Rumus Cepat Matematika Vektor 2 [PDF]

Citation preview

http://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel



Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert Hubbad)



[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor



================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com



A. Definisi Vektor



a



Vektor, adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor dinotasikan sebagai ruas garis



a maka : b a +b



b



hasil penjumlahan vektor a dan b



®



berarah.



Misal



:



AB



(cara segitiga)



artinya



®



vektor AB, u ,u ,u adalah notasi untuk vektor u, a artinya vektor a dan lain-lain. Dengan demikian penulisan vektor dengan huruf kecil garis di atas atau garis di bawah tidak menjadi soal. B. Menyajikan Vektor (i) Vektor di R2 Jika a adalah sebuah vektor dan a = ( a1 , a2 ) berupa baris,



æa ö sedang a = ç 1 ÷ berupa vektor è a2 ø kolom. atau dalam vektor basis a = a1 i + a2 j (ii) Vektor di R3 Jika a adalah sebuah vektor dan a = ( a1 , a2 , a3 ) berupa



æ a1 ö ç ÷ baris, sedang a = ç a2 ÷ berupa ça ÷ è 3ø vektor kolom. atau dalam vektor basis a = a1 i + a2 j + a3 k C. Operasi Vektor (i) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Geometri)



a +b hasil penjumlahan vektor a dan b



(cara jajar genjang)



-b



a maka : b



b



a



-b



hasil pengurangan vektor a dan b



a 2a



a



( dua kali vektor a)



(ii) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Aljabar) 1 Penjumlahan dan Pengurangan . æa ö Jika a = ç 1 ÷ dan è a2 ø æb ö b = ç 1 ÷ maka : è b2 ø



æ a + b1 ö a+b=ç 1 ÷ è a 2 + b2 ø æ a - b1 ö a-b =ç 1 ÷ è a 2 - b2 ø



http://meetabied.wordpress.com



2



æ a1 ö æ b1 ö ç ÷ ç ÷ Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ maka : ça ÷ çb ÷ è 3ø è 3ø



æ a 1 + b1 ö a + b = ç a 2 + b2 ÷ ç ÷ è a 3 + b3 ø æ a 1 - b1 ö a - b = ç a 2 - b2 ÷ ç ÷ è a 3 - b3 ø



1 Perkalian Skalar dengan vektor æ a1 ö ç ÷ Jika a = ç a2 ÷ dan k skalar, maka : ça ÷ è 3ø



æ a1 ö æ ka1 ö ç ÷ ç ÷ ka = k ç a2 ÷ = ç ka2 ÷ ç a ÷ ç ka ÷ è 3ø è 3ø Berlaku pula untuk vektor di R2 1 Perkalian Skalar dua vektor æ a1 ö æ b1 ö ç ÷ ç ÷ Jika a = ç a2 ÷ dan b = ç b2 ÷ , maka : ça ÷ çb ÷ è 3ø è 3ø



a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3



D. Vektor Khusus 1 Vektor Nol (0) Adalah suatu vektor dimana titik awal dan titik ujungnya berimpit. Elemen-elemen vektor semuanya nol. æ0 ö ç ÷ o = ç0 ÷ ç0 ÷ è ø 1 Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan vektor. vektor satuan dari vektor a adalah :



e=



a |a|



1 Vektor Posisi Adalah vektor yang titik pangkalnya adalah O. Penting untuk diingat, bahwa setiap vektor dapat diganti dengan vektor posisi, dengan menggunakan prinsip kesamaan dua vektor. Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A tersebut juga bisa dituliskan sebagai ®



vektor posisi, sebagai OA = a Jika A = ( a1 , a2 , a3 ) dan



B = ( b1 ,b2 ,b3 ) maka vektor posisi dari titik A dan B adalah :



æ b1 - a 1 ö ç ÷ AB = OB - OA = ç b 2 - a 2 ÷ çb - a ÷ 3 ø è 3 ®



®



http://meetabied.wordpress.com



®



3



1 Panjang Vektor c) d) e) f) g)



æa ö Jika a = ç 1 ÷ maka panjang dari è a2 ø vektor a adalah :



| a |=



a 12 + a 22



2.



æ a1 ö Jika a = ç a2 ÷ maka panjang dari vektor ç ÷ è a3 ø a adalah :



| a |= a12 + a22 + a32



3.



a –b c –b a +b +c 2a +3c -3a +2b



æ5ö æ 1ö Diketahui a = ç 2 ÷ dan b = ç 4 ÷ ç4÷ ç0 ÷ è ø è ø Tentukan : a) a +b b) 2a +3b Pada gambar di bawah, M adalah titik tengah PQ. Nyatakan vektorvektor berikut ini dengan a ,b ,dan R



b S a



Jika a dan b dua buah vektor maka :



| a + b |2 = 2 | a |2 +2 | b |2 - | a - b |2



c



.



P



M



d) SM



a) PR ®



®



b) QP



e) RM ®



®



f) QS



c) PM



Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1.



Diberikan vektor-vektor sebagai berikut : a



b



Gambarkan : a) a +b b) a +c



Q ®



®



4) Diketahui balok ABCD.EFGH diperlihatkan pada gambar di bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis ®



®



®



berarah AB , AD , dan AE berturut turut mewakili vektor p , q dan r



c



H



G F



E D r A



q



C p



http://meetabied.wordpress.com



B



4



Tentukan : a) Panjang vektor-vektor p ,



q dan r b) | p + q | c)



| p+r |



Tentukan : a) a . b b) a . c c) b . c d) (3a)( 2b) e) (-2a).(3c)



d) | q + r | e) 5.



| p+q+r |



Diketahui vektor-vektor : a = 2i + 3 j - 4 k dan



b = i - 5 j - 2k . Tentukan a) a +b b) a –b c) 2a +5b d) |a +b| e) |3a -2b| 6.



Diketahui vektor-vektor : a = 2i + 3 j - 4 k dan



b = i - 5 j - 2k . c = 3i - j + 2k Tentukan panjang vektor d = 2a +b –c 7.



Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) Tentukan panjang ruas garis (jarak) AB !



10. Carilah nilai a, b dan c jika : æ 0 ö æ 2 ö æ - 1ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ aç 2 ÷ + bç 1 ÷ + cç 0 ÷ = ç 1÷ ç 1 ÷ ç 0 ÷ ç 1 ÷ ç 1÷ è ø è ø è ø è ø 11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2, 5,1). Tentukan jarak antara titik A dan B ! 12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, -1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi BC, hitunglah panjang garis AD. 13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan | a –b| = Ö19 . Tentukan | a +b| 14. Diketahui | a | = Ö7 cm , | b | = 3 dan | a +b| = Ö23 . Tentukan | a -b| 15. Diketahui a = 3i - 2 j ,



b = -i + 4 j dan r = 7 i - 8 j . Jika 8.



Tentukan x dan y dari : æ xö æ 3ö æ 8 ö 2ç ÷ + 4ç ÷ = -3ç ÷ è4ø è yø è - 1ø



9.



Diketahui vektor-vektor : a = 2i + 3 j - 4 k dan



r = k a + mb , tentukan nilai k +m !



b = i - 5 j - 2k . c = 3i - j + 2k



http://meetabied.wordpress.com



5



B



A. Perbandingan Bagian (1) Titik P membagi Ruas garis AB a) Jika P di dalam garis AB ®



®



AP dan PB memunyai arah yang sama dan n dan m mempunyai tanda yang sama.



n



b



m



p O



a



A



Rumus :



p=



n



mb + na m+n



m A



B



P



(3) Tiga titik Segaris (kolinier)



Rumus :



Jika terdapat titik A, B dan C maka ketiga titik tersebut akan segaris, jika :



AP : PB = m : n AP : AB = m :(m +n) a) Jika P di luar garis AB ®



®



®



AP dan PB memunyai arah yang berlawanan dan n dan m mempunyai tanda yang berlawanan. m



A



P



B



®



AB = k AC Dengan k konstan (riel) (4) Dua vektor segaris (kolinier) Jika a adalah vektor posisi titik A dan b vektor posisi titik B, maka a dan b akan segaris jika memenuhi :



n



Rumus : AP : PB = m :- n AP : AB = m :(m -n)



a = kb Dengan k konstan.



(2) Pembagian dalam vektor Jika p menyatakan vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n



http://meetabied.wordpress.com



6



B. Sudut antara dua vektor C. Proyeksi Orthogonal vektor



a



b



q



c



a



Vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b adalah :



Maka berlaku : 1. a .b =| a | . | b | cos q 2. cos q =



b



c=



a.b | a | .| b |



a.b .b | b |2



Panjang proyeksi dari vektor a pada vektor b adalah :



3. a( a + b ) =| a |2 + | a | . | b | cos q 4. a( a - b ) =| a |2 - | a | . | b | cos q



| c |=



5. | a + b |2 =| a |2 + | b |2 +2 | a || b | cosq



a.b |b|



6. | a - b |2 =| a |2 + | b |2 -2 | a || b | cosq



Perhatikan gambar diatas, jika: (i) a dan b membentuk sudut 900, artinya vektor a dan b tegak lurus , maka : a .b = 0 (ii)



Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1.



Vektor posisi titik A dan B masingmasing dinyatakan dengan a dan b Nyatakan vektor posisi titik P dengan a dan b Jika : a) titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 2 b) titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 2



2.



Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,11,18). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 5 : 2



a dan b membentuk sudut 1800, artinya vektor a dan b berlawanan , maka : a .b = -|a|.|b|



(iii)



a dan b membentuk sudut 00, artinya vektor a dan b sejajar atau berimpit , maka : a .b = |a|.|b|



http://meetabied.wordpress.com



7



3.



Diketahui titik A(2, 1, -1) dan B(7,3,8). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB diluar dengan perbandingan 3 : 2



4.



R adalah titik pada garis PQ. Tentukan koordinat R jika : a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PR : RQ = 3 : -2 b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PR : RQ = 4 : -2



5.



æ 2 ö ç ÷ Diketahui vektor a = ç 1 ÷ dan ç - 3÷ è ø æ - 1ö ç ÷ b = ç 3 ÷ . Tentukan besar sudut ç - 2÷ è ø yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.



6.



æ 3 ö ç ÷ Diketahui vektor a = ç 3 ÷ dan ç - 3÷ è ø æ 2ö ç ÷ b = ç 1 ÷ . Tentukan sinus sudut ç 3÷ è ø yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.



8.



9.



Diketahui segitiga ABC dengan A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4). Dengan menggunakan rumus sudut antara dua vektor, tentukan besar setiap sudut dalam segitiga itu.



æ 2ö Diketahui vektor a = ç ÷ dan è 1ø æ 3ö b = ç ÷ . Tentukan : è4ø a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada



æ 2 ö 10. Diketahui vektor a = ç - 6 ÷ dan ç- 3÷ è ø æ 2 ö b = ç 1 ÷ . Tentukan : ç - 2÷ è ø a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada 11. Diketahui segitiga ABC dengan A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1) Tentukan : ®



a) Panjang proyeksi vektor AB pada ®



7.



æ 1 ö ç ÷ Diketahui vektor a = ç - 2 ÷ dan ç 2 ÷ è ø æ- 4ö ç ÷ b = ç - 2 ÷ . Tentukan kosinus sudut ç 4 ÷ è ø yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.



vaektor AC ®



b) Panjang proyeksi vektor CA pada ®



vaektor CB 12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan C segaris.



http://meetabied.wordpress.com



8



13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai x dan y agar kedua vektor segaris.



3.



PREDIKSI UAN 2006 Diketahui Z adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B( 4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka panjang vektor posisi Z adalah... A. Å7 B. Å15 C. Å11 D. Å14 E. Å17



4.



PREDIKSI UAN 2006 Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 ,,0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga : AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik P, maka p A. (1 ,3 ,5) B. (3 ,5, 4) C. (8 ,-5 ,4) D. (4 ,-3 ,-4) E. (8 ,5, -4)



5.



PREDIKSI UAN 2006 Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) dan R(2 ,5, a) terletak pada satu garis lurus, maka a adalah.... A. 0 B. ½ C. 1 D. 2 E. 2 ½



6.



PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan | + b | = 6, maka |a – b| = .... A. 3Å2 B. 4Å2 C. 2Å3 D. 3Å2 E. 4Å2



14. Diketahui u = 2i - 3 j + 4 k dan



v = -i + j + 2k . Tentukan tangens sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. 15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor u p dan v sebesar . Tentukan nilai : 3 a) u(u +v) b) u(u -v)



Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1.



PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j dan c = 3a -4b , maka | c | = ..... A. Å7 B. Å5 C. Å14 D. Å10 E. Å15



2.



PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, maka k +m =.... A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 E. -2



http://meetabied.wordpress.com



9



7.



8.



PREDIKSI UAN 2006 æ 3 ö æ 1ö Jika a = ç ÷ , b = ç ÷ dan 2 è ø è0 ø æ- 5ö c = ç ÷ . Maka panjang vektor d è 4 ø = a + b –c adalah.... A. Å5 B. 2Å13 C. 17 D. 3Å13 E. 2Å41 PREDIKSI UAN 2006 Panjang vektor a , b dan (a +b) berturut –turut adalah 12 , 8 dan 4Å7. Besar sudut antara a dan b adalah.... A. 45o B. 60o C. 90o D. 120o E. 150o



PREDIKSI UAN 2006 Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), maka (2a).(3b) = .... A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70 10. PREDIKSI UAN 2006 Jika vektor a dan b membentuk sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka a (a – b) = .... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10



11. PREDIKSI UAN 2006 Besar sudut antara vektor a = 2i +3k dan b = i +3j -2k adalah... A. B. C.



1 o 6 1 o 4 1 o 3



1 o 2 2 E. o 3 D.



12. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2 ,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ = a dan



QR = b , maka a . b =.. A. -6 B. -8 C. -10 D. -12 E. -14



9.



13. PREDIKSI UAN 2006 Vektor-vektor p = 2i +aj +k dan q = 4i -2j -2k saling tegak lurus untuk a sama dengan... A. 3 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 6 14. PREDIKSI UAN 2006 Vektor z = adalah proyeksi vektor = (-Å3, 3 ,1) pada vektor y = (Å3 , 2 , 3). Panjang vektor z adalah... A. 1/2 B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 5/2



http://meetabied.wordpress.com



10



15. PREDIKSI UAN 2006 æ 3 ö æ2ö ç ÷ ç ÷ Diketahui a = ç - 2 ÷ dan b = ç y ÷ . ç 1 ÷ ç2÷ è ø è ø Bila panjang proyeksi a pada b 1 sama dengan panjang vektor b, 2 maka nilai y adalah... A. 2 -2Å3 atau 2 +2Å3 B. 1 -Å3 atau -1 +Å3 C. -2 -2Å3 atau -2 +2Å3 D. -4(1 -Å3) atau 4(1 -Å3) E. 4Å3 atau -4 16. PREDIKSI UAN 2006 Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 ,1) adalah.... 1 A. (2 ,5 ,1) 2 1 B. (2 ,5 ,1) 3 1 C. Å30(2 ,5 ,1) 3 1 D. (2 ,5, 1) 30 1 E. (2 ,5 ,1) 4 17. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan 3 tgÉ(a ,b) = , maka a (a +b) = .... 4 A. 51 B. 52 C. 61 D. 108 E. 117 18. PREDIKSI UAN 2006



Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1) dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x +y ) = ... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3



19. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6 ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor



PQ tegak lurus pada QR , haruslah nilai a –c = .... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 5 20. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui panjang proyeksi æ 3 ö æ 1 ö ç ÷ ç ÷ a = ç 2 ÷ pada b = ç p ÷ adalah ç- 3 ÷ ç 3÷ è ø è ø 1. Nilai p = ... A. 4 B. 2 1 C. 2 1 D. 4 1 E. 2



21. PREDIKSI UAN 2006



http://meetabied.wordpress.com



11



Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j +5k , maka proyeksi orthogonal a pada b adalah... A. -14i +2j +10k 4 2 10 B. - i + j + k 3 3 3 4 2 10 C. i- jk 3 3 3 D. 4i -2j -10k E. 6i -3j -15k 22. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan b = -i +2j -2k, proyeksi vektor orthogonal a dan b adalah c. Vektor c adalah... A. -i -2j -2k B. -i -2j +2k C. -i +2j -2k D. i +2j -2k E. i +2j +2k



æ 1 ö ç ÷ D. ç 4 ÷ ç - 3÷ è ø æ 17 ö ç- ÷ ç 8 ÷ 7 E. ç - ÷ ç 8 ÷ ç 24 ÷ ç ÷ è 8 ø 24. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4, 1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut antara AB dan AC adalah.... 1 A. 6 1 1 B. Å2 D. Å2 3 6 1 1 C. E. Å2 3 2



23. PREDIKSI UAN 2006 Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah.... æ -1 ö ç ÷ A. ç - 10 ÷ ç 15 ÷ è ø



æ 17 ö ç- ÷ ç 2 ÷ 7 B. ç - ÷ ç 2 ÷ ç 23 ÷ ç ÷ è 2 ø æ - 1ö ç ÷ C. ç - 2 ÷ ç 3 ÷ è ø



http://meetabied.wordpress.com



12



Materi -1 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-1dituntaskan dengan tugas individu) Materi -2 : 2 kali pertemuan (4 jam pelajaran,selesai dengan aplikasi-2 dituntaskan dengan tugas individu) Aplikasi-3 : 1 kali pertemuan (2 jam pelajaran, dituntaskan dengan tugas individu) Evaluasi-1 : 1 kali pertemuan (2 jam pelajaran, soal terdiri dari 15 pilihan ganda dan 3 soal essay. 2 versi dengan bobot sama)



------------------------------------------------Total : 1,5 minggu (12 jam pelajaran) -----------------------------------------------http://meetabied.wordpress.com



13