Analisis Riil 2.1.8 Dan 2.1.9 [PDF]

Citation preview

Analisis Riil Oleh: Samsul Aziz Teorema 2.1.8 Teorema 2.1.9



Dari teorema sebelumnya, kita bisa melihat bahwa bilangan asli adalah bilangan real positif. Hal ini diperoleh dari sifat dasar urutan. Dimana kuadrat dari bilangan riil bukan nol adalah positif. Berikut Teoremanya!



Teorema 2.1.8 a)



𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 ∈ 𝑹 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂𝟐 > 𝟎



a)



𝟏>𝟎



b)



𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒏 ∈ 𝑵, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒏 > 𝟎



3



Teorema 2.1.8 a)



𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 ∈ 𝑹 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂𝟐 > 𝟎



Bukti : 𝑫𝒂𝒓𝒊 𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒕𝒓𝒊𝒌𝒐𝒕𝒐𝒎𝒊 𝒋𝒊𝒌𝒂 𝒂 ≠ 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂, 𝒂 ∈ 𝑷 𝒂𝒕𝒂𝒖 − 𝒂 ∈ 𝑷. 𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 𝝐 𝑷 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒃𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓 𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓 𝒖𝒓𝒖𝒕𝒂𝒏 𝟐. 𝟏. 𝟓 𝒊𝒊 𝒂𝟐 = 𝒂. 𝒂 ∈ 𝑷 𝑺𝒆𝒍𝒂𝒏𝒋𝒖𝒕𝒏𝒚𝒂 𝒋𝒊𝒌𝒂 − 𝒂 ∈ 𝑷 𝒎𝒂𝒌𝒂, 𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 −𝒂 −𝒂 = 𝒂𝟐 ∈ 𝑷



4



Bukti :



−𝒂 . −𝒂 = −𝒂 + 𝟎 . −𝒂 + 𝟎 (𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏)



= −𝒂 + 𝟎. 𝒂 −𝒂 + 𝟎. 𝒂 (𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟐. 𝟏. 𝟐 𝒄 ) = −𝒂 + (𝟏 + −𝟏 )𝒂 −𝒂 + (𝟏 + −𝟏 )𝒂 (𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔) = −𝒂 + 𝟏𝒂 + −𝟏 𝒂 (−𝒂 + 𝟏𝒂 + −𝟏 𝒂 (𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒕𝒊𝒇) =



−𝒂 + 𝒂 + −𝟏 𝒂



−𝒂 + 𝒂 + −𝟏 𝒂 (𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒂𝒔𝒐𝒔𝒊𝒂𝒕𝒊𝒇)



= 𝟎 + −𝟏 𝒂 𝟎 + −𝟏 𝒂 (𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔) =



−𝟏 𝒂



−𝟏 𝒂



𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏



= −𝟏)(−𝟏 . 𝒂. 𝒂 𝒂𝒔𝒐𝒔𝒊𝒂𝒕𝒊𝒇 = − −𝟏 . 𝒂𝟐 𝒍𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂𝒉 𝒚𝒂𝒏𝒈 𝒔𝒂𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒓𝒊 𝒅𝒆𝒑𝒂𝒏 = − −𝟏 + 𝟎 . 𝒂𝟐 𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏 = − −𝟏 + −𝟏 + 𝟏 . 𝒂𝟐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔 =



− −𝟏 + −𝟏



+ 𝟏 . 𝒂𝟐 𝒂𝒔𝒐𝒔𝒊𝒂𝒕𝒊𝒇



= 𝟎 + 𝟏 . 𝒂𝟐 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔 = 𝟏. 𝒂𝟐 𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏 = 𝒂𝟐 (𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒓𝒌𝒂𝒍𝒊𝒂𝒏) 𝟐 𝑱𝒂𝒅𝒊 𝒅𝒂𝒑𝒂𝒕 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 𝒃𝒂𝒉𝒘𝒂 5 𝒋𝒊𝒌𝒂 𝒂 ∈ 𝑹 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂 > 𝟎



Teorema 2.1.8 b)



𝟏>𝟎



Bukti :



𝑲𝒂𝒓𝒆𝒏𝒂 𝟏 ∈ 𝑷 (𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓 𝒖𝒓𝒖𝒕𝒂𝒏 𝟐. 𝟏. 𝟓 𝒊𝒊



𝒅𝒂𝒏 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒔𝒊 𝑴𝟑)



𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟏 ∈ 𝑷 𝐝𝐚𝐧 𝐝𝐚𝐫𝐢 𝐬𝐢𝐟𝐚𝐭 𝐢𝐝𝐞𝐧𝐭𝐢𝐭𝐚𝐬 𝐩𝐞𝐫𝐤𝐚𝐥𝐢𝐚𝐧 𝐦𝐚𝐤𝐚 𝟏𝟐 = 𝟏 ∈ 𝑷. 𝑫𝒂𝒓𝒊 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟐. 𝟏. 𝟖 𝒂 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟏 > 𝟎 𝑱𝒂𝒅𝒊 𝒅𝒂𝒑𝒂𝒕 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 𝒃𝒂𝒉𝒘𝒂 𝟏 > 𝟎



6



Teorema 2.1.8 c)



𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒏 ∈ 𝑵, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒏 > 𝟎



Bukti :



𝑫𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌𝒔𝒊 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎𝒂𝒕𝒊𝒌𝒂, 𝒅𝒂𝒓𝒊 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟐. 𝟏. 𝟖 𝒃 𝒏 = 𝟏 ∈ 𝑷 𝑨𝒔𝒖𝒎𝒔𝒊𝒌𝒂𝒏 𝒌 ∈ 𝑷, 𝒌𝒂𝒓𝒆𝒏𝒂 𝟏 ∈ 𝑷 𝒎𝒂𝒌𝒂, 𝒌 + 𝟏 ∈ 𝑷 (𝒔𝒊𝒇𝒂𝒕 𝒅𝒂𝒔𝒂𝒓 𝒖𝒓𝒖𝒕𝒂𝒏 𝟐. 𝟏. 𝟓 𝒊 ) 𝑱𝒂𝒅𝒊 𝒅𝒂𝒑𝒂𝒕 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 𝒃𝒂𝒉𝒘𝒂 𝒋𝒊𝒌𝒂 𝒏 ∈ 𝑵 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒏 > 𝟎



7



“Perlu diketahui bahwa tidak ada bilangan real positif yang terkecil. Hal ini bisa kita amati jika 𝟏 𝒂 > 𝟎 dan > 𝟎 maka kita 𝟐



punya 𝟎
𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟎 < 𝒂 < 𝒂 𝟐 𝟐 𝟏



𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 𝟐 𝒂 > 𝟎 𝟏



𝒅𝒊𝒑𝒖𝒏𝒚𝒂𝒊 𝒂 > 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝟐 𝒂 > 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟏 .𝒂 𝟐







> 𝟎 (𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟐. 𝟏. 𝟓 𝒊𝒊 )



𝟏



𝒂𝒌𝒂𝒏 𝒅𝒊𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊𝒌𝒂𝒏 𝟐 𝒂 < 𝒂 𝒂>𝟎  𝒂 + 𝒂 > 𝟎 + 𝒂 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟐. 𝟏. 𝟕 𝒃







𝟐𝒂 > 𝟎 + 𝒂







𝟐𝒂 > 𝒂 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒎𝒍𝒂𝒉𝒂𝒏







𝟏



𝒂 > 𝟐 . 𝒂 (𝒅𝒊𝒃𝒂𝒈𝒊 𝟐) 𝟏



𝟏



𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 > 𝟎 , 𝒅𝒂𝒏 𝟐 > 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟎 < 𝟐 𝒂 < 𝒂



9



Teorema 2.1.9 𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 ∈ 𝑹 𝒔𝒆𝒅𝒆𝒎𝒊𝒌𝒊𝒂𝒏 𝒔𝒆𝒉𝒊𝒏𝒈𝒈𝒂 𝟎 ≤ 𝒂 < 𝜺 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒔𝒆𝒕𝒊𝒂𝒑 𝜺 > 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂 = 𝟎



10



Teorema 2.1.9 𝑱𝒊𝒌𝒂 𝒂 ∈ 𝑹 𝒔𝒆𝒅𝒆𝒎𝒊𝒌𝒊𝒂𝒏 𝒔𝒆𝒉𝒊𝒏𝒈𝒈𝒂 𝟎 ≤ 𝒂 < 𝜺 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒔𝒆𝒕𝒊𝒂𝒑 𝜺 > 𝟎 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒂 = 𝟎



Bukti :



𝑫𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒌𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒊𝒌𝒔𝒊, 𝟏



𝑨𝒏𝒅𝒂𝒊𝒌𝒂𝒏 𝒂 > 𝟎, 𝒌𝒊𝒕𝒂 𝒑𝒖𝒏𝒚𝒂𝒊 𝟎 < 𝟐 𝒂 < 𝒂 𝟏



𝑨𝒎𝒃𝒊𝒍 𝜺𝟎 = 𝟐 𝒂 (𝜺𝟎 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇 𝒕𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒕𝒖)



𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟎 < 𝜺𝟎 < 𝒂 (𝒉𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊 𝒌𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒊𝒌𝒔𝒊 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏𝟎 ≤ 𝒂 < 𝜺 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒔𝒆𝒕𝒊𝒂𝒑 𝜺 > 𝟎 𝒑𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏𝒅𝒂𝒊𝒂𝒏 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒉, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒉𝒂𝒓𝒖𝒔𝒍𝒂𝒉 𝒂 = 𝟎



11



Terima Kasih 12