Rangkuman Dan Peta Konsep Modul 3 [PDF]

Citation preview

RANGKUMAN MATERI & PETA KONSEP MODUL 3 BILANGAN BULAT



Disusun Oleh : NIA LESTARI ARISANDI NIM. 8 5 7 7 2 1 0 9 9



PROGRAM STUDI PGSD-BI UNIT PROGRAM BELAJAR JARAK JAUH SEMARANG UNIVERSITA TERBUKA 2022



MODUL 3 BILANGAN BULAT Kegiatan Belajar 1 Pembelajaran Materi Bilangan Bulat di SD Serta Ragam Permasalahannya Akan kita kaji proses pembentukan bilangan bulat dengan memperluas himpunan bilangan asli. Pada himpunan bilangan asli, kita dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal 2+5 = 7. Kita ketahui bahwa 2 dan 5 merupakan bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan tersebut yaitu 7 juga merupakan anggota dari himpunan bilangan asli. Berarti dari setiap bilangan asli a dan b slalu ada bilangan asli c untuk melengkapi kalimat a + b = …. Sehingga menjadi a + b = c Jadi dengan adanya himpunan bilangan bulat maka bentuk perlengkapan dari kalimat- kalimat 6 +… = 4 ; 5 + … = 2 ; 7 + … = 5 ; dan 9 + … = 4 dapat ditentukan dengan cara atau langkah- langkah sebagai berikut : bentuk 6 + …= 4 dapat di tulis sebagai 4 – 6 = … dan untuk mendapatkan hasil ini dapat kita lihat dengan peragaan berikut 6 4 I



I



I



I



I



I



I



I



I



I



I



I



I



-6



-5



-4



-3



-2



-1



0



1



2



3



4



5



6



Keterangan : - Mula-mula dari skala 0 kita melangkah maju sebanyak empat langkah sampai berhenti di sekala 4. Untuk menentukan bilangan positif 4. - Kemudian dari sekala 4 tersebut kita mundur 6 langkah sampai berhenti di -2 dengan ujung panah tetap mengarah kebilangan positif (mengapa?). - Jadi bilangan -2 inilah yang merupakan bentuk pelengkap dari kalimat 6 + … = 4, yaitu 6 + (- 2)=4 Atau 4 -6 = -2. Selanjutnya dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bentuk pelengkap dari kalimatkalaimat 5 + … = 2 ; 7 + … = 5 ; dan 9 + … = 4, yaitu -3, -2, dan -5. Jadi dalam kehidupan sehari-hari, tentunya anda pernah mendengar pernyataan-pernyataan berikut : 1. Hutang 50 rupiah 2. Enam derajat di bawah nol 3. 150 meter di bawah permukaan laut 4. Mengalami kerugian sebesar Rp 1. 500,00 5. Turun harga sebesar Rp 125,00



Dan pernyataan-pernyataan tersebut merupakan bentuk aplikasi dari bilangan bulat negative dalam kehidupan sehari-hari. Dalam proses pembelajaran matematika di sekolah dasar perlu dijelaskan bahwa keberadaan bilangan negatif memang perlu, misalkan untuk mengeta hui kedalaman laut, pengukur suhu (temperatur) yang negative setelah diukur dengan thermometer, dan lain sebagainya yang ada kaitannya dengan bilangan bulat



A. Oprasi Hitung Pada Bilangan Bulat (Penjumlahan dan Pengurangan) Untuk mengenalkan konsep oprasi hitung pada sistim bilangan pada sisitem bilangan bulat dapat dilakukan melalui tiga tahap, yaitu : 1. Tahap pengenalan konsep secara kongkret 2. Tahap pengenalan konsep secara semi kongkret atau semi abstrak 3. Tahap pengenalan konsep secara abstrak. B. Sifat-Sifat Oprasi Hitung Penjumlahan Pada Bilangan Bulat. Pada oprasi penjumlahan bilangan bulat, terdapat sifat-sifat penting yang perlu anda ketahui adalah : a. Sifat retutup b. Sifat pertukaran (komunikatif) c. Sifat pengelompokan d. Sifat bilangan nol (sebagai unsur identitas penjumlahan) e. Sifat invers penjumlahan (lawan suatu bilangan) C. Sifat-Sifat Oprasi Hitung Pengurangan pada bilangan Bulat Untuk sifat pengurangan ini, anda diminta untuk mengkajinyan sendiri dengan cara seperti membahas oprasi hitung pada penjumlahannya. D. Tahap Pengenalan Konsep secara Abstrak Penggunaan alat peraga atau[un garis bilangan untuk melakukan hutung bilangan bulat mempunyai keterbatasan, karna tidak dengan menjangkau bilangan-bilangan yang cukup besar. Dengan demikian kita harus dapat menyampaikannya dengan menggunakan alat bantu yang didahului oleh proses abstraksi. Setelah melalui proses abstraksi diharapkan pada saat kita mengenalkan konsep oprasi hitungan secara abstrak tidak terlalu mengalami kendala, E. Ragam Permasalahan Dalam Pembelajaran Bilangan Bulat di SD 1. Penngunaan garis bilangan yang pada prinsipnya tidak konsisten 2. Masih banyak guru yang salah menafsirkan bentu a + (-b) sebagai a-b atau bentuk a(- b) sebagai bentuk a + b 3. Masih banyak para guru dan siswayang tidak dapat membedakan tanda – atau + sebagai oprasi hitung dengan tanda – atau + sebagai jenis suatu bilangan 4. Kurang tempatnya memberikan memberikan pengertian bilangan bulat 5. Sulitnya memberikan penjelasan bagai mana melakukan oprasi hitung pada bilangan bulat secara kongkrit maupun secara abstrak (tampa menngunakan alat bantu).



Kegiatan Belajar 2



Perkalian Dan Pembagian pada Bilangan Bulat serta Sistim Persamaan Linier Seperti halnya pada waktu membahas operasi penjumlahan dan pengurangan, maka untuk mengenalkan konsep oprasi hitung perkalian dan pembagian pada sistem hitung bilangan bulat juga dilakukan melalui tiga tahap tahapan yang sama pada operasi hitung penjumlahan dan pengurangan yaitu : - Tahapan pengenalan konsep secara kongkret - Tahapan pengenalan konsep semi kongkret dan semi abstrak - Tahapan pengenalan konsep secara abstrak A. Oprasi Hitung Perkalian Pada Bilagan Bulat Dalam Tahap Pengenalan Konsep Secara Konkrit. Selanjutnya, dengan menggukan pengertian perkalian dan sifat-sifat bilangan cacah akan kita bahas mengenai perkalian pada sistim bilangan bulat dengan cakupan: 1. Perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif 2. Perkalian antara bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif 3. Perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif 4. Perkalian antara bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negative B. Sifat-Sifat Perkalian Pada Bilangan Bulat Untuk mengetahui sifat-sifat yang ada pada perkalian bilangan bulat, perhatikan tabel perkalian dibawah ini X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



-5 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25



-4 -3 20 15 16 12 12 9 8 6 4 3 0 0 -4 -3 -8 -6 -12 -9 -16 -12 -20 -15



-2 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10



-1 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5



0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0



1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



2 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10



3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15



4 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20



5 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25



Dari tabel perkalian ini, cobalah kita periksa. Jika anda telah melakukan pengkajian, tentunya anda sepkat bahwa : 1. Perkalina di atas merupakan bilangan bulat, berarti oprasi bilangan bulat berlaku sifat ketertutupan. 2. Semua bilangan bulat dikalikan dengan 0 hasilnya sama dengan 0. 3. Semua bilangan bulat jika dikalikan dengan bilangan 1, hasilya akan tetap yaitu bilangna bulat itu sendiri. 4. Bilangan-bilangan yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan bilangan- bilangan yang terletak di atas diagonal utama. 5. Memberi petunjuk kepada kita bahwa pada operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat asosiatif, dan secara sistimatis dinyatakan bahwa “jika a, b, dan c sebarang bilangan bulat maka berlaku (a x b) x c = a x (b x c). 6. Dalam operasi perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributive perkalian, baik terhadap penjumlahan maupun terhadap pengurangan, dan secra matematis. Dari uraian di atas, secara umum dapatlah dikatakan bahwa operasi perkalian dalam himpunana bilangan bulat memenuhi sifat : a. Tertutup b. Komunikatif (pertukaran)



c. Asosiatif (pengelompokan) d. Memiliki unsur identitas perkalian e. Distributive perkalian terhadap penjumlahan dan distributive perkalian proses perhitungan menjadi lebih mudah dikerjakan. C. Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat Oprasi pembagian pada dasarnya sama dengan mencari faktor (bilanga) yang belum diketahui. Karena bentuk pembagian dapat dipandang sebagai bentuk oprasi perkalian dengan salah satu faktornya belum diketahui. Seperti halnya pada oprasi hitung penjumlahan, pengurangan dan perkalian, maka pada oprasi hitung pembagian pada bilangan bulat pada tahap “pengenalan konsep secara konkret” juga dapat didekati dengan menngunakan alat peraga balok garis bilangan. D. Persamaan dan Pertidaksamaan Dengan Satu Perubah Persamaan dan pertidaksamaan dengan satu perubah yang perlu diperhatikan adalah kalimatnya yaitu : 1. Kalimat terbuka, peryataan, perubah, dan kostanta Yaitu apabila dalam satu kalimat terbuka tanda perubahnya kita ganti sehingga menjadi kalimat yang benar, maka pennganti itu dinamakan penyelesaian (jawab) 2. Persamaan linier dengan satu perubah Yaitu menentukan pengganti dari peubahnya sehingga persamaan (kalimat terbuka) tersebut menjadi kalimat yang benar, atau dapat juga dikatakan bah wa penyelesaian satu persamaan adalah proses untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya 3. Pertidak samaan linier dengan satu perubah Yaitu himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini dapat kita peroleh dengan mengganti perubah x berturut-turut dengan anggota himpunan C (cara substansi) Dalam menyampaikan konsep –konsep operasi hitung bilangan bulat, sebaiknya dilakukan 3 tahap: a. Tahap pengenalan konsep secara konkret b. Tahap secara semi konkret atau semi abstrak c. Tahap pengenalan abstrak Pada pengenalan konsep secara konkret sebaiknya diperkenalkan melalui alat peraga, seperti balok garis bilangan dan manik- manikataupun alat peraga lainnya, selama prinsi[ kerjanya dapat dipertanggungjawabkan kebenarannya. Pada tahap pengenalan konsep secara semi konkret atau semin abstrak dapat mempergunakan garis bilangan. sedangkan pada tahap pengenalan konsep abstrak dapat dilakukan dengan memberikan contoh – contoh soal yang berpola atau mempunyai keistimewaan – keistimewaan. Operasi perkalian bilangan –bilangan bulat pada dasarnya merupakan operasi penjumlahan yang dilakukan secara berulang. Dalam perkalian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif) x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif) (bilangan bulat positif) x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif) x (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif) Operasi pembagian pada dasarnya adalah proses pencarian factor yang belum diketahui dari suatu perkalian. Dalam pembagian bilangan bulat berlaku: (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat positif) (bilangan bulat positif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat positif) = (bilangan bulat negatif) (bilangan bulat negatif) : (bilangan bulat negatif) = (bilangan bulat positif) Persamaan adalah suatu kalimat terbuka yang dinyatakn dengan hubungan “=”. Bentuk ax + b dengan a ≠ 0 dan b, c suatu konstanta, adalah persamaan linear dengan suatu perubah. Disampinh dengan cara substitusi penyelesaian persamaan dapat juga dilakukan dengan menjadikan persamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan ekuivalen paling sederhana dengan aturan –aturan tertentu pada kedua ruas persamaannya. Pertidak samaan adalah suatu kalimat terbuka yang dinyatakan dengan satu tanda ketidaksamaan , ≤ atau≥.