PDP Nilai Batas [PDF]

Citation preview

MASALAH NILAI BATAS PEMISAHAN VARIABEL DAN SYARAT BATAS DIRICHLET



Fokus Persamaan Gelombang



x=0



x=l



u tt  c u xx 2



u(0, t )  0  u ( L, t )



(1) Syarat batas Dirichlet



Dengan Syarat awal



u ( x,0)   ( x) Persamaan Diferensial Parsial



u t ( x,0)   ( x)



METODA PEMISAH VARIABEL UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG



u( x, t )  X ( x)T (t ) Subtitusi ke (1)



utt  X T ' '   u xx  X ' ' T 



X ( x)T ' ' (t )  c 2 X ' ' ( x)T (t ) : c 2 X ( x)T (t )



T ' ' (t ) X ' ' ( x)  2   c T (t ) X ( x)



(konstan)



Buktinya??? Persamaan Diferensial Parsial



2 PDB



X ' 'X  0



dan



T ' 'c 2T  0



Kaitan dengan syarat batas Dirichlet



u (0, t )  X (0)T (t )  0



X (0)  0



u( L, t )  X ( L)T (t )  0 Ambil  positip,



X ( L)  0



  2



X ' '  X  0 2



dan



T ' '  2 c 2T  0



Persamaan Diferensial Parsial



Kenapa??



Syarat batas



Solusinya



X ( x)  C cos x  D sin x



C0 



n X n ( x)  Dn sin x L T (t )  A cos ct  B sin ct



cn cn Tn (t )  An cos t  Bn sin t L L Persamaan Diferensial Parsial



n L



???



 n      L 



2



un ( x, t )  X n ( x)Tn (t )



jadi



 U n ( x, t ) 



Merupakan himpunan solusi



u tt  c u xx 2







u ( x , t )   a n u n ( x, t )



Solusi dari (1)



n 1



cn cn  u ( x, t )     n cos t   n sin L L n 1  



 n  An Dn a n ???



dan



n  t  sin x L 



 n  Bn Dn an



Persamaan Diferensial Parsial



???



Kembali ke syarat awal



u ( x,0)   ( x) Akan dicari



n



dan







u ( x,0)    n sin n 1



n n x   ( x) L



m x) Kali dg sin( L



0 xL



  x   m 0  ( x) sin( L x)dx  0 L



u t ( x,0)   ( x)



L



Dan integralkan dari 0 sampai L



n m  n sin x sin( x)dx  L L n 1 



Persamaan Diferensial Parsial



 m n m  ( x ) sin( x ) dx   sin( x ) sin( x)dx  n 0 L L L n 1 0 L



L



m L 0  ( x) sin( L x)dx   m 2 L



2 m  m    ( x) sin( x)dx L0 L L



Persamaan Diferensial Parsial



 n ???? cn cn cn cn  n  ut ( x, t )      n sin t  n cos t  sin x L L L L  L n 1  







ut ( x,0)    n n 1



cn n sin x   ( x) L L



Dengan cara yang sama pada saat mencari



n



2 m m   ( x) sin( x)dx  m c L 0 L L



L



Persamaan Diferensial Parsial



Tentukan solusi persamaan gelombang utt  0.04 u xx Pada selang 0