Sejarah DV [PDF]

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN



A. LATAR BELAKANG Matematika adalah disiplin ilmu yang berdiri sendiri dalam mempelajari hal yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran. Matematika terbentuk dari penelitian bilangan dan ruang yang merupakan suatu disiplin ilmu yang berdiri sendiri dan tidak merupakan cabang dari ilmu pengetahuan alam. Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika:struktur, ruang, dan perubahan. Perkembangan matematika ini sangat berkaitan pada sejarah matematika itu sendiri. Matematika memiliki sejarah panjang hingga tercipta serangkaian ilmu matematika yang begitu kompleks seperti saat ini. Sejarah mencatat bahwa matematika telah banyak digunakan oleh masyarakat sejak zaman dahulu, meskipun dalam bentuknya yang paling sederhana seperti membilang atau mengukur. Perkembangan matematika hingga sekarang ini tidak terlepas dari hasil penemuan para ahli matematika pada abad-abad sebelumnya. Salah satu tokoh penemu matematika yaitu Bernhard Riemann. Bernhard Riemann seorang matematikawan Jerman yang lahir di Breselenz, Jerman pada



tanggal 17 September 1826 dan meninggal pada 20 Juli 1866



pada umur 39 tahun. Ia matematikawan yang sangat luar biasa. Di usia mudanya ia memberikan sumbangan yang sangat penting dalam matematika yaitu dalam analisis dan geometri diferensial. Dengan ilmunya ia tidak berhenti di situ saja.



1



Dengan semangatnya Ia melakukan pengembangan lebih lanjut pada relativitas umum. Namanya dihubungkan dengan hasil-hasil temuannya diantaranya: fungsi zeta, integral Riemann, lema Riemaan, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemaan, problem Rieman-Hilbert, teorema Riemann-Roch, persamaan CauchyRiemaan dal lain sebagainya. Namun sungguh sangat disayangkan, sebab kebanyakan dari para pemikir matematika pada masa kini tidak mengetahui siapa saja matematikawan yang telah mendedikasikan ide brilliant-nya dalam rangkaian ilmu matematika. Para generasi penerus tidak akan pernah mengerti bagaimana harus belajar dari pengalaman para matematikawan jika mereka tidak mengetahui bagaimana sejarah jatuh bangunnya pakar matematika terdahulu dalam menemukan konsep matematika. Berdasarkan uraian diatas maka penulis ingin membahas mengenai salah satu tokoh penemu matematika yaitu Georg Friedrich Bernhard Riemann dengan judul “ Sejarah penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann ”



B. RUMUSAN MASALAH Rumusan masalah pada makalah ini adalah : 1. Apa saja penemuan-penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann ? 2. Bagaimana sejarah penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann ?



C. TUJUAN Tujuan dari makalah ini adalah : 1. Untuk



mengetahui



penemuan-penemuan



Georg



Friedrich



Bernhard Riemann 2. Untuk mengetahui sejarah penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann



D. MANFAAT Manfaat dari makalah ini adalah : 2



1. Bagi pembeca Untuk menamba pengetahuan tentang sejarah penemuanpenemuan ilmu matematika, salah satunya yaitu sejarah penemuan Georg Friedrich Bernhard Riemann 2. Bagi penulis



3



BAB II PEMBAHASAN



A Biografi G. F. Bernhard Riemann



Georg Friedrich Bernhard Riemann (September 17, 1826 - 20 Juli 1866) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang membuat kontribusi yang tidak ada habisnya untuk analisis, teori bilangan, dan geometri diferensial, beberapa dari mereka memungkinkan perkembangan selanjutnya dari relativitas umum. Riemann lahir di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover yang saat ini adalah Republik Federal . Ayahnya, Friedrich Bernhard Riemann, adalah seorang pastor Lutheran miskin di Breselenz yang berjuang dalam Perang Napoleon. Ibunya, Charlotte Ebell, meninggal sebelum anak-anaknya telah mencapai usia dewasa. Riemann adalah anak kedua dari enam anak, pemalu dan menderita berbagai kerusakan saraf. Riemann dianugrahi kemampuan matematika yang luar



4



biasa, seperti kemampuan kalkulasi, dari usia dini tetapi menderita timidity dan ketakutan untuk berbicara di depan umum. 1. Pendidikan Pada tahun 1840, Riemann pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan menghadiri bacaan (sekolah menengah). Setelah kematian neneknya pada tahun 1842, ia menghadiri sekolah tinggi di Johanneum Luneburg. Di sekolah menengah, Riemann mempelajari Alkitab secara intensif, namun ia sering terganggu oleh matematika. Gurunya kagum dengan kemampua yang begitu mahir untuk melakukan operasi matematika yang rumit, di mana ia sering melampaui pengetahuan instrukturnya. Pada tahun 1846, pada usia 19 tahun, ia mulai belajar filologi dan teologi untuk menjadi



seorang



pendeta



dan



membantu



keuangan



keluaarganya.



Selama musim semi tahun 1846, ayahnya, setelah mengumpulkan cukup uang, mengirim Riemann ke universitas terkenal yaitu Universitas Göttingen, di mana ia berencana untuk belajar menuju gelar dalam ilmu Teologi. Namun, di sana, ia mulai belajar matematika di bawah Carl Friedrich Gauss (khusus ceramah pada metode kuadrat terkecil). Gauss merekomendasikan bahwa Riemann menyerah mempelajari teologis dan memasuki bidang matematika,. Setelah mendapatkan persetujuan orang tuanya, Riemann dipindahkan ke Universitas Berlin pada tahun 1847. Selama waktunya belajar, Jacobi, Dirichlet Lejeune, Steiner, dan Eisenstein adalah mengajar. Dia tinggal di Berlin selama dua tahun dan kembali ke Gottingen pada 1849. 2.



Academia Riemann



menyelenggarakan



ceramah



pertamanya



pada



1854,



yang



mendirikan bidang geometri Riemann dan dengan demikian mengatur panggung untuk teori umum relativitas Einstein. Pada tahun 1857, ada upaya untuk mempromosikan status Riemann sebagai dosen luar biasa di Universitas Gottingen. Meskipun upaya ini gagal, hal itu mengakibatkan Riemann akhirnya hanya diberikan gaji biasa. Pada tahun 1859, setelah kematian Lejeune Dirichlet, ia dipromosikan



5



menjadi kepala departemen matematika di Gottingen. Dia juga orang pertama yang menyarankan untuk menggunakan dimensi yang lebih tinggi dari sekadar tiga atau empat dalam rangka untuk menggambarkan realitas fisik ide yang akhirnya dibenarkan dengan kontribusi Einstein pada awal abad ke-20. Pada 1862 ia menikah Elise Koch dan memiliki seorang putri.



3.



PerangAustro-Prusia Riemann melarikan diri Gottingen saat tentara Hanover dan Prusia bentrok di



san pada tahun 1866. Ia meninggal karena TBC selama perjalanan ketiga ke Italia di Selasca (sekarang dusun Verbania di Lake Maggiore) di mana ia dimakamkan di pemakaman di Biganzolo ( Verbania). Sementara itu, di Gottingen pengurus rumah tangganya merapikan beberapa makalah di kantornya, termasuk banyak pekerjaan yang belum dipublikasikan. Riemann menolak untuk mempublikasikan karya lengkap dan beberapa wawasan yang mendalam mungkin telah hilang selamanya.



4.



Pengaruh Riemann diterbitkan membuka daerah penelitian menggabungkan analisis



dengan geometri. Ini kemudian akan menjadi bagian utama dari teori geometri Riemann, geometri aljabar, dan teori berjenis kompleks. Teori Riemann permukaan dielaborasi oleh Felix Klein dan khususnya Adolf Hurwitz. Daerah ini merupakan bagian dari matematika dasar topologi, dan masih diterapkan dengan cara baru untuk matematika fisika. Riemann membuat kontribusi besar untuk analisis riil. Ia mendefinisikan integral Riemann dengan cara Riemann jumlah, mengembangkan teori trigonometri seri yang tidak Fourier seri-langkah pertama dalam fungsi umum teori-dan mempelajari Riemann-Liouville differintegral. Dia membuat beberapa kontribusi terkenal hingga modern teori bilangan analitik. Dalam sebuah makalah singkat tunggal (satu-satunya ia diterbitkan pada subjek nomor teori), ia mengkaji fungsi Riemann zeta dan mendirikan pentingnya 6



untuk memahami distribusi bilangan prima. Dia membuat serangkaian dugaan tentang sifat-sifat dari fungsi zeta, salah satunya adalah terkenal



5. Riemann hipotesa Ia menerapkan prinsip Dirichlet dari kalkulus variasional untuk efek yang besar, ini kemudian terlihat menjadi heuristik kuat daripada metode yang ketat. Pembenaran mengambil setidaknya satu generasi. Karyanya pada monodromy dan fungsi hipergeometrik di kompleks domain membuat kesan yang besar, dan mendirikan cara dasar bekerja dengan fungsi dengan pertimbangan hanya singularitas mereka. Riemann adalah inspirasi bagi matematikawan Charles Lutwidge Dodgson (lebih dikenal dengan nama pena Lewis Carroll) untuk menulis Adventures Alice in Wonderland dan Melalui Melihat-Glass. Pada tahun 1853 Gauss meminta muridnya Riemann untuk menyiapkan Habilitationsschrift pada dasar geometri. Selama berbulan-bulan, Riemann



mengembangkan teorinya tentang dimensi yang lebih



tinggi dan menyampaikan kuliah di Göttingen pada 1854 berjudul Über die Hypothesen Welche der Geometrie zu Grunde Liegen ("Pada hipotesis yang mendasari geometri"). Ketika akhirnya diterbitkan pada tahun 1868, dua tahun setelah kematiannya, masyarakat matematika menerimanya dengan antusias dan sekarang diakui sebagai salah satu karya yang paling penting dalam geometri. Subyek didirikan oleh pekerjaan ini adalah geometri Riemann. Riemann menemukan cara yang benar untuk memperpanjang ke n dimensi diferensial geometri permukaan, yang Gauss sendiri terbukti di egregium teorema nya. Obyek mendasar disebut tensor kelengkungan Riemann. Untuk kasus permukaan, hal ini dapat dikurangi ke nomor (skalar), positif, negatif atau nol, kasus non-nol dan konstan menjadi model yang dikenal geometri non-Euclidean. Ide Riemann adalah untuk memperkenalkan koleksi angka di setiap titik dalam ruang (yaitu, tensor) yang akan menjelaskan berapa banyak itu bengkok atau melengkung.



7



Riemann menemukan bahwa dalam empat dimensi spasial, salah satu kebutuhan koleksi sepuluh angka pada setiap titik untuk menggambarkan sifat manifold, tidak peduli seberapa terdistorsi itu. Ini adalah konstruksi terkenal pusat geometri,



B



yang



dikenal



sekarang



sebagai



metrik



Riemannian.



Kontribusi G. F. Bernhard Riemann Dalam Bidang Matematika



1. Teori Geometri Riemann Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Geometri Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid dengan mengasumsikan prinsip-prinsip berikut ini: Postulat kesejajaran Reimann: Tidak ada garis yang sejajar. Sedangkan Postulat Kesejajaran Euclid mengatakan bahwa Dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar.



l



Diketahui: dua garis yang berbeda l, m yang tegak lurus dengan n (gambar (a). Akan dibuktikan l sejajar dengan m Bukti Andaikan l tidak sejajar dengan m maka l akan berpotongan dengan m di titik C (gambar (b)). Misalkan l, m berpotongan dengan n di A, B. Langkah



Alasan



1. Perluas CA melalui panjangnya sendiri



1. Segmen dapat digandakan



Melalui A ke C’ 2. Gambar C’B



2. Dua titik menentukan suatu garis



3. ΔABC kongruen dengan ΔABC’



3. Sis sudut sisi 8



4.  ABC =  ABC’



4. Bagian yang sehadap



Jadi  ABC’ merupakan sudut siku-siku Karena  ABC merupakan sudut sikusiku BC dan BC’ tegak lurus AB. 5. BC dan BC’ serupa



5. Hanya ada satu garis yang tegak lurus



dengan



garis



yang



diketahui pada titik pada garis yang diketahui pula. Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. 6. Jadi l dan m serupa



6. Dua titik menentukan garis



Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda. Jadi pengandaian kita salah dan teorema berlaku.



Analisis pembuktian Riemann  Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa “l dan m serupa” karena garis tersebut memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama. Langkah ini akan gagal jika C dan C’ tidak berbeda  Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis “memisahkan bidang menjadi dua sisi yang berhadapan (Separation Principle)  Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam Langkah 1 pembuktian di atas (untuk memperluas CA melalui panjangnya C’) menjamin bahwa C dan C’ berada pada sisi sehadap dari n dan merupakan titik yang berbeda.  Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C’ tidak memiliki justifikasi formal dan bukti tersebut akan gagal. Menurut Riemann  Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C dan C’ haruslah merupakan titik yang berbeda,  Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “ dua titik menentukan suatu garis”, artinya memperbolehkan dua garis untuk berpotongan dalam dua titik. Kesimpulan 9



Ada dua teori geometris yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann. Pertama, teori geometri eliptik tunggal, Sebarang dua garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut, dua titik yang dimetral dianggap sebagai 1 titik. Kedua, teori geometri eliptik rangkap dua, Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik dan setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang. REPRESENTASI BOLA PEJAL EUCLID Untuk memudahkan pemahaman, maka geometri eliptik ini direpresentasikan dalam bentuk bola pejal euclid. Geometri Eliptik rangkap dua (double elliptic) dalam bentuk bola/bumi dan geometri eliptik tunggal (single elliptic) dalam bentuk setengah bola. Perhatikan representasi berikut ini : a. Double Elliptic



U A 1



B



1



O B



A



S garis memisahkan bidang menjadi 2 Dua garis berpotongan pada titik, setiap



setengah bidang. b. Single Elliptic



A A



BAB III



O



1



A



Dua garis berpotongan pada 1 titik, garis S tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang. Dua titik yang diametral dianggap sebagai satu titik.



10



Geometri Eliptik Ganda



Representasi Euclid



Titik



Titik pada bola pejal



Garis



Lingkaran besar



Bidang



Bola pejal



Segmen



Busur lingkaran



Jarak antara dua titik



panjang busur terbendek dari lingkaran besar yang menghubungkan 2 titik



sudut (yang dibentuk oleh 2 garis)



sudut bole pejal (yang dibentuk oleh dua lingkaran besar.



Ukuran sudut



Ukuran sudut bola pejal.



Perhatikan bahwa postulat kesejajaran Riemann akan terpenuhi dalam representasi ini:  Setiap dua garis (lingaran besar) bertemu, dan kenyataannya tepat pada dua titik.  Selanjutnya postulat pemisahan akan terpenuhi, karena tiap lingkaran besar akan memisahkan bola pejal tersebut menjadi dua belahan.



SIFAT DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK Dapat dipahami bahwa urutan tidak berlaku pada geometri rangkap dua, artinya [ABC] dapat sama dengan [BCA]. Dalam geometri eliptik tetap berlaku, bahwa melalui satu titik pada suatu garis hanya dapat dibuat satu garis yang tegak lurus garis tersebut. Tetapi hal ini tidak berlaku, jika titiknya di luar garis tersebut. Sifat kutub. Misalkan l suatu garis. Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l sedemikian sehingga : a. Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegak lurus pada l. b. K berjarak sama dari setiap titik pada l. Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu kutub sampai dengan garisnya adalah konstan, demikian juga panjang suatu garis. 11



Dalil-dalil dasar yang berlaku untuk geometri eliptik : Dalil 1 Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik Dalil 2 Semua garis tegaklurus pada suatu garis berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis itu. Dalil 3 Dalam sebarang segitiga ABC dengan sudut C = 90o, sudut A kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari 90o tergantung dari segmen BC kurang dari, sama den gan atau lebih besar dari jarak polar q. Dalil 4 Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o. Dalil 5 Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360o. Dalil 6 Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul. Dalil 7 Dalam segiempat Lambert ABCD dengan sudut A=sudut B=sudut C=90o, maka sudut keempat D tumpul. Dalil 8 Tidak ada bujur sangkar dalam geometri eliptik. Dalil 9 Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen.



MODEL DALAM GEOMETRI ELIPTIK Hyperspherical model



12



Model hyperspherical adalah penyamarataan model yang berbentuk bola dalam dimensi-dimensi yang lebih tinggi. Pokok ruang eliptik n dimensional adalah vektor satuan di Rn+1, yang ,rupanya pokok dari bola satuan di ruang n+1 dimensional. Bentuk di dalam model ini adalah jarak terpendek dari permukaan bumi, persimpangan-persimpangan bola dengan permukaan yang datar dimensi n melintas aslinya. Projective model Di dalam model yang bersifat proyeksi, pokok ruang projektif real n dimensional digunakan sebagai poin-poin dari model. Pokok ruang projektif n dimensional dapat dikaitkan dengan bentuk melalui asli di dalam (n+1)-dimensional ruang/spasi, dan didapat secara tidak unik yang diwakili oleh vektor-vektor yang tidak nol di Rn+1, dengan pemahaman, itu u dan λu, untuk setiap skalar yang tidak nol λ,menunjukkan titik yang sama. Jarak dapat digambarkan dengan metrik



Ini adalah homogen pada setiap variabel, dengan d(λ u , μ v) = d(u, v) jika λ dan μbersifat skalar-skalar tidak nol, dengan demikian itu menggambarkan suatu jarak di pokok dari ruang projektif Suatu properti yang terkemuka dari model yang bersifat proyeksi adalah bahwa untuk dimensi-dimensi, seperti pesawat, ilmu ukur itu adalah bisa tidak dunia Timur, menghapus pembedaan antara arah jam dan berlawanan arah jarum jam perputaran dengan mengidentifikasi mereka Stereographic model Suatu perwakilan model ruang/spasi yang sama seperti model hyperspherical dapat diperoleh atas pertolongan projeksi stereografik. izinkan En menunjukkan Rn ∪ {∞},yang ,ruang(spasi n riil dimensional yang diperluas oleh suatu titik di takhingga. Kita boleh menggambarkan suatu yang metrik, chordal metrik, di En oleh



13



di mana u dan v adalah setiap dua vektor di Rn dan ||*||adalah Norma Euclides yang umum. Kita juga menggambarkan



Hasil suatu ruang metrik di En, yang menunjukkan jarak sepanjang suatu tali dari poin-poin yang sesuai di model hyperspherical, itu petakan secara bijektif kepada oleh projeksi stereografik. Untuk memperoleh suatu model dari geometri eliptik, kita menggambarkan yang lain metrik



Hasil itu adalah suatu model dari geometri eliptik. PERBANDINGAN DENGAN GEOMETRI YANG LAIN Euclid



Lobachevski



Riemann



(hiperbolik)



(eliptik)



Dua garis yang Paling banyak Paling banyak Satu berbeda saling satu



satu



tunggal)



berpotongan



Dua



pada



ganda)



Garis L yang Satu



(eliptik Titik



dan Setidaknya dua



(eliptik Titik



Tidak ada garis Yang melali P



diketahui dan P hanya satu



yang



sejajar



tidal pada L,a



dengan L



akan ada Suatu garis



akan



akan



Tidak akan



Terpisah menjadi



14



dua



oleh suatu titik Garis sejajar



Dimana-mana



Dimana-mana



berjarak sama



berjarak



tidak



tidak



sama Jika suatu garis haruslah



Kemungkinan



berpotongan



atau



dengan



mungkin



satu



-



tidak



Akan memotong garis tersebut



dari dua garis yang sejajar,maka garis tersebut Hipotesis



Hipotesis



Saccheri yang sudut valid adalah



Hipotesis sudut Hipotesis sudut siku- lancip



siku



Dua garis yang Akan sejajar berbeda



akan



tegak



lurus



dengan



garis



yang



sama



tumpul



Akan sejajar



Akan berpotongan



maka Jumlah



sudut Akan



sama Akan



kurang Akan lebih dari 1800



suatu segitiga



dengan



dari



Luas segitiga



Akan bebas



Sebanding



Sebanding



Jumlah



dengan



dengan



sudutnya



kekurangan



kelebihan



kongruen



kongruen



Dua



segitiga Sama besar



yang mempunya



15



sudut sehadap sama



besar



akan



2. Integral Reiman Sewaktu di Sekolah Dasar, kita diajari oleh guru kita bahwa luas lingkaran adalah L = πr2 dengan r adalah jari-jari lingkaran tersebut dan π adalah suatu tetapan yang apabila dibulatkan sampai dua tempat desimal bernilai 3,14. Luas tersebut merupakan luas suatu bidang datar yang dibatasi oleh suatu lengkungan. Sekarang, bagaimana caranya menghitung bidang datar lain yang dibatasi lengkungan juga. Perhatikan contoh berikut. Diketahui suatu kurva dengan persamaan y = 4 – x2. Berapakah luas daerah yang terletak di bawah kurva tersebut, di atas sumbu x, dan dibatasi sumbu y dan garis x = 4? Luas daerah yang dimaksud adalah area berwarna biru pada Gambar 1 di bawah ini.



Gambar 1 Salah satu pendekatan yang mungkin dibuat adalah dengan membuat sayatan-sayatan persegi panjang di dalam bidang yang akan dihitung luasnya, digambarkan sebagai berikut.



16



Misalkan bidang berwarna biru tadi digambarkan di selembar kertas. Kemudian, dengan menggunakan kertas berwarna merah, kita buat 4 buah persegi panjang yang lebarnya masing-masing adalah 0,4 satuan dan tinggi setiap persegi panjang tersebut dibuat sedemikian hingga sudut kanan atas persegi panjang terletak pada kurva y = 4 – x2 seperti pada Gambar 2 di atas. Panjang masing-masing persegi panjang tersebut dapat dihitung dan disajikan pada tabel berikut. Tabel 1 x



Y=4- x 2



Lebar



Luas



0,4



3,84



0,4



1,536



0,8



3,36



0,4



1,344



1,2



2,56



0,4



1,024



1,6



1,44



0,4



0,576



2,0



0,00



0,4



0,000*)



Jumlah 4,480 *) tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi. Tabel 1 menyajikan panjang, lebar, dan luas masing-masing persegi panjang. Apabila keempat persegi panjang itu kita tempatkan/pasangkan/tempelkan di daerah biru seperti pada Gambar 2, maka akan terlihat bahwa keempat persegi panjang merah menyisakan daerah biru yang tidak tertutupi. Ini menandakan bahwa sebenarnya luas total semua persegi panjang, yaitu 4,480 (lihat Tabel 1), sebenarnya kurang dari luas daerah biru, yaitu luas yang dipersoalkan. Bagaimana caranya agar, dengan metode serupa ini, semakin sedikit daerah biru yang tidak tertutupi? Ini dapat dilakukan dengan membuat irisan persegi panjang



17



yang lebih tipis-tipis lagi. Sekarang kita buat 9 buah persegi panjang kuning yang lebarnya masing-masing adalah 0,2 satuan. Panjangnya masing-masing dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 x



Y=4- x 2



Lebar



Luas



0,2



3,96



0,2



0,792



0,4



3,84



0,2



0,768



0,6



364



0,2



0,728



0,8



3,36



0,2



0,672



1,0



3,00



0,2



0,600



1,2



2,56



0,2



0,512



1,4



2,04



0,2



0,408



1,6



1,44



0,2



0,288



1,8



0,76



0,2



0,152



2,0



0,00



0,2



0,000*)



Jumlah 4,920 *) tidak menghasilkan suatu persegi panjang, namun ditampilkan dalam hubungannya dengan pembahasan selanjutnya mengenai partisi. Kesembilan persegi panjang kuning tersebut kemudian dipasangkan/ditempelkan pada daerah berwarna biru dengan cara seperti yang dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.



18



Tampak bahwa dengan sembilan persegi panjang kuning ini, semakin sedikit daerah biru yang tersisa. Ini menandakan total luas daerah kuning, yaitu 4,920 (lihat Tabel 2), semakin mendekati lagi luas daerah yang ditanyakan. Untuk mempersedikit lagi sisa daerah berwarna biru, tentunya kita dapat melakukan proses serupa, yaitu dengan memperkecil lebar persegi panjang (membuat irisanirisan yang lebih tipis) atau dengan memperbanyak persegi panjang. Apabila n semakin besar (irisan persegi panjang semakin tipis), total luas semua persegi panjang tersebut adalah:



Nilai L inilah yang merupakan luas daerah yang ditanyakan.Pada pembahasan di atas, Sn merupakan suatu jumlah Riemann (Riemann sum) Definisi jumlah Riemann Nilai dari ∑i=1nf(xi)Δxi disebut sebagai Jumlah Riemann fungsi f(x) dengan xi adalah titik wakil pada interval ke-i dan Δxi lebar interval ke-i dan n banyak subinterval (banyaknya persegi panjang yang terbentuk) dari interval [a,b] . Titik wakil (xi) kita peroleh dengan tiga cara yaitu titik ujung kiri subinterval, titik tengah subinterval, dan titik ujung kanan subinterval, dimana setiap jenis titik wakil memberikan hasil yang berbeda. Contoh ; 1. Tentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diperlihatkan oleh gambar berikut



19



Penyelesaian : Menentukan luas persegi panjang masing-masing Persegi panjang 1 : panjang = 0,7 , titik wakil x1 = 0,5 Sehingga lebar = f(x1) = f(o,5) = (0,5)2 – 4(0,5) + 3 =1,25 Luas L1=pxl=0,7 x 1,25 = 0,875 Persegi panjang 2 : panjang = 1,7 – 0,7 =1, titik wakil x2 = 1,5 Sehingga lebar = f (x2 ) = f(1,5) = (1,5)2 – 4(1,5)+ 3 = -0,75=0,75 Luas L2= p x l = 1 x 0,75 = 0,75 Dengan cara yang sama di dapat luas L3=1 dan luas L4=1,625 Menentukan jumlah riemann nya : Jumlah riemann = L1 +L2+L3+L4 = 0,875 + 0,75 + 1 + 1,625 = 4,25 Jadi jumlah reiman pada gambar adalah 4,25



Definisi Integral Riemann Diberikan interval tertutup [a,b], fungsi bernilai real 𝑓: [𝑎, 𝑏] → R dikatakan terintegral Riemann jika tredapat bilangan L 𝜖 R sehingga untuk setiap bilangan real 𝜀 > 0 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿 > 0 sedemikian sehingga untuk setiap Tag Partisi pada [a,b] dengan ‖𝑃‖ < 𝛿, maka |𝑆(𝑓; 𝑃) − 𝐿| < 𝜀 Himpunan dari semua fungsi yang terintegral Riemann pada [a,b] dinotasikan dengan R[a,b] dan ditulis 𝑏



𝐿 = 𝑅 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎



Defenisi integral Riemann di atas dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan lim 𝑆(𝑓; 𝑃) = 𝐴



‖𝑃‖→0



20



Teorema 1 Jika 𝑓 𝜖 𝑅[𝑎, 𝑏] maka nilai integralnya adalah tunggal. Bukti : Misalkan L1 dan L2 keduanya merupakan nilai integral Riemann fungsi f , maka cukup dibuktikan L1=L2. Diketahui 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Misalkan bilangan 𝜀 > 0, L1 adalah nilai integral f pada [a,b], maka terdapat bilangan 𝛿𝜀′ > 0 sehingga untuk 2



′



setiap partisi P1 pada [a,b] dengan sifat ‖𝑃1 ‖ < 𝛿𝜀 berlaku 2



|𝑆(𝑓; 𝑃1 ) − 𝐿1 |
2



′′



0 sehingga untuk setiap partisi P2 pada [a,b] dengan sifat ‖𝑃2 ‖ < 𝛿𝜀 berlaku 2



|𝑆(𝑓; 𝑃2 ) − 𝐿2 | < Dipilih



𝜀 2



𝛿𝜀 : = 𝑚𝑖𝑛 {𝛿𝜀′ , 𝛿𝜀′′ } > 0, akibatnya P merupakan Tag Partisi pada [a,b] 2



2



dengan sifat ‖𝑃‖ < 𝛿𝜀 berlaku ‖𝑃1 ‖ < 𝛿𝜀′ dan ‖𝑃2 ‖ < 𝛿𝜀′′ . Sehingga 2



|𝑆(𝑓; 𝑃1 ) − 𝐿1 |