Resume Ruang Topologi Materi Pengantar T [PDF]

Citation preview

RESUME



RUANG TOPOLOGI DOSEN PENGAMPU: RODY SATRIAWAN, M.Pd.



Oleh: KELOMPOK III 1. 2. 3. 4.



ZUL FIKRI SUPRATMAN MARIATI MIFTAHUL JANNAH



(NPM.14210027) (NPM.14210020) (NPM.14210012) (NPM.14210003)



Resume ini disusun untuk memenuhi sebagian tugas Ujian Akhir Semester (UAS) pada Mata Kuliah Pengantar Topologi Program Studi Pendidikan Matematika



PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITS HAMZANWADI 2018



RUANG TOPOLOGI I.



Pendahuluan Konsep tentang topologi dan ruang topologi berawal dari pembahasan mengenai himpunan terbuka dalam ℜ dimana, dibahas mengenai titik dalam, titik batas, dan titik limit (Bartle, 1992 dalam Albert Ch. Soewongsono, Ariyanto dan Jafaruddin, 2015).



Definisi 1. Ruang Topologi Diberikan himpunan tak kosong X, suatu koleksi 𝜏 yang berisikan himpunanhimpunan bagian dari X dikatakan topologi pada 𝜏, jika memenuhi sifat-sifat: (i) X dan himpunan ∅ termuat di dalam 𝜏 ∅, 𝑋 𝜖 𝜏 (ii) Gabungan (berhingga ataupun tak hingga) dari himpunan-himpunan di 𝜏 termuat di 𝜏 juga 𝐴𝑎 𝜖 𝜏, ∀𝑎 𝜖 𝐼 ⟹



𝐴𝑎 𝜖 𝜏 𝑎𝜖𝐼



𝐼 adalah himpunan indeks (iii) Irisan berhingga dari himpunan-himpunan di 𝜏 berada di 𝜏 juga. 𝐴, 𝐵 𝜖 𝜏 ⟹ 𝐴 ∩ 𝐵 𝜖 𝜏 Dan pasangan (X, 𝜏) disebut sebagai ruang topologi.



Contoh 1.1. Diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan 𝜏1 = {𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 }



Maka 𝜏1 merupakan topologi di 𝑋 karena memenuhi sifat-sifat (i), (ii), dan (iii) pada Definisi 1.



Contoh 1.2. Diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan 𝜏2 = {𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑒 , 𝑏, 𝑐, 𝑑 } Maka 𝜏2 bukan merupakan topologi di X, karena gabunga 𝑐, 𝑑 ∪ 𝑎, 𝑐, 𝑒 = {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒} Tidak termuat di 𝜏2 . Sehingga 𝜏2 tidak memenuhi sifat (ii) dari Definisi 1.



Contoh 1.3. Diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓} dan 𝜏3 = {𝑋, ∅, 𝑎 , 𝑓 , 𝑎, 𝑓 , 𝑎, 𝑐, 𝑓 , {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓}} Maka 𝜏3 bukan topologi di X, karena irisan 𝑎, 𝑐, 𝑓 ∩ 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 = {𝑐, 𝑓} Tidak termuat di 𝜏3 , sehingga 𝜏3 tidak memenuhi sifat (iii) dari Definisi 1.



Definisi 2. Titik Dalam (Interior Point) pada Ruang Topologi Diketahui (X, 𝜏) adalah ruang topologi dan 𝐴 ⊂ 𝑋, titik 𝑝 disebut titik dalam (interior point) himpunan 𝐴 bila ada 𝐺𝑝 𝜖 𝜏 dan 𝐺𝑝 ⊂ 𝐴.



Definisi 3. Himpunan Terbuka Himpunan 𝐴 dikatakan terbuka jika semua anggotanya adalah titik dalam (interior point) dari A.



Teorema 3.1. Setiap persekitaran adalah himpunan terbuka



Bukti. Diambil sembarang 𝑎 𝜖 ℜ dan ℰ > 0. Akan ditunjukkan, 𝑁ℰ 𝑎 = {𝑥 𝜖 ℜ: 𝑥 − 𝑎 < 𝐸}. Diambil sembarang titik 𝑦 𝜖 𝑁ℰ 𝑎 . Selanjutnya, dibentuk 𝑟 = |𝑦 − 𝑎| dan jelas 𝑟 < 𝐸. Misalkan, 𝛿 = ℰ − 𝑟 maka 𝛿 > 0. Dibuat pesekitaran 𝑁𝜎 𝑦 dan diambil sembarang titik 𝑧 𝜖 𝑁𝜎 𝑦 maka diperoleh, 𝑧 − 𝑎 ≤ 𝑧 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑎 < 𝛿 + 𝑟 = 𝛿 + (ℰ − 𝛿) = ℰ atau 𝑧 − 𝑎 < 𝐸 yang berarti, 𝑧 𝜖 𝑁ℰ 𝑎 . Jadi, jika z 𝜖 𝑁𝛿 𝑦 maka 𝑧 𝜖 𝑁ℰ 𝑎 ekuivalen dengan 𝑁𝜎 𝑦 ⊂ 𝑁𝜎 𝑎 . Sehingga, menurut definisi titik dalam (interior point), 𝑦 merupakan titik dalam 𝑁ℰ 𝑎 . Selanjutnya, karena 𝑦 diambil sembarang maka terbukti bahwa persekitaran 𝑁ℰ 𝑎 merupakan himpunan terbuka.



Definisi 4. Topologi Diskrit Diberikan X himpunan tak kosong dan τ adalah koleksi dari semuahimpunan bagian dari X, maka 𝜏 disebut topologi diskrit, sedangkanruang topologi (X, 𝜏) disebut rung diskrit. Dapat kita cek bahwa Definisi 4. memenuhi semua sifat dari Definisi 1, jadi Definisi 4 juga merupakan ruang topologi. Contoh 4.1. Diberikan himpunan 𝑋 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝜏 merupakan topologi di 𝑋 dengan 𝑎 𝜖 𝜏, 𝑏 𝜖 𝜏, dan 𝑐 𝜖 𝜏. Buktikan bahwa 𝜏 merupakan topologi diskrit.



Penyelesaian Diketahui bahwa 𝜏 merupakan topologi dan 𝑎 𝜖 𝜏, 𝑏 𝜖 𝜏, dan 𝑐 𝜖 𝜏. Kita akan menunjukkan bahwa 𝜏 merupakan topologi diskrit. Berdasarkan Definisi 4. Maka kita harus menunjukkan bahwa 𝜏 memuat semua subhimpunan dari X. ingat bahwa 𝜏 merupakan topologi, jadi pastilah memenuhi semua sifat dari Definisi 1. Selanjutnya perhatikan bahwa himpunan 𝑋 memuat 3 elemen, jadi ada 23 subhimpunan dari 𝑋, yaitu 𝑆1 = ∅, 𝑆2 = {𝑎}, 𝑆3 = {𝑏}, 𝑆4 = {𝑐}, 𝑆5 = 𝑎, 𝑏 , 𝑆6 = {𝑎, 𝑐}, 𝑆7 = {𝑏, 𝑐}, dan 𝑆8 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Kita harus mengecek apakah 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , ..., 𝑆8 termuat di 𝜏 atau tidak. Perhatikan bahwa Definisi 1 menunjukkan bahwa 𝑋 dan ∅ termuat di 𝜏, jadi 𝑠1 𝜖 𝜏 dan 𝑆8 𝜖 𝜏. Selanjutnya karena didefinisikan 𝑎 𝜖 𝜏, 𝑏 𝜖 𝜏, dan 𝑐 𝜖 𝜏, maka 𝑠2 𝜖 𝜏, 𝑠3 𝜖 𝜏 dan 𝑆4 𝜖 𝜏. Kemudian kita harus menunjukkan 𝑠5 𝜖 𝜏, 𝑠6 𝜖 𝜏 dan 𝑆7 𝜖 𝜏. Karena 𝑎 𝜖 𝜏, 𝑏 𝜖 𝜏, dan 𝑐 𝜖 𝜏, maka pasilah 𝑆5 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎 ∪ {𝑏} ∈ 𝜏 𝑆6 = 𝑎, 𝑐 = 𝑎 ∪ {𝑐} ∈ 𝜏 𝑆7 = 𝑏, 𝑐 = 𝑏 ∪ {𝑐} ∈ 𝜏 Sehingga terbukti bahwa 𝜏 merupakan topologi diskrit.



Definisi 5. Ruang Metrik Misalkan 𝑋 adalah sembarang himpunan tidak kosong. (i) Fungsi 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℜ yang memenuhi sifat-sifat: (𝑀1 ) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦



𝑀2 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, (𝑀3 ) 𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 , ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. Disebut metrik atau jarak pada 𝑋. (ii) Himpunan 𝑋 dilengkapi dengan suatu metrik 𝑑, dituliskan dengan (𝑋, 𝑑) disebut metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis 𝑋 saja. (iii) Anggota ruang metrik (𝑋, 𝑑) disebut titik dan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, bilangan non negatif 𝑑(𝑥, 𝑦) disebut jarak titik 𝑥 dengan titik 𝑦.



Proposisi 5.1 Misalkan (X, 𝜏) merupakan ruang topologi dan setiap 𝑥 ∈ 𝑋, jika himpunan tunggal {𝑥} termuat di 𝜏, maka 𝜏 merupakan topologi diskrit.



Bukti Kita tahu bahwa setiap himpunan merupakan gabungan dari subset-sabset tunggal dari himpunan tersebut. Misalkan 𝑆 merupakan subset dari 𝑋, maka 𝑆=



{𝑥} 𝑥𝜖𝑆



Karena {𝑥} termuat di 𝜏, serta berdasarkan Definisi 1 menunukkan bahwa 𝑆 ∈ 𝜏, maka terbukti bahwa 𝜏 merupakan topologi diskrit.



Definisi 6. Topologi Indiskrit Diberikan himpunan 𝑋 tak kosong dan 𝜏 = {𝑋, ∅}, maka 𝜏 tersebut topologi indiskrit, sedangkan ruang topologi (𝑋, 𝜏) disebut ruang indiskrit. Definisi 5 juga



memenuhi semua sifat dari Definisi 1. Jadi Definisi 5 juga merupakan topologi. Oleh karena itu, emua himpunan tak kosong dapat kita bentuk menjadi topologi baik topologi diskrit maupun topologi indiskrit.



II. Pembahasan Pada bagian ini akan dibahas mengenai aksioma separasi dalam ruang 𝑇1 , ruang 𝑇2 (Ruang Hausdorff), ruang 𝑇3 , dan ruang 𝑇4 sehingga, dapat diperoleh teorema yang menghubungkan ruang-ruang topologi tersebut dan ruang metrik. Sebelum itu, akan diberikan definisi yang menghubungkan ruang metrik dan ruang topologi sebagai berikut: Misalkan d adalah sebuah metrik pada himpunan tidak kosong X. Suatu topologi 𝜏 pada 𝑋 yang dihasilkan oleh kelas dari persekitaran dalam 𝑋 disebut topologi metrik atau topologi yang dihasilkan oleh metrik 𝑑. Selanjutnya, himpunan 𝑋 dengan topologi 𝜏 yang dihasilkan oleh metrik 𝑑 dinamakan, ruang metrik dan dinotasikan oleh (𝑋, 𝑑). Dengan demikian, suatu ruang metrik adalah ruang topologi dimana topologinya dihasilkan oleh sebuah metrik. Oleh karena itu, semua konsep yang didefinisikan dalam ruang topologi juga didefinisikan dalam ruang metrik. Akibatnya, dapat dicari hubungan antara ruang metrik dan ruang-ruang topologi lainnya dengan mengambil suatu topologi yang dihasilkan oleh suatu metrik.



2.1. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang 𝑻𝟏 dan 𝑻𝟐 Definisi 7. Aksioma Separasi dalam Ruang 𝑻𝟏 Ruang topologi (𝑋, 𝜏), disebut ruang 𝑇1 jika untuk setiap 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞 terdapat 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 sedemikian sehingga 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑝 ∉ 𝐻 dan 𝑞 ∉ 𝐺, 𝑞 ∉ 𝐻



Teorema 7.1. Ruang topologi (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇1 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , singleton {𝑋} adalah himpunan tertutup.



Bukti. (⇒) Diketahui bahwa (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇1 . Diambil sebarang 𝑝 ∈ 𝑋 dan didefinisikan : {p} adalah singleton. Diambil sebarang 𝑞 ∈ 𝑝



𝑐



⊂ 𝑋 maka,𝑝 ∉ 𝑞



sebab 𝑝 𝑐 ∩ 𝑞 = ∅ Karena (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇1 maka terdapat 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 dengan 𝑝 ∈ 𝐻, 𝑝 ∉ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐻, 𝑞 ∉ 𝐺. Jadi, ∃𝐻 ∈ 𝜏 dengan sifat 𝑞 ∈ 𝐺, 𝑞 ∉ 𝐻 dan 𝑞 ∈ 𝐻, 𝑞 ∉ 𝐺. Menurut Definisi 2 tenang titik dalam (interior point) pada himpunan terbuka maka, 𝑞 titik dalam (interior point) himpunan 𝑝 𝑐 . Karena 𝑞 diambil sebarang maka



𝑝



𝑐



himpunan terbuka dan {𝑝}. Jadi,terbukti bahwa apabila (𝑋, 𝜏)



merupakan rung 𝑇1 maka setiap singleton dari 𝑋 adalah himpunan terutup. (⇐) Diketahui bahwa setiap singleton dari 𝑋 adalah himpunan tertutup. Diambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dan 𝑝 ≠ 𝑞. Dibentuk {𝑝} dan {q} singleton akibatnya, {𝑝} dan {𝑞} terutup. Selanjutnya didefinisikan : 𝐺 = 𝑝 dan 𝐻 terbuka. Jelas bahwa, 𝑝 ∈ 𝐻, 𝑝 ∉ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐺, 𝑞 ∉ 𝐻.



𝑐



dan 𝐻 = 𝑞



𝑐



maka, 𝐺



Jadi, ∀𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐻, 𝑝 ∉ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐺, 𝑞 ∉. Dari Definisi 7 tentang ruang 𝑇1 terbukti bahwa 𝑋, 𝜏 merupakan ruang 𝑇1 Dari bukti syarat perlu dan syarat cukup maka, Teorema 7.1 terbukti.



Definisi 8. Aksioma Separasi dalam Ruang 𝑻𝟐 Ruang topologi (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇2 (Ruang Hausdorff) jika untuk setiap 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞, terdapat 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝐻 dan 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅.



Teorema 8.1 Setiap ruang 𝑇2 (Ruang Hausdorff) merupakan ruang 𝑇1 .



Bukti. Misalkan (𝑋, 𝜏) adalah ruang topologi dan diketahui bahwa (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇2 . Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞. Karena (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇2 maka, ∋ 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐻, 〱 ∩ 𝐻 = ∅. Karena 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝐻 dan 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka, 𝑝 ∉ 𝐻, 𝑞 ∉ 𝐺. Jadi, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑝 ∉ 𝐻 dan 𝑞 ∈ 𝐻, 𝑞 ∉ 𝐺 sehingga menurut Definisi 7 terbukti bahwa 𝑋, 𝜏 adalah ruang 𝑇1 .



Akibat 8.1 Tidak semua ruang 𝑇1 adalah ruang 𝑇2 (Ruang Hausdorff).



Bukti. Andaikan pernyataan salah maka setiap ruang 𝑇1 adalah ruang 𝑇2 . Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞 maka, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝐻 dan 𝐺 ∩ 𝐻 =



∅. Karena, 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 maka, 𝐺 dan 𝐻 adalah himpunan terbuka tidak berhingga sebab 𝐺𝑐 dan 𝐻𝑐 adalah himpunan tertutup dan berhingga . Karena, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ maka 𝐺 ∩ 𝐻 ≠ ∅ dan 𝐺 ⊂ 𝐻𝑐 . Pernyataan 𝐺 ⊂ 𝐻𝑐 tidak mungkin terjadi sebab, G tidak berhingga dan 𝐻𝑐 berhingga. Jadi, pengandaian salah dan pernyataan benar yakni, tidak semua ruang 𝑇1 adalah ruang 𝑇2 .



2.2. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang 𝑻𝟐 dan 𝑻𝟑 Definisi 9. Aksioma Separasi dalam Ruang Regular Ruang topologi (𝑋, 𝜏) adalah ruang regular jika untuk setiap himpunan tertutup 𝐹 ⊂ 𝑋 dan 𝑝 ∈ 𝑋, 𝑝 ∉ 𝐹 maka terdapat 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹 ⊂ 𝐺 dan 𝑝 ∈ 𝐻. Definisi 10.



Aksioma Separasi dalam Ruang T3



Ruang topologi (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇3 apabila (𝑋, 𝜏) adalah ruang regular dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang 𝑇1 . Selanjutnya, ruang 𝑇3 disebut juga sebagai ruang regular 𝑇1 .



Teorema 10.1 Setiap ruang T3 adalah ruang T2. Bukti. Diketahui (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇3 . Diambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋, 𝑝 ≠ 𝑞. Dibentuk singleton {𝑝} sedemikian hingga {𝑝} tertutup. Jelas bahwa, 𝑞 ∉ {𝑝} sebab, 𝑝 ≠ 𝑞. Karena (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇1 maka, (𝑋, 𝜏) adalah ruang reguler sehingga, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝑝 ⊂ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐻. Jelas bahw, 𝑝 ∈ 𝐺 sebab, 𝑝 ⊂ 𝐺 dan 𝑝 ∈ {𝑝}.



Jadi ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺, 𝑞 ∈ 𝐻 dan 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅. sehingga menurut Definisi 8 tentang ruang 𝑇2 , terbukti bahwa (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇2 .



Sifat 10.1 Tidak semua ruang regular merupakan ruang 𝑇1 .



Bukti. Akan ditunjukkan bahwa pernyataan benar dengan menggunakan sebuah contoh penyangkal berikut. Pandang suatu ruang topologi (𝑋, 𝜏) dimana 𝑋 = {㄰, 𝑏, 𝑐, } dan 𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑏, 𝑐



adalah suatu topologi pada X. Akan ditunjukkan bahwa (𝑋, 𝜏)



adalah ruang regular. Karena 𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑏, 𝑐



maka, himpunan-himpunan



tertutup pada 𝑋 adalah, 𝑋 sebab, 𝑋𝑐 = ∅ ∈ 𝜏 terbuka ∅ sebab, ∅ = 𝑋 ∈ 𝜏 terbuka {𝑎} sebab, 𝑎 𝑐 = 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜏 terbuka 𝑏, 𝑐 sebab, 𝑏, 𝑐 𝑐 = 𝑎 ∈ 𝜏 terbuka Dimana, himpunan-himpunan bagian tertutup dari 𝑋 dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular yakni, (i)



Untuk ∅ ⊂ 𝑋 berlaku, 𝑎



∈ 𝑋, 𝑎 ∉ ∅ maka ∃𝐺 = 𝑎 , 𝐻 = 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ ∅ ⊂ 𝐻



dan



𝑎 ∈ 𝐺.𝑏 ∈ 𝑋, 𝑏 ∉ ∅ maka ∃𝐺 = 𝑎 , 𝐻 = 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ ∅ ⊂ 𝐺 dan 𝑏 ∈ 𝐻, 𝑐 ∈ 𝑋, 𝑐 ∉ ∅ maka ∃𝐺 = 𝑎 , 𝐻 = 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ ∅ ⊂ 𝐺 dan 𝑐 ∈ 𝐻



(ii)



Untuk 𝑏, 𝑐 ⊂ 𝑋 berlaku 𝑏 ∈ 𝑋, ∉ 𝑎 maka ∃𝐺 = 𝑎 , 𝐻 = 𝑏, 𝑐 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝑎 ⊂ dan 𝑏 ∈ 𝑋 c ∈ X, c ∉ a maka ∃G = a , H = b, c ∈ τ, G ∩ H = ∅ ∋ a ⊂dan c ∈ H Jadi, 𝑏, 𝑐 ⊂ 𝑋 memenuhi aksioma separasi dalam ruang reguler.



(iii) Untuk 𝑏, 𝑐 ⊂ 𝑋 berlaku a ∈ X, a ∉ b, c



maka



∃G = a , H = b, c ∈ τ, G ∩ H = ∅ ∋ ∅ ⊂ Hdan



𝑐∈𝐺 Jadi, 𝑏, 𝑐 ⊂ 𝑋 memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular. Dari (i), (ii) dan (iii) terbukti bahwa ( 𝑋, 𝜏) adalah ruang regular. Akan tetapi,(𝑋, 𝜏) bukan merupakan ruang 𝑇1 sebab, terdapat sebuah singleton {𝑏} yang tidak tertutup. Terbukti bahwa tidak semua ruang regular merupakan ruang 𝑇1 .



Akibat 10.1. Syarat Cukup Suatu Ruang Regular Merupakan Ruang T1 Jika suatu ruang regular (𝑋, 𝜏) dengan 𝜏 adalah suatu topologi diskrit maka (𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇1 .



Bukti. Diketahui (𝑋, 𝜏)adalah suatu regular dengan 𝜏 adalah suatu topologi diskrit yakni, 𝜏 = 2𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑋. Ambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋, 𝑝 =≠ 𝑞 dan bentuk singleton, 𝑝 , 𝑞 ⊂ 𝑋. Jelas bahwa, {𝑝} dan {𝑞} adalah himpunan tertutup sebab, 𝑝 𝑐 , 𝑞 𝑐 ∈ 𝜏 = 2𝑥 . Dipilih, 𝐹 = 𝑝 ⊂ 𝑋 dan 𝑞 ∈ 𝑋, 𝑞 ∉ 𝐹 𝑝 . 𝑝 ≠ 𝑞. Karena, 𝑋, 𝜏 adalah ruang reguler maka, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 sebab, 𝑝 ≠ 𝑞. Karena, 𝑞 ∈ 𝐻 reguler maka, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹 = 𝑝 ⊂ 𝐺 dan 𝑞 ∈ 𝐻. Jelas bahwa, 𝑝 ∈ 𝐺



sebab, 𝑝 ∈ {𝑝} dan 𝑝 ∈ 𝐺 tatapi, 𝑝 ∉ 𝐻 sebab, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ . Berlaku juga 𝑞∃𝐻, 𝑞 ∉ 𝐺 sebab, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅. Jadi ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺\𝐻 dan 𝑞 ∈ 𝐻 sehingga menurut Definisi 7 tentang ruang 𝑇1 terbukti bahwa ruang reguler (𝑋, 𝜏) juga merupkan ruang 𝑇1 .



2.3. Hubungan Aksioma Separasi dalam Ruang T3 dan T4 Definisi 11.



Aksioma Separasi dalam Ruang Normal



Ruang topologi (𝑋, 𝜏) adalah ruang normal jika untuk setiap 𝐹1 dan 𝐹2 masingmasing adalah himpunan bagian tertutup dari 𝑋 yang saling lepas maka, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹1 ⊂ 𝐺 dan 𝐹2 ⊂ 𝐻.



Definisi 12.



Aksioma Separasi dalam Ruang T4



Ruang topologi (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇4 apabila, (𝑋, 𝜏) merupakan ruang normal dan memenuhi aksioma separasi dalam ruang 𝑇1 . Selanjutnya, ruang 𝑇4 dikenal juga sebagai ruang normal 𝑇1 .



Teorema 12.1. Setiap ruang T4 adalah ruang T3.



Bukti. Diketahui bahwa 𝑋, 𝜏 adalah ruang 𝑇4 . Diambil sebarang 𝐹 ⊂ 𝑋 merupakan himpunan bagian tertutup dan ( 𝑝 ∈ 𝑋, 𝑝 ∉ 𝐹). Karena ( 𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇4 maka, ( 𝑋, 𝜏) merupakan ruang 𝑇1 . Dibentuk singleton {𝑝} himpunan tertutup. Jelas bahwa, 𝐹 ⊂ 𝑝 = ∅ sebab, 𝑝 ∉ 𝐹. Selanjutnya, karena ( 𝑋, 𝜏) adalah ruang



𝑇4 maka, (𝑋, 𝜏) adalah ruang normal sehingga, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹 ⊂ 𝐺 dan 𝑝 ⊂ 𝐻, karena, 𝑝 ∈ {𝑝} dan 𝑝 ⊂ 𝐻 dan 𝑝 ∈ 𝐻. jadi ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹 ⊂ 𝐺 dan 𝑝 ∈ 𝐻 sehingga, menurut Definisi 9 (𝑋, 𝜏) adalah ruang reguler, karena, (𝑋, 𝜏) adalah ruang dan ruang 𝑇1 maka, berdasarkan Definisi 10 terbukti bahwa (𝑋, 𝜏) adalah ruang 𝑇3 .



Sifat 12.1 Tidak semua ruang normal adalah ruang T1.



Bukti. Akan dibuktikan sifat tersebut dengan menggunakan sebuah contoh penyangkal berikut. Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑥} dan 𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ditunjukkan



bahwa



𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑏 , 𝑎, 𝑏



(𝑋, 𝜏)



merupakan



adalah topologi pada . Akan ruang



normal.



Karena



maka, himpunan-himpunan tertutup dari 𝑋 adalah:



∅ sebab, ∅ = 𝑋 ∈ 𝜏 himpunan terbuka. 𝑋 sebab, 𝑋 = ∅ ∈ 𝜏 himpunan terbuka. {𝑏, 𝑐} sebab, 𝑏, 𝑐 𝑐 = 𝑎 ∈ 𝜏 himpunan terbuka {𝑎, 𝑐} sebab, 𝑎, 𝑐 𝑐 = 𝑏 ∈ 𝜏 himpunan terbuka {𝑐} sebab, 𝑐 𝑐 = 𝑎, 𝑏 ∈ 𝜏 himpunan terbuka Dari himpunan-himpunan tertutup di atas, dapat dilihat bahwa himpunanhimpunan tertutup yang saling lepas yaitu, 𝐹1 = ∅ dan 𝐹2 = 𝑋 atau {𝑏, 𝑐} atau {𝑎, 𝑐} atau 𝑐 ∋ ∃𝐺 = ∅, 𝐻 = 𝑋 ∈ 𝜏 dimana, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ dan berlaku 𝐹1 = ∅ ⊂ 𝐺



dan 𝐹2 ⊂ 𝐻, jadi, terbukti bahwa (𝑋, 𝜏) di atas merupakan ruang normal, akan tetapi, (𝑋, 𝜏) di atas bukan merupakan ruang 𝑇1 sebab, terdapat sebuah singleton 𝑎 ⊂ 𝑋 yang tidak tertutup. Terbukti bahwa tidak semua ruang normal adalah ruang 𝑇1 .



Akibat 12.1 Syarat Cukup Suatu Ruang Normal Merupakan Ruang T1 Jika (X, 𝜏) merupakan suatu ruang normal dengan 𝜏 adalah suatu topologi diskrit maka, (X, 𝜏) marupakan Ruang T1



Bukti. Diketahui (X, 𝜏) adalah suatu ruang normal dengan 𝜏 adalah suatu topologi diskrit yakni, 𝜏 = 2x , ∀𝑥 ∈ 𝑋. Diambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞. Dibentuk 𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜𝑛 𝐹1 = 𝑝 , 𝐹2 = {𝑞} ⊂ 𝑋. Jelas bahwa, F1 = 𝑝 dan 𝐹2 = {𝑞} himpunan tertutup sebab, {p}c , {q}c ∈ τ = 2x dengan F1 ∩ F2 = {p}∩{q}= ∅. Karena (X, 𝜏) adalah ruang normal maka, ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ F1 = {p} ⊂ 𝐺 dan F2 = {q}⊂ 𝐻. Jelas bahwa, 𝑝 ∈ 𝐺 sebab 𝑝 ∈ {𝑝} = F1 dan F1 = {p} ⊂ 𝐺 tetapi 𝑝 ≠ 𝐻 sebab, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅. Berlaku juga, 𝑞 ∈ 𝐺 sebab 𝑞 ∈ {𝑞} = F2 dan F2 = {q} ⊂ 𝐺 tetapi 𝑞 ≠ 𝐻 sebab, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅. Jadi ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝐺/𝐻 dan 𝑞 ∈ 𝐺/𝐻. Sehingga, menurut Definisi 7 tentang T1 terbukti bahwa, ruang normal (X, 𝜏) merupakan ruang T1.



2.4. Hasil Utama: Teorema Fundamental Separasi Dalam Ruang Topologi Pada bagian ini, akan diberikan kumpulan teorema yang menghubungkan ruang metrik dengan ruang-ruang topologi yang dinamakan ruang fundamental separasi dalam ruang topologi Teorema 2.4.1 Setip ruang metrik merupakan ruang 𝑇1 . Bukti. Didefinisikan 𝑋, 𝑑 adalah ruang metrik. Diambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞. Karena



𝑋, 𝑑



adalah ruang metrik maka, 𝑑 𝑝, 𝑞 > 0. Selanjutnya, 1



dibentuk persekitaran 𝑁𝑟 𝑝 dan 𝑁𝑟 𝑞 dengan 𝑟 = 2 𝑑(𝑝, 𝑞). Akibatnya, diperoleh 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 = ∅. Menurut Teorema 2.1.3 𝑁𝑟 𝑝



dan



𝑁𝑟 𝑞 adalah himpunan terbuka. Akibatnya, 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 ∈ 𝜏. Jelas bahwa, 𝑝 ∈ 𝑁𝑟 𝑝 , 𝑝 ∉ 𝑁𝑟 𝑞 dan 𝑞 ∈ 𝑁𝑟 𝑞 , 𝑞 ∉ 𝑁𝑟 𝑝 sebab 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 = ∅. Jadi,



∃𝑁𝑟 𝑝 , 𝑁𝑟 𝑞 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝑁𝑟 𝑝 , 𝑝 ∉ 𝑁𝑟 𝑞



dan



𝑞 ∈ 𝑁𝑟 𝑞 , 𝑞 ∉ 𝑁𝑟 𝑝 .



Sehingga, terbukti bahwa(𝑋, 𝑑) adalah topologi ruang T1.



Teorema 2.4.2 Setiap ruang metrik merupakan ruang 𝑇2 (𝑅𝑢𝑎𝑛𝑔 𝐻𝑎𝑢𝑠𝑑𝑜𝑟𝑓𝑓).



Bukti. Didefinisiskan 𝑋, 𝑑 adalah ruang matrik. Selanjutnya, diambil sebarang 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑋 dengan 𝑝 ≠ 𝑞. Karena 𝑋, 𝑑 adalah ruang metrik maka 𝑑 𝑝, 𝑞 > 0. Dibentuk persekitaran 𝑁𝑟 𝑝



dan 𝑁𝑟 𝑞



1



dengan, 𝑟 = 2 𝑑 𝑝, 𝑞 . Akibatnya, diperoleh



𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 = ∅. Dari Teorema 2.1.3, 𝑁𝑟 𝑝 dan 𝑁𝑟 𝑞 adalah himpunan terbuka. Akbatnya, 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 ∈ 𝜏. Selanjutnya, diperoleh, 𝑝 ∈ 𝑁𝑟 𝑝 , 𝑝 ∉ 𝑁𝑟 𝑞



sebab 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 = ∅. Jadi, ∃𝑁𝑟 𝑝 , 𝑁𝑟 𝑞 ∈ 𝜏 ∋ 𝑝 ∈ 𝑁𝑟 𝑝 , 𝑞 ∈



𝑁𝑟 𝑞 dan 𝑁𝑟 𝑝 ∩ 𝑁𝑟 𝑞 = ∅. Sehingga, terbukti bahwa (𝑋, 𝑑) merupakan ruang T2.



Teorema 2.4.3 Setiap ruang metrik merupakan ruang 𝑇3.



Bukti. Misalkan 𝜏 adalah suatu topologi pada X oleh metriks atau jarak d. ambil sebarang himpunan tertutup 𝐹 ⊂ 𝑋 dan 𝑝 ∈ 𝑋, 𝑝 ∉ 𝐹. sehingga, ∃𝑟 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐹 berlaku 𝑑 𝑥, 𝑝 > 𝑟 > 0. Dibentuk : 𝐺 =



𝑥𝜖𝑓



𝑁𝑟



4



𝑥 dan 𝐻 = 𝑁𝑟 𝑝 dimana, 4



menurut Teorema 2.1.3, G dan H adalah himpunan terbuka. Sehingga, 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 dan 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅. 𝑮



𝑯



𝐹 .𝒙



𝒓 .𝒑



Gambar 1. Abstraksi pembentuk 𝐺 dan 𝐻



Jika ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋∋ 𝐹 ⊂ 𝐺 dan 𝑝 ∈ 𝐻. Menurut definisi ruang regular, dapat disimpulkan bahwa (𝑋, 𝑑) merupakan ruang regular. Berdasarkan Teorema



2.4.1, telah ditunjukkan bahwa (𝑋, 𝑑) merupakan ruang T1. Karena, (𝑋, 𝑑) memenuhi aksioma separasi dalam ruang regular dan ruang T 1 maka menurut definisi ruang T3 terbukti bahwa (𝑋, 𝑑) merupakan ruang T3. Teorema 2.4.4 Setiap ruang metrik merupakan ruang 𝑇4 .



Bukti Misalkan 𝜏 adalah topologi pada 𝑋 oleh metrik atau jarak 𝑑. Diambil sembarang himpunan-himpunan bagian tertutup 𝐹1 , 𝐹2 ⊂ 𝑋 dengan 𝐹1 ∩ 𝐹2 = ∅. Sehingga, ∃𝑟 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐹1 , 𝑦 ∈ 𝐹2 dengan, 𝑑 𝑥, 𝑦 > 𝑟 > 0. Dibentuk : G =



𝑥 𝜖 𝐹1



𝑁𝑟



4



(𝑥) dah H=



𝑦 𝜖 𝐹2



𝑁𝑟



4



(𝑦) dimana, Teorema 3.1



diperoleh, 𝐺 dan 𝐻 himpunan terbuka. Sehingga, 𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏 dan 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ 𝑮



𝑯



𝑭𝟏 .𝒙



𝒓



𝑭𝟐 .𝒚



Gambar 2. Abstraksi pembentuk 𝐺 dan 𝐻 Jadi ∃𝐺, 𝐻 ∈ 𝜏, 𝐺 ∩ 𝐻 = ∅ ∋ 𝐹1 ⊂ 𝐺 dam 𝐹2 ⊂ 𝐻. Menurut definisi ruang normal, dapat disimpulkan bahwa (𝑋, 𝜏) adalah ruang normal. Selanjutnya, berdasarkan teorema 2.4.1, telah ditunjukkan bahwa (𝑋, 𝑑) memenuhi aksioma separasi dalam ruang normal dan ruang 𝑇1 maka terbukti bahwa (𝑋, 𝑑) merupakan ruang 𝑇4 .



Dari Torema 2.4.1, Teorema 2.4.2, Teorema 2.4.3, dan Torema 2.4.4 dapat dikatakan bahwa suatu ruang metrik memenuhi semua aksioma separasi dalam ruang-ruang topologi yakni, ruang 𝑇1 , ruang 𝑇2 , ruang 𝑇3 , dan ruang 𝑇4 . Sehingga ruang metrik termuat dalam setiap ruang-ruang topologi tersebut sebagaimana ditunjukkan oleh gambar berikut yang menunjukkan hubungan antara ruang-ruang topologi dan ruang metrik.



Ruang Topologi Ruang 𝑇1 Ruang 𝑇2 (Ruang Hausdorff) Ruang 𝑇3 (Ruang Regular 𝑇1 ) Ruang 𝑇4 (Ruang Normal 𝑇1 ) Ruang Metrik



Gambar 3. Pengelompokan ruang-ruang topologi



Dari Gambar 3 terlihat bahwa ruang metrik memiliki lingkup tersempit sebab, termuat di semua ruang-ruang topologi sedangkan, ruang topologi memiliki lingkup terluas sebab, memuat ruang-ruang topologi lain dari ruang metrik.



III. Kesimpulan Dari hasil kajian ini diperoleh bahwa dengan menggabungkan premis dari aksioma-aksioma separasi dalam masing-masing ruang topologi tersebut, diperoleh beberapa sifat sebagai berikut. Setiap ruang T2 (Ruang Hausdorff) merupakan ruang T1. Selanjutnya, setiap ruang T3 (Ruang Regular T1) merupakan ruang T2 (Ruang Hausdorff) dan setiap ruang T4 (Ruang Normal T1 ) merupakan ruang T3 (Ruang Regular T1 ) serta, setiap ruang metrik merupakan ruang-ruang topologi tersebut. Akan tetapi, sifat-sifat hubungan antara ruang-ruang topologi tersebut tidak berlaku untuk kebalikannya.



Dari hasil kajian ini, diperoleh juga suatu teorema fundamental separasi ruang topologi yang merupakan gabungan dari beberapa teorema yang menyimpulkan bahwa ruang metrik memenuhi semua aksioma separasi dalam ruang-ruang topologi yakni, ruang T1, ruang T2 (Ruang Hausdorff), ruang T3 , dan ruang T4.



DAFTAR PUSTAKA



Albert Ch. Soewongsono, Ariyanto dan Jafaruddin. (2015). Teorema Berbasis Aksioma Separasi dalam Ruang Topologi. Jurnal Matematika Integratif. Volume 11, Nomor 2, hal. 85-96. Julaeha, Siti. (2015). Pengantar Topologi. Bandung: Matematika Sains 2012 UIN SGD.