Rumus Euler [PDF]

Citation preview

Rumus Euler Ingat kembali Deret Maclaurin ∞



f ( x )=∑ an ¿ ¿ dengan a n= n =0



f ( n) (x 0) n!



Menyebabkan f ( x )=e x =1+ x+



x2 x3 + +… 2! 3!



Misalkan x=ix , i x2 i x3 e =1+ ix+ + +… 2! 3 ! ix



x2 x4 x6 x 3 x5 x 7 e = 1− + − … + i x− + − … 2! 4! 6! 3 ! 5 ! 7! ix



(



) (



)



e i x =cosx+ isin x e i θ=cosθ +i sinθ Secara umum rumus Euler dapat didefinisikan e z =e x+ iy=e x ( cosy +i siny ) Sehingga bilangan kompleks z dapat ditulis dalam bentuk z=r ( cosθ +i sinθ )=ℜiθ Contoh : e iθ + e−iθ Buktikan bahwa cosθ= 2 Jawab : cosθ= 



e iθ + e−iθ 2



Pembuktian dari ruas kanan,



e iθ =cosθ +i sinθ Jadi, eiθ +e−iθ ( cosθ+i sinθ ) +( cosθ−i sinθ) = 2 2 ¿ cos θ (Terbukti) 



Pembuktian dari ruas kiri,



cosθ=



e iθ + e−iθ 2



e iθ =cosθ +i sinθ e−iθ =cosθ−i sinθ e iθ + e−iθ =2 cosθ cos θ=



eiθ +e−iθ (Terbukti) 2