Silabus Analisis Riil 1 [PDF]

Citation preview

Satuan Acara Perkuliahan Analisis Real I Kode / Nama Mata Kuliah



:



Analisis Real I



Satuan Kredit Semester



:



3 SKS



Jumlah jam kuliah dalam seminggu



:



120 menit



Dosen



: Rustam, S.Si., M.Si



Deskripsi mata kuliah



: Mata kuliah ini mempelajari pendekatan deduktif konsep fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan sifat-sifatnya, limit dan kekontinuan serta teori-teori fungsi yang dikembangkan melalui konsep limit.



Standar kompetensi



: Mahasiswa memahami aturan-aturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi.



Perte muan ke1.



2.



Kompetensi Dasar Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya.



Indikator 1. Menyebutkan aksioma bilangan real 2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari aksioma 3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real. 4. Mehami sifat urutan pada bilangan real 5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat 6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri 7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy. 8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak



Pokok Bahasan/Materi



Aksioma bilangan real dan beberapa aturan dasar



Beberapa ketidaksamaan penting dan nilai mutlak



Aktivitas Pembelajaran



Rujukan



Menjelaskan tentang tata cara menyusun sistem bilangan real dengan sistem aksioma, menjelaskan beberapa teorema dasar yang diturunkan dari aksioma, memperkenalkan definisi operasi pada bilangan real, menjelaskan pengertian bilangan positif, bilangan negatif dan sifatsifatnya.



1,2



Menjelaskan dan menunjukkan bukti dan aplikasi beberapa ketaksamaan, menjelaskan definisi nilai mutlak dan beberapa sifat pokok nilai mutlak.



1,2



1



3.



4.



5



Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional dan bilangan rsional



1. Memahami pengertian himpunan terbatas. 2. Memahami pengertian supremum dan infimum dan sifatnya. 3. Memahami kepadatan bilangan rasional dan bilangan irrasional dengan konstruksi



Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit barisan.



1. Memahami definisi barisan bilangan real. 2. Memahami definisi kekonvergenan barisan dan limitnya. 3. Memahami maksud, bukti dan penggunaan TKD 4. 5. 6.



6.



Memahami hubungan keterbatasan dan kekonvergenan barisan Memahami sifat-aljabar barisan konvergen Memahami teorema kekonvergenan terjepit



7. Mengidentifikasi barisan monoton dan terbatas (BMT). 8. Memahami sifat konvergensi BMT 9. Mendeteksi kekonvergenan barisan dalam bentuk rekursif



Supremum dan Infimum



Barisan bilangan real dan konsep kekonvergenan



Beberapa teorema limit barisan



Barisan monoton dan terbatas



Menjelaskan pengertian batas atas, batas bawah himpunan, himpunan terbatas, supremum dan infimum, menjelaskan karakterisasi supremum, menjelaskan sifat supremum dan eksistensi bilangan irrasional, menjelaskan kepadatan bil rasional dan bil irrasional Menjelaskan barisan sebagai fungsi dengan domain bilangan asli, menjelaskan definisi konstruktif barisan konvergen, menjelaskan teorema kekonvergenan terdominasi, maksud, bukti dan penggunaannya. Menjelaskan sifat terbatas barisan konvergen, menjelaskan sifat gabungan barisan konvergen, menjelaskan teorema kekonvergenan terjepit (TKJ) dan penggunaannya. Menjelaskan definisi barisan monoton dan terbatas, menjelaskan torema kekonver-genan monoton (TKM), menerapkan TKM pada barisan rekursif.



1,2



1,2



1,2



1,2



UJIAN TENGAH SEMESTER



2



7.



Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.



4. Memahami hubungan konvergen dan keterbatasan fungsi 5. Memahami beberapa teorema limit fungsi dan penggunaannya



8.



9.



10



1. Memahami pengertian titik limit, titik terasing suatu himpunan. 2. Memahami pengertian limit fungsi dan ilustrasinya. 3. Memahami kriteria sekuensial limit dan penggunaannya.



Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi kontinu.



1. Memahami pengertian kontinu titik, kontinu pada himpunan. 2. Menggunakan konsep limit pada fungsi kontinu. 3. Menggunakan kriteria diskontinuitas. 4. Mengkonstruksi fungsi kontinu 5. Memahami sifat-sifat aljabar fungsi kontinu. 6. Memahami pengertian fungsi terbatas, dan ekstrim mutlak. 7. Memahami sifat-sifat fungsi yang kontinu pada interval.



Pengertian limit fungsi



Beberapa teorema limit fungsi



Kekontinuan fungsi



Kekontinuan fungsi pada interval



Menjelaskan pengertian titik limit dan titik terasing, menjelaskan pengertian limit fungsi dan interpretasikannya, menjelaskan ketunggalan limit, menjelaskan kriteria sekuensial dan penggunaannya pada kriteria divergen, memberikan beberapa kasus yang berkaitan dengan eksistensi limit. Menjelaskan hubungan kekonvergen fungsi dan keterbatasan lokal, menjelaskan sifat-sifat aljabar limit fungsi, menjelaskan teorema limit fungsi terbatas, dan teorema squeeze. Menjelaskan pengertian fungsi kontinu dan membandingkannya dengan definisi limit, menjelaskan kriteria kontinu melalui limit fungsi, menjelaskan alat untuk mendeteksi fungsi diskontinu, menjelaskan beberapa sifat alajabar fungsi kontinu Menjelaskan pengertian fungsi terbatas vs takterbatas, maksimum dan minimum mutlak, menjelaskan sifatsifat fungsi kontinu pada interval tertutup dikaitkan dengan sifat keterbatasan dan adanya ekstrim mutlak.



1,2



1,2



1,2



1,2



3



11.



Memahami konsep derivatif dan sifatsifatnya serta dapat menerapkan-nya untuk menyelesaiakan masalah yang memuat derivatif



12



1. Memahami pengertian derivatif dan istilah keterdiferensialan. 2. Menentukan derivatif via definisi 3. Memahami hubungan kontinu dan keterdiferensialan. 4. Memahami konsep aturan rantai



5. 6. 7.



13



1. 2. 3.



Memahami teorema ekstrim interior Memahami teorema nilai ratarata (TNR) dan interprestasinya Memahami penggunaan beberapa TNR pada beberapa masalah ekstrim. Memahami bentuk-bentuk taktentu. Memahami aturan L’Hospital untuk berbagai bentuk taktentu Dapat menerapkannya secara tepat dalam menghitung limit fungsi dan keperluan lainnya.



Pengertian derivatif



Teorema Nilai rata-rata (TNR)



4. Memahami bentuk ekspansi fungsi dalam bentuk deret Taylor 5. Memahami polinomial Taylor dan bentuk sisa 6. Mengaproksimasi nilai fungsi dengan polinomial Taylor 7. Menentukan estimasi error.



14



Aturan L’Hospital



Teorema Taylor



Menjelaskan pengertia derivatif sebagai bentuk limit, menjelaskan istilah terdiferensial, menjelaskan cara menentukan derivatif via definisi, menjelaskan hubungan antara kekontinuan dan keterdife-rensialan, menjelaskan aturan rantai sebagai derivatif komposisi fungsi. Menjelaskan teorema ekstrim interior dan interprestasinya, kemudian teorema Rolle dan TNR, menjelaskan beberapa aplikasi TNR pada masalah nilai ekstrim.



1,2



Menjelaskan berbagai macam bentuk taktentu, menjelaskan TNR Cauchy sebagai permumuman TNR biasa, membuktikan aturan L’Hospital, memberikan contoh penggunaan aturan L’Hospital. Menjelaskan polinomial yang menginterpolasi nilai fungsi dan derivatifnya dititik tertentu, menjelaskan Teorema Taylor dan pembuktiannya, menjelaskan penerapan Teorema Taylor untuk ekspansi fungsi dan aproksimasi nilai fungsi.



1,2



1,2



1,2



Ujian Akhir Semester



Komposisi Penilaian:



:



Aspek Penilaian Ujian Akhir Semester



Prosentase 30% 4



Ujian Tengah Semester Tugas, keaktifan, quiz, sikap Presensi/ Kehadiran Total



30% 20% 20% 100%



Daftar Referensi: : 1. Bartle R. G and Donald R Sherbet, 1994. Introduction to Real Analysis, John Wiley and Sons, New York. Wajib 2.



Riyanto, Z. 2008. Pengantar Analisis Real I.UGM. Yogyakarta



5