Penyelesaian Persamaan Rekurensi Dengan Fungsi Pembangkit [PDF]

Citation preview

• Penyelesaian persamaan rekurensi tidak homogen bisa juga dicari dengan fungsi pembangkit yang sudah dipelajari sebelumnya. • Untuk lebih jelasnya kita akan membahasnya dengan menggunakan contoh-contoh.



menuju pembelajaran profesional



Contoh 1 Selesaikanlah persamaan rekurensi: 𝑎𝑛 − 7𝑎𝑛−1 + 10𝑎𝑛−2 = 0 dengan𝑛 ≥ 2. Penyelesaian: 𝑛. • Ambil𝑓 𝑥 = ∞ 𝑎 𝑥 𝑛=0 𝑛 • Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan rekurensidengan 𝑥 𝑛 dan berilah notasi sigma dengan batas 2 sampai ∞. ∞ ∞ ∞ 𝑛 𝑛 𝑛 • 𝑎 𝑥 − 7 𝑎 𝑥 + 10 𝑎 𝑥 =0 𝑛=2 𝑛 𝑛=2 𝑛−1 𝑛=2 𝑛−2



menuju pembelajaran profesional



Lanjutan …… • Gantilah masing-masing jumlah takhingga menjadi 𝑓 𝑥 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑥 − 7𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑎0 + 10𝑥 2 𝑓 𝑥 = 0 . • Sederhanakanlah bentuk di atas menjadi 𝑓 𝑥 1 − 7𝑥 + 10𝑥 2 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 7𝑎0 𝑥 𝑎0 + 𝑎1 − 7𝑎0 𝑥 𝑓 𝑥 = 1 − 7𝑥 + 10𝑥 2 𝑎0 + 𝑎1 − 7𝑎0 𝑥 = 1 − 2𝑥 1 − 5𝑥



menuju pembelajaran profesional



Lanjutan …… • Nyatakan bentuk sebelumnya sebagai pecahan parsial 𝐴 𝐵 𝑓 𝑥 = + 1 − 2𝑥 1 − 5𝑥 • Nyatakan𝑓(𝑥)sebagai jumlah suatu deret 𝐴 𝐵 𝑓 𝑥 = + 1 − 2𝑥 1 − 5𝑥 ∞



∞



2𝑛 𝑥 𝑛 + 𝐵



=𝐴 𝑛=0



5𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=0



• Nyatakan 𝑎𝑛 sebagai koefisien dari𝑥 𝑛 di dalam𝑓 𝑥 , yaitu 𝑎𝑛 = 𝐴. 2𝑛 + 𝐵. 5𝑛



menuju pembelajaran profesional



Lanjutan …… • Konstanta A dan B dapat dicari stelahnilai 𝑎0 dan 𝑎1 diketahui . Misalkan saja𝑎0 = 10 dan 𝑎1 = 41, maka 10 = 𝐴. 20 + 𝐵. 50 → 𝐴 + 𝐵 = 10 41 = 𝐴. 21 + 𝐵. 51 → 2𝐴 + 5𝐵 = 41 sehingga diperoleh A =3 dan B =7. • Jadi, penyelesaian rekurensinya adalah



𝑎𝑛 = 3. 2𝑛 + 7. 5𝑛



menuju pembelajaran profesional



Contoh 2 Selesaikanlah persamaan rekurensi: 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 3(𝑛 − 1) dengan𝑛 ≥ 1, 𝑎0 = 2. Penyelesaian: 𝑛. Ambil𝑓 𝑥 = ∞ 𝑎 𝑥 𝑛=0 𝑛 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 3(𝑛 − 1) ∞



∞



𝑎𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑛=1



∞



𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛 = 𝑛=1



3(𝑛 − 1)𝑥 𝑛 𝑛=1 2



𝑓 𝑥 − 𝑎0 − 𝑥𝑓 𝑥 = 3𝑥 1 − 𝑥 𝑓 𝑥 1 − 𝑥 − 𝑎0 = 3𝑥 2 1 − 𝑥 2 menuju pembelajaran profesional



2



Lanjutan … 𝑓 𝑥 1 − 𝑥 = 𝑎0 + 3𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 1 − 𝑥 = 2 + 3𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 2 + 3𝑥 2 1 − 𝑥 −2 1 − 𝑥 −1 = 2 1 − 𝑥 −1 + 3𝑥 2 1 − 𝑥 −3 Sehingga𝑓 𝑥 = 2 Jadi, 𝑎𝑛 = 2



3 + 2



menuju pembelajaran profesional



∞ 𝑛 𝑥 𝑛=0



+



3 2



∞ 𝑛=0



𝑛 − 1 𝑛, 𝑛 ≥ 0.



𝑛 − 1 𝑛. 𝑥 𝑛 .



LATIHAN SOAL 1. Selesaikanlah 𝑎𝑛 − 5𝑎𝑛−1 + 6𝑎𝑛−2 = 4𝑛 , 𝑛 ≥ 2. 2. Selesaikanlah 𝑎𝑛 − 5𝑎𝑛−1 + 6𝑎𝑛−2 = 2𝑛 , 𝑛 ≥ 2.



menuju pembelajaran profesional