Persamaan Eksponen [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN EKSPONEN Rumus dasar eksponen Misalkan a ∈ R ,b ∈ R ,m dan n bilangan bulat positif, berlaku sifat-sifat berikut:



1. 2. 3. 4.



a m x an=am +n



5. a 0=1



a m : an=a m−n



1 −m 6. a = m



m



( a n ) =am x n ( ab )m=a m b m



a



7.



n



√a



m



=a



m n



Dimana a adalah bilangan pokok sedangkan m dan n adalah pangkat A. Persamaan eksponen berbentuk a f (x)=a p a f (x)=a p ⟺ f ( x ) =p Contoh soal : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut: a. 23 x +1=24 b. 4 2 x−3=16 Jawab: a. 23 x +1=24 3 x+ 1=4 3 x=3 x=1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1 }



b. 4 2 x−3=16 4 2 x−3=4 2 2 x−3=2 5 1 2 x=5 ⟺ x = =2 2 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 1 2 2



{ }



B. Persamaan eksponen berbentuk a f (x)=ag (x) a f (x)=ag (x) ⟺ f ( x )=g(x) Contoh Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan berikut: a. 32− x =3 x+4 3 1 2 x+ 1 b. √ 25 = 1252− x Jawab: a. 32− x =3 x+4



2−x =x+ 4 −2 x=2 ⟺ x=−1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−1 }



3



2 x+ 1



b. √ 25 2



(5 )



=



2 x+1 3



1 1252− x



−3 2−x



=( 5 ) 4 x +2 ⟺ =−6+3 x 3 4 x+2=−18+9 x 4 x−9 x=−18−2 −5 x=−20 ⟺ x=4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 4 }



Latihan 1 A. Pasangkan nilai x yang memenuhi persamaan eksponensial berikut dengan jawaban yang sesuai. 1. 4 x =64 ,



x = ...



2. 32 x−2=9 ,



x = ...



3. 25−2 x =3.125,



x = ...



4. 16 x+3=64 2 x−1,



x = ...



5. 32 x−1=812 x−4,



x = ...



A.



9 4



B. 3 C.



−5 4



D.



5 2



E. 2 B. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut: 1. 5 x+1=25 √ 5 4x 2. 8 =



1 2 √2



2 x−3



3. 32



=



1 8



4. √ 52 x+3 =625 5. √ 32 x−3=9x−1



C. Persamaan eksponen berbentuk a . p2 f (x) +b . p f (x) +c=0 Persamaan eksponen yang dapat dinyatakan sebagai persamaan kuadrat Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian persamaan :



a. 22 x +2 x+1=8 b. 22 x−2−3. 2 x +8=0 Jawab : a. 22 x +2 x+1=8 2



( 2 x ) +2. 2 x −8=0 Misalkan y=2x , maka : y 2 +2 y−8=0 ( y−2 )( y +4 )=0 y=2atau y=−4



Untuk y=2⟹ 2x =2 2 x =21 x=1 Untuk y=−4 ⟹ 2 x =−4 , tidak ada nilai x yang memenuhi Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}



b. 22 x−2−3. 2 x +8=0 ⟺ 22 x .2−2−3.2 x + 8=0 (ke2 ruas dikali 4) ⟺ 22 x −12. 2x +32=0 Misalkan p=2x , maka: p2−12 p+32=0 ( p−4 )( p−8 )=0 p=4 atau p=8



Untuk p=4 ⟹ 2x =4 2 x =22 x=2 x Untuk p=8⟹ 2 =8 2 x =23 x=3 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2,3 }



Latihan 2: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut: 1. 2. 3. 4.



22 x−1−5. 2x +1+32=0 22 x−2−3. 2 x +8=0 3 4 x −10. 32 x ∓2 +729=0 3.125−4. 5x+ 1−52 x−2=0



D. Persamaan eksponen berbentuk h ( x )f ( x )=h ( x ) g (x ) Persamaan eksponen bentuk h(x )f ( x )=h( x) g( x) mempunyai arti jika dan hanya jika memenuhi 4 syarat berikut:



f ( x )=g ( x ) h ( x )=1 h ( x )=0 ⟺ asalkan f ( x ) dan g ( x ) keduanya positif h ( x )=−1 ⟺ asalkan f ( x ) dan g ( x ) keduanya ganjil atau keduanya genap



a. b. c. d.



Contoh soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan: 2



( x−7 )x =( x−7 )x Jawab: 2



( x−7 )x =( x−7 )x Misalkan, h(x) = x – 7 ; f(x) = x2 – 2 , dan g(x) = x Kemungkinan (1): f(x) = g(x) x2 – 2 = x x2 – x – 2 = 0 ( x – 2) (x + 1) = 0



x1 = 2 atau x2 = -1 Kemungkinan (2): h(x) = 1 x–7=1 x3 = 8



Kemungkinan (3): h(x) = 0, jika f(x) dan g(x) positif x–7=0 x4 = 7 Selidiki untuk f(7) = 72 – 2 = 49 – 2 = 47 > 0 untuk g(7) = 7 > 0 karena f(7) dan g(7) 0, maka x = 7 memenuhi penyelesaian persamaan Kemungkinan (4): h(x) = –1 x – 7 = –1 x5 = 6 Selidiki untuk f(6) = 62 – 2 = 34 (genap) untuk g(6) = 6 (genap) sehingga (−1)34=−16 , maka x = 6 memenuhi penyelesaian persamaan Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−1,2,6,7,8 }



Latihan 3: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:



(5 x−2)x−5=(5 x −2)2 x+1



E. Persamaan eksponen berbentuk f (x)h ( x )=g( x)h( x)



Persamaan eksponen bentuk f (x)h ( x )=g( x)h( x) mempunyai arti jika dan hanya jika memenuhi 2 syarat berikut: 1. f ( x )=g (x) 2. h ( x )=0 ⟺ f ( x ) ≠0 dan g(x )≠ 0 Contoh soal: Selesaikan persamaan eksponensial berikut:



2



Jawab : 2



2



( x 2+ 2 x−3) x −4=( x2 +3 x−10) x −4



2



( x 2+ 2 x−3) x −4=( x2 +3 x−10) x −4 Misalkan , f (x)= x2 +2 x−3 ; g ( x)=x2 +3 x−10 dan h( x )=x 2−4 Kemungkinan (1): f ( x )=g ( x) x 2+ 2 x−3=¿ x 2+ 3 x −10 2 x−3 x=−10+3 −x=−7 ⟹ x 1=7 Kemungkinan (2): h ( x )=0 x 2−4=0 ( x +2 )( x−2 )=0 x 2=−2 atau x 3=2 Untuk x = –2, maka f (−2 )=(−2 )2 +2. (−2 )−3=−3≠ 0 dan g (−2 )=(−2)2+3. (−2 )−10=−12 ≠ 0 Jadi, x = –2 memenuhi penyelesaian persamaan. Untuk x = 2 , maka f ( 2 ) =( 2 )2+ 2. ( 2 )−3=5 ≠ 0 dan g ( 2 )=(2)2 +3. ( 2 )−10=0 Jadi, x = 2 tidak memenuhi penyelesaian persamaan. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−2,7 }



Latihan 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : (2 x 2−13 x +15) x−3=( x 2−4 x+1)x−3



GRAFIK FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen yang sederhana adalah f ( x )=ax atau y=a x. Jika kurva fungsi y=a x digambar pada diagram cartesius, maka: i. Kurvanya akan monoton turun jika 0< a 1 iii. Memotong sumbu Y di titik (0,1) iv. Sumbu X sebagai asimtot A. Fungsi f ( x )=ax , untuk a> 1 Contoh soal: Lukislah grafik fungsi f ( x )=2 x Jawab : Untuk membuat grafik, kita memerlukan titik-titik pada kedua sumbu koordinat. Agar lebih mudah sebaiknya kita menggunakan tabel sebagai berikut: x f(x )



... ...



−3 1 8



−2 1 4



−1 1 2



0



1



2 3



...



1



2



4 8



...



Grafik fungsi f ( x )=2 x disajikan seperti gambar disamping.



B. Fungsi f ( x )=ax , untuk 0< a