1 = 0 + 0 + 0 = 0



x



log 8 + xlog 4 – xlog 2 = 2 8.4  xlog =2 2  xlog 16 = 2  16 = x2 x=4



7) a.



e



log  = =



log  log e log 3,14 log 2, 72



0, 4969 0, 4346 = 1,14 =



32.5.32.23 3



9.53



 PDGK4406/MODUL 9



b.



3



log 7 log 3



log 7 =



0.8451 0, 4771 = 1,771 log 20 log 20 = log10 =



c.



1,3010 1 = 1.301. =



8) a.



1 3 log



31



9 =



log 9



1



= 3 log 32 2



= 3 log 3 1 = 2 b.



9



log



1 = 3



32



log 31 



3



= log 3 = 



9)



1 3 log81



10)



1 1 27 log 243  7







81



=



1 2



log



1 = 27



1 3 3 log  1 



   3. 3



3



log 343 =



3



1    3



1 2



1 log   3



5







1    3



log 3



1 3 7 log  1 



  7



5



1 7



log 73



9.54



Pembelajaran Matematika SD 



=



5 1 3 log  1  3



  3



  3



5 =  3 3 1 = 1 . 3



11)



1   x



2



1   x



2



log 729 = 1



atau



1   x



2



log 729 = 1 1



= 1



  1 2       = 729  x    



1 6 x log 3 2



= 1



 x-2 = 729



1 x log 33



= 1



 x =  729  2



= 1



x=



1 27



 x=



1 . 27



6



log 3



log 33 1 log x



log 33 log x 1 log 33



= 1



33



= x–1







= log x–1



1



 PDGK4406/MODUL 9



1.



x = pn  plog x = n; x, p  Real positif, n  Q (rasional), p  1 p = bilangan pokok x = bilangan yang ditarik logaritma n = hasil penarikan logaritma.



2.



Jika p, x, dan y bilangan real positif dan p  1, n  Q, maka: a. plog x y = plog x + plog y x b. plog = plog x  plog y y c. plog xn = n plog x log x d. plog x = log p p x e. log x . log p = 1 f. plog x . xlog y = plog y g. plog x = plog y  x = y h.



pn



log x



m







p



m log x n



1) Logaritma yang ekuivalen dengan 256 = 28 adalah …. A. 8log 256 = 2 B. 2log 28 = 256 C. 2log 256 = 8 D. 256log 8 = 2. 2) Bilangan berpangkat yang sesuai dengan xlog 729 = 6 adalah …. A. 6x = 729 B. x6 = 729 C. 729x = 6 D. 7296 = x.



9.55



9.56



Pembelajaran Matematika SD 



1



3) Nilai p dari 4 log 64  p adalah …. A. 3 B. 2 C. –2 D. -3



25 4 15 4) Bentuk sederhana dari 2 log  2 log  2 log adalah …. 24 40 9 A. -4 B. –4 + 2log 3 C. 4 D. 4 + 2log 3 + 2log 5 5) Nilai n dari nlog 128  nlog 64 + nlog A. 2 1 B.  2 1 C. 2 D. 2. 6) Tentukan x  R sehingga …. 5 log (3 – 2x) + 5log (2 + x) = 1. 1 A. x = –1 atau x =  2 B. x = 0 1 C. x = –1 atau x = 2 1 D. x = 1 atau x =  2



1 = 2 adalah …. 8



 PDGK4406/MODUL 9



7) Sederhanakan: 5



A. B.



5



C.



1 2



D.







9.57



log 5 log 5



log 5



log 5



1 2



8) Nilai x dari 32x5 = 729. A. 11 B. 8 C. 6 1 D. 5 2 9) Jika e  2,72, hitung sampai 2 angka di belakang koma dari log e. A. 0,87 B. 0,88 C. 0,85 D. 0,84 10) Cari a, jika 2log a + 2log (a – 2) = 3, a  R. A. a = 4 B. a = 4 atau a = –2 C. a = –4 atau a = 2 D. a = –4 11) Tentukan suku bunga yang diperlukan untuk mendapatkan uang dua kali lipat dalam 10 tahun. Jika bunga berbunga (bunga majemuk) tiap tahun ... A. 6% B. 7% C. 8% D. 9%



9.58



Pembelajaran Matematika SD 



12) Modal awal seorang pengusaha kecil Rp.16.000.000,-. Uang tersebut hasil pinjaman di bank dengan bunga 20% setahun. Berapakah besar pengembalian pokok dan bunganya ke bank setelah 5 tahun, jika bunganya adalah bunga majemuk? A. Rp. 14.385.000,B. Rp. 15.415 000,C. Rp. 17.665.000,D. Rp. 19.115.000,13) Suatu perusahaan multilevel mulai beroperasi dengan 10 orang anggota. Pada setiap tahun operasi, setiap anggota merekrut 5 orang anggota. Jika pada tahun t jumlah seluruh anggota perusahaan multilevel tersebut 12.960 orang maka t = …. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan =



Jumlah Jawaban yang Benar  100% Jumlah Soal



Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat mempersiapkan diri untuk mengikuti Ujian Akhir Semester (UAS). Selamat! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.



9.59



 PDGK4406/MODUL 9



Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1)



D,



gunakan formula a m  a n



2)



A,



gunakan formula a m  a n



3)



B,



gunakan formula



4)



C,



gunakan formula a m



n



5)



A,



6)



D,



s   



am an



  n gunakan formula  a m  dan a m  a n n gunakan formula  a m  dan a m  a n



7)



B,



 p gunakan formula  a n  



8)



B,



gunakan formula a m



9)



A,



r



  dan a m  a n n gunakan formula  a m  n



m



 p 10) B, gunakan formula  a n      Tes Formatif 2 1) C. 2) C. 3) A. 4) B. 5) C. 6) B. 7) A, Kecepatan = v = 238.000 mil/det =2,38 × 105 m2/det. 350.000 km Jarak = s = 350.000 km = mil = 2,1875 105 mil. 1, 6



9.60



Pembelajaran Matematika SD 



s 2,1875 105 = 0,92 det = 9, 2 101 det .  5 v 2,38 10



t= 8)



C.



Tes Formatif 3 1) C. 2) B. 1 1 log 64 4 log 43 4 log 43  3 3) D, 4 25 4 15  25 4 9  2 log  2 log 2 log 2 log     4) A 24 40 9  24 40 15  1 2 log 2 log 24  4 16 1 n 5) C, log128 n log 64  n log  2 8  128 1   n log  . 2  64 8 



 n log 22  2



 



 21



2



 n2



 n  21  6)



C,



5



1 2



log  3  2x  5 log  2  x   1



 5 log  3  2x  2  x   1   3  2x  2  x   51  6  x  2x 2  5  0  2x 2  x  1  0   2x  1 x  1  0 x 7)



A.



8)



D,



1 atau x  1 2



32x 5  729  log32x 5  log36



9.61



 PDGK4406/MODUL 9



  2x  5  log 3  6 log 3  2x  5  6 11 1 5 2 2 Perhatikan penyelesaian latihan nomor 7. x



9)



A,



10) A,



2



log a 2 log  a  2   3



2



log a  a  2   3



a  a  2   23 a 2  2a  8  0



 a  4  a  2   0 a  4 atau a  2 11) B.



Mt  2M0 t  10 tahun M t  M 0 1  i 



10



2M 0  M 0 1  i 



10



2  1  i  . 10



Kedua ruas dilogaritmakan  log 2  10 log 1  i 



 log 1  i  



log 2 0,3010   0, 0301 10 10



 1  i  1, 07  i  0, 07  7% 12) C,



M0  16 106 i  20%  0, 2 t5 M t  16  106 1  0, 2 



5



 16  106 1, 2 



5



 17.665.000



9.62



13) A,



Pembelajaran Matematika SD 



Pt  12960 P1  10 r5 Pt  P0 1  r 



t 1



12960  10 1  5 



t 1



Kedua ruas dilogaritmakan log12.960  log10   t  1 log 6



log12.960  log10 log1296  4 log 6 log 6 t 5



t 1 



 PDGK4406/MODUL 9



9.63



Daftar Pustaka Barker et. al. (1984). Elementary Algebra. USA: CBS College Publishing, USA. Daniel L. Anvil. (1979). Intermediate Algebra, Addison – Wesley Publishing Company Inc. Dumairy. (1990). Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: BPFE, UGM. Harry L. Nustad and Terry H. Wesner. (1987). Principles of Elementary Algebra with Applications. USA: Wur C. Brown Publishers, USA. Harsbarcer, Ronald J. and Reynold, James J. (1978). Algebra and Trigonometry. California: Cole Publishing Company. Joseph Hashisaki. (1983). Theory and Applications of Mathematics for Elementary School Teachers. New York: John Wiley & Sons.