Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma [PDF]

Citation preview

PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA



A. Pertidaksamaan Eksponen Pertidaksamaan Eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung peubah x, dan tidak menutup kemungkingan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x. Penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen menggunakan sifat fungsi monoton naik dan sifat fungsi monoton turun pada fungsi-fungsi eksponen baku. Adapun bentuk pertidaksamaan eksponen yang kita pelajari adalah pertidaksamaan eksponen dengan bilangan pokok yang sama. af(x )… ag(x) Keterangan : 



a adalah bilangan pokok, a>0 dan a≠1







tanda … dapat ditulis dengan salah satu tanda pertidaksamaan : , ≤, ≥.



Jika a, b є R dan a ≠ 0, m dan n bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsi eksponen adalah sebagai berikut. a. b. c. d.



am . an = am +n am : an = a( m- n ) (am)n = amxn (am) = amn



f.



(am . bn )p = amp . np



g. a-m = h.



=1



e. a-m =



Bentuk pertidaksamaan eksponen: 



Untuk pertidaksamaan eksponen dengan a > 1 Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi naik, artinya untuk setiap x1, x2 berlaku x1< x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2). Sifat Fungsi Monoton Naik



1



tanda tetap



𝑎 f ( x)



> 𝑎 g (x)



f(x) > g(x)



𝑎 f ( x)



≤ 𝑎 g (x)



f(x) ≤ g(x)



tanda tetap



Contoh soal : Tentukan himpunan penyelesaian 2x+2 > 16x-2 = ............ Jawab : 2x+2



> 16x-2



2x+2



> 24(x-2)



x+2



> 4(x – 2) .......................... a > 1, fungsi naik



x+2



> 4x – 8



3x < 10 x < jadi, himpunan penyelesaian adalah HP = { x x
f(x2). Sifat Fungsi Monoton Turun.



2



tanda tetap



𝑎 f ( x)



> 𝑎 g (x)



f(x) > g(x)



𝑎 f ( x)



≤ 𝑎 g (x)



f(x) ≥ g(x)



tanda dibalik



Sifat – sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen. B.



Pertidaksamaan Logaritma Seperti halnya pada penyelesaian pertidaksamaan eksponen, penyelesaian pertidaksamaan logaritma ada 2 syarat utama yaitu : 



Untuk a > 1 Pada kasus pertidaksamaan logaritma dengan a > 1 (monoton naik) tanda ketaksamaan TETAP, dengan f(x) >0 dan g(x) > 0. maka f(x) < g(x) maka f(x) > g(x)







Untuk 0 < a < 1 Pada kasus pertidaksamaan logaritma dengan 0 < a < 1 (monoton turun) tanda ketaksamaan BERUBAH, dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0. maka f(x) > g(x) maka f(x) < g(x)



3



SOAL DAN PEMBAHASAN



1.



4log



(x2 - x) < 1



= 4log (x2 - 3x) < 4log 41 = x2 - 3x < 4 = x2 - 3x - 4 < 0 = x2 + (- 4 + 1) x - 4 < 0 = x2 - 4x + x - 4 < 0 = x (x - 4) + 1 (x - 4) < 0 = (x + 1) (x - 4) < 0 X < -1 atau X < 4 2.



4log



x2 > 4log (6x - 9)



= x2 > 6x - 9 = x2 - 6x + 9 > 0 = x2 + (- 3 - 3) x + 9 > 0 = x2 - 3x - 3x + 9 > 0 = x (x - 3) + - 3 (x - 3) > 0 = (x - 3) (x - 3) > 0 X>3 3.



2log



x2 > 2log (3x + 10)



= x2 > 3x + 10 = x2 - 3x - 10 > 0 = x2 + (- 5 + 2) x - 10 > 0 = x2 - 5x + 2x - 10 > 0 = x (x - 5) + 2 (x - 5) > 0 = (x + 2) (x - 5) > 0 X > - 2 atau X > 5 4.



≤ =



≤



= =



≤ ≤



4



=



≤



=



≤0



=



+2x-15 ≤ 0



Difaktorkan menjadi ( x-3 ) ( x+5 ) Penyelesaiannya : x= 3 atau x=-5 .................. -5 < 3 Karena tanda dalam pertidaksamaan tersebut adalah “ ≤ “. Dan a >0 dengan Maka penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah adalah :



5.



- 8. =



..



≤x≤



: -5 ≤ x ≤ 3



< 1 .........(1) - 8.



=



-1 0 , kemudian difaktorkan menjadi :



= ( u -9 ) ( u +8 ) , didapat penyelesaian : = u = 9 atau u = -8 ................ -8 < 9 Karena tanda dalam pertidaksamaan tersebut adalah “ > “. Dan a >0 dengan Maka penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah adalah :



..



atau x > :



7.



6log



(4x - 4) > 3



= 6log (4x - 4) > 6log 216



8.



= 4x – 4



> 216



= 4x



> 216 + 4



= 4x



> 220



=x



> 220 : 4



=x



> 55



2log



(6x - 10) ≥ 5



= 2log (6x - 10) = 6x - 10 = 6x = 6x =x =x 9.



7log



≥ 2log 32 ≥ 32 ≥ 32 + 10 ≥ 42 ≥ 42 : 6 ≥7



(3x + 43) ≤ 3



= 7log (3x + 43) ≤ 7log 73 = 3x+43 ≤ 73 = 3x + 43 ≤ 343 = 3x ≤ 343 - 43 = 3x ≤ 300



Memakai sifat alog an = n



6



=x =x



≤ 300 : 3 ≤ 100



10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log (x2 + 2x) < ½ adalah … Pembahasan : 9log (x2 + 2x) < ½ 9log (x2 + 2x) < ½ . 9log 9 9log (x2 + 2x) < 9log 91/2 9log (x2 + 2x) < 9log 3 x2 + 2x



0 dari “-3 < x < 1″ dan “x < -2 atau x > 0″, dengan mengunakan garis bilangan maka x yang memenuhi adalah : -3 < x < -2 atau 0 < x < 1



11. Nilai x yang memenuhi 3x2-3x+4 Pembahasan: 3x2-3x+4 > 9x-1



> 9x-1 adalah …



x2 – 3x + 4 > 2(x – 1) x2 – 3x + 4 > 2x – 2 x2 – 5x + 6 > 0 (x – 3)(x – 2) = 0 x = 3 atau x = 2 dengan menggunakan garis bilangan, maka x yang memenuhi adalah 2 < x < 3



12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan



>



A. x < -14



C. x < -16



B. x < -15



D. x < -17



adalah … E. x < -18



7



PEMBAHASAN : > > > 23(18x – 36) > 643(3x).82x 23(18x – 36) > 26(9x).23(2x) 23(18x – 36) > 26(9x) + 3(2x) 3(18x – 36) > 6(9x) + 3(2x) 3(18x – 36) > 3[2(9x) + (2x)] (18x – 36) > 2(9x) + (2x) 2(9x – 18) > 2[9x + x] 9x – 18 > 9x + x -x > 18 atau x < -18 JAWABAN : E 13. 6log(x2-x) < 1 6log(x2-x)



X2-X-6



< 6log 6 9



8



B. x < 0 atau x > 1 C. x < –1 atau x > 2 D. x < 1 atau x > 2 E. x < –1 atau x > 1 Pembahasan : 92x  10.9x  9  0 misal 9x  p, maka diperoleh: p2  10p  9  0 p 1p  9   0 p 1  p  9 9x  1  9x  9 9x  90  9x  91 x  0 atau x  1



15. UN 2012 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x  1  9  28.3x  0 adalah… A.



x   1 atau x 2



B.



x   1 atau x 2



C.



x  1 atau x 2



D.



x   1 atau x 2



E.



x   1 atau x 2



Pembahasan : 32x  1  9  28.3x  0 32x.31  28.3x  9  0 misal : 3x  p, maka diperoleh:  3p2  28p  9  0   3p  1 p  9   0 1 p  p9 3 1 x  3  3  3x  32  x  1  x  2  x   1 atau x  2



Jawaban:D 16. UN 2012 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 52x  6  5x1  125  0, x R adalah . . . A. 1  x  2 B.



5  x  25



C. x  1 atau x  2 D. x  1 atau x  2 E.



x  5 atau x  25



Pembahasan :



9



52x  6  5x 1  125  0



+



  5x   30   5x   125  0 2



misal a  5x



+



5 25 Jadi daerah penyelesaian:



 a  30a  125  0 2



  a  5  a  25   0



a  5 atau a  25 5  5 atau 5x  25 x



pembuat nol:  a  5  0 atau a  25  0 



-



a5



x  1 atau x  2



a  25



17. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut -



= = =



3( x – 3) = x 3x – 9



=x



2x



= 9



x



=



jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 18. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut 2 – =2 x2 – 2x + 4



=x+4



x2 – 2x-x + 4-4



=0



x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3 Selidiki apakah f(x)  0 dan g(x)  0



10



f(0)



= x2 – 2x + 4 = 02 – 2.0 + 4 = 4 (4  0 )



g(0)



=x+4 =0+4 =4



f(3) = x2 – 2x + 4 = 32 – 2.3 + 4 = 7 (7  0 ) g(3)



=x+4 =3+4 =7



Jadi penyeleaiannya x = 0 dan x = 3



19. Nilai x pada 92x-10. 9x+9 > 0 9x = a 92x = a2 a2-10a+9 >0 a2-9a-1a+9>0 (a-9) (a-1) a=9



a=1



9x=9



9x=1



x=1



x=0



x < 1 dan x > 0  0 < x < 1 20. Nilai x pada : 12 (√ )x-3x > -27 (√ )x= u



11



3x=(√ )2x=u2 12u-u2=-27 12u-u2+27=0 (u-9)(u-3)=0 u=9



u=3



3x=9



3x=3



x=2



x=1``



x < 2 dan x > 1  2 > x > 1



21. Nilai x pada : 3√



x2-3x+2
1 29. 4log(3x+1)



=2



4log(3x+1)



= 4log 42



4log(3x+1)



= 4log 42



3x+1



= 42



3x+1



= 16



3x



= 16-1



15



3x



= 15



X



= 15/3



X



=5



30. 9x



< 3.



(32)x



< 3.



32x



< 3.



32x