Penaksiran Parametrik [PDF]

Citation preview

DISTRIBUSI SAMPLING DAN PENAKSIRAN PARAMETER Diajukan untuk memenuhi tugas dari salah satu mata kuliah Statistika Terapan



Dosen, Dr. Parsaoran Siahaan, M.Pd.



Oleh: Azura



NIM 1806335



Intan Septiani Rosa



NIM 1802553



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2019



KATA PENGANTAR



Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa kami ucapkan, karena berkat rahmatnya kami dapat menyelesaikan Makalah dengan judul “Distribusi Sampling dan Penaksiran Parameter” ini. Tugas ini merupakan salah satu tugas yang diberikan oleh dosen mata kuliah Statistika Terapan. Kami tidak akan mampu menyelesaikan makalah ini tanpa ada bantuan dari pihak-pihak yang telah memberikan bantuan. Kami mengucapkan terimakasih kepada pihak yang telah memberikan batuan baik secara langsung maupun tidak langsung. Kami juga menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih banyak kesalahan, kekurangan, dan masih ada yang harus dibenahi dalam pembuatan makalah. Oleh karena itu kami meminta maaf atas kekurangan dan kesalahan pada pembuatan makalah ini. Kami juga mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun. Semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi kami pada khusunya dan pembaca pada umumnya, serta dapat memenuhi kriteria dosen yang bersangkutan.



Bandung, April 2019



Penulis



2



DAFTAR ISI Kata Pengantar ................................................................................................................i Daftar Isi .........................................................................................................................ii



DISTRIBUSI SAMPLING ........................................................................................... 1 1. Pendahuluan ....................................................................................................... 1 2. Penaksiran ......................................................................................................... 1 3. Menaksir Rata-rata (𝜇) ....................................................................................... 4. Menaksir Proporsi 𝜋 ......................................................................................... 2 5. Menaksir Simpangan Baku 𝜎.............................................................................. 6. Menaksir Selisih Rata-rata ................................................................................. 7. Menaksir Selisih Proporsi .................................................................................. 8. Menentukan ukuran sampel ............................................................................... 2



PENAKSIRAN PARAMETER ..................................................................................... 3 1. Pendahuluan ....................................................................................................... 1 2. Penaksiran ......................................................................................................... 1 3. Menaksir Rata-rata (𝜇) ....................................................................................... 4. Menaksir Proporsi 𝜋 ......................................................................................... 2 5. Menaksir Simpangan Baku 𝜎.............................................................................. 6. Menaksir Selisih Rata-rata ................................................................................. 7. Menaksir Selisih Proporsi .................................................................................. 8. Menentukan ukuran sampel ............................................................................... 2



Daftar Pustaka .................................................................................................................



3



B. PENAKSIRAN PARAMETER 1. Pendahuluan Penaksiran parameter adalah pendugaan atau taksiran nilai parameter populasi berdasarkan sampel. Penaksiran parameter ada dua jenis yaitu penaksiran titik dan penaksiran interval sebagai berikut. a. Penaksiran Titik Estimasi titik adalah nilai tunggal "titik" diambil dari sampel dan digunakan untuk memperkirakan parameter terkait dalam populasi. X estimasi μ, estimasi s σ, estimasi s2 σ2, estimasi r ρ, dan estimasi P π. (Coladarci, Theodore, 2013) Penaksiran titik adalah suatu metode untuk menaksir nilai parameter populasi dalam satu titik tertentu. Penaksiran titik sangat sederhana dan mudah dihitung, tetapi ketepatannya diragukan. Dikatakan demikian, karena jarang terjadi bahwa nilai parameter populasi sama persis dengan statistik sampel. b. Penaksiran Interval Perkiraan interval adalah rentang nilai suatu “interval” yang mana dapat dinyatakan dengan keyakinan yang wajar bahwa parameter populasi terletak. Perkiraan interval disertai dengan pernyataan tingkat kepercayaan bahwa parameter populasi termasuk dalam interval. Tingkat kepercayaan diputuskan sebelumnya dan biasanya menggunakan 95% atau 99% —yaitu, (1 - α) (100) persen. Interval itu sendiri dikenal sebagai interval kepercayaan, dan batasnya disebut batas kepercayaan. (Coladarci, Theodore, 2013) Parameter populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bagian ini terutama adalah: rata-rata, simpangan baku dan persen.



2. Penaksiran Secara umum, parameter populasi akan diberi simbol θ (baca theta). Jadi θ bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku σ, proporsi π dan sebagainya. Jika θ, yang tidak dikatahui harganya, ditaksir oleh 𝜃̂ (baca: theta topi), maka 𝜃̂ dinamakan penaksir. Jelas bahwa sangat dikehendaki 𝜃̂ = θ, yaitu bisa mengatakan harga θ yang sebenarnya. Tetapi ini merupakan keinginan yang boleh dibilang ideal sifatnya. Kenyataan yang bisa terjadi adalah : a. Menaksir θ oleh 𝜃̂ terlalu tinggi, atau 4



b. Menaksir θ oleh 𝜃̂ terlalu rendah. Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Karenanya kita menginginkan penaksir yang baik. Dibawah ini kriteria penaksir yang baik, yaitu tak bias, mempunyai varians minimum dan konsisten. a. Penaksir 𝜃̂ dikatakan penaksir tak bias, jika rata-rata semua harga 𝜃̂ yang mungkin akan sama dengan θ. Dalam bahasa ekspektasi, ditulis ε (𝜃̂) = θ. Penaksir yang tak bias, disebut penaksir bias. b. Penaksir bervarians minimum ialah penaksir dengan varians terkecil diantara semua penaksir untuk parameter yang sama. Jika 𝜃̂1 dan 𝜃̂2 dua penaksir untuk θ dimana varians 𝜃̂1 lebih kecil dari varians untuk 𝜃̂2 , maka 𝜃̂1 merupakan penaksir bervarians minimum. c. Misalkan 𝜃̂ penaksir untuk θ yang dihitung berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n. jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan 𝜃̂ mendekati θ, maka 𝜃̂ disebut penaksir konsisten. d. Penaksir yang tak bias dan bervarians minimum dinamakan penaksir terbaik. Beberapa contoh : 1) Rata-rata 𝑥̅ untuk sampel berukuran n yang diambil dari populasi dengan rata-rata µ merupakan penaksir tak bias untuk µ, jadi ε (𝑥̅ ) = µ. 2) Varians 𝑠 2 yang dihitung, untuk sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi dengan varians 𝜎 2 , adalah penaksir tak bias untuk 𝜎 2 . Akan tetapi s merupakan penaksir bias untuk σ. 3) Rata-rata sampel 𝑥̅ adalah penaksir terbaik untuk µ, jadi untuk 𝑥̅ itu merupakan penaksir tak bias dan penaksir bervarians minimum.



3. Menaksir Rata-rata (𝝁) Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Dari populasi ini parameter rata-rata 𝜇 akan ditaksir. Untuk keperluan ini ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistic yang perlu ialah 𝑋̅ dan s. Titik taksiran untuk rata-rata 𝜇 adalah 𝑋̅.



5



Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran atau selang taksiran yang disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. Kita bedakan tiga hal: a. Simapangan baku 𝝈 diketahui dan populasi berdistribusi normal. 𝑃 (𝑋̅ − 𝑧1⁄ .𝛾 . 2



𝜎 √𝑛



< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑧1⁄ .𝛾 . 2



𝜎 √𝑛



) = 𝛾 …….. (1.2) (Sudjana, 2005)



dengan 𝛾 = koefisien kepercayaan 𝑧1⁄ .𝛾 = bilangan z didapat dari tabel normal baku untuk peluang ½ 𝛾 2



Menurut (Coladarci, Theodore, 2013) Aturan umum untuk interval kepercayaan (σ diketahui) 𝑋̅ ± zα 𝜎𝑋̅ Di sini, zα adalah nilai z yang membatasi area tengah dari distribusi sampling yang sesuai dengan tingkat kepercayaan. Seperti yang Anda lihat sebelumnya, zα 1.96 untuk interval kepercayaan 95% (karena nilai ini menandai tengah 95% dari distribusi sampling). Demikian pula, zα 2.58 untuk interval kepercayaan 99% karena mengikat 99% tengah. Dan dengan 𝜎𝑋̅ sama dengan = 𝜎⁄ √𝑛 b. Simpangan baku 𝝈 tidak diketahui dan populasi berdistribusi normal. 𝑃 (𝑋̅ − 𝑡𝑝 .



𝑠 √𝑛



< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑡𝑝 .



𝑠 √𝑛



) = 𝛾 ………. (1.3) (Sudjana, 2005)



dengan 𝛾 = koefisien kepercayaan 𝑡𝑝 = nilai t didapat dari daftar distribusi Student dengan p = ½ (1+𝛾), dan Dk = (n-1) bilangan 𝑋̅ − 𝑡𝑝 .



𝑠 √𝑛



dan 𝑋̅ + 𝑡𝑝 .



𝑠 √𝑛



masing masing dinamakan batas bawah dan



batas atas kepercayaan. Menurut (Coladarci, Theodore, 2013) Aturan umum untuk interval kepercayaan untuk μ (σ tidak diketahui) 𝑋̅ ± tα 𝑠𝑋̅ (Coladarci, Theodore, 2013) tα adalah nilai tabel dari t yang mencakup persentase tengah (1 - α) (100) dari area distribusi Siswa untuk df = n − 1. Dan 𝑠𝑋̅ = 𝑠⁄ √𝑛



6



Jika ukuran sampel n relative besar dibandingkan dengan ukuran populasi N, yakni (n/N) > 5%, maka rumus 1.2 menjadi: (𝑋̅ − 𝑧1⁄ .𝛾 . 2



𝜎



𝑁−𝑛



√𝑛



√



𝑁−1



< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑧1⁄ .𝛾 . 2



𝜎 √𝑛



𝑁−𝑛



√



𝑁−1



) …… (1.4)



Dan rumus 1.3 menjadi (𝑋̅ − 𝑡𝑝 .



𝑠 √𝑛



𝑁−𝑛



√



𝑁−1



< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑡𝑝 .



𝑠



𝑁−𝑛



√𝑛



√



𝑁−1



) ………… (1.5)



c. Simpangan baku 𝜎 tidak diketahui dan populasi tidak berdistribusi normal. Dalam hal ini, jika ukuran sampel n tidak terlalu kecil, maka dari limit pusat dapat digunakan. Jika distribusi populasi sangat menyimpang dari normal dan ukuran sampel kecil sekali, maka teorinya harus dipecahkan dengan menggunakan bentuk distribusi asli dari populasi yang bersangkutan.



Contoh: 1. Sebuah sampel acak terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari sebuah universitas lalu nilai-nilai IQnya dicatat, didapat 𝑋̅ = 112 dan s =10. a. Kita dapat mengatakan: IQ rata-rata untuk mahasiswa Universitas itu = 112. Dalam hal ini titik taksiran telah digunakan,. b. Jika dikehendaki interval taksiran IQ rata-rata dengan koefisien kepercayaan 0,95, maka dipakai rumus (1.3) Untuk p = 0,975 dan dk = 99 dengan interpolassi dari daftar G dalam lampiran, didapat tp = 1,987. Rumus (1.3) memberikan: (112 − 1,987.



10 √100



< 𝜇 < 112 + 1,987.



10



)



√100



(110,0 < 𝜇 < 114,0) Jadi didapat: 95% interval kepercayaan unti IQ rata-rata mahasiswa adalah (110,0 < 𝜇 < 114,0). Dengan kata lain dapat dikatakan: kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa IQ rata-rata mahasiswa akan ada dalam interval dengan batas 1110,0 dan 114,0.



7



2. Jika koefisien kepercayaan 𝛾 = 0.99, maka 𝑡𝑝 = 2,654 sehingga (112 − 2,654.



10 √100



< 𝜇 < 112 + 2,654.



10 √100



)



(109,3 < 𝜇 < 114,7) 4. Menaksir Proporsi π Misalkan sebuah sampel acak berukuran n diambil dari populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi π untuk peristiwa A yang ada dalam populasi tersebut. Jika terdapat x peristiwa A, sehingga proporsi sampel untuk peristiwa 𝐴 = 𝑥⁄ . Jadi titik taksiran untuk π adalah (𝑥⁄ ). Digunakan pendekatan oleh distribusi 𝑛 𝑛 normal kepada binomial untuk ukuran sampel n cukup besar. Rumus 100 γ % keyakinan untuk interval kepercayaan π adalah 𝑝𝑞



𝑝𝑞



(𝑝 − 𝑧1⁄ .𝛾 . √ 𝑛 < 𝜋 < 𝑝 + 𝑧1⁄ .𝛾 . √ 𝑛 ) ……… (1.6) 2



2



Dengan 𝑝 = 𝑥⁄𝑛 dan q = 1− p sedangkan 𝑧1⁄



2.𝛾



adalah bilangan z didapat dari daftar



normal baku untuk peluang 1⁄2 𝛾. Contoh. 1. Misalkan kita ingin menaksir ada berapa persen anggota masyarakat berumur 15 tahun keatas yang termasuk kedalam golongan A. sebuah sampel acak berukuran n =1200 diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A. 504



Persentase golongan A dalam sampel = 1200 𝑥100% = 42% Jika ditaksir ada 42 % anggota masyarakat berumur 15 tahun keatas yang termassuk golongan A, maka dalam hal ini telah digunakan titik taksiran. Untuk menentukan 95% interval kepercayaan parameter π, maka gunakan rumus (1.6) Dengan 𝑝 = 0,42 dan q = 0,58 sedangkan 𝑧0,475 = 1,96, maka: 𝑝𝑞 𝑝𝑞 < 𝜋 < 𝑝 + 𝑧1⁄ .𝛾 . √ ) 2 𝑛 𝑛



(𝑝 − 𝑧1⁄ .𝛾 . √ 2



0,42 𝑥 0,58 0,42 𝑥 0,58 (0,42 − 1,96. √ < 𝜋 < 0,42 + 1,96. √ ) 1200 1200 0,39 < 𝜋 < 0,45 8



Jadi kita merasa 95% yakin bahwa persentase anggota masyarakat yang termasuk golongan A berada dalam interval 39% dan 45%. 2. Diadakan survei terhadap sebuah populasi masyarakat di kota Semarang dengan mengambil sampel 100 orang dan diperoleh yang suka berolahraga sejumlah 60 orang. Dengan koefisien kepercayaan 95%, taksirlah interval kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut. Penyelesaian: Diketahui γ = 95% = 0,95 1⁄ 𝛾 = 0,475 2 𝑧0,475 = 1,96 𝑝 = 60⁄100 = 0,6, dan q = 0,4 Interval kepercayaan 𝜋 𝑝𝑞 𝑝𝑞 < 𝜋 < 𝑝 + 𝑧1⁄ .𝛾 . √ ) 2 𝑛 𝑛



(𝑝 − 𝑧1⁄ .𝛾 . √ 2



(0,6 − 1,96 . √



0,6 𝑥 0,4 0,6 𝑥 0,4 < 𝜋 < 0,6 + 1,96 . √ ) 100 100



0,504 < π < 0,696 50,4% < π < 69,6% Jadi, kita merasa 95% yakin (percaya) bahwa persentase kesukaan berolahraga masyarakat di kota Semarang tersebut akan ada dalam interval dengan batas 50,4 % dan 69,6 %. 5. Menaksir Simpangan Baku 𝝈 Untuk menaksir varians σ2 dari sebuah populasi, maka perlu dihitung sampel varians s2 berdasarkan sampel acak berukuran n. 𝑆2 =



∑(𝑋𝑖 −𝑋̅)2 𝑛−1



…….. (1.7)



Ternyata varians s2 adalah penaksir takbias untuk varians σ2, akan tetapi simpangan baku s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku σ. Jadi titik taksiran s untuk σ adalah bias.



9



Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians σ 2, maka 100 γ % interval kepercayaan untuk σ 2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat. (𝑛−1)𝑆 2 2 𝑋1/2(1+𝛾)



< 𝜎2