Persamaan Schrodinger [PDF]

Citation preview

Persamaan Schrödinger Nur Adha Choiriyah 4201413083 Ismi Nurlatifah R 4201413096



Introduction • Untuk menemukan persamaan gelombang tali kita bisa menurunkannya dari mekanika Newton, begitupun untuk mengetahui persamaan gelombang elektromaknetik bisa diturunkan dari persamaan Maxwell. • Lalu bagaimanakah dengan persamaan gelombang partikel (kuantum) ?



• Secara sederhana sifat gelombang partikel sudah dikemukakan oleh de Broglie • Tapi bagaimana dengan persamaan dan fungsi dari gelombang partikel(dalam sistem kuantum)? • Schrodinger mampu menjawabnya dengan mekanika kuantum. • Schrodinger menemukan cara untuk menurnkan persamaan gelombang kuantum yang terkenal dengan persamaan Schrodinger.



Persamaan Schrodinger • 1. Persamaan Schrodinger tidak bergantung waktu • 2. Persamaan Schrodinger bergantung waktu



• Persamaan Schrödinger merupakan perangkat utama dalam fisika kuantum. • Peran penting persamaan Schrödinger dalam fisika kuantum setara dengan peran penting hukum kedua Newton dalam fisika klasik.



• Bentuk eksplisit persamaan Schrödinger ditentukan oleh fungsi energi potensial partikel yang dibicarakan. Oleh sebab itu, untuk merumuskan persamaan Schrödinger bagi suatu sistem, kita harus mengetahui terlebih dahulu energi potensial sistem.



Hukum Kekekalan Energi • Penyelesaian Persamaan Schrodinger tidak boleh melanggar Hukum Kekekalan Energi dan harus mengandung potensial V (Kenneth Krane halaman 172-173)



K+V=E



dimana K = energi kinetik V = energi potensial E = energi total



• Karena   pembahasan persamaan schrodinger dibatasi pada keadaan takrelativistik, maka K = dimana K=



Penyelesaian persamaan Schrodinger merupakan bentuk dari fungsi gelombang karena dapat memberi informasi tentang perilaku dari gelombang



Gelombang deBroglie • Karena   menyangkut gelombang partikel, maka persamaan schrodinger harus taat asas gelombang deBroglie



=



•Gelombang  



deBroglie



= p= p= k p= k



Bilangan Gelombang •  



=



Persamaan Umum Gelombang Partikel



• Misal



Penyelesaian 1



= k = Bilangan gelombang



• Ingat



Jadi,



Penyelesaian 2



Solusi Persamaan Gelombang



Ekponensial



Ekponensial



Linier



Linier



   )







 A



Sebuah gelombang dengan amplitudo A yang merambat dalam arah x positif dengan  = 2 /k dan f = ω / 2



 A



•   = =i x–i t = - (Et – px)  A



• Ingat rumus Heisenberg k= • Ingat teori •   kuantum Einstein E = h f dimana h = 2 E=2 =ω



OPERATOR • Operator merupakan alat bantu matematik dan hanya akan berfungsi atau memiliki arti jika operator tersebut dikerjakan pada suatu fungsi. • Macam Operator : a. Operator Posisi b. Operator Momentum Linear



Operator Momentum Linear



• Operator Momentum Linear dalam ruang posisi



Dengan



Persamaan Schrodinger Bebas waktu Persamaan Schrödinger bebas waktu hanya dapat digunakan jika potensial sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu. Persamaan ini bukan versi lain dari persamaan Schrödinger, melainkan hanyalah suatu persamaan yang diperlukan untuk mendapatkan bagian ruang bagi fungsi gelombang lengkap pada keadaan stasioner.



Penurunan Persamaan Schrodinger dengan Persamaan Gelombang • Karena bebas waktu, kita hanya memperhitungkan yang berhubungan dengan (x), sementara (t) diabaikan  Penyelesaian 1



Cara 1



Persamaan di atas Persamaan Schrodinger Bebas Waktu 1 dimensi



• Dari K = dan p = k K= K= •   = • E=K+V K=E-V



•   A



Cara 2



 Misal



A



maka Hukum Kekekalan Energi



E



K+V=E =K+V E=K +V



• Karena bebas waktu, maka unsur t tidak   E=K +V dianggap dan



   



K= 



 



E=K +V E= +V



E= - +V E - V= (E - V= = - (E - V



Persamaan di atas Persamaan Schrodinger Bebas Waktu 1 dimensi



Persamaan di atas Persamaan Schrodinger Bebas Waktu 2 dimensi



Penurunan Persamaan Schrodinger dengan Operator •  Hukum Kekekalan Energi = = + ψ=ψ=ψ+  = = ψ+  -i  = ψ+ ψ=ψ= ψ+



•ψ  = ψ = ψ + dengan =  = ψ(x) = Eψ(x) = ψ(x) + V Eψ(x) = + V E - V= (E - V == - (E - V



•  Persamaan Schrödinger bebas waktu disebut juga sebagai persamaan nilai eigen (eigenvalue equation) bagi hamiltonan sistem, dan dapat ditulis dalam bentuk ψ = Eψ(x) ψ= +V Dalam hal ini, disebut fungsi eigen dan E disebut nilai eigen



Persamaan Schrodinger Gayut Waktu • Yakni untuk sistem yang tenaganya merupakan fungsi waktu secara eksplisit. • Dari fungsi gelombang :  



A



Kemudian diturunkan terhadap waktu.



••   =-



•



Persamaan Gelombang •  



• • •



 



Mengingat : E=K+V = +V Sehingga : = Dan,   =



••  



• • = • = • = • =+



 



• Maka,   • =+  



Persamaan tersebut adalah persamaan Schrodinger gayut/bergantung waktu dalam 1 dimensi



• Jika dalam dua dimensi maka persamaannya menjadi :  



Penurunan Persamaan Schrodinger dengan Operator •  Hukum Kekekalan Energi = + = = = + = = + -i  = + = = +



•=  = + (x) = +



E(x) = +



 



=+



Persamaan Kontinuitas Persamaan kontinuitas digunakan untuk mengetahui konstan atau tidaknya flux arus dalam aliran partikel. Jika dalam aliran partikel ada perubahan flux arus di tempat yang berbeda bisa dikaltakan ada kebocoran dalam arus partikel tersebut.



• Persamaan kontinuitas diturunkan dari persamaan Schrodinger bergantung waktu.



 



=+ ...pers 1  



Konjugate kompleks dari persamaan diatas adalah : -=+ ....pers 2



 



Jika persamaan 1 dikalikan dengan , menjadi : = + ........pers 3  



Kemudian persamaan 2 dikalikan dengan , menjadi : = - ...........pers 4



• Kemudian   persamaan 3 dan 4 dijumlahkan maka : • )= ( - ) • ()= (- ) • ( ) = - [() ( - )] ....... Pers 5 • Dimana : • ( )= = adalah besarnya probabilitas •



agar didapat fungsi sehingga persamaan Schrodinger menjadi bermakna yaitu memiliki probabilitas bernilai 1.



• •



  Total dari probabilitas =



• Sehingga perubahan probabilitasnya : • ()= =0 • Sementara flux probablitas didefinisikan : • = (- )=0



• Berdasarkan   persamaan 5, yaitu : • ( ) = - [() ( - )] • Maka, =-



 



=0 Persamaan diatas dinamakan persamaan kontinuitas



• Untuk mengetahui perubahan flux probabilitas di suatu tempat dengan batas x=a hingga x=b terhadap waktu maka :  



=-



• Terimakasih