PERKALIAN SINUS DAN COSINUS - Yunita Romadani [PDF]

Citation preview

MEMBUKTIKAN RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS Di susun untuk memenuhi tugas mata kuliah Trigonometri



Dosen Pengampu: Rohmad Wahid R. S.Pd., M.Si



Di susun oleh: Yunita Romadani 1810251007



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TAHUN 2020



PERKALIAN SINUS DAN COSINUS



Rumus perkalian fungsi trigonometri sinus dan cosinus



 2 cos α sin β=sin ( α + β )−sin ⁡(α −β)  2 sin α cos β=sin ( α + β ) +sin ⁡( α −β)  Rumus Cos dikali Sin Rumus yang akan dibahas adalah rumus cos dikali sin. Kalimat yang dapat digunakan utuk menghafal rumus perkalian cos dan sin adalah dua cos sin sama dengan sin jumlah dikurang sin selisih. Bentuk rumus perkalian cos dikali sin adalah sebagai berikut.



2 cos α ° ∙ sin β °=sin ( α ° + β ° )−sin ⁡(α °−β °) atau 1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( α °+ β ° )−sin ( α °−β ° ) ] 2



Bukti : Pembuktian rumus cos di kali sin dapat menggunakan rumus penjumlahan dan selisih dua sudut pada fungsi sinus. Perhatikan cara di bawah. sin ( α + β )=sin α . cos β +cos α .sin β sin ( α −β )=sin α .cos β−cos α . sin β sin ( α + β )−sin ( α −β )=2 cos α sin β 1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( α °+ β ° )−sin ( α °−β ° ) ] 2



atau



Hasil pengurangan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.



2 C os α ° S∈ β ° =S ∈( α °+ β ° )−S∈ ⁡(α °−β °)



atau



(Terbukti)



1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( α °+ β ° )−sin ( α °−β ° ) ] 2  Rumus Sin dikali Cos Rumus perkalian sinus dan cosinus yang akan dipelajari lebih lanjut adalah rumus sin dikali cos. Cara untuk menghafal perkalian sin dikali cos dapat menggunakan kalimat dua sin cos sama dengan sin jumlah ditambah sin selisih. Bentuk rumusnya adalah sebagai berikut. Bentuk rumus perkalian sin dikali cos adalah sebagai berikut.



2 sin α ° ∙ cos β °=sin ( α ° + β ° )+ sin ⁡( α °−β ° ) Atau 1 sin α ° ∙ cos β °= [sin ( α °+ β ° ) +sin ( α °− β ° ) ] 2



Bukti: Pembuktian rumus sin dikali cos dapat menggunakan pengurangan rumus jumlah dan selisih dua sudut fungsi sinus.



sin ( α + β )=sin α . cos β +cos α . Sinβ sin ( α −β )=sin α .cos β−cos α . Sinβ sin ( α + β )+ sin ( α−β ) =2sin α cos β 1 sin α ° ∙ cos β °= [sin ( α °+ β ° ) +sin ( α °− β ° ) ] 2



atau



Hasil penjumlahan pada dua persamaan di atas sama dengan persamaan berikut.



2 sin α ° ∙ cos β °=sin ( α ° + β ° )+ sin ⁡( α °−β ° )



atau



(Terbukti)



1 sin α ° ∙ cos β °= [sin ( α °+ β ° ) +sin ( α °− β ° ) ] 2



Contoh Soal 1.



Diketahui besar sudut α =75 ° dan sudut β=15 °. Maka nilai cos α sin β adalah … Pembahasan: 1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( α °+ β ° )−sin ( α °−β ° ) ] 2 1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( 75 ° +15 ° )−sin ( 75 °−15 ° ) ] 2 1 cos α ° ∙ sin β °= [sin ( 90° ) −sin ( 60° )] 2 1 1 cos α ° ∙ sin β °= [1− √ 3 ] 2 2 1 1 cos α ° ∙ sin β °= − √ 3 2 4 cos α ° ∙ sin β °=



2− √3 4



2.



Diketahui besar sudut α =75 ° dan sudut β=15 °. Maka nilai sin α cos β adalah … Pembahasan:



2 S ∈α C osβ=S ∈( α + β ) +S ∈⁡(α −β ) 2 S ∈α C osβ=S ∈( 75 ° +15 ° )+ S ∈⁡(75 °−15 °) 2 S ∈α C osβ=S ∈90° + S∈⁡60 ° 2 S ∈α C osβ=1+ 2 S ∈α C osβ=



1 √3 2



2+ √ 3 2



S∈α C osβ=



2+ √3 4



Jadi hasilnya



2+ √ 3 4



3. Jika Sin A Cos B = 3/2 dan Sin (A+B) = 2. Maka sin (A-B) = Pembahasan: 2 Sin A Cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B) 3/2 = 2 + Sin (A-B) 3 = 2 + Sin (A-B) Sin (A-B) = 3 – 2 Sin (A-B) = 1 4. Tentukan nilai dari cos 120 ° sin 60° Pembahasan : 1 cos 120 ° sin 60° = [sin ( 120° +60 ° )−sin ( 120 °−60° ) ] 2



cos 120 ° sin 60° =



1 [ sin (180 ° )−sin ( 60 ° ) ] 2



cos 120 ° sin 60° =



1 1 0− √3 2 2



[



cos 120 ° sin 60° =



5. Diketahui (A+B) =



]



1 √3 4



π dan Cos A Sin B = ½ . Maka (A-B) 6



Pembahasan : 2 Cos A Sin B = Sin (A+B) – Sin (A-B) 2 . ½ = Sin



π - Sin (A-B) 6



1 = ½ - Sin (A-B) Sin (A-B) = ½ - 1 Sin (A-B) = -1/2 (A-B) = Sin (-1/2) (A-B) = 210