Pembuktian Persamaan Elips [PDF]

Citation preview

PEMBUKTIAN PERSAMAAN ELIPS



1.



Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y. y 𝐵2(0, b) Q(𝑥1 , 𝑦1



R 𝐹2 (0, c)



𝐴2 (a, 0)



𝐴1 (-a, 0)



x



𝐹1 (0, -c) 𝐵1(0, -b)



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 = √(𝑥1 )2 + (𝑦1 + 𝑐)2 𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 = √(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎 √(𝑥1 )2 + (𝑦1 + 𝑐)2 + √(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 = 2𝑎 √(𝑥1 )2 + (𝑦1 + 𝑐)2 = 2𝑎 − √(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 (𝑥1 )2 + (𝑦1 + 𝑐)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 + (𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 𝑥 2 + 𝑦1 2 + 2𝑐𝑦1 + 𝑐 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 + 𝑥 2 + 𝑦1 2 − 2𝑐𝑦1 + 𝑐 2 4𝑐𝑦1 − 4𝑎2 = −4𝑎√(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 Kedua ruas dibagi dengan (-4) kemudian dikuadratkan: (𝑎𝟐 − 𝑐𝑦1 )2 = [𝑎√(𝑥1 )2 + (𝑦1 − 𝑐)2 ]



2



𝑎4 − 2𝑎2 𝑐𝑦1 + 𝑐 2 𝑦1 2 = 𝑎2 (𝑥12 + (𝑦1 − 𝑐)2 ) 𝑎4 − 2𝑎2 𝑐𝑦1 + 𝑐 2 𝑦1 2 = 𝑎2 𝑥1 2 + 𝑎2 𝑦1 2 − 2𝑎2 𝑐𝑦1 + 𝑎2 𝑐 2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝑦1 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝑎2 𝑥1 2 = 0 Diketahui: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 Maka: 𝑎2 𝑏 2 − 𝑦1 2 𝑏 2 − 𝑎2 𝑥1 2 = 0 −𝑦1 2 𝑏 2 − 𝑎2 𝑥1 2 = −𝑎2 𝑏 2 𝑦1 2 𝑏 2 + 𝑎2 𝑥1 2 = 𝑎2 𝑏 2 𝑥1 2 𝑏2



2.



+



𝑦1 2 𝑎2



=1



Persamaan elips yang berpusat di 𝑃(𝛼, 𝛽) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y. y 𝐵2(𝛼, 𝛽 + 𝑏) Q(𝑥1 , 𝑦1



R



𝐹2 (𝛼, 𝛽 − 𝑐) x 𝐴1 (𝛼 + 𝑎, 𝛽)



𝐴2 (𝛼 + 𝑎, 𝛽)



𝐹1 (𝛼, 𝛽 − 𝑐) 𝐵1(𝛼, 𝛽 − 𝑏)



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑦1 − (𝛽 − 𝑐)) + (𝑥1 − 𝛼)2



𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑦1 − (𝛽 + 𝑐)) + (𝑥1 − 𝛼)2



𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎 √(𝑦1 − 𝛽 + 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 + √(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 = 2𝑎 √(𝑦1 − 𝛽 + 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 = 2𝑎 − √(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑦1 − 𝛽 + 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 + (𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 𝑦 2 + 𝛽 2 + 𝑐 2 − 2𝛽𝑦 + 2𝑐𝑦 − 2𝛽𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 + 𝑦 2 + 𝛽 2 + 𝑐 2 − 2𝛽𝑦 − 2𝑐𝑦 + 2𝛽𝑐



4𝑐𝑦 − 4𝛽𝑦 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 Kedua ruas dibagi dengan (-4): 𝛽𝑦 − 𝑐𝑦 = −𝑎2 + 𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 𝛽𝑦 − 𝑐𝑦 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝛽𝑦 − 𝑐𝑦 + 𝑎2 )2 = (𝑎√(𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 )



2



𝛽 2 𝑐 2 + 𝑎4 + 𝑐 2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝛽𝑐 − 2𝑐 2 𝛽𝑦 − 2𝑎2 𝑐𝑦 = 𝑎2 ((𝑦1 − 𝛽 − 𝑐)2 + (𝑥1 − 𝛼)2 ) 𝛽 2 𝑐 2 + 𝑎4 + 𝑐 2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝛽𝑐 − 2𝑐 2 𝛽𝑦 − 2𝑎2 𝑐𝑦 = 𝑎2 (𝑦 2 + 𝛽 2 + 𝑐 2 − 2𝛽𝑦 − 2𝑐𝑦 + 2𝛽𝑐 + (𝑥1 − 𝛼)2 ) 𝛽 2 𝑐 2 + 𝑎4 + 𝑐 2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝛽𝑐 − 2𝑐 2 𝛽𝑦 − 2𝑎2 𝑐𝑦 − 𝑎2 𝑦 2 − 𝑎2 𝛽 2 − 𝑎2 𝑐 2 + 2𝑎2 𝛽𝑦 + 2𝑎2 𝑐𝑦 − 2𝑎2 𝛽𝑐 = 𝑎2 (𝑥1 − 𝛼)2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝑦 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝛽 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 2𝛽𝑦(𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑎2 (𝑥1 − 𝛼)2 𝑎2 𝑏 2 − 𝑦 2 𝑏 2 − 𝛽 2 𝑏 2 + 2𝛽𝑦𝑏 2 = 𝑎2 (𝑥1 − 𝛼)2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 (𝑥1 − 𝛼)2 + 𝑏 2 (𝑦 2 + 𝛽 2 − 2𝛽𝑦) 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 (𝑥1 − 𝛼)2 + 𝑏 2 (𝑦 − 𝛽)2



(𝑥−𝛼)2 𝑏2



3.



+



(𝑦−𝛽)2 𝑎2



=1



a).Persamaan elips yang berpusat di 𝑃(𝛼, 0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu x.



y



𝐵2(𝛼, 𝑏) Q(𝑥1 , 𝑦1 𝐴1 (𝛼 − 𝑎, 0) 𝐹1 (𝛼 − 𝑐, 0)



R 𝐴2 (𝛼 + 𝑎, 0) x 𝐹2 (𝛼 + 𝑐, 0)



𝐵1(𝛼, −𝑏 )



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑥 − (𝛼 − 𝑐)) + 𝑦 2 𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑥 − (𝛼 + 𝑐)) + 𝑦 2 𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎 √(𝑥 − 𝛼 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 √(𝑥 − 𝛼 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2



Kedua ruas dikuadratkan: (𝑥 − 𝛼 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + (𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2



𝑥 2 + 𝛼 2 + 𝑐 2 − 2𝛼𝑥 + 2𝑐𝑥 − 2𝛼𝑐 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝛼 2 + 𝑐 2 − 2𝛼𝑥 − 2𝑐𝑥 + 2𝛼𝑐 + 𝑦 2



4𝑐𝑥 − 4𝛼𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 Kedua ruas dibagi dengan (-4): 𝛼𝑐 − 𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝛼𝑐 − 𝑐𝑥 + 𝑎2 )𝟐 = 𝑎((𝑥 − 𝛼 − 𝑐)2 + 𝑦 2 ) 𝑎4 + 𝛼 2 𝑐 2 + 𝑐 2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝛼𝑐 − 2𝑐 2 𝛼𝑥 − 2𝑎2 𝑐𝑥 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎2 𝛼 2 + 𝑎2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝛼𝑥 − 2𝑎2 𝑐𝑥 + 2𝑎2 𝑐𝛼 + 𝑎2 𝑦 2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝑥 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 𝛼 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 2𝛼𝑥(𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑎2 𝑦 2 𝑎2 𝑏 2 − 𝑥 2 𝑏 2 − 𝛼 2 𝑏 2 + 2𝛼𝑥𝑏 2 = 𝑎2 𝑦 2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑏 2 + 𝛼 2 𝑏 2 − 2𝛼𝑥𝑏 2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑦 2 + 𝑏 2 (𝑥 2 + 𝛼 2 − 2𝛼𝑥) 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑦 2 + 𝑏 2 (𝑥 − 𝛼)2 (𝑥−𝛼)2 𝑎2



𝑦2



+ 𝑏2 = 1



b). Persamaan elips yang berpusat di 𝑃(𝛼, 0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y.



y



𝐵2(𝛼, 𝛽 + 𝑏) Q(𝑥1 , 𝑦1



R 𝐹2 (𝛼, 𝑐) 𝐴1 (𝛼 − 𝑎, 0)



𝐴2 (𝛼 + 𝑎, 0) x 𝐹1 (𝛼, −𝑐)



𝐵1(𝛼, −𝑏)



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑦 − (−𝑐)) + (𝑥 − 𝛼)2 𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 = √(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2



𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎 √(𝑦 + 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 = 2𝑎 √(𝑦 + 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 = 2𝑎 − √(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑦 + 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 + (𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 𝑦 2 + 2𝑦𝑐 + 𝑐 2 + (𝑥 − 𝛼)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 + 𝑦 2 − 2𝑦𝑐 + 𝑐 2 + (𝑥 − 𝛼)2



4𝑦𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 Kedua ruas dibagi dengan (-4): 𝑦𝑐 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑦𝑐 + 𝑎2 )2 = 𝑎2 ((𝑦 − 𝑐)2 + (𝑥 − 𝛼)2 ) 𝑦 2 𝑐 2 + 2𝑎2 𝑦𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2 (𝑦 2 − 2𝑦𝑐 + 𝑐 2 + (𝑥 − 𝛼)2 ) 𝑦 2 𝑐 2 + 2𝑎2 𝑦𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝑦𝑐 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 (𝑥 − 𝛼)2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑦 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝛼)2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑦 2 𝑏 2 + 𝑎2 (𝑥 − 𝛼)2 (𝑥−𝛼)2 𝑏2



𝑦2



+ 𝑎2 = 1



4.



a). Persamaan elips yang berpusat di 𝑃( 0, 𝛽) dengan sumbu mayor sejajar sumbu x. y



𝐵2(0, 𝛽 + 𝑏) Q(𝑥1 , 𝑦1 𝐴1 (−𝑎, 𝛽) 𝐹1 (−𝑐, 𝛽)



R 𝐴2 (𝑎, 𝛽) 𝐹2 (𝑐, 𝛽 ) x 𝐵1(0, 𝛽 − 𝑏)



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑥 − (−𝑐)) + (𝑦 − 𝛽)2 𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2



𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎 √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 = 2𝑎 √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 = 2𝑎 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 + (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 𝑥 2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + (𝑦 − 𝛽)2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 + 𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + (𝑦 − 𝛽)2 4𝑥𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 Kedua ruas dibagi dengan (-4): 𝑎2 − 𝑥𝑐 = 𝑎√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2



Kedua ruas dikuadratkan: (𝑎2 − 𝑥𝑐)2 = 𝑎2 ((𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝛽)2 ) 𝑥 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑦𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2 (𝑥 2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐 2 + (𝑦 − 𝛽)2 ) 𝑥 2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝑦𝑐 + 𝑎4 = 𝑎2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑥𝑐 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 (𝑦 − 𝛽)2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑥 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 𝑎2 (𝑦 − 𝛽)2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑥 2 𝑏 2 − 𝑎2 (𝑦 − 𝛽)2 𝑥2 𝑎2



+



(𝑦−𝛽)2 𝑏2



=1



b). Persamaan elips yang berpusat di 𝑃( 0, 𝛽) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y. y



𝐵2(0, 𝛽 + 𝑏) R



Q(𝑥1 , 𝑦1



𝐹2 (0, 𝛽 + 𝑐) 𝐴1 (−𝑎, 𝑏)



𝐴2 (𝑎, 𝛽)



x 𝐹1 (0, 𝛽 − 𝑐)



𝐵1(0, 𝛽 − 𝑏)



𝐹1 𝑄 = √(𝐹1 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑦 − (𝛽 − 𝑐)) + 𝑥 2 𝐹2 𝑄 = √(𝐹2 𝑅)2 + (𝑄𝑅)2 2



= √(𝑦 − (𝛽 + 𝑐)) + 𝑥 2



𝐹1 𝑄 + 𝐹2 𝑄 = 2𝑎



√(𝑦 − 𝛽 + 𝑐)2 + 𝑥 2 + √(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 = 2𝑎 √(𝑦 − 𝛽 + 𝑐)2 + 𝑥 2 = 2𝑎 − √(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑦 − 𝛽 + 𝑐)2 + 𝑥 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 + (𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 𝑦 2 − 2𝛽𝑦 + 2𝑐𝑦 − 2𝛽𝑐 + 𝑐 2 + 𝛽 2 + 𝑥 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝛽𝑦 − 2𝑐𝑦 + 2𝛽𝑐 + 𝑐 2 + 𝛽 2 + 𝑥 2



4𝑐𝑦 − 4𝛽𝑐 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 Kedua ruas dibagi dengan (-4): 𝑎2 − 𝑐𝑦 + 𝛽𝑐 = 𝑎√(𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 Kedua ruas dikuadratkan: (𝑎2 − 𝑐𝑦 + 𝛽𝑐)2 = 𝑎2 ((𝑦 − 𝛽 − 𝑐)2 + 𝑥 2 ) 𝑎4 + 𝛽 2 𝑐 2 + 𝑐 2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝛽𝑐 − 2𝑎2 𝑐𝑦 − 2𝑐 2 𝛽𝑦 = 𝑎2 (𝑦 2 + 𝛽 2 + 𝑐 2 − 2𝛽𝑦 − 2𝑐𝑦 + 2𝛽𝑐 + 𝑥 2 ) 𝑎4 + 𝛽 2 𝑐 2 + 𝑐 2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝛽𝑐 − 2𝑎2 𝑐𝑦 − 2𝑐 2 𝛽𝑦 = 𝑎2 𝑦 2 + 𝑎2 𝛽 2 + 𝑎2 𝑐 2 − 2𝑎2 𝛽𝑦 − 2𝑎2 𝑐𝑦 + 2𝑎2 𝛽𝑐 + 𝑎2 𝑥 2 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) = 𝑦 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 𝛽 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) − 2𝛽𝑦(𝑎2 − 𝑐 2 ) + 𝑎2 𝑥 2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑦 2 𝑏 2 − 𝛽 2 𝑏 2 − 2𝛽𝑦𝑏 2 + 𝑎2 𝑥 2 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 (𝑦 2 + 𝛽 2 − 2𝛽𝑦) 𝑎2 𝑏 2 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 (𝑦 − 𝛽)2 𝑥2 𝑏2



+



(𝑦−𝛽)2 𝑎2



=1



PEMBUKTIAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS



1.



Persamaan garis singgung elips yang berpusat (0,0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y. 𝑥2



𝑦2



+ 𝑎2 = 1 ................(1) 𝑏2 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ...............(2)



Substitusi persamaan (2) kepersamaan (1) 𝑥2



+ 𝑏2



(𝑚𝑥+𝑛)2 𝑎2



=1



𝑎2 𝑥 2 + 𝑏 2 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑏 2 𝑚𝑛𝑥 + 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0 (𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 )𝑥 2 + (2𝑏 2 𝑚𝑛)𝑥 + 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0 Syarat menyinggung: D = 0 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 (2𝑏 2 𝑚𝑛)2 − 4(𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 )(𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 ) = 0 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 4(𝑎2 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎4 𝑏 2 + 𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 4 𝑚2 ) = 0 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 4𝑎2 𝑏 2 𝑛2 + 4𝑎4 𝑏 2 − 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 + 𝑎2 𝑏 4 𝑚2 = 0 Kedua ruas dibagi dengan (-4) 𝑎 2 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎 4 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 4 𝑚 2 = 0 Kedua ruas dibagi dengan 𝒂𝟒 𝒃𝟐 : 𝑛2 − 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑚 2 = 0 𝑛2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑚 2 𝑛 = ±√𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 Substitusi nilai n kepersamaan (2): 𝑦 = 𝑚𝑥 ± √𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2



2.



Persamaan garis singgung elips yang berpusat (𝛼, 𝛽) dengan sumbu mayor sejajar sumbu y. (𝑥−𝛼)2 𝑏2



+



(𝑦−𝛽)2 𝑎2



= 1 .....................(1)



(𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝛼) + 𝑛 ...........(2) Substitusi persamaan (2) kepersamaan (1) (𝑥−𝛼)2 𝑏2



+



(𝑚(𝑥−𝛼)+𝑛)2 𝑎2



=1



𝑎2 (𝑥 − 𝛼)2 + 𝑏 2 𝑚2 (𝑥 − 𝛼)2 + 2𝑏 2 𝑚𝑛(𝑥 − 𝛼) + 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0 (𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 )(𝑥 − 𝛼)2 + (2𝑏 2 𝑚𝑛)(𝑥 − 𝛼) + 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 = 0 Syarat menyinggung: D = 0 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 (2𝑏 2 𝑚𝑛)2 − 4(𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 )(𝑏 2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 2 ) = 0 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 4(𝑎2 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎4 𝑏 2 + 𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 𝑎2 𝑏 4 𝑚2 ) = 0 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 − 4𝑎2 𝑏 2 𝑛2 + 4𝑎4 𝑏 2 − 4𝑏 4 𝑚2 𝑛2 + 𝑎2 𝑏 4 𝑚2 = 0



Kedua ruas dibagi dengan (-4) 𝑎 2 𝑏 2 𝑛2 − 𝑎 4 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 4 𝑚 2 = 0 Kedua ruas dibagi dengan 𝒂𝟒 𝒃𝟐 : 𝑛2 − 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑚 2 = 0 𝑛2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑚 2 𝑛 = ±√𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2 Substitusi nilai n kepersamaan (2): (𝑦 − 𝛽) = 𝑚(𝑥 − 𝛼) ± √𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2



3.



pusat ( α,0 ) sumbu x



( 𝑥 − 𝛼 )2 𝑦 2 + 2 = 1 … … … . (1) 𝑎2 𝑏 y = m ( × - α ) + n .......... (2) subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)  ( × - α )2 b2 + a2( m (x – α ) + n )2 = a2 b2  b 2 (x – α )2 + a2 m2 (x – α )2 + 2a2 mn (x – a ) + a2 n2 – a2 b2 = 0  ( b2 + a2 m2) ( x – α )2 + 2a2 mn ( x - α ) + a2n2 – a2b2 = 0 Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0  ( 2a2 mn)2 – 4 ( b2 + a2 m2 ) (a2n2 – a2b2 ) = 0  4a4 m2n2 – 4b2a2 n2 +4a2b4 – 4a4m2n2 + 4a4m2b2 = 0  n 2 = b2 + a2m2 subtitusi ke persamaan (2) y = m ( x – α ) ± √𝑏 2 + 𝑎2 𝑚2







Sumbu y ( 𝑥−∝ )2 𝑦 2 + 2 = 1 … … … . (1) 𝑏2 𝑎 y = m ( x – α ) + n ............... (2) Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)



 ( x – α )2 a2 + b2 ( m ( x – α ) + n )2 = a2b2  ( a2 + b2 m2 ) ( x – α )2 + 2b2 mn ( x – α ) + b2 n2 – a2b2 = 0 Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0



; dibagi -4 a2b2



 ( 2b2 mn )2 – 4 (a2 + b2 m2) ( b2 n2 – a2b2 = 0  4b4m2n2 – 4a2b2n2 +4a4b2 – 4b4m2n2 + 4a2b2m2 = 0  n 2 = a2 + b2m2 n = √𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2



; dibagi -4a2b2



subtitusi ke persamaan (2) 4. Pusat (0,β)



sumbu x y=m(x–α)±



√𝑎2



+



𝑏 2 𝑚2



( y – β ) = mx



( y – β ) = mx + n ..........(2) + n ..........(2)



Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)  b2x2 + a2 ( mx + n )2 = a2b2  ( b2 + a2m2) x2 + ( 2a2mn )x + a2n2- a2b2 ) = 0 syarat menyinggung D = 0 b2- 4ac = 0  ( 2a2mn )2 – 4 ( b2+ a2m2 ) (a2n2 – a2b2 ) = 0  4a4m2n2 – 4b2a2n2 + 4a2b2 – 4 a4m2n2 + 4a4m2b2 = 0  n 2 = b2 + a2 m2 n = √𝑏 2 + 𝑎2 𝑚2



subtitusi ke persamaan (2) ( y – β ) = mx ±√𝑏 2 + 𝑎2 𝑚2



 sumbu y (𝑥− ∝)2 𝑦 2 + 2 = 1 … … … . ( 1) 𝑏2 𝑎 ( y – β ) = mx + n.................(2) Subtitusi persamaan (2) ke persamaan ( 1)  a2x2 + b2 (mx + n )2 = a2b  ( a2 + b2 m2) x2 + ( 2b2mn ) x + b2n2 – a2b2 = 0 Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0    



( 2b2mn )2 – 4 ( a2 + b2m2 ) ( b2n2 – a2b2) = 0 4b4m2n2 – 4a2b2n2 + 4a4b2 – 4b4b2 – 4b4m2n2 + 4a2b4m2 = 0 n 2 = a2 + b2m2 n2 = √𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2



subtitusi ke persamaan ( 2) ( y -β ) = mx ±√𝑎2 + 𝑏 2 𝑚2



; dibagi – 4a2b2



5.



pembuktian persamaan garis singgung elips pada titik Q(x1,y1) 1. pusat O(0,0) sumbu y x2 y2   ......I  b2 a2 y  mx  mx1  y1 .....II 



Substitusi persamaan (II) ke persamaan (I)



a 2 x 2  b 2 mx  mx1  y1   a 2 b 2











(a 2  b 2 m 2 ) x 2  2b 2 m 2 x1  2b 2 my1 x b 2 m 2 x12  b 2 y12  2b 2 y12  2b 2 mx1 y1  a 2 b 2   0 a b c syarat menyinggung D  0 b 2  4ac







:  2b 2 m 2 x1  2b 2 my1







2











 4 a 2  b 2 m 2 (b 2 m 2 x12 b 2 y1  2b 2 mx1 y1  a 2 b 2 )  0



: 4b m x  8b m x1 y1  4b m y  4a 2 b 2 m 2 x12  4a 2 b 2 y12  8a 2 b 2 mx1 y1  4a 4 b 2  4b 2 m 4 x12 4



4



2 1



4



3



4



2



2 1







4b 4 m 2 y12  8b 4 m 3 x1 y1  4a 2 b 4 m 2  0 : 4a 2 b 2







: m x  y  2mx1 y1  a  b m  0 2



:



b



2



2 1







2 1



2



2







2







 x12 m 2 2 x1 y1 m a 2  y1 2   0 a b c



m.1.2  b 



b 2  4ac 2a 2



2 (−2 x1 y1 )±√(2 x1 y1 ) −4( b



2( b



2



 x12 )( a 2  y1 )



2



 x12 )



(−2 x1 y1 )±√4𝑥1 2 𝑦1 2 −4𝑎2 𝑏2 +4𝑏2 𝑦1 +4𝑎2 𝑥1 2 −4𝑥1 2 𝑦1 2 2( b



2



 x12 )



−2𝑥1 𝑦1 ±√4(−𝑎2 𝑏2 +𝑏2 𝑦1 +𝑎2 𝑥1 2 ) 2(𝑏2 −𝑥1 2 ) 𝑥 2 𝑦 2 −𝑥1 𝑦1 ±√( 12 + 12 )𝑎2𝑏2 −𝑎2 𝑏2 𝑏 𝑎



(𝑏2 −𝑥1 2 ) −𝑥1 𝑦1 ±√0 (𝑏2 −𝑥1 2 )



−𝑥1 𝑦1 𝑥 2 𝑏2 (1− 12 ) 𝑏



−𝑥1 𝑦1 𝑦 2 𝑏2 ( 12 ) 𝑎



−𝑥1 𝑦1 𝑎2 𝑏2 𝑦1 2 −𝑥1 𝑎2 𝑏2 𝑦1



Substitusi kepersamaan (2): 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 𝑦1 =



−𝑥1 𝑎2 𝑏 2 𝑦1



(𝑥 − 𝑥1 )



𝑏 2 𝑦1 𝑦 − 𝑏 2 𝑦1 2 = −𝑎2 𝑥1 𝑥 + 𝑎2 𝑥1 2 𝑏 2 𝑦1 𝑦 + 𝑎2 𝑥1 𝑥 = 𝑎2 𝑥1 2 + 𝑏 2 𝑦1 2 𝑏 2 𝑦1 𝑦 + 𝑎2 𝑥1 𝑥 = 𝑎2 𝑏 2 𝑥1 𝑥 𝑏2



+



𝑦1 𝑦 𝑎2



=1