Pembuktian Rumus K.1 [PDF]

Citation preview

1. Persegi Pembuktian Rumus Persegi



Dari gambar di atas kita anggap saja persegi-persegi kecil tersebut merupakan satuan dari persegi besar. Dengan menganggap bahwa satu persegi kecil merupakan satu satuan, maka dapat dikatakan bahwa persegi diatas memiliki luas sebanyak jumlah semua persegi kecil atau 100 satuan persegi kecil. Untuk lebih memudahkan perhitungan maka kita dapat menghitung luas persegi dengan cara sebagai berikut. Luas Persegi = Hasil kali jumlah satuan dari kedua sisi yang saling tegak lurus Luas Persegi = 10 x 10 = 100 satuan Atau dapat ditulis secara umum



Luas persegi = Panjang Sisi x Panjang Sisi



2. Persegi Panjang Pembuktian Rumus Persegi Panjang



A



D



B



C



Untuk membuktikan rumus luas persegi panjang, tidak jauh beda dengan cara membuktikan rumus luas persegi. Rumus luas persegi panjang ini pada dasarnya dibangun dari rumus luas persegi. Oleh karena itu, sebelumnya saya akan memberikan sebuah postulat, yaitu : Pernyataan Hukum Postulat Daerah yang dilengkapi oleh persegi, dimana setiap sisinya memiliki panjang a, maka persegi ini memiliki luasan yang sama dengan a pangkat 2. Kemudian dari Postulat di atas menghasilkan sebuah teorema untuk Luas Persegi Panjang, yaitu : Luas suatu persegi panjang yang panjang sisinya a dan b adalah a.b Bukti Teorema Misal kita konstruksikan Persegi Panjang dari suatu persegi seperti pada gambar dibawah ini.



Bedasarkan dari gambar diatas dan menurut Postulat, maka :



Karena Luas R2 = Luas R3, berakibat :



a.b = Luas R2 = Luas Persegi Panjang (TERBUKTI) 3. Perumusan Rumus Segitiga Segitiga memiliki banyak rumus untuk mencari luasnya. Setiap rumus memiliki waktu tersendiri untuk menggunakannya, tergantung dari soal yang diberikan. Berikut beberapa pembuktian rumus luas segitiga: a. Pembuktian rumus L = 1/2 (alas x tinggi) Kasus 1 Untuk Segitiga Siku-Siku



Luas Persegi Panjang + Luas R1 + Luas R2 .b = 2 Luas R1 (karena Luas R1 = Luas R2) ) = Luas R1 Dengan a = alas dan b = tinggi Sehingga



L



=



Kasus 2 Untuk Segitiga Sama Kaki



Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 + Luas R3 + Luas 4 2.a.t = 4 Luas R2 (Karena Luas R1 = Luas R2 = Luas R3 = Luas R4)



Dengan a = alas dan t = tinggi Sehingga L= Kasus 3 Untuk Segitiga Sembarang



Luas Persegi Panjang = Luas R1 + Luas R2 Luas R1 + Luas R2 = b.t Karena luas R1 = (b.t)



Dengan a = alas dan t = tinggi Sehingga L= 4. Jajargenjang Pembuktian Rumus Jajargenjang



Gambar di atas merupakan sebuah jajar genjang dengan alas = a dan tinggi = t Rumus untuk mencari Luas jajar genjang = alas x tinggi = at. Untuk membuktikan rumus tersebut maka caranya adalah sebagai berikut.



Gambar di atas adalah jajar genjang yang di bagi menjadi 3 bagian dengan masing masing bagian mempunyai luas L1, L2 dan L3. Dalam hal ini kita akan mengubah bentuk diatas dengan memindahkan bagian yang mempunyai luas L3 agar sisi miring bidang L3 berimpit dengan sisi miring bidang L1. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.



Gambar di atas merupakan hasil perpindahan bidang L3 dan berbentuk persegi panjang. Karena rumus untuk mencari luas persegi panjang adalah L = panjang x lebar maka rumus luas persegi panjang diatas adalah L= alas x tinggi. karena persegi panjang di atas merupakan hasil perubahan bentuk jajar genjang, maka dapat disimpulkan bahwa rumus luas jajar genjang L= alas x tinggi = at. 5.



Trapesium Pembuktian Rumus Trapesium a.



Trapesium Sama Kaki



Pada trapesium yang pertama ini, terdapat sebuah persegi panjang dan diapit oleh 2 segitiga yang sama besar. berikut pembuktiannya : LTrapesium = Luas Persegi Panjang + 2 Luas Segitiga LTrapesium = (a x t) + (1/2 x b x t) LTrapesium = (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x b x t) LTrapesium = 1/2 x t x (2a + b + b) perhatikan bahwa (2a + c + c) adalah jumlah sisi yang sejajar, berakibat LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar



b. Trapesium Sembarang



Berbeda dengan trapesium pertama, di trapesium kedua ini persegi panjang diapit oleh dua segitiga yang tidak sama besar. Berikut pembuktiannya : LTrapesium = Luas Persegi Panjang + Luas Segitiga1 + Luas Segitiga2 LTrapesium = (a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t) LTrapesium = (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) + (1/2 x c x t) LTrapesium = 1/2 x t x (2a + b + c) Perhatikan bahwa (2a + b + c) adalah jumlah sisi yang sejajar, berakibat



LTrapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar



c. Trapesium Siku-Siku



LTrapesium = Luas Persegi Panjang + Luas Segitiga LTrapesium= (a x t) + (1/2 x b x t) LTrapesium= (1/2 x 2a x t) + (1/2 x b x t) LTrapesium= 1/2 x t x (2a + b) karena (2a + b) adalah jumlah sisi yang sejajar, berakibat LTrapesium= 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar Jadi, Rumus Luas Trapesium = 1/2 x tinggi x jumlah sisi yang sejajar



6. Layang-Layang Pembuktian Rumus Layang-layang Luas Layang-Layang = Luas S1 + Luas S2 + Luas S3 + Luas S4 karena Luas S1 = Luas S2 dan Luas S3 = Luas S4 yang merupakan Luas Segitiga, maka



Luas Layang-Layang = 1/2.a.b1 + 1/2.a.b1 + 1/2.a.b2 + 1/2.a.b2 = 1/2 x (a.b1 + a.b1 + a.b2 + a.b2) = 1/2 x (2.a.b1 + 2.a.b2) = 1/2 x [2.a(b1 + b2)] = 1/2 x (a + a) x (b1 + b2) perhatikan bahwa diagonal 1 = (a + a) dan diagonal 2 := (b1 + b2) maka Luas Layang-Layang = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2



7. Belah Ketupat Pembuktian Rumus Belah Ketupat Perhatikan belah ketupat ABCD berikut.



Tarik garis dari A ke C membentuk diagonal AC, dan dari B ke D membentuk diagonal BD.



Diagonal AC membagi belah ketupat menjadi dua buah segitiga, yaitu segitiga ABC dengan tinggi OB dan ACD dengan tinggi OD.



Luas belah ketupat diperoleh dengan menjumlahkan luas kedua segitiga. Luas segitiga dapat dihitung dengan rumus



L ABCD = L ABC + L ACD = ½. AC. OB + ½. AC. OD = ½ AC. (OB+OD) = 1/2 . AC. BD Pada gambar di atas, AB dan BD adalah diagonal belah ketupat, sehingga terbukti bahwa



8. Lingkaran Pembuktian Rumus Lingkaran



Luas = π (pi) x jari-jari (r) 2 = πr2



Untuk membukti kan rumus luas lingkaran dapat digunakan banyak cara diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Cara Euclid Dalam membuktikan rumus lingkaran Euclid membagi lingkaran menjadi beberapa bagian sama besar. Berikut merupakan contoh gambarnya,



Kemudian Euclid mengaturnya menjadi bentuk jajar genjang, sebagai berikut :



Susunan bagian lingkaran diatas menyerupai bentuk jajargenjang, dimana untuk panjang jajargenjang adalah setengah keliling lingkaran ( ) dan tinggi jajargenjang adalah jari-jari lingkaran ( ). Karena luas jajargenjang = Luas lingkaran = alas x tinggi =



Soal Olimpiade 1. Diberikan segitiga PQR siku-siku di Q. Jika Panjang PQ adalah x + 4, Panjang QR adalah 2x + 3, dan panjang PR adalah 2x + 4, maka panjang QR adalah… Jawab : Karena segitiga PQR siku-siku di Q maka sisi PR merupakan Hypotenusa Menurut dalil Pythagoras :



Maka panjang QR =2(2) + 3 = 7 2.



Pada gambar diatas, Segitiga ABC adalah siku-siku di A dan AEDF adalah suatu persegi. Jika panjang AB = 8 cm dan AC = 4 cm, maka luas daerah segitiga CDE adalah…..



Jawab :



Karena AEDF adalah Persegi, maka panjang AE = DE = DF = AF = a, sehingga panjang CE = 4 – a , . Segmen garis ED // AB, maka besar sudut CDE = sudut CBA (Sudut sehadap) Besar sudut CED = sudut CAB = dengan segitiga CAB (sd-sd), akibatnya:



, maka Segitiga CED sebangun



Sehingga panjang CE = 2, dan DE = 2 Jadi luas segitiga



Soal PISA 1. Seorang petugas memperbaiki lampu ditepi jalan mendaki. Petugas menyandarkan tangga ketiang listrik sehingga membentuk segitiga antara tangga, tiang, dan jalan. Sudut dalam dan sudut luaran taraujung tangga dengan tiang listrik x0 dan 5x0. Sudut antara tanga dengan jalan 580. Berapa besar sudut antara jalan dengan tiang listrik? Jenis segitiga apa yang dibentuk tangga, jalan dan tiang listrik? Jawab: Sudut antara jalan dengan tiang listrik = 180 0 – (58+30)0 = 940 Merupakan jenis segitiga tumpu. 2. Untuk konser music rock, sebuah lapangan yang berbentuk persegi panjang berukuran panjang 100 meter dan lebar 40 meter disiapkan untuk pengunjung. Tiket terjual habis bahkan banyak fans yang berdiri. Berapakah kira-kira banyaknya pengunjung konser tersebut? a. 2.000 b. 4.000 c. 16.000 d. 40.000 e. 80.000 Jawab: Untuk menyelesaikan soal ini siswa harus memahami situasi yang kompleks, yakni mulai dari ukuran lapangan, kemudian memahami situasi yang terjadi yakni karena tiket yang terjual habis maka banyak penonton yang berdiri, disini siswa dituntut untuk membayangkan situasi yang terjadi, dan proses terakhir ia ditunt ukuntuk mengevaluasi pilihan yang mungkin dengan fakta yang diketahui pada soal. Bisa dikatakan bahwa ini adalah soal level 5 yang memerlukan kemampuan berpikir tingkat tinggi.



Langkah awal adalah menghitung luas lapangan, yakni di dapat luas lapangan tersebut adalah 4000 m2. Setelah tahap ini lah banyak siswa yang dibuat bingung untuk melanjutkan proses berikutnya. Langkah yang tepat adalah siswa mengevaluasi pilihan ganda yang mungkin. Dengan luas 4000 m2, siswa harus membayangkan tiap 1 m 2, berapa orang yang mungkin memenuhinya, tentu harus memperhatikan bahwa banyak fans yang berdiri. Berikut adalah evaluasi masing-masing pilihan ganda yang ada. Untuk jawaban A, yaitu 2000 orang tidak mungkin, karena ada informasi yang menyebutkan bahwa lapangan penuh dan banyak fans yang berdiri. Artinya jika hanya 2000 orang, maka tiap orang menempati 2 m 2. Tentu tidak lah masuk akal. Untuk jawaban B, yaitu 4000 orang juga tidak mungkin, karena 4000 orang berarti tiap 1m2 ditempati 1 orang. Untuk jawaban C, karena ada 16.000 orang, maka tiap 1 m2 ditempati oleh 4 orang (diperoleh dari16.000 : 4.000),dan jawaban ini masuk akal. Untuk jawaban D dan E, siswa mestinya melihat bahwa pilihan D menunjuk kan tiap 1m2 ditempati 10 orang, ini jelas tidak mungkin, kecuali orangnya bertumpuk-tumpuk, padahal informasinya tidak demikian dan jawaban E lebih tidak mungkin karena berarti ada 20 orang dalam 1 m2. Sehingga jawaban yang benaradalah C.