![Penggunaan Sistem Matriks-Probabilitas Didalam Teknik Industri [PDF]](https://pdfs.asia/img/200x200/penggunaan-sistem-matriks-probabilitas-didalam-teknik-industri.jpg)
4 0 952 KB
MATRIKS Rudini Mulya Daulay Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik – Universitas Mercu Buana email: [email protected]
A. PENGERTIAN Matriks merupakan suatu alat atu sarana yang sangat ampuh untuk menyelesaikan model linear. Matriks adalah susunan empat persegi panjang atau bujur sangkar dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom, ditulis antara dua tanda kurung. 1. Bentuk Umum a11 a12 a 21 a 22 ... ... a m1 a m 2
a13 a 23 ... a m3
... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
Elemen matriks disebut juga unsure aij 2. Ukuran Matriks
Jumlah baris = m
Jumlah kolom = n
Ordo atau ukuran matriks = m x n
Elemen-elemen diagonal = a11 , a22, …, ann
Contoh:
5 6 2 3 Matriks A3x4 = 0 1 4 7 Notasi matriks menggunakan huruh kapital 3 1 2 6
‘13
1
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
B. KESAMAAN MATRIKS Matriks A = (aij) B = (bij) A = B jika aij = bij untuk semua i
= 1,2… m dan j = 1,2….n
Contoh:
1 2 1 2 1 2 0 A= C B 3 4 3 4 1 3 4 A=B A ≠ C (ukurannya tidak sama) Matriks A dan matriks B disebut sama apabila:
Ordo-ordonya sama
Elemen-elemen yang seletak sama
C. MACAM-MACAM MATRIKS 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dimana jumlah baris=jumlah kolom a11 a12 a a 22 A 21 ... ... a n1 a n 2
... a1n ... a 2 n ... ... ... a nn
A : matriks bujur sangkar berukuran n x n Diagonal utama A ; a11 , a22, … ann Contoh:
A2 x 2
5 3 2 4 3 A3x 3 1 4 6 2 1 7 2 5
2. Matriks Diagonal Yaitu matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semua elemennya nol, sedangkan unsure-unsur yang lainnya adalah nol.
‘13
2
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
Contoh:
5 0 0 2 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3. Matriks Satuan (Matriks Identitas) Matriks bujur sangkar dimana elemen-elemen pada diagonal utamanya masing-masing adalah satu, sedangkan elemen-elemennya yang lain adalah nol Contoh:
1 0 0 1 0 I2 , I 3 0 1 0 0 1 0 0 1 4. Matriks Singular Yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti: determinannya=0) 5. Matriks Non Singular Yaitu
matriks
bujur
sangkar
yang
mempunyai
invers
(berarti:
determinannya≠0) 6. Matriks Simetris Yaitu matriks bujur sangkar dimana diagonal utamanya berfungsi sebagai cermin atau refleksi (A’=A) Contoh:
A3x 3
5 1 6 1 7 4 6 4 3
7. Matriks Idempotent Yaitu matriks bujur sangkar dimana berlaku A2=A atau An=A, bila n=2,3,4,….
‘13
3
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
Contoh:
2 4 2 A 1 3 4 2 3 1
2 4 2 2 4 2 2 4 2 A A. A 1 3 4 1 3 4 1 3 4 A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2
Program MAPLEnya: # A= Matriks Idempotent, sehingga A2 = A restart: A:=matriks ([[2,-2,4],[-1,3,4],[1,-2,-3]]);
2 4 2 A 1 3 4 1 2 3 C:= evalm(A&*A)
2 4 2 C 1 3 4 1 2 3
8. Matriks Nilpotent Yaitu matriks bujur sangkar dimana berlaku A3=0 atau An=0, bila n=2,3,4,…. Contoh: Matriks nilpotent dari ordo 3 x 3
1 3 1 A 5 2 6 2 1 3 ‘13
4
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0 1 A A. A. A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0 0 2 1 3 2 1 3 2 1 3 0 0 0 3
Program MAPLEnya: # Matriks Nilpotent, sehingga A2 = A restart: A:=matrix ([[1,1,3],[5,2,6],[-2,-1,-3]]);
1 3 1 A 5 2 6 2 1 3 evalm(A&*A*A);
0 0 0 0 0 0 0 0 0
9. Matriks Nol Yaitu matriks yang dimana semua unsurnya adlah nol 10.
Matriks Identitas 1 I 2x2 0 1 I 3 x 3 0 0
11.
0 1 0 0 1 0 0 1
Sifat Matriks Identitas dan Matriks Nol Jika A = matriks berukuran n x n I.A = A.I = A A+0 = ).A =0 A.) =0.A = 0
‘13
5
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
12.
Matriks Segitiga (Triangular Matriks) a. Matriks Segitiga Atas Yaitu matriks bujur sangkar apabila setiap unsure yang terletak di bawah diagonal utamanya sama dengan nol Contoh:
A3 x 3
a11 a12 0 a 22 0 0
a13 a 23 a 33
b. Matriks Segitiga Bawah
B3 x 3
b11 0 b21 b22 b31 b32
0 0 b33
D. OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Penjumlahan Dua Matriks A + B = (aij + bij) A – B = (aij - bij) Syarat penjumlahan dua matriks atau pengurangan dua matriks adalah mempunyai ordo yang sama. Contoh:
5 6 7 6 7 4 Diketahui A2 x 3 danB2 x 3 8 3 4 1 9 2 Maka C2x3 = A2 x 3 + B2 x 3
5 6 7 6 7 4 11 13 11 C 2 x3 8 3 4 1 9 2 9 12 6
‘13
6
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
Program MAPLEnya: # Penjumlahan Dua Matriks restart: A:=matrix ([[5,6,7],[8,3,4]]);
5 6 7 A 8 3 4 A=matrix(2,3[5,6,7,8,3,4]);
5 6 7 A 8 3 4 B:=matrix(2,3[6,7,4,1,9,2]);
6 7 4 B 1 9 2 C:=evalm(A+B);
11 13 11 C 9 12 6
SOAL LATIHAN 1
Tentukan penjumlahan dua matriks di bawah ini!
1 3 5 6 9 1 1) A danB , makaA B 4 2 7 4 2 3 Jawab: 𝐴+𝐵 =
‘13
7
6 −9 1 −1 3 5 + 2 3 4 2 7 −4
=
−1 + 6 3 − 9 5 + 1 2 + 2 7 + 3 −4 + 4
=
5 −7 6 4 10 0
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
3 1 0 2 2) A danB , makaA B 4 2 1 3 Jawab: 3 1 0 2 + 4 2 1 3
𝐴+𝐵 =
3)
2
=
3+0 1+2 4+1 2+2
=
3 3 5 4
1 3danB 2 2 1, makaA B
Jawab: 𝐴 + 𝐵 = 2 −1 = 2+2 = 4
3 + 2 2 −1 −1 + 2 3 − 1
1 2
4 3 1 1 2 3 4) A danB maka,2 A 2 B 1 0 2 1 0 1 Jawab: 2𝐴 + 2𝐵 = 2
4 2
3 1 −1 2 3 +2 1 0 1 1 0
=
8 6 2 −2 4 + 4 2 0 2 2
=
6 10 6 4
6 0
8 0
3 1 2 4 5) 1 2 2 3 Jawab: 𝐴+𝐵 =
‘13
8
3 1 −2 4 + 2 −2 3 −1
=
3−2 1+4 2 + 3 −2 − 1
=
1 5 5 −3
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
1 0 0 3 1 1 2 0 6) 4 5 3 6 7 2 5 3 Jawab: 1 0 6 7
𝐴+𝐵 =
0 3 −1 −1 −2 + 2 5 3 4 5
=
1−1 0−1 0−2 3+0 6+3 7+4 2+5 5−3
=
0 −1 −2 3 9 11 7 2
0 −3
1 2 1 1 7) 3 4 1 1 Jawab: 1 2 1 1 + 3 4 1 1
𝐴+𝐵 = =
1+1 2+1 3+1 4+1
=
2 3 4 5
2. Perkalian Bilangan Skalar dengan Suatu Matriks Masing-masing elemen matriks tersebut dikalikan dengan bilangan scalar.Misalkan bilangan scalar K=3 dan
2 3 1 Matriks A2 x 3 4 5 6 Maka B2x3 = k x A2x3
2 3 1 6 9 3 B2x3 = 3x 4 5 6 12 15 18 Program MAPLEnya: # Perkalian Bilangan scalar dengan suatu Matriks
restart:
A:=matrix ([[2,3,1],[4,5,6]]);
2 3 1 A : 4 5 6
C:=evalm(3*A);
6 9 3 C : 12 15 18 ‘13
9
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
SOAL LATIHAN 2
Tentukan perkalian bilangan scalar dengan suatu matriks dibawah ini! 1)
4 3 7 A : 3 0 1 Maka: a) 3A= b) -1/2A= Jawab: 4 3 7 3 0 −1
a) 3 ∗ 𝐴 = =
3∗4 3∗3 3∗7 3 ∗ 3 3 ∗ 0 3 ∗ −1
=
12 9
9 21 0 −3
1 1 b) − 2 ∗ 𝐴 = − 2 4 3
7 3 0 −1
=
=
2)
1
1
2 1
2 1
2
2
− ∗4 − ∗3
1
− ∗7 2 1
− ∗ 3 − ∗ 0 − ∗ −1 −2
3
7
−2
3
−2
2
−2 1
0
2
2 3 1 2 1 3 A 2 1 4 dan.B 1 1 5 maka 2 A + 5 B= 1 1 2 0 0 1 Jawab: 𝐴=
2 1 3 1 2 3 2 1 4 ,𝐵 = 1 1 5 −1 1 2 0 0 1
1 2𝐴 + 5𝐵 = 2 ∗ 2 −1
‘13
10
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
=
2∗1 2∗2 2 ∗ −1
=
2 4 −2
2 1 2 3 1 4 + 5∗ 1 1 1 2 0 0 2∗2 2∗1 2∗1
3 5 1
2∗3 5∗2 5∗1 5∗3 2∗4 + 5∗1 5∗1 5∗5 2∗2 5∗0 5∗0 5∗1
4 6 10 5 15 2 8 + 5 5 25 2 4 0 0 5
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
=
2 + 10 4+5 −2 + 0
=
12 9 −2
4 + 5 6 + 15 2 + 5 8 + 25 2+0 4+5
9 21 7 23 2 9
3. Perkalian Dua Matriks Perkalian dua matriks A : Matriks berukuran m x k B : Matriks berukuran k x n A.B + Amxk x Bkxn = ABmxn 4. Syarat Perkalian Matriks Jika A berukuran m x n dan B berukuran p x q maka: Perkalian matriks AB berordo m x q bisa dibentuk hanya jika n=p Perkalian matriks BA berordo p x n bisa dibentuk hanya jika q=m AB tidak selalu sama dengan BA (walaupun m=n=p=q) Syarat: Setiap baris pada matriks pertama harus dikalikan pada setiap kolom pada matriks kedua Banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua Contoh:
7 2 1 3 2 A2 x 3 dan, B3 x 2 1 4 4 0 5 6 3 maka.C 2 x 2 A2 x 3 xB 3 x 2 C2x2
C2x2 C2x2 C2x2 ‘13
11
7 2 1 3 2 x 1 4 4 0 5 6 3 (1x7 3x1 2 x6)(1x 2 3x 4 2 x3) (4 x7 0 x1 5 x6)(4 x 2 0 x 4 5 x3) (7 3 12)(2 12 6) (28 0 30)(8 0 15) 22 20 58 23
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
Program MAPLEnya: # Perkalian dua matriks restart: A:=matrix (2,3,],[1,3,2,4,0,5]);
1 3 2 A : 4 0 5 B:=matrix (3,2,],[7,2,1,4,6,3]);
7 2 B 1 4 6 3 C:=evalm(A&*B);
22 58 C 20 23
SOAL LATIHAN 3
Tentukan perkalian suatu matriks dengan suatu matriks dibawah ini!
1 1 1 3 1 1 , dan, C 1. A 2 3 , B 4 2 2 4 4 0 Maka: a) A.B Jawab: b) (A.B).C Jawab: c) B.C Jawab:
‘13
12
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
d) A.(B.C) Jawab:
3 2 1 4 2 0 1 , B 1 3 , C 2 1 2. A 1 1 1 0 1 3 2 Maka: a) B+C Jawab: b) A.(B+C) Jawab: c) A.B Jawab: d) A.C Jawab: e) A.B+A.C Jawab:
2 1 1 1 0 1 3. A ,B ,C 4 2 1 0 3 0 Maka: a) A.B Jawab: b) A.C Jawab: 5. Sifat-sifat Operasi Matriks A+B=B+A
(sifat komutatif)
A+(B+C)=(A+B)+C
(sifat asosiatif)
k(A+B)=kA=kB
(k=sembarang)
A(B+C)=AB+AC
(sifat distributif)
(A+B)C=AC+BC
(sifat distributif)
A(B C)=(A B)C
(sifat asosiatif)
Pada umumnya AB≠BA AB=0 tidak berakibat A=0 atau B=0 AB=AC tidak berakibat B=C ‘13
13
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
E. MATRIKS INVERS 1. Definisi Bila A.B=B.A=I, maka A dan B saling invers Notasi invers A adalah A-1 2. Sifat-sifat Matriks Invers Jika A dan B non singular, atau invertible, maka: A.B juga non singular (A.B)-1= B-1. A-1 A matriks bujur sangkar, maka:
𝐴𝑛 = 𝐴. 𝐴. 𝐴 … . . 𝐴 → 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐴0 = (𝐴−1 )𝑛 = 𝐴−1 . 𝐴−1 . 𝐴−1 … . 𝐴−1 → 𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 (𝐴−1 )𝑛 = 𝐴 (𝑝. 𝐴)−1 = 𝑝−1 . 𝐴−1 = 1 𝑝. 𝐴−1 𝐴𝑚 . 𝐴𝑛 = 𝐴𝑚 +𝑛 (𝐴𝑛 )𝑚 = 𝐴𝑛 .𝑚 Contoh: 𝐴=
1 2 → 𝐴−1 = ? 3 4
𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 Misalkan 𝐴−1 =
𝑎 𝑐
𝑎 + 2𝑐 3𝑎 + 4𝑐 𝑎 + 2𝑐 3𝑎 + 4𝑐
1 𝑏 → 𝑑 3
2 𝑎 4 𝑐
1 𝑏 = 𝑑 0
0 1
𝑏 + 2𝑑 1 0 = , 3𝑏 + 4𝑑 0 1 𝑏 + 2𝑑 3𝑏 + 4𝑑
𝑎 + 2𝑐 = 1 𝑥 2 → 2𝑎 + 4𝑐 = 2 3𝑎 + 4𝑐 = 0 𝑥 2 → 3𝑎 + 4𝑐 = 0 −𝑎
=2 𝑎 = −2
3𝑎 + 4𝑐 = 0 ‘13
14
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
4𝑐 = −3𝑎 𝑐=
−3𝑎 4
=
4
3
1
2
2
𝑐= =1 𝑏 + 2𝑑 = 0 3𝑏 + 4𝑑 = 1
−3 −2
𝑥2 → 2𝑏 + 4𝑑 = 0 𝑥1 → 3𝑏 + 4𝑑 = 1 −𝑏
= −1
𝑏=1 𝑏 + 2𝑑 = 0 2𝑑 = −𝑏 𝑑= 𝐴−1 =
𝑎 𝑐
−𝑏 2
=
−1 2
1
= −2
−2 1 𝑏 = 11 −1 𝑑 2 2
Atau 𝐴−1 =
1 𝑎𝑑𝑗(𝐴)) 𝐴
𝐴−1 =
1 4 −2 −2 −3 1
=− =
1 2
4 −2 −3 1
−2 1 1 1 2 −1 2
Dimana 𝐴 = 1𝑥4 − 2𝑥3 = −2 1. Rumus Penyelesaian Matriks Invers 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼 2. (𝐴|𝐼)
𝑂𝐵𝐸
3. 𝐴−1 =
‘13
15
1 𝐴
𝐼 𝐴−1 𝑎𝑑𝑗(𝐴)
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
F. MATRIKS TRANSPOSE Matriks transpose diperoleh dengan menukar elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom atau sebaliknya. Contoh: 𝐴=
1 4
2 3 5 6
Transpose dari A adalah: 1 𝐴𝑡 = 2 3
4 5 6
Program MAPLEnya:
# Matriks Transpose Restart: With(linalg) A:=array([[1,2,3],[4,5,6]]; 1 2 4 5
𝐴=
3 6
Transpose(A): 1 2 3
4 5 6
1. Sifat-sifat Matriks Transpose 1) (𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴 2) 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 3) 𝑝. 𝐴 𝑡 = 𝑝. 𝐴𝑡 4) 𝐴. 𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡 Contoh pembuktian sifat matriks transpose: 𝐴=
2 3 3 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 1 4 4
1 2
Maka 𝐴𝑡 = 2 1 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝑡 = 3 4 3 4
‘13
16
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
1 2 Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
Pembuktian sifat 1: 𝐴𝑡
𝑡
2 1 3 4
=
𝑡
=
2 1
3 =𝐴 4
Pembuktian sifat 2: 2 3 3 1 5 4 5 + = , 𝑚𝑎𝑘𝑎 (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 1 4 4 2 5 6 5
𝐴+𝐵 =
𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 =
2 3
4 6
𝑡
=
5 5 4 6
1 3 4 5 5 + = 4 1 2 4 6
Terbukti bahwa (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
Pembuktian sifat 3: 5𝐴 = 5
2 1
3 10 = 4 5
15 10 15 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 (5𝐴)𝑡 = 20 5 20
𝑡
=
10 15 5 20
5𝐴𝑡 = 5 2 1 = 10
5 15 20
3 4
Terbukti bahwa (5𝐴)𝑡 = 5𝐴𝑡
Pembuktian sifat 4: 𝐴. 𝐵 =
2 1
6 + 12 1 = 2 3 + 16
3 3 4 4
2+6 18 = 1+8 19
8 9
Maka (𝐴. 𝐵)𝑡 = 18 19 8
9
4 2 1 = 6 + 12 3 + 16 = 18 19 2+6 1+8 8 9 1 2 3 4
𝐵𝑡 . 𝐴𝑡 = 3
Terbukti bahwa (𝐴. 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 . 𝐴𝑡
2. Sifat Matriks Bujur Sangkar A a) A+At adalah symmetric b) A-Atadalah skew symmetric c) A dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu matriks symmetric B=1/2 (A+A t) dan suatu matriks skew symmetric C=1/2(A-At).
‘13
17
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
SOAL LATIHAN 3
Tentukan transpose suatu matriks di bawah ini! 1 1. 𝐴 = 2 0
2 0 3 1 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ 1 1
𝐴𝑡 = . …
Jawab: 0 1 −1 0 2. 𝐴 = 1 −3 2 4
−1 3 0 −1
−2 −4 , 𝑚𝑎𝑘𝑎: 1 0
𝐴𝑡 =. . ..
Jawab: 3. 𝐴 =
2 1 2 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∶ 3 0 1
𝐴𝑡 =. . ..
Jawab:
G. MATRIKS ESELON DAN MATRIKS ESELON TEREDUKSI 1. Definisi A=[adj]mxn disebut matirks tereduksi bila memnuhi: 1. Bila ada baris yang tak semua nol, maka elemen pertama yang ≠ 0 harus bilangan 1 2. Elemen pertama yang ≠ 0 pada baris di bawahna harus di sebelah kanan 1 3. Baris yang semua nol harus pada bagian bahwa (baris-baris bawah)
2. Matriks Eselon (Eliminasi Gauss) 1 0 0 0 0 0 0 0
‘13
18
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
5 4 3 2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
6 5 4 3 2 1 0 0
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
3. Matriks Eselon Terdeuksi (Eliminasi Gauss Jordan) 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
Contoh Matriks Eselon
1 2 4 0 1 7 0 0 1 Contoh Matriks Eselom Tereduksi
1 0 0 0 1 0 0 0 1
H. OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) 1. Definisi bij = menukar baris ke i dengan baris ke j bi (p) = mengalikan baris ke i dengan p ≠ 0 bij (p) = bi + p.bj (Ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan baris ke j yang dikalikan denganp). Contoh: 1 4 0
2 3 5 6 5 7
𝑏 𝑖𝑗
4 1 0
5 2 5
6 3 7
𝑏 2(3)
B23 (4):b2(baru)=b2(lama)+4xb3
4 1 0
5 6 𝑏 23 (4) 4 5 2 3 3 26 5 7 𝑏2 = 𝑏2+ 4. 𝑏3 0 5
𝑏2 = 3 4𝑏3 = 0
6 9 20 28 𝑏2 = 3 26
‘13
19
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
6 37 7
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
37 (baris b2 baru)
2. Matriks Elementer dan Sifatnya a. Definisi Anxm disebut matriks elementer, bila dengan sekali melakukan OBE terhadap I n diperoleh E
Contoh: 1 𝐼3 = 0 0 1 𝐼3 = 0 0 1 𝐼3 = 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 𝑏2 (5) 1 0 𝐸= 0 5 0 1 0 0 0 𝑏12 0 1 𝐸= 1 0 0 1 0 0 0 𝑏 32 (4) 𝐸 0 𝑏 = 𝑏 4. 𝑏 3 3+ 2 1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 𝐼3 = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 𝑏 32 (−4) 1 𝐼3 = 0 0 1 𝑏3 = 𝑏3+ (−4)𝑏2 0
𝑏 2 (1/5)
𝑏 12
1 = 0 0
𝐼3 0 1 4
0 1 0
E = Matriks elementer , maka E.A = matriks baru yang terjadi bola OBE tersebut dilakukan pada matriks A 𝐴
𝑂𝐵𝐸
= 𝐸. 𝐴 = 𝐼
𝑂𝐵𝐸
.𝐴
Contoh: 1 2 𝑏12 3 4 3 4 1 2 𝑏 1 0 12 0 1 𝐼2 = 𝐸= 0 1 1 0 0 1 1 2 3 4 𝐸. 𝐴 = = 1 0 3 4 1 2 Setiap Matriks Elemen adalah matriks tak singular. 𝐴=
Invers matriks elementer juga matriks elementer. 𝐼
𝑂𝐵𝐸
𝐸
-1
Maka E juga matriks elementer
3. Cara penyelesaian matriks invers dengan OBE 𝐴𝐼
‘13
20
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
𝑂𝐵𝐸
𝐼 𝐴−1
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
0 0 1
Contoh 1: 1 2 , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴−1 =? 3 4
𝐴= Solusi:
1
2 0 0 𝑏12 (−3) 1 2 1 0 𝑏2 (−2) 4 0 0 0 −2 −3 1 1 2 11 01 𝑏12 (−2) 1 0 −21 01 0 1 12 −2 0 1 12 −2
1 3
−2 Jadi 𝐴−1 = 1 1 2
0 1 −2
Program MAPLEnya: # Matriks Invers Restart: With(linalg): A := array ([[1.2],[3,4]]); 𝐴=
1 3
2 4
Inverse(A); −2 3 2
1 1 −2
Matriks yang tidak mempunyai Invers Contoh: 1 1 2 𝐵 = 2 −1 1 1 2 3 1 1 2 1 2 −1 1 0 1 2 3 0
0 0 1 0 0 1
𝑏 21 (−2) 𝑏 31 (−1)
1 1 2 1 0 0 2 1 1 −1 0 1 0 −3 −3 −2 1 0
1 1 2 1 0 0 2 −1 −3 −2 1 0 1 2 3 −1 0 1
𝑏 12 (−1) 𝑏 32 (−3)
𝑏 23
1 0 0 1 0 −1 0 1 1 −1 0 1 0 0 0 −5 1 3
Sebelah kiri bukan Matriks idenitas, maka Matriks B tak mempunyai invers.
‘13
21
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
# Contoh Matriks Yang Tidak Mempunyai Invers Restar: With(linalg): A := array ([[1,1,2],[2,-1,1],[1,2,3]]) 1 1 𝐴 = 2 −1 1 2
2 1 3
Inverse(A); Error, (in inverse)singular matrix
SOAL LATIHAN 4
1. Cari matriks invers dari 2 𝐴 = −1 1
1 2 −1
1 1 2
Jawab: 2 −1 1 𝐴= −1 1 2
1 2 1 2 1 1
−1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 −1 1
−1 2 1 −1 2 1 1 −1 2 1 −1 2
(4 + 1) −(−2 − 1) (1 − 2) 5 3 1 −(2 + 1) (4 − 1) −(−2 − 1) = −3 3 3 𝐴 = (1 − 2) −(2 + 1) (4 + 1) −1 −3 3 ∗
5 𝐴 𝑗𝑜𝑖𝑛 𝐴 = (𝐴∗ )𝑡 = −3 −1
3 1 5 −3 3 3 = 3 3 −3 3 1 3
−1 −3 3
𝐷 = 𝐴 = 2 4 + 1 − 1 −2 − 1 + 1 1 − 2 = 10 + 3 − 1 = 12
𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴 = 𝐴−1
‘13
22
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
5 3 (𝐴∗ )𝑡 = = 1 𝐴
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
−3 −1 3 −3 3 3 12
2. Cari matriks invers dari 3 4 𝐴= 1 0 2 5
−1 3 −4
Jawab: 0 5 4 𝐴= 5 4 0
3 −4 −1 −4 −1 3
1 2 3 2 3 1
3 −4 −1 −4 −1 3
1 2 3 2 3 1
0 5 4 5 4 0
(0 − 15) −(−4 − 6) 𝐴 = −(−16 − 5) (−12 − 2) (12 − 0) −(9 − 1) ∗
𝐴 𝑗𝑜𝑖𝑛 𝐴 = (𝐴∗ )𝑡 =
(5 − 0) −15 −(−15 − 8) = 21 (0 − 4) 12
−15 10 5 −15 = 21 −14 7 10 12 −8 −4 5
21 −14 7
10 5 −14 7 −8 −4 12 −8 −4
𝐷 = 𝐴 = 3 0 − 15 − 4 −4 − 6 + 1 5 − 0 = −45 + 40 − 5 = −10
𝑗𝑎𝑑𝑖, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝐴 = 𝐴−1
−15 21 10 −14 (𝐴∗ )𝑡 5 7 = = 𝐴 −10
12 −8 −4
3. Tentukan matriks invers dari A dengan Cara kofaktor 2 1 0 1. 20𝐴 = 1 −1 1 0 1 3 Jawab:
‘13
23
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
1 1 1 A* 1 1 1
1 1 1 1 1 3 0 3 0 1 3 1 (3 0) (1 0) 4 3 1 0 2 0 2 1 A* 3 0 (6 0) (2 0) 3 6 2 3 0 3 0 1 (1 0) (2 0) (2 1) 1 2 3 0 2 0 2 1 1 1 1 1 1 4 3 1 4 3 1 t AjoinA ( A*) 3 6 2 3 6 2 1 2 3 1 2 3 D A 2(3 1) 1(3 0) 0(1 0) 11 4 3 1 3 6 2 t 1 2 3 ( A *) jadi , A 1 A 11
3 2. 𝐴 = 1 2
4 0 5
−1 3 −4
Jawab: 0 3 1 2 5 4 4 1 3 A* 5 4 2 4 1 3 0 3 1
3 1 0 4 2 5 (4 6) (5 0) 15 10 5 0 15 1 3 4 A* 16 5 (12 2) (15 8) 11 10 7 4 2 5 ( 12 0 ) ( 9 1 ) ( 0 4 ) 12 8 4 1 3 4 3 1 0 5 15 11 12 15 10 t AjoinA ( A*) 11 10 7 10 10 8 12 8 4 5 7 4 D A 3(0 15) 4(4 6) 1(5 0) 10
jadi , A 1
‘13
24
15 11 12 10 10 8 t 5 7 4 ( A*) A 10
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
1 3. 𝐴 = 3 2
2 4 3
3 8 4
Jawab:
4 8 3 2 3 4 2 3 1 A* 3 4 2 2 3 1 4 8 3
8 3 4 4 2 3 1 16 24 (12 16) (9 8) 8 4 3 1 2 A* 8 9 (4 2) (3 4) 1 2 1 4 2 3 (16 12) (4 9) (4 6) 4 5 2 3 1 2 4 3 4 1 8 1 4 8 4 t AjoinA ( A*) 1 2 1 4 2 5 4 5 2 1 1 2 D A 1(16 24) 2(12 16) 3(9 8) 3 8 1 4 4 2 5 t 1 1 2 1 0 1 ( A*) 1 jadi , A 4. 𝐴 = −1 A 1 1 3 0 1 0 Jawab: 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 (0 0) (1 0) 1 0 1 0 1 1 1 1 0 A* (1 0) 1 0 1 0 0 0 1 A* 0 1 (0 0) 1 0 (0 1) (1 1) (1 0) 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 t AjoinA ( A*) 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 D A 1(0 1) 0 1(1 0) 2 1 1 1 0 0 0 ( A*) t 1 1 1 jadi , A 1 A 2
‘13
25
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
4 5. 𝐴 = 2 1
1 1 2
3 6 4
Jawab: 1 8 2 2 4 1 1 3 4 A* 2 4 1 1 5 4 1 8 2
6 2 1 4 1 2 3 4 16 (8 6) (4 1) 12 2 3 4 1 A* 4 6 (16 3) (8 1) 2 13 7 4 1 2 (8 3) (24 6) (4 2) 5 18 2 3 4 1 6 2 1 3 12 2 5 12 2 t AjoinA ( A*) 2 13 7 2 13 18 5 18 2 3 7 2 D A 4(4 16) 1(8 6) 3(4 1) 41 5 12 2 2 13 18 t 3 7 2 ( A*) jadi , A 1 A 41
‘13
26
Matriks-Probabilitas Rudini Mulya Daulay
Teknik Industri Universitas Mercu Buana 2010
