Penyelesaian Persamaan Elips Dengan Metode Gauss-Seidel [PDF]

Citation preview

Penyelesaian Persamaan Ellips dengan Metode Gauss-Seidel I.



Persamaan Elips Persamaan diferensial parsial PDE linear bertingkat dua dengan fungsi dua variabel bebas (x,y) memiliki bentuk umum sebagai berikut:



𝐴



𝜕 2𝑈 𝜕 2𝑈 𝜕 2𝑈 + 𝐵 + 𝐶 −𝐷 =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 2



𝐴, 𝐵, 𝐶



: Fungsi x dan



𝐷



: Fungsi 𝑥, 𝑦, 𝑈,



𝜕𝑈 𝜕𝑥



dan



𝜕𝑈 𝜕𝑦



Persamaan diferensial parsial diatas dapat dikelompokkan menjadi: 𝑩𝟐 − 𝟒𝑨𝑪



Kategori



0



hiperbolik



𝑩𝟐 − 𝟒𝑨𝑪 0



Hiperbolik



Persamaan gelombang (tak



𝜕2𝑦 1 𝜕2𝑇 + 𝜕𝑥 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2



permanen, 1D spasial)



Dalam pembahasan ini akan fokus membahas mengenai persamaan elliptic.



Contoh dari persamaan eliptik adalah persamaan Poisson dan Laplace pada ruang dimensi dua, masing-masing berbentuk 



Persamaan Poisson 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 + = 𝑝(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2







Persamaan Laplace 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2



Persamaan Poisson memperkenalkan sumber panas ke dalam sistem yang ditinjau sedangkan persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari persamaan Poisson tanpa sumber. Disamping itu, persamaan Laplace juga bisa diturunkan dari persamaan difusi. Jika sebuah objek diisolasi dari lingkungan, maka akan dicapai distribusi suhu dalam keadaan mantap, suatu kondisi setimbang yang digambarkan oleh derivatif waktu sama dengan nol pada persamaan difusi. Keadaan mantap suatu aliran panas ditunjukkan oleh kuantitas yang sama antara panas yang keluar dan masuk suatu tampang lintang. Dari kenyataan bahwa derivatif waktu pada persamaan difusi sama dengan nol, maka diperoleh persamaan Laplace. Oleh karena tidak ada variabel waktu yang gayut, maka penyelesaian untuk persamaan Laplace maupun Poisson tersebut adalah tak gayut waktu. Persamaan menarik lain yang menggambarkan persamaan eliptik dan agak mirip dengan persamaan Poisson adalah persamaan Helmholtz yaitu, Persamaan Helmotz 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 + + 𝜆𝑢 = 0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2



II. Teknik penyelesaian Persamaan laplace Perhatikan gambar berikut



o Sebuah plat logam persegi tipis 



Kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas







Sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu







Transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y



o Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steady state condition)



Pada steady-state condition, aliran ke dalam sebuah elemen (lihat gambar di atas) selama periode t haruslah sama dengan aliran yang keluar dari elemen tersebut: q( x)yzt  q( y )xzt  q( x  x)yzt  q( y  y )xzt



𝑞(𝑥) dan 𝑞(𝑦) berturut-turut adalah fluks panas arah 𝑥 dan arah 𝑦 dalam satuan kal/cm2/s



jika semua suku pada persamaan tersebut dibagi dengan z t , maka : q( x)y  q( y )x  q( x  x)y  q( y  y )x



Pengelompokan suku dan perkalian dengan x / x atau y / y menghasilkan :



q( x)  q( x  x) q( y )  q( y  y ) xy  yx  0 x y Pembagian dengan x  y menghasilkan



q( x)  q( x  x) q( y )  q( y  y )  0 x y



Mengambil nilai limit persamaan tersebut dan memperhatikan definisi differensial parsial,maka diperoleh :







q q   0 (persamaan konservasi energi) x y



Penyelesaian PDE tersebut membutuhkan syarat batas fluks panas 𝑞; padahal syarat batas yang diketahui adalah temperatur 𝑇



Oleh karena itu, PDE di atas di ubah menjadi PDE dalam T dengan menerapkan Hukum Fourier untuk konduksi panas . qi   kC



 k '



T (Fourier’s low of heat conduction) i



T i



qi  kC



T T  k ' i i



Keterangan :



qi : fluks panas arah i (kal/cm2/s)



k : koefisien difusi thermal (cm2/s)  : rapat massa medium (g/cm3) 𝐶 : kapasitas panas medium (kal/g/oC) 𝑇 : temperatur (oC) 𝑘′ : konduktivitas thermal (kal/s/cm/oC)



Persamaan tersebut menunjukkan bahwa fluks panas tegak lurus sumbu i sebanding dengan gradien/slope temperatur pada arah i. Dengan memakai Fick’s Law, maka persamaan konservasi energy dapat ditulis 2



 2T  2T   0 (Persamaan Laplace) x 2 y 2 Jika ada source atau sink :



 2T  2T   f ( x, y ) x 2 y 2



(Persamaan Poisson)



III. Penyelesaian persamaan Ellips metode Gauss-Seidel Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier. Metode relaksasi Gauss-Seidel telah terbukti memperoleh sukses besar dalam keberhasilannya menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik Metode Gauss-Seidel merupakan modifikasi dari metode Iterasi Jacobi, metode ini dapat menunjukan kekonvergenan lebih cepat dibanding iterasi Jacobi. Secara umum sebelum menggunakan metode Guass-Seidel terlebuh dahulu harus dilakukan diskritisasi, selanjutnya menggunakan rumus dari metode Gauss-Seidel itu sendiri kemudian dilakukan kriteria konvergensi.



Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan mengenai penyelesaian persamaan laplace menggunakan Iterasi Gauss-Seidel berikut. Sebelumya diberikan formula dari Iterasi Gauss-Seidel 𝑇𝑖,𝑗 =



𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗+1 + 𝑇𝑖,𝑗−1 4



atau



𝑇𝑖,𝑗 =



𝑇𝑖,𝑗−1 + 𝑇𝑖−1,𝑗 + 𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗+1 4



Perhatikan gambar berikut :



o Sebuah plat logam persegi tipis 



Kedua permukaan dilapisi dengan isolator panas







Sisi plat diberi panas dengan temperatur tertentu







Transfer panas hanya dimungkinkan pada arah x dan y



o Ditinjau pada saat transfer permanen telah tercapai (steady state condition) Plat logam diatas dapat digambarkan dalam bidang koordinat sebagai berikut



𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2



𝑇𝑡 = suhu sisi atas plat logam 𝑇𝐼 = suhu sisi kiri plat logam 𝑇𝑟 = suhu sisi kanan plat logam 𝑇𝑏 = suhu sisi bawah plat logam L = panjang absis (x) plat logam W = panjang ordinat (y) plat logam Sedangkan temperatur di dalam plat logam tersebut dinyatakan dalam fungsi 𝑇(𝑥, 𝑦), dan tingkat suhu setelah mencapai saat transfer permanen (steady state condition) dinyatakan oleh persamaan laplace, yaitu 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 Dalam hal ini akan dicari suhu di dalam plat logam tersebut dengan dari persamaan laplace tersebut. Selanjutnya, dilakukan diskritisasi dengan membagi plat logam tersebut menjadi beberapa bagian dengan titik sebagai berikut :



Pada gambar di atas suhu yang dicari pada titik i,j. Atau persamaan diskritisasi dapat dituliskan dalam bentuk 𝑇𝑖,𝑗 =



𝑇𝑖+1,𝑗 +𝑇𝑖−1 ,𝑗+𝑇𝑖,𝑗+1 +𝑇𝑖,𝑗−1 4



, karena titik



tersebut mewakili suhu pada titik tersebut. Nah proses ini dilakukan pada setiap titik dalam bidang plot yang telah terbagi-bagi dalam beberapa kumpulan persegi. Setelah melakukan proses tersebut pada setiap titik/node dalam plot logam tersebut maka iterasi 1 telah selesai, dilanjutkan melakukan perlakuan yang sama diulang pada titik yang tadi sampai selesai maka berakhirlah iterasi 2. Dilanjutkan sampai mendapatkan nilai toleransi yang tepat yaitu