Ri Matdis [PDF]

Citation preview

MATEMATIKA DISKRIT



REKAYASA IDE “FUNGSI PEMBANGKIT” DosenPengampu :Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si., M.Si.- 197908022009121002



Disusunoleh : Renata Hany Aurora Manik (4183530006) Rotua Ignasia Saragih (4183530007) Millenia Nainggolan (4183530008) Inra Wisuda Manurung (4183530009) Grace Meisel (4183530015)



JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2019



KATA PENGANTAR Pertama-tama kami mengucapkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, dimana telah memberikan rahmat dan karunia-Nya serta kesehatan kepada kami, sehingga mampu menyelesaikan tugas ini. Tugas ini dikerjakan untuk memenuhi salah satu tugas KKNI RI mata kuliah kami yaitu Matematika Diskrit. Tugas ini disusun dengan harapan dapat menambah pengetahuan dan wawasan kita semua. Kami menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan, Apabila dalam tugas ini terdapat banyak kekurangan dan kesalahan, kami mohon maaf. Karena itu kami sangat menantikan saran dan kritik dari pembaca yang sifatnya membangun guna menyempurnakan tugas ini. Kami berharap semoga tugas ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan bagi kami khususnya, Atas perhatiannya kami mengucapkan terimakasih.



Medan, November 2019



ii



DAFTAR ISI



HALAMAN DEPAN .................................................. Error! Bookmark not defined. DAFTAR ISI ................................................................................................................ iii I.



JUDUL ................................................................................................................... 1



II.



NAMA PENULIS .............................................................................................. 1



III.



ABSTRAK ......................................................................................................... 1



IV.



PENDAHULUAN ............................................................................................. 1



V. TUJUAN ................................................................................................................ 3 VI.



METODE ........................................................................................................... 3



VII.



HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................................... 3



VIII.KESIMPULAN ..................................................................................................... 4 XI. DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 4



iii



I.



JUDUL FUNGSI PEMBANGKIT



II. NAMA PENULIS Renata Hany Aurora Manik Rotua Ignasia Saragih Millenia Nainggolan Inra Wisuda Manurung Grace Meisel III. ABSTRAK Makalah ini membahas mengenai Deret Pangkat Tetap ∑𝑛𝑖=1 𝑖 𝑎 , yang secara empiris solusi tertutupnya telah ditemukan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1731 dalam The Art of Conjecture. Dalam paper ini, akan dicari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap ini dengan menggunakan Fungsi Pembangkit. Dengan mempelajari cara penurunan solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap, Fungsi Pembangkit ini dapat digunakan untuk memecahkan bentuk-bentuk Deret lain yang lebih umum. ABSTRACT This article discusses about the sum of powers∑𝑛𝑖=1 𝑖 𝑎 , which closed solutions empirically have been discovered by Jacob Bernoulli in 1731 in The Art of Conjecture. In this paper, we will find a closed solution of the sum of powers by using the Generating Function. By learning how to derive the closed solution of the sum of powers, the Generating Function can be used to solve the more general series forms.



IV. PENDAHULUAN Permasalahan mencari solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap 𝑆𝑎 (𝑛) = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 𝑎 sudah mulai dicari sejak 1631 oleh Johan Faulhaber (1580-1635) [Pascal, 2002]. Beliau telah memberikan solusi tertutup sampai dengan nilai α=17, antara lain sebagai berikut:



1



Selanjutnya Johan Bernoulli yang mempelajari hasil ini [Chen, 2001], mampu menghasilkan bentuk umum dari solusi tertutup secara empiris sebagai berikut:



Dengan 𝑩𝒌 adalah Bilangan Bernoulli sebagai berikut:



yang dapat dihitung dari persamaan eksplisit berikut ini:



Formula eksplisit dari J Worpitsky di atas dipublikasikan 170 tahun setelah The Art of Conjectur dari Johan Bernoulli diterbitkan pada tahun 1731 [Silva, 2006]. Secara umum untuk menemukan solusi tertutup dari Deret Pangkat Tetap masih didapatkan secara empiris saja, sehingga tidak dapat diketahui secara pasti bagaimana caranya menurunkan solusi tertutup tersebut. Akibatnya pengetahuan yang didapatkan tidak dapat diterapkan untuk memecahkan bentuk masalah deret yang lain. Dalam makalah ini akan dibahas, penurunan solusi tertutup Deret Pangkat Tetap tersebut dengan Fungsi Pembangkit, sehingga pengetahuan yang didapat dapat digunakan untuk memecahkan bentuk masalah deret yang lain.



2



V. TUJUAN Tujuan yang ingin dicapai dari karya tulis ini adalah untuk meringkas materi deret pangkat dari beberapa sumber berbeda agar lebih mudah dimengerti. VI. METODE Untuk menyelesaikan penelitian ini penulis akan menggunakan metode : 1. Studi pustaka Metode ini digunakan untuk mendapatkan data-data dan informasi yang berhubungan dengan penelitian. 2. Meringkas Metode ini digunakan agar materi yang ditulis tidak begitu banyak sehingga memahaminya akan lebih mudah VII. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum ke contoh kasus, didefinisikan rumus fungsi pembangkit adalah ∞



𝐺(𝑥) = ∑ 𝑆𝛼 (𝑖)𝑥 𝑖 𝑖=0



Contoh kasus : ∞ 1 𝑖 𝑖 Untuk 𝛼 = 1 maka didapat ∑∞ 𝑖=0 𝑖 𝑥 = ∑𝑖=0 𝑖𝑥 =



𝑥 (1−𝑥)2



Maka Fungsi Pembangkit yang didapat adalah : 𝑥 𝐺(𝑥) = (1 − 𝑥)3 Dengan menggunakan formula Binomial Umum didapat konstanta dari suku 𝑥 𝑛 adalah: (𝑛+1)𝑛 𝑛+1 ( ) = 2! 2 𝑥 2 +𝑥 ∞ 2 𝑖 2 𝑖 Untuk𝛼 = 2 maka didapat ∑∞ 𝑖=0 𝑖 𝑥 = ∑𝑖=0 𝑖 𝑥 = (1−𝑥)3 Maka Fungsi Pembangkit yang didapat adalah : 𝑥2 + 𝑥 𝑥2 𝑥 𝐺(𝑥) = = + 4 4 (1 − 𝑥) (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)4 Dengan menggunakan formula Binomial Umum didapat konstanta dari suku 𝑥 𝑛 adalah: (𝑛+2)(𝑛+1)𝑛 (𝑛+1)𝑛(𝑛−1) (𝑛+1)𝑛 𝑛+2 𝑛+1 (𝑛 − 1 + 𝑛 + 2) = ( )+( )= + = 3! 3! 6 3 3 (2𝑛+1)(𝑛+1)𝑛 6 ∞ 3 𝑖 3 𝑖 Untuk𝛼 = 3 maka didapat ∑∞ 𝑖=0 𝑖 𝑥 = ∑𝑖=0 𝑖 𝑥 =



𝑥 3 +4𝑥 2 +𝑥 (1−𝑥)4



Maka Fungsi Pembangkit yang didapat adalah :



3



𝑥 3 + 4𝑥 2 + 𝑥 𝑥3 4𝑥 2 𝑥 = + + 5 5 5 (1 − 𝑥) (1 − 𝑥) (1 − 𝑥) (1 − 𝑥)5 Dengan menggunakan formula Binomial Umum didapat konstanta dari suku 𝑥 𝑛 adalah: 𝑛+3 𝑛+2 𝑛+1 ( ) + 4( )+( ) 4 4 4 (𝑛 + 3)(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1) = + 4! 4! (𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + 4! (𝑛 + 1)𝑛 = ((𝑛 + 3)(𝑛 + 2) + 4(𝑛 + 2)(𝑛 − 1) + (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)) 4! (𝑛 + 1)𝑛 = (6𝑛(𝑛 + 1)) 4! 𝑛2 (𝑛 + 1)2 = 4 𝐺(𝑥) =



VIII.KESIMPULAN Dengan mempelajari bagaimana solusi tertutup Deret Pangkat Tetap dapat diselesaikan dengan Fungsi Pembangkit, maka pengetahuan yang didapat bisa digunakan untuk memecahkan permasalahan deret yang lain misalnya Deret Bertingkat yang didefinisikan sebagai



XI. DAFTAR PUSTAKA 1. Chen, K. W., &Eie, M. (2001). A Note on Generalized Bernoulli Numbers Pacific Journal ofMathematics, Volume 199 No 1, 2001. 2. Gourdon, X., & Pascal, S. (2002). “Introduction to Bernoulli’s Number”, diakses dari http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html 3. Silva, J., (2006). Bernoulli Numbers and Their Applications, diakses dari http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics 4. South, K. A. (1993). Solving Recurrence with Generating Function, Baltimore: University ofMaryland. 5. Wilf, H. S. (1994), Generatingfunctionology. Philadelphia: Academic Press Inc



4