Project Pde Eksak Kel-5 [PDF]

Citation preview

PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK Persamaan diferensial orde pertama berbentuk : M (x, y) dx + N (x,y) dy = 0…………………………..(1) Disebut persamaan diferensial exact jika ruas kiri merupakan diferensial total, yaitu : ∂u ∂u du = dx + dy……………………………………....(2) ∂x ∂y Dari suatu fungsi dua peubah f(x,y). Sehingga, persamaan (1) dapat ditulis: du = 0 Jika di integralkan, maka diperoleh: u( x, y) = c, c : konstanta. Dengan membandingkan persamaan (1) dan (2), terlihat bahwa persamaan (1) bersifat pasti (exact) jika ada suatu fungsi f(x,y) yang bersifat : ∂u a) =M ∂x ∂u b) =N ∂y Jika fungsi-fungsi M dan N terdefinisikan dan terdiferensiabel di semua titik pada bidang xy dalam kurva tertutup dan tidak memotong kurva fungsi itu sendiri, maka dari persamaan diatas diperoleh: ∂M ∂ 2u ∂N ∂ 2u = dan = , sehingga ∂y ∂ y∂ x ∂ x ∂x ∂ y ∂M ∂ N = ∂ y ∂x Merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar Mdx + Ndy = 0 merupakan persamaan diferensial exact. 1 A. Menentukan penyelesaian persamaan diferensial eksak ( dengan cara 1) Fungsi u(x ,y ) sebagai fungsi penyelesaian persamaan diferensial eksak diperoleh melalui operasi pengintegralan sebagai berikut. a. Integralkan terhadap variabel x, sehingga diperoleh: u = ∫ Mdx+ k ( y ) k(u) konstanta pengintegralan dan nilainya dapat ditentukan dengan



du =N dy



b. Integralkan terhadap variabel y, sehingga diperoleh:



1



Dwi Lestari, Persamaan Diferensial, ( Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta, 2013), h. 18-20



u = ∫ Ndy +l ( x ) l(x): konstanta pengintegralan dan nilainya dapat ditentukan dengan



du =M dx



Untuk setiap (x,y)∈ D Contoh 1 : Misalnya F fungsi dua variable dengan rumus: F: (x,y) = xy3 + sin(x + y2) Maka mempunyai diferensial total: df(x,y) = (y3 + cos(x+y2)) dx + (3xy2 + 2y cos (x+y2) dy Bentuk persamaan diferensial eksak : M (x, y) dx + N (x,y) dy Contoh 2: Persamaan diferensial (y3 + cos(x+y2)) dx + (3xy2 + 2y cos (x+y2) dy = 0 Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh M(x,y) = (y3 + cos(x+y2)) N(x,y) = (3xy2 + 2y cos (x+y2) Sehingga ∂ M ( x , y) = 3y2 – 2y sin (x+ y2) ∂y ∂ M ( x , y) = 3y2 – 2y sin (x+ y2) ∂x karena ∂ M ( x , y) ∂ M ( x , y) =¿3y2 – 2y sin (x+ y2) = ∂y ∂x Maka persamaan diferensial memenuhi persamaan diferensial eksak.



B. Persamaan Difrensial Eksak dengan cara 2



Misalkan persamaan diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy= 0 (persamaan 2) . Jika M(x,y)= ∂ f ( x , y) ∂ f ( x , y) = M (x,y) dan = N (x,y) ∂x ∂y Mempunyai derivatif parsial orde dua kontinu pada D . Persamaan difrensial eksak pada D jika dan hanya jika



Bukti: Jika persamaan difrensial adalah eksak , maka terdapat suatu fungsi difrensial f(x,y) sehingga d[f(x,y)] = 0 dipunyai Sebagai suatu syarat keeksakan . Contoh 1: Persamaan Difrensial ( y 3 + cos(x + y 2))dx + (3x y 2+ 2ycos(x + y 2)dy = 0 Merupakan persamaan difrensial eksak karena diperoleh :



Karena diferensial eksak.2



maka persamaan difrensial memenuhi persamaan



Adapun Langkah-langkah untuk menyelesaikan PD eksak adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Tuliskan PD dalam bentuk difrensial:



Langkah 2 : Tes ke-eksakan PD, apakah :



2



Nuryadi, Persamaan Diferensial Eksak, (Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta, 2018), h.31-35



Langkah 3 : Jika eksak, integralkan M(x,y) terhadap x atau N(x,y) terhadap y . Misal dipilih M(x,y), maka:



Langkah 4 : Turunkan f(x,y) terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y)



Langkah 5 : Integralkan h’(y) untuk memperoleh h (y). Langkah 6 : Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit: f(x,y) = c Langkah 7 : tentukan nilai c jika diberikan masalah syarat awal Contoh 2 : Selesaikan PD



Penyelesaian: Langkah 1 : Bentuk difrensial PD adalah :



Langkah 2 : PD ini eksak , karena :



Langkah 4 : Samakan ∂F (x , y) ∂y



dengan N (x,y)



∂F (x , y) = N(x,y) ∂y 1 ∂( x 2−2 xy + h ( y ) ) 2 = y 2 – 2x ∂y -2x + h’(y) = ( y 2 – 2x) h’(y) = y 2 – 2x + 2x = y 2 Langkah 5: Integralkan h’(y0 untuk memperoleh h(y):



∫ h ( y ) dy=∫ y2 dy ∫



d (h ( y)) . dy=∫ y 2 dy dy



Langkah 6 - Tuliskan Penyelesaian Umum dalam bentuk Implisit F (x,y) = C 1 2 1 x – 2xy + y 3 = C 2 3 Contoh 3: Diberikan suatu persamaan diferensial ydx + 2xdy = 0 . Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika iya, maka selesaikan persamaan diferensial tersebut. Penyelesaian : M (x,y) = y →



∂ M (x , y) =1 ∂y



N (x,y) = 2x →



∂ N (x , y) =2 ∂x



Karena : ∂ M ( x , y) ∂N (x, y) ≠ ∂y ∂x Maka bukan PD eksak , PD diatas merupakan separabel maka penyelesaiannya : ydx + 2xdy = 0



ydx = -2xdy 1 1 - dx = dy 2 y Integralkan kedua ruas : -



1 2



1



1



∫ x dx = ∫ y dy



−1 ln x = ln y + C 2 −1



ln x 2 = ln y + C Sifat logaritma e logx = e lnx= x, sehingga kedua ruas dipanngkatkan dalam bentuk eksponential e



ln x



x



−1 2



−1 2



= e lny+ C =y+C



Solusi eksplisit dari persamaan Difrensial diatas adalah 1



y = x−( 2 ) + C y=



y=



1 x



−1 2



+C



1 +C √x



LATIHAN SOAL Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak. Jika eksak, tentukanlah solusi umum dari persamaaan tersebut ! 1. 2. 3. 4. 5.



(2xy + x 2 )dx + ( x 2+ y 2 )dy = 0 (3 x 2+ 4xy)dx + (2 x 2+ 2y)dy = 0 (2x + y)dx + (3x + 2y)dy = 0 (3 x 2+ 4xy - 6)dx + (6xy + 2 y 2- 5)dy = 0 ( x 2+ y 2 )dx + 2( x 2+ xy)dy = 0



DAFTAR PUSTAKA Lestari, Dwi. 2013, Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta. N uryadi. 2018. Persamaan Diferensial Elementer . Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta