Persamaan Parametrik [PDF]

Citation preview

4/28/2020



Fungsi Parametrik



1



Pendahuluan • Karena grafik dalam bidang‐xy dari sutau fungsi f dapat dipotong paling banyak satu kali oleh sebarang garis vertikal, ada banyak kurva penting dalam bidang xy yang tidak menggambarkan persamaan‐ persamaan dari bentuk y = f (x) (misalnya, lingkaran).  • Dalam subbab ini ditunjukkan bahwa kurva semacam itu dapat diperoleh dari pasangan fungsi‐fungsi, yang satu digunakan untuk menggambarkan koordinat‐x suatu titik pada grafik dan yang lain  digunakan juga untuk menggambarkan koordinat‐y.  • Fungsi‐fungsi seperti ini disebut dengan fungsi parametrik



2



1



4/28/2020



Persamaan Parametrik: definisi • Asumsikan suatu partikel yang bergerak sepanjang suatu kurva C  dalam bidang xy. Koordinat‐x dan koordinat‐y dari partikel tersebut adalah fungsi waktu, misalkan



• Ahli fisika dan rekayasa menyebutnya sebagai persamaan gerak dari sebuah partikel dan kurva C adalah trayektori dari partikel



3



Persamaan Parametrik: definisi , menyatakan koordinat (x, y) dari sebuah titik pada suatu kurva sebagai fungsi dari peubah bantu t. Peubah t itu disebut parameter, dan  persamaan tersebut dinamakan persamaan parametrik untuk kurva.  Parameter t tidak hanya mewakili waktu; tetapi bisa juga dipandang sebagai peubah bebas yang bergerak pada suatu selang bilangan real ,



,



, , ∈



• Apabila tidak ada batasan secara eksplisit pada t atau yang diimplikasikan oleh persamaan‐persamaan, maka t bergerak antara −∞ dan +∞.



4



2



4/28/2020



Pers. Parametrik: Contoh Diberikan:



x  t 2  4 and y  2  t  3



t 2



t



-2 -1 0



2



3



x



0 -3 -4 -3 0



5



y -1 -.5 0



1



.5 1 1.5



Beberapa contoh pasangan nilai (x,y) jika diberikan nilai t tertentu



Grafik dalam bidang koordinat XY



5



Persamaan Parametrik: contoh 2 • Suatu lingkaran dengan jari‐jari a berpusat pada titik asal dapat disajikan dengan persamaan parametrik



6



3



4/28/2020



Eliminasi Parameter • Kadang‐kadang suatu kurva yang diberikan secara parametrik dapat dikenali dengan cara mengeliminasi parameternya.  • Contoh berikut mengilustrasikan hal ini: Sketsalah kurva Dengan menyelesaikan persamaan pertama, diperoleh Substitusi ke persamaan pertama, diperoleh



7



Eliminasi Parameter Contoh 2) Contoh 3)



t x  t 2  4 and t  2 y 2 2 x  (2 y )  4  x  4 y 2  4



x  t 2  4 and y 



x  3cos 



and y  4sin 



x  cos  3



and



y  sin  4



x2 y2  cos 2  and  sin 2  9 16 2 2 x y   cos 2   sin 2  9 16 x2 y 2  1 9 16 8



4



4/28/2020



Persamaan Parametrik: Garis singgung • Dapat dibuktikan bahwa jika x(t) dan y(t) mempunyai turunan pertama terhadap yang kontinu, dan jika  ≠ 0, maka y adalah suatu  fungsi terdiferensial dari x. Sesuai dengan aturan rantai, maka  persamaan garis singgung pada titik t adalah   



9



Garis Singgung: Contoh



10



5



4/28/2020



Garis Singgung: Contoh



11



Persamaan Parametrik: Panjang Busur Diketahui kurva yang disajikan dalam pers. Parametrik



Jika tidak ada ruas kurva yang ditelusuri dua kali, saat t bertambah dari a ke b , dan jika dx/dt dan dy/dt fungsi‐fungsi kontinu untuk a ≤ t ≤ b,  maka panjang busur dari kurva, L, diberikan oleh



12



6



4/28/2020



13



14



7