Persamaan Lingkaran [PDF]

Citation preview

MAKALAH GEOMETRI PERSAMAAN LINGKARAN



Makalah ini dibuat sebagai tugas kelompok mata kuliah Geometri Disusun oleh: Kelompok IV



RahmawatiMuchlar



: 17 0204 0058



Alniati



: 17 0204 0059



Umy Sarah



: 17 0204 0060



Dosen pembimbing Muhammad Ikhsan,S.Pd.,M.Pd.



PRODI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) PALOPO TAHUN 2018



KATA PENGANTAR



Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Sholawat dan salam senantisa tercurah pada junjungan kita Nabi Muhammad SAW. Tidak lupa pula kami mengucapkan terima kasih kepada guru pembimbing dan teman-teman yang terlibat dalam pembuatan makalah ini. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang membangun sangat kami harapkan agar dalam pembuatan makalah selanjutnya dapat lebih baik. Harapan kami, semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk kami pada khususnya dan rekarekan, pada umumnya.



Palopo,15 April 2018



Penulis



DAFTAR ISI Halaman Sampul ............................................................................................ i Kata Pengantar............................................................................................... ii Daftar Isi ......................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ..................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................ 1 C. Tujuan Penulis ...................................................................................... 1 BAB II PEMBAHASAN A. Penurunan Persamaan Lingkaran ......................................................... 2 B. Menjelaskan Bentuk Persamaan Lingkaran ......................................... 4 C. Menentukan Persamaan Parameter Lingkaran ..................................... 8 D. Meenntukan persamaan lingkaran melalui 3 titik ................................ 9 BAB III PENUTUP A. Kesimpuan ........................................................................................... 12 B. Saran .................................................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA



BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kita berharap, siswa dapat mendefinisikan lingkaran setelah mereka mencari contoh beberapa benda di sekitar mereka yang berbentuk lingkaran. Dengan pertanyaan - pertanyaan: -



bagaimanapanjang OA dan OB



-



bagaimanapanjang OB dan OC



-



bagaimanapanjang OC dan OD Dan



seterusnya



Siswa



dapat



menyimpulkan bahwa: OA = OB = OC = OD = …. Sehingga diharapkan siswa dapat mendefinisikan lingkaran sebagai berikut: Definisi: Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan titik) yang jaraknya terhadap satu titik tertentu adalah sama (konstan). Titik tertentu disebut pusat lingkaran dan jarak konstan disebut jari- jari lingkaran. B. Rumusan Masalah 1. Menemukan persamaan lingkaran 2. Menjelaskan bentuk umum persamaan lingkaran 3. Menentukan persamaan parameter lingkaran 4. Menentukan persamaan lingkaran melalui tiga titik C. Tujuan Penulis 1. Untuk mengetahui dan memahami penemuan rumus persamaan lingkrana, 2. Untuk memahami dan menjelaskan bentuk umum persaman lingkaran. 3. Untuk memahami bagaimana menentukan persamaan parameter lingkaran. 4. Untuk memahami bagaimana menentukan persamaan lingkaran melalui 3 titik.



BAB II PEMBAHASAN



A. Menemukan/penurunan Rumus Persamaan Lingkaran a. Persamaan Lingkaran berpusat pada titik O (0,0) dengan jari-jari r y



P(xo,yo) x O



Ingatkan kembali definisi lingkaran, yaitu tempat kedudukan titik- titik yang jaraknya konstan terhadap satu titik tertentu. Ingatkan rumus jarak dua titik, maka dengan bimbingan guru siswa akan dapat menemukan rumus persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan jari - jarinya r. Kita



dapat



menggunakan



jara



dua



titik



untuk



menemukannya



yaitu



misalkan.Terdapat jarak titik P(x, y) ke titikO(0, 0) dapat ditentukan dengan │OP│= √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 Diketahui bahwa jari-jarinya adalahr danOP = r, maka │OP│= √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 r =√(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 𝑟 2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2



𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 ⇔ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Maka, Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan memiliki jari – jari r adalah 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐 a. Persamaan Lingkaran berpusat pada titik (a,b) dengan jari-jari r. y



S(x,y) P (a,b)



Dengan menggunakan rumus jarak dua titik,misalkan diketahui Jarak titikS(x, y) ketitikP(a, b) adalah│PS│= √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 maka didapat,



│PS│ r



= √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2



=√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 𝑟 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2



Jadi,Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari – jari r adalah (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐



x



B. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Diatas kita telah mengetahui bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di titik T(a,b) adalah : Jika persamaan lingkaran tersebut diuraikan maka akan dihasilkan persamaan umum lingkaran. Uraiannya sebagai berikut : r 2 = (x − a)2 + (y − b)2 r 2 = (x − a)(x − a) + (y − b)(y − b) r 2 = (x 2 − 2ax + a2 ) + (y 2 − 2by + b2 ) r 2 = x 2 − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 r 2 = x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 0 = x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r 2



Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0



Dengan pusat lingkaran adalah : 1



1



2



2



( − 𝐴, − 𝐵 ) Dan jari-jari lingkaran adalah :



1 1 𝑟 = √ 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 4 4



Pusat lingkaran dan rumus jari-jari lingkaran diatas diperoleh dengan menjadikan bentuk umum persamaan lingkaran kedalam bentuk kuadrat sempurna.Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝑦 2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑥 2 + 𝐴𝑥 + 𝑦 2 + 𝐵𝑦 = −𝐶 1 2 1 2 1 2 1 2 2 𝑥 + 𝐴𝑥 + ( 𝐴) + 𝑦 + 𝐵𝑦 + ( 𝐵) = −𝐶 + ( 𝐴) + ( 𝐵) 2 2 2 2 2



1



2



1



2



1



1



[𝑥 2 + 𝐴𝑥 + (2 𝐴) ] + [𝑦 2 + 𝐵𝑦 + (2 𝐵) ] = −𝐶 + 4 𝐴2 + 4 𝐵2 1 2 1 2 1 1 (𝑥 + 𝐴) + (𝑥 + 𝐵) = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2 2 4 4



Karena jika persamaan lingkarannya adalah (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 maka lingkaran tersebut berpusat di titik (a,b). jadi, apabila persamaan lingkarannya adalah : 1 2 1 2 1 2 1 2 (𝑥 + 𝐴) + (𝑥 + 𝐵) = −𝐶 + ( 𝐴) + ( 𝐵) 2 2 2 2 maka pusatnya menjadi : 𝟏



𝟏



( − 𝟐 𝑨, − 𝟐 B ) dengan 𝑟2 =



1 2 1 2 1 1 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = √ 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 4 4 4 4



Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep persamaan lingkaran yaitu : a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r persamaannya adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r persamaannya adalah (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2



Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut, maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang jari-jarinya.Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan lingkaran.Berikut ini merupakan kegiatan siswa untuk mengekspansi persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dalam menemukan bentuk umum persamaan lingkaran. Jabarkanlah persamaan (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 Alternatif Penyelesaiannya ialah (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2



⇔𝑥 2 – 2ax + 𝑎2 + 𝑦 2 – 2by + 𝑏 2 = 0 ⇔𝑥 2 – 𝑦 2 – 2ax – 2by + 𝑎2 + 𝑏 2 – 𝑟 2 = 0 Jika –a = A; –b = B; dan 𝑎2 + 𝑏 2 – 𝑟 2 = C maka diperoleh ⇔𝑥 2 + 𝑦 2 + 2Ax + 2By +C=0 Berdasarkan kegiatan diatas diperoleh persamaan 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 2Ax + 2By + C = 0 Persamaan tersebut merupakan persamaan umum lingkaran.Dari persamaan yang kita peroleh 𝑎2 + 𝑏 2 – 𝑟 2 = C dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r.Maka penyelesaianya ialah : Karena𝑎2 + 𝑏 2 – 𝑟 2 = C dan –a = A; –b = B, maka 𝑟 2 = 𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 2 ⇔r = ± √𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 Kemudian Dari persamaan umum 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2Ax + 2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut kedalam persamaan bentuk baku persamaan lingkaran! Alternatif Penyelesaian ialah 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2Ax + 2By + C = 0 ⇔𝑥 2 + 𝑦 2 + 2Ax + 2By = - C ⇔ (𝑥 2 + 2Ax + 𝐴2 ) – 𝐴2 + (𝑦 2 + 2By +𝐵 2)– 𝐵 2 = –C𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 ⇔ (𝑥 + 𝐴)2+ (𝑦 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 𝐵 2 = –C ⇔ (𝑥 + 𝐴)2+ (𝑦 + 𝐵)2= ( √𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 2 )2 Berdasarkan penyelesaian diatas diperoleh bahwa Persamaan (𝑥 + 𝐴)2+ (𝑦 + 𝐵)2 = ( √𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 2 )2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titikP(–A, –B) dan berjari-jarir = √𝐴2 + 𝐵 2 – C



Soal dan pembahasan 1. Tentukan titik pusat dari jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10x - 8y + 25 = 0 Jawab : Titik pusat : 1



1



− 2 𝐴, − 2 𝐵 ⇔ (−



10 2



𝐴, −



(−8) 2



𝐵)



⇔ (-5,4) Jadi titik pusatnya adalah (-5,4) Jari – jari r = √(−5)2 + 42 – 25 = √25 + 16 – 25



= √16 = 4 Jadi jari – jari lingkarannya adalah : 4 2. Tentukan titik pusat dan jari – jari dari persamaan lingkaran 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 12x +18y -1 = 0 Jawab : 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 12x + 18y -1 = 0



( dibagi 3 )



1



𝑥 2 + 𝑦 2 + 4x - 6y - = 0 3



Titik pusat : 1



1



4



− 2 𝐴, − 2 𝐵 ⇔ (− 2 𝐴, −



(8) 2



𝐵)



⇔ (-2.-3) Jadi titik pusatnya adalah (-2,-3) 1



Jari – jari r = √(−2)2 + (−3)2 – 3 1



= √4 + 9 − 3 =√



38 3



Jadi jari – jari lingkarannya adalah : √



38 3



3. Tentukan titik pusat dari jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 - 4x - 8y + 11 = 0 Jawab : Titik pusat : 1



1



− 2 𝐴, − 2 𝐵 ⇔ (−



(−4) 2



𝐴, −



(−8) 2



𝐵)



⇔ (2,4) Jadi titik pusatnya adalah (2,4) Jari – jari r = √(2)2 + 42 – 11 = √4 + 16 – 11 = √9 = 3 Jadi jari – jari lingkarannya adalah : 3



C. Persamaan Parameter Lingkaran 1. Persamaan parameter lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 Jika pusat lingkaran di (0,0)



dan jari-jari r, maka persamaan parameter



lingkarannya adalah : x = r cos 𝜃



T (x,y)



y = r sin 𝜃



r



Ket :



O



𝜃 = Sudut yang dibentuk terhadap sudut x. OP = r, jari – jarilingkaran𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 𝑥 𝑦 𝑦 𝑟



= cos𝜃 ↔ x = r cos 𝜃 = sin 𝜃 ↔ y = r sin 𝜃



2. Persamaan parameter lingkaran ( (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 ) Jika pusat lingkaran di (a,b)



dan jari-jari r, maka persamaan parameter



lingkarannya adalah : x = a + r cos 𝜃



Q (x,y)



y = b + r sin 𝜃 Ket : PR



r



r



b =x–a



P(a,b)



QR = y – b x – a = r cos 𝜃



O



a



y – b = r sin 𝜃



D. Menentukan persamaan Lingkaran melalui tiga titik. Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran jika diketahui



3



koordinatnya. 1. Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran yaitu: 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C=0



2. Subtitusi ketiga titik koordinat pada pemisalan bentuk umum persamaan lingkaran padal angkah pertama. 3. Akan diperoleh 3 persamaan dengan 3 variabel. 4. Tentukan nilai ketiga variabel ( a,b,c.) 5. Substitusikan nilai variabel yang sudah diperoleh kebentuk umum persamaan lingkaran. 6. Diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran.



Soal dan pembahasan 1. Persamaan parameter suatu lingkaran adalah : x = -3 + 7 cos 𝑎 y = 4 + 7 sin 𝑎 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran, kemudian tentukan persamaan umumnya. Jawab : Titik pusatnya adalah = (-3,4) Jari – jari = 7 Jadi bentuk persamaan umumnya adalaha : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 (𝑥 − (−3))2 + (𝑦 − 4)2 = 72 (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 49 2. Berikut adalah persamaan lingkaran dengan pusat (1,2) dan jari – jari Tentukan persamaan parameternya. Jawab : (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 42 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 16 Jadi persamaan parameternya : x = 1 + 4 cos 𝜃 y = 2 + 4 sin 𝜃



3. Tentukan persamaan yang melalui titik (3,-1),(5,3) dan (6,2) Kemudian tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.



Jawab : Persamaan lingkaran adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By+ C = 0 Melalui (3,-1) maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C = 0 32 + (−1)2 + A.3+ B.(-1)+ C = 0 9 + 1 + 3A – B + C = 0 3A - B + C + 10 = 0……………..(1) Melalui (5,3) maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C = 0 52 + 32 + A.5+ B.3+ C = 0 25 + 9 + 5A + 3B + C = 0 5A + 3B + C + 34 = 0 …………………..(2) Melalui (6,2) maka : 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C = 0 62 + 22 + A.6+ B.2+ C = 0 36 + 4 + 6A + 2B + C = 0 6A + 2B + C + 40 = 0…………………..(3) Dari persamaan 1 dan 2 3A - B + C + 10 = 0 6A + 2B + C + 40 = 0 -2A – 4B + 0 – 24 = 0 A + 2B + 12 = 0………………………(4) Dari persamaan2 dan 3 5A + 3B + C + 34 = 0 6A + 2B + C + 40 = 0 -A + B – 6 = 0 A – B + 6 = 0……………………….(5)



Dari persamaan 4 dan 5 A + 2B + 12 = 0 A–B+6=0 3B + 6 = 0 B = -2 B = -2 disubtitusi kepersamaan 5 A–B+6=0 A – (-2) + 6 = 0 A+8=0 A = -8 A = -8 ,B = -2 disubtitusi kepersamaan 1 3(-8) – (-2) + C + 10 = 0 -24 + 2 + 10 + C = 0 C = 12 Jadi persamaan lingkaran adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 - 8x -2y + 12 = 0 Maka diperoleh : 2A = -8 A = -12



, 2B = -2



, C = 12



B = -1



r = √ 𝐴2 + 𝐵 2 − C = √ (−4)2 + (−1)2 − 12 = √16 + 1 − 12 = √5 Jadi, pusat (-A,-B) = (4,1) dan jari – jari r = √5



BAB III PENUTUP



A. Kesimpulan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu. 1. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut  Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2  Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 2. Bentuk



Umum



persamaan



lingkaran



yang



memiliki



jari-jari



r



=√𝐴2 + 𝐵 2 – 𝐶 dengan dan A, B, C bilangan real adalah 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C = 0 3. Persamaan parameter lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 



Jika pusat lingkaran di (0,0) dan jari-jari r, maka persamaan parameter lingkarannya adalah : x = r cos 𝜃 y = r sin 𝜃







Jika pusat lingkaran di (0,0) dan jari-jari r, maka persamaan parameter lingkarannya adalah : x = a + r cos 𝜃 y = b + r sin 𝜃



3. Menentukan persamaan Lingkaran melalui tiga titik. Langkah-langkah menentukan persamaan lingkaran jika diketahui 3 koordinatnya.  Memisalkan bentuk umum persamaan lingkaran yaitu: 𝑥 2 + 𝑦 2 + Ax + By + C=0 



Subtitusi ketiga titik koordinat pada pemisalan bentuk umum persamaan lingkaran padal angkah pertama.







Akan diperoleh 3 persamaan dengan 3 variabel



 Tentukan nilai ketiga variabel ( a,b,c.)  Substitusikan nilai variabel yang sudah diperoleh kebentuk umum persamaan lingkaran.



 Diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran.



B. Saran Perlunya trik khusus untuk menghapal berbagai rumus lingkaran yang dapat memudahkan siswa dalam mengerjakan berbagai macam soal yang berkaitan dengan materi lingkaran. Selain itu juga perlunya latihan-latihan soal dari yang mudah hingga ke yang sukar.



DAFTAR PUSTAKA



Geomteri analitik Bidang dan Ruang www.academia.edu Lingkaran persamaan https://www.slideshare.net https://www.scribd.com https://www.konsep-matematika.com